数学北师大版七年级下册倍长中线法构造全等三角形
倍长中线法
倍长中线法
倍长中线的意思是：延长底边的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。
此法常用于构造全等三角形，进而证明边之间的关系。
倍长中线法
中文名倍长中线
思想方法构造全等三角形领域平面几何外文名nethod of times the length of line 目的证明边之间的关系
1定义
所谓“倍长中线”，就是加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，
然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。
常用于构造全等三角形。
中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
说简单一点，倍长中线就是指：延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，构造全等三角形。
倍长中线构造全等三角形
巧添辅助线——倍长中线之南宫帮珍创作【夯实基础】例：ABC ∆中, AD 是BAC ∠的平分线, 且BD=CD, 求证AB=AC方法1：作DE ⊥AB 于E, 作DF ⊥AC 于F,方法2：辅助线同上, 利用面积 方法3：倍长中线AD【方法精讲】经常使用辅助线添加方法——倍长中线 △ABC中方式1： 延长AD 到E,AD 是BC 使DE=AD,连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F, 延长MD到N,作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD,连接BE 连接CD【经典例题】例1：△ABC中, AB=5, AC=3, 求中线AD的取值范围提示：画出图形, 倍长中线AD, 利用三角形两边之和年夜于第三边例2：已知在△ABC中, AB=AC, D在AB上, E在AC的延长线上, DE交BC于F, 且DF=EF, 求证：BD=CE方法1：过D作DG∥AE交BC于G, 证明ΔDGF方法2：过E作EG∥AB交BC的延长线于G,方法3：过D 作DG ⊥BC 于G, 过E 作EH ⊥BC 的延长线于H 证明ΔBDG ≌ΔECH例3：已知在△ABC 中, AD 是BC 边上的中线, E 是AD 上一点, 且BE=AC, 延长BE 交AC 于F, 求证：AF=EF提示：倍长AD 至G, 连接BG, 证明ΔBDG ≌Δ三角形BEG 是等腰三角形例4：已知：如图, 在ABC ∆中, AC AB ≠, D 、E 在BC 上, 且DE=EC, 过D 作BADF //交AE 于点F,DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠ 提示：方法1：倍长AE 至G, 连结DG 方法2：倍长FE 至H, 连结CH第 1 题图ABFDEC例5：已知CD=AB, ∠BDA=∠BAD, AE 是△ABD 的中线, 求证：∠C=∠BAE 提示：倍长AE 至F, 连结DF 证明ΔABE ≌ΔFDE （SAS ）进而证明ΔADF ≌ΔADC （SAS ）【融会贯通】1、在四边形ABCD 中, AB ∥DC, E 为BC 边的中点, ∠BAE=∠EAF, AF 与DC 的延长线相交于点F.试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系, 并证明你的结论 提示：延长AE 、DF 交于G 证明AB=GC 、AF=GF所以AB=AF+FC2、如图, AD 为ABC ∆的中线, DE 平分BDA ∠交AB 于E, DFF EA平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+ 提示：方法1：在DA 上截取DG=BD, 连结EG 、FG 证明ΔBDE ≌ΔGDE ΔDCF ≌ΔDGF 所以BE=EG 、CF=FG利用三角形两边之和年夜于第三边 方法2：倍长ED 至H, 连结CH 、FH 证明FH=EF 、CH=BE利用三角形两边之和年夜于第三边3、已知：如图, ABC 中, C=90, CM AB 于M, AT 平分BAC 交CM 于D, 交BC 于T, 过D 作DE//AB 交BC 于E, 求证：CT=BE. 提示：过T 作TN ⊥AB 于N证明ΔBTN≌ΔECD。
专题 全等三角形模型——截长补短与倍长中线(解析版)
全等三角形模型——截长补短与倍长中线截长补短截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段在线段AB 上截取AD AC=补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等延长AC ，使得AD AB =1.ABC D 中，AD 是BAC Ð的平分线，且AB AC CD =+．若60BCA Ð=°，则ABC Ð的大小为( )A ．30°B ．60°C ．80°D ．100°【分析】可在AB 上取AC AC ¢=，则由题中条件可得BC C D ¢=¢，即2C AC D B Ð=Т=Ð，再由三角形的外角性质即可求得B Ð的大小．【解答】解：如图，在AB 上取AC AC ¢=，AD Q 是角平分线，DAC DAC ¢\Ð=Ð，ACD \D @△()AC D SAS ¢，CD C D ¢\=，又AB AC CD =+Q ，AB AC C B ¢¢=+，BC C D \¢=¢，DCBAAB CD260C AC D B ¢\Ð=Ð=Ð=°，30B \Ð=°．故选：A ．2.阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．（1）请完成下题的证明过程：如图1，在ABC D 中，2B C Ð=Ð，AD 平分BAC Ð．求证：AB BD AC +=．证明：在AC 上截取AE AB =，连接DE（2）如图2，//AD BC ，EA ，EB 分别平分DAB Ð，CBA Ð，CD 过点E ，求证：AB AD BC =+．【分析】（1）在AC 上截取AE AB =，连接DE ，证明ABD AED D @D ，得到B AED Ð=Ð，再证明ED EC =即可；（2）由等腰三角形的性质知AE FE =，再证明ADE FCE D @D 即可解决本题．【解答】证明：在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图1:AD Q 平分BAC Ð，BAD DAC \Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中，AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS \D @D ，B AED \Ð=Ð，BD DE =，又2BC Ð=Ð，2AED C \Ð=Ð，而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，C EDC \Ð=Ð，DE CE \=，AB BD AE CE AC \+=+=；（2）延长AE 、BC 交于F ，AB BF =Q ，BE 平分ABF Ð，AE EF \=，在ADE D 和FCE D 中，DAE F AE EFAED CEF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ADE FCE ASA \D @D ，AD CF \=，AB BF BC CF BC AD \==+=+．3.如图，在ABC D 中，AD 平分BAC Ð交BC 于D ，在AB 上截取AE AC =．（1）求证：ADE ADC D @D ；（2）若6AB =，5BC =，4AC =，求BDE D的周长．【分析】（1）根据SAS 证明ADE ADC D @D 即可；（2）根据全等三角形的性质和线段之间的关系进行解答即可．【解答】证明：（1）AD Q 平分BAC Ð，EAD CDA \Ð=Ð，在ADE D 与ADC D 中，AE AC EAD CDA AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADE ADC SAS \D @D ，（2）ADE ADC D @D Q ，ED DC \=，BDE \D 的周长6457BE BD DE AB AE BC DC DC AB AC BC DC DC AB AC BC =++=-+-+=-+-+=-+=-+=4.（2020秋•武昌区期中）如图，ABC D 中，60ABC Ð=°，AD 、CE 分别平分BAC Ð、ACB Ð，AD 、CE 相交于点P（1）求CPD Ð的度数；（2）若3AE =，7CD =，求线段AC 的长．【分析】（1）利用60ABC Ð=°，AD 、CE 分别平分BAC Ð，ACB Ð，即可得出答案；（2）由题中条件可得APE APF D @D ，进而得出APE APF Ð=Ð，通过角之间的转化可得出CPF CPD D @D ，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．【解答】解：（1）60ABC Ð=°Q ，AD 、CE 分别平分BAC Ð，ACB Ð，120BAC BCA \Ð+Ð=°，1()602PAC PCA BAC BCA Ð+Ð=Ð+Ð=°，120APC \Ð=°，60CPD \Ð=°．（2）如图，在AC 上截取AF AE =，连接PF ．AD Q 平分BAC Ð，BAD CAD \Ð=Ð，在APE D 和APF D 中AE AF EAP FAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î，()APE APF SAS \D @D ，APE APF \Ð=Ð，120APC Ð=°Q ，60APE \Ð=°，60APF CPD CPF \Ð=Ð=°=Ð，在CPF D 和CPD D 中，FPC DPC CP CPFCP DCP Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()CPF CPD ASA \D @D CF CD \=，3710AC AF CF AE CD \=+=+=+=．5.如图，在ABC D 中，60BAC Ð=°，AD 是BAC Ð的平分线，且AC AB BD =+，求ABC Ð的度数．【分析】在AC上截取AE AB=，根据角平分线的定义可得BAD CADÐ=Ð，然后利用“边角边”证明ABDD和AEDD全等，根据全等三角形对应边相等可得BD DE=，全等三角形对应角相等可得B AEDÐ=Ð，再求出CE BD=，从而得到CE DE=，根据等边对等角可得C CDEÐ=Ð，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得2AED CÐ=Ð，然后根据三角形的内角和定理列方程求出CÐ，即可得解．【解答】解：如图，在AC上截取AE AB=，ADQ平分BACÐ，BAD CAD\Ð=Ð，在ABDD和AEDD中，AE ABBAD CAD AD AD=ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS\D@D，BD DE\=，B AEDÐ=Ð，AC AE CE=+Q，AC AB BD=+，CE BD\=，CE DE\=，C CDE\Ð=Ð，即2B CÐ=Ð，在ABCD中，180BAC B CÐ+Ð+Ð=°，602180C C\°+Ð+Ð=°，解得40CÐ=°，24080ABC\Ð=´°=°．6.如图，五边形ABCDE 中，AB AE =，BC DE CD +=，120BAE BCD Ð=Ð=°，180ABC AED Ð+Ð=°，连接AD ．求证：AD 平分CDE Ð．【分析】连接AC ，将ABC D 绕A 点旋转120°到AEF D ，由AB AE =，120BAE Ð=°，得到AB 与AE 重合，并且AC AF =，又由180ABC AED Ð+Ð=°，得到180AEF AED Ð+Ð=°，即D ，E ，F 在一条直线上，而BC DE CD +=，得CD DF =，则易证ACD AFD D @D ，于是ADC ADF Ð=Ð．【解答】证明：如图，连接AC ，将ABC D 绕A 点旋转120°到AEF D ，AB AE =Q ，120BAE Ð=°，AB \与AE 重合，并且AC AF =，又180ABC AED Ð+Ð=°Q ，而ABC AEF Ð=Ð，180AEF AED Ð+Ð=°Q ，D \，E ，F 在一条直线上，而BC EF =，BC DE CD +=，CD DF \=，又AC AF =Q ，ACD AFD \D @D ，ADC ADF \Ð=Ð，即AD 平分CDE Ð．7.已知：如图，在ABC D 中，D 是BA 延长线上一点，AE 是DAC Ð的平分线，P 是AE 上的一点（点P 不与点A 重合），连接PB ，PC ．通过观察，测量，猜想PB PC +与AB AC +之间的大小关系，并加以证明．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得FP CP =，根据三角形的两边之和大于第三边，可得答案．【解答】解：PB PC AB AC +>+，理由如下：在BA 的延长线上截取AF AC =，连接PF ，在FAP D 和CAP D 中，AF AC FAP CAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î，()FAP CAP SAS \D @D ，FP CP \=．在FPB D 中，FP BP FA AB +>+，即PB PC AB AC +>+．8.已知ABC D 中，AB AC =，BE 平分ABC Ð交边AC 于E ．（1）如图（1），当108BAC Ð=°时，证明：BC AB CE =+；（2）如图（2），当100BAC Ð=°时，（1）中的结论还成立吗？若不成立，是否有其他两条线段之和等于BC，若有请写出结论并完成证明．【分析】（1）如图1中，在BC 上截取BD BA =．只要证明BEA BED D @D ，CE CD =即可解决问题；（2）结论：BC BE AE =+．如图2中，在BA 、BC 上分别截取BF BE =，BH BE =．则EBH EBF D @D ，再证明EA EH EF CF ===即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，在BC 上截取BD BA =．BA BD =Q ，EBA EBD Ð=Ð，BE BE =，BEA BED \D @D ，BA BD \=，108A BDE Ð=Ð=°，AB AC =Q ，36C ABC \Ð=Ð=°，72EDC Ð=°，72CED \Ð=°，CE CD \=，BC BD CD AB CE \=+=+．（2）结论：BC BE AE =+．理由：如图2中，在BA 、BC 上分别截取BF BE =，BH BE =．则EBH EBF D @D ，EF EH \=，100BAC Ð=°Q ，AB AC =，40ABC C \Ð=Ð=°，20EBA EBC \Ð=Ð=°，80BFE H EAH \Ð=Ð=Ð=°，AE EH \=，BFE C FEC Ð=Ð+ÐQ ，40CEF C \Ð=Ð=°，EF CF \=，BC BF CF BE AE \=+=+．9.（2020秋•建华区期末）阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在ABC D 中，AD 平分BAC Ð，2B C Ð=Ð．求证：AB BD AC +=．”李老师给出了如下简要分析：要证AB BD AC +=，就是要证线段的和差问题，所以有两个方法：方法一：“截长法”．如图2，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，只要证BD = EC 即可，这就将证明线段和差问题 为证明线段相等问题，只要证出△ @△ ，得出B AED Ð=Ð及BD = ，再证出Ð = ，进而得出ED EC =，则结论成立．此种证法的基础是“已知AD 平分BAC Ð，将ABD D 沿直线AD 对折，使点B 落在AC 边上的点E 处”成为可能．方法二：“补短法”．如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =．只要证AF AC =即可，此时先证Ð C =Ð，再证出△ @△ ，则结论成立．“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．【分析】方法一、如图2，在AC 上截取AE AB =，由“SAS ”可证ABD AED D @D ，可得B AED Ð=Ð，BD DE =，由角的数量关系可求DE CE =，即可求解；方法二、如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，由“AAS ”可证AFD ACD D @D ，可得AC AF =，可得结论．【解答】解：方法一、在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图2:AD Q 平分BAC Ð，BAD DAC \Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中，AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS \D @D ，B AED \Ð=Ð，BD DE =，又2B C Ð=ÐQ ，2AED C \Ð=Ð，而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，C EDC \Ð=Ð，DE CE \=，AB BD AE CE AC \+=+=，故答案为：EC ，转化，ABD ，AED ，DE ，EDC ，C Ð；方法二、如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，F BDF \Ð=Ð，2ABD F BDF F \Ð=Ð+Ð=Ð，2ABD C Ð=ÐQ ，F C \Ð=Ð，在AFD D 和ACD D 中，FAD CAD F CAD AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AFD ACD AAS \D @D ，AC AF \=，AC AB BF AB BD \=+=+，故答案为F ，AFD ，ACD ．倍长中线倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角．其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．10.三角形ABC 中，AD 是中线，且4AB =，6AC =，求AD 的取值范围是 ．【分析】延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，证ADC EDB D @D ，推出8AC BE ==，在ABE D 中，根据三角形三边关系定理得出AB BE AE AB BE -<<+，代入求出即可．【解答】解：延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，AD Q 是BC 边上的中线，BD CD \=，在ADC D 和EDB D 中，Q AD DE ADC EDB DC BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，4AC BE \==，在ABE D 中，AB BE AE AB BE -<<+，64264AD \-<<+，15AD \<<，故答案为：15AD <<．11.（2021春•碑林区校级期中）问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABCD 中，若4AB =，3AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下ED ABC的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，则得到ADC EDB D @D ，小明证明BED CAD D @D 用到的判定定理是： （用字母表示）；问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；拓展应用：以ABC D 的边AB ，AC 为边向外作ABE D 和ACD D ，AB AE =，AC AD =，90BAE CAD Ð=Ð=°，M 是BC 中点，连接AM ，DE ．当3AM =时，求DE 的长．【分析】问题背景：先判断出BD CD =，由对顶角相等BDE CDA Ð=Ð，进而得出()ADC EDB SAS D @D ；问题解决：先证明()ADC EDB SAS D @D ，得出3BE AC ==，最后用三角形三边关系即可得出结论；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN AM =，连接BN ，同（1）的方法得出()BMN CMA SAS D @D ，则BN AC =，进而判断出ABN EAD Ð=Ð，进而判断出ABN EAD D @D ，得出AN ED =，即可求解．【解答】解：问题背景：如图1，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ，AD Q 是ABC D 的中线，BD CD \=，在ADC D 和EDB D 中，AD ED CDA BDE CD BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，故答案为：SAS；问题解决：如图1，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ，AD Q 是ABC D 的中线，BD CD \=，在ADC EDB D @D 中，AD ED CDA BDE CD BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，BE AC \=，在ABE D 中，AB BE AE AB BE -<<+，4AB =Q ，3AC =，4343AE \-<<+，即17AE <<，DE AD =Q ，12AD AE \=，\1722AD <<；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN AM =，连接BN ，由问题背景知，()BMN CMA SAS D @D ，BN AC \=，CAM BNM Ð=Ð，AC AD =Q ，//AC BN ，BN AD \=，//AC BN Q ，180BAC ABN \Ð+Ð=°，90BAE CAD Ð=Ð=°Q ，180BAC EAD \Ð+Ð=°，ABN EAD \Ð=Ð，在ABN D 和EAD D 中，AB EA ABN EAD BN AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABN EAD SAS \D @D ，AN DE \=，MN AM =Q ，2DE AN AM \==，3AM =Q ，6DE \=．12.如图，ABC D 中，D 为BC 的中点．（1）求证：2AB AC AD +>；（2）若5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．【分析】（1）再延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB D @D ，再根据三角形的三边关系可得2AB AC AD +>；（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得53253AD -<<+，再计算即可．【解答】（1）证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D Q 为BC 的中点，DB CD \=，在ADC D 和EDB D 中AD DE ADC BDE DB CD =ìïÐ=Ðíï=î，BE AC \=，在ABE D 中，AB BE AE +>Q ，2AB AC AD \+>；（2）5AB =Q ，3AC =，53253AD \-<<+，14AD \<<．13.如图，平面直角坐标系中，A 为y 轴正半轴上一点，B 、C 分别为x 轴负半轴，x 轴正半轴上的点，AB AD =，AC AE =，90BAD CAE Ð=Ð=°，连DE ．如图，F 为BC 的中点，求证：2DE AF =．【分析】延长AF 至点N ，使FN AF =，连接BN ，证明BFN CFA D @D ，根据全等三角形的性质得到BN AC =，FBN FCA Ð=Ð，证明ABN DAE D @D ，根据全等三角形的性质证明；【解答】证明：延长AF 至点N ，使FN AF =，连接BN ，在BFN D 和CFA D 中，FB FC BFN CFA FN AF =ìïÐ=Ðíï=î，BN AC \=，FBN FCA Ð=Ð，BN AE \=，ABN DAE Ð=Ð，在ABN D 和DAE D 中，AB AD ABN DAE BN AE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABN DAE SAS \D @D ，AN DE \=，2DE AF \=．14.如图，AD 是ABC D 的边BC 上的中线，CD AB =，AE 是ABD D 的边BD 上的中线．求证：2AC AE =．【分析】延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF ，由SAS 证得ABE FDE D @D ，得出DF AB CD ==，EDF B Ð=Ð，易证AB BD =，得出ADB BAD Ð=Ð，证明ADC ADF Ð=Ð，由SAS 证得ADF ADC D @D ，即可得出结论．【解答】证明：延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF ，如图所示：AE Q 是ABD D 的边BD 上的中线，BE DE \=，在ABE D 与FDE D 中，AE EF AEB FED BE DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABE FDE SAS \D @D ，DF AB CD \==，EDF B Ð=Ð，AD Q 是ABC D 的边BC 上的中线，CD AB =，AB BD \=，ADB BAD \Ð=Ð，ADC B BAD BDA EDF ADF \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，在ADF D 与ADC D 中，AD AD ADF ADC DF DC =ìïÐ=Ðíï=î，()ADF ADC SAS \D @D ，2AC AF AE \==．15.如图，在ABC D 中，D ，E 是AB 边上的两点，AD EB =，CF 是AB 边上的中线，则求证AC BC CD CE +>+．【分析】如图，延长CF 至H ，使FH CF =，连接AH ，DH ，延长CD 交AH 于点G ，通过证明AFH BFC D @D ，BCE AHD D @D ，可得BC AH =，CE DH =，利用三角形的三边关系可求解．【解答】证明：如图，延长CF 至H ，使FH CF =，连接AH ，DH ，延长CD 交AH 于点G，Q是AB边上的中线，CF\=，且CFB AFHAF BF=，Ð=Ð，CF FH()\D@DAFH BFC SAS=，Ð=Ð，且AD BE\=，CBE HADBC AH\D@D()BCE AHD SAS\=，CE DH在AGC+>+，D中，AC AG DC DG在GDH+>，D中，DG GH DHAC AG DG GH DC DG DH\+++>++，\+>+，AC AH DC DH\+>+．AC BC CD CE16.如图1，ABCÐ=Ð．D中，CD为ABCD的中线，点E在CD上，且AED BCD（1）求证：AE BC=．（2）如图2，连接BE，若2CBEÐ的度数为 （直接写出结果），Ð=°，则ACDAB AC DE==，14【分析】（1）如图1，延长CD到F，使DF CDD@D，可得=，连接AF，由“SAS”可证ADF BDCAF BC=，F BCDÐ=Ð，由等腰三角形的性质可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得DEB DBEÐ=Ð，可得14DCB DEBÐ=Ð-°，14ACB ABC DEBÐ=Ð=Ð+°，即可求解．【解答】证明：（1）如图1，延长CD到F，使DF CD=，连接AF，CDQ为ABCD的中线，AD BD\=，且ADF BDCÐ=Ð，且CD DF=，()ADF BDC SAS\D@D，AF BC\=，F BCDÐ=Ð，AED BCDÐ=ÐQ，AED F\Ð=Ð，AE AF\=，AE BC\=；（2）12DE AB=Q，CD为ABCD的中线，DE AD DB\==，DEB DBE\Ð=Ð，14 ABC DBE CBE DEB\Ð=Ð+Ð=Ð+°，DEB DCB CBEÐ=Ð+ÐQ，14DCB DEB\Ð=Ð-°，AC AB=Q，14ACB ABC DEB\Ð=Ð=Ð+°28ACD ACB DCB\=Ð-Ð=°，故答案为：28°．17.如图，ABC D 中，点D 是BC 中点，连接AD 并延长到点E ，连接BE ．（1）若要使ACD EBD D @D ，应添上条件： ；（2）证明上题：（3）在ABC D 中，若5AB =．3AC =，可以求得BC 边上的中线AD 的取值范围4AD <．请看解题过程：由ACD EBD D @D 得：AD ED =，3BE AC ==，因此AE AB BE <+，即8AE <，而12AD AE =，则4AD <请参考上述解题方法，可求得AD m >，则m 的值为 ．（4）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（提示：画出图形，写出已知，求证，并加以证明）【分析】（1）根据“边角边”求证三角形全等的方法可以添加条件AD DE =；（2）易证BD CD =，根据“边角边”求证三角形全等的方法即可解题；（3）根据三角形三边关系即可解题；（4）已知RT ABC D 中90BAC Ð=°，AD 是斜边中线，求证12AD BC =；证明：延长AD 到点E 使得DE AD =，连接BE ，易证ACD EBD D @D ，可得C DBE Ð=Ð，AC BE =，即可证明BAC ABE D @D ，可得BC AE =，即可解题．【解答】解：（1）应添上条件：AD DE =，故答案为AD DE =；（2）Q 点D 是BC 中点，BD CD \=，Q 在ACD D 和EBD D 中，BD CD ADC BDE AD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ACD EBD SAS \D @D ；（3）Q 三角形两边之差小于第三边，AE AB BE \>-，即2AE >，12AD AE =Q ，1AD \>，故答案为 1；（4）已知RT ABC D 中90BAC Ð=°，AD 是斜边中线，求证12AD BC =，证明：延长AD 到点E 使得DE AD =，连接BE ，Q 点D 是BC 中点，BD CD \=，Q 在ACD D 和EBD D 中，BD CD ADC BDE AD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ACD EBD SAS \D @D ；C DBE \Ð=Ð，AC BE =，90ABC C Ð+Ð=°Q ，90ABC DBE \Ð+Ð=°，即90ABE Ð=°，Q 在BAC D 和ABE D 中，90AB BA ABE BAC AC BE =ìïÐ=Ð=°íï=î，()BAC ABE SAS \D @D ；BC AE \=，12AD BC \=．。
倍长中线模型,构造全等证明线段或角之间的关系
倍长中线模型，全等三角形搭桥，难题分析讲解三角形是初中数学里最基本的几何图形，而其边上，又是很常见的条件。
当涉及三角形问题时，常采用延长中线一倍的办法，即倍长中线法，实现角和线段的转化，以此来作辅助线解题。
好处是通过此法构造全等三角形继而得到平行，也可以证明三角形全等，可将分散的条件集中在一个三角形内解题，常常出奇制胜，化腐朽为神奇。
且看模型，和模型产生的基本结论.倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（其中有对顶角相等）例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围。
分析：延长AD 至E ，使ED=AD ，连接BE ，见模型1，可证△ABD 与△ECD 全等，把AB 边转移到EC 上了，再看△AEC ，用第三边大于两边之差小于两边之和可解。
【归纳总结】1. 三角形的三边关系是求线段范围的常用方法．2. 出现中线时，常考虑倍长中线构造全等三角形，实现线段的转化．例 2：已知在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线， E 是AD 上的一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF延长ED 至G ，使GD=ED ，利用SAS 可证△BED与△CGD 全等，把BE 转移到GC 上，∠G=∠1，由已知BE=AC ，得到GC=AC ，由等腰三角形性质可知∠G=∠3，通过∠G 传递，得到∠2=∠3，得证AF=EF例3：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF//BA 交AE 于点F ，DE=AC ，求证：AE 平分∠BAC证明：如图，延长FE 到G ，使EG=EF ，连接CG ．在△DEF 和△CEG 中，∵ ，∴△DEF ≌△CEG ． ∴DF=GC ，∠DFE=∠G ．∵DF ∥AB ，∴∠DFE=∠BAE ．∵DF=AC ，∴GC=AC ．∴∠G=∠CAE ．∴∠BAE=∠CAE ．即AE 平分∠BAC⎪⎩⎪⎨⎧==FG FE CEG ＝∠DEF ∠EC ED例4：如图；在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使得BD=AB，取AB的中点E，连结CD和CE，求证：CD=2CE证明：延长CE至F，使EF＝CE，则CF＝2CE易证△ACE≌△BFE，∴AC＝BF＝AB＝BD，∠ABF＝∠BAC∴∠DBC＝∠ACB+∠BAC＝∠ABC+∠ABF＝∠FBC∴△BCF≌△BCD（SAS）∴CD＝CF＝2CE【融会贯通】1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。
全等模型-倍长中线与截长补短模型(学生版+答案解析)
全等模型-倍长中线与截长补短模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型(倍长中线模型、截长补短模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．(注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候)。
【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE.若连结BE，则ΔBDE≅ΔCDA；若连结EC，则ΔABD≅ΔECD；2、中点型:如图2，C为AB的中点.证明思路：若延长EC至点F，使得CF=EC，连结AF，则ΔBCE≅ΔACF;若延长DC至点G，使得CG=DC，连结BG，则ΔACD≅ΔBCG.3、中点+平行线型：如图3, AB⎳CD，点E为线段AD的中点.证明思路：延长CE交AB于点F(或交BA延长线于点F)，则ΔEDC≅ΔEAF.1(2023·江苏徐州·模拟预测)(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．2(2023·贵州毕节·二模)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由．3(2022·山东·安丘市一模)阅读材料：如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．类比迁移：(1)如图2，AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF．小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，⋯⋯请根据小亮的思路完成证明过程．方法运用：(2)如图3，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点(点D在点C的右侧)，连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明．4(2022·河南商丘·一模)阅读材料如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．(1)类比迁移：如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，⋯⋯请根据小明的思路完成证明过程．(2)方法运用：如图3，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点(点D在点C的右侧)，连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE．F是线段BE的中点，连接DF，CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明；模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
七年级下册 三角形拓展 3 全等辅助线之倍长中线
三角形拓展
三、辅助线之倍长中线
其中 BD＝CD，延长 AD使得 DE＝AD。
倍长中线：延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的二倍。
【例1】如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，延长
BE交AC于F, AF=EF,求证：AC=BE。
【例2】如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，若BG＝CF，求证：AD为△ABC的角平分线。
【例3】在 Rt△ABC中，∠A＝90°，点D为BC的中点，点E、F 分别为 AB、AC 上的点，且ED⊥FD。
以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？
【例4】已知△ABC 中，AB＝AC，BD 为 AB 的延长线，且 BD＝AB，CE为△ABC的AB边上的中线，求证：CD＝2CE。
(AB＋AC)。
【例5】已知，在△ABC中，AM是中线，求证：AM＜1
2。
北师大版 七年级数学下册 第四章 全等三角形的性质和判定的归纳总结 (无答案)
全等三角形的性质及判定运用知识清单全等三角形的认识与性质 全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形． 全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．考点扫描板块一 全等三角形的认识【例1】 (四川遂宁)已知ABC ∆中，AB BC AC =≠，作与ABC ∆只有一条公共边，且与ABC ∆全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个．【例2】 如图所示，ABD CDB ∆∆≌，下面四个结论中，不正确的是（ ）A.ABD ∆和CDB ∆的面积相等B.ABD ∆和CDB ∆的周长相等C.A ABD C CBD ∠+∠=∠+∠D.AD BC ∥，且AD BC =【拓展延伸1】已知ABC DEF ≌△△，DEF △的周长为32cm ，912DE cm EF cm ==，，则AB = ，BC = ，AC = ．板块二、三角形全等的判定与应用DCBA全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．判定三角形全等的基本思路：SAS HL SSS →⎧⎪→⎨⎪→⎩找夹角已知两边 找直角 找另一边ASA AAS SAS AAS ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASAAAS →⎧⎨→⎩找两角的夹边已知两角 找任意一边全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式： ⑴ 平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型由全等可得到的相关定理：⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．⑵ 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．⑶ 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)． ⑷ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．⑸ 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)． ⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．平移全等模型【例3】 已知：如图，AB DE ∥，AC DF ∥，BE CF =． 求证：AB DE =．【例4】 如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =．【拓展延伸1】如图所示：AB CD ∥，AB CD =．求证：AD BC ∥．对称全等模型【例5】 已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证：OA OD =．【拓展延伸1】已知：如图，AD BC =，AC BD =，求证：C D ∠=∠．【拓展延伸2】已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =．【例6】 如图所示， 已知AB DC =，AE DF =，CE BF =，证明：AF DE =．【拓展延伸1】在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．基本旋转全等模型【例7】 （成都市高中阶段教育学校统一招生考试)如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．求证：FC AD =．【例8】 如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证：AC BD ∥．【例9】 已知：BD CE 、是ABC ∆的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =，求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．F DC BAM EDC BAK 字型模型【例10】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．【拓展延伸】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：BG CF BC +=．课后作业1、判定两个三角形全等的方法是：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；⑸ ；⑹ ．全等三角形的性质是对应边、对应角、周长、面积都分别 ．2、不能确定两个三角形全等的条件是（ ）A ．三边对应相等B ．两边及其夹角相等C ．两角和任一边对应相等D ．三个角对应相等3、如图，ABC △中，90C AC BC AD ∠=︒=，，平分CAB ∠交BC 于D ，DE AB ⊥于E 且6AB cm =，则DEB △的周长为（ ）A ．40 cmB ．6 cmC ．8cmD ．10cmPDQCBEAEDCBA4、如图，△ABC ≌ΔADE ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为 （ ） A ．40°B ．35°C ．30°D ．25°5、已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．6、如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．7、如图所示，C 是AB 的中点，CD CE =，DCA ECB ∠=∠，求证DAE EBD ∠=∠．8、如图，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ．求证：AM AN =．全等三角形与旋转问题知识清单把图形G 绕平面上的一个定点O 旋转一个角度θ，得到图形G '，这样的由图形G 到G '变换叫做旋转变换，点O 叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G '叫做G 的象；G 叫做G '的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形．很明显，旋转变换具有以下基本性质：①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角．旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演．考点扫描“拉手”模型【例1】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：AN BM =．【例2】 如图，B ，C ，E 三点共线，且ABC ∆与DCE ∆是等边三角形，连结BD ，AE 分别交AC ，DC于M ，N 点．求证：CM CN =．【拓展延伸1】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：CF 平分AFB ∠．【拓展延伸2】如图，点为线段上一点，、是等边三角形，是中点，是中点，求证：是等边三角形．C AB ACM ∆CBN ∆D ANE BM CDE ∆等边三角形共顶点模型【例3】 如图，等边三角形与等边共顶点于点．求证：．等腰直角三角形共顶点问题【例4】 如图，等腰直角三角形中，，，为中点，．求证：为定值．【拓展延伸1】如图，正方形绕正方形中点旋转，其交点为、，求证：．正方形旋转模型【例5】 、分别是正方形的边、上的点，且，，为垂足，求证：．ABC ∆DEC ∆C AE BD=ABC 90B =︒∠AB a =O AC EO OF ⊥BE BF+OGHK ABCD O E F AE CF AB +=E F ABCD BC CD 45EAF =︒∠AH EF ⊥H AH AB =【拓展延伸1】如图，正方形的边长为，点在线段上运动，平分交边于点．求证：．【例6】 以△ ABC 的两边AB 、AC 为边向外作正方形ABDE 、ACFG ，求证：CE=BG ，且CE ⊥BG ．对角和180°模型【例7】 如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120o 的等腰三角形，以D 为顶点作一个60o 的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．ABCD 1F CD AE BAF ∠BC E AF DF BE =+OGFEDCA【例8】 (1)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=∠BAD ．求证：EF ＝BE FD;(2) 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠ B+∠ D ＝，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠ EAF=∠ BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明．90︒12+FED CBA180︒12FEDB A课后作业1、如图，已知和都是等边三角形，、、在一条直线上，试说明与相等的理由．2、(湖北省黄冈市初中毕业生升学考试)已知：如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于点．求证：．3、已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形．、分别是、 的高．求证：．4、在等腰直角中，，，是的中点，点从出发向运动，交于点，试说明的形状和面积将如何变化．5、如图，正方形中，．求证：．ABC ∆ADE ∆B C D CE AC CD+E ABCD AB D DF DE ⊥BC F DE DF=C AB ACM ∆CBN ∆CG CH ACN ∆MCB ∆CG CH=ABC ∆90ACB ∠=o AC BC =M AB P B C MQ MP ⊥AC Q MPQ∆ABCD FAD FAE ∠=∠BE DF AE +=6、等边和等边的边长均为1，是上异于的任意一点，是上一点，满足，当移动时，试判断的形状．全等三角形与中点问题知识清单三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边． 中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．考点扫描倍长中线模型【例1】 在△ABC 中，9,5==AC AB ，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？【拓展延伸1】已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1()2AM AB AC <+．ABD ∆CBD ∆E BE AD ⊥A D 、F CD 1AE CF +=E F 、BEF∆【例2】 如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．【拓展延伸1】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．【例3】 如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥AB类倍长中线模型【例4】 已知AD 为ABC ∆的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．【拓展延伸1】在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？中位线的运用【例5】 已知，如图四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，AD 、EF 、BC的延长线分别交于M 、N 两点． 求证：AME BNE ∠=∠．【例6】 在四边形ABCD 中，设M ,N 分别为CD ,AB 的中点，求证()12MN AD BC +≤，当且仅当AD BC ∥时等号成立．【例7】 如图，在五边形ABCDE 中，，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．课后作业1、如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．2、如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？3、如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．全等三角形与角平分线问题知识清单与角平分线相关全等问题 角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB =，这种对称的图形应用得也较为普遍，考点扫描角平分线基本性质与全等的关系【例1】 已知ABC ∆中，AB AC =，BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平分线．求证：CD BE =．【例2】 如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．【拓展延伸1】如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．【拓展延伸2】如图所示，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，OB OD =．求证：AB CD =．两边作垂线问题【例3】 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1()2AE AB AD =+，则ABC ADC ∠+∠等于多少？【拓展延伸1】ABC ∆中，D 为BC 中点，DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E ，EF AB ⊥于F EG AC⊥于G ．求证：BF CG =．作角平分线的垂线问题【例4】 如图所示，在ABC ∆中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的平分线，若CF AD ⊥且交AD 的延长线于F ，求证()12MF AC AB =-．【例5】 如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．取线段长度相等【例6】 如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B ∠的平分线时，有AD BC AB +=．【例7】 如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．课后作业1、在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AB BD AC +=．求:B C ∠∠的值．2、如图，ABC ∆中，AB AC =，BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE ⊥于E ．求证：AD AE =．3、如图，已知在ABC ∆中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．4、如图，180A D ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．全等三角形截长补短及方法总结知识清单常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2) 遇到三角形的中点或中线，倍长中线或倍长类中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”.5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．考点扫描截长模型【例1】 已知ABC ∆中，60A ∠=o ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【例2】 如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B ∠的平分线时，有AD BC AB +=．“补短”模型【例3】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .【例4】 点M ，N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动，BD =DC ，∠BDC =120°，∠MDN =60°，求证MN =MB +NC ．补形法【例5】 如图，在四边形ABCD 中，90A C ︒∠=∠=，AB AD =，若这个四边形的面积为16，则BC CD+=___________.对称法【例6】 如图，ABC △中，由点A 作BC 边上的高线，垂足为D . 如果2C B ∠=∠，求证：AC CD BD +=.旋转法【例7】 正方形ABCD 中，E 为上的一点，F 为CD 上的一点，BE DF EF +=，求EAF ∠的度数.【拓展延伸1】如图所示．正方形ABCD 中，在边CD 上任取一点Q ，连AQ ，过D 作DP AQ ⊥，交AQ 于R ，交BC 于P ，正方形对角线交点为O ，连OP OQ ，．求证：OP OQ ⊥．割补面积法【例8】 如图P 为等腰三角形ABC 的底边AB 上的中点，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，AD BC⊥于点D ，，求证：PE PF AD +=．【拓展延伸1】如图，点P 为等腰三角形ABC 的底边BA 的延长线上的一点，PE CA ⊥的延长线于点E ，PF BC ⊥于点F ，AD BC ⊥于点D ．PE 、PF 、AD 之间存在着怎样的数量关系?【例9】 如图，点P 为正三角形ABC 内任意一点，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，PG AB ⊥于点G ，AD ⊥BC 于点D ．PE 、PF 、PG 、AD 之间存在怎样的数量关系?。
专题01 全等模型-倍长中线与截长补短(解析版)
专题01 全等模型-倍长中线与截长补短全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC 中，AD 为BC 边上的中线.证明思路：延长AD 至点E ，使得AD =DE . 若连结BE ，则BDE CDA ∆≅∆；若连结EC ，则ABD ECD ∆≅∆；2、中点型:如图2，C 为AB 的中点.证明思路：若延长EC 至点F ，使得CF EC =，连结AF ，则BCE ACF ∆≅∆;若延长DC 至点G ，使得CG DC =，连结BG ，则ACD BCG ∆≅∆.3、中点+平行线型：如图3, //AB CD ，点E 为线段AD 的中点.证明思路：延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F )，则EDC EAF ∆≅∆.例1．（2023·成都市·八年级课时练习）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，△ABC 中，若AB ＝8，AC ＝6，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，连结BE ．请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到ADC EDB ≌△△的理由是（ ）．A ．SSSB ．SASC ．AASD ．ASA(2)AD 的取值范围是（ ）．A ．68AD <<B ．1216AD <<C ．17AD << D ．214AD <<(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．【问题解决】如图，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于点E ，交AD 于F ，且AE ＝EF ．求证：AC ＝BF ．【答案】(1)B (2)C (3)见解析【分析】（1）根据AD =DE ，∠ADC =∠BDE ，BD =DC 推出△ADC 和△EDB 全等即可；（2）根据全等得出BE =AC=6，AE =2AD ，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD ＜8+6，求出即可；（3）延长AD 到M ，使AD =DM ，连接BM ，根据SAS 证△ADC ≌△MDB ，推出BM =AC ，∠CAD =∠M ，根据AE =EF ，推出∠CAD =∠AFE =∠BFD ，求出∠BFD =∠M ，根据等腰三角形的性质求出即可．（1）∵在△ADC 和△EDB 中AD DE ADC BDE BD CD ìïÐÐíïî＝＝＝，∴△ADC ≌△EDB （SAS ），故选B ；（2）∵由（1）知：△ADC ≌△EDB ，∴BE =AC =6，AE =2AD ，∵在△ABE 中，AB =8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD ＜8+6，∴1＜AD ＜7，故选：C ．（3）延长AD 到点M ，使AD ＝DM ，连接BM ．∵AD 是△ABC 中线∴CD ＝BD∵在△ADC 和△MDB 中DC DB ADC MDB DA DM =ìïÐ=Ðíï=î∴()SAS ADC MDB ≌△△∴BM ＝AC （全等三角形的对应边相等）∠CAD ＝∠M （全等三角形的对应角相等）∵AE ＝EF ，∴∠CAD ＝∠AFE （等边对等角）∵∠AFE ＝∠BFD ，∴∠BFD ＝∠M ，∴BF ＝BM （等角对等边）又∵BM ＝AC ，∴AC ＝BF ．【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．例2．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：如图，在ABC V 中，D 是边BC 的中点，过点C 画直线CE ，使//CE AB ，交AD 的延长线于点E ，求证：AD ED=证明∵//CE AB （已知）∴ABD ECD Ð=Ð，BAD CED Ð=Ð（两直线平行，内错角相等）．在ABD △与ECD V 中，∵ABD ECD Ð=Ð，BAD CED Ð=Ð（已证），BD CD =（已知），∴()A.A.S ABD ECD △△≌，∴AD ED =（全等三角形的对应边相等）．（1）【方法应用】如图①，在ABC V 中，6AB =，4AC =，则BC 边上的中线AD 长度的取值范围是______．（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD 中，//AB CD ，点E 是BC 的中点，若AE 是BAD Ð的平分线，试猜想线段AB 、AD 、DC 之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）【拓展延伸】如图③，已知//AB CF ，点E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，EDF BAE Ð=Ð，若5AB =，2CF =，求出线段DF 的长．【答案】（1）1＜AD ＜5；（2）AD =AB +DC ．理由见解析；（3）DF =3．【分析】（1）延长AD 到E ，使AD =DE ，连接BE ，证△ADC ≌△EDB ，推出AC =BE =4，在△ABE 中，根据三角形三边关系定理得出AB -BE ＜AE ＜AB +BE ，代入求出即可；（2）结论：AD =AB +DC ．延长AE ，DC 交于点F ，证明△ABE ≌△FEC （AAS ），推出AB =CF ，再证明DA =DF 即可解决问题；（3）如图③，延长AE 交CF 的延长线于点G ，证明AB =DF +CF ，可得结论．【详解】解：（1）延长AD 到E ，使AD =DE ，连接BE ，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△ADC和△EDB中，AD DEADC EDBDC DB=ìïÐ=Ðíï=î，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=4，在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，∴6-4＜2AD＜6+4，∴1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5；（2）结论：AD=AB+DC．理由：如图②中，延长AE，DC交于点F，∵AB∥CD，∴∠BAF=∠F，在△ABE和△FCE中，AEB FECBAE FBE CEÐ=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴CF=AB，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF=∠FAD，∴∠FAD=∠F，∴AD=DF，∵DC+CF=DF，∴DC+AB=AD；（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵AB∥CF，∴∠BAE=∠G，在△AEB和△GEC中，BAE GAEB GECBE CEÐ=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△AEB≌△GEC（AAS），∴AB=GC，∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=DF+CF，∵AB=5，CF=2，∴DF=AB-CF=3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．例3．（2022·贵州毕节·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．(2)如图2，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 干E ，交AD 于F ，且AE =EF ．请判昕AC 与BF 的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)AC =BF ，理由见解析【解析】（1）解：如图，延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接BE ，在△ADC 和△EDB 中∵AD DE ADC EDB CD DB =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ADC ≌△EDB （SAS ）．∴BE =AC =3．∵AB -BE <AE <AB +BE ∵2<AE <8．∵AE =2AD ∴1<AD <4．（2）AC =BF ，理由如下：延长AD 至点G ，使GD =AD ，连接BG ，在△ADC 和△GDB 中，AD DG ADC GDB BD CD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ADC ≌△GDB （SAS ）．∴BG =AC ，∠G =∠DAC ．．∵AE =EF ∴∠AFE =∠FAE ． ∴∠DAC =∠AFE =∠BFG ∴∠G =∠BFG ∴BG =BF ∴AC =BF ．【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，作辅助线：延长AD 到点E ，使DE =AD ，构造全等三角形是解题的关键．例4．（2022·山东·安丘市一模）阅读材料：如图1，在ABC V 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE 到点F ，使EF DE =，连接CF ，证明ADE CFE V V ≌，再证四边形DBCF 是平行四边形即得证．类比迁移：（1）如图2，AD 是ABC V 的中线，E 是AC 上的一点，BE 交AD 于点F ，且AE EF =，求证：AC BF =．小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD 至点M ，使MD FD =，连接MC ，……请根据小亮的思路完成证明过程．方法运用：（2）如图3，在等边ABC V 中，D 是射线BC 上一动点（点D 在点C 的右侧），连接AD ．把线段CD 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DE ，F 是线段BE 的中点，连接DF 、CF ．请你判断线段DF 与AD 的数量关系，并给出证明．【答案】（1）证明见解析；（2）2AD DF =，证明见解析【分析】(1) 延长AD 至M ，使MD FD =，连接MC ，证明BDF CDM △≌△，结合等角对等边证明即可．(2) 延长DF 至点M ，使DF FM=，连接BM 、AM ，证明(SAS)ABM ACD △≌△，△ABM 是等边三角形，代换后得证．【详解】（1）证明：延长AD 至M ，使MD FD =，连接MC ．在BDF V 和CDM V 中，BD CD BDF CDM DF DM =ìïÐ=Ðíï=î，∴BDF CDM △≌△，∴MC BF =，M BFM Ð=Ð，∵AE EF =，∴EAF EFA Ð=Ð，∵EFA BFM Ð=Ð，∴M MAC Ð=Ð，∴AC MC =，∴AC BF =．（2）线段DF 与AD 的数量关系为：2AD DF =．证明如下：延长DF 至点M ，使DF FM =，连接BM 、AM ，如图2所示：∵点F 为BE 的中点，∴BF EF=在BFM V 和EFD △中，∵BF EF BFM EFD FM DF =ìïÐ=Ðíï=î，∴(SAS)BFM EFD △≌△∴BM DE =，MBF DEF Ð=Ð，∴BM DE∥∵线段CD 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DE∴CD DE BM ==，120Ð=°BDE ，∴18012060MBD Ð=-=°°°∵ABC V 是等边三角形∵AB AC =，60ABC ACB Ð=Ð=°，∴6060120ABM ABC MBD ÐÐа°=+=+=°∵180********ACD ACB Ð=°-Ð=°-°=°，∴ABM ACDÐ=Ð在ABM V 和ACD △中，∵AB AC ABM ACD BM CD =ìïÐ=Ðíï=î，∴(SAS)ABM ACD △≌△∴AM AD =，BAM CAD Ð=Ð，∴60MAD MAC CAD MAC BAM BAC ÐÐÐÐÐÐ=+=+==°∴AMD V 是等边三角形，∴2==AD DM DF ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
初中几何模型之——倍长中线模型
初中几何模型之——倍长中线模型展开全文【方法综述】中线是三角形中的一条重要线段，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。
所谓倍长中线法，就是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，再联结相应的顶点，利用中线的性质、辅助线、对顶角相等，构造出全等三角形（通常用“SAS”证明），进而证明对应边之间的关系。
中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系。
中线倍长其实就是通过图形旋转来构造三角形全等，从而把分散的已知条件集中起来加以利用，所以中线倍长的辅助线也可以转化为添平行线，同样能达到解决问题的效果。
简单地说，倍长中线法其目的是构造一对对顶的全等三角形，其本质是转移边、转移角。
【模式变式】倍长类中线模型1、如图，点E是AC边上任意一点，延长ED到F，使DF=DE，联结BF，则△ADE≌△BDF。
模型2、如图，点E是CD边上任意一点，延长ED到F，使DF=DE，联结AF，则△ADF≌△BDE。
模型3、如图，作BE⊥CD于F，作AE⊥CD的延长线于E，则△ADE≌△BDF。
模型4、如图，点P是BC边的中点，连接EP并延长到点F，使PF=PE，联结CF，则△BPE≌△CPF。
模型5、【条件】：①平行四边形ABCD；②BC=2AB；③AM=DM；④CE⊥AB；【结论】：∠EMD=3∠MEA辅助线：有平行AB∥CD，有中点AM=DM，延长EM，构造△AME≌△DMF，连接CM构造等腰△EMC，等腰△MCF。
【应用场景】题干中出现三角形一边的中线（或与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题。
类型1 、用于几何计算问题例1．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE＝BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD＝2.7，AF＝4，AB＝6．求CE的长．【分析】延长AF至BC延长线上交于G点，由已知可证明∠AGB ＝∠EAG，则EF为△ABG的中位线，得出EF＝3，还可证明FG＝4，由勾股定理得EG＝5，则求得CE的长为2.3．【解答】：延长AF至BC延长线上交于G点，∵AD∥BC，∴△ADF∽△GCF，∴AF：FG＝DF：CF，∵DF＝CF∴AF＝FG．∵AE＝BE，∴∠ABE＝∠BAE，∵AF⊥AB，∴∠ABE+∠AGB＝90°，∠BAE+∠EAG＝90°，∴∠AGB＝∠EAG，∴A E＝EG，∴GE＝BE，∴E为BG中点，∴EF是△ABG的中位线，故可得：EF＝1/2AB＝3，FG＝AF＝4，∴AG＝8，∴BG＝10，∴EG＝5，∵AF⊥AB，AE＝BE，∴点E是BG的中点，∴EG＝BE＝5，∴可得△EFG为直角三角形，∴CE＝EG﹣CG＝EG﹣AD＝5﹣2.7＝2.3．例2.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．【分析】延长GE交CB的延长线于M．只要证明△AEG≌△BEM，推出AG＝CM＝2，再根据线段的垂直平分线的性质，即可解决问题．解：延长GE交CB的延长线于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥CM，∴∠AGE＝∠M，在△AEG和△BEM中，∠AGE＝∠M，∠AEG＝∠MEB，AB=BE，∴△AEG≌△BEM（AAS），∴GE＝EM，AG＝BM＝2，∵EF⊥MG，∴FG＝FM，∵BF＝4，∴MF＝BF+BM＝2+4＝6，∴GF＝FM＝6．类型2 、用于几何证明问题例3、如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．（1）求证：AB+AC＞2AD；（2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．【分析】（1）延长AD到点E，使DE=AD，联结BE，用SAS证明△BDE≌△CDA，得BE=AC，根据三角形的三边关系的AB+BE＞AE，即可证得结论；（2）利用第（1）小题的结论以及三角形的三边关系即可解决问题.【解析】（1）证明：如图，延长AD到点E，使DE=AD，联结BE.∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD，∵∠BDE=∠CDA，DE=AD，∴△BDE≌△CDA，∴BE=A C，∵DE=AD∴AE=2AD在△ABE中，AB+BE＞AE，∴AB+AC＞2AD.（2）在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB＋BE，由(1)，得AE=2AD，BE=AC，∵AB=5，AC=3，∴5-3＜AE＜5＋3，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4.【点评】本题属于三角形的综合题，考查了三角形中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是作出倍长中线的辅助线，构造全等三角形解决问题，属于常考题型.例4、已知△ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD=AB，求证：CD=2CE.解析：如图，延长CE到点F，使EF=CE，联结BF，可证△AEC≌△BEF，得∠1=∠A，BF=AC，再证△BCD≌△BCF，即可得CD=2CE.如图，延长CE到点F，使EF=CE，联结BF，∵CE是AB边上的中线，∴AE=BE，∵∠AEC=∠BEF，CE=EF，∴△AEC≌△BEF，∴∠1=∠A，BF=AC，∵AB=AC，BD=AB，∴BD=BF，∵∠CBD是△ABC的外角，∴∠CBD=∠A＋∠ABC，∵∠CBF=∠1＋∠ABC，∴∠CBD=∠CBF，∵BC=BC，∴△BCD≌△BCF，∴CD=CF，∵CF=2CE，∴CD=2CE.【点评】本题考查了三角形中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，解题的关键是作出倍长中线的辅助线，构造全等三角形解决问题，属于常考题型.本题还可以这样添加辅助线，具体证明过程这里略.（1）如图，作BF∥AC，交CD于点F.（2）取AC的中点F，联结BF.。
七年级数学全等三角形中倍长中线和截长补短作法讲解
A
B C
E D
A
F
B
E
连接CAC，并延长DED至F，连接AF
△ABC ≌ △AEF(SAS) △ACD≌ △AED(SAS)
变式练习2：：如图1，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图 形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形，并将添加的全 等条件标注在图上．
请你参考这个作全等三角形的方法，解答以下问题：
E
延长AP、BC 交于点E
证明：在AB上截取AE=AD
∵AP平分BAD，BP平分ABC
∴ ∠ DAP= ∠ BAP, ∠ ABP= ∠ CBP
∵在△ADP与△AEP中
E
AD=AE
∠ DAP= ∠ BAP
AP=AP
∴ △ADP≌△AEP(SAS)
∴ ∠ D= ∠ AEP
∵ ∠AEP+ ∠BEP=180o
——截长〔补短〕
例：如图，AD//BC, AP平分∠DAB，BP平分 ∠ABC，点P恰好在CD上， 〔1〕假设∠D=90o，求证：①点P到AD，BC的距离相 等；
②AD+BC＝AB③你还能得出哪些结论？ (2)假设∠D≠90o，那么〔1〕中的结论还=AD
F
过P点作PH┴AD 延长线于H， PE┴AB于E, PF┴BC于F
∵ AD//BC
∴ ∠ D+ ∠ C=180o
∴ ∠ BEP= ∠ C 在△BPE与△BPC中
∠ BEP= ∠ C ∠ ABP= ∠ CBP
BP=BP
∴ △BPE≌△BPC(AAS) ∴BE=BC
∴ AB=AE+BE=AD+BC
变式练习：五边形ABCDE中，BC+DE=CD，
AB=AE， ∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE
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A
F
B
D
EC
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
隐藏着一个秘密武器
A B
D C
E
已知：D是BC的中点，∠1=∠2
A
求证：AC=BE
E1
证明：延长ED至H，使得ED=HD,连接HC
2
∵D是BC的中点
∴BD=CD
B
D
C
在△BDE和△CDH中
BD=CD(已证) ∠BDE= ∠CDH（对顶角相等） ED=HD（已作）
H ∴AC=BE
∴ △BDE≌△CDH（SAS）
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成长
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
∴BE=CH（全等三角形对应边相等）
∠2= ∠H
又∵ ∠1= ∠2
）
且BE=CH
已知在△ABC中，AD是BC 边上的中线 且BE=AC，延长
BE交AC于E
B
求证：AF=EF
A
F E
D
C
A
F E
A
F E
A
F E
B
D
CB
D
CB
D
C
H
图1 （成功）
G 图2 （成功）
B
D
C
∴ △ACD≌ △ MBD (SAS)
∴AC=BM, ∠CAD= ∠BMD
又∵ BE=AC
M
∴BE=BM ∴ ∠BME= ∠BEM(等边对等角） ∴ ∠BEM= ∠CAD(等量代换）
而∠AEF= ∠BEM （对顶角相等） ∴ ∠CAD= ∠AEF ∴AF=EF(等角对等边）
A已BC 知：如图，在△ABC中，D、E在BC上， DF且//BA DE=EC，过D作DF∥BA,交AE于点F，
H
图3（失败）
例2：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是 AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于E，求证：
AF=EF
证明：延长AD至M，使得MD=AD，连接BM
A
∵ AD是BC边上的中线
∴BD=CD 在△ACD和△MBD中
F E
MD=AD (已作）
∠BDM= ∠CDA（对顶角相等） BD=CD（已证）