曲线的凹凸性、渐近线 及函数图形的描绘
x
y
(, 0)
y
y
0 0
(0,1)
2
(1, 2)
2
(2, )
2
0
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由上表可知函数在区间[0， 1） 、 （1， 2]单调递减， 在 ( , 0] 、
[2, ) 单调递增；
曲线在区间 (, 1) 是凸的，在 (1, ) 是凹的．
x
函数在定义域内是单调下降 函数在定义域内是单调递增的, 为了更好的反映函数的变化性态，再来研 的，但它的图形也是弯曲的， 但它的图形在上升的过程中是弯 究函数另外的性质——函数的凹凸性． 曲的,而且弯曲的方式是不同的 , 起初是凹的，后来变成是凸 的. 图形先是凹的,后变为凸的；
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１．曲线的凹凸性
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) ， 2 2
则称曲线 y f ( x) 在区间 I 上是凸的，称 I 为函数 y f ( x) 的凸区间．
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前面已经利用函数的一阶导数研究了函数的单调性, 看来要研究函数的凸性就不能再单单依靠一阶导数了. 下面的定理给出了利用函数的二阶导数来判别函数凸性 的方法．
二、渐近线
y
观察下图,它们有什么特点？
y
y 1 2 e
x2 2
y tan x
水平渐近线
O
O
2
x
x
铅直渐近线
f ( x ) a （或 x 仅趋于 或 时 f ( x ) a ） 若 lim ， x
则称直线 y a 为曲线 y f ( x ) 的水平渐近线． 它们都有 lim f ( x ) 若 x x0 （或 x 从 x0 的一侧趋于 x0 时 f ( x ) ） ， 渐近线. 则称直线 x x0 为曲线 y f ( x ) 的铅直渐近线.
f ( x ) n(n 1) x n2 0 ，
因此在 (0, ) 上，函数是凹的．
由定义 2，对 x 0, y 0, x y 我们有
x y f ( x) f ( y) f( ) ， 2 2
即
1 n x y n ( x yn ) ( ) ( x 0, y 0, x y , n 1) ． 2 2
3 y x 即曲线 的凹、凸性区间分别是 (, 0),(0, ) ，
原点 (0, 0) 是曲线的拐点．
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3 2 y 2 x 3 x 12 x 14 的拐点． 例 4 求曲线
3 2 y 2 x 3 x 12 x 14 得， . ( , ) 解 定义域为 由 ， 分析：由二阶导数的符号判断曲线的凹凸性，并求得拐点
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例3
3 y x 求曲线 的凹凸性区间，并找出其拐点．
分析：由二阶导数的符号判断曲线的凹凸性，并求得拐点.
3 ( , ) y x 解 定义域为 ， 由 知， y 6 x ．
因此，当 x 0 时， y 0 ，由定理 2，曲线是凹的；
同样的理由，当 x 0 时，曲线是凸的．
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2．曲线的拐点
y
M
O
x
由左图可以看到， 曲线在点M的两侧有不 同的凹凸性，我们把点 M称为曲线的拐点.
定义
如果 y f ( x ) 在 x x0 点连续，且在曲线上的点
( x0 , f ( x0 )) 两侧， 曲线有不同的凸性， 则称点 ( x0 , f ( x0 )) 为
曲线的拐点．
应由二阶导数等于0求得分界点.
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例2
1 n x y n n ) 证明 ( x y ) ( 2 2
( x 0, y 0, x y , n 1)
分析：从形式上看可以采用函数凹凸性的定义来证明，想 一想这里的函数表达式是什么样的？
n 证 对函数 f ( x ) x (n 1) ，当 x 0 时，
4 即曲线 y x 在 (, ) 上都是的凹的. 曲线无拐点．
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讨论：分析例 3、4、5、6，您看满足 y 0 的点一定对应 函数曲线的拐点吗？如果不是，有反例吗？拐点的横坐标 一定满足 y 0 吗？能举例说明吗？由此来看， 找函数的拐 点时应从哪些点处考虑？
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x1 x2 , 记 x0 证明 在[a,b]内任取两点x1, x2(不妨设x1< x2 )， 2 为下面叙述方便起见，不妨设 x2 x0 x0 x1 h.
在区间[x1, x0],[x0, x2],上分别用拉格朗日中值定理，得
f ( x2 ) f ( x0 ) f (1 )h, f ( x0 ) f ( x1 ) f (2 )h,
y y
凹
O
f ( x1 ) f ( x2 ) 2 x1 x2 f( ) 2 x1 x2 x2 x 2
x1 x2 f( ) 2
f ( x1 ) f ( x2 ) 2
O
凸
x1
x1 x1 x2 x2 2
x
对于该区间内的任意两点x1, x2
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) ; 2 2 f( x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ) . 2 2
y 6 x 2 6 x 12,
1 x 解方程 y 0 得 2，
1 y 12 x 6 12( x ) 2
1 1 x 并且当 x 2 时， y 0; 当 2 时 y 0．
1 x 这就是说，曲线在对应 2 的点的两侧具有不同的凹凸性， 1 x 因此曲线上对应 2 的点是曲线的拐点． 41 1 41 y 1 ( , ) 由于 x 2 2 ，因此点 2 2 是曲线的拐点．
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讨论：前面讨论了利用函数的单调性证明不等式，现 在又利用函数的凹凸性证明了不等式，在本章第一节 我们还利用拉格朗日中值公式证明了不等式，请比较 这三种方法各自的特点．
利用凹凸性证明不等式时，含有函数在三个点处的 函数值，而且其中一点是另外两个点的中点； 利用拉格朗日中值公式证明不等式时，需要含有函 数的增量，即函数在两点处的函数值的差； 不具备上述特点时，考虑利用单调性证明不等式.
虽然在 x 1 的两侧所对应的曲线有不同的凹凸性，但是该 函数在 x 1 处无定义，因此曲线没有拐点．
4 y x 例6 的凹凸性区间，并找出其拐点．
4 2 ( , ) y x y 12 x 解 定义域为 ， 由 知， ．
解方程 y 0 得 x 0 ，并且当 x 0 或 x 0 时，都有 y 0 ．
第三章 微分中值定理 与导数的应用
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第五节 曲线的凹凸性、渐近线 及函数图形的描绘
一 、曲线的凹凸性与拐点
二 、渐近线
三、函数图形的描绘
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一、曲线的凹凸性与拐点
仅仅根据函数的单调性、极值等对刻画函数的形态 还是不够的.
y
y f ( x)
y
y f ( x)
0
x
0
3 2 y 3 x 2 x 1 ，讨论曲线的凹凸性． 例1 设
讨论：要解决这个“未知”，需要用什么做“已知”？为了 解 定义域 (, ) ， 由y 3 x 3 2 x 2 1 求得， 利用这个“已知”首先应做什么？ y 18 x 4 y 9 x 2 4 x
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三、函数图形的描绘
借助函数的单调性、凹凸性、拐点、极值以及渐近线等性 质，并利用一些特殊的点就可以比较准确地描绘出函数的 图形． 描绘函数图形的步骤： 1．考察函数的定义域、函数的奇偶性、周期性； 2．求出函数的导数，确定函数的单调区间及极值； 3．求出函数的二阶导数，确定曲线的凹凸区间及拐点． 4．考察函数图形的渐近线． 5．计算特殊点（不可微点，极值点、拐点等）以及容易 计算函数值的点（如与坐标轴的交点等）处的函数值． 6. 综合上述讨论，描绘函数图形.
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x2 y 例 5 讨论函数 x 1 在定义域内的单调性及其所对
应曲线的凹凸性，该曲线有拐点吗？ 2 x 解 函数 y 的定义域为 (,1),(1, ) x 1 x( x 2) 2 y y 2 并且 ( x 1) ， ( x 1)3 ．
这两个驻点将函数的定 我们看到，函数有两个驻点 x 0 及 x 2 ， 义域划分为 (, 0) ， (0,1) ， (1, 2) 及 (2, ) 四个区间.列表如下
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例7
描绘出函数 y e
x2
的图形．
分析：应根据图形描绘的步骤，先确定函数的定义域、 单调区间、极值、凸区间、拐点、渐近线及一些特殊点， 然后逐段描绘出函数图形. 解 函数的定义域为(, ). 由于函数为偶函数，其图 像关于y 轴对称，因此只要在区间 [0, ) 上讨论就可以了. 由于
y 2 xe
x2
, y 2(2 x 1)e
2
x2
,
1 2 ,
解方程 y 0, 得函数的驻点x=0; 解方程 y 0, 得 x
为讨论该函数在 [0, ) 上的单调性、极值及其图像的凹凸 性与拐点，列表分析如下
这两个不等式分别用解析的方法揭示了 函数图形的凹、凸性.
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于是我们有下面的函数凹凸性的定义：
定义 1 设函数 y f ( x) 在区间 I 上连续，如果对于 I 上的 任意两点 x1 , x2 ，恒有
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) ， 2 2
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23-曲线的凹凸性、描绘函数图形
趋于零 , 则称此直线 L 为曲线 y = f ( x ) 的一条 渐近线 .
曲 线 的 渐 近 线
水平渐近线
垂直渐近线
斜渐近线
水平渐近线
若 lim f ( x) b , 则曲线 f ( x) 有一条水平渐近线 y b .
x
这里的极限可以是
x
lim f ( x) b 或 lim f ( x) b .
x
垂直渐近线
若 lim f ( x) , 则曲线 y f ( x) 有一条垂直渐近线 x a .
x a
这里的极限可以是 xlim f ( x) , a lim lim f ( x) ; f ( x) ,
x a
x a
x a
lim f ( x) ; lim f ( x) .
f ( x) ( x 1) lim lim 1 2 x x x ( x 1) x
b k
现在给定一个函数 , 我们可以讨论它的：
定义域、 值 域、 奇偶性、 有界性、 周期性、 连续性、 间断点、 可微性、 单调性、 极 值、 最 值、 凹凸性、 拐 点、 渐近线、 零点位置 . 用极限讨论函数的变化趋势 . 用泰勒公式将函数离散化 .
三、函数图形的描绘
作函数图形的一般步骤如下： (1) 确定函数的定义域 , 观察奇偶性、周期性 . (2) 求函数的一、二阶导数 , 确定极值可疑点和拐点可疑点 .
若 f ( x) 在点 x0 两侧符号相反, 则
点 ( x0 , f ( x0 )) 为曲线 y f ( x) 的拐点 .
定理
( 判别拐点的充分条件 )
设 f ( x) C ( I ) , f ( x) 在 U( x0 ) ( x0 I ) 内三阶可导 .
第8节 曲线的凹凸性及渐近线
2
2
那么称在Ⅰ上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；
如果恒有
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2)
2
2
那么称在Ⅰ上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。
定义：设函数 y f x在a,b内可导，则
1.如果曲线y f x在a,b内任意点的切线总位于 曲线的下方，则称曲线y f x在a,b上是凹的.
1.确定函数的定义域并求f x; 2.求出f x 0和f x不存在的点x0; 3.对于2中的每一个x0,检查f x在x0左、右两侧
邻近的符号.
例3.求曲线y 2x3 3x2 12 x 14的凹凸区间和拐点 .
解 函数的定义域为 (, ).
y y
6x2 0
6x 12, ,得x1
y 1 2
第八节 曲线的凹凸性及渐近线
一、曲线的凹凸性及拐点的判定定理 二、曲线的渐近线
一、曲线的凹凸性及其判别法
y y f (x)
y y f (x)
o
x x x1 x2 12
x
2
o x1 x1 x2 x2 x
2
定义 设在区间Ⅰ上连续，如果对Ⅰ上任意两点 x1, x2，
恒有 f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2)
拐点是曲线凹与凸的分界点.由定理知，在拐点左右两侧
f x的符号必然异号，因而在拐点处有f x 0或者f x 不存在；反过来，f x 0的点和f x不存在的点可能是 曲线的拐点，究竟是否拐点，还要看该点处f x的符号是
否异号.
例1.判定曲线 y x3的凹凸性.
解 函数的定义域为 (, ).
y' 3x2 , y'' 6x. x 0 y'' 0.
函数的凹凸性与作图
机动 目录 上页 下页 返回 结束
6）绘图
x ( , 1) 1 (1,1)
y
1
无 定 义
(1, 3) 3
(3 , )
2
(极大)
0
(极小)
铅直渐近线 斜渐近线 特殊点
x 1 1 5 y x 4 4
( x 3) 2 y 4( x 1)
x
y
0 9 4
2 1 4
3) 判别曲线形态
x y y y
0 0
1 2
(0 , 1)
1
0
1 2 e
(1, )
(极大)
机动
(拐点)
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x y y y
0 0
1 2
(0 , 1)
1
0
1 2 e
(1, )
(极大)
(拐点)
4) 求渐近线
y
A
1 2
lim y 0
( k x b)
f ( x) b k lim [ ] x x x f ( x) k lim x x
(或 x )
f ( x) b lim x[ k ]0 x x x f ( x) b lim [ k ]0 x x x
b lim [ f ( x) k x]
y
C M
y f ( x)
y kxb
L
PN
有渐近线
但抛物线
x y 0 a b
无渐近线 .
o
y
x
x
o
机动
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1. 水平与铅直渐近线 若 则曲线
6）绘图
x ( , 1) 1 (1,1)
y
1
无 定 义
(1, 3) 3
(3 , )
2
(极大)
0
(极小)
铅直渐近线 斜渐近线 特殊点
x 1 1 5 y x 4 4
( x 3) 2 y 4( x 1)
x
y
0 9 4
2 1 4
3) 判别曲线形态
x y y y
0 0
1 2
(0 , 1)
1
0
1 2 e
(1, )
(极大)
机动
(拐点)
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x y y y
0 0
1 2
(0 , 1)
1
0
1 2 e
(1, )
(极大)
(拐点)
4) 求渐近线
y
A
1 2
lim y 0
( k x b)
f ( x) b k lim [ ] x x x f ( x) k lim x x
(或 x )
f ( x) b lim x[ k ]0 x x x f ( x) b lim [ k ]0 x x x
b lim [ f ( x) k x]
y
C M
y f ( x)
y kxb
L
PN
有渐近线
但抛物线
x y 0 a b
无渐近线 .
o
y
x
x
o
机动
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1. 水平与铅直渐近线 若 则曲线
函数的凹凸与曲线的凸向、拐点和渐近线、函数作图
x y x ln x y ln y 。 从而 ( x y )ln 2
10
2.8.3-5 函数的凹凸与曲线的凸向、拐点和渐近线及函数作图
二、曲线的拐点
1． 定义：连续曲线上曲线向上凸与向下凸的分界点 称为曲线的拐点。
2£ Õ ã Ä Ð ¨· ® ¹ µ µ Ŷ¨
与极值点判断类似 ， f ( x ) 0 的点和 f ( x ) 不存在 的点，是拐点横坐标 的可疑点。
2(1 x 2 ) 2x （2） y 2 ， y 2 ， 2 ( x 1) x 1
（3）令 y 0 ，得 x 1 ， x 1 。
x y
曲线 y
Hale Waihona Puke (, 1)-1 0拐点 (-1，ln2)
(-1， 1) +
1 0
拐点 (1，ln2)
(1, )
例如： f ( x ) x 4 ， f ( x ) 12 x 2 ，有 f (0) 0 ，但 （0，0）不是拐点。
12
2.8.3-5 函数的凹凸与曲线的凸向、拐点和渐近线及函数作图
例 2．求曲线 y ln( x 1) 的凸向和拐点。
2
解： （1）函数的定义域为 (,) ；
则称函数 f 为区间 I 上的凸函数； 若总有 f ( p1 x1 p2 x2 ) p1 f ( x1 ) p1 f ( x2 ) ，则称函数 f 为区间 I 上的凹函数。
3
2.8.3-5 函数的凹凸与曲线的凸向、拐点和渐近线及函数作图
y
y f ( x)
y
A
o a x1
D B
C
x
x2 b x
2
x2 x x x1 令 p1 , p2 ， 则 p1 0 ， p2 0 且 p1 p2 1 ， x2 x1 x2 x1
10
2.8.3-5 函数的凹凸与曲线的凸向、拐点和渐近线及函数作图
二、曲线的拐点
1． 定义：连续曲线上曲线向上凸与向下凸的分界点 称为曲线的拐点。
2£ Õ ã Ä Ð ¨· ® ¹ µ µ Ŷ¨
与极值点判断类似 ， f ( x ) 0 的点和 f ( x ) 不存在 的点，是拐点横坐标 的可疑点。
2(1 x 2 ) 2x （2） y 2 ， y 2 ， 2 ( x 1) x 1
（3）令 y 0 ，得 x 1 ， x 1 。
x y
曲线 y
Hale Waihona Puke (, 1)-1 0拐点 (-1，ln2)
(-1， 1) +
1 0
拐点 (1，ln2)
(1, )
例如： f ( x ) x 4 ， f ( x ) 12 x 2 ，有 f (0) 0 ，但 （0，0）不是拐点。
12
2.8.3-5 函数的凹凸与曲线的凸向、拐点和渐近线及函数作图
例 2．求曲线 y ln( x 1) 的凸向和拐点。
2
解： （1）函数的定义域为 (,) ；
则称函数 f 为区间 I 上的凸函数； 若总有 f ( p1 x1 p2 x2 ) p1 f ( x1 ) p1 f ( x2 ) ，则称函数 f 为区间 I 上的凹函数。
3
2.8.3-5 函数的凹凸与曲线的凸向、拐点和渐近线及函数作图
y
y f ( x)
y
A
o a x1
D B
C
x
x2 b x
2
x2 x x x1 令 p1 , p2 ， 则 p1 0 ， p2 0 且 p1 p2 1 ， x2 x1 x2 x1
第四、六节 曲线凹凸性及函数图形描绘
x→x0 x→x0 x→x0
x 则 = x0是 数 = f ( x)的 条 直 近 . 函 y 一 垂 渐 线
y C o x y o
x0
x
曲 例1 求 线 y =
1 的 平 近 . 水 渐 线 x −1
y
2 1 -2 -1 -1 -2
y = ( x −1)
−1
1 解 Qlim =0 x→ x −1 ∞
1 一条水平渐近线 ∴ y = 0 是y = x −1
1 曲 的 垂 近 . 铅 渐 线 例2 求 线 y = x −1
O 1
2
x
1 1 解 Qlim = −∞, lim = +∞, − + x→ x −1 1 x→ x −1 1
∴x =1 y = f (x)的 条 垂 近 . 为 一 铅 渐 线
利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图. 利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图. 分析法作图
[ (2) f ′′( x) < 0, 则 ( x)在a,b]上的图形是凸的 f .
例1 判断函数 y = ln x的凹凸性 . 解 y 的定义域为 (0,+∞ )
1 Q y′ = x
y ′′ = − 1 x2
∴ 在(0， ∞ )内，有 y′′ < 0 +
例2 判断 y = x 3 的凹凸性 . 解
2 y ′′ = 36 x − 24 x = 36 x x − 令 y′′ = 0 3 列表
x2 =
2 3
x y" y
(−∞,0)
0 0
1(拐点)
2 , 0 3
+
－
0
11 (拐 ) 点 27
x 则 = x0是 数 = f ( x)的 条 直 近 . 函 y 一 垂 渐 线
y C o x y o
x0
x
曲 例1 求 线 y =
1 的 平 近 . 水 渐 线 x −1
y
2 1 -2 -1 -1 -2
y = ( x −1)
−1
1 解 Qlim =0 x→ x −1 ∞
1 一条水平渐近线 ∴ y = 0 是y = x −1
1 曲 的 垂 近 . 铅 渐 线 例2 求 线 y = x −1
O 1
2
x
1 1 解 Qlim = −∞, lim = +∞, − + x→ x −1 1 x→ x −1 1
∴x =1 y = f (x)的 条 垂 近 . 为 一 铅 渐 线
利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图. 利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图. 分析法作图
[ (2) f ′′( x) < 0, 则 ( x)在a,b]上的图形是凸的 f .
例1 判断函数 y = ln x的凹凸性 . 解 y 的定义域为 (0,+∞ )
1 Q y′ = x
y ′′ = − 1 x2
∴ 在(0， ∞ )内，有 y′′ < 0 +
例2 判断 y = x 3 的凹凸性 . 解
2 y ′′ = 36 x − 24 x = 36 x x − 令 y′′ = 0 3 列表
x2 =
2 3
x y" y
(−∞,0)
0 0
1(拐点)
2 , 0 3
+
－
0
11 (拐 ) 点 27
高等数学3.4 曲线的凹凸性与拐点 函数图形的描绘
本题也可以下表给出解答：
x f (x) f (x)
( , 2)
2 0
拐点(2, 3)
(2, + ) +
其中 ， 分别表示曲线凸和凹.
例 4 讨论曲线 y = ln(1 + x2) 的凹凸区间与拐点. 解 定义域为( , ). 因为
y 2x , 1 x2
y
2(1 x 2 ) (1 x 2 )2
O1
x
-1
曲线 y x3 是凹的．
所以，点(0,0) 为曲线 y x3 的拐点．
例 3 讨论曲线 f (x) = x3 - 6x2 + 9x + 1 的凹凸 区间与拐点．
解 定义域为( , ).
因为
f (x) = 3x2 - 12x + 9，
f (x) = 6x - 12 = 6(x - 2 )， 令 f (x) = 0，可得 x = 2.
当 x ( , 2) 时，f (x) < 0， 此区间是凸区间． 当 x (2, + ) 时，f (x) > 0， 此区间是凹区间．
当 x = 2 时， f (x) = 0，因 f (x) 在 x = 2 的两 侧变号，而 f (2) = 3， 所以 (2, 3)是该曲线的拐点.
(2) 用上述各点按照从小到大依次将(a,b) 分成小 区间,再在每个小区间上考察 f (x) 的符号；
(3) 若 f (x) 在某点 xi 两侧近旁异号，则(xi , f (xi )) 是曲线y = f (x)的拐点，否则不是．
例 2 曲线 y x3的定义域为(,)，画其草图．
则称直线
x = x0近线.
例如， 对于曲线 y = ln x 来说， 因为
x f (x) f (x)
( , 2)
2 0
拐点(2, 3)
(2, + ) +
其中 ， 分别表示曲线凸和凹.
例 4 讨论曲线 y = ln(1 + x2) 的凹凸区间与拐点. 解 定义域为( , ). 因为
y 2x , 1 x2
y
2(1 x 2 ) (1 x 2 )2
O1
x
-1
曲线 y x3 是凹的．
所以，点(0,0) 为曲线 y x3 的拐点．
例 3 讨论曲线 f (x) = x3 - 6x2 + 9x + 1 的凹凸 区间与拐点．
解 定义域为( , ).
因为
f (x) = 3x2 - 12x + 9，
f (x) = 6x - 12 = 6(x - 2 )， 令 f (x) = 0，可得 x = 2.
当 x ( , 2) 时，f (x) < 0， 此区间是凸区间． 当 x (2, + ) 时，f (x) > 0， 此区间是凹区间．
当 x = 2 时， f (x) = 0，因 f (x) 在 x = 2 的两 侧变号，而 f (2) = 3， 所以 (2, 3)是该曲线的拐点.
(2) 用上述各点按照从小到大依次将(a,b) 分成小 区间,再在每个小区间上考察 f (x) 的符号；
(3) 若 f (x) 在某点 xi 两侧近旁异号，则(xi , f (xi )) 是曲线y = f (x)的拐点，否则不是．
例 2 曲线 y x3的定义域为(,)，画其草图．
则称直线
x = x0近线.
例如， 对于曲线 y = ln x 来说， 因为
凹凸性、渐近线、作图
或二阶导数不存在的点； （4）检验各点两侧二阶导数的符号,如果
符号不同,该点就是拐点的横坐标；
（5）求出拐点的纵坐标．
例2.求曲线 y5x33x27x1凹、凸区间 及拐点．
解：函数的定义域为 (,)
y'15x26x7, y''30x6
令 y '' 0, 得 x 1 , 没有二阶导数不存在的点 列表如下：5
解:
y 4 x3 , y 12x2
当x 0时，y 0; x 0时 , y 0,
y Ox
故曲线 y x 4 在 (, ) 上是凹的.
说明：若在某点二阶导数为0,在其两侧二 阶导数不变号,则曲线的凹凸性不变 .
求拐点的一般步骤：
（1）求函数的定义域； （2）求二阶导数； （3）求定义域内使二阶导数等于零
2
o
2
x
o
2
x
2020/6/8
20
例5.求曲线 f (x) 1 的铅直渐近线．
x(x 1)
解 因为 lim 1 ,
x0 x(x 1)
lim 1 x1 x(x 1)
所以 x 0 和x 1 是曲线的两条铅直渐近线．
y=1/x(x-1) 10
5
y
0 x=0 x=1
-5
-10 -10
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若(x0, f (x0 ))为 f (x)的
x
拐点,则有f (x0 ) 0.
o x0
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8
定理2（拐点的充分条件）
设f 在点x0的某邻域内有二阶, 导 若f 在x0两侧异号 ,则(x0, f (x0))是f 的一 个拐点 .
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9
符号不同,该点就是拐点的横坐标；
（5）求出拐点的纵坐标．
例2.求曲线 y5x33x27x1凹、凸区间 及拐点．
解：函数的定义域为 (,)
y'15x26x7, y''30x6
令 y '' 0, 得 x 1 , 没有二阶导数不存在的点 列表如下：5
解:
y 4 x3 , y 12x2
当x 0时，y 0; x 0时 , y 0,
y Ox
故曲线 y x 4 在 (, ) 上是凹的.
说明：若在某点二阶导数为0,在其两侧二 阶导数不变号,则曲线的凹凸性不变 .
求拐点的一般步骤：
（1）求函数的定义域； （2）求二阶导数； （3）求定义域内使二阶导数等于零
2
o
2
x
o
2
x
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20
例5.求曲线 f (x) 1 的铅直渐近线．
x(x 1)
解 因为 lim 1 ,
x0 x(x 1)
lim 1 x1 x(x 1)
所以 x 0 和x 1 是曲线的两条铅直渐近线．
y=1/x(x-1) 10
5
y
0 x=0 x=1
-5
-10 -10
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若(x0, f (x0 ))为 f (x)的
x
拐点,则有f (x0 ) 0.
o x0
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8
定理2（拐点的充分条件）
设f 在点x0的某邻域内有二阶, 导 若f 在x0两侧异号 ,则(x0, f (x0))是f 的一 个拐点 .
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9
函数的性质曲线的凹凸性与分析作图法
9
1
y 10(x2)13 10
9
9
1 0[1
(x
2)3 ]
1
9( x 2)3
x1 3 时 y 0 ; x 2 2 时 y 不存在
(3)列表
1
y 10(x2)13 10
9
9
10[1
(x
2)3 ]
1
9( x 2)3
x1 3 时 y 0; x 2 2 时 y 不存在
x
(, 2) 2 (2,3) 3 (3, )
f (x)
0
0
f(x) f (x)
0
极大值
拐点
32 27
( 1 , 16 ) 3 27
y
极小值
0
B(0,1)
C (3,5) 28
A(1,0)
1
1 o 1
1
x
3
3
yx3x2x1
四、小结
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是 导数应用的综合考察.
y
凸的
单增
yf(x)
极
凹的
拐 点
大 值
0
拐点
(3, 26) 9
极小值
3
lx i m f(x)lx i [m 4(x x 21)2]2, 得水平渐近 y线 2;
lx i0m f(x)lx i0[m 4(x x 21)2] ,得 垂 直 渐 近 线 x 0 .
补充点: (13 ,0 ),(13 ,0 );
A(1,2), 作图
B(1,6), C(2,1). y
1、 曲线 y e x 的水平渐近线为_______________.
2、 曲线 y 1 的水平渐近线为______________， x1
第四节 曲线的凹向,渐近线及图像的描绘
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函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导 数应用的综合考察.
y
下凹
单增
y f (x)
极
上凹
拐 点
大 值
最
小
值
a
o
单减
最 大 值 极 小 值
bx
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思考题
设 f ( x)在(a, b)内二阶可导，且 f ( x0 ) 0 ， 其中 x0 (a, b)，则( x0 , f ( x0 ))是否一定为 曲线 f ( x)的拐点？举例说明.
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y
o
x
上一页下一页 返回
四、渐近线
定义: 当曲线 y f ( x) 上的一动点 P 沿着曲线 移向无穷点时, 如果点 P 到某定直线 L 的距离 趋向于零, 那么直线 L 就称为曲线 y f ( x) 的 一条渐近线.
1.铅垂渐近线 (垂直于 x 轴的渐近线)
如果 lim f (x) 或 lim f (x)
第三章 导数的应用
第四节 曲线的凹凸性与拐点及函数图 形的描绘
在讨论函数图形的时候，仅仅知道函数的单调性 是不够的，如图：
y y x2
y x 1
01
x
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• 学习要求 • 能熟练地求出函数的水平渐近线和铅垂渐近线 • 熟练掌握判断函数的凹向与拐点的方法 • 了解函数图形描绘的步骤
例如，曲线 y x2在区间（0，1）是上凹的，而曲线 y x 在区间（0，1）是下凹的。
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二、曲线凹向的判定
y
y f (x) B
y y f (x)
B
A A
凹凸性、渐近线、作图资料
[解] 定义域：(,), 是偶函数.
因 为 lim e x2 0, 所 以 直 线y 0 x
是 水 平 渐 近 线.
y 2xex2
y 2ex2 (2x2 1)
令 y 0 驻点：x 0
令 y 0 x 1
10/15/2019
令 y '' 0, 得 x 1 , 没有二阶导数不存在的点 列表如下：5
x
(,
1 )
5
y '' -
y凸
1
5
0
8 25
拐点
(1 , ) 5
+
凹
在 x 1 两侧 y ''符号发生改变,则(1 , 8 )是拐点．
5
5 25
1
例3.求曲线 y x3 的拐点．
1
解:函数 y x3 的定义域为 (, )
函数的凹凸性、渐近线 与作图
一、函数的凹凸性 二、曲线的渐近线 三、函数作图
10/15/2019
1
一、函数的凹凸性
若在某区间内,曲线上每一点的切线都位 于该曲线的下方,则称曲线在该区间内是凹的； 若曲线上每一点的切线都位于该曲线的上方，
则称曲线在该区间内是凸的．
(a)中曲线上任意两点的割线在曲线的上方
f (x2 )
则称f (x)在该区间上的图形是凸的.
10/15/2019
4
凹曲线的一阶导数变化规律：
若 f (x)是凹函数,则 f (x)单调增加；
10/15/2019
5
凸曲线的一阶导数变化规律：
若 f (x)是凸函数,则 f (x)单调减少.
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6
因 为 lim e x2 0, 所 以 直 线y 0 x
是 水 平 渐 近 线.
y 2xex2
y 2ex2 (2x2 1)
令 y 0 驻点：x 0
令 y 0 x 1
10/15/2019
令 y '' 0, 得 x 1 , 没有二阶导数不存在的点 列表如下：5
x
(,
1 )
5
y '' -
y凸
1
5
0
8 25
拐点
(1 , ) 5
+
凹
在 x 1 两侧 y ''符号发生改变,则(1 , 8 )是拐点．
5
5 25
1
例3.求曲线 y x3 的拐点．
1
解:函数 y x3 的定义域为 (, )
函数的凹凸性、渐近线 与作图
一、函数的凹凸性 二、曲线的渐近线 三、函数作图
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1
一、函数的凹凸性
若在某区间内,曲线上每一点的切线都位 于该曲线的下方,则称曲线在该区间内是凹的； 若曲线上每一点的切线都位于该曲线的上方，
则称曲线在该区间内是凸的．
(a)中曲线上任意两点的割线在曲线的上方
f (x2 )
则称f (x)在该区间上的图形是凸的.
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4
凹曲线的一阶导数变化规律：
若 f (x)是凹函数,则 f (x)单调增加；
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5
凸曲线的一阶导数变化规律：
若 f (x)是凸函数,则 f (x)单调减少.
10/15/2019
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