高中数学教案——排列 第二课时

课题：10．2排列(二)
教学目的：
1进一步理解排列和排列数的概念，理解阶乘的意义，会求正整数的阶乘；
2.掌握排列数的另一个计算公式，并能熟练应用公式解决排列数的化简、证明等问题
教学重点：排列数公式的应用
教学难点：排列数公式的应用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如
果不需要，是组合问题；否则是排列问题.
排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.
排列、组合问题解题方法比较灵活，问题思考的角度不同，就会得到不同的解法.若选择的切入角度得当，则问题求解简便，否则会变得复杂难解.教学中既要注意比较不同解法的优劣，更要注意提醒学生体会如何对一个问题进行认识思考，才能得到最优方法.
教学过程：
一、复习引入：
1 分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法
2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法
3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．
排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．
说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；
（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同
4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排
列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示
注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取m 个元素按照一定的顺序．．．．．
排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元
素中，任取m （m n ≤所以符号m n A 只表示排列数，而不表示具体的排列
5．排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）
说明：（1）公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个 少1，最后一个因数是1n m -+，共有m 个因数；
（2）全排列：当n m =时即n 个不同元素全部取出的一个排列
全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--⋅=（叫做n 的阶乘）
二、讲解新课： 1 阶乘的概念：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个
全排列，这时(1)(2)321n n A n n n =--⋅⋅；把正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘表示：!n ， 即n n A =n 规定0!1=．
2．排列数的另一个计算公式：
(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+
(1)(2)(1)()321()(1)321n n n n m n m n m n m ---+-⋅⋅=---⋅⋅=!()!
n n m - 即 m n A =!()!
n n m - 三、讲解范例：
例1．计算：①66248108!A A A +-；② 11
(1)!()!n m m A m n ----． 解：①原式876543216543218710987
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=⨯-⨯⨯⨯ =5765432513056(89)623
⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯-； ②原式(1)!1(1)!()!()!
m m m n m n -==---．
例2．解方程：3322126x x x A A A +=+．
解：由排列数公式得：3(1)(2)2(1)6(1)x x x x x x x --=++-，
∵3x ≥，∴ 3(1)(2)2(1)6(1)x x x x --=++-，即2317100x x -+=， 解得 5x =或23
x =，∵3x ≥，且x N *∈，∴原方程的解为5x =． 例3．解不等式：2996x x A A ->． 解：原不等式即9!9!6(9)!(11)!
x x >⋅--， 也就是16(9)!(11)(10)(9)!
x x x x >--⋅-⋅-，化简得：2211040x x -+>， 解得8x <或13x >，又∵29x ≤≤，且x N *∈，
所以，原不等式的解集为{}2,3,4,5,6,7．
例4．求证：（1）n m n m n n n m A A A --=⋅；（2）(2)!135(21)2!n n n n =⋅⋅-⋅．
证明：（1）!()!!()!
m n m n n m n A A n m n n m --⋅=-=-n n A =，∴原式成立（2）(2)!2(21)(22)43212!2!n n n n n n n n ⋅-⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅
2(1)21(21)(23)312!n n n n n n n ⋅-⋅⋅--⋅=⋅ !13(23)(21)!n n n n ⋅⋅--==135(21)n ⋅⋅-=右边 ∴原式成立 说明：（1）解含排列数的方程和不等式时要注意排列数m n A 中，,m n N *
∈且m n ≤这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；
（2）公式(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+常用来求值，特别是,m n 均为已
知时，公式m n A =!()!
n n m -，常用来证明或化简 例5．化简：⑴12312!3!4!!n n -++++；⑵11!22!33!!n n ⨯+⨯+⨯++⨯ ⑴解：原式11111111!2!2!3!3!4!(1)!!
n n =-+-+-++-=-11!n - ⑵提示：由()()1!1!!!n n n n n n +=+=⨯+，得()!1!!n n n n ⨯=+-， 原式()1!1n =+- 说明：111!(1)!!
n n n n -=--． 四、课堂练习： 1．若!3!n x =
，则x = （ ） ()A 3n A ()B 3n n A - ()C 3n A ()D 33n A -
2．与37107
A A ⋅不等的是 （ ） ()A 910A ()
B 8881A ()
C 9910A ()
D 1010A
3．若532m m
A A =，则m 的值为 （ ） ()A 5 ()
B 3 ()
C 6 ()
D 7
4．计算：5699610
239!A A A +=- ； 11(1)!()!n m m A m n ---=⋅- ． 5．若11
(1)!242m m m A --+<≤，则m 的解集是 ． 6．（1）已知101095m A =⨯⨯⨯，那么m = ；
（2）已知9!362880=，那么79A = ；
（3）已知256n A =，那么n = ；
（4）已知2247n n A A -=，那么n = ．
7．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）？
8．一部纪录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？ 答案：1. B 2. B 3. A 4. 1,1 5. {}2,3,4,5,6
6. (1) 6 (2) 181440 (3) 8 (4) 5
7. 1680
8. 24
五、小结 ：排列数公式的两种形式及其应用
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记：。