初中数学韦达定理知识点及应用解析

一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）知识点及应用解析

1 、定义：若 x 1 ， x

2 是一元二次方程ax 2 +bx+c=0 (a ≠ 0) 的两个根，则有 x 1 + x 2 = - ，

x 1 · x 2 = 。对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2+px+q=0 ，则有 x 1 + x 2 =-p ， x 1 · x 2 =q

2 、应用的前提条件：根的判别式△≥ 0 方程有实数根。

3 、若一个方程的两个为 x 1 ， x 2 ，那么这个一元二次方程为 a[x 2 +(x 1 +x

2 )x+ x 1 · x 2 ]=0(a ≠ 0)

4 、根与系数的关系求值常用的转化关系：

① x 1 2 +x 2 2 =(x 1 +x 2 ) 2 -2x 1 x 2 = =

②

③ (x 1 +a)(x 2 +a)= x 1 x 2 +a(x 1 +x 2 ) +a 2 = -b +a 2

④ (x 1 -x 2 ) 2 =(x 1 +x 2 ) 2 -4x 1 x 2 =

5 、方法归纳：（ 1 ）一元二次方程的根与系数的关系的运用条件条件为一元二次方程，即a ≠ 0 ，且必须有实数根，即△≥ 0 ；

（ 2 ）运用一元二次方程的根与系数的关系时，一元二次方程应化为一般形式，若系数中含字母要注意分类讨论；

（ 3 ）一元二次方程的根与系数的关系有时与一元二次方程根的定义综合运用，注意观察所求代数式是特点。

（ 4 ）解题思路：将含有根的代数式变形成含有两根和与两根积的式子，再通过韦达定理转化成关于系数的式子，同时要注意参量的值要满足根的实际意义。

6 、一元二次方程的根与系数的关系的应用：

（ 1 ）不解方程，判别一元二次方程两根的符号。（判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，判别式判定根的存在与否，若

＜ 0 ，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞ 0 ，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。）

例：不解方程，判别方程两根的符号。

解：∵ ，∴△＝—4 × 2 × (—7) ＝ 65 ＞ 0

∴方程有两个不相等的实数根。

设方程的两个根为，

∵ ＜ 0

∴原方程有两个异号的实数根。

（ 2 ）已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。

例：已知方程的一个根为 2 ，求另一个根及的值。

解：设方程的另一个根为，

根据题意，利用韦达定理得：

，

∵ ，∴把代入，可得：

∴把代入，可得：

，

即

解得

∴方程的另一个根为 4 ，的值为 3 或—1 。

（ 3 ）运用判别式及根与系数的关系解题。

例：已知、是关于的一元二次方程的两个非零

实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，

解：因为关于的一元二次方程有两个非零实数根，

∴则有

∴

又∵ 、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：

假设、同号，则有两种可能：

（ 1 ）（ 2 ）

若，则有：；

即有：

解这个不等式组，得

∵ 时方程才有实树根，∴此种情况不成立。

若，则有：

即有：

解这个不等式组，得；

又∵ ，∴当时，两根能同号

(4) 运用根与系数的关系求代数式的值

例 : 已知一元二次方程 2x 2 -3x+1=0 的两个根分别为 x 1 ， x 2 ，求（ x 1 -x 2 ） 2 的值

解：由题意及韦达定理得： x 1 +x 2 = - （ - ） = ， x 1 x 2 =

∴ (x 1 -x 2 ) 2 =(x 1 +x 2 ) 2 -4x 1 x 2 = （） 2 -4 × =

∴ （ x 1 -x 2 ） 2 的值是

(5) 运用根与系数的关系解决几何问题

例：在△ ABC 中，若∠ C=90 ° ， AB=5 ， AC 、 BC 的长是关于 x 的一元二次方程x 2 -(2k+3)x+k 2 +3k+2=0 的两个实数根，求 k 的值和△ ABC 的面积

解：∵ AC 2 +BC 2 =25

∴ (AC+BC) 2 -2AC · BC=25

∵ AC+BC=2K+3,AC · BC=K 2 +3K+2

∴ (2K+3) 2 -2(K 2 +3K+2)=25

整理，得 k 2 +3k-10=0

解得 k 1 =-5,k 2 =2

∵ AC+BC=2K+3 ﹥ 0

∴ k ﹥ -1.5, ∴ k=2

∴ S △ ABC = AC · BC= (K 2 +3K+2)=6