5-4应用高等数学(曾庆柏)
高等数学课程标准
《高等数学》课程标准0 课程基本信息高等数学是环境监测与评价专业的一门重要的专业基础课程，该课程的学习，为后续课程提供必要的高等数学基础知识，并且培养学生数学运算、逻辑思维、抽象思维和空间思维能力以及分析问题和解决问题的能力，为以后的专业课程的学习奠定良好的基础。
本课程教学的质量对学生今后的进一步学习产生重要影响。
0.1 适用专业环境监测与评价0.2 开课系部信息技术系0.3课程负责人袁蓓0.4学时与学分学时：56学时学分: 4分1 课程定位1.1 课程性质与作用高等数学课程是环境监测与评价的专业基础课程，是学好其它专业课程的基础和工具。
它的研究对象是函数，主要内容包括函数、极限、连续，一元函数微分学，一元函数积分学与常微分方程等。
高等数学对学生后继课程的学习和思想品质的培养起着重要作用。
为后继课程的学习提供必要的知识和方法论的支撑，为其它专业课奠定必要的数学基础。
同时，通过各个教学环节逐步培养学生抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，全面提高学生的综合素质。
1.2 相关课程本课程的后续课程为环境统计。
2 课程目标2.1 课程总体目标通过对高等数学的学习，使学生能够获得相关专业课必须掌握的知识，以及掌握基本的数学思想方法，使学生学会用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决学习、生活、工作中遇到的实际问题，使学生具有一定的创新精神和提出问题分析问题解决问题的能力，从而促进生活、事业的全面发展。
2.2 知识、能力与素质目标2.2.1 知识目标掌握高等数学的基础概念、基础理论和基本运算并掌握微积分学的基本方法、手段、技巧，能较熟练地应用微积分学的思想方法解决应用问题。
2.2.2 能力目标（1）培养学生具备比较熟练的运算能力；（2）培养学生具备较强的分析问题、解决问题的能力；（3）培养学生具备一定的实践能力。
2.2.3 素质目标（1）培养学生主动探索、勇于发现的科学精神；（2）培养学生的创新意识和创新精神；（3）培养学生的坚强的学习意志，认真的学习态度，踏实的工作精神。
《高等数学》如何与专业课教学巧妙结合
《高等数学》如何与专业课教学巧妙结合高等数学与专业课相互依存，在专业课的教与学中离开了高等数学的密切配合，就很难收到满意的效果。
标签：高等数学；专业课；有机结合《高等数学》在高职或技师院校开设的指导思想是：以培养高素养的应用型人才为总目标，力求内容易学实用，努力体现数学为专业课服务，为生产实践服务。
作为数学教师，应深入了解每个专业的特点，认真探讨如何使高等数学与专业课有机地结合起来，使该门课程最大限度地发挥其作用，从而达到教学的目的。
一、《高等数学》与专业课之间的关系《高等数学》是高技班机械专业和电工电子专业必开基础课之一，不仅能提高学生的文化素养，还能为专业课的学习打下坚实的基础。
马克思说：“一门科学只有在成功地运用了数学后，才算达到完善的地步。
”由此可见，数学与其他学科相互依存，共同发展。
高技班各专业在专业课的教与学中，对高等数学的依赖性很强，离开了高等数学的密切配合，专业课的教与学就很难收到满意的效果。
所以，在专业课的教与学中，高等数学起着重要的辅助作用。
二、合理制定与专业课相适应的教学计划要制定与专业课相适应的教学计划，需要数学教师多与专业课教师联系，了解各个专业所需的数学知识，如用到哪些数学知识、在什么地方用、什么时间用，以及如何用，等等。
弄清楚后，数学教师可根据专业课的需要，在不违背教学大纲的要求和教材系统性、完整性的原则下，有目的、有针对性地调整教材顺序或补讲教材没有的内容。
通过与专业课教师的共同探讨，结合专业发展方向和学生实际，共同制定数学课的教学计划。
专业课教师也要吸取，并采纳数学教材中好的思想与方法，将专业课中所用到的数学知识、思想或方法讲得简洁明了，共同达到教学目标。
三、用恰当的教法激发学生的学习兴趣《高等数学》比较枯燥，知识结构十分严密，学生学习起来比较困难。
在讲解的过程中，如果一味地分析概念、推导公式，学起来相当怨倦，必须选择恰当的教学方法。
1.适当地使用多媒体教学。
讲解立体几何的相关知识时，可用多媒体将图像的立体效果展示给学生，增强立体感。
3-2应用高等数学(曾庆柏)
例2 讨论函数 f (x) 3 x2 的单调性.
解 （1）求定义域：D (, ); （2）求导：f ' (x) 2 , 当 x 0 时导数不存在；
33 x （3）列表讨论：
x
f ' (x) f (x)
( ,0) － ↘
0 不存在
(0 , ) + ↗
y
y 3 x2
O
x
例3 求函数 f (x) x3 3x2 9x 14 的单调区 间.
解 （1）求定义域：(, ) （2）求导：f (x) 3x2 6x 9 3(x 1)(x 3).
令 f (x) 0, 解得 x1 1, x2 3. （3）列表讨论：
x f (x)
f (x)
(,1) 1 (1,3) 3
+
0
－
0
↗
↘
(3, ) + ↗
y
y x3 3x2 9x 14
现的）为P（单位：桶），并假设没有新的石油产生，问 d P 的符号是正还是负？ dt
解 设石油总蕴藏量P与时间的函数关系为 P P(t).
因为没有新的石油产生，地球的石油是不可再生资源，
随着对石油的消耗，其总量会越来越少，所以 P P(t)
是一单调减少函数. 所以，有 d P 0. 即 d P 的符号为负.
3·2 函数的增减性、曲线的凹性 案例研究
案例3.2 抛体运动的路程与速度：假若在真空中， 把一物体以初速度8m/s垂直向上抛出，试研究该物体的 位移与速度、加速度的关系.
分析 设在 t 时刻物体的位移是 s，则由物理学知 s f (t) 8t 1 gt2 8t 5t2 , 2
其中取 g 10, t [0,1.6]. 于是，在 t 时刻，物体的速 度是 v f (t) (8t 5t2 ) 8 10t, 加速度是
8-2应用高等数学(曾庆柏)
数列 sn 是一1 个单调增加的数列，即
0.5
s1 s2 s3 sn
s1
s2 s3 sn
0O
1
x
-0.5
定理 正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列
sn 有界.
比较审敛法 设两个正项级数 un和vn, 且
n1
n1
u
v un vn (n=1,2,…).（1）若级数
收敛，则级数
n
n
n1
n1
1 1 1 1 (1)n1 1
234
n
交错级数审敛法 若交错级数 (1)n1un 满足条 n1
件：(1) un un1 (n 1, 2,
); (2) limun 0, 则交错级 n
数 (1)n1un 收敛. n1
例4 判别交错级数 (1)n1 1 的收敛性.
n1
n
解
因为
un
从
而
级
数
n1
(1)n1
sinn n4
收敛.
问：收敛级数是否一定绝对收敛？试举例说明. 例
1 1 1 1 (1)n1 1
234
n
是收敛的，但是它的各项取绝对值所成的级数
却是发散的.
1 1 1 1 1 234 n
若任意项级数 un 收敛，而级数 |un | 发散，则
n1
n1
称级数un 条件收敛. n1
n1
n1
能收敛也可能发散.
例3 判定下列级数的收敛性
（1）
n1
n. 2n1
（2）
n1
3n n!. nn
解 （1）因为
limun1 u n n
lim
n
n 2n
5-5应用高等数学(曾庆柏)
V
h 0
r h
x
2
d
x
r2
h2
h x2 d x
0
r2
h2
x3
3
h
0
1 r2h.
3
y
O h
A
x B
r
C
例5 求椭圆 x2 y2 1 (a 0,b 0) 绕x轴旋转
a b 2
2
一周而成的旋转体（叫做旋转椭球体）的体积．
绕x轴旋转一周，得到一个旋转体，怎样求这个旋转体的 体积？
y y f (x)
Oa
x
b
x
y y f (x)
Oa
b
x
x xdx
体积公式1 如图，夹在两个截面之间的“小薄片”
可以近似地看作一个以 f x 为底面半径、d x 为高的圆
柱体．其体积为
dV f x2 d x, dV 叫做体积微元. 把体积微元在a,b 上求定积分，便
图形的面积.
解
y
2,
y
4.
y y x4
4
(8,4)
O
8
x
2
y2 2x
(2,2)
A
4 2
(
y
4
)
1 2
y2
dy
1 2
y2
4
y
1 6
y
3
4 2
18.
y f x
旋转体的体积
问题的提出：如图，设 f x 是 a,b 上的连续函数，
由曲线 y f x 与直线 x a,x b,y 0 围成的曲边梯形
2x
A 2 (1 x 1 1 x2 )dx
高等数学在医学影像专业教学中的应用
摘 要 ： 为 了培养高素质医药专业人才 ， 高等职业 学校 的医学影像专业开设 了高等数学课程 ， 从而培养学生用 数学的方法来 解
决 医药学专业 中存在 的一些问题 。体现出高职院校由问题出发， 任务引领 ， 工学 结合的教学特 点。让 学生把高等数 学应用在专业课
（０ 放射 治疗 技术 ： １） 主要 内容包 括放射 洽疗的种类 ， 射 放
治疗物理学 ， 射治疗 生物 学 ， 放 常用放 射治疗 设 备 ， 常用放 射
性治疗方法 ， 临床常用 照射技 术 ， 特殊 放射 治疗技 术 ， 治疗 计
划的设计 与实 施 ， 治疗 质 量 的保证 与控 制 ， 常见 肿 瘤放 疗 技
２２ ２１ ． ０ ０年医学影像专业 的专业 课程设 置情 况及 其主 要 内
容
析、 总结不 同的反射 规律 ， 而对病 变部位 、 性质 和 功能 障碍 程 医学影像专 业课 程包括 ： 临床 医学概论 、 眼耳 鼻喉 口腔科
度作 出诊 断 。 （） ９ 影像核 医学 ： 主要 内容包 括 核医 学 的基 本理 论 和 技 术、 核医学影像诊断 以及核素治疗 疾病和辐 射卫生 防护 等 ， 其
教 学 内容 主 要 包 括 ： 数 与 极 限 ， 元 函 数 微 分 学 ， 元 函 数 函 一 一 积 分 学 ， 分 方 程 和 多 元 函数 微 积 分 。 这 些 内容 包 括 了 高 等 微 数 学 中 的 主要 核 心 知 识 。
到临床 的疾病 治疗 中去 ， 为患者解决更多的病痛 。 （ ） 声诊 断学 ： ８超 主要 内容包 括作用原 理 ， 器构造 ， 仪 显示 方法 ， 操作技术 ， 录方 法 ， 记 以及界 面对 超声 的反 射 、 射或 者 散 透射信号 的分析与判 断等ｌ １ 。使学生能初步应用不 同类型 的 超声诊 断仪 ， 采用各种扫查方法 ， 接收这 些反射 、 散射信 号 ， 显 示各种组织及 其病 变的形态 ， 结合 病理学 、 临床 医学 ， 观察 、 分
《高等数学(上)》(higher mathematics(1))教学大纲(《高等数学(上)》(高等数学(1))教学大纲)
《高等数学(上)》(higher mathematics(1))教学大纲（《高等数学（上）》（高等数学（1））教学大纲）《高等数学（上）》（高等数学（1））教学大纲一课程编号：：040401。
二课程类型：必修课。
课程学时：80 / 5学分学时适用专业：除信科、强化班外的理、工科各专业先修课程：初等数学三。
课程性质与任务高等数学是我校理工科各专业的一门重要基础课理论课程，是各专业学生一门必修的重要课程。
通过本课程的学习，使学生系统地获得一元函数微积分等基本知识和基本理论；重点介绍极限、导数、积分（不定积分、定积分），并注重培养学生熟练的运算能力和较强的抽象思维能力﹑逻辑推理能力﹑几何直观和空间想象能力，从而使学生学会利用数学知识去分析和解决一些几何﹑力学和物理等方面的实际问题，为学习后续课程和进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础。
四。
教学主要内容及学时分配序号主要内容学时一函数、极限与连续十八二导数与微分十五三中值定理及导数的应用十五四不定积分十二五定积分十六定积分的应用八五。
基本要求和基本内容（一）函数与极限1、理解一元函数、反函数、复合函数的定义；2、了解函数的表示和函数的简单性态--有界性、单调性、奇偶性、周期性；3、熟悉基本初等函数与初等函数（包含其定义区间、简单性态和图形）；4、理解数列极限的概念（对定义不作过高要求）；5、熟悉收敛数列的性质-有界性、唯一性；6、了解数列极限的存在准则-单调有界准则、夹逼准则；7、理解函数的极限的定义（包括当和时，函数极限的定义及左、右极限的定义）8、了解函数极限的性质--唯一性、保号性、局部有界性；9、熟练掌握极限的四则运算法则（包括数列极限与函数极限）10、掌握两个重要极限：11、熟悉无穷小量的概念及其运算性质、无穷小量的比较；12、了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系；13、函数极限与无穷小量的关系；14、理解函数的连续性的概念、了解函数的间断点的分类；15、熟悉连续函数的和、差、积、商及复合函数的连续性；16、了解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质。
5-3应用高等数学(曾庆柏)
案例5.3.2 石油总产量：经济学家研究一口新井的 原油生产速度时，建立了下列数学模型 R(t) 1 0.02t sin(2 t), 求该油井开始3年内生产的石油 总量.
分析 设开始3年内生产的石油总量为W，则有
3
W 0 (1 0.02t sin(2t))d t.
上述两个案例中的定积分没有直接可用的公式，需 要通过换元积分法或分部积分法求解.
a
a
b
uv d
x
uvb
b
vud x.
a
aa
e1
例4 计算 0 ln(1 x) d x.
e1
解 0 ln(1 x) d x
x ln(1 x) e1
e1
x d[ln(1 x)]
0
0
[(e 1) ln e 0] e1 x d x
0 1 x
(e 1) [x ln(1 x)] e1 0
解 令 x a sint, 则 d x a cost d t, 且当 x 0
时，t 0; x a 时，t . 于是 2
a
a2 x2 d x
2
a2 a2 sin2 t a cost d t
0
0
a2
2 cos2 t d t a2
2
1
cos
2t
d
t
0
0
2
a2 2
t
1 2
b
v(x)u(x)d x.
a
或简写成
b
udv
uv
b
b
v du.
a
aa
上列公式称为定积分的分部积分公式.
证 因为
( uv ) uv uv.
两边分别求在区间[a，b]上的定积分，得
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1
1 xp dx
1 dx
ln |
x|
.
1x
1
当 p 1 时，
1
1 xp
d
x
x1 p
1
p
1
,
1 p 1
,
p 1; p 1.
*被积函数有无穷间断点
定义4 设函数 f x 在区间a,b 上连续，且
lim f x , 取 0, 若极限lim b f xdx 存在，
数 f x 在无穷区间 (, b] 上的反常积分，记作
b f xdx, 即
b f xd x lim b f xd x.
a a
这时也称反常积分 b f xd x 收敛；若上述极限不存
在，则称反常积分 b f xd x 发散．
定义3
若反常积分 0 f xd x 和 f xd x
b
2
上述反常积分的几何意义是：它表示由曲线
y 1 和直线 x 0,y 0 围成的“开口”曲边梯形的 1 x2
面积（图5-8）等于
O
b
x
若 f (x) 的原函数为 F (x),
则
x
f (x)d x F (x) F (a).
a
若记
F() lim F(x), F() lim F(x)
f xdx lim b f xd x.
a
b a
这时也称反常积分 f xd x 收敛；若上述极限不存 a
在，则称反常积分 f xd x 发散． a
定义2 设函数 f x在区间 (, b] 上连续，任取
a b, 若极限 lim b f xd x 存在，则称此极限为函 a a
再令b , 得
15000te0.2t d t lim b15000te0.2t d t
0
b 0
lim
b
75000
be0.2b
5e0.2b 5
75000 lim (b 5)e0.2b 5 75000 b
375000, 其中：
lim (b 5)e0.2b
b
b5
lim
b
e0.2b
x
x
则三种无限区间的反常积分可形式上写成
f (x) d x F () F (a) F ( x) ,
a
a
b
f
( x) d
x
F (b)
F ()
F
(
x) b
,
f (x) d x F () F () F ( x) .
例2 求
2x d x 1 x2
解 因为
2x
1 x2
定义5 设函数 f x 在区间 [a,b) 上连续，且
b
lim f x , 取 0, 若极限lim
f xdx 存在，
xb
0 a
则称此极限为函数 f x 在 [a,b) 上的反常积分，记作
b f x dx, 即 b f x dx lim b f xdx. 这时也称反
a
a
0 a
0 f xd x 和 f xd x 至少有一个发散，则称反常
0
积分 f xd x 发散．
上述三类反常积分统称积分区间为无穷的反常积分.
例1 求
1 0 1 x2 d x.
解
1
0 1 x2
d
x
lim
b
b1 0 1 x2 d x.
lim arctan xb
b
0
lim (arctan b 0) .
0 c
c
lim
f xdx lim b
f xdx 为函数 f x 在 [a,b]
0 a
0 c
上的反常积分，记作 b a
f
xdx,
即
b f xdx lim c f xdx lim b f xdx.
a
0 a
0 c
这时也称反常积分
b
a
f
x
dx
收敛；若
lim c f xdx 和 lim b f xdx中至少有一个不存
0
都收敛，则称 0 f xd x f xd x 为 f (x) 在无穷
0
区间 (, ) 上的反常积分，记作 f xd x, 即
f xd x 0 f xd x f xd x
0
lim 0 f xd x lim b f xd x.
a a
b 0
这时也称反常积分 f xd x 收敛； 若
5·4 反常积分 案例研究
研究人员在实验室做非典病毒实验
案例5.4 传染病分析：某种传染病在流行期间人们 被传染患病的速度可以近似地表示为 r 15000te0.2t . 这里r的单位是人/天，t为传染病开始流行的天数. 如果 不加控制，最终将会传染多少人？
分析 依题意，t [0, ). 已知速度求总量，就 是求速度函数在区间 [0, ) 上的积分
d
x
0 2x 1 x2
d
x
2x 0 1 x2 d x,
且
2x
0 1 x2
d
x
1 0 1 x2
d(1
x2 )
ln(1 x2 ) , 0
即
2x 0 1 x2 d x
发散，所以
2x 1 x2 d x
发散．
例3
讨论反常积分
1 1 x p d x 的收敛性．
解 当 p 1 时，
1
lim
b
0.2e0.2b
0.
答：如果不加控制，最终将会传染到375000人.
抽象归纳 积分区间为无穷区间
定义1 设函数 f x在区间 a, 上连续，任取
b a, 若极限 lim b f xd x 存在，则称此极限为函 b a
数 f x 在无穷区间 a, 上的反常积分，记作
f xd x, 即 a
常积分
b
a
f
xdx
收敛；若极限不存在，则称反常积分
b
a
f
xdx
发散．
定义 6 设 函 数 f x 在 区 间[a,b] 上 除 点
c(c c b) 外连续，且 lim f x , 取 0, 若极限 xc
c
lim
f xdx 和 lim b f xdx 都 存 在 ， 则 称
0 a
xa
0 a
则称此极限为函数 f x在 a,b 上的反常积分，记作
b
a
f
x
dx,
即
b f xdx lim b f xdx.
a
0 a
这时也称反常积分
b
a
f
xdx
收敛；若极限不存在，则称
反常积分
b
a
f
xdx
发散．
这里的点 x a 称为函数 f (x) 的瑕点，这类反常积
分也称为瑕积分.
15000te0.2t d t. 0
先求到第b天时传染的人数，即求速度函数在区间 [0,b] 上的定积分
b15000te0.2t d t 15000 1 b t d(e0.2t )
0
0.2 0
75000 te0.2t
1 0.2
e0.2t
b
0
75000 be0.2b 5e0.2b 5