关于函数曲线的渐近线
三种渐近线的存在关系
三种渐近线的存在关系“三种渐近线的存在关系”渐近线是数学中一个重要的概念，在图形的分析和数学问题的解决中具有广泛的应用。
在本文中，我们将探讨三种常见的渐近线：水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线，并研究它们之间的关系。
水平渐近线是指当函数的值趋近于无穷大或负无穷大时，曲线趋近于某一水平线。
在函数图像中，水平渐近线通常表现为曲线与水平线的距离越来越小，但无法真正与水平线相交。
一个函数可以有多条水平渐近线，而这些水平渐近线的值将是函数的极限值。
垂直渐近线是指当自变量的值趋近于某一特定值时，函数的值趋近于无穷大或负无穷大。
在函数图像中，垂直渐近线通常表现为曲线在一些点上的斜率趋近于无穷大或负无穷大，使曲线无法通过该点。
一个函数可以有多条垂直渐近线，而这些垂直渐近线的特定值将是函数的极限值。
斜渐近线是指当自变量的值趋近于无穷大或负无穷大时，曲线以一定的斜率趋近于某一直线。
在函数图像中，斜渐近线通常表现为曲线与直线越来越接近，但不会穿过直线。
一个函数可以有多条斜渐近线，而这些斜渐近线的斜率将是函数的极限值。
在这三种渐近线中，它们之间存在一定的关系。
首先，水平渐近线和斜渐近线是可以同时存在于一个函数中的。
例如，对于函数y= 1/x，在x趋近于无穷大或负无穷大时，曲线既有水平渐近线y= 0，也有斜渐近线y=0。
这说明水平渐近线和斜渐近线并不互斥，可以同时出现在一个函数图像中。
其次，垂直渐近线和斜渐近线是互斥的。
也就是说，一个函数不能同时有垂直渐近线和斜渐近线。
这是因为当自变量的值趋近于某一特定值时，曲线要么以无穷大的斜率趋近于一条垂直直线，要么以一定的斜率趋近于一条斜线。
因此，垂直渐近线和斜渐近线不可能同时存在。
总之，水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线是数学中常见的渐近线类型。
它们在函数图像中的表现形式和数学性质各不相同，但存在一定的关系。
对于一个函数来说，可以同时存在水平渐近线和斜渐近线，但不可能同时存在垂直渐近线和斜渐近线。
关于函数曲线的渐近线概念的探讨
Journal o f J i a ngsu Radio& Te l ev i s ion Univers ity
2007. 5 Vo.l 18
59
关于函数曲线的渐近线概念的探讨
何彦力 常州市广播电视大学 , 江苏 常州 213000
摘 要 : 现今一些 高等数学教科书中关 于渐近线的讨论比 较含糊 , 存在欠缺 , 主要表现在 : 一是按照其渐
且 f ( x ) 的图像在 x 轴的负向无穷远处无限靠近该渐近线。 ( 2 )若 li m f ( x ) = a, 则 f ( x )有一条水平渐近线 y = a,
x +
且 f ( x ) 的图像在 x 轴的正向无穷远处无限靠近该渐近线。 ( 3 )若 li m f ( x ) = a, 则 f ( x )有 一条水 平渐近 线 y = a,
x
f ( x ) - a = 1= = (设
1 1 sinx + cosx - 1 x x2
li m f ( x ) = a 的情况 下 , 当 x 在 x 轴的正向 远离
+
坐标原点时 , 若有 f ( x ) < 0 ( f ( x ) > 0 ), 则说 明 f ( x )的 图 像在渐近线 y = a 的上方 (下方 )无限靠近。 3 )在 li m = a 的情况下 , 可分别按 x
近线的概念进行讨论 , 将会丢失一些渐近线 。 二是讨论渐 近线是为了 帮助分析函 数曲线的 走向 , 而 其提出的 渐近线概念对此帮助不 大 。为此 , 提出了关于完善渐近线 概念的思考 , 并对曲 线与其渐 近线的几何 位置关系 进行了比较明确的探讨 , 基本上解决了上述两点不足 。 关键词 : 函数图像 ; 渐近线 ; 极限 中图分类号 : O 13 文献标识码 : A 文章编号 : 1008- 4207( 2007) 05- 0059- 02 线或斜渐近线被遗漏 , 如 : ( 1 ) y = lnx
4.6 渐近线与函数作图
那么 x x 0 就是 y f ( x) 的一条铅直渐近线 .
例如
1 y , ( x 2)( x 3)
有铅直渐近线两条:
x 2,
x 3.
2.水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线) 如果 lim f ( x) b 或 lim f ( x) b (b 为常数)
所以直线 y = 0是已知曲线的水平渐近线
ln x lim x 0 x
所以直线 x = 0是已知曲线的铅直渐近线
6.6.2 函数作图 函数作图的步骤
第一步
确定函数 y f ( x ) 的定义域,对函数进行奇 偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论, 求出函数的一阶导数 f ' ( x )和二阶导数 f " ( x );
y
6 B
4( x 1) f ( x) 2 2 x
1
3 2 1
C
1 2
o
x
2
A
3
1 e 例3 作函数 ( x ) 2
解
x2 2
的图形.
D : ( , ),
W : 0 ( x )
1 0.4. 2
x2 2
偶函数, 图形关于 y 轴对称
x ( x ) e 2
第二步 求出方程
f ' ( x ) 0 和 f " ( x ) 0 在函数定义 域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.
第三步
确定在这些部分区间内 f ' ( x ) 和 f " ( x ) 的符 号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹 凸与拐点（可列表进行讨论） ；
考研数学：求函数渐近线的方法
求函数的渐近线是考研数学中经常出现的一个考点，这个知识点不难理解和掌握，考生只要将这个知识点适当加以梳理和练习，就可以稳拿这类考题的分数，但有些考生，由于复习过程中的疏忽和遗漏，没有将这个知识点理解透彻，结果导致丢失这部分分数，实为遗憾。为了帮助各位考生掌握好求函数渐近线的方法，文都考研辅导老师在这里向大家介绍函数渐近线的基本含义、类型和计算时应注意的相关问题，供各位考生参考。
典型例题：
例1.曲线 的渐近线的条数为（）
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
解析：∵ 为函数的间断点，且 ，∴ =1为垂直渐进线，而 ，故 不是渐进线，又∵ ，∴ =1为水平渐近线。函数没有斜渐近线，选（C）
例2.下列曲线中有渐近线的是（）
(A) (B)
(C) (D)
解析：∵ ， =0，∴y=x是y=x+ 的斜渐近线，选（C）
函数（曲线）渐近线的定义：
设点 为函数 对应曲线上的动点，若当点 无限远离原点时， 到直线L的距离趋于0，则称直线L为此函数（或曲线）的一条渐近线。
函数（曲线）渐近线的类型：
1）水平渐近线：若 存在，或 与 二者之一存在，则称直线 为函数 的水平渐近线。
2）铅直（或垂直）渐近线：若 ，或 与 二者之一成立，则称直线 为函数 的铅直（垂直）渐近线。
3）斜渐近线：若 ， ，或 与 、 与 ，这二者之一成立，则称 为函数 的斜渐近侧的，也可能是单侧的。若上面极限只是在单个方向上存在（+∞或-∞，左极限或右极限），则渐近线是单侧的，否则是双侧的。
2）求铅直渐近线时，首先要找出函数的间断点，然后判断 或 、 是否成立，若有一个成立，则 为函数 的铅直（垂直）渐近线。
例3.曲线 的渐近线的条数为（）
4.4函数的单调性、凹凸性与曲线的渐近线
确定函数单调区间的一 般步骤：
(1) 确定函数 f ( x ) 的定义域；
(2) 求 f ( x ), 并求出使得 f ( x ) 0 的点以及 f ( x ) 不存在的点；
(3) 用上述点将 f ( x ) 的定义域分成若干小区间， 并判定每个子区 间内 f ( x ) 的符号，从而得到 f ( x ) 的单调区间.
例6. 判断曲线 y x 的凹凸性.
3
定义 连续曲线上凸弧与凹弧 的分界点称为拐点 .
注1. 设 ( x 0 , f ( x 0 )) 为 曲线 y f ( x ) 的拐点, 若 f ( x 0 ) 存在,
则 f ( x 0 ) 0. 反之未必, 如
(0, 0) 并非 y x 的拐点.
4
注2. 若 ( x0 , f ( x0 )) 为 y f ( x) 的拐点, 则 f ( x0 ) 未必存在.
例7. 求曲线 y 3 x 的拐点.
3 5 3 2 例 8. 求曲线 y x 3 x 3 1 的凹凸区间及拐点 . 5 2
确定函数凹凸区间及曲 线的拐点的一般步骤：
三. 曲线的渐近线 1.定义
定义 如果动点 M 沿曲线 C 趋于无穷远时, M 与某
直线 L 的距离趋于零, 则称 L 为曲线 C 的一条渐近线 .
2.渐近线的确定
(1) 垂直渐近线(垂直于 x 轴的渐近线)
命题 1
设函数 f ( x) 在 x c 间断, 若
x c x c
lim f ( x ) 或 lim f ( x ) ,
则称 f ( x ) 在 (a, b) 内是下凸 (上凹) 的, 也称 f ( x ) 是 (a, b) 内的下凸函数, 称区间 (a, b) 为该函数的下凸
曲线的渐进线
x x x2
1 得特殊点 x . 2
0, 得水平渐近线 y 0.
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:
x
f ( x )
1 (, ) 2
f ( x)
1 2
(
1 ,0) 2
0 0
极大值
(0,
1 ) 2
2( x 2)( x 3) 2 x ( x 1) 4, lim x x 1
y 2 x 4 是曲线的一条斜渐近线 .
2( x 2)( x 3) f ( x) 的两条渐近线如图 x 1
二、图形描绘的步骤
利用函数特性描绘函数图形.
确定函数 y f ( x ) 的定义域,对函数进行奇 偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论 , ' " 求出函数的一阶导数 f ( x ) 和二阶导数 f ( x ) ;
0
拐点
( 1 1 , ) 2 e
1yຫໍສະໝຸດ 1 (1 2
(
1 ,) 2
0
拐点
1 1 , ) 2 e
f ( x)
1 2
o
1 2
x
1 ( x ) e 2
x2 2
1 例2 作函数 ( x ) e 2
解
D : ( , ),
x2 2
的图形.
1 W : 0 ( x ) 0.4. 2
例：双曲线的渐近线
例：1/x的渐近线
1.水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线)
如果
x
lim f ( x) c 或 lim f ( x) c (c 为常数)
第8讲 函数图像的渐近线及其应用(教师版)
§8 函数图像的渐近线及其应用秒杀知识点①②知识点1：（渐近线的定义与类型）1．若曲线C 上的动点P 沿着曲线无限地远离原点时，点P 与某一固定直线l 的距离趋于零，则称直线l 为曲线C 的渐近线．2．渐近线分类：共分三类：水平渐近线（0α=），垂直渐近线π2α⎛⎫= ⎪⎝⎭和斜渐近线（0πα<<），其中α为渐近线的倾斜角．知识点2：（渐近线的求法）设曲线()y f x =有斜渐近线y kx b =+．如图所示，曲线上动点P 到渐近线的距离()()cos PN PM f x kx b α==-+．① 根据渐近线定义，当x →+∞（对x →-∞的情形也有相应结果）时，0PN →，从而应有()()lim 0x f x kx b →+∞-+=⎡⎤⎣⎦，②或()lim x f x kx b →+∞-⎡⎤⎦=⎣，③ 又由()()()1lim lim 00x x f x k f x kx b x x→+∞→+∞⎛⎫-=-=⋅=⎪⎝⎭． 得()limx f x k x→+∞=．④于是，若曲线()y f x =有斜渐近线y kx b =+，则k ，b 可由③，④确定，反之，若由④和③式求得k ，b ，再由②和①式得0PN →，从而直线y kx b =+为曲线()y f x =的渐近线．即斜渐近线问题就是③和④的极限问题．若曲线()y f x =存在水平渐近线y b =，则有()lim x f x b →+∞=或()lim x f x b →-∞=，反之，则y b =是曲线()y f x =的水平渐近线．若曲线()y f x =存在垂直渐近线0x x =，则有()0lim x x f x →=∞或()0lim x x f x +→=∞，()0lim x x f x -→=∞，反之，则说明0x x =是曲线()y f x =的垂直渐近线．知识点3：（正确认识渐近线——关于渐近线的几点注记）第一，并不是所有无限伸展或远离原点的曲线都有渐近线，如2y x =，sin y x =等都没有渐近线． 第二，在定义“无限地远离原点”中的原点，也未必是原点，可以是任意一个给定的点，两者是等价的，只不过原点比较有名且明确而已．如1x =是()211y x =-的垂直渐近线，“无限地远离原点”和无限地远离点()1,0，甚至点(),a b 没有本质区别．第三，定义中，当曲线上的动点无限地远离原点时，只需要以某种方式远离即可，不需要以任意方式都远离．如0y =是2x y =的水平渐近线，动点P 无限地远离原点，即这只是当x →-∞时，2x y =无限接近于x 轴，而当x →+∞时，2x y =无限远离x 轴．第四，若曲线存在渐近线，则当x 充分大（或充分小），或无限趋于0x （0x x =是其垂直渐近线）时，曲线基本就像相应渐近线那样近似于一条直线，如，双曲线存在渐近线，而抛物线则没有，从渐近线的角度很容易明白两者的区别．第五，曲线与其渐近线是可以相交的，甚至曲线在“渐近”的过程中与其渐近线可无限次地穿过来穿过去． 高中教材唯一一次挑明渐近线身份是学习双曲线时，给出指示性定义后教材补充一句“也就是说，双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交”．因此可能会给学生造成一般的渐近线都不能与曲线相交的错误认识．如sin x y x =，因为sin lim 0x x x →∞=，所以0y =是该偶函数的水平渐近线，但sin x y x =在区间()0,+∞内有无数个零点，如图所示．第六，曲线与其渐近线可以是相切的，而且可以有无数个切点．如sin 1x y x +=，因为sin 1lim 0x x x →∞+=，0sin 1lim x x x→+=∞，所以0y =，0x =分别是该函数的水平渐近线和垂直渐近线．但该函数与其水平渐近线0y =有无数个切点3π2π,02k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()k +∈N ，如图所示．第七，根据以上讨论知，曲线并不都是一直“单调”接近渐近线的．知识点4：（求渐近线举例）【示例】求曲线()3223x f x x x =+-的渐近线． 【解析】由④()33223f x x xx x x=+-，所以332lim 123x x x x x →∞=+-，即1k =． 由③及1k =得：()()32lim lim 223x x x f x kx x x x →∞→∞⎛⎫-=-=- ⎪+-⎝⎭，即2b =-． 从而曲线的渐近线方程为2y x =-．又()3223x f x x x =+-，得()3lim x f x →-=∞，()1lim x f x →=∞．所以垂直渐近线为3x =-和1x =．（如上图所示）秒杀思路分析一般用渐近线分析函数性质，常见的有()b f x ax x =+和()()f x yg x =（其中()f x ，()g x 都是关于x 的非零多项式）两种类型．（1）关于型如()b f x ax x =+的分析：当0a =，0b ≠时，()b f x x=为反比例函数；当0a ≠，0b =时，()f x ax =为正比例函数（一次函数）； 当0ab ≠时，0lim x b ax x →⎛⎫+=∞ ⎪⎝⎭，则0x =是其一条垂直渐近线． 又lim x b ax x a x →∞⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，lim 0x b ax ax x →∞⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则y ax =是其一条斜渐近线，即()b f x ax x =+的图像是夹在两条渐近线0x =和y ax =之间的双曲线，具体情况如下图所示．（2）对于有理分式函数()()f x yg x =的渐近线有如下一般结论：第一，若0x 是方程()0g x =的实数解，且()00f x ≠，则有理分式函数图像存在垂直渐近线0x x =； 第二，若多项式()f x 和()g x 的次数相等，且它们的最高次项系数分别为a ，b ，则该函数图像存在水平渐近线a y b=；第三，若多项式()f x 的次数小于()g x 的次数，则0y =为该函数图像的水平渐近线；第四，若多项式()f x 的次数比()g x 的次数大1，则该函数图像存在斜渐近线，可用公式④和③求解． 【示例】讨论下列三个函数图像的渐近线．（1）()2221x x f x x x +=-+； （2）()221x g x x x =+-； （3）()3221x x h x x x +=+-． 【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ，图像如图（1）所示，存在水平渐近线12y =．（2）函数()g x 的定义域为{}112x x x ≠-≠且，图像如图（2）所示，存在水平渐近线0y =和垂直渐近线1x =-，12x =．（3）函数()h x 的定义域为{}112x x x ≠-≠且，图像如图（3）所示，存在垂直渐近线1x =-，12x =和斜渐近线1124y x =-．方法对比【例1】（2015年安徽卷理9）函数()()2ax b f x x c +=+的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）A ．0a >，0b >，0c <B ．0a <，0b >，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c <【例2】（2002年全国卷）函数111y x =--的图像是（如图所示）（ ）A ．B ．C ．D ．【例3】（2004年湖北卷文）已知52x ≥，则()24524x x f x x-+=-有（ ）A ．最大值5B ．最小值5C ．最大值1D ．最小值1秒杀训练【试题1】曲线()1ln 1e x y x =++渐近线的条数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】()001lim lim ln 1e x x x y x →→⎡⎤=++=∞⎢⎥⎣⎦，则0x =是垂直渐近线；()1lim lim ln 1e 0x x x y x →-∞→-∞⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦，则0y =是曲线的水平渐近线； ()2ln 1e 1lim lim 1x x x y x x x →+∞→+∞⎡⎤+⎢⎥+=⎢⎥⎣⎦=，则y x =是其斜渐近线． 综上，共有3条渐近线，故选D ． 【试题2】已知函数()321x y x =-，求函数图像的渐近线． 【解析】()321lim 1x x x →=+∞-，1x =是垂直渐近线． ()22lim lim 11x x y x x x →∞→∞==-，且()()32lim lim 21x x x y x x x →∞→∞⎡⎤-=-=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 从而2y x =+是图像的斜渐近线．【试题3】如图所示的是一个函数的图像，在下面的四个函数中，其图像是所给图像的是（ ）A ．ln y x x =+B ．ln y x x =-C ．ln y x x =-+D ．ln y x x =--【解析】易知选择B ．真题回放【试题1】（2017年全国卷Ⅲ文7）函数2sin 1x y x x=++的部分图像大致为（如图所示）（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】31sin limlim 11x x y x x x x →+∞→+∞⎛⎫=++= ⎪⎝⎭．()2sin lim lim 11x x x y x x →+∞→+∞⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭． 所以1y x =+是其斜渐近线，排除C ，B ．又20sin lim 1x x x x +→⎛⎫++=+∞ ⎪⎝⎭，故选择D ． 【试题2】（2010福建卷理10）对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k ，b 为常数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有()()()()00f x h x mh x g x m⎧<-<⎪⎨<-<⎪⎩，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =和()y g x =的“分渐近线”．给出定义域均为{}1D x x =>的四组函数如下：①()2f x x =，()g x = ②()102x f x -=+，()23x g x x-=；③()21x f x x +=，()ln 1ln x x g x x +=； ④()221x f x x =+，()()21e x g x x -=--． 其中，曲线()y f x =和()y g x =存在“分渐近线”的是（ ）A ．①④B ．②③C ．②④D ．③④【解析】①两个函数图像都没有渐近线；②当x →+∞时，()f x 从直线2y =上方趋近2，而()g x 从直线2y =下方趋近2，故2y =是两函数图像的“分渐近线”；③()f x 是双曲线型函数，存在渐近线0x =，y x =，而()g x 存在渐近线1x =，y x =．但是，当x →+∞时，()f x x >，()g x x >．即()f x 和()g x 都是从直线y x =上方趋于渐近线y x =，故不满足题意． ④当x →+∞时，()()()221211f x x x x =-+→-+，()()()22121e x g x x x =--→-．并且()()21f x x >-，()()21g x x <-．所以()21y x =-是()f x 和()g x 的斜渐近线且分别从两侧趋于()21y x =-．故选C ．。
曲线渐近线公式
曲线渐近线公式摘要：1.曲线渐近线的定义2.常见曲线类型的渐近线公式3.求解曲线渐近线的方法4.曲线渐近线在实际问题中的应用正文：曲线渐近线是指当曲线趋近于无穷大时，曲线与渐近线的夹角趋于零，即曲线与渐近线越来越接近。
在数学分析中，研究曲线渐近线有助于更好地了解曲线的性质和行为。
一、曲线渐近线的定义设曲线为y = f(x)，当x趋于正无穷或负无穷时，如果存在非零常数k，使得lim(x→∞) (f(x) - kx) = 0或lim(x→∞) (f(x) + kx) = 0，则称直线y = kx为曲线y = f(x)的渐近线。
其中，k称为渐近线的斜率。
二、常见曲线类型的渐近线公式1.指数函数：y = a^x，渐近线为y = a^x (a > 0)和y = 0 (a < 0)。
2.对数函数：y = log_a(x)，渐近线为y = 1 (a > 1)和y = -∞ (0 < a < 1)。
3.幂函数：y = x^a，渐近线为y = 0 (a < 0)和y = +∞ (a > 0)。
4.三角函数：- 正弦函数：y = sin(x)，渐近线为y = 0和y = ±1。
- 余弦函数：y = cos(x)，渐近线为y = 0和y = ±1。
- 正切函数：y = tan(x)，渐近线为y = 0和y = ±∞。
三、求解曲线渐近线的方法1.观察法：对于一些简单的曲线，可以直接观察出渐近线。
2.洛必达法则：对于可导函数，可以通过求导和洛必达法则求解渐近线。
3.参数方程法：对于参数方程表示的曲线，可以通过参数方程求解渐近线。
四、曲线渐近线在实际问题中的应用曲线渐近线在实际问题中有着广泛的应用，例如在物理学、工程学、经济学等领域。
通过研究曲线渐近线，可以更好地了解曲线的性质，为实际问题的解决提供帮助。
微积分I课程曲线的渐近线与函数作图
定义4 对于函数f (x),若 lim [ f (x) (ax b)] 0或 x
lim [ f (x) (ax b)] 0或 lim[ f (x) (ax b)] 0，则
x
x
称直线y ax b, a 0为曲线y f (x)的一条斜渐近线,
且a lim f (x) , b lim[ f (x) ax].
(2()2)f (fx()x) x x ee12x122 x,2 , f f(x()x) (x(x1)1(x)(x1)1e)e12x122 x.2 .
所以y x 1是曲线的斜渐近线.
例8
求曲线y
2x2 的渐近线 x2 1
解
lim
x
2x2 x2 1
2
y 2为水平渐近线
又
lim
x1
2x2 x2 1
lim
x1
2x2 x2 1
x 1为垂直渐近线无斜渐近线
例9
求曲线y
1 1
e x2 e x2
的渐近线.
解
1 ex2
lim
x
1
e
x2
1, y 1为水平渐近线.
例7 求曲线 y x2 的斜渐近线. 1 x
解 设斜渐近线为y ax b, (a 0), 则
a lim f (x) lim x2 1
x x
x x(1 x)
b lim[ f (x) ax] lim[ x2 ax]
x
x 1 x
x2
x
lim[ x] lim
1
x 1 x
x 1 x
3
x
e
lim ln(3 ) ln 3
x
x
y ln 3是曲线y ln(3 e )的水平渐近线. x
一元函数求渐近线
1
故曲线 y = e x2 arctan
x2 + x +1
有两条渐近性：一条水平渐近线 y = π ，一条铅直渐近
( x − 1)( x + 2)
4
线 x = 0 。故选（B）。
例 2（2007 数学一） 曲线 y = 1 + ln(1 + e x ) 渐近线的条数是（ D ） x
（A） 0 （B）1 （C） 2 （D） 3 解：函数 y = 1 + ln(1 + e x ) 在 x = 0 处无定义；
x
（1）因为 lim x→0
1 x
=
∞
， lim ln(1 x→0
+
ex
)
=
ln
2
，所以
lim
x→0
⎡ ⎢⎣
1 x
+
ln(1 +
ex
)⎥⎦⎤
=
∞
，
从而直线 x = 0 是曲线 y = 1 + ln(1 + e x ) 的铅直渐近线； x
（2）因为
lim
x→− ∞
1 x
+
ln(1 + x
ex)
=
lim
一元函数曲线最多只有两条水平渐近线。
例 如 ， lim arctan x = − π ， lim arctan x = π ， 所 以 直 线 y = π 和 y = − π 是 曲 线
x→ − ∞
2
x→ + ∞
2
2
2
y = arctan x 的水平渐近线；
lim arccot x = π ， lim arccot x = 0 ，所以直线 y = 0 和 y = π 是曲线 y = arc cot x 的水
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关于函数的渐近线问题
函数的渐近线：假设函数()f x 是我们要求解的函数。
那么它的渐近线会是什么形式呢？ 首先我们知道函数()f x 的渐近线肯定是一条一次函数即y kx b =+，其中k 和b 分别为渐进线的斜率和截距。
那么我们知道所谓渐进线就是函数曲线与这条直线的距离越来越小，就是曲线与渐近线越来越近，那么我们知道当x →∞时函数()f x 与渐近线的距离应该为0.从而我们有：()lim ()0x f x kx b →∞
-+=⎡⎤⎣⎦， 从而[]()11lim lim ()lim 0x x x f x k f x kx b x x
x →∞→∞→∞⎡⎤-=-==⎢⎥⎣⎦ 也就是说函数的渐近线的斜率为：()lim x f x k x
→∞=。
这样我们就知道了渐近线的斜率，剩下的就是求解渐近线的截距了，然而我们知道： ()lim ()0x f x kx b →∞-+=⎡⎤⎣⎦，即[]lim ()x f x kx b →∞
-=，所以渐近线我们也就求出来了。
当函数存在不定义的点时，比如1()1
f x x =
-在1x =处就是它的不定义点，但是我们知道当1x →时，函数趋向于∞，所以直线1x =就是函数曲线的垂直渐近线。
综上所述，我们知道求解函数曲线的渐近线时，首先我们要考虑正常的渐近线，即斜率存在，那么利用上面的分析就可以求解出来渐近线的斜率和截距。
然后就是考虑函数的不定义点了，那么也就把函数的渐近线就全部求解出来了。
例、求曲线3
2()23
x f x x x =+-的渐近线。
解：我们有：2
2()lim lim 123x x f x x x
x x →∞→∞==+- 因此[]3
3322223lim ()lim lim 22323x x x x x x x x b f x kx x x x x x →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤--+=-=-==-⎢⎥⎢⎥+-+-⎣⎦⎣⎦
所以函数有渐近线2y x =-。
然而易知：()()
33
2()=2331x x f x x x x x =+-+-，也就是说333lim ()lim (3)(1)x x x f x x x →-→-==∞+-和3
11lim ()lim (3)(1)
x x x f x x x →→==∞+-，这样函数还有3,1x x =-=两条渐近线。