高一数学正余弦定理知识点梳理和分层训练修订稿
高一数学正弦和余弦知识点
高一数学正弦和余弦知识点数学中有两个非常重要的三角函数，分别是正弦函数和余弦函数。
它们在解决几何问题和物理问题中扮演着重要的角色。
在高一数学课程中，正弦和余弦函数的知识点是我们必须要掌握的内容之一。
一、正弦函数的定义和性质正弦函数是一个周期性的函数，它的定义域是整个实数集R，值域是[-1, 1]。
我们可以用一个周期为2π的图像来表示正弦函数。
正弦函数的函数图像在原点（0, 0）处有一个最小值，且在x轴上的每个整数倍的π点都有一个最大值。
而且，正弦函数的图像是关于原点对称的。
正弦函数的性质有很多，其中比较重要的是：1. 正弦函数是一个奇函数，即-f(x) = f(-x)。
2. 正弦函数的图像是周期性的，即f(x + 2π) = f(x)，其中π是一个常数。
3. 在[0, 2π]范围内，正弦函数是一个增函数。
二、余弦函数的定义和性质余弦函数也是一个周期性函数，它的定义域是整个实数集R，值域是[-1, 1]。
与正弦函数相似，余弦函数的函数图像也是关于原点对称的，并且也有一个周期为2π的图像。
与正弦函数类似，余弦函数也有一些重要的性质：1. 余弦函数是一个偶函数，即f(x) = f(-x)。
2. 余弦函数的图像是周期性的，即f(x + 2π) = f(x)。
3. 在[0, 2π]范围内，余弦函数是一个减函数。
三、正弦和余弦函数的关系正弦函数和余弦函数是密切相关的。
它们之间有着重要的三角关系：1. 辅助角公式：sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)，cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)。
2. 正弦函数和余弦函数的和差公式：sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)，sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)，cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)，cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)。
正余弦定理知识点及题型归纳
正余弦定理是三角学中的重要知识点，用于解决与三角形相关的问题。
下面是对正余弦定理的知识点及题型归纳：一、正弦定理1. 定义：在任意三角形ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，那么有sinA/a = sinB/b = sinC/c。
2. 性质：-等式两边同时乘以任意非零常数，等式仍然成立；-等式两边同时除以相同的角，等式仍然成立；-等式两边同时取反函数，等式仍然成立。
3. 应用：-已知三个角的度数，求边长；-已知两个边的长度，求第三个边的长度；-已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数；-已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数。
二、余弦定理1. 定义：在任意三角形ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，那么有cosA = (b ²+ c²- a²) / (2bc)。
2. 性质：-等式两边同时乘以任意非零常数，等式仍然成立；-等式两边同时除以相同的角，等式仍然成立；-等式两边同时取反函数，等式仍然成立。
3. 应用：-已知三个角的度数，求边长；-已知两个边的长度，求第三个边的长度；-已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数；-已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数。
三、题型归纳1. 已知三个角的度数，求边长：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度代入公式中，求解边长；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
2. 已知两个边的长度，求第三个边的长度：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的两个边的长度代入公式中，求解第三个边的长度；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
3. 已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度和边的长度代入公式中，求解另外两个角的度数；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
4. 已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度和两条边的长度代入公式中，求解第三个角的度数；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
1.1正弦定理和余弦定理知识点
1.1正弦定理和余弦定理基本要求：1. 能证明正弦定理、余弦定理．2. 能理解正弦定理、余弦定理在讨论三角形边角关系时的作用．3. 能用正弦定理、余弦定理解斜三角形．4. 理解用正弦定理、余弦定理讨论三角形解的情形． 重点：正弦定理和余弦定理及其推导．难点：用正弦定理解三角形时解的个数的讨论． 考点结构分析：1. 正弦定理1：在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相等，即：CcB b A a sin sin sin ==． 2. 余弦定理2：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦积的两倍，即：A bc c b a cos 2222-+=．B ca a c b cos 2222-+=．C ab b a c cos 2222-+=．3. 余弦定理推论：bc a c b A 2cos 222-+=．ca c a c B 2cos 222-+=．abc b a C 2cos 222-+=．4. 重要结论：（1） 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，C B A c b a C B A sin sin sin >>⇔>>⇔>>． （2） 在ABC ∆中，给定A 、B 的正弦或余弦值，则C 有解（即存在）的充要条件是0cos cos >+B A ． 5. 解斜三角形的类型：（1） 已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解．（2） 已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在ABC ∆中，已知a 、b 和角A 时，解的情况如下：上表中为锐角时，时，无解；为钝角或直角时，，均无解． （3） 已知三边，用余弦定理有解时，只有一解． （4） 已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解．6. 三角形面积：（1） ah S 21=（h 为BC 边上的高）； （2） C ab S sin 21=；（3） C B A R S sin sin sin 22=（R 为ABC ∆外接圆半径）；（4） RabcS 4=（R 为ABC ∆外接圆半径）； （5） ))()((c p b p a p p S ---=，)(21c b a p ++=．疑难点清单：判断三角形形状基本思想是：利用正弦定理进行角边统一．即将条件化为只含角的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形，如等边三角形，等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意A 、B 、C 内角的固定范围对三角函数数值的影响． 附：1. 正弦定理的证明： ① 定义法（教科书中给出）如图１，在ABC Rt ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，要考虑边长之间的数量关系，就涉及到了锐角三角函数．根据正弦函数的定义，Ac asin =， B cbsin =．所以c BbA a ==sin sin ． 又1sin =C ，所以CcB b A a sin sin sin ==． 那么，对于一般的三角形，以上关系式是否仍然成立呢？如图２，当ABC ∆是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，B a CD sin =，A b CD sin =，所以A bB a sin sin =， 得到BbA a sin sin =． 同理，在ABC ∆中， CcB b sin sin =． 所以CcB b A a sin sin sin ==． ② 向量法如图３，ABC ∆为锐角三角形时，过A 作三位向量→j 垂直于→AB ，则→j 与→AB 的夹角为︒90，→j 与→BC 的夹角为B -2π，→j 与→CA 的夹角为A +2π，设c AB =，a BC =，b AC =．因为→→→→=++0CA BC AB ，所以00=⋅=⋅+⋅+⋅→→→→→→→→j CA j BC j AB j ． 即0)2cos(||||)2cos(||||2cos||||=++-+→→→→→→A CA jB BC j AB j πππ．所以A b B a sin sin =，即BbA a sin sin =． 同理可得：C cB b sin sin =，即CcB b A a sin sin sin ==．当ABC ∆为钝角三角形或者直角三角形时，利用同样的方法可以证得结论．（可以请学生来给出证明） ③ 几何法如图４，设O 为ABC ∆的外接圆的圆心，连接BO 并延长交 ⊙O 与点A '，连接C A '，则A A ='或A A -='π，∴=A sinR a B A BC A 2sin ='='，即R A a 2sin =，同理可证R B b2sin =， R C c 2sin =，故有CcB b A a sin sin sin ==． 注：在运用时，有时需要对它进行变形，如C B A c b a sin :sin :sin ::=； A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=．如图５，当ABC ∆为钝角三角形时，设B 为钝角．过C 作AB 的垂线与AB 的延长线交于D 点，由三角函数的定义得A b CD sin =，B a B a CD sin )180sin(=-︒=，B a A b sin sin =∴，即BbA a sin sin =． 同理可得C c A a sin sin =，CcB b A a sin sin sin ==∴．2. 余弦定理证明：如图６，设→→=a CB ，→→=b CA ，→→=c AB ，那么→→→-=b a c ，→→→→→→→→→→→→→⋅-⋅-⋅=+⋅-=⋅=b a b b a a b a b a c c c 2)()(||2C ab b a cos 222-+=所以C ab b a c cos 2222-+=．同理可以证明：A bc c b a cos 2222-+=．B ca a c b cos 2222-+=．。
高一正弦余弦知识点
高一正弦余弦知识点【高一正弦余弦知识点】一、正弦和余弦的定义正弦和余弦是三角函数中最基本的两个函数。
在直角三角形中，对于一个锐角A，定义如下：1. 正弦（sine）：正弦是一个角的对边与斜边的比值，通常用sin(A)表示。
2. 余弦（cosine）：余弦是一个角的邻边与斜边的比值，通常用cos(A)表示。
二、正弦和余弦的性质1. 范围：正弦和余弦的值域都在闭区间[-1, 1]内。
2. 周期性：正弦和余弦的图像都是周期函数，其周期为2π（或360°）。
3. 关系：正弦和余弦是互余关系，即sin(A) = cos(90° - A)。
4. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-A) = -sin(A)；余弦函数是偶函数，即cos(-A) = cos(A)。
5. 三角恒等式：正弦和余弦满足一系列重要的三角恒等式，如sin^2(A) + cos^2(A) = 1等。
三、正弦和余弦的应用正弦和余弦在数学和物理中有广泛的应用，以下列举其中几个常见的应用场景：1. 测量角度：利用正弦和余弦函数可以计算角度的大小，例如利用正弦定理和余弦定理来解决三角形中的边长和角度问题。
2. 周期性问题：许多自然现象都具有周期性，正弦和余弦函数可以用来描述周期性变化的规律，如天体运动、电流震荡等。
3. 振动和波动：正弦和余弦函数可以表示物体的振动和波动过程，如机械振动、光和声波的传播等。
4. 信号处理：在电子工程中，正弦和余弦函数常用于信号的分析和处理，如调频调幅信号的解调、滤波等。
四、注意事项1. 角度单位：正弦和余弦函数的输入角度可以使用弧度制或角度制，要根据问题给出的要求进行选择和转换。
2. 反函数：正弦和余弦函数可以通过计算器或查表得到特定角度的值，也可以通过反函数（反正弦和反余弦）来计算特定值所对应的角度。
五、总结正弦和余弦是高中数学中重要的知识点，它们的定义、性质和应用都需要我们深入理解。
掌握正弦和余弦函数可以帮助我们解决各类与角度、周期性和波动相关的问题，并在物理、工程等领域中有广泛的应用。
高一数学正弦与余弦定理知识点
高一数学正弦与余弦定理知识点正弦定理和余弦定理是三角函数中最基础的定理，运用也最为广泛。
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高一数学正弦与余弦定理知识点总结正弦定理的应用领域在解三角形中，有以下的应用领域：(1)已知三角形的两角与一边，解三角形(2)已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形(3)运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦正弦定理在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R为三角形外接圆的半径) 其次，余弦的应用领域余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
正弦定理的变形公式(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c;在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的;已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题(3)相关结论：a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+si nB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R(R为外接圆半径)(4)设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。
灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2RasinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA(5)a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a正弦、余弦典型例题1.在△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA 的值为2.已知α为锐角，且，则α 的度数是( ) A.30° B.45° C.60° D.90°3.在△ABC中，若，∠A，∠B为锐角，则∠C的度数是( ) A.75°B.90°C.105°D.120°4.若∠A为锐角，且，则A=( ) A.15° B.30° C.45° D.60°5.在△ABC中，AB=AC=2，AD⊥BC，垂足为D，且AD= ，E是AC中点，EF⊥BC，垂足为F，求sin∠EBF的值。
正余弦定理知识点及高考考试题型整理学生理
正、余弦定理一、知识总结 (一)正弦定理1.正弦定理：2,sin sin sin a b cR A B C===其中R 是三角形外接圆半径. 2.变形公式：（1）化边为角：（2）化角为边：（3）（4）.3、正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角. （解可能不唯一）在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 1.余弦定理: 2222cos a b c bc A =+-2222cos c a b ab C =+-2222cos b a c ac B =+-2.变形公式:222222222cos ,cos ,cos .222b c a a c b a b c A B C ab ac ab+-+-+-===.注：2a ＞22c b +⇒A 是钝角；2a =22c b +⇒A 是直角；2a ＜22c b +⇒A 是锐角；2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ===sin ,sin ,sin ;222a b cA B C R R R ===::sin :sin :sin a b c A B C =2sin sin sin sin sin sin a b c a b c RA B C A B C ++====++3.余弦定理可以解决的问题：（1）已知三边，求三个角；（解唯一）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：4.由余弦定理判断三角形的形状a2=b2+c2⇔A是直角⇔△ABC是直角三角形，a2＞b2+c2⇔A是钝角⇔△ABC是钝角三角形，a2＜b2+c⇔A是锐角/△ABC是锐角三角形。
（注意：A是锐角/ △ABC是锐角三角形，必须说明每个角都是锐角）(三) ΔABC的面积公式:（1）1() 2a aS a h h a= 表示边上的高；（2）111sin sin sin() 2224abcS ab C ac B bc A RR====为外接圆半径；（3）1()() 2S r a b c r=++为内切圆半径(四) 实际问题中的常用角1.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）2.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。
高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理
高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理正弦定理与余弦定理是高中数学中的重要知识点，用于求解不规则三角形的边长和角度。
本文将对这两个定理进行详细总结与讲解。
一、正弦定理1.1 定义正弦定理是指在任意三角形中，三条边与其对应的角的正弦值之间的关系。
设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则正弦定理的表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC1.2 推导我们通过利用三角形的面积公式S=1/2 * a * b * sinC，并将其转换为对角线的形式，可以得到正弦定理的推导过程。
1.3 应用正弦定理可以用于求解不规则三角形的边长和角度。
当我们已知三条边或者两条边和夹角时，可以利用正弦定理求解未知的边长或者角度。
二、余弦定理2.1 定义余弦定理是指在任意三角形中，三条边和它们对应的角之间的关系。
设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则余弦定理的表达式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC2.2 推导我们可以通过利用向量的几何关系，将余弦定理的表达式推导出来。
这个过程较为繁琐，这里就不做详细讲解。
2.3 应用余弦定理可以用于求解不规则三角形的边长和角度。
当我们已知三条边或者两条边和夹角时，可以利用余弦定理求解未知的边长或者角度。
三、正弦定理与余弦定理的比较3.1 适用范围正弦定理适用于任意三角形，而余弦定理只适用于任意三角形，不能用于直角三角形。
3.2 计算难度正弦定理的计算相对简单，只需要记住一个公式，而余弦定理的计算稍复杂，需要使用开方和乘法等运算。
3.3 精度误差由于余弦定理中涉及到平方运算，可能会带来一定的误差，而正弦定理中没有涉及到平方运算，计算结果更加准确。
3.4 应用场景正弦定理在计算不规则三角形的边长和角度时较为常用，尤其适用于已知两边和夹角的情况。
而余弦定理在计算不规则三角形的边长和角度时同样常用，特别适用于已知三边的情况。
高中正余弦知识点总结
高中正余弦知识点总结一、正余弦函数的定义和性质1. 基本关系：在单位圆（半径为1的圆）上，对于任意角度θ，设该角终边与单位圆交于点P(x, y)，则称点P的横坐标x为θ的余弦，记作cosθ；纵坐标y为θ的正弦，记作sinθ。
2.定义域和值域：正余弦函数的定义域是实数集，值域是[-1,1]。
3.奇偶性：正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数。
4. 周期性：正余弦函数在2π的整数倍处取到相同的值。
即sin(x+2kπ)=sinx，cos(x+2kπ)=cosx。
（其中，k为任意整数）5. 互余角关系：互余角的正弦值互为负数，余弦值相等。
即sin(π/2-θ) = cosθ，cos(π/2-θ) = sinθ。
二、正余弦函数的图像和性质1.正弦函数图像特点：正弦函数的图像是一条连续的、周期为2π的曲线，穿过原点(0,0)，在每个周期内，正弦函数先增后减，且在x=π/2和x=3π/2处取到最大值1和最小值-12.余弦函数图像特点：余弦函数的图像是一条连续的、周期为2π的曲线，曲线最高点是(0,1)和最低点是(0,-1)。
3.正弦函数和余弦函数的图像是通过纵坐标平移得到的。
三、正余弦函数的性质和公式1. 复合角公式：根据三角函数的定义，可以推导出sin(A±B)和cos(A±B)的公式，以及sin2x和cos2x的公式。
2. 和差化积公式：根据三角函数的定义，可以推导出sinA*sinB和cosA*cosB的公式。
3. 半角公式：根据三角函数的定义，可以推导出sin(x/2)和cos(x/2)的公式。
4. 二倍角公式：根据三角函数的定义，可以推导出sin2x和cos2x 的公式。
5. 三倍角公式：根据三角函数的定义，可以推导出sin3x和cos3x 的公式。
6. 相关角公式：根据三角函数的定义，可以推导出sin(x+y)和cos(x+y)的公式。
四、正余弦函数的应用1.几何应用：正余弦函数可以用来求解三角形的边长和角度。
高一下学期知识串讲 第二讲 正、余弦定理(学生)
高一下学期知识串讲 第二讲 正、余弦定理【要点梳理】1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .3．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C )(214c b a R abc ++==·r （r 是三角形内切圆的半径） 4.解斜三角形的常见类型及解法. 【题型突破】题型一 正弦定理的应用例1 (1)在△ABC 中,a =3,b =2 ,B =45°. 求角A 、C 和边c ；（2）在△ABC 中，a =8，B =60°，C =75°.求边b 和c ；（3）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ,∠B ,∠C 的对边长，已知a ，b ，c成等比数列，且a 2-c 2=ac -bc ，求∠A 及cB b sin 的值.知能迁移1 在△ABC 中，若b =2,c =1,B=45°, 求a 及C 的值.题型二 余弦定理的应用例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且.2cos cos ca b C B +-= （1）求角B 的大小；（2）若b =13，a +c =4，求△ABC 的面积.知能迁移2 已知△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的 对边分别为a ,b ,c ,若△ABC 的面积为S ，且 2S=（a +b ）2-c 2，求tan C 的值.题型三 三角形形状的判定例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果（a 2+b 2）sin （A-B ）=（a 2-b 2）sin （A+B ），判断三角形的形状.知能迁移3 在△ABC 中，已知2sin Acos B=sin C ，那么△ABC 一定是（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形题型四 正、余弦定理的综合应用例4 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，且满足（2a -c ）cos B=bcos C.(1)求角B 的大小； (2)若b =7,a +c =4,求△ABC 的面积.知能迁移4 （2008·辽宁理，17）在△ABC 中， 内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c . 已知c =2, .3π=C （1）若△ABC 的面积等于3，求a 、b 的值；（2）若sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求△ABC 的面积.。
正余弦定理知识点总结及高考考试题型
三角函数五——正、余弦定理一、知识点 （一）正弦定理：2,sin sin sin a b cR A B C===其中R 是三角形外接圆半径. 变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ===a b c3sin B C4（（（解可 2、余弦定理可以解决的问题： （1）已知三边，求三个角；（解唯一）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一）三、正、余弦定理的应用射影定理：cos cos ,cos cos ,cos cos .a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+有关三角形内角的几个常用公式 解三角形常见的四种类型（1）已知两角,A B 与一边a ：由180A B C ++=︒及正弦定理sin sin sin a b cA B B==，可 求出C ∠，再求,b c 。
（2）已知两边,b c 与其夹角A ，由2222cos a b c bc A =+-，求出a ，再由余弦定理， 求出角,B C 。
（3）已知三边a b c 、、，由余弦定理可求出A B C ∠∠∠、、。
（4讲解 （知∆A ∠,A ．由a c ==,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得1sin 2sin 2a b B A =⋅==,故选A（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ10）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，02cos cos 232=+A A ，7=a ，c=6，则=b （ ） A.10B.9C.8D.5【解题指南】由02cos cos 232=+A A ，利用倍角公式求出A cos 的值，然后利用正弦定理或余弦定理求得b 的值.【解析】选D.因为02cos cos 232=+A A ，所以01cos 2cos 2322=-+A A ，解得251cos 2=A ， 方法一:因为△ABC 为锐角三角形，所以51cos =A ,562sin =A . 由正弦定理C cA a sin sin =得，C sin 65627=.6sin =C 所以sin =B5.方法二5∴sin 9、（)0C =，求边又1+即12cos 0A -=，2，又0°<A<180°，所以A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B =得sin 2sin 2b A B a ===， 又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°，∴BC 边上的高AD 752sin(4530)=+在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,且 b.(1)求角A 的大小.(2)若a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.【解题指南】(1)由正弦定理易求角A 的大小;(2)根据余弦定理,借助三角形的面积公式求解.【解析】(1)由及正弦定理sin sin a bA B=,得, 因为(2)b 2+c 26、（3,则c =.4、（2012福建文）在ABC ∆中,已知60,45,BAC ABC BC ∠=︒∠=︒=,则AC =_______.【解析】由正弦定理得sin 45AC AC =⇒=︒5、（2011北京）在ABC 中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = .【答案】325 【解析】：由正弦定理得sin sin a b A B =又15,,sin 43b B A π=∠==所以5,13sin 34a a π==1、在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,abc ，3A π=,1a b ==，则c =（ ）A 、1B 、2 C1 D 、32、在△ABC 中，分别为的对边.如果成等差数列，30°，△ABC 的面 A 、3）75213 C D 4B π=，则___________________.3，＝60°AB 的长度等于13（20132012天津理）在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cos C =(）A ．725B ．725-C ．725±D ．2425【答案】A【解析】85,b c =由正弦定理得8sin 5sin B C =，又2C B =，8sin 5sin 2B B ∴=，所以8sin 10sin cos B B B =，易知247sin 0,cos ,cos cos 22cos 1525B B C B B ≠∴===-=（2013·湖南高考文科·Ｔ5）在锐角∆ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b. 若2asinB=3b ，则角A 等于（ ） A.3π B.4π C.6π D.12π【解题指南】本题先利用正弦定理B bA a sin sin =化简条件等式，注意条件“锐角三角形” .【解析】选A.由2asinB=3b 得2sinAsinB=3sinB,得sinA=23,所以锐角A=3π. （2013·湖南高考理科·Ｔ3）在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于A ．12π（2013 A . 3 5,=在△B 0=. (1)(2)若a 【解题指南】(1)借助三角形内角和为π，结合三角恒等变换将条件中的等式转化为只含B 的方程，求出B 的三角函数值，进而可求出角B.（2）根据（1）求出的B 与a c 1+=，由余弦定理可得b 2关于a 的函数，注意到a c 1+=可知0a 1<<，进而可求出b 的范围.【解析】（1）由已知得cos(A B)cos A cos B A cos B 0-++-=，即sin Asin B A cos B 0=.因为sin A 0≠，所以sin B B 0=,又cosB 0≠,所以tan B =,又0B <<π，所以B 3π=.（2）由余弦定理，有222b a c 2accos B =+-，因为a c 1+=，1cos B 2=,所以2211b 3(a )24=-+，又因为0a 1<<，所以21b 14≤<，即1b 12≤<.1sin BAM ∠=∠（2013·上海高考文科·T5）已知∆ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c.若a +ab+b 2-c 2=0，则角C 的大小是 .【解析】π32212- cos 0- 222222=⇒-=+=⇒=++C ab c b a C c b ab a 【答案】π32设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，ac c b a c b a =+-++))((（I ）求B ; （II ）若413sin sin -=C A ,求C . 【解题指南】（I ）由条件ac c b a c b a =+-++))((确定求B 应采用余弦定理. （II ）应用三角恒等变换求出C A +及C A -的值，列出方程组确定C 的值. 【解析】（I ）因为ac c b a c b a -=+-++))((.所以ac b c a -=-+222.222（II 221+=故-C A10、（（I c = 所以A （2012（1（2【解析】（1） 3(cos cos sin sin )16cos cos 3cos cos 3sin sin 13cos()11cos()3BC B C B C B C B C B C A π+-=⎧⎪-=-⎪⎪+=-⎨⎪⎪-=-⎪⎩ 则1cos 3A =. （2）由（1）得sin A =,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理2222291cos 2123b c a b c A bc +-+-===则2213b c +=②, ①②两式联立可得32b a =⎧⎪⎨=⎪⎩或32a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 7、（2011全国）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.己知sin csin sin sin a A C C b B +=.（I ）求B ； （Ⅱ）若75,2,A b ==a c 求，. 【解析】（I）由正弦定理得222a cb +=2222cos b a c ac B =+-cos 2B =45B =（II sin30=故6a +=60645c b ==1、∆C 的对边分别为 ）2 A A 、30° B 、30°或150° C 、60° D 、60°或120° 8、已知在△ABC 中,sin :sin :sin 3:2:4A B C =,那么cos C 的值为（ ）A 、14-B 、14C 、23- D 、2310、若△ABC 的内角，,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B =A B ．34C D ．111611、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c ．若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=A ．-12 B ．12C ． -1D ．112、已知在△ABC 中，10,a b A ===45°,则B = 。
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高一数学正余弦定理知
识点梳理和分层训练 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-
高一数学正、余弦定理知识点梳理和分层训练
班级 姓名 座号
1．正弦定理:
2sin sin sin a b c
R A B C
===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 222222
2222cos 2cos 2cos a b c bc A
b a
c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩
或
222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪
+-⎪
=
⎨⎪
⎪+-=
⎪⎩
. 3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.
2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin 2222
A B C A B C
++==. 表一：
表二：已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况，具
基础达标：
1. 在△ABC 中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情况为 A. 一个解 B. 二个解 C. 无解 D. 无法确定 2．在△ABC 中，若2,a b c ===+A 的度数是 A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
3．ΔABC 中，若a 2
=b 2
+c 2
+bc ，则∠A=
A. 60
B. 45
C. 120
D. 30
4．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 A. 90° B. 120° C. 135° D. 150° 5.在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45.求A 、C 及c.
6．在ABC ∆中，若045B =
，c =
b =A .
7．在ABC ∆中，若222a b c bc =+-，求A .
能力提升：
8．锐角ΔABC 中，若C=2B ，则
AC
AB
的取值范围是 A.(0，2) B.)2,2( C.)3,2( D.)2,3(
9. 已知在△ABC 中，sinA:sinB:sinC=3:2:4，那么cosC 的值为 A. 3
2 .D 32 .C 41
.B 4
1--
10. 等腰三角形底边长为6，一条腰长12，则它的外接圆半径为
11．在ABC ∆中，已知三边a 、b 、c 满足()()3a b c a b c ab +++-=，则C ＝
A ．15
B ．30
C ．45
D ．60
12．钝角ABC ∆的三边长为连续自然数，则这三边长为（ ）。
A 、1、2、3 B 、2、3、4 C 、3、4、5 D 、4、5、6 13．在ΔABC 中，BC=3，AB=2，
)16(5
2
sin sin +=B C ，则∠A=_______. 14. 在△ABC 中，∠A=60°，b=1，c=4，则_____.sin sin sin a b c
A B C ++=++
15. 在△ABC 中，∠B=120°，sinA:sinC=3:5，b=14，则a ，c 长为_____.
综合探究：
16．已知钝角ABC ∆的三边为：a k =,2b k =+,4c k =+,求实数k 的取值范围.
17.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，证
明:222
sin()
sin a b A B C c
--=.
、
13周周练参考答案： 基础达标：
5.解析：解法1：由正弦定理得：23
245sin 3sin sin =
== b B a A ∴∠A=60或120
当∠A=60时，∠C=75 ，22
645
sin 75sin 2sin sin +===
B
C
b c ； 当∠A=120时，∠C=15，2
2
645
sin 15sin 2sin sin -===
B C b c . 6.∵
sin sin b c
B C
=
，
∴sin 453
sin c B C b =
==，
∵0180C <<，∴60C =或120C =
∴当60C =时，75A =；当120C =时，15A =，；
所以75A =或15A =． 7.∵222bc b c a =+-，
∴由余弦定理的推论得：2221
cos 22
b c a A bc +-==
∵0180A <<，∴60A =. 能力提升：
．由()()3a b c a b c ab +++-=，得22223a b ab c ab ++-=
∴由余弦定理的推论得：2221
cos 22
a b c C ab +-=
=， ∵0180C <<，∴60C =.
；只需要判定最大角的余弦值的符号即可。
选项A 不能构成三角形；
选项B 中最大角的余弦值为
2222341
02234+-=-<⨯⨯，故该三角形为钝角三角形； 选项C 中最大角的余弦值为：
222
3450243+-=⨯⨯，故该三角形为直角三角形； 选项D 中最大角的余弦值为
2224561
02458
+-=>⨯⨯，故该三角形为锐角三角形.
,10
综合探究：
16.∵ABC ∆中边a k =,2b k =+,4c k =+， ∴0a k =>，且边c 最长， ∵ABC ∆为钝角三角形
∴当C 为钝角时
∴222
cos 02a b c C ab
+-=
<， ∴2220a b c +-<, 即222
a b c +< ∴2
2
2
(2)(4)k k k ++<+, 解得26k -<<,
又由三角形两边之和大于第三边：(2)4k k k ++>+,得到2k >， 故实数k 的取值范围：26k <<. 17.证法一:由正弦定理得：
2222222
sin sin cos2cos2sin 2sin a b A B B A
c C C
---==
=
22sin()sin()2sin B A B A C -+-=2
sin sin()sin C A B C -=sin()
sin A B C -. 证法二:由余弦定理得a 2=b 2+c 2
-2bccosA ， 则22222
2cos 21cos a b c bc A b
A c c c
--==-⋅， 又由正弦定理得
sin sin b B
c C
=
， ∴222
2sin sin 2sin cos 1cos sin sin a b B C B A
A c C C
--=-⋅= sin()2sin cos sin A B B A
C
+-=
sin cos sin cos sin()
sin sin A B B A A B C C
--==
. 证法三：也可以从右边证到左边，过程略.。