考研数学：求函数渐近线的方法
考研数学求函数渐近线的方法
考研数学求函数渐近线的方法函数的渐近线是指当自变量趋近于无穷大或负无穷大时，函数值也趋近于一些确定的常数或无穷大的现象。
求函数的渐近线是数学分析和微积分中的重要知识点之一，本文将介绍几种常用的方法来求函数的渐近线。
一、水平渐近线的求解方法水平渐近线是指当自变量趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于一些常数的现象。
对于给定的函数y=f(x)，要求函数y=f(x)的水平渐近线，可以按照以下步骤进行求解：1. 首先求解函数y=f(x)的极限lim(x→±∞) f(x)。
当该极限存在时，可以得到函数的水平渐近线y=y0，其中y0为该极限的值。
2.接着需要对函数y=f(x)进行化简和变形，以便能够找到函数的水平渐近线。
常见的化简和变形方法包括分式分解、因式分解、复合函数分解等。
3.最后，通过分析函数的化简形式，找到函数的水平渐近线。
常见的情况有：如果函数的化简形式为y=a+g(x)，其中a为常数，g(x)为一个关于x的函数，那么可以得到水平渐近线y=a；如果函数的化简形式为y=g(x)，其中g(x)为一个关于x的函数，那么该函数没有水平渐近线。
二、垂直渐近线的求解方法垂直渐近线是指当自变量趋近于一些确定的常数时，函数值趋近于正无穷大或负无穷大的现象。
对于给定的函数y=f(x)，要求函数y=f(x)的垂直渐近线，可以按照以下步骤进行求解：1. 首先求解函数y=f(x)的极限lim(x→c) f(x)。
对于一些确定的常数c，当该极限存在时，可以得到函数的垂直渐近线x=x0，其中x0为c的值。
2.然后需要对函数y=f(x)进行化简和变形，以便能够找到函数的垂直渐近线。
常见的化简和变形方法包括分式分解、因式分解、复合函数分解等。
3.最后，通过分析函数的化简形式，找到函数的垂直渐近线。
常见的情况有：如果函数的化简形式为x=x0，则可得到函数的垂直渐近线为x=x0；如果函数的化简形式中含有分母，且其限制条件表明分母为0时，函数的极限趋于正无穷大或负无穷大，则可得到函数的垂直渐近线为x=c，其中c为分母为0的点。
考研数学：求函数渐近线的方法
考研数学：求函数渐近线的方法
求函数渐近线是指求出函数在无穷大时的行为，是高等数学中一个比较重要的概念，
函数渐近线分为两种情况：一种是渐近不变线，另一种是渐近无穷大线。
求渐近不变线的方法很简单，只需要构造函数的分母和分子，然后在各自取x趋于无
穷大的情况下，分母分子相等即可求出该函数的渐近不变线值。
求渐近无穷大线的方法比较复杂，首先应该把函数分解为有理函数和无理函数，然后
依次对有理函数和无理函数进行求解：
对于有理函数，如果分母正次数比分子大，则当x趋于正无穷大时，函数渐近不变线
为零，如果分母正次数比分子小，则当x趋于无穷大时，渐近线等于分子和分母分别除以(x的正次数减分子正次数)的极限。
对于无理函数，如果分母当极限为无穷的时候，分母不可分解，则待分母分解成可数
的多项式，再将无穷小值约为0，最后求出渐近线。
求函数渐近线共有两种情况，其求解方法也有所不同，如果判断错误，其结果就会出
现偏差。
因此要想准确求出函数的渐近线，应加以先行判断，对不同的情况分别进行求解，才能得出正确的函数渐近线值。
2018考研数学基础复习知识点—渐近线
2018考研数学基础复习知识点—渐近线
渐近线也是考研数学每年必考的内容，出题形式就是填空题和选择题，考点就是：求函数渐近线的条数。
渐近线一共有三种：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线。
所以，在判断函数渐近线的条数的时候，一般至少要进行3个极限的运算。
题型通常会处选择题，类似于，求函数间断点的类型和个数一样，需要同学们一一来求，比较繁琐。
但是本质上都是求极限。
或者是填空题，出题形式就是：求函数的斜渐近线。
下面是的典型的两道真题，2018考研的同学们来看一下。
1、模块名称：高等数学
章节名称：函数、极限、连续
知识点：渐近线
题型结构：填空题
题型描述：求渐近线的条数
适用阶段：基础阶段
判断渐近线的选择题一样，一般是没有办法用排除法的，尤其是在问渐近线有多少条这样的选择题当中。
其实，题目都不难，但是这样的题目，在往年
的考研当中，正确率反而不高。
希望以上整理的内容，对同学们有所帮助。
2017考研数学二之求解渐近线
凯程考研，为学员服务，为学生引路！
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2017考研数学二之求解渐近线
渐近线是数二常考的一个知识点，近几年虽然不能说年年考，但可以说隔一年考一次，如2006年，2007年，2010年，2012年2014年都出过题，而今年再次出现，总之考察的频率非常之高。
虽然是一个很小的知识点，只有小小的4分，但应该对其有足够的重视。
从某个方面来讲，高等数学就是求极限，而求渐近线也属于求极限。
就概念本身来说，并不难，无非三种渐近线：水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线。
如果涉及函数极限的求解，有些就不是那么容易做了。
首先我们还是先说说渐近线的考法吧。
出题形式以选择题或填空题呈现，有求具体的渐近线的表达式，特别是斜渐近线的表达式；另外一种形式就是给出一个函数的具体表达式，问有几条渐近线；还有就是从选项中挑出有渐近线的表达式。
下面分别举例来说明。
对于求渐近线的条数，2007年和和201年考过，以2007年的题为例：
从以上两题可以看出，求渐近线时，抛开渐近线的概念不谈，实质就是求函数的极限(包括数列的极限)。
因此，同学们在复习的时候，把重点放在函数的极限的性质上来，特别是对于一些特殊函数的极限，如上面提到的：
等等，先判断x 的趋势，然后再判断函数的极限，这是同学们需要注意的。
1999年考研数学一真题及解析(公式及答案修正版)
(
)
(
)
2 x + y′ = 3 x 2 y + x3 y′ + cos x ， 2 x +y
(B) 2.
为 f ( x ) ，则方程 f ( x ) = 0 的根的个数为(
)
(A) 1. 三、(本题满分5分) 求
(C) 3.
(D) 4.
lim
x →0
1 + tan x − 1 + sin x . x ln (1 + x ) − x 2
+∞
四、(本题满分6分) 计算
∫
1
五、(本题满分7分) 求初值问题
( x − 1)
x3
2
，求
(1)函数的增减区间及极值； (2)函数图形的凹凸区间及拐点 (3)函数图形的渐近线. 八、(本题满分 8 分)
0 ， f (1) = 1 ， 设 函 数 f ( x ) 在 闭 区 间 [ −1,1] 上 具 有 三 阶 连 续 导 数 ， 且 f ( −1) =
f ′ ( 0 ) = 0 ，证明：在开区间 ( −1,1) 内至少存在一点 ξ ，使 f ′′′ (ξ ) = 3 .
总存在正整数 N ， 当 n ≥ N 时， 恒有 xn − a ≤ 2ε ”是数列 { xn } (4) “对任意给定的 ε ∈ ( 0,1) ，
收敛于 a 的 ( ) (A)充分条件但非必要条件. (C)充分必要条件.
2018考研数学渐近线的求法
2018考研数学渐近线的求法考研数学如何取得高分？以下老师为各位同学整理了提高考研数学成绩的三个技巧，供大家参考，希望能对大家复习备考有帮助！考研数学复习是建立在对基本的东西很深刻的理解的基础上的，单纯多做题可能会多见识一些题型，但对于一些很灵活有新意的题目就可能无法应对，这和点石成金的故事是一样的道理。
而这种能力的培养却来自于老老实实地将基础打牢，这一点上要摒弃那种急功近利的想法，不论是考研还是成就一番事业，要想成功，首先要沉得住气，有一个长远的打算，而不是做一天算一天，同时要善于控制事情发展的节奏，不论太快抑或太慢都不好，你都得去考虑为什么会这样，怎样去解决。
一个人不论处于顺风还是逆风，都要学会不断的去跟自己出难题，不断地去反省自己，自己主动把握自己的命运，他才能最后成功。
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但是，不知忙于埋头复习的你有没有发现，不是你的能力不够强，而是你对如何复习还不熟练。
我们的最终目的是提高复习效果，提高复习效果的途径大致可以分为两种：一是调整数学整体的素质和能力，更好的驾驭考研;二是理解复习的每一个环节，掌握复习方法，将自己已有的潜能和水平发挥到极致。
很多同学对渐近线的求法不是很清楚，容易在求解的过程中出现遗漏。
下面我们就重点说一下渐近线的求法。
把握良好的进取心态，将长久以来复习的知识融会贯通，力争在最后的战场上保持做题的最佳能力，合理利用时间调整自己，切忌心烦气躁，忧心忡忡，让自己在最后的拼搏中赢得最后的胜利。
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考研数学一真题解析 2005
，即
方法二：排除法
以2阶方阵为例，设
，则
由此可见，交换的第1列与第2列得，排除ABD,选C
(13)设二维随机变量 的概率分布为
X
Y
0
1
0
0.4
1
已知随机事件
与
0.1 相互独立,则
(A)
(B)
(C)
(D)
【考点分析】：二维离散型随机变量的概率分布，事件独立性定义
【求解方法】：由二维随机变量概率和为1和事件
是偶函
数
(C) 是周期函数
是周期函数 (D) 是单调函数
是单
调函数
【考点分析】：函数的奇偶性、周期性、单调性与其原函数奇偶 性、周期性、单调性的关系 【求解过程】：
方法一：排除法 令，显然是偶函数，但不是奇函数，排除B 令，显然是周期函数，但不是周期函数，排除C 令，显然是单调函数，但不是单调函数，排除D
其中为常数，所以有，即证。 （2）由（1），有，又
所以在右半平面上有
（5.19）
（5.20）
（5.21）
解得。 (20) 已知二次型的秩为. (1)求的值 (2)求正交变换,把化成标准型 (3)求方程的解 【考点】二次型与矩阵 【思路】先列出对应该二次型的矩阵，根据秩为2的条件即可求得第
一问，第二问只需将系数矩阵对角化，第三问可以在第二问的基础上先 求出标准型的解再用变换得到 的解
【考点】曲线积分
【思路】对第一问，为了应用题目给的条件，考虑过上的任意两点 作过原点的分段光滑曲线曲线，且将分成两个部分，即可用所给的条件 证明。第二问只需应用第一问的条件，令解关于的微分方程即可。
【题解】（1）如上一部分所述，作如图所示的分段光滑曲线，则 有
武忠祥教授高等数学考研第二三章
x
lim
______.
x0 f ( x02x) f ( x0 x)
【1】
【例 2】(2011年2,3）已知 f ( x) 在 x 0 处可导，且 f (0) 0,
则
lim
x0
x2
f
(
x) 2 x3
f
(
x3
)
（A） 2 f (0).
（B） f (0).
（C） f (0).
（D） 0.
【例3】（2013年，1）设函数 y f ( x) 由方程 y x e x(1 y)
2） ( x ) x 1
3） (a x ) a x ln a
5） (loga
x)
1 x lna
7) (sin x) cos x
4） (e x ) e x 6) (ln x ) 1
x 8) (cos x) sin x
9) (tan x) sec2 x
10) (cot x) csc2 x
第二章 导 数 与 微 分
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考试内容概要
（一）导数与微分的概念
1. 导数的概念
定义1(导数)
f ( x0 )
lim y lim x0 x x0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
f ( x0 )
lim
x x0
f (x) x
f ( x0 ) x0
f ( x0 ) 0 定理9（极值的第一充分条件）
设 f ( x) 在 U( x0 , ) 内可导,且 f ( x0 ) 0（或 f ( x) 在 x0 处连续）
（1）若 x x0 时， f ( x) 0; x x0 时， f ( x) 0, 则 f 在 x0 处取极大值.
2012考研数学三【解析版】【无水印】
f ′(1) f ( f (x))
ln
f (x), f (x) ≥ 1 ，而 f (x) ≥ 1 ⇔ x ≥ e2 ，
2 f (x) −1, f (x) < 1
f (x) < 1 ⇔ x < e2
所= 以 y
f ( f= (x))
ln
f (x), x ≥ e2 =
0 0 c3 + c4
−1 1 =(c3 + c4 ) 。 c4
由于 c1, c2 , c3, c4 为任意常数，所以α1,α3,α4 线性相关。故应选（C）。
（6）【答案】B
1 0 0
【分析】考查矩阵的运算。将
Q
用
P
表示，即
Q
=
P
1
1
0
，然后代入计算
0 0 1
即可。
1 0 【详解】由于 P = (α1,α2 ,α3 ) ，所以 Q = (α1 + α2 ,α2 ,α3 ) = P 1 1
±1 ，又因为 lim y x→1
=
lim
x→1
x2 + x x2 −1
=
∞，
= lim y x→−1
xl= →im−1 xx22 +−1x
1 ，所以该曲线只有一条铅直渐近线； 2
斜渐近线：
因= 为 lim y x→∞
lxi= →m∞ xx22 +−1x
1 ，所以该曲线没有斜渐近线。
故应选(C).
(2) 【答案】A
【分析】本题考查全微分的概念与多元函数连续的定义。
【详解】由于 lim f (x, y) − 2x + y − 2 = 0 ，，所以 lim[ f (x, y) − 2x + y − 2] =0
考研数学二重点
高等数学部分第一章函数、极限与连续1、函数的有界性2、极限的定义(数列、函数)3、极限的性质(有界性、保号性)4、极限的计算(重点)(四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式、重要极限、单侧极限、夹逼定理及定积分定义、单调有界必有极限定理)5、函数的连续性6、间断点的类型7、渐近线的计算第二章导数与微分1、导数与微分的定义(函数可导性、用定义求导数)2、导数的计算(“三个法则一个表”：四则运算、复合函数、反函数，基本初等函数导数表;“三种类型”：幂指型、隐函数、参数方程;高阶导数)3、导数的应用(切线与法线、单调性(重点)与极值点、利用单调性证明函数不等式、凹凸性与拐点、方程的根与函数的零点、曲率(数一、二))第三章中值定理1、闭区间上连续函数的性质(最值定理、介值定理、零点存在定理)2、三大微分中值定理(重点)(罗尔、拉格朗日、柯西)3、积分中值定理4、泰勒中值定理5、费马引理第四章一元函数积分学1、原函数与不定积分的定义2、不定积分的计算(变量代换、分部积分)3、定积分的定义(几何意义、微元法思想(数一、二))4、定积分性质(奇偶函数与周期函数的积分性质、比较定理)5、定积分的计算6、定积分的应用(几何应用：面积、体积、曲线弧长和旋转面的面积(数一、二)，物理应用：变力做功、形心质心、液体静压力)7、变限积分(求导)8、广义积分(收敛性的判断、计算)第五章空间解析几何(数一)1、向量的运算(加减、数乘、数量积、向量积)2、直线与平面的方程及其关系3、各种曲面方程(旋转曲面、柱面、投影曲面、二次曲面)的求法第六章多元函数微分学1、二重极限和二元函数连续、偏导数、可微及全微分的定义2、二元函数偏导数存在、可微、偏导函数连续之间的关系3、多元函数偏导数的计算(重点)4、方向导数与梯度5、多元函数的极值(无条件极值和条件极值)6、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线第七章多元函数积分学(除二重积分外，数一)1、二重积分的计算(对称性(奇偶、轮换)、极坐标、积分次序的选择)2、三重积分的计算(“先一后二”、“先二后一”、球坐标)3、第一、二类曲线积分、第一、二类曲面积分的计算及对称性(主要关注不带方向的积分)4、格林公式(重点)(直接用(不满足条件时的处理：“补线”、“挖洞”)，积分与路径无关，二元函数的全微分)5、高斯公式(重点)(不满足条件时的处理(类似格林公式))6、斯托克斯公式(要求低;何时用：计算第二类曲线积分，曲线不易参数化，常表示为两曲面的交线)7、场论初步(散度、旋度)第八章微分方程1、各类微分方程(可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程(数一、二)、全微分方程(数一)、可降阶的高阶微分方程(数一、二)、高阶线性微分方程、欧拉方程(数一)、差分方程(数三))的求解2、线性微分方程解的性质(叠加原理、解的结构)3、应用(由几何及物理背景列方程)第九章级数(数一、数三)1、收敛级数的性质(必要条件、线性运算、“加括号”、“有限项”)2、正项级数的判别法(比较、比值、根值，p级数与推广的p级数)3、交错级数的莱布尼兹判别法4、绝对收敛与条件收敛5、幂级数的收敛半径与收敛域6、幂级数的求和与展开线性代数部分第一章行列式1、行列式的定义2、行列式的性质3、特殊行列式的值4、行列式展开定理5、抽象行列式的计算第二章矩阵1、矩阵的定义及线性运算2、乘法3、矩阵方幂4、转置5、逆矩阵的概念和性质6、伴随矩阵7、分块矩阵及其运算8、矩阵的初等变换与初等矩阵9、矩阵的等价10、矩阵的秩第三章向量1、向量的概念及其运算2、向量的线性组合与线性表出3、等价向量组4、向量组的线性相关与线性无关5、极大线性无关组与向量组的秩6、内积与施密特正交化7、n维向量空间(数学一)第四章线性方程组1、线性方程组的克莱姆法则2、齐次线性方程组有非零解的判定条件3、非齐次线性方程组有解的判定条件4、线性方程组解的结构第五章矩阵的特征值和特征向量1、矩阵的特征值和特征向量的概念和性质2、相似矩阵的概念及性质3、矩阵的相似对角化4、实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵第六章二次型1、二次型及其矩阵表示2、合同变换与合同矩阵3、二次型的秩4、二次型的标准型和规范型5、惯性定理6、用正交变换和配方法化二次型为标准型7、正定二次型及其判定概率论与数理统计部分第一章随机事件和概率1、随机事件的关系与运算2、随机事件的运算律3、特殊随机事件(必然事件、不可能事件、互不相容事件和对立事件)4、概率的基本性质5、随机事件的条件概率与独立性6、五大概率计算公式(加法、减法、乘法、全概率公式和贝叶斯公式)7、全概率公式的思想8、概型的计算(古典概型和几何概型)第二章随机变量及其分布1、分布函数的定义2、分布函数的充要条件3、分布函数的性质4、离散型随机变量的分布律及分布函数5、概率密度的充要条件6、连续型随机变量的性质7、常见分布(0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布)8、随机变量函数的分布(离散型、连续型)第三章多维随机变量及其分布1、二维离散型随机变量的三大分布(联合、边缘、条件)2、二维连续型随机变量的三大分布(联合、边缘和条件)3、随机变量的独立性(判断和性质)4、二维常见分布的性质(二维均匀分布、二维正态分布)5、随机变量函数的分布(离散型、连续型)第四章随机变量的数字特征1、期望公式(一个随机变量的期望及随机变量函数的期望)2、方差、协方差、相关系数的计算公式3、运算性质(期望、方差、协方差、相关系数)4、常见分布的期望和方差公式第五章大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式2、大数定律(切比雪夫大数定律、辛钦大数定律、伯努利大数定律)3、中心极限定理(列维—林德伯格定理、棣莫弗—拉普拉斯定理)第六章数理统计的基本概念1、常见统计量(定义、数字特征公式)2、统计分布3、一维正态总体下的统计量具有的性质4、估计量的评选标准(数学一)5、上侧分位数(数学一)第七章参数估计1、矩估计法2、最大似然估计法3、区间估计(数学一)第八章假设检验(数学一)1、显着性检验2、假设检验的两类错误3、单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验最后冲刺很多同学在做模拟题，提醒大家要学会思考着去做题。
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求函数的渐近线是考研数学中经常出现的一个考点，这个知识点不难理解和掌握，考生只要将这个知识点适当加以梳理和练习，就可以稳拿这类考题的分数，但有些考生，由于复习过程中的疏忽和遗漏，没有将这个知识点理解透彻，结果导致丢失这部分分数，实为遗憾。为了帮助各位考生掌握好求函数渐近线的方法，文都考研辅导老师在这里向大家介绍函数渐近线的基本含义、类型和计算时应注意的相关问题，供各位考生参考。
典型例题：
例1.曲线 的渐近线的条数为（）
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
解析：∵ 为函数的间断点，且 ，∴ =1为垂直渐进线，而 ，故 不是渐进线，又∵ ，∴ =1为水平渐近线。函数没有斜渐近线，选（C）
例2.下列曲线中有渐近线的是（）
(A) (B)
(C) (D)
解析：∵ ， =0，∴y=x是y=x+ 的斜渐近线，选（C）
函数（曲线）渐近线的定义：
设点 为函数 对应曲线上的动点，若当点 无限远离原点时， 到直线L的距离趋于0，则称直线L为此函数（或曲线）的一条渐近线。
函数（曲线）渐近线的类型：
1）水平渐近线：若 存在，或 与 二者之一存在，则称直线 为函数 的水平渐近线。
2）铅直（或垂直）渐近线：若 ，或 与 二者之一成立，则称直线 为函数 的铅直（垂直）渐近线。
3）斜渐近线：若 ， ，或 与 、 与 ，这二者之一成立，则称 为函数 的斜渐近侧的，也可能是单侧的。若上面极限只是在单个方向上存在（+∞或-∞，左极限或右极限），则渐近线是单侧的，否则是双侧的。
2）求铅直渐近线时，首先要找出函数的间断点，然后判断 或 、 是否成立，若有一个成立，则 为函数 的铅直（垂直）渐近线。
例3.曲线 的渐近线的条数为（）
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
解析： ，∴ =0为垂直渐进线；又 ，∴ =0为水平渐近线；由 ， = = ，得知 为斜渐近线，选（D）
上面就是考研数学中关于函数（曲线）渐近线这类问题的求解方法，供考生们参考借鉴。在以后的时间里，文都考研辅导老师还会陆续向考生们介绍考研数学中其它重要题型的解题方法，希望各位考生留意查看。最后预祝各位学子在2015考研中取得佳绩。