河北衡水中学高一上学期数学二调理科数学试题及参考答案
垂足为 P1，直线 PP1 与函数 y＝sinx 的图象交于点 P2，则线段 P1P2 的长为__________．
19、设函数 f ( x) = A sin(ωx + ϕ )( A > 0, ω > 0, | ϕ |<
π
2
) 的最高点 D 的坐标为（ 3π ,0 ）. 8
π
8
,2 ） ，由最高
点 D 运动到相邻最低点时，函数图形与 x 轴的交点的坐标为（ （1）求函数 f ( x) 的解析式；
π
8
,2 ）运动到相邻最低点时，函数图形与 x 的交点的坐标为（
3π ,0 ） ， 8
(2)原式＝
π （-sin α） ( -cos α )( -sin α ) cos 7π + -α 2 π ( -cos α ) sin (π -α ) -sin (π +α ) sin 6π + 2 +α
(
)
= 3 sin(1080°+120°)-cos135°·tan( −
5 π) 4
........................8 分
sin α + cos 2 α
2
=
3 2 3− 2 = . − 2 2 2
5
＝ 2sin 2 α + sin α cos α + cos 2 α
sin 2 α + cos 2 α
河北衡水中学第一学期高一年级二调考试
本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试时间120分钟.
8、函数 y＝f(x)的图象如图所示，则 y＝f(x)的解析式为(
)
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、 选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号 填涂在答题卡上）
3
2016—2017 学年度第一学期高一年级二调考试 数学试卷答案
1.C 2.A 3.A 4.D 5.B 13、 6.B 7.A 8.D 9.A 10.D 3 15、－4 16、 2 11.B 12.D
故函数的定义域为{x| − 7 ≤ x < − （2）3sin(-1 200°)·tan( − =-3sin1 200°·( −
........................10 分
即 y = g ( x) 的单调减区间为 20、(1)解：
1 cos x > 2 解得 18、解： （1）由题意可知 49 − x 2 ≥ 0
π π 2 k π − < x < 2 k π + , k ∈ Z 得 3 3 − 7 ≤ x ≤ 7
x − y 4} , 那么集合 M ∩ N 为 （ 1、已知集合 M = {y | x + y = 2= } ，N {( x, y ) |=
A. {x = 3, y = −1} B. ( x, y ) | x = 3或y = −1
） A.y＝sin(2x－2) B.y＝2cos(3x－1) C. y = sin( 2 x −
（2）由题意得， g ( x) = 2 sin[ 2( x −
)， ........................8 分 4 π π 3π 7π 3π , kπ + ](k ∈ Z ) ](k ∈ Z ) 得， x ∈ [kπ + 由 2 x − ∈ [2kπ + ,2kπ + 8 8 4 2 2 4 4 [kπ + 3π 7π , kπ + ](k ∈ Z ) 8 8 .
π )-cos585°·tan( 37 ) − π
6 4
5π π π 5π < x ≤ 7 }. 或− <x < 或 3 3 3 3
........................4 分
15 2
14、 25
3 5 )-cos(720°-135°)·tan(-8π − π ) 3 4
7
3
17、解：(1) 2 + sin a cos a − cos 2 a ＝ 2 sin 2 α + cos 2 α + sin α cos α − cos 2 α
{
}
C.
φ
)
D. {(3,−1)}
4π ) −1 5
D. y = sin( 2 x +
4π ) +1 5
)
2、扇形的中心角为 1200 ，半径为 3 ，则此扇形的面积为( A. π
5
9、若偶函数 f(x)在[－1,0]上为减函数， α 、 β 为任意一个锐角三角形的两个内角，则有( A.f( sin α )>f( cos β ) B.f( sin α )>f( sin β ) C.f( cos α )>f( cos β ) D.f( cos α )>f( sin β ) 10、已知函数 f ( x) = sin( x −
x
−
π
12
0
2π 12
5π 12
π π 5π 5π 或− <x < 或 −7≤x <− <x ≤7 3 3 3 3
2x +
π
6
π
2
1
π
0
8π 12 3π 2
-1
11π 12
2π
0
sin(2 x + ) 6
4
π
0
f ( x)
（2）
1 2
3 2
1 2
π 15 sin(4π − a ) cos(3π + a ) cos( + a ) cos( π − a ) 2 2 的值。 （2）求 13 cos(π − a ) sin(3π − a ) sin(−π − a ) sin( π + a ) 2
2
20、已知 f(x)= sin( 2 x +
π
6
)+
C.
3π π + kπ , + kπ , (k ∈ Z ) 4 4
D.
3π π + kπ , + kπ , (k ∈ Z ) 4 4
A. −
10 4
B. −
6 4
C.
6 4
D.
12、已知函数 f(x)满足：①定义域为 R；②对任意的 x∈R，有 f(x＋2)＝2f(x)；③当 x∈[－1,1] 时，
＝
=
2 tan 2 α + tan α + 1 1 + tan 2 α
........................5 分
（3）原式＝(lg 5)2+lg 2(lg 5+1)+21· 2log 2 ＝lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2+ 2 5 ＝1+ 2 5 19、解： （1）∵由最高点 D（
D.函数 f(x)是奇函数 )
C. y = 2
cos x
D. y = lg(sin x + 1 + sin x )
2
2
11、函数 y = log 1 cos( π − 2 x) 的单调递增区间是( )
x − cos x 在[0，＋∞)内(
B.有且仅有一个零点
3 2
C.有且仅有两个零点
D.有无穷多个零点大值. x
2x +
π
6
（1）对任意的 θ ∈ [0,
π
2
] ，若 f (θ ) ≥ g (θ ) 恒成立，求 m 的取值范围；
sin(2 x + ) 6
π
（2）对 θ ∈ [−π , π ] ， f (θ ) = g (θ ) 有两个不等实根，求 m 的取值范围。
f ( x)
(1) 用“五点法”完成下列表格并画出函数 f ( x) 在区间 −
（2）若 x ∈ −
π π = ( x) f ( x) + m 的最小值为 2，试求出函数 g ( x) 的最大值，指出 x 取何 ， ，函数 g 6 3
22、已知函数 f (θ ) = − sin θ − 4 cos θ + 4 ， g (θ ) = m ⋅ cos θ
＝
ω = 2 ，ϕ = = π ，=
2π T
π
4
........................3 分
∴ 函数解析式为 f ( x ) = 2 sin( 2 x +
π
π -sin 2 α cos α -cos -α 2 π ( -cos α ) sin 2 α - ( -sin α ) sin 2 +α
........................12 分
π
4
) )+
........................6 分
π
] ，∴ g ( x) = 2 sin( 2 x −
π
＝ sin 2 α cos α sin α
-cos α sin 2 α cos α
=-
sin α 3 =- tan α = cos α 4
B．8 C．9 D．10
5π 个单位长度 A.向左平移 12 5π 个单位长度 C.向左平移 6
1
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、 填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上） 13、函数y＝2sin2x－2cos x＋5的最大值为________． 14、已知 −
18、 （1）求函数 f (x ) = lg(2 cos x − 1) + 49 − x （2）计算 （3）计算
衡水中学2019-2020学年高三上学期二调考试数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年度上学期高三年级二调考试数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，从每小题给出的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1.若3cos 5x =-，且2x ππ<<，则tan sin x x +的值是( ) A. 3215-B. 815-C. 815D.3215【答案】B 【解析】 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinx ，tanx 的值，即可得解．【详解】由题意，知3cosx 5=-，且πx π2<<，所以4sinx 5==，则sinx 4tanx cosx 3==-， 448tanx sinx 3515∴+=-+=-．故选：B ．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，其中解答中熟练应用同角三角函数的基本关系式，准确求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 2.设30.2a =，2log 0.3b =，3log 2c =，则（ ） A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的单调性，并结合取中间值法即可判断大小. 【详解】由于300.20.2<<，22log 0.3log 10<=，331log 2log 2>=， 则323log 0.30.2log 2<<，即c a b >>.故选：D.【点睛】本题主要考查对数与对数函数和指数与指数函数，利用函数的单调性比较大小是常用手段，属基础题.3.已知奇函数()f x 满足()(4)f x f x =+，当(0,1)x ∈时，()2x f x =，则()2log 12f =（ ） A. 43- B.2332 C.34D. 38-【答案】A 【解析】 【分析】利用周期性和奇函数的性质可得，()()()222log 12log 1244log 12f f f =-=--，再根据指数运算和对数运算即可求得结果.【详解】由题意()(4)f x f x =+，故函数()f x 是周期为4的函数， 由23log 124<<，则21log 1240-<-<，即204log 121<-<， 又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()()2244log 12222log 1224log 12log 1244log 12223f f f -=-=--=-=-=-，故选：A.【点睛】本题主要考查对数函数，奇函数，周期函数，以及抽象函数的性质，综合性较强，属中档题. 4.已知圆22:4O x y +=与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动3π弧长达到点N ，以x 轴的正半轴为始边，ON 为终边的角即为α，则sin α=（ ） A.3B.12C .D.【答案】D 【解析】 【分析】画图分析，根据弧长公式求出旋转的角的弧度数，则可求出α的值，从而得到结果. 【详解】由题意得M (0,2)，并画出图象如图所示.由点M 沿圆O 顺时针运动3π弧长到达点N ，则旋转的角的弧度数为326ππ=，即以ON 为终边的角3πα=，所以3sin α=. 故选：D .【点睛】本题考查三角函数的定义和弧长公式，注意仔细审题，认真计算，属基础题.5.函数(),,00,2s ()()in x xe ef x x xππ-+=∈-的图象大致为( )A.B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除B ，再根据()0,x π∈时()f x 的符号可排除D ，再根据x π→时，()+f x →∞可排除C ，从而得到正确的选项.【详解】函数的定义域关于原点对称，且()()()2sin x xe ef x f x x -+-==--， 故()f x 为奇函数，其图像关于原点对称，所以排除B. 又当()0x π∈，时，sin 0,0xxx e e->+>，所以()0f x >，故排除D.又当x π→时，()+f x →∞，故排除C ， 综上，选A.【点睛】本题为图像题，考查我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大小或取值范围． 6.如图是函数sin()0,02y x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，将该图象向右平移(0)m m >个单位长度后，所得图象关于直线4x π=对称，则m 的最小值为（ ）A.12πB.6π C.4π D.3π 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的图象与性质求出()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据右移得到函数()sin 223g x x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，利用对称轴的性质，得到m 的表达式，从而求得m 的最小值. 【详解】令()sin()f x y x ωϕ==+，由三角函数图象知，566T πππ=+=，所以2ππω=，所以2ω=.因为函数()f x 过点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭，且02πϕ<<，则206πϕ-⨯+=，即3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将该函数图象向右平移m 个单位后，所得图象的解析式是()sin 223g x x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 因为函数()g x 的图象关于直线4x π=对称，所以22()432m k k Z ππππ⨯+-=+∈，解得()62k m k Z ππ=-∈，又m >0，所以m 的最小值为6π.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，解题的关键在于根据图象正确求出函数解析式，并熟练掌握正弦函数的性质，属中档题. 7.已知函数()()xxf x x e e-=-，对于实数a b ，，“0a b +>”是“()()0f a f b +>”的( ).A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先判断出函数为奇函数，且为R 的单调增函数，结合单调性与奇偶性利用充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】因为()()()()xx x x f x x e e x e e f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，0x >时，()1x x f x x e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在()0,∞+上递增，所以函数()f x 在R 上为单调增函数， 对于任意实数a 和b ，若0a b +>，则()(),a b f a f b >-∴>-， 函数()f x 为奇函数，()()f a f b ∴>-，()()0f a f b ∴+>，充分性成立；若()()0f a f b +>，则()()()f a f b f b >-=-， 函数在R 上为单调增函数，a b ∴>-，0a b ∴+>，必要性成立，∴对于任意实数a 和b ，“0a b +>”，是“()()0f a f b +>”的充要条件，故选C.【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性以及充分条件与必要条件的定义，属于综合题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 8.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 1cos 2cos 2cos sin 2βαβαα+=+，则tan 24παβ⎛⎫++= ⎪⎝⎭（ ） A. －1 B. 1C.3D. 3-【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式和三角函数的商数关系对1cos 22cos sin 2ααα++进行化简变形，从而可得tan tan 42παβ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,424παπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，结合正切函数的单调性，则42παβ=-，代入所求表达式从而可求得结果.【详解】2sin 1cos 22cos cos 2cos sin 22cos 2sin cos βααβααααα+==++ 222cos sin cossin1tancos 22222tan 1sin 42sin cos 1tan sin cos 22222ααααααπααααααα---⎛⎫=====- ⎪+⎝⎭⎛⎫+++ ⎪⎝⎭， 故tan tan 42παβ⎛⎫=-⎪⎝⎭，又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,424παπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，42παβ∴=-，故22πβα=-，则3tan 2tan 144ππαβ⎛⎫⎛⎫++==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查二倍角公式，三角函数的商数关系和正切函数的性质，综合性强，要求一定的计算化简能力，属中档题.9.已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的个数是（ ） ①函数()f x 的值域与()g x 的值域相同；②若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点； ③把函数()f x 的图像向右平移2π个单位长度，就可以得到()g x 的图像； ④函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内都是增函数. A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】【分析】求出函数f (x )的导函数g (x )，再分别判断f (x )、g (x )的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题即可一一做出判断，从而得到答案.【详解】()sin cos 4f x x x x x x π⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， ()sin +cos ++224g x x x x x x π⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， ①， ()4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，两函数的值域相同，都是[，故①正确；②，若0x 是函数()f x 的极值点，则042x k πππ-=+，k Z ∈，解得034x k ππ=+，k Z ∈，()03044g x k πππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，0x ∴也是函数()g x 的零点，故②正确；③，把函数()f x 的图象向右平移2π个单位，得sin cos cos sin ()222f x x x x x g x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=--≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故③错误；④，,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，,042x ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 是单调增函数，0,42x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()g x 也是单调增函数，故④正确.综上所述，以上结论中错误的个数是1. 故选：B.【点睛】本题考查了两角和与差的正弦公式，正弦函数的单调性，以及三角函数图象的变换，熟练掌握公式和正弦函数的性质是解本题的关键，属中档题. 10.已知函数()cos f x x =，若存在实数12,,,n x x x ，满足1204n x x x π≤<<<≤，且()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=，2n ≥，n *∈N ，则n 的最小值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】由余弦函数的有界性可得，对任意x i ，x j (i ，j =1，2，3，…，n )，都有()()max min ()()2i jf x f x f x f x --=，要使n 取得最小值，尽可能多让x i （i =1，2，3，…，n ）取得最高点和最低点，然后作图可得满足条件的最小n 值．【详解】∵()cos f x x =对任意x i ，x j (i ，j =1，2，3，…，n )， 都有()()max min ()()2i jf x f x f x f x --=，要使n 取得最小值，尽可能多让x i (i =1，2，3，…，n )取得最高点和最低点， 考虑0≤x 1＜x 2＜…＜x n ≤4π，()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=，按下图取值即可满足条件，则n 的最小值为5. 故选：C.【点睛】本题考查三角函数与数列的综合，考查了余弦函数的图象与性质，审清题意，画出图象是解决本题的关键，属中档题.11.设函数11,(,2)(){1(2),[2,)2x x f x f x x --∈-∞=-∈+∞，则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为( )A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】 C 【解析】 试题分析：，转化为如图，画出函数和的图像，当时，有一个交点， 当时，，，此时，是函数的一个零点， ，，满足，所以在有两个交点，同理，所以在有两个交点， ，所以在内没有交点，当时，恒有，所以两个函数没有交点所以，共有6个．考点：1．分段函数；2．函数的零点．3数形结合求函数零点个数． 12.已知0>ω，2πϕ≤，在函数()sin()f x x ωϕ=+，()cos()g x x ωϕ=+的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π，当(,)64x ππ∈-时，函数()f x 的图象恒在x 轴的上方，则ϕ的取值范围是（ ） A. (,)63ππB. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. (,)32ππD. ,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】令F （x ）＝()sin x ωϕ+﹣()cos x ωϕ+＝0求出零点，利用相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π得ω值，然后根据当,64x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，f(x)>0恒成立即可得到ϕ的取值范围. 【详解】由题意，函数()()sin f x x ωϕ=+，()()cos g x x ωϕ=+的图象中相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π． 令F （x ）＝()sin x ωϕ+﹣()cos x ωϕ+＝0sin （4x πωϕ+-）＝0，即4x πωϕ+-＝k π，k ∈Z ．当k ＝0时，可得一个零点x 1＝4πω-∅当k ＝1时，可得二个零点x 2＝54πω-∅, ω＞0， 那么|x 1﹣x 2|＝|544|2ππππωωω-∅-∅-==，可得ω2=,则()()sin 2f x x ϕ=+， 又当,64x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，函数()f x 的图象恒在x 轴的上方， 当f(x)>0时2k π2x φ2k ππ,<+<+解得k πx k π222ϕπϕ-<<+-,只需26224k k ϕπππϕππ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪+-≥⎪⎩即2k π2,32k ππϕπ+≤≤+又2πϕ≤，则当k=0时，ϕ的取值范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：D ．【点睛】本题考查三角函数图像的性质，考查恒成立问题，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题）13.已知曲线3y x x =-在点()00,x y 处的切线平行于直线220x y --=，则0x =______. 【答案】－1 【解析】 【分析】求出函数的导数，代入x 0求得切线的斜率，再由两直线平行的条件可得到关于x 0的方程，解方程即可得到所求值，注意检验.【详解】3y x x =-的导数为231y x '=-，即在点()00,x y 处的切线斜率为2031k x =-，由切线平行于直线220x y --=，则2k =，即20312x -=，解得01x =或1-.若01x =，则切点为(1,0)，满足直线220x y --=，不合题意. 若01x =-，则切点为(1,0)-，不满足直线220x y --=，符合题意. 故答案为：1-.【点睛】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，同时考查两直线平行的问题，属基础题.14.设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________．【答案】(1,)+∞ 【解析】 【分析】根据条件构造函数F （x ）()xf x e=，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【详解】设F （x ）()xf x e=，则F ′（x ）()()'xf x f x e-=，∵()()f x f x '>，∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增． ∵()()121x ef x f x -<-∴()()2121xx f x f x ee--＜，即F （x ）＜F （2x 1-）∴x 2x 1-＜，即x ＞1 ∴不等式()()121x ef x f x -<-的解为()1,+∞故答案为：()1,+∞【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．15.如图，阴影部分是由曲线22y x =和223x y +=及x 轴围成的封闭图形，则阴影部分的面积为______.【答案】328π-【解析】 【分析】首先求出曲线的交点，然后求直线3y x =与22y x =围成的面积1S ，利用扇形的面积公式，求得扇形AOB 的面积2S ，则阴影部分的面积为21S S S =-，计算即可求得结果.【详解】曲线22y x =和圆223x y +=的在第一象限的交点为33,2A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 则直线OA 的方程为：3y x =， 如图，则直线OA 与抛物线22y x =所围成的面积()3322231032332333322324388S x x dx x x ⎛⎫=-=-=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎰，又扇形AOB 圆心角为3πα=，则扇形AOB 的面积221132232S r ππα==⨯⨯=， 所以阴影部分的面积2132S S S π=-=. 故答案为：328π-. 【点睛】本题考查了利用定积分求阴影部分的面积，关键是利用定积分正确表示对应的面积，属中档题. 16.设ABC ∆的内角A B C ，，的对边长a b c ，，成等比数列，()1cos cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为__________. 【答案】34【解析】 【分析】由()1cos cos 2A C B --=，可得1cos cos 4A C =，由,,a b c 成等比数列，结合正弦定理 可得2sin sin sinB AC =，两式相减，可求得3B π=，从而得ABC ∆为正三角形，设正三角形边长为a ，ACD S ∆ ()2a =-，利用基本不等式可得结果. 【详解】()cos cos A C B -- ()()1cos cos 2A C A C =-++=， 1cos cos 4A C ∴=，① 又,,a b c 成等比数列，2b ac ∴=，由正弦定理可得2sin sin sin B A C =，② ①-②得21sin cos cos sin sin 4B AC A C -=- ()cos cos A C B =+=-，21cos 1cos 4B B ∴+-=-，解得1cos ,23B B π==， 由()1cos cos 2A C B --=，得()1cos cos 12A C B -=+=，0,A C A B -==，ABC ∆为正三角形，设正三角形边长为a ， 则2CD a =-，1sin1202ACD S AC CD ∆=⋅()()122224a a a a =-⨯=- ()224a a ⎡⎤+-⎣⎦≤=，1a =时等号成立。
2010-2023历年河北省衡水中学度第二学期二调考试高一年级数学试卷理科
2010-2023历年河北省衡水中学度第二学期二调考试高一年级数学试卷理科第1卷一.参考题库(共10题)1.如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，顶点在底面的射影是底面的中心，侧棱长为2， G是PB的中点。
①证明：PD// 面AGC；高@考☆资&源*网②求AG和平面PBD所成的角的正切值。
2.对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD；②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD ；其中正确的命题的序号是( )A．①②B．②③C．②④D．①④3.如图，在正方体中，E、F、G、H分别为中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（）A．B．C．D．4.(本小题共12分)如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点，求异面直线OC与MN所成角的余弦值。
5.(本小题共12分)如图，一张平行四边形的硬纸片中，，。
沿它的对角线把△折起，使点到达平面外点的位置。
（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）如果△为等腰三角形，求二面角的大小。
6.ABCD是正方形，P是平面ABCD外一点，PD⊥AD,PD=AD=2,二面角P—AD—C为600，则P到AB的距离是A．B．C．2D．7.已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，是首项为1，公比为3的等比数列，（1）求数列、的通项公式；高@考☆资&源*网（2）求数列的前n项和。
8.如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P。
如果将容器倒置，水面也恰好过点（图2）。
有下列四个命题：A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点C．若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满；其中正确的序号是：9.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。
河北省衡水中学2019届高三上学期二调考试数学(理)试卷含答案解析
河北省衡水中学2019届高三上学期二调考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，集合，则（）M ={x |log 2(x−1)<0}N ={x |x ≥−2}M ∩N =A. B. C. D. {x |−2≤x <2}{x |x ≥−2}{x |x <2}{x |1<x <2}【答案】D 【解析】由题意得，M ={x|0<x ‒1<1}={x |1<x <2}∴．选D ．N ∩M ={x |1<x <2}2.已知，则（）sin (π5−α)=14cos (2α+3π5)=A. B. C. D.−787818−18【答案】A 【解析】由题意可得：cos (2α+3π5)=cos 2(α+3π10)=cos 2[π2−(π5−α)]=2cos 2[π2−(π5−α)]−1=2sin 2(π5−α)−1=−78.本题选择A 选项.3.等差数列的前n 项和为，若，，则 {a n }S n a 3+a 7‒a 10=5a 11‒a 4=7S 13=(A. 152B. 154C. 156D. 158【答案】C 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和前n 项和公式即可得出．【详解】设公差为d ，由，，可得，解出，．a 3+a 7‒a 10=5a 11‒a 4=7{a 1‒d =57d =7a 1=6d =1．∴S 13=13×6+13×122×1=156故选：C ．【点睛】熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式是解题的关键．4.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点y =2sin 2x y =2cos (2x−π4)A. 再向左平行移动个单位长度B. 再向右平行移动个单位长度π4π8C. 再向右平行移动个单位长度D. 再向左平行移动个单位长度π4π8【答案】B 【解析】【分析】现将两个函数变为同名的函数，然后利用三角函数图像变换的知识得出珍贵选项.【详解】由于，故需将的图象上所有的点，向右平行移动个单位长y =2sin 2x =2cos (2x−π2)y =2cos (2x ‒π4)π8度得到.故选B.2cos [2(x−π8)−π4]=2cos (2x−π2)=2sin 2x【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.5.若关于的方程有解，则实数的最小值为（ ）x log 13(a−3x )=x−2a A. 4 B. 6C. 8D. 2【答案】B 【解析】方程有解等价于，所以实数的最小log 13(a ‒3x )=x ‒2(13)x−2=a−3x ⇒a =(13)x−2+3x ≥2(13)x−2×3x =6a 值为66.已知数列的前n 项和为，，，且对于任意，，满足，{a n }S n a 1=1a 2=2n >1n ∈N ∗S n +1+S n ‒1=2(S n +1)则的值为 S 10A. 90 B. 91 C. 96 D. 100【答案】B 【解析】【分析】对于任意，，满足，可得，可得n >1n ∈N ∗S n +1+S n ‒1=2(S n +1)S n +1‒S n =S n ‒S n ‒1+2利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．a n +1‒a n =2.【详解】对于任意，，满足，∵n >1n ∈N ∗S n +1+S n ‒1=2(S n +1)，∴S n +1‒S n =S n ‒S n ‒1+2．∴a n +1‒a n =2数列在时是等差数列，公差为2．，，∴{a n }n ≥2a 1=1a 2=2则．S 10=1+9×2+9×82×2=91故选：B ．【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种S n a n a n S n−1方法需要检验n=1时通项公式是否适用。
河北省衡水中学2013-高一上学期二调考试 数学试题
2013—2014学年度第一学期高一年级二调考试数学试卷考试时间：120分钟 总分：150分第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M= {|ln(1)}x y x =-，集合(){,|,}(xN x y y e x R e ==∈为自然对数的底数），则N M ⋂= （ ）A ．}1|{<x xB ．}1|{>x xC ．}10|{<<x xD ．∅2. 已知集合{2,0,1}A =，集合{|||B x x a =<，且}x Z ∈，则满足A B ⊆的实数a 可以取的一个值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．33..设3log 2=a ，3log 4=b ，5.0=c ，则它们的大小关系是（ ） A.a b c << B.b c a << C.c a b << D.b a c << 4、已知)(x f y =是R 上的增函数，令)3()1()(x f x f x F +--=，则)(x F 是R 上的（ ）A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增 5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．2 B ．1 C ．23 D ．136．若函数)1,0()1()(≠>--=-a a aa k x f xx在R 上既是奇函数，又是减函数，则)(log )(k x x g a +=的图像是（ ）7.已知函数()f x 的定义域为R ，满足(1)()f x f x +=-，且当01x ≤≤时，()f x x =， 则(8.5)f 等于（ ） A ．0.5- B ．0.5C ． 1.5-D ．1.58．函数xx y ||lg =的图象大致是（ ）9. 已知函数()f x 是奇函数,当0x >时,()ln f x x =,则21(())f f e 的值为（ ） A.1ln 2 B.1ln 2- C.ln 2- D.ln 2 10．下列说法中正确．．的说法个数．．为①由1，23，1.5，0.5-，0.5 这些数组成的集合有5个元素；②定义在R 上的函数()f x ，若满足(0)0f =，则函数()f x 为奇函数； ③定义在R 上的函数()f x 满足(1)(2)f f >，则函数()f x 在R 上不是增函数； ④函数()f x 在区间(,)a b 上满足()()0f a f b ⋅<，则函数()f x 在(,)a b 上有零点；（ ）A. 1B. 2C. 3D. 411．若a>l ，设函数f （x ）=a x+x －4的零点为m ，函数g （x ）= log a x+x －4的零点为n ，则11m n+的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．812．已知,a b 是方程3274log 3log (3)3x x +=-的两个根，则a b += （ ） A. 1027 B. 481 C. 1081 D. 2881第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2019衡水中学高三二调理科数学试题及答案
∑ 2018-2019 学年度上学期高三二调考试数学（理科）试卷 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分。
每小题给出的四个选项中只有一项是符合题意的） 1.设集合 M = {x log 2 (x -1) < 0}, 集合 N = {x x ≥-2}, 则 N M = A.{x -2 ≤ x < 2}B.{x x ≥ -2}C. {x x < 2} D.{x 1 < x < 2}2.已知sin ⎛π-α⎫ = 1，则cos ⎛2α+3π⎫= 5 ⎪ 4 5 ⎪A. - 78⎝ ⎭7 1 B.C.88⎝ ⎭D. - 183. 等差数列{a n } 的前 n 项和为S n ，若 a 3 + a 7 - a 10 = 5,a 11 - a 4 = 7, 则 S 13 = A.152 B.154C.156D.1584. 要得到函数 y = 2 sin 2x 的图象，只需将函数 y = 2 cos ⎛2x -π⎫的图象上所有的点4 ⎪A. 向左平行移动B.向右平行移动C.向右平行移动D.向左平行移动 ⎝⎭π 个单位长度 4π 个单位长度 8 π 个单位长度4π个单位长度85. 若关于 x 的方程log 1 3(a - 3x) = x - 2有解，则实数 a 的最小值为A.4B.6C.8D.26. 已知数列{a n } 的前 n 项和为 S n ， a 1 = 1, a 2 = 2, 且对于任意 n > 1, n ∈ N *, 满足S n +1 + S n -1 = 2 (S n + 1), 则 S 10 = A.91B.90C.55D.1007. 已知函数 f (x ) = 4 s in ωx cos ωx(ω> 0) 在区间⎡- π, 2π⎤ 上是增函数，且在区间[0,π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围为A. (0,1]B. ⎛ 0, 3 ⎤2 2C. ⎡ 1 , 3 ⎤D. [1, +∞)⎣⎢ 2 3 ⎥⎦4 ⎥ ⎢ 2 4⎥ ⎝ ⎦⎣⎦1008.已知 f (n ) 表示正整数 n 的所有因数中最大的奇数，例如：12 的因数有1,2,3,4,6,12，则 f (12) = 3 ；21 的因数有 1,3,7,21，则 f (21) = 21, 那么f (i ) 的值为i =51A.2488B.2495C.2498D.25009. 如图，半径为 2 的圆 O 与直线 MN 相切于点P,射线 PK 从 PN 出发，绕点 P 逆时针方向转到 PM,旋转过程中，PK 与圆 O 交于点 Q,设∠POQ = x , 弓形 PmQ 的面积 S = S ( x ) ，那么 S (x ) 的图象大致是⎤10. 已知函数 f( x ) = x 2 - 2ln x 与 g ( x ) = sin (ωx +ϕ) 有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的函数 g ( x ) =A .sin ⎛πx - π⎫B. sin ⎛πx +π⎫C. sin⎛πx +π⎫D. sin⎛2πx + π⎫2 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ ⎭⎝ ⎭11. 已知 f( x ) 是定义在 R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数 x 1 , x 2 ，都有 x 2 f ( x 1 ) - x 1 f (x 2 ) <0, 记a = f (4.10.2 ) ,b = f (0.42.1),c = f (log 0.2 4.1) ，则x - x4.10.2 0.42.1 log 4.1a < c < bA.a <b < cB.c < b < aC.12b <c < aD.0.2⎧e x - 2(x ≤ 0),12. 已知函数 f (x ) = ⎨ ⎩ln x (x > 0).则下列关于函数 y = f ⎡⎣ f (kx ) + 1⎤⎦ + 1(k ≠ 0) 的零点个数的判断正确的是A. 当 k>0 时，有 3 个零点；当 k<0 时，有 4 个零点B. 当 k>0 时，有 4 个零点；当 k<0 时，有 3 个零点C. 无论 k 为何值，均有 3 个零点D. 无论 k 为何值，均有 4 个零点第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.已知函数 f (x ) = 1 x 2+ x tan θ+ 3(θ≠π在区间⎡- 3上是单调函数，其中θ是直线 l 的倾斜角，则θ的所有可能取值范围是 .22) ⎢ 3 ,1⎥ ⎣ ⎦14. “斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列{a n } 满足： a = 1, a = 1, a = a + a (n ≥ 3, n ∈ N *) ，记其前 n 项和为 S ，设 a= t （t 为常数），则 S+ S- S- S = .（用 t 表示）12nn -1n -2n2018201620152014201315. 设锐角A BC 三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 3(a cosB + b cos A ) = 2c sinC , b = 1, 则c 的取值范围为 . 16. 若存在两个正实数 x,y 使等式2x + m ( y - 2ex )(ln y - ln x ) = 0 成立（其中 e=2.71828...）,则实数 m 的取值范围是.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。
河北省衡水中学2021届高三第一学期二调考试数学试卷【含答案】
河北省衡水中学2021届高三第一学期二调考试数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2|20A x x x =-≤，{}|1381x B x =<<，{}|2,C x x n n N ==∈，则()A B C ⋃⋂=（ ）A. {}2B. {}0,2C. {}0,2,4D. {}2,4【答案】B 【解析】∵集合{}2|20A x x x =-≤ ∴{}02A x x =≤≤ ∵集合{}|1381xB x =<< ∴{}04A x x =<< ∴{}04A B x x ⋃=≤< ∵集合{}|2,C x x n n N ==∈ ∴{}()0,2A B C ⋃⋂= 故选B.2. 要得到函数2y x =的图象，只需将函数24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A 向左平移4π个单位 B. 向右平移4π个单位 C. 向上平移4π个单位 D. 向下平移4π个单位 【答案】A 【解析】 【分析】先变形：22)2y x x π=+，再根据左加右减原理即可得解.【详解】因为22)2y x x π==+，所以由函数24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象得到函数22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，根据左加右减，只需向左平移4π个单位. 故选：A.3. 已知函数()()f x x x a b =-+，若函数(1)y f x =+为偶函数，且()10f =，则b 的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2【答案】C 【解析】 【分析】由(1)y f x =+为偶函数，所以()y f x =的对称轴为1x =-，再结合()10f =，即可求得,a b 的值.【详解】因为(1)y f x =+为偶函数， 所以()y f x =的对称轴为1x =.又因为()10f =，所以()y f x =的顶点坐标为(1,0). 由222()24a a f x x ax b x b ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭，得12(1)10af a b ⎧=⎪⎨⎪=-+=⎩， 解得21a b =⎧⎨=⎩，故选：C.4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2121a a +=，2a 与4a 的等差中项为2，则4S 的值为（ ）A. 6B. -2C. -2或6D. 2或6【答案】C 【解析】 【分析】根据题中已知条件及等差数列的性质求得首项a 1和公差d ，再利用等差数列前n 项和公式，求得4S 的值.【详解】设{}n a 公差为d ，则由2122414a a a a ⎧+=⎨+=⎩得()()()21111134a a d a d a d ⎧++=⎪⎨+++=⎪⎩，解得101a d =⎧⎨=⎩或185a d =-⎧⎨=⎩，10,1a d ==时，401236S =+++=， 18,5a d =-=时，48(3)272S =-+-++=-．故选：C ．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式基本量的计算以及等差数列前n 项和公式，属于基础题.5. 已知3sin 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）36 C.13D. 13-【答案】D 【解析】 【分析】 换元3x πα=+，可得出3x πα=-，利用诱导公式以及二倍角余弦公式可求得所求代数式的值.【详解】换元3x πα=+，可得3x πα=-，且3sin 3x =， 所以，()21cos 2cos 2cos 2cos 22sin 13333x x x x πππαπ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=-=-=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：D.6. 已知函数()y f x =的部分图象如图，则()f x 的解析式可能是（ ）A. ()tan f x x x =+B. ()sin 2f x x x =+ C. 1()sin 22f x x x =- D. 1()cos 2f x x x =-【答案】C 【解析】 【分析】首先通过函数的定义域排除选项A ，再通过函数的奇偶性排除选项D,再通过函数的单调性排除选出B ，确定答案.【详解】由图象可知，函数的定义域为R ，而函数()tan f x x x =+的定义域不是R,所以选项A 不符合题意；由图象可知函数是一个奇函数，选项D 中，存在实数x ， 使得1()cos ()2f x x x f x -=--≠-，所以函数不是奇函数，所以选项D 不符合题意； 由图象可知函数是增函数，选项B ，()12cos 2[1,3]f x x =∈-'+，所以函数是一个非单调函数，所以选项C 不符合题意；由图象可知函数是增函数，选项C ，()1cos 20f x x =-≥，所以函数是增函数，所以选项C 符合题意. 故选：C【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7. 已知min{,}m n 表示实数m ，n 中的较小数，若函数124()min 3log ,log f x x x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，当0a b <<时，有()()f a f b =，则a b 的值为（）A. 6B. 8C. 9D. 16【答案】B 【解析】 【分析】首先画出函数()f x 的图象，由图象确定当有()()f a f b =时，即214log log 3a b ++，再根据对数运算公式化简求值.【详解】作出函数()f x 的图象，如图中实线所示，由()()f a f b =可知，214log log 3a b =+，所以24log log 3a b +=，即222log log log ()3a b a b +==，所以8a b =.故选：B【点睛】关键点点睛：本题一道数形结合分析问题的典型题型，关键是理解min{,}m n ，并画出函数()f x 的图象，属于中档题型.8. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，*1(1),N 2n n n n S a n =--∈，则12100S S S +++=（ ）A. 10011132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦B. 9811132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C. 5011132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦D. 4911132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】由递推式求出数列的首项,当2n ≥时分n 为偶数和奇数求出n a ,代入*1(1),2n n n n S a n N =--∈后分组,然后利用等比数列的前n 项和公式求解. 【详解】由*1(1),2nn a n S a n =--∈N ， 当1n =时，1112S a =--，得114a =-； 当2n ≥时，111111(1)(1)22----=-=----+nn n n n n n n n a S S a a ，即11(1)(1)2n n n n n n a a a -=-+-+. 当n 为偶数时，11(2)2n n a n -=-≥，所以112n n a +=-（n 为正奇数）， 当n 为奇数时，11111112(2)2222n n n n n n a a -+-⎛⎫=-+=--+= ⎪⎝⎭，所以12n n a =（n 为正偶数），所以122211,22a a -==，所以412342411112,,2222a a a a -+=⨯=-==，所以34991004310010011112,,,2222a a a a -+=⨯=⋯-==，所以991001009911222a a -+=⨯=.因为123100S S S S ++++()()()()12345699100a a a a a a a a =-++-++-+++-+-2100111222⎛⎫+++⎪⎝⎭359911112222=++++2100111222⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭501001111112422111142⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=--10011132⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：A【点晴】方法点睛：本题考查已知数列n S 与n a 的关系式，求通项公式，分组求和，一般数列求和包含：1、公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2、错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3、裂项相消法求和，适用于能变形为(1)()n a f n f n =+-；4、分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5、倒序相加法求和，适用于倒序相加后，对应的两项的和是常数的数列.二､多选题：本题共4小题，每小题5分共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. （多选题）等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（ ） A. 0d >B. 10a <C. 当5n =时n S 最小D. 0n S >时n 的最小值为8【答案】ABD 【解析】 【分析】由题设可得基本量1a d ，的关系，再把n S 看成关于n 的二次函数. 【详解】由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为753a a =，可得()11634a d a d +=+，解得13a d =-，又由等差数列{}n a 是递增数列，可知0d >，则10a <，故,A B 正确； 因为22172222n d d d d S n a n n n ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭， 由7722d nn d -=-=可知，当3n =或4时n S 最小，故C 错误， 令27022n d dS n n =->，解得0n <或7n >，即0n S >时n 的最小值为8，故D 正确. 故选：ABD【点睛】数列的函数观，通项n a kn b =+是关于n 的一次函数；前n 项和2n S An Bn =+是关于n 的 二次函数.10. 设函数()y f x =和()y f x =-，若两函数在区间[],m n 上的单调性相同，则把区间[],m n 叫做()y f x =的“稳定区间”，已知区间[]1,2020为函数12xy a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的“稳定区间”，则实数a 的可能取值是（ ）A 32-B. 56-C. 0D.132【答案】AB 【解析】 【分析】首先求函数()f x -，根据两个函数同为增函数或同为减函数，确定绝对值里面的正负，根据恒成立求a 的取值范围.【详解】由题意得1()2xf x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()2xf x a -=+在区间[1,2020]上同增或同减.若同增，则10,220x x a a ⎧⎛⎫+⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+⎩在区间[1,2020]上恒成立，即1,22,a a ⎧≤⎪⎨⎪≥-⎩所以122a --.若同减，则10,220x x a a ⎧⎛⎫+⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+⎩在区间[1,2020]上恒成立，即202020201,22,a a ⎧⎛⎫-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-⎩无解， 所以A ，B 选项符合题意. 故选：AB【点睛】思路点睛：本题考查指数函数单调性的综合应用，本题的关键是读懂“稳定区间”的定义，同时讨论函数同为增函数或同为减函数，去绝对值后转化为恒成立问题.11. 已知函数()sin (03)4f x x πωω⎛⎫=+< ⎪⎝⎭图象的一条对称轴为直线8x π=，函数()()2cos 24g x f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则下列关于函数()g x 的说法错误的是（ ）A. 直线8x π=是()g x 图象的一条对称轴B. ()g x 的最小正周期为πC. 点,08π⎛⎫⎪⎝⎭是()g x 图象的一个对称中心 D. ()g x 5【答案】AC 【解析】 【分析】 由8x π=为()f x 的一条对称轴，结合ω的取值范围，即可求出ω的值，从而求出()g x 的解析式，再利用辅助角公式化简，结合余弦函数的性质计算可得；【详解】解：由8x π=为()f x 的一条对称轴，得842k ππωππ+=+⋅，即28,k k Z ω=+∈.又因为(]0,3ω∈，所以2ω=，所以()sin 22cos 244g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3222x x =，()5)g x x ϕ+其中1tan 3ϕ=.易知,4k k πϕπ≠+∈Z ，且3,4k k πϕπ≠+∈Z ，故A ，C 错误，B ，D 正确. 故选：AC12. 已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少存在两个不同的12,x x 满足()()121f x f x =，且()f x 在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上具有单调性，点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭和直线712x π=分别为()f x 图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（ ） A. ()f x 在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性无法判断B. ()f x 图象的一个对称中心为59,06π⎛⎫⎪⎝⎭C. ()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值的和为12D. 将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移6π个单位得到()y g x =的图象，则()cos g x x =-【答案】BC 【解析】 【分析】根据条件求出()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后利用正弦型函数的图象及其性质逐一判断即可. 【详解】由题意得70,,6122x k k ωπωπϕϕπ-+=+=+∈Z ，即4132k ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又()f x 在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少存在两个最大值或最小值，且在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上具有单调性，所以5123122272326T T ππππωππππω⎧⎛⎫--=≤= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪--=≥= ⎪⎪⎝⎭⎩，所以121275ω≤≤ 所以只有1k =时满足，此时2,3πωϕ==，即()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 因为62x ππ<<，所以242333x πππ<+<，所以()f x 在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故A 错误； 由5922063πππ⨯+=，所以59,06π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，故B 正确； 因为44x ππ-，所以min 52,()6364x f x f ππππ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭ max 1sin ,()sin 162122f x f πππ⎛⎫⎛⎫=-=-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以最大值与最小值之和为12，故C 正确；将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，再向左平移6π个单位，得到sin sin cos 632y x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，即()cos g x x =，故D 错误. 综上，BC 正确 故选：BC【点睛】关键点睛：解答本题的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质，细心计算即可得解.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知等比数列{}n a 的前n 项和2n n S a b =+⋅，且52,9,a a 成等差数列，则-a b 的值为___________. 【答案】-2 【解析】 【分析】根据等比数列{}n a 的前n 项和2nn S a b =+⋅，利用11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，求得n a ，然后再52,9,a a 成等差数列求解.【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和2n n S a b =+⋅，当2n ≥时；()()111222n n n n n n a S S a b a b b ---=-=+⋅-+⋅=⋅； 当1n =时，01122a S a b b ==+=⋅， 所以0a b +=①， .又52,9,a a 成等差数列，所以2518a a +=，即42218b b +⋅=② .由①②解得1,1a b =-=， 所以2a b -=-. 故答案为：-214. 已知函数()sin cos (0,0)f x a x x a ωωω=+>>的最大值为2.若函数()f x 在区间[]0,7上至少取得两次最大值，则ω的最小整数值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】先将函数转化为2()sin cos 1sin()f x a x x a x ωωωϕ=+=++，根据()f x 的最大值为2，212a +=求得a ，然后根据()f x 在区间[]0,7上至少取得两次最大值确定ω的范围即可. 【详解】因为2()sin cos 1sin()f x a x x a x ωωωϕ=+=++， 所以()f x 212a +=， 解得3a =3a =舍去)，所以()3cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当2,62x k k ππωπ+=+∈Z 时，函数()f x 取得最大值，当0x >时，取得前两个最大值时，k 分别为0和1， 当1k =时，由262x ππωπ+=+，得773x πω=，所以3πω，所以ω的最小整数值为2.【点睛】方法点睛：解决三角函数图象与性质综合问题的方法：先将y ＝f (x )化为y ＝a sin x ＋b cos x 的形式，然后用辅助角公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式，再借助y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．15. 记函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，,0,()1,0.kx x g x x x≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩若方程()()f x g x =在区间[]5,5-上有7个不同的实数根，则实数k 的取值范围为___________.【答案】11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】在同一直角坐标系内，画出()f x ，()g x 的图像，结合图形，由题中条件，即可得出结果. 【详解】在同一直角坐标系内，作出函数()f x ，()g x 的图象，如图所示，由图像可得，函数()y g x =与()y f x =在区间[5,0)-内有3个交点， 即方程()()f x g x =在区间[5,0)-上有3个实根，故方程()()f x g x =在区间[0,5]上有4个不同实根，即只需()y g x =与()y f x =在区间[]0,5内有4个交点，当直线y kx =经过点()4,1时，14k =，经过点()5,1时，15k =. 若在区间[0,5]上有4个根，则11,54k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】方法点睛：已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)的常用方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.16. 在ABC ∆中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22b a ac -=，则BA=__________；cos b A aa b+的取值范围为___________. 【答案】 (1). 2 (2). 35,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】由余弦定理可转化条件为2cos c a B a -=，再由正弦定理及三角恒等变换即可得BA；再由正弦定理可得2cos 12cos 2cos b A a A a b A+=+，换元后结合导数即可得解. 【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2222cos b a c ac B -=-， 所以22cos c ac B ac -⋅=，即2cos c a B a -=，由正弦定理得sin 2sin cos sin C A B A -=，即sin()2sin cos sin A B A B A +-=， 所以sin cos cos sin 2sin cos sin A B A B A B A +-=即sin()sin B A A -=， 因为(),0,A B π∈，所以B A A -=或()B A A π-+=(舍去)，所以2B A =，即2BA=； 因为3(0,)A B A π+=∈，所以0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以cos sin cos sin sin 2cos sin sin sin sin sin 2b A a B A A A A Aa b A B A A +=+=+=212cos 2cos +A A， 令1cos ,12x A ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则211()2,,122f x x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，322181()4022x f x x x x -'=-=>，所以()f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又135,(1)222f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以35(),22f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：2；35,22⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用正弦、余弦定理对条件合理变形，再利用换元、导数确定函数的取值范围.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 如图，在圆内接ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足cos cos 2cos a C c A b B +=.（1）求B ；（2）若点D 是劣弧AC 上一点，AB =2，BC =3，AD =1，求四边形ABCD 的面积 【答案】（1）3B π=；（2）3【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简即可．（2）在ABC ，利用余弦定理求出AC ，已知B ，可得ADC ∠，再余弦定理求出DC ，即可ABC 和ADC 面积，可得四边形ABCD 的面积．【详解】解：（1）由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=， 得sin 2sin cos B B B =. 因为0,sin 0B B π<<≠，所以1cos 2B =，即3B π=.（2）在ABC 中AB =2，BC =3，3B π=，222249cos 3212AB BC AC AC AB BC π+-+-==⋅，解得7AC =.在ADC 中，7,1AC AD ==，A ，B ，C ，D 在圆上， 因为3B π=，所以23ADC ∠=π， 所以22222171cos 3222AD DC AC DC AD DC DC π+-+-===-⋅， 解得2DC =或3DC =-（舍去）， 所以四边形ABCD 的面积121sin sin 232323ABCADCS SSAD DC AB BC ππ=+=⋅+⋅=. 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.18. 已知数列{}n a 的前n 项和为1,1,0n n S a a =>2211n n n S a S λ++=-,其中λ为常数.(1)证明: 12n n S S λ+=+；(2)是否存在实数λ,使得数列{}n a 为等比数列,若存在,求出λ;若不存在,说明理由. 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】 分析：（1）11n n n a S S ++=-，2211n n n S a S λ++=-，∴()2211n n n n S S S S λ++=--，整理后即得结果；（2）由（1）可得()122n n a a n +=≥，检验n=1也适合即可. 详解：（1）11n n n a S S ++=-，2211n n n S a S λ++=-，()2211n n n n S S S S λ++∴=--，()1120n n n S S S λ++∴--=，10,0n n a S +∴>∴>， 120n n S S λ+∴--=； 12n n S S λ+∴=+，（2）12n n S S λ+=+，()122n n S S n λ+=+≥，相减得：()122n n a a n +=≥，{}n a ∴从第二项起成等比数列，212S S λ=+即2112a a a λ+=+， 210a λ∴=+>得1λ>-，()21,12,n n a λ-+⎧∴=⎨⎩ ,1,2,n n =≥若使{}n a 是等比数列则2132a a a =，()()2211λλ∴+=+，1λ∴=-（舍）或1λ=经检验得符合题意．点睛：已知n S 求n a 的一般步骤：（1）当1n =时，由11a S =求1a 的值；（2）当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，求得n a 的表达式；（3）检验1a 的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示n a ；（4）写出n a 的完整表达式. 19. 在①3ANBN=，②43AMN S =△③AC AM =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解.问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3B π=，8c =，点M ，N 是BC 边上的两个三等分点，3BC BM =，____________，求AM 的长和ABC 外接圆半径.注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.【答案】答案见解析 【解析】 【分析】若选择条件①，BM t =，用余弦定理2222cos AN AB BN AB BN B =+-⋅，求得t ，再用余弦定理求得AM ，AC ，最后由正弦定理可得外接圆半径；若选择条件②，由三角形面积求得BC ，得BM ，然后用余弦定理求得AM ，AC ，利用正弦定理求得外接圆半径；若选择条件③，设BM t =，用余弦定理表示出,AM AC 后解得t ，然后同样由余弦定理求得,AM AC ，用正弦定理求得外接圆半径．【详解】若选择条件① 因为3ANBN =，所以23AN BM= 设BM t =，所以23AN t =；又60B =︒，8c =， 所以在ABN 中，2222cos AN AB BN AB BN B =+-⋅， 即222(23)84282cos 60t t t =+-⨯⨯︒， 即：2280t t +-=， 所以2t =或-4（舍去）.在ABM 中，22222cos 84282cos6052AM AB BM AB BM B =+-⋅=+⨯︒-⨯=， 所以213AM =，同样222222cos 86286cos6052AC AB BC AB BC B =+-⋅=+⨯︒-⨯=， 所以213AC =由正弦定理可得：2134392sin sin 60332b AC R B ====︒， 所以外接圆半径为239R =. 若选择条件②因为点M ，N 是BC 边上的三等分点，且43AMN S =△， 所以123ABCS=因为60B =︒，所以113123sin 60822ABC S AB BC BC ==⋅︒=⨯⨯△ 所以6BC =，所以2BM =.在ABM 中，22222cos 84282cos6052AM AB BM AB BM B =+-⋅=+⨯︒-⨯=， 所以213AM =，同样222222cos 86286cos6052AC AB BC AB BC B =+-⋅=+⨯︒-⨯=， 所以213AC =，由正弦定理可得：2134392sin sin 60332b AC R B ====︒，所以外接圆半径为239R =. 若选择条件③设BM t =，则3BC t =， 在ABM 中，2222cos AM AB BM AB BM B =+-⋅2222828cos6088t t t t =+-⨯=+-︒，同样在ABC 中，2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅22289283cos6064924t t t t =+-⨯⨯︒=+-，因为AC AM =，所以2228864924t t t t +-=+-， 所以2t =，在ABM 中，2222cos AM AB BM AB BM B =+-⋅284282cos6052=+⨯︒-⨯=， 所以213AM =，同样2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2286286cos6052=+-⨯⨯=︒， 所以213AC =由正弦定理可得：2134392sin sin 60332b AC R B ====︒， 所以外接圆半径为239R =. 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，掌握两个定理的应用是解题关键．属于中档题．20. 设函数223223()3,()33,22a a f x x x ax g x ax x a ⎛⎫=-+=-++-∈ ⎪⎝⎭R . （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若函数[]()23()()()0,222a x f x g x x x ϕ=--∈在0x =处取得最大值，求a 的取值范围. 【答案】（1）当3a ≥时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；当3a <时，()f x 的单调递增区间为93,1a ⎛--∞- ⎝⎭和931a⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为93931a a ⎛---+ ⎝⎭；（2）6,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【解析】 【分析】（1）先对()f x 求导，对导函数分3a ≥和3a <两种情况讨论即可. （2）因为函数()x ϕ在0x =处取得最大值，所以[]23223133(0)()(1)3,0,22222a x ax a x x a x ϕϕ==+--+∈，利用分离参数法转化为不等式恒成立问题，求函数的最值即可.【详解】解：（1）()22()36313f x x x a x a '=-+=-+-， 当3a ≥时，()0f x '≥，所以()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间； 当3a <时，令()0f x '>，得9313a x -<-或9313ax ->+， 所以()f x 的单调递增区间为93,1a ⎛--∞ ⎝⎭和931a⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭令()0f x '<，得939311a ax --<<， 所以()f x 的单调递减区间为93931a a ⎛-- ⎝⎭. 综上，当3a ≥时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；当3a <时，()f x 的单调递增区间为93,1a ⎛--∞- ⎝⎭和931a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为93931a a ⎛---+ ⎝⎭. （2）由题意得[]322133()(1)3,0,2222x ax a x x a x ϕ=+--+∈.因为函数()x ϕ在0x =处取得最大值，所以[]23223133(0)()(1)3,0,22222a x ax a x x a x ϕϕ==+--+∈，即[]3213(1)30,0,222ax a x x x +--∈， 当0x =时，显然成立. 当(]0,2x ∈时，得()21313022ax a x +--≤， 即()()()()()22323232322221+2x x ax xx x x x ++==++-+-+--. 令(]22,4t x =+∈，则2()1,(2,4]th t t t =--∈， ()2210h t t '=+>恒成立，所以 2()1,(2,4]t h t t t =--∈是增函数，5()0,2h t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3625(2)12x x +--+，即65a ， 所以a 的取值范围为6,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】思路点睛：对含参数的函数求单调区间，根据导函数分类讨论是解决这类题的一般方法；已知函数的最大值求参数的取值范围，往往转化为不等式恒成立问题，如果能分离参数的话，分离参数是解决这类题的常用方法，然后再求函数的最值即可.21. 甲､乙两名同学在复习时发现他们曾经做过的一道数列题目因纸张被破坏导致一个条件看不清，具体如下等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知____________， （1）判断123,,S S S 的关系并给出证明.（2）若133a a -=，设12n n n b a =，{}n b 的前n 项和为n T ，证明43n T <.甲同学记得缺少的条件是首项1a 的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是132,,S S S 成等差数列.如果甲､乙两名同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题.【答案】补充条件见解析；（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）可补充公比q 的值，由等比数列的通项公式和等差中项的性质，计算即可得所求得结论；（2）由等比数列的通项公式求得2132nn b n ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，再利用乘公比错位相减求和结合等比数列求和公式，不等式的性质即可得证. 【详解】（1）补充的条件为12q =-， 123,,S S S 的关系为132,,S S S 成等差数列.证明如下： 若12q =-则11S a =， 2121111122S a a a a a =+=-=，31231111113244S a a a a a a a =++=-+=，可得1232S S S +=，因此132,,S S S 成等差数列. （2）证明：由133a a -=，可得11134a a -=， 解得1114,42n n a a -⎛⎫==⨯- ⎪⎝⎭11241212232n n n nn n nb a -⎛⎫==⨯-=⋅ ⎪⎝⎭，则1232111112332222n nT n ⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅⎪⎝⎭， 2341121111123232222n n T n +⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅⎪⎝⎭， 上面两式相减可得234111111211111121221232222223212n n n n n T n n ++⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+++++-⋅=-⋅ ⎪⎝⎭⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. 整理可得12242213232n n n n n T +++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为*12N ,112n n n ++∈-<，所以43n T <.【点睛】关键点点睛：本题得关键点是利用132,,S S S 成等差数列求出等比数列{}n a 的公比12q =-才能求出232n n nb =⋅，在利用乘公比错位相减求和时要仔细，必要时可以用万能公式建议求和的结果，再利用不等式的性质即可得证. 22. 定义可导函数()y f x =在x 处的弹性函数为()()x f x f x '⋅，其中()'f x 为()f x 的导函数．在区间D 上，若函数()f x 的弹性函数值大于1，则称()f x 在区间D 上具有弹性，相应的区间D 也称作()f x 的弹性区间．（1）若()1xr x e x =-+，求()r x 的弹性函数及弹性函数的零点；（2）对于函数()(1)ln xf x x e x tx =-+-（其中e 为自然对数的底数） （ⅰ）当0t =时，求()f x 的弹性区间D ；（ⅱ）若()1f x >在（i ）中的区间D 上恒成立，求实数t 的取值范围． 【答案】（1）()(1)()1x x x xr x e r x e x '⋅=-⋅-+，0x =； （2）（ⅰ）(1,)+∞，（ⅱ）(,1]-∞-. 【解析】 【分析】（1）由()1xr x e x =-+，可得()1xr x e '=-，根据题设条件，即可求得()r x 的弹性函数及弹性零点；（2）（ⅰ）函数()(1)ln xf x x e x =-+，可得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，函数()f x 是弹性函数21()1()(1)ln x xx x e f x f x x e x'+⋅=>-+，得出不等式组，进而求得函数的弹性区间； （ⅱ）由()1f x >在(1,)+∞上恒成立，可得1ln 1(1)xx t e x x-<-+在1x >上恒成立，设1ln 1()(1)x x h x e x x-=-+，利用导数求得函数的单调性与最值，进而求得t 的取值范围.【详解】（1）由()1xr x e x =-+，可得()1xr x e '=-， 则()(1)()1x x x x r x e r x e x '⋅=-⋅-+， 令()(1)0()1x x x xr x e r x e x '⋅=-⋅=-+，解得0x =， 所以()r x 弹性函数的零点为0x =.（2）（ⅰ）当0t =时，函数()(1)ln xf x x e x =-+，可得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为211()(1)ln (1)x xxxx e f x x e x e x e x x+'=-+=+-+=，函数()f x 是弹性函数21()1()(1)ln x x x x e f x f x x e x'+⋅=>-+， 此不等式等价于下面两个不等式组：（Ⅰ）()21ln 0......1(1)ln .......x x x x e x x e x e x ⎧-+>⎪⎨+>-+⎪⎩①② 或（Ⅱ）()21ln 0.....1(1)ln . (x)x xx e x x e x e x ⎧-+<⎪⎨+<-+⎪⎩③④， 因为①对应的函数就是()f x ， 由0fx ，所以()f x 在定义域上单调递增，又由(1)0f =，所以①的解为1x >；由可得()221[(1)ln ](1)1ln 0xxxg x x e x e x x x e x =+--+=-++->，且()3221()1(21)(1)x xxx x e g x x e x x e x x+-'=-+-+-=在1x >上恒为正，则()g x 在1x >上单调递增，所以()()10g x g >>，故②在1x >上恒成立，于是不等式组（Ⅰ）的解为1x >， 同①的解法，求得③的解为01x <<；因为01x <<时，④210,(1)ln 0xxx e x e x +>-+<，所以不成立， 所以不等式（Ⅱ）无实数解，综上，函数()f x 的弹性区间(1,)D =+∞.（ⅱ）由()1f x >在(1,)+∞上恒成立，可得1ln 1(1)xx t e x x-<-+在1x >上恒成立， 设1ln 1()(1)x x h x e x x -=-+，则22(1)2ln ()x x x e xh x x-++-'=， 而()2(1)2ln 1xx x e x g x -++-=+，由（ⅰ）可知，在1x >上恒为正，所以()0h x '>，函数()h x 在(1,)+∞上单调递增，所以()()11h x h >=-， 所以1t ≤-，即实数t 的取值范围是(,1]-∞-.【点睛】本题主要考查了函数的弹性函数及弹性函数的零点的求法，利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，试题综合性强，属于难题．。
2019-2020学年人教A版河北省衡水中学高三第二学期第一次调研(理科)数学试卷 含解析
2019-2020学年高三第二学期一调数学试卷（理科）一、选择题1．已知全集U＝R，集合A＝{y|y＝x2+2，x∈R}，集合B＝{x|y＝lg（x﹣1）}，则阴影部分所示集合为（）A．[1，2]B．（1，2）C．（1，2]D．[1，2）2．已知复数（a∈R，i为虚数单位），若复数z的共轭复数的虚部为，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若a＝π﹣2，b＝a a，，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c4．函数（其中e为自然对数的底数）图象的大致形状是（）A．B．C．D．5．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（）A．B．C．D．6．已知△ABC外接圆的圆心为O，若AB＝3，AC＝5，则的值是（）A．2B．4C．8D．167．给出下列五个命题：①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；②命题“∀x＞0，有e x≥1”的否定为“∃x0≤0，有＜1”；③“平面向量与的夹角为钝角”的充分不必要条件是“”；④在锐角△ABC中，必有sin A+sin B＞cos A+cos B；⑤{a n}为等差数列，若a m+a n＝a p+a q（m，n，p，q∈N*），则m+n＝p+q其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．48．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），恒为正数的f（x）符合f（x）＜f′（x）＜2f （x），则的取值范围为（）A．（e，2e）B．C．（e，e3）D．9．已知点A（0，2），抛物线C：y2＝4x的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|＝（）A．2：B．1：2C．1：D．1：310．定义为n个正数p1，p2，…p n的“均倒数”．若已知数列{a n}的前n 项的“均倒数”为，又，则＝（）A．B．C．D．11．对于任意的实数x∈[1，e]，总存在三个不同的实数y∈[﹣1，5]，使得y2xe1﹣y﹣ax﹣lnx ＝0成立，则实数a的取值范围是（）A．（]B．[）C．（0，]D．[）12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1H⊥平面AB1D1，垂足为H，给出下面结论：①直线A1H与该正方体各棱所成角相等；②直线A1H与该正方体各面所成角相等；③过直线A1H的平面截该正方体所得截面为平行四边形；④垂直于直线A1H的平面截该正方体，所得截面可能为五边形，其中正确结论的序号为（）A．①③B．②④C．①②④D．①②③二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为．14．在数列{a n}中，若函数f（x）＝sin2x+2cos2x的最大值是a1，且a n＝（a n+1﹣a n﹣2）n﹣2n2，则a n＝．15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是，共中a、b、c是△ABC的内角A，B，C的对边．若sin C＝2sin A cos B，且b2，2，c2成等差数列，则△ABC面积S的最大值为16．过曲线的左焦点F1作曲线的切线，设切点为M，延长F1M交曲线于点N，其中C1，C3有一个共同的焦点，若，则曲线C1的离心率为．三、解答题：（共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝4，b＝2，2c cos C ＝b，D，E分别为线段BC上的点，且BD＝CD，∠BAE＝∠CAE．（1）求线段AD的长；（2）求△ADE的面积．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，∠ADP ＝90°，平面ADP⊥平面ABCD，点F为棱PD的中点．（Ⅰ）在棱AB上是否存在一点E，使得AF∥平面PCE，并说明理由；（Ⅱ）当二面角D﹣FC﹣B的余弦值为时，求直线PB与平面ABCD所成的角．19．如图，A为椭圆的左顶点，过A的直线交抛物线y2＝2px（p＞0）于B、C 两点，C是AB的中点．（1）求证：点C的横坐标是定值，并求出该定值；（2）若直线m过C点，且倾斜角和直线的倾斜角互补，交椭圆于M、N两点，求p的值，使得△BMN的面积最大．20．某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查．调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段．在随机问卷阶段，A，B两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行了数据统计，具体情况如表：组别年龄A组统计结果B组统计结果经常使用单车偶尔使用单车经常使用单车偶尔使用单车[15，25）27人13人40人20人[25，35）23人17人35人25人[35，45）20人20人35人25人（1）先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去．①求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数；②为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会，会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份（其余人员仅赠送骑行优惠券）．已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自A组，求A组这4人中得到礼品的人数X的分布列和数学期望；（2）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄（记作m岁）有关”的结论．在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄m应取25还是35？请通过比较K2的观测值的大小加以说明．参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．21．已知函数f（x）＝e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）＝0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．（二）选考题，满分共10分，请考生在22.23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1过原点且倾斜角为α（0）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ．在平面直角坐标系xOy中，曲线C2与曲线C1关于直线y＝x对称．（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l2过原点且倾斜角为，设直线l1与曲线C1相交于O，A两点，直线l2与曲线C2相交于O，B两点，当α变化时，求△AOB面积的最大值．[选修4--5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax+1|+|2x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞3的解集；（2）若0＜a＜2，且对任意x∈R，恒成立，求a的最小值．参考答案一、选择题（共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知全集U＝R，集合A＝{y|y＝x2+2，x∈R}，集合B＝{x|y＝lg（x﹣1）}，则阴影部分所示集合为（）A．[1，2]B．（1，2）C．（1，2]D．[1，2）解：集合A＝{y|y＝x2+2，x∈R}＝[2，+∞），集合B＝{x|y＝lg（x﹣1）}＝（1，+∞），图形阴影部分为∁U A∩B＝（1，2），故选：B．2．已知复数（a∈R，i为虚数单位），若复数z的共轭复数的虚部为，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵＝，∴的虚部为﹣，由﹣＝﹣，得a＝2．∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），位于第一象限．故选：A．3．若a＝π﹣2，b＝a a，，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c解：由题意0＜a＜1，故a＜a a，故a a＞，即b＞c，而c＝＞a＝π﹣2，故选：B．4．函数（其中e为自然对数的底数）图象的大致形状是（）A．B．C．D．解：f（x）＝（﹣1）cos x＝cos x，f（﹣x）＝cos（﹣x）＝cos x＝﹣f（x）．∴f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，C；当0＜x＜时，e x＞1，cos x＞0，∴f（x）＝cos x＜0，故选：B．5．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（）A．B．C．D．解：在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为：P＝＝．故选：D．6．已知△ABC外接圆的圆心为O，若AB＝3，AC＝5，则的值是（）A．2B．4C．8D．16解：如图，取AC中点D，AB中点E，并连接OD，OE，则：OD⊥AC，OE⊥AB；∴，；∴＝＝＝8．故选：C．7．给出下列五个命题：①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；②命题“∀x＞0，有e x≥1”的否定为“∃x0≤0，有＜1”；③“平面向量与的夹角为钝角”的充分不必要条件是“”；④在锐角△ABC中，必有sin A+sin B＞cos A+cos B；⑤{a n}为等差数列，若a m+a n＝a p+a q（m，n，p，q∈N*），则m+n＝p+q其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4解：①若p∨q为真命题的条件是p、q至少有一个是真命题，而p∧q为真命题的条件为p、q两个都是真命题，所以当p、q一个真一个假时，p∧q为假命题，所以①不正确；②命题“∀x＞0，有e x≥1”的否定为“∃x0＞0，有＜1”；因此②不正确；③“平面向量与的夹角为钝角”⇒“”；反之不成立，平面向量与的夹角可能为平角．∴“平面向量与的夹角为钝角”的必要不充分条件是“”；因此不正确．④因为在锐角三角形中，∴π＞A+B＞，有＞A＞﹣B＞0，所以有sin A＞sin（﹣B）＝cos B，即sin A＞cos B，同理sin B＞cos A，故sin A+sin B＞cos A+cos B，所以④正确；⑤若等差数列{a n}为常数列，则m+n＝p+q不一定成立，∴命题不正确．综上可得：只有④正确．故选：A．8．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），恒为正数的f（x）符合f（x）＜f′（x）＜2f （x），则的取值范围为（）A．（e，2e）B．C．（e，e3）D．解：令g（x）＝，x∈（0，+∞），∵∀x∈（0，+∞），f（x）＜f′（x），∴g′（x）＝＝＞0，∴g（x）＝在区间（0，+∞）上单调递增，∴g（1）＝＜＝g（2），∴＜①；再令h（x）＝，x∈（0，+∞），∵∀x∈（0，+∞），f′（x）＜2f（x）恒成立，∴h′（x）＝＝＜0，∴函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，∴h（1）＝＞＝h（2），∴＞②，综上①②可得：＜＜．故选：D．9．已知点A（0，2），抛物线C：y2＝4x的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|＝（）A．2：B．1：2C．1：D．1：3解：∵抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），点A坐标为（0，2），∴抛物线的准线方程为l：x＝﹣1，直线AF的斜率为k＝﹣2，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|＝|PM|，∵Rt△MPN中，tan∠NMP＝﹣k＝2，∴＝2，可得|PN|＝2|PM|，得|MN|＝＝|PM|，因此可得|FM|：|MN|＝|PM|：|MN|＝1：．故选：C．10．定义为n个正数p1，p2，…p n的“均倒数”．若已知数列{a n}的前n 项的“均倒数”为，又，则＝（）A．B．C．D．解：由已知得，∴a1+a2+…+a n＝n（2n+1）＝S n当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝4n﹣1，验证知当n＝1时也成立，∴a n＝4n﹣1，∴，∴∴＝+（）+…+（）＝1﹣＝．故选：C．11．对于任意的实数x∈[1，e]，总存在三个不同的实数y∈[﹣1，5]，使得y2xe1﹣y﹣ax﹣lnx ＝0成立，则实数a的取值范围是（）A．（]B．[）C．（0，]D．[）解：y2xe1﹣y﹣ax﹣lnx＝0可化为：，设g（y）＝（﹣1≤y≤5），则g′（y）＝，即函数g（y）在（﹣1，0），（2，5）为减函数，在（0，2）为增函数，又g（﹣1）＝e2，g（2）＝，g（5）＝，设f（x）＝a+（x∈[1，e]），f′（x）＝，即函数f（x）在[1，e]为增函数，所以a≤f（x）≤a，对于任意的实数x∈[1，e]，总存在三个不同的实数y∈[﹣1，5]，使得y2xe1﹣y﹣ax﹣lnx＝0成立，即对于任意的实数x∈[1，e]，总存在三个不同的实数y∈[﹣1，5]，使得成立，即a+∈[，）对于任意的实数x∈[1，e]恒成立，即，即，故选：B．12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1H⊥平面AB1D1，垂足为H，给出下面结论：①直线A1H与该正方体各棱所成角相等；②直线A1H与该正方体各面所成角相等；③过直线A1H的平面截该正方体所得截面为平行四边形；④垂直于直线A1H的平面截该正方体，所得截面可能为五边形，其中正确结论的序号为（）A．①③B．②④C．①②④D．①②③解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1H⊥平面AB1D1，垂足为H，连接A1C，可得A1C⊥AB1，A1C⊥AD1，即有A1C⊥平面AB1D1，直线A1H与直线A1C重合，直线A1H与该正方体各棱所成角相等，均为arctan，故①正确；直线A1H与该正方体各面所成角相等，均为arctan，故②正确；过直线A1H的平面截该正方体所得截面为A1ACC1为平行四边形，故③正确；垂直于直线A1H的平面与平面AB1D1平行，截该正方体，所得截面为三角形或六边形，不可能为五边形．故④错误．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为．解：∵到点O1的距离等于1的点构成一个半个球面，到点O2的距离等于1的点构成一个半个球面，两个半球构成一个整球，如图，点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为：P＝＝＝1﹣＝；故答案为：14．在数列{a n}中，若函数f（x）＝sin2x+2cos2x的最大值是a1，且a n＝（a n+1﹣a n﹣2）n﹣2n2，则a n＝2n2+n．解：f（x）＝sin2x+2cos2x＝3sin（2x+φ），当2x+φ＝2kπ+，k∈Z，f（x）取得最大值3，∴a1＝3．a n＝（a n+1﹣a n﹣2）n﹣2n2，∴na n+1＝（n+1）a n+2n2+2n，﹣＝2，∴a n＝n[3+2（n﹣1）]＝2n2+n，故答案为：2n2+n．15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是，共中a、b、c是△ABC的内角A，B，C的对边．若sin C＝2sin A cos B，且b2，2，c2成等差数列，则△ABC面积S的最大值为解：sin C＝2sin A cos B，∴c＝2a cos B．因此c＝2a•，∵b2，2，c2成等差数列∴b2+c2＝4，即有a2＝b2＝4﹣c2，因此S＝＝＝，当c2＝即c＝时，S取得最大值×＝，即△ABC面积S的最大值为，故答案为：．16．过曲线的左焦点F1作曲线的切线，设切点为M，延长F1M交曲线于点N，其中C1，C3有一个共同的焦点，若，则曲线C1的离心率为．解：设双曲线的右焦点为F，则F的坐标为（c，0），∵曲线C1与C3有一个共同的焦点，∴y2＝4cx，∵，∴＝，则M为F1N的中点，∵O为F1F的中点，M为F1N的中点，∴OM为△NF1F的中位线，∴OM∥PF，∵|OM|＝a，∴|NF|＝2a又NF⊥NF1，|F1F|＝2c，∴|NF1|＝2b，设N（x，y），则由抛物线的定义可得x+c＝2a，∴x＝2a﹣c过点F1作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a．由勾股定理y2+4a2＝4b2，即4c（2a﹣c）+4a2＝4（c2﹣a2），得e2﹣e﹣1＝0，∴e＝．故答案为：．三、解答题：（共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝4，b＝2，2c cos C ＝b，D，E分别为线段BC上的点，且BD＝CD，∠BAE＝∠CAE．（1）求线段AD的长；（2）求△ADE的面积．解：（1）根据题意，b＝2，c＝4，2c cos C＝b，则cos C＝＝；又由cos C＝＝＝，解可得a＝4，即BC＝4，则CD＝2，在△ACD中，由余弦定理得：AD2＝AC2+CD2﹣2AC•CD cos C＝6，则AD＝；（2）根据题意，AE平分∠BAC，则＝＝，变形可得：CE＝BC＝，cos C＝，则sin C＝＝，S△ADE＝S△ACD﹣S△ACE＝×2×2×﹣×2××＝．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，∠ADP ＝90°，平面ADP⊥平面ABCD，点F为棱PD的中点．（Ⅰ）在棱AB上是否存在一点E，使得AF∥平面PCE，并说明理由；（Ⅱ）当二面角D﹣FC﹣B的余弦值为时，求直线PB与平面ABCD所成的角．解：（Ⅰ）在棱AB上存在点E，使得AF∥平面PCE，点E为棱AB的中点．理由如下：取PC的中点Q，连结EQ、FQ，由题意，FQ∥DC且FQ＝CD，AE∥CD且AE＝CD，故AE∥FQ且AE＝FQ．所以，四边形AEQF为平行四边形.3分所以，AF∥EQ，又EQ⊂平面PEC，AFα平面PEC，所以，AF∥平面PEC.5分（Ⅱ）由题意知△ABD为正三角形，所以ED⊥AB，亦即ED⊥CD，又∠ADP＝90°，所以PD⊥AD，且平面ADP⊥平面ABCD，平面ADP∩平面ABCD＝AD，所以PD⊥平面ABCD，故以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系，7分设FD＝a，则由题意知D（0，0，0），F（0，0，a），C（0，2，0），B（，1，0），＝（0，2，﹣a），＝（），设平面FBC的法向量为＝（x，y，z），则由，令x＝1，则y＝，z＝，所以取＝（1，，），平面DFC的法向量＝（1，0，0），l因为二面角D﹣FC﹣B的余弦值为，所以由题意：|cos＜＞|＝＝＝，解得a＝.10分由于PD⊥平面ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD，所以∠PBD为直线PB与平面ABCD所成的角，由题意知在Rt△PBD中，tan∠PBD＝＝a＝，从而∠PBD＝60°，所以直线PB与平面ABCD所成的角为60°.12分19．如图，A为椭圆的左顶点，过A的直线交抛物线y2＝2px（p＞0）于B、C 两点，C是AB的中点．（1）求证：点C的横坐标是定值，并求出该定值；（2）若直线m过C点，且倾斜角和直线的倾斜角互补，交椭圆于M、N两点，求p的值，使得△BMN的面积最大．解：（1）由题意可知A（﹣2，0），设B（x1，y1），C（x2，y2），∵过A的直线l交抛物线于两点，∴直线l的斜率存在且不为0，设l：x＝my﹣2，联立方程，消去x得，y2﹣2pmy+4p＝0，∴y1+y2＝2pm，y1y2＝4p，∵点C是AB的中点，∴y1＝2y2，∴，，∴4p＝，∴，∴2pm2＝9，∴x2＝my2﹣2＝﹣2＝1，∴点C的横坐标为定值1；（2）直线m的倾斜角和直线l的倾斜角互补，所以直线m的斜率和直线l的斜率互为相反数，又点C（1，），所以设直线m的方程为：x＝﹣m（y﹣）+1，即x＝﹣my+4，设M（x1，y2），N（x2，y2），联立方程，消去x得，（m2+2）y2﹣8my+12＝0，∴△＝（8m）2﹣48（m2+2）＝16m2﹣96＞0，解得m2＞6，∴，，∴|MN|＝＝＝4，∵点C是AB的中点，∴S△BMN＝S△AMN，设点A（﹣2，0）到直线MN的距离为d，则d ＝＝，∴S△BMN＝S△AMN ＝＝4×＝12，令t＝m2﹣6，∴S△BMN＝12＝12≤12＝，当且仅当t ＝，即t＝8，m2＝14时，等号成立，∴2p×14＝9，∴p ＝．20．某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查．调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段．在随机问卷阶段，A，B两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行了数据统计，具体情况如表：组别年龄A组统计结果B组统计结果经常使用单车偶尔使用单车经常使用单车偶尔使用单车[15，25）27人13人40人20人[25，35）23人17人35人25人[35，45）20人20人35人25人（1）先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去．①求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数；②为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会，会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份（其余人员仅赠送骑行优惠券）．已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自A组，求A组这4人中得到礼品的人数X的分布列和数学期望；（2）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄（记作m岁）有关”的结论．在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄m应取25还是35？请通过比较K2的观测值的大小加以说明．参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．解：（1）①由分层抽样性质得：从300人中抽取60人，其中“年龄达到35岁“的人数为：100×＝20人，”年龄达到35岁”中偶而使用单车的人数为：＝9人．②A组这4人中得到礼品的人数X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：X0123P∴E（X）＝＝．（2）按“年龄是否达到35岁”对数据进行整理，得到如下列联表：经常使用单车偶尔使用单车合计未达到35岁12575200达到35岁5545100合计180120300m＝35时，K2的观测值：k1＝＝＝．m＝25时，按“年龄是否达到25岁”对数据进行整理，得到如下列联表：经常使用单车偶尔使用单车合计未达到25岁6733100达到25岁11387200合计180120300 m＝25时，K2的观测值：k2＝＝，k2＞k1，欲使犯错误的概率尽量小，需取m＝25．21．已知函数f（x）＝e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）＝0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．解：∵f（x）＝e x﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）＝f′（x）＝e x﹣2ax﹣b，又g′（x）＝e x﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤e x≤e，∴①当时，则2a≤1，g′（x）＝e x﹣2a≥0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min＝g（0）＝1﹣b；②当，则1＜2a＜e，∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）＝e x﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）＝e x ﹣2a＞0，∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，g（x）min＝g[ln（2a）]＝2a﹣2aln（2a）﹣b；③当时，则2a≥e，g′（x）＝e x﹣2a≤0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min＝g（1）＝e﹣2a﹣b，综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为；（2）由f（1）＝0，⇒e﹣a﹣b﹣1＝0⇒b＝e﹣a﹣1，又f（0）＝0，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f （x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．若，则g min（x）＝2a﹣2aln（2a）﹣b＝3a﹣2aln（2a）﹣e+1令h（x）＝（1＜x＜e）则＝，∴．由＞0⇒x ＜∴h（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减，＝＝＜0，即g min（x）＜0 恒成立，∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇒，又，所以e﹣2＜a＜1，综上得：e﹣2＜a＜1．另解：由g（0）＞0，g（1）＞0 解出e﹣2＜a＜1，再证明此时f（x）min＜0 由于f（x）最小时，f'（x）＝g（x）＝e x﹣2ax﹣b＝0，故有e x＝2ax+b且f（1）＝0知e﹣1＝a+b，则f（x）min＝2ax+b﹣ax2﹣（e﹣1﹣a）x﹣1＝﹣ax2+（3a+1﹣e）x+e﹣a﹣2，开口向下，最大值（5a2﹣（2e+2）a+e2﹣2e），分母为正，只需看分子正负，分子＜5﹣（2e+2）+e2﹣2e（a＝1时取最大）＝e2﹣4e+3＜0，故f（x）min＜0，故e﹣2＜a＜1．（二）选考题，满分共10分，请考生在22.23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1过原点且倾斜角为α（0）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ．在平面直角坐标系xOy中，曲线C2与曲线C1关于直线y＝x对称．（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l2过原点且倾斜角为，设直线l1与曲线C1相交于O，A两点，直线l2与曲线C2相交于O，B两点，当α变化时，求△AOB面积的最大值．解：（Ⅰ）由题可知，C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣2x＝0，设曲线C2上任意一点（x，y）关于直线y＝x对称点为（x0，y0），∴，又∵，即x2+y2﹣2y＝0，∴曲线C2的极坐标方程为：ρ＝2sinθ；（Ⅱ）直线l1的极坐标方程为：θ＝α，直线l2的极坐标方程为：．设A（ρ1，θ1），B（ρ2，θ2）．∴，解得ρ1＝2cosα，，解得．∴＝＝．∵0≤α＜，∴＜．当，即时，sin（）＝1，S△AOB取得最大值为：．[选修4--5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax+1|+|2x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞3的解集；（2）若0＜a＜2，且对任意x∈R，恒成立，求a的最小值．解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|+|2x﹣1|，即；解法一：作函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣1|的图象，它与直线y＝3的交点为A（﹣1，3），B （1，3），如图所示；所以，f（x）＞3的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；解法二：原不等式f（x）＞3等价于或或，解得：x＜﹣1或无解或x＞1，所以，f（x）＞3的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；（2）由0＜a＜2，得﹣＜，a+2＞0，且a﹣2＜0；所以f（x）＝|ax+1|+|2x﹣1|＝，所以函数f（x）在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增；所以当时，f（x）取得最小值，且；因为对∀x∈R，恒成立，所以；又因为a＞0，所以a2+2a﹣3≥0，解得a≥1（a≤﹣3不合题意），所以a的最小值为1．。
2022-2023学年河北省衡水市高一年级上册学期二调数学试题【含答案】
高一2022－2023学年上学期二调考试数学学科试题(时间120分钟，满分150分)注意事项:1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号镇写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、淮考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.答题时使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书与的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 设集合，，则（ ）{}1,2,3,4A ={}3,4,5B =A B = A.B.C.D.{}1,2,4{}1,2,5{}3,4{}3,4,5【答案】C 【解析】【分析】由题意，根据集合的交集运算，可得答案.【详解】由集合，，则.{}1,2,3,4A ={}3,4,5B ={}3,4A B = 故选：C.2. 下列集合中表示同一集合的是（ ）A. M ＝{(3， 2)}，N ＝{(2， 3)}B. M ＝{4， 5}，N ＝{5， 4}C. M ＝{(x ， y )|x ＋y ＝1}，N ＝{ y |x ＋y ＝1}D. M ＝{1， 2}，N ＝{(1， 2)}【答案】B 【解析】【分析】根据同一集合的概念逐一判断即可．【详解】根据同一集合的概念可知，两个集合中的元素应一样：、(3， 2)和(2， 3)是不同元素，故错误；A A 、根据集合元素具有无序性，则M ＝N ，故正确；B B、因为M 中的元素是有序实数对，而N 中的元素是实数，故错误；C C 、因M 中有两个元素即：，；而N 有一个元素是(1， 2)，故错误．D 12D 故选：B ．3. 已知集合，，，则集5,6M x x m m Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭1,23n N x x n ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭Z 1,26p P x x p Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭合，，的关系表示最准确的为（ ）M N P A. B. C. D. ，M N P ==M N P⊆=M N P⊆⊆M N ⊆N P =∅【答案】B 【解析】【分析】对三个集合中元素进行变形，确定元素间的关系，判断出集合的包含关系.【详解】因为，，()3212,6m M x x m Z ⎧⎫⨯--⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭32,6n N x x n Z ⎧⎫-==∈⎨⎬⎩⎭，()31231,66p p P x x p Z ⎧⎫+-+⎪⎪===∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭其中均表示全体整数，表示全体奇数，,1n p +21m +所以．M N P ⊆=故选：B ．4. 已知集合，，且，则a ＝（ ）{}21,,1A a a =-{}0,1B =B A ⊆A. 0或B. 0或1C. 1或D. 01-1-【答案】A 【解析】【分析】根据集合元素相等列方程求解，注意集合元素的互异性对集合元素的限制.【详解】∵，{}{}20,11,,1B A a a =⊆=-∴或，0a =210a -=∴或a =，0a =1±又由于集合元素的互异性，应舍去1，∴或a =.0a =1-5. 设集合，集合，集合，则中所有元素之积为（ {}2,4A ={}1,2B =z |,,xM z x A y B y ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭M ）A. 7 B. 8C. 9D. 16【答案】B 【解析】【分析】由题知，进而计算元素之积即可.{}1,2,4M =【详解】解：因为，，{}2,4A ={}1,2B =所以，当，时，；当，时，；2x =1y =2z =2x =2y =1z =当，时，；当，时，；4x =1y =4z =4x =2y =2z =所以，中所有元素之积为8.{}1,2,4M =M 故选：B.6.，，若，且，则实数m 的取值范围是{}0M x x m =+≥{}24N x x =-<<U =R ()UM N ⋂=∅ （）A. B. C. D. 或2m <2m ≤2m ≥2m ≥4m ≤-【答案】C 【解析】【分析】先求得，根据求得的取值范围.U M ()U M N ⋂=∅ m 【详解】因为，，所以，{|0}M x x m =+≥U =R {|}UM x x m =<- ，因为，所以.{|24}N x x =-<<()U M N ⋂=∅ 2m ≥故选：C7. 某班共有学生名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，60没有人三项均会．若该班人不会打乒乓球，人不会打篮球，人不会打排球，则该班会其中两项322824运动的学生人数是（ ）A. B. C. D. 32333536【解析】【分析】设只会打乒乓球、篮球、排球的学生有人，同时会打乒乓球和篮球、排球和篮球、乒乓123,,x x x 球和排球的学生分别为，根据题目条件列出等式，解之可得结论．123,,y y y 【详解】设只会打乒乓球、篮球、排球的学生有人，同时会打乒乓球和篮球、排球和篮球、乒乓123,,x x x 球和排球的学生分别为，123,,y y y由题意知：，，，，12312360x x x y y y +++++=23232x x y ++=13328x x y ++=12124x x y ++=第一个式子乘减去后面三个式子得：，2()12312032282436y y y ++=-++=即该班会其中两项运动的学生人数是人．36故选：D .8. 已知正实数a ，b ，c 满足，当取最小值时，下列说法正确的是（ ）2240a ab b c -+-=cab A. a ＝4bB. 24=c bC. 的最大值为D. 的最大值为a b c +-34a b c +-38【答案】D 【解析】【分析】利用基本不等式求出，此时，，判断出AB 错误；3c ab ≥2a b =26c b =再利用的关系得到，配方后求出最大值，判断CD 选项.,,a b c 263a b c b b +-=-+【详解】因为正实数a ，b ，c 满足，所以，2240a ab b c -+-=224a b ab c +=+由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，22a 4b4ab +≥2a b =即，解得：，故，4ab c ab +≥3c ab ≥3c ab ≥的最小值为3，此时，A 错误；cab 2a b =，B 错误；223326c ab b b ==⨯=，222133********a b c b b b b b b ⎛⎫+-=+-=-+=--+≤⎪⎝⎭所以的最大值为，C 错误，D 正确.a b c +-38故选：D二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9. 下列命题不正确的是（）A. 若，则B. 命题“，的否定是“，a b >11a b<1a ∀≥210a -≥01a ∃<2010a -<C. 若，则 D. 若，，则ab >22ac bc>23a ≤<21b -<<-225a b <+<【答案】ABC 【解析】【分析】利用赋值法可判断选项，根据全称命题的否定可判断选项，运用不等式的性质可判断选项A B 和.C D 【详解】对于，当，时，满足，而不成立，故选项不正确；A 1a =1b =-a b >11a b <A 对于，命题“，”的否定是“，”，故选项不正确；B 1a ∀≥210a -≥01a ∃≥2010a -<B 对于，若，则不正确，如时，， 故选项不正确；C a b >22ac bc >0c =22ac bc =C 对于，，，又，，故选项D 正确.，D 23a ≤< 426a ∴≤<21b -<<- 225a b ∴<+<故选：.ABC10. 已知，下列四个条件中，使成立的充分不必要条件是（ ）,R a b ∈a b >A. B. C. D.1a b >-1a b >+22a b>a b>【答案】BD 【解析】【分析】由不等式的性质结合充分、必要的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A 选项，可以得到，反之不成立，a b >1a b >-故是必要而不充分的条件；1a b >-a b >对于B 选项，可以得到，反之不成立，1a b >+a b >故是的充分不必要条件；1a b >+a b >对于C 选项，是的既不充分也不必要条件；22a b >a b >对于D 选项，，可以得到，反之不成立，||b b ≥ ||a b ∴>a b >是的充分不必要条件.||a b ∴>a b >故选：BD ．11. 若“，或”为真命题，“”为假命题，则集合M 可以是（ ）x M ∀∈0x <1x >,3x M x ∃∈>A.B.C.D.()5∞-，(]3,1--()3,+∞[]2,3【答案】BD 【解析】【分析】根据所给真命题、假命题成立的条件，再求出它们的交集即可得集合M 满足的条件.【详解】命题“，”为假命题，则命题“，”为真命题，可得，x M ∃∈3x >x M ∀∈3x ≤{}|3M x x ⊆≤命题“，或”为真命题，则或，x M ∀∈0x <1x >{0M x x ⊆<}1x >所以或或，显然，B ，D 选项中的区间为{0x x <}1x >{}|3x x ⋂≤{0x x =<}13x <≤的子集．(,0)(1,3]-∞⋃故选：BD ．12. 已知，且，则（）0,0a b >>1a b +=A.C. 2212a b +≥12≥114a b+≥+≤【答案】ACD【解析】【分析】由已知结合基本不等式对各选项分别进行判断。
2021年河北省衡水中学高考数学第二次联考试卷(理科)(全国Ⅰ)(解析版)
2021年河北省衡水中学高考数学第二次联考试卷（理科）（全国Ⅰ）一、选择题（共12小题）.1．已知集合M＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，N＝{﹣2，0，1，2，5}，则M∩N＝（）A．{0，1 }B．{﹣2，5}C．{﹣2，2，5}D．{0，1，2} 2．若复数z＝，则|z+1|＝（）A．25B．7C．5D．3．某校为更好地支持学生个性发展，开设了学科拓展类、创新素质类，兴趣爱好类三种类型的校本课程，每位同学从中选择一门课程学习．现对该校6000名学生的选课情况进行了统计，如图①，并用分层抽样的方法从中抽取2%的学生对所选课程进行了满意率调查，如图②．则下列说法错误的是（）A．抽取的样本容量为120B．该校学生中对兴趣爱好类课程满意的人数约为1050C．若抽取的学生中对创新素质类课程满意的人数为36，则a＝70D．该校学生中选择学科拓展类课程的人数为15004．若变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．B．C．1D．5．已知，，，若A，B，D三点共线，则tanα＝（）A．﹣2B．C．D．26．如图，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为“格点”，如果一个多边形的每一个顶点都在格点上，则称该多边形为“格点多边形”．1899年奥地利数学家匹克（Pick）对格点多边形面积计算提出匹克定理，设格点多边形内部含有N个格点，边界上含有L 个格点，则该格点多边形的面积．在矩形ABCD内随机取一点，此点取自格点多边形MNPQR内的概率为（）A．B．C．D．7．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若S6＝3（a5+3），且a4＝﹣1，则{a n}的公差为（）A．﹣2B．0C．2D．48．设a＝log64，b＝ln2，c＝π0.2，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b9．某市在文化广场举办“爱我家乡，知我家乡”活动，需要对广场内的部分休闲石凳进行更换，为响应“厉行节约”的号召，市政公司打算旧物利用，将旧石凳打磨成球体，放置在附近的喷泉池中．已知旧石凳是由棱长为40cm的正方体经各棱中点切割下八个相同的四面体所得，如图所示．则打磨后的球体半径的最大值为（）A．20cm B．cm C．20cm D．20cm10．三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，数学家帕普斯巧妙地利用圆弧和双曲线解决了这个问题．如图，在圆D中，AB为其一条弦，∠ADB＝120°，C，O是弦AB的两个三等分点，以A为左焦点，B，C为顶点作双曲线T．设双曲线T与弧的交点为E，则∠ADE＝∠ADB＝40°．若T的方程为＝1（a＞0），则圆D的半径为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）＝sin2x+sin（2x+）+1，则（）A．f（+x）＝f（﹣x）B．（﹣，0）是函数f（x）的一个对称中心C．任取方程f（x）＝1的两个根x1，x2，则|x1﹣x2|是π的整数倍D．对于任意的x1，x2，x3∈[0，]，f（x1）+f（x2）≥f（x3）恒成立12．已知函数f（x）＝|2x﹣1|，g（x）＝﹣x2﹣2x+11，h（x）＝，则以下关于x的方程h（x）＝k（k为整数）根的说法正确的是（）A．当k＝2时，方程有2个根B．当4≤k＜11时，方程有4个根C．当k＝7时，方程所有根的和为1D．当方程有两个根时，k＝3二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
河北省衡水中学近年届高三数学上学期二调考试试题理(2021年整理)
河北省衡水中学2019届高三数学上学期二调考试试题理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（河北省衡水中学2019届高三数学上学期二调考试试题理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2018-2019学年度上学期高三二调考试数学（理科）试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分。
每小题给出的四个选项中只有一项是符合题意的)1。
设集合{}2log (1)0,M x x =-<集合{}2,N x x =≥-则NM =A.{}22x x -≤< B 。
{}2x x ≥- C 。
{}2x x < D 。
{}12x x <<2。
已知1sin 54πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则3cos 25πα⎛⎫+=⎪⎝⎭A 。
78-B 。
78C 。
18D 。
18- 3。
等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若37101145,7,a a a a a +-=-=则13S = A.152 B 。
154 C.156 D.1584。
要得到函数22y x =的图象，只需将函数224y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有的点A.向左平行移动4π个单位长度 B.向右平行移动8π个单位长度C.向右平行移动4π个单位长度D.向左平行移动8π个单位长度5。
若关于x 的方程()13log 32xa x -=-有解，则实数a 的最小值为 A 。
4 B.6 C 。
8 D 。
26.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，121,2,a a ==且对于任意1,,n n N *>∈满足()1121,n n n S S S +-+=+则10S =A 。