2018年四川省达州市高考数学一诊试卷(理科)
2018年四川省达州市高考数学一诊试卷（理科）
一、选择题（每小题5分，共60分，每小题四个选项中只有一个是符合题意的，请将正确答案番号按要求涂在答题卡上相应位置）.
1．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x+3≤0 }，B=（1，3]，则A∩B=（）A．[1，3]B．（1，3]C．[1，3） D．（1，3）
2．（5分）已知复数z1=3+i，z2=2﹣i．则z1﹣z2=（）
A．1 B．2 C．1+2i D．1﹣2i
3．（5分）在等比数列{a n}中，a3=2，a6=16，则数列{a n}的公比是（）A．﹣2 B．C．2 D．4
4．（5分）从编号为1，2，3，…，100（编号为连续整数）的100个个体中随机抽取得到编号为10，30，50，70，90的样本，得到这个样本的抽样方法最有可能是（）
A．系统抽样B．分层抽样
C．简单随机抽样D．先分层再简单随机抽样
5．（5分）在△ABC中，?=，则△ABC是（）
A．等边三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．直角三角形
6．（5分）已知命题p：2x＜2y，命题q：log2x＜log2y，则命题p是命题q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
7．（5分）运行如图所示的程序框图，输出n的值为（）
A．5 B．6 C．100 D．101
8．（5分）点P是双曲线x2﹣=1（b＞0）上一点，F1、F2是双曲线的左、右焦
点，|PF1|+|PF2|=6，PF1⊥PF2，则双曲线的离心率为（）
A．B．2 C．D．
9．（5分）如图，虚线网格小正方形边长为1，网格中是某几何体的三视图，这个几何体的体积是（）
A．27﹣πB．12﹣C．32﹣（﹣1）πD．12﹣
10．（5分）将函数f（x）=cosx的图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再把所得图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则（）
A．g（x）=cos（x﹣）B．g（x）=cos（x﹣）
C．g（x）=cos（2x+）D．g（x）=cos（2x﹣）
11．（5分）四棱锥P﹣ABCD的所有顶点都在半径为的球上，四边形ABCD是
正方形，PA⊥平面ABCD，当△PAB面积最大时，四棱锥P﹣ABCD的体积为（）
A．8 B．C．D．4
12．（5分）如图，O是坐标原点，过E（p，0）的直线分别交抛物线y2=2px（p ＞0）于A、B两点，直线BO与过点A平行于x轴的直线相交于点M，过点M 与此抛物线相切的直线与直线x=p相交于点N．则|ME|2﹣|NE|2=（）
A．2p2B．2p C．4p D．p
二、填空题（每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上相应位置）. 13．（5分）式子（1+3）n展开式中，各项系数和为16，则xdx=．
14．（5分）已知x，y满足，则2x+y的最大值是．
15．（5分）已知函数f（x）=mlnx﹣x（m∈R）有两个零点x1、x2（x1＜x2），e=2.71828…是自然对数的底数，则x1、x2、e 的大小关系是（用“＜”连接）．16．（5分）在锐角△ABC中，A、B、C成等差数列，AC=，?的取值范围是．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知向量=（sin2x，cos2x），=（，﹣），f（x）=?．（1）求函数f（x）的周期；
（2）在△ABC中，f（A）=，AB=2，BC=2，求△ABC的面积S．
18．（12分）在数列{a n}中，a1=1，当n＞1时，2a n+a n a n﹣1﹣a n﹣1=0，数列{a n}的
前n项和为S n．求证：
（1）数列{+1}是等比数列；
（2）S n＜2．
19．（12分）某市去年外出务工返乡创业人员中有1000名个人年收入在区间[1，41]（单位：万元）上，从这1000名中随机抽取100名，得到这100名年收入x （万元，下同）的频率分布直方图，如图，这些数据区间是[1，5]，…，（37，41]．
（1）从这100名年收入在（33，41]上的返乡创业人员中随机抽取 3 人，其中收入在（37，41]上有ξ人，求随机变量的分布列和Eξ；
（2）调查发现这1000名返乡创业人员中有600人接受了职业技术教育，其中340人个人年收入超过17 万元．请完成个人年收入与接受职业教育2×2列联表，是否有99%握认为该市这1000 人返乡创业收入与创业人员是否接受职业技术教育有关？请说明理由．
参考公式及数据K2检验临界值表：
2=（其中n=a+b+c+d）
K
20．（12分）已知，如图，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD．EF是平面ABCD 外的一条直线，△ADE是等边三角形，平面ADE⊥平面ABCD，AB∥EF∥DC，AB=2，EF=3，DC=AD=4．
（1）求证：平面BCF⊥平面ABCD；
（2）求平面ADE与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．
21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+a（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）记[a]表示不超过实数a的最大整数，不等式f（x）≤x恒成立，求[a]的最大值．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4参数方程与极坐标
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴为极轴建立极
坐标系．已知直线l：（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρ2﹣
6ρcosθ+1=0，l与C相交于两点A、B．
（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；
（2）已知M（0，﹣1），求|MA|?|MB|的值．
选修4-5不等式选讲
23．已知正数a，b，c满足：a+b+c=1，函数f（x）=|x﹣|+|x+|．（1）求函数f（x）的最小值；
（2）求证：f（x）≥9．
2018年四川省达州市高考数学一诊试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共60分，每小题四个选项中只有一个是符合题意的，请将正确答案番号按要求涂在答题卡上相应位置）.
1．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x+3≤0 }，B=（1，3]，则A∩B=（）A．[1，3]B．（1，3]C．[1，3） D．（1，3）
【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3≤0 }={x|1≤x≤3}，
B=（1，3]，
∴A∩B=（1，3]．
故选：B．
2．（5分）已知复数z1=3+i，z2=2﹣i．则z1﹣z2=（）
A．1 B．2 C．1+2i D．1﹣2i
【解答】解：∵z1=3+i，z2=2﹣i，
∴z1﹣z2=（3+i）﹣（2﹣i）=1+2i．
故选：C．
3．（5分）在等比数列{a n}中，a3=2，a6=16，则数列{a n}的公比是（）A．﹣2 B．C．2 D．4
【解答】解：根据题意，等比数列{a n}中，a3=2，a6=16，
则q3==8，
解可得q=2；
故选：C．
4．（5分）从编号为1，2，3，…，100（编号为连续整数）的100个个体中随机抽取得到编号为10，30，50，70，90的样本，得到这个样本的抽样方法最有可
能是（）
A．系统抽样B．分层抽样
C．简单随机抽样D．先分层再简单随机抽样
【解答】解：根据题意，抽取的样本间隔相等，为20；
则这个样本的抽样方法最有可能是系统抽样．
故选：A．
5．（5分）在△ABC中，?=，则△ABC是（）
A．等边三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．直角三角形
【解答】解：∵?=，
∴?﹣=?（﹣）=?=0，
∴⊥，
∴C=90°，
∴△ABC是直角三角形，
故选D
6．（5分）已知命题p：2x＜2y，命题q：log2x＜log2y，则命题p是命题q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【解答】解：∵命题p：2x＜2y，∴x＜y，
∵命题q：log2x＜log2y，∴0＜x＜y，
∴命题p是命题q的必要不充分条件．
故选：B．
7．（5分）运行如图所示的程序框图，输出n的值为（）
A．5 B．6 C．100 D．101
【解答】解：第一次执行循环体后，T=0，n=2，不满足退出循环的条件；
第二次执行循环体后，T=lg2，n=3，不满足退出循环的条件；
第三次执行循环体后，T=lg6，n=4，不满足退出循环的条件；
第四次执行循环体后，T=lg24，n=5，不满足退出循环的条件；
第五次执行循环体后，T=lg120，n=6，满足退出循环的条件；
故输出的n值为6，
故选：B
8．（5分）点P是双曲线x2﹣=1（b＞0）上一点，F1、F2是双曲线的左、右焦
点，|PF1|+|PF2|=6，PF1⊥PF2，则双曲线的离心率为（）
A．B．2 C．D．
【解答】解：根据题意，点P是双曲线x2﹣=1（b＞0）上一点，
则有||PF1|﹣|PF2||=2a=2，
设|PF1|＞|PF2|，则有|PF1|﹣|PF2|=2，
又由|PF1|+|PF2|=6，
解可得：|PF1|=4，|PF2|=2，
又由PF1⊥PF2，则有|PF1|2+|PF2|2=4c2=20，
则c=，
又由a=1，
则双曲线的离心率e==；
故选：C．
9．（5分）如图，虚线网格小正方形边长为1，网格中是某几何体的三视图，这个几何体的体积是（）
A．27﹣πB．12﹣C．32﹣（﹣1）πD．12﹣
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长方体，挖去一个圆锥所得的组合体，
长方体的长，宽，高分别为：2，2，3，体积为：12，
圆锥的底面半径为1，高为3，体积为：π，
故组合体的体积为：V=12﹣π，
故选：D
10．（5分）将函数f（x）=cosx的图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再把所得图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则（）
A．g（x）=cos（x﹣）B．g（x）=cos（x﹣）
C．g（x）=cos（2x+）D．g（x）=cos（2x﹣）
【解答】解：将函数f（x）=cosx图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），
可得函数y=cos2x的图象；
再将得到的图象向右平移个单位长度，可得函数y=cos[2（x﹣）]=cos（2x ﹣）的图象；
故选：D．
11．（5分）四棱锥P﹣ABCD的所有顶点都在半径为的球上，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，当△PAB面积最大时，四棱锥P﹣ABCD的体积为（）
A．8 B．C．D．4
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，
∴BC⊥面PAB，CD⊥面PAD，
∴△PCB，△PCD，△PAC是有公共斜边PC的直角三角形，取PC中点O
∴OA=OB=OC=OP，O为四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心，直径PC=2，
设四棱锥的底面边长为a，PA=．
△PAB面积S===3，当且仅当a2=12﹣a2，即a=时，△PAB面积最大，此时PA=，
四棱锥P﹣ABCD的体积V==，
故选：D
，
12．（5分）如图，O是坐标原点，过E（p，0）的直线分别交抛物线y2=2px（p ＞0）于A、B两点，直线BO与过点A平行于x轴的直线相交于点M，过点M
与此抛物线相切的直线与直线x=p相交于点N．则|ME|2﹣|NE|2=（）
A．2p2B．2p C．4p D．p
【解答】解：过E（p，0）的直线分别交抛物线y2=2px（p＞0）于A、B两点为任意的，
不妨设直线AB为x=p，
由，解得y=±2p，
则A（﹣p，﹣p），B（p，p），
∵直线BM的方程为y=x，
直线AM的方程为y=﹣p，
解得M（﹣p，﹣p），
∴|ME|2=（2p）2+2p2=6p2，
设过点M与此抛物线相切的直线为y+p=k（x+p），
由，消x整理可得ky2﹣2py﹣2p+2p2k=0，
∴△=4p2﹣4k（﹣2p+2p2k）=0，
解得k=，
∴过点M与此抛物线相切的直线为y+p=（x+p），
由，解得N（p，2p），
∴|NE|2=4p2，
∴|ME|2﹣|NE|2=6p2﹣4p2=2p2，
故选：A
二、填空题（每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上相应位置）.
13．（5分）式子（1+3）n展开式中，各项系数和为16，则xdx=．【解答】解：令x=1，则展开式中各项系数和为A n=（1+3）n=22n，由22n=16，则n=2，
∴xdx=xdx=x2=[22﹣（﹣1）2]=，
故答案为：．
14．（5分）已知x，y满足，则2x+y的最大值是8．
【解答】解：作出x，y满足对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=2x+y得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，
直线y=﹣2x+z的截距最大，
此时z最大．
由，解得A（3，2），
代入目标函数z=2x+y得z=2×3+2=8．
即目标函数z=2x+y的最大值为：8．
故答案为：8．
15．（5分）已知函数f（x）=mlnx﹣x（m∈R）有两个零点x1、x2（x1＜x2），e=2.71828…是自然对数的底数，则x1、x2、e 的大小关系是x1＜e＜x2（用“＜”连接）．【解答】解：∵函数f（x）=mlnx﹣x有两个零点，
∴m≠0，由方程mlnx﹣x=0，得mlnx=x，即lnx=，
若m＜0，两函数y=mlnx与y=的图象仅有一个交点，不合题意；
若m＞0，设直线y=与曲线y=lnx相切于（x0，lnx0），
则，
∴切线方程为，
把原点坐标（0，0）代入，可得﹣lnx0=﹣1，即x0=e．
∵两函数y=mlnx与y=的图象有两个交点，两交点的横坐标分别为x1、x2（x1＜x2），
∴x1＜e＜x2．
故答案为：x1＜e＜x2．
16．（5分）在锐角△ABC中，A、B、C成等差数列，AC=，?的取值范围是（1，] ．
【解答】解：锐角△ABC中，A、B、C成等差数列，其对应的边分别为a，b，c，∴2B=A+C，
又A+B+C=π，
∴B=，
由正弦定理可得====2，
∴a=2sinA，c=2sinC=2sin（﹣A）=2（cosA+sinA）=cosA+sinA，
∴ac=2sinA（cosA+sinA）=sin2A+2sin2A=sin2A﹣cos2A+1=2sin（2A﹣）+1，
∵0＜A＜，0＜﹣A＜
∴＜A＜
∴＜2A﹣＜，
∴＜sin（2A﹣）≤1，
∴2＜2sin（2A﹣）+1≤3，
∴2＜ac≤3，
∵?=accosB=ac，
∴?的取值范围是（1，]
故答案为：（1，]
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知向量=（sin2x，cos2x），=（，﹣），f（x）=?．（1）求函数f（x）的周期；
（2）在△ABC中，f（A）=，AB=2，BC=2，求△ABC的面积S．
【解答】解：（1）由f（x）=?=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）
∴函数f（x）的周期T=；
（2）由f（A）=，即sin（2A﹣）=
∵0＜A＜π，AB=c=2＞BC=a=2，
∴A=
正弦定理：，
可得sinC=，
∵0＜C＜π，
∴C=或．
当C=，则B=，△ABC的面积S=acsinB=2，
当C=，则B=，△ABC的面积S=acsinB=．
18．（12分）在数列{a n}中，a1=1，当n＞1时，2a n+a n a n﹣1﹣a n﹣1=0，数列{a n}的前n项和为S n．求证：
（1）数列{+1}是等比数列；
（2）S n＜2．
【解答】证明：（1）数列{a n}中，a1=1，当n＞1时，2a n+a n a n﹣1﹣a n﹣1=0，
整理得：，
转化为：，
即：（常数）．
则：数列{}是以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）由于数列{}是以2为首项，2为公比的等比数列，
则：，
所以：（n=1符合），
则：+…+=1+（1﹣）＜2．
19．（12分）某市去年外出务工返乡创业人员中有1000名个人年收入在区间[1，41]（单位：万元）上，从这1000名中随机抽取100名，得到这100名年收入x （万元，下同）的频率分布直方图，如图，这些数据区间是[1，5]，…，（37，41]．
（1）从这100名年收入在（33，41]上的返乡创业人员中随机抽取 3 人，其中收入在（37，41]上有ξ人，求随机变量的分布列和Eξ；
（2）调查发现这1000名返乡创业人员中有600人接受了职业技术教育，其中340人个人年收入超过17 万元．请完成个人年收入与接受职业教育2×2列联表，是否有99%握认为该市这1000 人返乡创业收入与创业人员是否接受职业技术教育有关？请说明理由．
参考公式及数据K2检验临界值表：
2=（其中n=a+b+c+d）
K
【解答】解：（1）收入在（33，37]上的返乡创业人员有100×0.010×4=4人，在（37，41]上的返乡创业人员有100×0.005×4=2人，
从这6人中随机抽取 3 人，收入在（37，41]上有ξ人，
则ξ的可能取值为0，1，2；
计算P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==；
∴随机变量ξ的分布列为
数学期望为Eξ=0×+1×+2×=1；
（2）根据题意，这1000名返乡创业人员中年收入超过17 万元的人数是1000×[1﹣（0.01+0.02+0.03+0.04）×4]=600，其中参加职业培训的人数是340人，
由此填写2×2列联表如下；
计算K2=≈6.944＞6.635，
所以有99%的把握认为该市这1000 人返乡创业收入与创业人员是否接受职业
技术教育有关．
20．（12分）已知，如图，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD．EF是平面ABCD 外的一条直线，△ADE是等边三角形，平面ADE⊥平面ABCD，AB∥EF∥DC，AB=2，EF=3，DC=AD=4．
（1）求证：平面BCF⊥平面ABCD；
（2）求平面ADE与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．
【解答】（1）证明：取线段AD的中点H，在等腰三角形ADE中有EH⊥AD．
又平面ADE⊥平面ABCD，∴EH⊥平面ABCD，
连接GH，由于AB∥CD∥EF，且AB=2，CD=4，
∴在梯形ABCD中，HG∥AB且HG=3，∴HG∥EF．
又HG=EF，∴四边形EFGH为平行四边形，
∴FG∥EH且FG=EH，∴FG⊥平面ABCD．
∵FG?平面BCF．∴平面BCF⊥平面ABCD；
（2）解：如图，过G作MN平行AD，交DC于M，交AB延长线于点N，
连接FM，则面FMG∥面ADE
∴二面角C﹣FG﹣M等于平面ADE与平面BCF所成的锐二面角，
∵，∴∠CGM为所求．
∵AB=2，EF=3，DC=AD=4．HG=3
∴MG=2，CM﹣1
在Rt△CMG中，GM=2，CG=
cos=．
∴平面ADE与平面BCF所成的锐二面角的余弦值为．
21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+a（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）记[a]表示不超过实数a的最大整数，不等式f（x）≤x恒成立，求[a]的最大值．
【解答】解：（1）a=1时，f（x）=lnx﹣x+1，（x＞0）．
f′（x）=﹣1=，
令f′（x）=0，解得x=1．
∴x∈（0，1）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；
x∈[1，+∞）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
（2）不等式f（x）≤x恒成立，即lnx﹣（a+1）x+a≤0恒成立，x∈（0，+∞）．令g（x）=lnx﹣（a+1）x+a，x∈（0，+∞）．
g′（x）=﹣（a+1）．
①a≤﹣1时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增．
而g（e）=1﹣（a+1）e+a=（1﹣e）（1+a）≥0．可得x＞e时，g（x）＞0，不满足题意，舍去．
②a＞﹣1时，g′（x）=，可得x=时，
函数g（x）取得极大值即最大值．=﹣（a+1）×+a=﹣ln（a+1）+a﹣1，
令a+1=t＞0，h（t）=﹣lnt+t﹣2．