正余弦定理知识点总结及高考考试题型
正余弦定理知识点及题型归纳
正余弦定理是三角学中的重要知识点，用于解决与三角形相关的问题。
下面是对正余弦定理的知识点及题型归纳：一、正弦定理1. 定义：在任意三角形ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，那么有sinA/a = sinB/b = sinC/c。
2. 性质：-等式两边同时乘以任意非零常数，等式仍然成立；-等式两边同时除以相同的角，等式仍然成立；-等式两边同时取反函数，等式仍然成立。
3. 应用：-已知三个角的度数，求边长；-已知两个边的长度，求第三个边的长度；-已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数；-已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数。
二、余弦定理1. 定义：在任意三角形ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，那么有cosA = (b ²+ c²- a²) / (2bc)。
2. 性质：-等式两边同时乘以任意非零常数，等式仍然成立；-等式两边同时除以相同的角，等式仍然成立；-等式两边同时取反函数，等式仍然成立。
3. 应用：-已知三个角的度数，求边长；-已知两个边的长度，求第三个边的长度；-已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数；-已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数。
三、题型归纳1. 已知三个角的度数，求边长：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度代入公式中，求解边长；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
2. 已知两个边的长度，求第三个边的长度：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的两个边的长度代入公式中，求解第三个边的长度；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
3. 已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度和边的长度代入公式中，求解另外两个角的度数；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
4. 已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度和两条边的长度代入公式中，求解第三个角的度数；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
正余弦定理知识点总结及高考考试题型
正余弦定理知识点总结及高考考试题型正余弦定理是初中数学中不可避免的知识点之一，也是高中数学中必须掌握的内容之一。
在实际应用中，正余弦定理有着广泛的应用，因此掌握正余弦定理在数学学习中是非常重要的。
本文将介绍正余弦定理的知识点及在高考考试中的应用。
一、正余弦定理的概念正余弦定理也叫余弦定理，是解题方法中的三角函数法。
它适用于求三角形的任意一边或角，无论是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都可以应用。
正余弦定理是指在一个三角形中，任意一边的平方等于另外两边的平方和与这两边对应的角的余弦值的积的两倍之差。
二、正余弦定理的公式设三角形ABC中，a、b、c是三角形的三边，A、B、C是三角形的三个内角，则正余弦定理的公式如下：①cosA=(b²+c²-a²)/2bc②cosB=(a²+c²-b²)/2ac③cosC=(a²+b²-c²)/2ab其中，a表示边BC对应的角，b表示边AC对应的角，c表示边AB对应的角。
三、正余弦定理的应用1、求任意三角形的边长求三角形的边长是初学者需要掌握的基本应用之一。
那么设一个三角形，已知除一边外的两边及夹角，用正余弦定理求另一边的长度。
例如：已知三角形ABC中，a=9，b=12，∠C=120°，求c。
解：根据正余弦定理中的公式③cosC=(a²+b²-c²)/2ab，可以推导出c²=a²+b²-2abcosC，代入数值：c²=9²+12²-2×9×12×cos120°。
cos120°=-0.5，所以c²=169，c=13。
因此，三角形ABC的边长c=13。
2、求三角形内的角度求出三角形的内角度量也是三角形解题的基本应用之一。
用正余弦定理解题时，需要掌握反三角函数的概念及应用。
2023年高考数学一轮复习(全国版理)-第4章-4.8-正弦定理、余弦定理
§4.8正弦定理、余弦定理考试要求1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．知识梳理1．正弦定理与余弦定理定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(2)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.三角形中常用的面积公式(1)S ＝12ah a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．常用结论在△ABC 中，常有以下结论：(1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(3)a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ，cos A <cos B .(4)sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sinA ＋B 2＝cos C2；cos A ＋B 2＝sin C 2.(5)三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(×)(2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .(√)(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(×)(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形．(×)教材改编题1．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 等于()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案C解析因为在△ABC 中，设AB ＝c ＝5，AC ＝b ＝3，BC ＝a ＝7，所以由余弦定理得cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋25－4930＝－12，因为∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝2π3.2．在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝.答案45°解析由正弦定理知a sin A ＝b sin B，则sin B ＝b sin Aa＝42×3243＝22.又a >b ，则A >B ，所以B 为锐角，故B ＝45°.3．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，C ＝60°，则c ＝，△ABC 的面积＝.答案7332解析易知c ＝4＋9－2×2×3×12＝7，△ABC 的面积等于12×2×3×32＝332题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1(12分)(2021·新高考全国Ⅰ)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b 2＝ac ，点D 在边AC 上，BD ·sin ∠ABC ＝a sin C .(1)证明：BD ＝b;[切入点：角转化为边](2)若AD ＝2DC ，求cos ∠ABC .[关键点：∠BDA 和∠BDC 互补]高考改编在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b sin C ＋a sin A ＝b sin B ＋c sin C .(1)求A ；(2)设D 是线段BC 的中点，若c ＝2，AD ＝13，求a .解(1)根据正弦定理，由b sin C ＋a sin A ＝b sin B ＋c sin C ，可得bc ＋a 2＝b 2＋c 2，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，由余弦定理可得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝12，因为A 为三角形内角，所以A ＝π3.(2)因为D 是线段BC 的中点，c ＝2，AD ＝13，所以∠ADB ＋∠ADC ＝π，则cos ∠ADB ＋cos ∠ADC ＝0，所以AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＋AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝0，即13＋a 24－22213·a 2＋13＋a 24－b2213·a 2＝0，整理得a 2＝2b 2－44，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋4－2b ，所以b 2＋4－2b ＝2b 2－44，解得b ＝6或b ＝－8(舍)，因此a 2＝2b 2－44＝28，所以a ＝27.思维升华解三角形问题的技巧(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．跟踪训练1(2021·北京)已知在△ABC 中，c ＝2b cos B ，C ＝2π3.(1)求B 的大小；(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，并求出BC 边上的中线的长度．①c ＝2b ；②周长为4＋23；③面积为S △ABC ＝334.解(1)∵c ＝2b cos B ，则由正弦定理可得sin C ＝2sin B cos B ，∴sin 2B ＝sin2π3＝32，∵C ＝2π3，∴B2B∴2B ＝π3，解得B ＝π6.(2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得c b ＝sin C sin B ＝3212＝3，与c ＝2b 矛盾，故这样的△ABC 不存在；若选择②：由(1)可得A ＝π6，设△ABC 的外接圆半径为R ，则由正弦定理可得a ＝b ＝2R sin π6＝R ，c ＝2R sin2π3＝3R ，则周长为a ＋b ＋c ＝2R ＋3R ＝4＋23，解得R ＝2，则a ＝2，c ＝23，由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为(23)2＋12－2×23×1×cos π6＝7；若选择③：由(1)可得A ＝π6，即a ＝b ，则S △ABC ＝12ab sin C ＝12a 2×32＝334，解得a ＝3，则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为＝3＋34＋3×32＝212.题型二正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1三角形形状判断例2在△ABC 中，c －a 2c＝sin 2B2(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为()A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形答案A解析由cos B ＝1－2sin 2B2，得sin 2B 2＝1－cos B 2，所以c －a 2c ＝1－cos B 2，即cos B ＝a c .方法一由余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac＝ac ，即a 2＋c 2－b 2＝2a 2，所以a 2＋b 2＝c 2.所以△ABC 为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．方法二由正弦定理得cos B ＝sin A sin C，又sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，所以cos B sin C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即sin B cos C ＝0，又sin B ≠0，所以cos C ＝0，又角C 为三角形的内角，所以C ＝π2，所以△ABC 为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．延伸探究将“c －a 2c＝sin 2B 2”改为“sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ”，试判断△ABC 的形状．解因为sin A sin B ＝ac ，所以a b ＝ac ，所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形．思维升华判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．命题点2三角形的面积例3(2022·沧州模拟)在①sin A ，sin C ，sin B 成等差数列；②a ∶b ∶c ＝4∶3∶2；③b cos A＝1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ，c ＝1，？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解因为a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ，由正弦定理得a (a －b )＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.选择①：因为sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，所以sin A ＋sin B ＝2sin C ，即a ＋b ＝2c ＝2，由a 2＋b 2－c 2＝a 2＋b 2－1＝ab ，得(a ＋b )2－3ab ＝1，所以ab ＝1，故存在满足题意的△ABC ，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×sin π3＝34.选择②：因为a ∶b ∶c ＝4∶3∶2，所以A >B >C ＝π3，这与A ＋B ＋C ＝π矛盾，所以△ABC 不存在．选择③：因为b cos A ＝1，所以b ·b 2＋1－a 22b ＝1，得b 2＝1＋a 2＝c 2＋a 2，所以B ＝π2，此时△ABC 存在．又C ＝π3，所以A ＝π6，所以a ＝1×tan π6＝33，所以S △ABC ＝12ac ＝36.思维升华三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．命题点3与平面几何有关的问题例4如图，在平面四边形ABCD 中，已知A ＝π2，B ＝2π3，AB ＝6.在AB 边上取点E ，使得BE ＝1，连接EC ，ED .若∠CED ＝2π3，EC ＝7.(1)求sin ∠BCE 的值；(2)求CD 的长．解(1)在△BEC 中，由正弦定理，知BE sin ∠BCE ＝CEsin B.∵B ＝2π3，BE ＝1，CE ＝7，∴sin ∠BCE ＝BE ·sin B CE ＝327＝2114.(2)∵∠CED ＝B ＝2π3，∴∠DEA＝∠BCE，∴cos∠DEA＝1－sin2∠DEA＝1－sin2∠BCE＝1－328＝5714.∵A＝π2，∴△AED为直角三角形，又AE＝5，∴ED＝AEcos∠DEA＝55714＝27.在△CED中，CD2＝CE2＋DE2－2CE·DE·cos∠CED＝7＋28－2×7×2749.∴CD＝7.思维升华平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想．跟踪训练2(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－a cos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形答案D解析因为c－a cos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，所以由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，所以sin A cos B＋cos A sin B－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，所以cos A(sin B－sin A)＝0，所以cos A＝0或sin B＝sin A，所以A＝π2或B＝A或B＝π－A(舍去)，所以△ABC 为等腰或直角三角形．(2)(2022·郑州模拟)如图，在△ABC 中，AB ＝9，cos B ＝23，点D 在BC 边上，AD ＝7，∠ADB为锐角．①求BD ；②若∠BAD ＝∠DAC ，求sin C 的值及CD 的长．解①在△ABD 中，由余弦定理得AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ＝AD 2，整理得BD 2－12BD ＋32＝0，所以BD ＝8或BD ＝4.当BD ＝4时，cos ∠ADB ＝16＋49－812×4×7＝－27，则∠ADB >π2，不符合题意，舍去；当BD ＝8时，cos ∠ADB ＝64＋49－812×8×7＝27，则∠ADB <π2，符合题意，所以BD ＝8.②在△ABD 中，cos ∠BAD ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝92＋72－822×9×7＝1121，所以sin ∠BAD ＝8521，又sin ∠ADB ＝357，所以sin C ＝sin(∠ADB －∠CAD )＝sin(∠ADB －∠BAD )＝sin ∠ADB cos ∠BAD －cos ∠ADB sin ∠BAD ＝357×1121－27×8521＝175147，在△ACD 中，由正弦定理得CD sin ∠CAD ＝ADsin C，即CD ＝AD sin C ·sin ∠CAD ＝7175147×8521＝39217.课时精练1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C 等于()A.π2 B.π3C.π4 D.π6答案C 解析根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝cos C ，所以在△ABC 中，C ＝π4.2．(2022·北京西城区模拟)在△ABC 中，C ＝60°，a ＋2b ＝8，sin A ＝6sin B ，则c 等于()A.35B.31C ．6D ．5答案B 解析因为sin A ＝6sin B ，由正弦定理可得a ＝6b ，又a ＋2b ＝8，所以a ＝6，b ＝1，因为C ＝60°，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即c 2＝62＋12－2×1×6×12，解得c ＝31.3．已知△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，a ＝4，cos 2A ＝－725，则△ABC 外接圆半径为()A ．5B ．3 C.52 D.32答案C解析因为cos 2A ＝－725，所以1－2sin 2A ＝－725，解得sin A ＝±45，因为A ∈(0，π)，所以sin A ＝45，又a ＝4，所以2R ＝a sin A ＝445＝5，所以R ＝52.4．(2022·河南九师联盟联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2b ，sin 2A－3sin 2B ＝12sin A sin C ，则角C 等于()A.π6 B.π3C.π2D.2π3答案B 解析∵sin 2A －3sin 2B ＝12sin A sin C ，由正弦定理可得a 2－3b 2＝12ac ，∵c ＝2b ，∴a 2－3b 2＝12a ·2b ＝ab ，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2－3b 22ab＝12，∵0<C <π，∴C ＝π3.5．(2022·济南模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,2b sin A ＝5a cos B ，AB ＝2，AC ＝26，D 为BC 的中点，E 为AC 上的点，且BE 为∠ABC 的角平分线，下列结论正确的是()A ．cos ∠BAC ＝－66B ．S △ABC ＝35C ．BE ＝2D ．AD ＝25解析由正弦定理可知2sin B sin A ＝5sin A cos B ，∵sin A ≠0，∴2sin B ＝5cos B .又sin 2B ＋cos 2B ＝1，∴sin B ＝53，cos B ＝23，在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，得BC ＝6.A 项，cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝4＋24－362×2×26＝－66，故A 正确；B 项，S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×2×6×53＝25，故B 错误；C 项，由角平分线性质可知AE EC ＝AB BC ＝13，∴AE ＝62.BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE cos A＝4＋32－2×2×62×＝152，∴BE ＝302，故C 错误；D 项，在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝4＋9－2×2×3×23＝5，∴AD ＝5，故D 错误．6．(2022·张家口质检)下列命题中，不正确的是()A ．在△ABC 中，A >B ，则sin A >sin BB ．在锐角△ABC 中，不等式sin A >cos B 恒成立C ．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 必是等腰直角三角形D ．在△ABC 中，若B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 必是等边三角形解析对于A ，由A >B ，可得a >b ，利用正弦定理可得sin A >sin B ，正确；对于B ，在锐角△ABC 中，A ，B ∵A ＋B >π2，∴π2>A >π2－B >0，∴sin A cos B ，∴不等式sin A >cos B 恒成立，正确；对于C ，在△ABC 中，由a cos A ＝b cos B ，利用正弦定理可得sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B ，∵A ，B ∈(0，π)，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形，∴是假命题，错误；对于D ，由B ＝60°，b 2＝ac ，利用余弦定理可得b 2＝ac ＝a 2＋c 2－ac ，可得(a －c )2＝0，解得a ＝c ，可得A ＝C ＝B ＝60°，故正确．7．(2022·许昌质检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且b ＝3，a －c ＝2，A ＝2π3.则△ABC 的面积为．答案1534解析由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∵b ＝3，a －c ＝2，A ＝2π3，∴(c ＋2)2＝32＋c 2－2×3c 解得c ＝5，则△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝12×3×5×32＝1534.8．(2021·全国乙卷)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为3，B ＝60°，a 2＋c 2＝3ac ，则b ＝.答案22解析由题意得S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ＝3，则ac ＝4，所以a 2＋c 2＝3ac ＝3×4＝12，所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝12－2×4×12＝8，则b ＝22(负值舍去)．9．(2022·南平模拟)在①2c cos B ＝2a －b ，②△ABC 的面积为34(a 2＋b 2－c 2)，③cos 2A －cos 2C ＝sin 2B －sin A sin B ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．(如果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且．(1)求角C 的大小；(2)若c ＝2且4sin A sin B ＝3，求△ABC 的面积．解(1)若选条件①2c cos B ＝2a －b ，则2c ·a 2＋c 2－b 22ac＝2a －b ，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3.若选条件②△ABC 的面积为34(a 2＋b 2－c 2)，则34(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，即sin C ＝3cos C ，所以tan C ＝3，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3.若选条件③cos 2A －cos 2C ＝sin 2B －sin A sin B ，则(1－sin 2A )－(1－sin 2C )＝sin 2B －sin A sin B ，即sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A sin B ，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)因为c ＝2，所以a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2sin π3＝43，所以sin A ＝34a ，sin B ＝34b ，又因为4sin A sin B ＝3，所以ab ＝4，△ABC 的面积为12ab sin C ＝3.10．(2022·湘豫联盟联考)如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AB ＝8，AD ＝7，点D 在BC 上，且cos∠ADC ＝17.(1)求BD ；(2)若cos ∠CAD ＝32，求△ABC 的面积．解(1)∵cos ∠ADB ＝cos(π－∠ADC )＝－cos ∠ADC ＝－17.在△ABD 中，由余弦定理得82＝BD 2＋72－2·BD ·7·cos ∠ADB ，解得BD ＝3或BD ＝－5(舍)．(2)由已知sin ∠ADC ＝437，sin ∠CAD ＝12，∴sin C ＝sin(∠ADC ＋∠CAD )＝437×32＋17×12＝1314.由正弦定理得CD ＝AD sin ∠CAD sin C ＝7×121314＝4913，∴BC ＝3＋4913＝8813，∴S △ABC ＝12×8×8813×32＝176313.11．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且4S＝(a ＋b )2－c 2，则sin ()A ．1B ．－22C.22D.32答案C解析因为S ＝12ab sin C ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，所以2S ＝ab sin C ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .又4S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，所以2ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab .因为ab ≠0，所以sin C ＝cos C ＋1.因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，所以(cos C ＋1)2＋cos 2C ＝1，解得cos C ＝－1(舍去)或cos C ＝0，所以sin C ＝1，则＝22(sin C ＋cos C )＝22.12．(2022·焦作模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 依次成等差数列，△ABC 的周长为15，且(sin A ＋sin B )2＋cos 2C ＝1＋sin A sin B ，则cos B 等于()A.1314 B.1114C.12D ．－12答案B解析因为(sin A ＋sin B )2＋cos 2C ＝1＋sin A sin B ，所以sin 2A ＋sin 2B ＋2sin A ·sin B ＋1－sin 2C＝1＋sin A·sin B，所以由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab，又a，b，c依次成等差数列，△ABC的周长为15，即a＋c＝2b，a＋b＋c＝15，2＋b2－c2＝－ab，＋c＝2b，＋b＋c＝15，＝3，＝5，＝7.cos B＝a2＋c2－b22ac＝32＋72－522×3×7＝1114.13．(2022·开封模拟)在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，∠B＝3π4，AB＝32，AD＝210，若AC＝35，则CD为．答案1或5解析因为在△ABC中，∠B＝3π4，AB＝32，AC＝35，由正弦定理可得ACsin B＝ABsin∠ACB，所以sin∠ACB＝AB·sin BAC＝32×2235＝55，又BC⊥CD，所以∠ACB与∠ACD互余，因此cos∠ACD＝sin∠ACB＝55，在△ACD中，AD＝210，AC＝35，由余弦定理可得cos∠ACD＝55＝AC2＋CD2－AD22AC·CD＝5＋CD265CD，所以CD2－6CD＋5＝0，解得CD＝1或CD＝5.14．(2022·安徽舒城中学模拟)托勒密(Ptolemy)是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知凸四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC，BD是其两条对角线，AB＝AD，∠BAD＝120°，AC＝6，则四边形ABCD的面积为．答案93解析在△ABD 中，设AB ＝a ，由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ＝3a 2，所以BD ＝3a ，由托勒密定理可得a (BC ＋CD )＝AC ·3a ，即BC ＋CD ＝3AC ，又∠ABD ＝∠ACD ＝30°，所以四边形ABCD 的面积S ＝12BC ·AC sin 30°＋12CD ·AC sin 30°＝14(BC ＋CD )·AC ＝34AC 2＝9 3.15．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即S S 为三角形的面积，a ，b ，c 为三角形的三边)．现有△ABC 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7，且△ABC 的面积S △ABC ＝63，则下列结论不正确的是()A ．△ABC 的周长为10＋27B ．△ABC 的三个内角满足A ＋B ＝2CC ．△ABC 的外接圆半径为2213D ．△ABC 的中线CD 的长为32答案D 解析A 项，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，因为sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7，所以由正弦定理可得a ∶b ∶c ＝2∶3∶7，设a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝7t (t >0)，因为S △ABC ＝63，所以63解得t ＝2，则a ＝4，b ＝6，c ＝27，故△ABC 的周长为10＋27，A 正确；B 项，因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋36－282×4×6＝12，所以C ＝π3，A ＋B ＝π－π3＝2π3＝2C ，故B 正确；C 项，因为C ＝π3，所以sin C ＝32，由正弦定理得2R ＝c sin C ＝2732＝4213，R ＝2213，C 正确；D 项，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝16＋28－362×4×27＝714，在△BCD 中，BC ＝4，BD ＝7，由余弦定理得cos B ＝16＋7－CD 22×4×7＝714，解得CD ＝19，D 错误．16．(2021·新高考全国Ⅱ)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b ＝a ＋1，c ＝a ＋2.(1)若2sin C ＝3sin A ，求△ABC 的面积；(2)是否存在正整数a ，使得△ABC 为钝角三角形？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解(1)因为2sin C ＝3sin A ，则2c ＝2(a ＋2)＝3a ，则a ＝4，故b ＝5，c ＝6，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝18，所以C 为锐角，则sin C ＝1－cos 2C ＝378，因此，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×5×378＝1574.(2)显然c >b >a ，若△ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋(a ＋1)2－(a ＋2)22a (a ＋1)＝a2－2a－32a(a＋1)<0，则0<a<3，由三角形三边关系可得a＋a＋1>a＋2，可得a>1，因为a∈N*，故a＝2.。
专题4.5正弦定理和余弦定理的应用(2021年高考数学一轮复习专题)
专题 正弦定理和余弦定理的应用一、题型全归纳题型一 利用正弦、余弦定理解三角形【题型要点】(1)正、余弦定理的选用①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；①利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的． (2)三角形解的个数的判断已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．【例1】 (2020·广西五市联考)在①ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，那么A ①B ①C 为( ) A ．1①1①3 B ．1①2①3 C ．1①3①2D ．1①4①1【解析】：法一：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32.因为B 为锐角，所以B ＝60°，则C ＝90°，故A ①B ①C ＝1①2①3，选B.法二：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c 2－3c ＋2＝0，解得c ＝1或c ＝2.当c ＝1时，①ABC 为等腰三角形，B ＝120°，与已知矛盾，当c ＝2时，a <b <c ，则A <B <C ，排除选项A ，C ，D ，故选B.【例2】(2019·高考全国卷Ⅰ)①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3【解析】选A.由题意及正弦定理得，b 2－a 2＝－4c 2，所以由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3c 22bc ＝－14，得bc＝6.故选A. 【例3】(2020·济南市学习质量评估)已知①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c ＋a ＝2b cos A . ①求角B 的大小；①若a ＝5，c ＝3，边AC 的中点为D ，求BD 的长．【解析】 (1)选A.由题意及正弦定理得，b 2－a 2＝－4c 2，所以由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3c 22bc＝－14，得bc＝6.故选A. (2)①由2c ＋a ＝2b cos A 及正弦定理，得2sin C ＋sin A ＝2sin B cos A ， 又sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以2sin A cos B ＋sin A ＝0， 因为sin A ≠0，所以cos B ＝－12，因为0＜B ＜π，所以B ＝2π3.①由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2a ·c cos①ABC ＝52＋32＋5×3＝49，所以b ＝7，所以AD ＝72.因为cos①BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝49＋9－252×7×3＝1114，所以BD 2＝AB 2＋AD 2－2·AB ·AD cos①BAC ＝9＋494－2×3×72×1114＝194，所以BD ＝192.题型二 判断三角形的形状【题型要点】判定三角形形状的两种常用途径【易错提醒】“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．【例1】(2020·蓉城名校第一次联考)设①ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B＝a sin A ，则①ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定【解析】 (1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a 即sin A ＝1，故A ＝π2，因此①ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2 A ，即sin(B ＋C )＝sin 2 A ，所以sin A ＝sin 2 A ，故sin A ＝1，即A ＝π2，因此①ABC 是直角三角形．【例2】在①ABC 中，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则①ABC 的形状为 ．【解析】因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以sin(A ＋B )－sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，故cos A (sin B －sin A )＝0， 所以cos A ＝0或sin A ＝sin B ，A ＝π2或A ＝B ，故①ABC 为等腰或直角三角形．题型三 与三角形面积有关的问题命题角度一 计算三角形的面积【题型要点】1.①ABC 的面积公式(1)S ①ABC ＝12a ·h (h 表示边a 上的高)．(2)S ①ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .(3)S ①ABC ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径).2.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．【例1】(2019·高考全国卷Ⅰ)①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则①ABC的面积为 ．【解析】 (1)法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以①ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×43×23×sin π3＝6 3.法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以①ABC 的面积S ＝12×23×6＝6 3.【例2】(2020·福建五校第二次联考)在①ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 2＋b 2－c 2＝3ab ，且ac sin B ＝23sin C ，则①ABC 的面积为 ．【解析】因为a 2＋b 2－c 2＝3ab ，所以由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3ab 2ab ＝32，又0＜C ＜π，所以C ＝π6.因为ac sin B ＝23sin C ，所以结合正弦定理可得abc ＝23c ，所以ab ＝2 3.故S ①ABC ＝12ab sin C＝12×23sin π6＝32. 命题角度二 已知三角形的面积解三角形【题型要点】已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．【提示】正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用． 【例3】(2020·湖南五市十校共同体联考改编)已知a ，b ，c 分别为①ABC 的内角A ，B ，C 的对边，(3b －a )cos C ＝c cos A ，c 是a ，b 的等比中项，且①ABC 的面积为32，则ab ＝ ，a ＋b ＝ ． 【解析】 因为(3b －a )cos C ＝c cos A ，所以利用正弦定理可得3sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sinB ．又因为sin B ≠0，所以cos C ＝13，则C 为锐角，所以sin C ＝223.由①ABC 的面积为32，可得12ab sin C ＝32，所以ab ＝9.由c 是a ，b 的等比中项可得c 2＝ab ，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以(a ＋b )2＝113ab ＝33，所以a ＋b ＝33.【例4】(2020·长沙市统一模拟考试)已知①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin(A ＋B )＝c sin B ＋C2.(1)求A ；(2)若①ABC 的面积为3，周长为8，求a .【解析】：(1)由题设得a sin C ＝c cos A 2，由正弦定理得sin A sin C ＝sin C cos A 2，所以sin A ＝cos A2，所以2sin A 2cos A 2＝cos A 2，所以sin A 2＝12，所以A ＝60°.(2)由题设得12bc sin A ＝3，从而bc ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝(b ＋c )2－12.又a ＋b ＋c ＝8，所以a 2＝(8－a )2－12，解得a ＝134.题型四 三角形面积或周长的最值(范围)问题【题型要点】求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题在解决求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题时，一般将其转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．【例1】(2020·福州市质量检测)①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 成等差数列，且b ＝32. (1)求①ABC 外接圆的直径；(2)求a ＋c 的取值范围．【解析】：(1)因为角A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3.根据正弦定理得，①ABC 的外接圆直径2R ＝bsin B ＝32sin π3＝1.(2)法一：由B ＝π3，知A ＋C ＝2π3，可得0＜A ＜2π3.由(1)知①ABC 的外接圆直径为1，根据正弦定理得，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝1， 所以a ＋c ＝sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎪⎭⎫⎝⎛A -32π＝3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+A A cos 21sin 23＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA . 因为0＜A ＜2π3，所以π6＜A ＋π6＜5π6.所以12＜sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA ≤1，从而32＜3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA ≤3，所以a ＋c 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛323， 法二：由(1)知，B ＝π3，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－322⎪⎭⎫ ⎝⎛+c a ＝14(a ＋c )2(当且仅当a ＝c 时，取等号)，因为b ＝32，所以(a ＋c )2≤3，即a ＋c ≤3，又三角形两边之和大于第三边，所以32＜a ＋c ≤3， 所以a ＋c 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛323， 题型五 解三角形与三角函数的综合应用【题型要点】标注条件，合理建模解决三角函数的应用问题，无论是实际应用问题还是三角函数与解三角形相结合的问题，关键是准确找出题中的条件并在三角形中进行准确标注，然后根据条件和所求建立相应的数学模型，转化为可利用正弦定理或余弦定理解决的问题．【例1】 (2020·湖南省五市十校联考)已知向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，3cos x )，x ①R ，设函数f (x )＝m ·n ＋12.(1)求函数f (x )的解析式及单调递增区间；(2)设a ，b ，c 分别为①ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若f (A )＝2，b ＋c ＝22，①ABC 的面积为12，求a 的值．【解析】 (1)由题意知，f (x )＝cos 2x ＋3sin x cos x ＋12＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＋1.令2x ＋π6①⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 22,22-，k ①Z ，解得x ①⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 6,3-，k ①Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 6,3-，k ①Z .(2)因为f (A )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πA ＋1＝2，所以sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πA ＝1. 因为0＜A ＜π，所以π6＜2A ＋π6＜13π6，所以2A ＋π6＝π2，即A ＝π6.由①ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12，得bc ＝2，又b ＋c ＝22，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )，解得a ＝3－1. 【例2】①ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2a －2c cos B . (1)求角C 的大小；(2)求3cos A ＋sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πB 的最大值，并求出取得最大值时角A ，B 的值． 【解析】：(1)法一：在①ABC 中，由正弦定理可知sin B ＝2sin A －2sin C cos B ，又A ＋B ＋C ＝π，则sin A ＝sin(π－(B ＋C ))＝sin(B ＋C )，于是有sin B ＝2sin(B ＋C )－2sin C cos B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C －2sin C cos B ，整理得sin B ＝2sin B cos C ，又sin B ≠0，则cos C ＝12，因为0<C <π，则C ＝π3.法二：由题可得b ＝2a －2c ·a 2＋c 2－b 22ac ，整理得a 2＋b 2－c 2＝ab ，即cos C ＝12，因为0<C <π，则C ＝π3.(2)由(1)知C ＝π3，则B ＋π3＝π－A ，3cos A ＋sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πB ＝3cos A ＋sin(π－A )＝3cos A ＋sin A ＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πA ， 因为A ＝2π3－B ，所以0<A <2π3，所以π3<A ＋π3<π，故当A ＝π6时，2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πA 的最大值为2，此时B ＝π2.二、高效训练突破 一、选择题1．(2020·广西桂林阳朔三校调研)在①ABC 中，a ①b ①c ＝3①5①7，那么①ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形D ．非钝角三角形【解析】：因为a ①b ①c ＝3①5①7，所以可设a ＝3t ，b ＝5t ，c ＝7t ，由余弦定理可得cos C ＝9t 2＋25t 2－49t 22×3t ×5t ＝－12，所以C ＝120°，①ABC 是钝角三角形，故选B. 2．(2020·河北衡水中学三调)在①ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc ，若sin B sin C ＝sin 2A ，则①ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解析】：在①ABC 中，因为b 2＋c 2＝a 2＋bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，因为A ①(0，π)，所以A ＝π3，因为sin B sin C ＝sin 2A ，所以bc ＝a 2，代入b 2＋c 2＝a 2＋bc ，得(b －c )2＝0，解得b ＝c ，所以①ABC 的形状是等边三角形，故选C.3．(2020·河南南阳四校联考)在①ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝8，c ＝3，A ＝60°，则此三角形外接圆的半径R ＝( ) A.823 B.1433 C.73D ．733【解析】：因为b ＝8，c ＝3，A ＝60°，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝64＋9－2×8×3×12＝49，所以a ＝7，所以此三角形外接圆的直径2R ＝a sin A ＝732＝1433，所以R ＝733，故选D. 4．(2020·湖南省湘东六校联考)在①ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中b 2＝ac ，且sin C ＝2sinB ，则其最小内角的余弦值为( )A ．－24 B.24 C.528D ．34【解析】：由sin C ＝2sin B 及正弦定理，得c ＝2b .又b 2＝ac ，所以b ＝2a ，所以c ＝2a ，所以A 为①ABC 的最小内角．由余弦定理，知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（2a ）2＋（2a ）2－a 22·2a ·2a＝528，故选C.5．(2020·长春市质量监测(一))在①ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝a cos C ＋12c ，则角A 等于( ) A ．60°B ．120°C ．45°D ．135°【解析】：法一：由b ＝a cos C ＋12c 及正弦定理，可得sin B ＝sin A cos C ＋12sin C ，即sin(A ＋C )＝sin A cos C＋12sin C ，即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋12sin C ，所以cos A sin C ＝12sin C ，又在①ABC 中，sin C ≠0，所以cos A ＝12，所以A ＝60°，故选A.法二：由b ＝a cos C ＋12c 及余弦定理，可得b ＝a ·b 2＋a 2－c 22ab ＋12c ，即2b 2＝b 2＋a 2－c 2＋bc ，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°，故选A.6.(2020·河南三市联考)已知a ，b ，c 分别为①ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sin A ①sin B ＝1①3，c ＝2cos C ＝3，则①ABC 的周长为( ) A ．3＋3 3 B ．23 C ．3＋2 3D ．3＋3【解析】：因为sin A ①sin B ＝1①3，所以b ＝3a ， 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋（3a ）2－c 22a ×3a＝32，又c ＝3，所以a ＝3，b ＝3，所以①ABC 的周长为3＋23，故选C.7．(2020·湖南师大附中4月模拟)若①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，c ＝5，①ABC的面积S ＝52cos A ，则a ＝( ) A ．1 B.5 C.13D ．17【解析】：因为b ＝2，c ＝5，S ＝52cos A ＝12bc sin A ＝5sin A ，所以sin A ＝12cos A . 所以sin 2A ＋cos 2A ＝14cos 2A ＋cos 2A ＝54cos 2A ＝1.易得cos A ＝255.所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋5－2×2×5×255＝9－8＝1，所以a ＝1.故选A. 8．(2020·开封市定位考试)已知①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，①ABC 的面积为43，且2b cos A ＋a ＝2c ，a ＋c ＝8，则其周长为( ) A ．10 B ．12 C ．8＋ 3D ．8＋23【解析】：因为①ABC 的面积为43，所以12ac sin B ＝4 3.因为2b cos A ＋a ＝2c ，所以由正弦定理得2sin B cosA ＋sin A ＝2sin C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以2sin B cos A ＋sin A ＝2sin A cos B ＋2cos A sin B ，所以sin A ＝2cos B ·sin A ，因为sin A ≠0，所以cos B ＝12，因为0＜B ＜π，所以B ＝π3，所以ac ＝16，又a ＋c ＝8，所以a ＝c ＝4，所以①ABC 为正三角形，所以①ABC 的周长为3×4＝12.故选B.9．(2020·昆明市诊断测试)在平面四边形ABCD 中，①D ＝90°，①BAD ＝120°，AD ＝1，AC ＝2，AB ＝3，则BC ＝( )A. 5B.6C.7D ．22【解析】：如图，在①ACD 中，①D ＝90°，AD ＝1，AC ＝2，所以①CAD ＝60°.又①BAD ＝120°，所以①BAC ＝①BAD －①CAD ＝60°.在①ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos①BAC ＝7，所以BC ＝7.故选C.10.(2020·广州市调研测试)已知①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 2A ＋sin 2B －sin 2Cc ＝sin A sin Ba cos B ＋b cos A ，若a ＋b ＝4，则c 的取值范围为( )A ．(0，4)B ．[2，4)C ．[1，4)D ．(2，4]【解析】：根据正弦定理可得sin 2A ＋sin 2B －sin 2C sin C ＝sin A sin Bsin A cos B ＋cos A sin B ，即sin 2A ＋sin 2B －sin 2C sin C ＝sin A sin Bsin （A ＋B ），由三角形内角和定理可得sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A sin B ，再根据正弦定理可得a 2＋b 2－c 2＝ab .因为a ＋b ＝4，a ＋b ≥2ab ，所以ab ≤4，(a ＋b )2＝16，得a 2＋b 2＝16－2ab ，所以16－2ab －c 2＝ab ，所以16－c 2＝3ab ，故16－c 2≤12，c 2≥4，c ≥2，故2≤c ＜4，故选B.二、填空题1.在①ABC 中，角A ，B ，C 满足sin A cos C －sin B cos C ＝0，则三角形的形状为 ． 【解析】：由已知得cos C (sin A －sin B )＝0，所以有cos C ＝0或sin A ＝sin B ，解得C ＝90°或A ＝B . 2．(2020·天津模拟)在①ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a ，3c sin B ＝4a sin C ，则cos B ＝ ．【解析】：在①ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C ＝4a sinC ，即3b ＝4a .因为b ＋c ＝2a ，得到b ＝43a ，c ＝23a .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a＝－14.3．(2020·河南期末改编)在①ABC 中，B ＝π3，AC ＝3，且cos 2C －cos 2A －sin 2B ＝－2sin B sin C ，则C ＝ ，BC ＝ ．【解析】：由cos 2C －cos 2A －sin 2B ＝－2sin B sin C ，可得1－sin 2C －(1－sin 2A )－sin 2B ＝－2sin B sin C ，即sin 2A －sin 2C －sin 2B ＝－2sin B sin C ．结合正弦定理得BC 2－AB 2－AC 2＝－2·AC ·AB ，所以cos A ＝22，A ＝π4，则C ＝π－A －B ＝5π12.由AC sin B ＝BC sin A，解得BC ＝ 2.4.在①ABC 中，A ＝π4，b 2sin C ＝42sin B ，则①ABC 的面积为 ．【解析】：因为b 2sin C ＝42sin B ，所以b 2c ＝42b ，所以bc ＝42，S ①ABC ＝12bc sin A ＝12×42×22＝2.5．(2020·江西赣州五校协作体期中改编)在①ABC 中，A ＝π3，b ＝4，a ＝23，则B ＝ ，①ABC 的面积等于 ．【解析】：①ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝4×sinπ323＝1.又B 为三角形的内角，所以B ＝π2，所以c ＝b 2－a 2＝42－（23）2＝2，所以S ①ABC ＝12×2×23＝2 3.6．在①ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且B 为锐角，若sin A sin B ＝5c 2b ，sin B ＝74，S ①ABC ＝574，则b 的值为 ．【解析】：由sin A sin B ＝5c 2b ①a b ＝5c 2b ①a ＝52c ，①由S ①ABC ＝12ac sin B ＝574且sin B ＝74得12ac ＝5，①联立①，①得a ＝5，且c ＝2.由sin B ＝74且B 为锐角知cos B ＝34， 由余弦定理知b 2＝25＋4－2×5×2×34＝14，b ＝14.三 解答题1.(2020·兰州模拟)已知在①ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＋b cos A ＝0. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝25，b ＝2，求边c 的长．【解析】：(1)因为a sin B ＋b cos A ＝0，所以sin A sin B ＋sin B cos A ＝0，即sin B (sin A ＋cos A )＝0，由于B 为三角形的内角，所以sin A ＋cos A ＝0，所以2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+4πA ＝0，而A 为三角形的内角，所以A ＝3π4. (2)在①ABC 中，a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，即20＝c 2＋4－4c ⎪⎪⎭⎫⎝⎛22-，解得c ＝－42(舍去)或c ＝2 2. 2.在①ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，求c 的值；(2)若sin A a ＝cos B2b ，求cos B 的值．【解析】：(1)因为a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得23＝（3c ）2＋c 2－（2）22×3c ×c ，即c 2＝13.所以c ＝33.(2)因为sin A a ＝cos B 2b ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得cos B 2b ＝sin Bb ，所以cos B ＝2sin B .从而cos 2B ＝(2sin B )2，即cos 2B ＝4(1－cos 2B )，故cos 2B ＝45.因为sin B >0，所以cos B ＝2sin B >0，从而cos B ＝255.3.(2020·福建五校第二次联考)在①ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3a cos C ＝(2b －3c )cos A . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，求①ABC 面积的最大值．【解析】：(1)由正弦定理可得，3sin A cos C ＝2sin B cos A －3sin C cos A ， 从而3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ，即3sin B ＝2sin B cos A .又B 为三角形的内角，所以sin B ≠0，于是cos A ＝32，又A 为三角形的内角，所以A ＝π6. (2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋c 2－2bc ×32≥2bc －3bc ， 所以bc ≤4(2＋3)，所以S ①ABC ＝12bc sin A ≤2＋3，故①ABC 面积的最大值为2＋ 3.4．(2020·广东佛山顺德第二次质检)在①ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2b sin C cos A ＋a sin A ＝2c sin B .(1)证明：①ABC 为等腰三角形；(2)若D 为BC 边上的点，BD ＝2DC ，且①ADB ＝2①ACD ，a ＝3，求b 的值．【解析】：(1)证明：因为2b sin C cos A ＋a sin A ＝2c sin B ，所以由正弦定理得2bc cos A ＋a 2＝2cb ，由余弦定理得2bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a 2＝2bc ，化简得b 2＋c 2＝2bc ，所以(b －c )2＝0，即b ＝c .故①ABC 为等腰三角形．(2)法一：由已知得BD ＝2，DC ＝1，因为①ADB ＝2①ACD ＝①ACD ＋①DAC ， 所以①ACD ＝①DAC ，所以AD ＝CD ＝1.又因为cos①ADB ＝－cos①ADC ，所以AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝－AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ，即12＋22－c 22×1×2＝－12＋12－b 22×1×1，得2b 2＋c 2＝9，由(1)可知b ＝c ，得b ＝ 3.法二：由已知可得CD ＝13a ＝1，由(1)知，AB ＝AC ，所以①B ＝①C ，又因为①DAC ＝①ADB －①C ＝2①C －①C ＝①C ＝①B ， 所以①CAB ①①CDA ，所以CB CA ＝CA CD ，即3b ＝b1，所以b ＝ 3.5.(2020·重庆市学业质量调研)①ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知①ABC 的面积为32ac cos B ，且sin A ＝3sin C .(1)求角B 的大小；(2)若c ＝2，AC 的中点为D ，求BD 的长．【解析】：(1)因为S ①ABC ＝12ac sin B ＝32ac cos B ，所以tan B ＝ 3.又0＜B ＜π，所以B ＝π3.(2)sin A ＝3sin C ，由正弦定理得，a ＝3c ，所以a ＝6.由余弦定理得，b 2＝62＋22－2×2×6×cos 60°＝28，所以b ＝27. 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（27）2＋22－622×2×27＝－714.因为D 是AC 的中点，所以AD ＝7.所以BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝22＋(7)2－2×2×7×⎪⎪⎭⎫⎝⎛147-＝13.所以BD ＝13.。
高考专题正弦定理和余弦定理
⾼考专题正弦定理和余弦定理⾼考专题正弦定理和余弦定理最新考纲掌握正弦定理、余弦定理，并能解决⼀些简单的三⾓形度量问题.知识梳理1.正、余弦定理在△ABC 中，若⾓A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三⾓形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)三⾓形中三边之⽐等于相应的三个内⾓之⽐.( )(2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐⾓三⾓形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直⾓三⾓形；当b 2＋c 2－a 2<0时，△ABC 为钝⾓三⾓形.( ) (5)在三⾓形中，已知两边和⼀⾓就能求三⾓形的⾯积.( ) 解析 (1)三⾓形中三边之⽐等于相应的三个内⾓的正弦值之⽐. (3)已知三⾓时，不可求三边.(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三⾓形ABC 不⼀定为锐⾓三⾓形. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.△ABC 的内⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( ) A. 2B. 3C.2D.3解析由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23，解得b ＝3? ????b ＝－13舍去，故选D. 答案 D3.在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 3cos B＝asin A ，则cos B ＝( )A.－12B.12C.－32D.32 解析由正弦定理知sin B 3cos B＝sin Asin A ＝1，即tan B ＝3，由B ∈(0，π)，所以B ＝π3，所以cos B ＝cos π3＝12，故选B. 答案 B4.在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的⾯积为32，则BC 的长为( ) A.32 B.3 C.2 3D.2解析因为S ＝12×AB ×AC sin A ＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，所以BC ＝ 3. 答案 B5.在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三⾓形的形状为________. 解析由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三⾓形为等腰三⾓形或直⾓三⾓形. 答案等腰三⾓形或直⾓三⾓形6.已知钝⾓△ABC 的⾯积为12，AB ＝1，BC ＝2，则⾓B ＝________，AC ＝________.解析∵钝⾓△ABC 的⾯积为12，AB ＝1，BC ＝2，∴12＝12×1×2×sin B ，解得sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4，∵当B ＝π4时，由余弦定理可得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋2－2×1×2×22＝1，此时，AB 2＋AC 2＝BC 2，可得A ＝π2，此△ABC 为直⾓三⾓形，与已知⽭盾，舍去.∴B ＝3π4，由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋2＋2×1×2×22＝ 5. 答案3π45考点⼀利⽤正、余弦定理解三⾓形【例1】(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝45°，则满⾜条件的三⾓形有()A.1个B.2个C.0个D.⽆法确定(2)在△ABC中，已知sin A∶sin B＝2∶1，c2＝b2＋2bc，则三内⾓A，B，C 的度数依次是________.(3)设△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，sin B＝12，C＝π6，则b＝________.解析(1)∵b sin A＝6×22＝3，∴b sin A∴满⾜条件的三⾓形有2个.(2)由题意知a＝2b，a2＝b2＋c2－2bc cos A，即2b2＝b2＋c2－2bc cos A，⼜c2＝b2＋2bc，∴cos A＝22，∵A∈(0°，180°)，∴A＝45°，sin B＝12，⼜B∈(0°，180°)，b＜a，∴B＝30°，∴C＝105°.(3)因为sin B＝12且B∈(0，π)，所以B＝π6或B＝5π6.⼜C＝π6，B＋C<π，所以B＝π6，A＝π－B－C＝2π3.⼜a＝3，由正弦定理得asin A＝bsin B，即3sin2π3＝bsinπ6，解得b＝1.答案(1)B(2)45°，30°，105°(3)1规律⽅法(1)判断三⾓形解的个数的两种⽅法①代数法：根据⼤边对⼤⾓的性质、三⾓形内⾓和公式、正弦函数的值域等判断.②⼏何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数.(2)已知三⾓形的两边和其中⼀边的对⾓解三⾓形.可⽤正弦定理，也可⽤余弦定理.⽤正弦定理时，需判断其解的个数，⽤余弦定理时，可根据⼀元⼆次⽅程根的情况判断解的个数.【训练1】 (1)在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c ＝( ) A.1B.2C.4D.6(2)△ABC 的内⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.解析 (1)a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ?13＝c 2＋9－2c ×3×cos 60°，即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去).(2)在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113. 答案 (1)C (2)2113考点⼆利⽤正弦、余弦定理判定三⾓形的形状(典例迁移)【例2】 (经典母题)设△ABC 的内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A.锐⾓三⾓形 B.直⾓三⾓形 C.钝⾓三⾓形D.不确定解析由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1，即A ＝π2. 答案 B【迁移探究1】将本例条件变为“若2sin A cos B ＝sin C ”，那么△ABC ⼀定是( )A.直⾓三⾓形B.等腰三⾓形C.等腰直⾓三⾓形D.等边三⾓形解析法⼀由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π法⼆由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ?a 2＝b 2?a。
正余弦定理题型总结（全）
正余弦定理题型总结（全）平面向量题型归纳（全）题型一：共线定理应用例一：平面向量→→b a ,共线的充要条件是（）A.→→b a ,方向相同B. →→b a ,两向量中至少有一个为零向量 C.存在,R ∈λ→→=a b λ D 存在不全为零的实数0,,2121=+→→b a λλλλ变式一：对于非零向量→→b a ,，“→→→=+0b a ”是“→→b a //”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件变式二：设→→b a ,是两个非零向量（）A.若→→→→=+b a b a _则→→⊥b aB. 若→→⊥b a ，则→→→→=+b a b a _ C. 若→→→→=+b a b a _，则存在实数λ，使得→→=a b λ D 若存在实数λ，使得→→=a b λ，则→→→→=+ba b a _例二：设两个非零向量→→21e e 与，不共线，（1）如果三点共线；求证：D C A e e e e e e ,,,28,23,212121--=+=-= （2）如果三点共线，且D C A e k e e e e e ,,,2,32,212121-=-=+=求实数k 的值。
变式一：设→→21e e 与两个不共线向量，,2,3,2212121e e CD e e CB e k e AB -=+=+=若三点A,B,D 共线，求实数k 的值。
变式二：已知向量→→b a ,，且,27,25,2b a CD b a BC b a AB +=+-=+=则一定共线的三点是（） A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D题型二：线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用例一：设P 是三角形ABC 所在平面内的一点，,2+=则（）A. +=B. +=C. +=D. ++=变式一：已知O 是三角形ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且++=2,那么（）A. A =变式二：在平行四边形ABCD 中=，=，3=,M 为BC 的中点，则= ( 用,表示)例二：在三角形ABC 中，=，=,若点D 满足2=,则=( )A. ,3132+B. ,3235-C. ,3132-D. ,3231+变式一：(高考题) 在三角形ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分角ACB,a CB =，b CA =21==,则=CD ( )A. ,3231+B. ,3132b a +C. ,5453+ D. ,5354b a +变式二：设D,E,F 分别是三角形ABC 的边BC,CA,AB 上的点，且,2BD DC =,2EA CE =,2FB AF =则++,与( )A.反向平行B. 同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直变式三：在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若μλ+=,其,,R ∈μλ则μλ+=变式四：在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O,E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若,=,=则=( )A.,2141+ B. ,3132+ C. ,4121+ D. ,3231+题型三：三点共线定理及其应用例一：点P 在AB 上，求证：μλ+=且μλ+=1（,,R ∈μλ）变式：在三角形ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 和N,若,m =,n =则m+n=例二：在平行四边形ABCD 中，E,F 分别是BC,CD 的中点，DE 与AF 交于点H,设,a AB =,b BC =则= A. ,5452- B. ,5452+ C. ,5452+- D. ,5452--题型四：向量与三角形四心一、内心例一：O 是?ABC 所在平面内一定点，动点P满足），【∞+∈++=0λλ，则点P的轨迹一定通过?ABC 的（）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心变式一：已知非零向量与满足0=?+AC AB，且21=AC AB ，则?ABC 为（） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形变式二：?=?+?+?P 为?ABC 的内心二、重心例一：O 是?ABC 内一点，=++，则为?ABC 的（）A.外心B.内心C .重心 D.垂心变式一：在?ABC 中，G 为平面上任意一点，证明：?++=)(31O 为?ABC 的重心变式二：在?ABC 中，G 为平面上任意一点，若?+=)(31AC AB AO O 为?ABC 的重心三垂心：例一：求证：在?ABC 中，??=?=? O 为?ABC 的垂心变式一：O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足,R ∈++=λλ则点P 的轨迹一定通过?ABC 的（）A.外心B.内心C.重心 D .垂心四外心例一：若O 是?ABC 的外心，H 是?ABC 的垂心，则OH ++=变式一：已知点O ，N ，P 在?ABC 所在平面内，且==++=，题型五：向量的坐标运算例一：已知A(-2,4),B(3，-1)，C(-3，-4)，且CB CN CA CM 2,3==,试求点M,N 和的坐标。
正余弦定理知识点总结及高考考试题型
正余弦定理知识点总结及高考考试题型一、正余弦定理的概念正余弦定理，又称余正定理、角-边-角定理，是指用三角形中的一个角和与它相对的两边的长度，来表示三角形中的另外两个角与其对应的两边之间的关系的公式。
二、正余弦定理的形式对于一个三角形ABC，设三个边分别为a、b、c，对应的角分别为A、B、C，将角A所对应的边称为边a，角B所对应的边称为边b，角C所对应的边称为边c。
（1）正弦定理：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sin C}$（2）余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$三、正余弦定理的应用正余弦定理是基本的三角函数之一，它们在高中数学教育中被广泛应用。
通常在三角形的求面积过程中被使用。
考生还需能够将它们应用在其他相关的三角形求解问题中。
例如，可以用正余弦定理解决以下问题：（1）求三角形的面积。
（2）判断三角形是否为等腰三角形，是否为等边三角形。
（3）确定三角形的内角度数。
（4）求解三角形的未知边和角。
四、正余弦定理在高考考试中的出现形式正余弦定理在高考考试中经常作为解决三角形问题的关键公式。
它们常表现为单独的选择题或解答题，也可能是复合型题目的一部分。
（1）选择题样例：已知三角形ABC的边长分别为11、12、13，若$\angle C$ 的角度等于$\frac{\pi}{2}$，则$\sin A+\cos B$ 等于（）A. $\frac{24}{13}$B. $\frac{22}{13}$C. $\frac{20}{13}$D. $\frac{18}{13}$（2）解答题样例：已知$\triangle ABC$，且$AB=8, AC=6,BC=10$，则$\triangle ABC$的面积是多少？解：由余弦定理，$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{100-36-64}{2×10×8}=-\frac{1}{8}$由正弦定理，$2S=\frac{1}{2}bc\sin A=24\sin A=24\sqrt{1-\cos^2 A}=24\sqrt{1-\frac{1}{64}}=\frac{48}{\sqrt{3}}$因此，$\triangle ABC$ 的面积为$\frac{24}{\sqrt{3}}$。
高考数学专项正余弦定理知识点及例题解析精讲
正、余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．请注意综合近两年的高考试卷可以看出：三角形中的三角函数问题已成为近几年的高考热点．不仅选择题中时有出现，而且解答题也经常出现，故这部分知识应引起充分的重视．正弦定理a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R 其中2R 为△ABC 外接圆直径．变式：a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ． a ∶b ∶c ＝sinA ∶sinB ∶sinC ．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ；b 2＝a 2＋c 2－2accosB ； c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ．变式：cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab．sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sinBsinCcosA.解三角形(1)已知三边a ，b ，c.运用余弦定理可求三角A ，B ，C. (2)已知两边a ，b 及夹角C. 运用余弦定理可求第三边c. (3)已知两边a ，b 及一边对角A. 先用正弦定理，求sinB ：sinB ＝bsinAa.①A 为锐角时，若a<bsinA ，无解；若a ＝bsinA ，一解；若bsinA<a<b ，两解；若a ≥b ，一解．②A 为直角或钝角时，若a ≤b ，无解；若a>b ，一解．(4)已知一边a 及两角A ，B(或B ，C)用正弦定理，先求出一边，后求另一边．三角形常用面积公式(1)S ＝12a·h a (h a表示a 边上的高)．(2)S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc 4R .(3)S ＝12r(a ＋b ＋c)(r 为内切圆半径)．1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)． (1)在△ABC 中，A>B 必有sinA>sinB.(2)在△ABC 中，若b 2＋c 2>a 2，则△ABC 为锐角三角形．(3)在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则∠B ＝45°或∠B ＝135°. (4)若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，则实数a 的取值范围是(3，2)．(5)在△ABC 中，若acosB ＝bcosA ，则△ABC 是等腰三角形． (6)在△ABC 中，若tanA ＝a 2，tanB ＝b 2，则△ABC 是等腰三角形． 2．(教材习题改编)在△ABC 中，若a ＝2bsinA ，则B 等于( ) A ．30°或60° B ．45°或60° C ．60°或120° D ．30°或150°3．(2016·课标全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cosA ＝23，则b ＝( )A. 2B. 3 C ．2D ．34．(2017·课标全国Ⅱ，文)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2bcosB ＝acosC ＋ccosA ，则B ＝________．5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若(a ＋b －c)(a ＋b ＋c)＝ab ，则角C ＝________．6．在△ABC 中，已知c ＝102，A ＝45°，在a 分别为20，102，2033，10和5的情况下，求相应的角C.题型一 利用正余弦定理解三角形(1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，A ＝45°，求角B ，C 及边c.(2)在△ABC 中，sinA ∶sinB ∶sinC ＝4∶5∶6，则2acosAc＝________．(1)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角的问题时，首先必须判明是否有解，(例如在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，A ＝60°，则sinB ＝ba sinA ＝3>1，问题就无解)，如果有解，是一解，还是两解．(2)在三角形的判断中注意应用“大边对大角”来确定．思考题1 (1)(2017·课标全国Ⅲ，文)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________．(2)(2016·课标全国Ⅲ，理)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cosA ＝( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010题型二 正余弦定理的综合运用(1)(2017·课标全国Ⅰ，理)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 23sinA.①求sinBsinC ；②若6cosBcosC ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.①求tanC 的值；②若△ABC 的面积为3，求b 的值．思考题2 (1)(2017·天津，理)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a>b ，a ＝5，c ＝6，sinB ＝35.①求b 和sinA 的值； ②求sin(2A ＋π4)的值．(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π4，bsin(π4＋C)－csin(π4＋B)＝a.①求证：B －C ＝π2；②若a ＝2，求△ABC 的面积．题型三 判断三角形形状在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bccosB ·cosC ，试判断△ABC 的形状．★状元笔记★三角形形状的判定方法(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a ＝2RsinA ，a 2＋b 2－c 2＝2abcosC 等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sinA ＝sinB ⇔A ＝B ；sin(A －B)＝0⇔A ＝B ；sin2A ＝sin2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2等．(2)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能．思考题3 在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B)＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B)，判断△ABC 的形状．题型四 解三角形(2018·皖南八校联考)如图，在四边形ABCD中，已知AB ⊥AD ，∠ABC ＝120°，∠ACD ＝60°，AD ＝27，设∠ACB ＝θ，点C 到AD 的距离为h.(1)用θ表示h 的解析式；(2)求AB ＋BC 最大值．思考题4 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA.1．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角，②化角为边；并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．2．用正弦(余弦)定理解三角形问题时可适当应用向量数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形边长等．3．在判断三角形形状或解斜三角形时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．如： (1)A ＋B ＋C ＝π.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)在△ABC 中，A ，B ，C 成等差数列的充要条件是B ＝60°.作业(二十六)(第一次作业)1．(2018·安徽马鞍山一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则c ＝( ) A.12B ．1C. 3 D ．22．(2018·山西五校联考)在△ABC 中，a ＝3b ，A ＝120°，则角B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°3．(2018·陕西西安一中期中)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sinBsinC ，则A 的取值范围是( ) A ．(0，π6]B ．[π6，π)C ．(0，π3]D ．[π3，π)4．(2018·广东惠州三调)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A.3＋1B.3－1 C ．4D ．25．(2018·东北八校联考)已知△ABC 三边a ，b ，c 上的高分别为12，22，1，则cosA ＝( )A.32B ．－22C ．－24D ．－346．(2016·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sinA)．则A ＝( ) A.3π4 B.π3 C.π4D.π67．(2014·江西，文)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A 的值为( )A ．－19B.13 C ．1D.728．(2018·安徽合肥检测)在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b)(sinA ＋sinB)＝(c －b)sinC.若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是( )A ．(3，6]B ．(3，5)C ．(5，6]D ．[5，6]9．在△ABC 中，若AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为________． 10．(2018·河南信阳调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，S ＝34(a 2＋b 2－c 2)，则C 的大小为________． 11．(2017·甘肃定西统考)在△ABC 中，若a 2b 2＝tanAtanB ，则△ABC 的形状为________．12．(2018·河北唐山一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90°，则cosB ＝________．13．(2018·广东揭阳一模)在△ABC 中，∠B ＝π6，AC ＝1，点D 在边AB 上，且DA ＝DC ，BD ＝1，则∠DCA ＝________．14．(2017·北京，理)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a.(1)求sinC 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．15．(2018·河南豫南九校质量考评)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2－c 2a 2＋c 2－b 2＝2sinA －sinC sinC ，且b ＝4.(1)求角B ；(2)求△ABC 面积的最大值．16．(2017·课标全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C)＝8sin 2B2.(1)求cosB ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b.17．(2018·福建高中毕业班质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2bcosC(1)求B的大小；(2)若a＝3，且AC边上的中线长为192，求c的值．18．(2018·衡水中学调研卷)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosA ＝sinAcosC＋cosAsinC.(1)求角A的大小；(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．(第二次作业)1．(2015·广东，文)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝23，cosA＝32且b<c，则b＝()A．3 B．2 2C．2 D. 32．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.32 B.332C.3＋62 D.3＋3943．(2018·北京西城期末)已知△ABC中，a＝1，b＝2，B＝45°，则A等于() A．150°B．90°C．60°D．30°4．(2018·安徽合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为32，则BC的A.32B. 3 C ．2 3D ．25．在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a 3＋b 3＝c 3，那么△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．以上均有可能6．(2016·北京)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc＝________．7．已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，2cosC ＋c ＝2b ，则△ABC 周长取值范围是________．8．(2015·广东，理)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a ＝3，sinB ＝12，C ＝π6，则b ＝________．9．(2018·湖北黄冈中学、黄石二中、鄂州高中三校联考)已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(sinB ，1－cosB)与向量n ＝(2，0)的夹角θ的余弦值为12.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的取值范围．10.如图所示，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．11.如图，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝22，点M 在线段PQ 上．(1)若OM ＝5，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．12．(2017·课标全国Ⅲ，理)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinA ＋3cosA ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．13．(2017·山东，文)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3，AB →·AC →＝－6，S △ABC ＝3，求A 和a.14．(2017·天津，文)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知asinA ＝4bsinB ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)． (1)求cosA 的值； (2)求sin(2B －A)的值．1．(2018·上海杨浦质量调研)设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( ) A ．(2，3) B ．(1，3) C ．(2，2)D ．(0，2)2．已知△ABC ，a ＝5，b ＝15，∠A ＝30°，则c ＝( )A．2 5 B. 5C．25或 5 D．均不正确3．(2015·课标全国Ⅰ，理)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．4．(2017·西安五校模拟)M为等边△ABC内一动点，且∠CMB＝120°，则AMMC的最小值为________．5．(2015·安徽，文)在△ABC中，AB＝6，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________．。
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A、等边三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等腰三角形或直角三角形
8、△ABC中， sin2 A sin2 B sin2 C ，则△ABC为（ ）
A、直角三角形
B、等腰直角三角形 C、等边三角形 D、等腰三角形
9、已知关于 x 的方程 x2 x cos A cos B 2 sin2 C 0 的两根之和等于两根之积的一半， 2
）
A、 1 4
B、 3 4
C、 2 4
D、 2 3
2、在△ABC 中， A 60°， a 4 3, b 4 2 ，则 B 等于（ ）
A、45°或 135° B、135° C、45°
D、以上答案都不对
3、在 ABC 中， a 15,b 10, A 60°，则 cos B =（ ）
A、－ 2 2 3
(Ⅰ)确定角 C 的大小：
（Ⅱ）若 c＝ 7 ,且△ABC 的面积为 3 3 ,求 a＋b 的值。 2
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1 3、设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知 a＝1，b＝2，cosC＝4.
(1)求△ABC 的周长； (2)求 cos(A－C)的值．
4.在 ABC 中， BC 5, AC 3,sin C 2sin A
3
B、
4
C、 3 或 3 2
D、 3 或 3 42
2、已知△ABC 的三边长 a 3,b 5,c 6 ，则△ABC 的面积为（ ）
A、 14 B、 2 14
C、 15
D、 2 15
3、在△ABC 中， a sin10 °， b sin 50 °， C= 70°，那么△ABC 的面积为（ ）
一、知识点
（一）正弦定理： a b c 2R, 其中 R 是三角形外接圆半径. sin A sin B sinC
a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC
a2 b2 c2 2bc cos A （二）余弦定理：b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2ab cos C
B、 2 2 3
C、－ 6 3
D、 6 3
4、在△ABC 中， a 3 ， b 7 ， c 2 ，那么B 等于（
）
A、30° B、45°
C、60°
D、120°
5、在△ABC 中， a 2 3 ， b 2 2 ， B 45°，则 A 等于（ ）
A、30° B、60° C、60°或 120° D、30°或 150°
（三）三角形面积公式：（1） S ABC
1 ab sin C 1 bc sin A 1 ac sin B.
2
2
2
题型一：正余弦定理的基本应用：（四种题型：）
（1）已知两角一边用正弦定理；（2）已经两边及一边对角用正弦定理；
（3）已知两边及两边的夹角用余弦定理；（4）已知三边用余弦定理
例 1、在 ABC 中，已知a 20, A 30 C 45 求 B, b, c
A、 1
B、 1
C、 1
D、 1
64
32
16
8
4、在△ABC中， a 2 ， A 30°, C 45°，则△ABC的面积 SABC 等于（ ）
A、 2
B、2 2
C、 3 1
D 、1 ( 3 1) 2
5、 ABC 中， B 120, AC 7, AB 5 ，则 ABC 的面积为
．
6、已知ABC
S ABC
1 2
ab
sin
C
21bc sin
A
21ac sin
B.
二、例题讲解 （一）求边的问题
1、在△ABC中，角 A, B,C 的对边分别为a,b,c ， A , a 3, b 1，则 c （ ） 3
A、1 B、2
C 、 31 D 、 3
2、 在△ABC 中， a, b, c 分别为A,B, C 的对边.如果a,b, c 成等差数列， B 30°，△ABC 的
；
（2）若△ABC 的周长等于 20，面积是10 3 ， A= 60°，则边 BC =
- 7-
3 、已知锐角三角形的边长分别为 2、3、 x ，则 x 的取值范围是= 4 在△ABC 中，已知a2 b2 c 2 bc ，则 A =
a2 b2 c2 2bc cos A （二）余弦定理： b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2ab cos C
由此可得： cos A b2 c2 a2 , cos B a2 c2 b2 , cos C a2 b2 c2 .
2ab
2ac
2ab
注： a2 ＞ b2 c2 A 是钝角； a2 = b2 c2 A 是直角； a2 ＜ b2 c2 A 是锐角；
A、等腰三角形
B、直角三角形
C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形
4、在△ABC 中，若 a cos A b cos B ，则△ABC 的形状是（ ）
A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形
D、等腰或直角三角形
5、在△ABC 中，若 cos A cos B sinC ，则△ABC 是（
cos A cos B cosC A、直角三角形 B、等边三角形 C、钝角三角形 D、等腰直角三角形
2、在 ABC 中，已知2sin Acos B sin C ，那么ABC 一定是（ ）
A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、正三角形
3、△ABC 中， a 2b cosC ，则此三角形一定是（ ）
5
10
（I）求 A B 的值；
C 所对的边分别为 a、b、 c ，且
（II）若 a b 2 1 ，求 a、b、 c 的值。
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解三角形复习
一、知识点
（一）正弦定理： a b c 2R, 其中 R 是三角形外接圆半径. sin A sin B sinC
a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC
）
a
b
c
A、有一内角为 30°的直角三角形
B、等腰直角三角形
C、有一内角为 30°的等腰三角形
D、等边三角形
6、在△ABC中， b cos A a cos B ，则三角形为（ ）
A、直角三角形 B、锐角三角形
C、等腰三角形
D、等边三角形
7、在△ABC中，已知 B 30°, b 50 3 , c 150 ，那么这个三角形是（ ）
面积为 3 ，那么b （ ） 2
A、 1 3 2
B、1 3
C、 2 3 2
D、 2 3
3、在△ABC 中，角 A, B,C 所对的边长分别为a,b, c ，若 C 120°， c 2a ，则（ ）
A、 a b
B、 a b
C、 a b
D、 a 与 b 的大小关系不能确定
4、在△ABC 中， a 10 ， B 60°, C 45°,则 c 等于（ ）
A、10 3
B、10 3 1 C、 3 1
D、10 3
5、若△ABC 的周长等于 20，面积是10 3 ， A= 60°，则 BC 边的长是（ ）
A、5
B、6
C、7
D、8
6、已知锐角三角形的边长分别为 2、3、 x ，则 x 的取值范围是（
）
A、1 x 5 B 、 5 x 13
C、 0 x 5
例 2．已知下列各三角形中的两边及一角，判断三角形是否有解，并作出解答 （1） a 2 3, b 6, A 30 （2） a 2,b 2, A 45
（3） a 5,b 3, A 120 （4） a 3,b 4, A 60
例 3．（1）在 ABC 中，已知b2 c2 a 2 bc ，则 A=
（A） 4 3
（B）8 4 3
(C) 1
2
(D)
3
9、在△ABC中， A 60°， C 45°， b 2 ，则此三角形的最小边长为
。
10、在△ABC中, a 1,b 1 , C 120°则 c
。
11、在 ABC 中.若 b=5， B ，sinA= 1 ，则 a
.
4
3
12、若△ABC 的面积为 3，BC＝2，C＝60°，则边 AB 的长度等于
则 ABC 一定是（ ）
A、直角三角形
B、钝角三角形 C、等腰三角形
10、△ABC中， tan A sin A ，则三角形为
。
tan B sin B
D、等边三角形
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（四）三角形的面积的问题
1、在△ABC 中， AB 3 , AC 1, A 30 ，则△ABC 面积为（ ）
A、 3 2
- 2-
6、在△ABC 中，已知 a 2 b2 c 2 bc ，则 A 为（ ）
A、
3
B、
6
C、 2 3
D 、 或2 33
7、已知△ABC 的面积为 3 ，且 b 2, c 3 ，则 A 等于（ ） 2
A、30° B、30°或 150° C、60°
D、60°或 120°
8、已知在△ABC中, sin A : sin B : sin C 3 : 2 : 4 ,那么cosC 的值为（ ）
A、 1 B、 1
4
4
C、 2 3
D、 2 3
9、在△ABC中， sin A sin B 是 A B 的（ ）
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
10、若△ ABC 的内角， A, B, C 满足6sin A 4sin B 3sin C ，则 cos B
A． 15 4
B． 3 4
C． 3 15 16
D． 11 16
11、在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分 a, b, c ．若 a cos A b sin B ，则 sin A cos A cos2 B