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高中数学《立体几何》大题及答案解析( 理)

1.（ 2009 全国卷Ⅰ）如图，四棱锥S ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， SD底面ABCD，

AD2 ，DC

o SD 2 ，点 M 在侧棱 SC 上，∠ABM=60。

（I ）证明：M是侧棱SC的中点；

求二面角 S AM B 的大小。

2.（ 2009 全国卷Ⅱ）如图，直三棱柱DE ⊥平面 BCC 1（Ⅰ）证明： AB=AC 的角的大小ABC-A 1B1C1中， AB ⊥ AC,D 、E 分别为 AA 1、 B1C 的中点，（Ⅱ）设二面角A-BD-C 为 60°,求 B 1C 与平面 BCD 所成

A 1 C

1

B1

D E

A

C

B

3. （ 2009浙江卷）如图，DC平面ABC，EB / / DC，AC BC EB 2DC 2 ，

ACB 120o， P,Q 分别为 AE , AB 的中点．（I）证明： PQ / / 平面ACD；（II）求AD与平面 ABE 所成角的正弦值．

4.（ 2009 北京卷）如图，四棱锥P ABCD 的底面是正方形，

PD 底面 ABCD ，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面

AEC 平面 PDB ；（Ⅱ）当 PD2AB 且E为PB的中点时，

求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.

5.（ 2009 江西卷）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA平面ABCD，

PA AD 4 ， AB 2 ．以 BD 的中点 O 为球心、 BD 为直径的球面交PD 于点 M ．

（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；

（2）求直线PC与平面ABM所成的角；

（3）求点O到平面ABM的距离．

P

M

A D

O

B

C

6（. 2009 四川卷）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF

所在平面互相垂直，△ ABE 是等腰直角三角形，AB AE , FA FE , AEF 45 （I）求证： EF 平面 BCE ；

（ II ）设线段 CD 、 AE 的中点分别为 P 、 M ，求证： PM ∥平面BCE （ III ）求二面角 F BD A 的大小。

SD⊥平面ABCD,SD＝ AD＝ a, 点 E 是7.（ 2009 湖北卷文）如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，

SD上的点，且DE＝a(0<≦ 1).

( Ⅰ ) 求证：对任意的（0、1），都有AC⊥BE:

( Ⅱ ) 若二面角C-AE-D 的大小为0

60 C，求的值。

8（. 2009 湖南卷）如图3，在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB =4,

AA1 7 ,点D 是BC 的中点，点 E 在AC 上，且DE A1E.

（Ⅰ）证明：平面A1 DE 平面ACC1 A1;（Ⅱ）求直线AD

和平面A1 DE 所成角的正弦值。

9（. 2009 四川卷）如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，AB AE, FA FE , AEF 45

（ I ）求证：EF 平面 BCE ；

（II ）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求

证： PM ∥平面BCE

（III ）求二面角F BD A的大小。

10. （ 2009 重庆卷文）如题（18 ）图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥DC ，BAD ，

2 CD AD 2 ，四边形ABFE 为平行四边形，FA 平面ABCD ，FC 3, ED 7 ．求：（Ⅰ）直线AB 到平面 EFCD 的距离；

（Ⅱ）二面角 F AD E 的平面角的正切值．

11．如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，∠ DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD⊥底面ABCD ．

(1)证明： PA⊥ BD；

(2)设 PD ＝ AD，求二面角 A－ PB－ C 的余弦值．

12（本小题满分12 分）如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB P CD,AC BD ，垂足为H，

PH 是四棱锥的高， E 为AD 中点

（1）证明： PE BC

（ 2）若APB=ADB=60 °，求直线PA 与平面 PEH 所成角的正弦值

参考答案

1、【解析】（ I ）解法一：作MN ∥ SD 交 CD 于N，作 NE AB 交 AB 于E，

连 ME 、 NB ，则MN 面 ABCD ， ME AB ,NE AD2

设 MN x ，则 NC EB x ,

在 RT MEB 中，Q MBE 60 ME 3x 。

在 RT MNE 中由ME2 NE 2 MN 2 3x2 x2 2

解得 x 1 ，从而 MN 1

SD M 为侧棱SC的中点 M. 2

解法二 :过M作CD的平行线 .

（II ）分析一 :利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也

基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。

过 M 作 MJ ∥ CD 交 SD 于 J ,作 SH AJ 交 AJ 于 H ,作 HK AM 交 AM 于 K ,则JM ∥ CD , JM 面 SAD ,面 SAD 面 MBA , SH 面 AMB SKH 即为所求二面角的补角 .

法二：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点 B 作 BF AM 交 AM 于点 F ，则点 F 为AM的中点，取SA的中点G，连GF，易证 GF AM ，则GFB 即为所求二面角.

解法二、分别以DA 、 DC 、 DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D— xyz ，则A( 2,0,0), B (2,2,0), C ( 0,0,2), S( 0,0,2) 。

z

S

M

C

y

D

A

B

x

（Ⅰ）设 M (0, a, b)( a 0,b 0) ，则

BA (0, 2,0), BM ( 2, a 2,b), SM (0,a,b2) ，

SC (0,2, 2) ，由题得

cos BA , BM SM // SC 1 2，即

2(a 2) 1

2 (a 2)2 b 2 2 2

解之个方程组得 a 1,b 1 即 M (0,1,1)

2a 2(b 2)

所以 M 是侧棱 SC 的中点。

法 2：设SM MC ，则M (0, 2 , 2 ), MB ( 2, 2 , 2 )

1 1 1 1

又

AB (0,2,0), MB , AB 60o

故 MB ? AB | MB | | AB | cos60o，即

4 2 ( 2 ) 2 (

1 2 )2 ，解得1，

1 1

所以 M 是侧棱 SC 的中点。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得M (0,1,1), MA ( 2 , 1, 1) ，又 AS ( 2,0,2) ， AB (0,2,0) ，

设 n ( x , y , z ), n

2 ( x

2

, y

2

, z ) 分别是平面 SAM 、 MAB 的法向量，则

1 1 1 1 2

n1 ? MA 0

且n2 ? MA 0 2 x1 y1 z1 0

且

2 x2 y2 z2 0

，即

2 x1 2z1 0 2 y2 0

n1 ? AS 0 n1 ? AB 0

分别令 x 1 x 2 2 得 z1 1, y1 1, y2 0, z2 2 ，即n1 ( 2,1,1), n2 ( 2 ,0,2) ，

∴ cos n1 , n2 2 0 2 6 2 6 3

二面角 S AM B 的大小

6 arccos 。

3

2、解法一：（Ⅰ）取 BC 中点 F，连接 EF，则 EF 1

B1B ，从而EF DA 。2

连接 AF ，则 ADEF 为平行四边形，从而AF//DE 。又 DE⊥平面BCC1，故 AF⊥平面BCC1，从

而 AF ⊥ BC ，即 AF 为 BC 的垂直平分线，所以 AB=AC 。

（Ⅱ）作 AG ⊥ BD ，垂足为 G ，连接 CG 。由三垂线定理知 CG ⊥ BD ，故∠ AGC 为二面角 A-BD-C

的平

0.

面角。由题设知，∠ AGC=60 .

设 AC=2，则 AG=

2

。又 AB=2， BC=2 2 ，故 AF= 2 。

3

由 AB AD AG BD 得 2AD=

2 . AD 2 22 ，解得 AD= 2 。

3

故 AD=AF 。又 AD ⊥ AF ，所以四边形 ADEF 为正方形。

因为 BC ⊥ AF ， BC ⊥ AD ， AF ∩AD=A ，故 BC ⊥平面 DEF ，因此平面 BCD ⊥平面 DEF 。 连接 AE 、 DF ，设 AE ∩ DF=H ，则 EH ⊥ DF ， EH ⊥平面 BCD 。 连接 CH ，则∠ ECH 为 B 1C 与平面 BCD 所成的角。 因 ADEF 为正方形， AD= 2 ，故 EH=1，又 EC=1

B 1

C =2，

2

所以∠ ECH=30，即 B 1C 与平面 BCD 所成的角为 30 .

解法二：

（Ⅰ）以 A 为坐标原点，射线 AB 为 x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系 A — xyz 。

设 B （ 1，0，0），C （ 0，b ，0），D （ 0，0，c ），则 B 1（ 1，0，2c ）,E

1

b

（

，

， c ） .

1

b

于是 DE =（

，

，0）， BC =（ -1，b,0）.由 D E ⊥平面 BCC 1 知

DE⊥ BC，DE BC =0，求得b=1，所以AB=AC 。

（Ⅱ）设平面BCD 的法向量AN (x, y, z), 则 AN BC 0, AN BD0. 又 BC =（-1，1，0），

x y0

BD =（-1，0，c）,故

x cz0

令 x=1, 则 y=1, z= 1

, AN =(1,1,

1

).

c c

又平面 ABD 的法向量AC=（0，1，0）

由二面角 A BD C 为60°知，AN ，AC =60°，

故 AN AC AN AC cos60 °，求得 c 1 2

于是 AN （1，1， 2），CB1 (1， 1， 2）

cos AN，CB1 AN CB1 1

，AN CB1 2

AN，CB1 60 °

所以 B1 C 与平面BCD所成的角为30°

3、（Ⅰ）证明：连接DP ,CQ，在ABE 中，P,Q分别是AE, AB的中点，所以PQ // 1

BE ，2

又 DC // 1

BE ，所以PQ // DC，又 PQ 平面 ACD ，DC 平面 ACD ，所以PQ //平面 ACD 2

（Ⅱ）在ABC 中，AC BC 2, AQ BQ ，所以 CQ AB

而 DC 平面 ABC ，EB // DC，所以EB 平面 ABC

而 EB 平面 ABE ，所以平面 ABE 平面 ABC ，所以CQ 平面 ABE

由（Ⅰ）知四边形DCQP 是平行四边形，所以DP // CQ

所以 DP 平面ABE，所以直线AD在平面ABE内的射影是AP，

所以直线 AD 与平面 ABE 所成角是DAP

在 Rt APD 中， AD AC2 DC 2 22 12 5 ， DP CQ 2sin CAQ 1

所以 sin DAP

DP1 5

AD5 5

4、【解法 1】（Ⅰ）∵四边形ABCD 是正方形，∴ AC ⊥ BD ，

∵PD 底面 ABCD ，

∴PD⊥AC ，∴ AC ⊥平面 PDB，

∴平面 AEC平面PDB.

（Ⅱ）设 AC∩BD=O ，连接 OE，

由（Ⅰ）知AC⊥平面 PDB 于 O，

∴∠ AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角，

∴ O， E 分别为 DB 、 PB 的中点，

1

∴ OE//PD ，OE PD ，又∵ PD底面ABCD，

2

∴OE⊥底面 ABCD ， OE⊥ AO ，

在 Rt△ AOE 中，OE

1 PD

2 AB AO ，

2 2

∴AOE 45 ，即AE与平面PDB所成的角的大小为 45 .

【解法 2】如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系D xyz ，

设 AB a, PD h,

则 A a,0,0 , B a, a,0 , C 0,a,0 , D 0,0,0 , P 0,0, h ，

uuur uuur uuur

a, a,0 ，（Ⅰ）∵ AC a, a,0 , DP 0,0, h , DB

uuur uuur uuur uuur

0 ，

∴ AC DP 0, AC DB

∴AC ⊥ DP， AC ⊥DB ，∴ AC ⊥平面 PDB ，

∴平面 AEC 平面 PDB .

（Ⅱ）当 PD 2 AB 且E为PB的中点时， P 0,0, 2a , E 1

a,

1

a,

2

a ，

2 2 2

设AC∩ BD=O ，连接 OE ，

由（Ⅰ）知 AC ⊥平面 PDB 于 O，∴∠AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角，

uuur 1 1

2

uuur 2 ，

∵ EA

a,

a,

2 a , EO0,0,

a 2

2 2

uuur uuur 2 ∴ cos

AEO EA EO

uuur uuur

，

EA EO 2

∴ AOE

45

，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45 .

多面体 ABCDEF 的体积为 V E — ABC D ＋ V E — BCF= 2 2

5、解：方法（一） ：

（ 1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ

.

因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，

所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ， 则ＡＢ⊥ＰＤ， 因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，

所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣ

Ｄ .

（２） 设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，

因为ＡＢ∥ＣＤ， 所以Ａ

Ｂ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，

由（ 1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则

MN 是 PN 在平面 ABM 上

的射影，

z

P

M

A

N

D

y

所以 PNM 就是 PC 与平面 ABM 所成的角，

且

PNM

PCD

B tan PNM

tan PCD PD 2 2

x

DC

所求角为 arctan2

2

（ 3）因为 O 是 BD 的中点，则 O 点到平面 ABM 的距离等于 D 点到平面 ABM （ 1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于 M ，则 |DM| 就是 D 点到平面 ABM 距离 .

因为在 Rt △PAD 中， PA AD 4 ， PD

AM ，所以 M 为 PD 中点， DM

到平面 ABM 的距离等于

2 。

方法二：

（ 1）同方法一；

（ 2）如图所示，建立空间直角坐标系，则

A(0,0,0) ， P(0,0,4) ， B(2,0,0) D (0,4,0) ， M (0,2,2) ，

O

C

距离的一半，由

2 2 ，则 O 点

， C (2,4,0) ，

r

r uuur r uuuur

2x 0 ，令 z 1 ，

平面 ABM 的一个法向量 n

( x, y, z) ，由 n

AB, n

AM 可得：

2 y 2 z

uuur r

r

2 2

，即

PC n

y

1

n (0,1, 1) 所求角

，

sin

uuur r

，

3

PC n

所求角的大小 arcsin

2

2 . 3

uuur

uuur r

(1,2,0) ，得： h

AO n 2

（ 3） 所求距离 h ，由 O (1,2,0), AO

r

n

6、【解析】 解法一：

因 平面 ABEF ⊥平面 ABCD ，BC 平面 ABCD ， BC ⊥AB ，平面 ABEF ∩平面 ABCD=AB ，所以 BC ⊥平面 ABEF.

所以 BC ⊥ EF.

因 ⊿ ABE 等腰直角三角形， AB=AE ，

所以∠ AEB=45°， 又因 ∠ AEF=45,

所以∠ FEB=90°，即 EF ⊥ BE. 因 BC

平面 ABCD, BE

平面 BCE,

BC ∩ BE=B

所以 EF

平面 BCE

????????????????

6 分

（ II ）取 BE 的中点 N,CN,MN, MN

1

AB PC

2

∴ PMNC 平行四 形 , 所以 PM ∥CN. ∵ CN 在平面 BCE 内 ,PM 不在平面 BCE 内 , ∴ PM ∥平面 BCE.

????????????????

8 分

（ III ）由 EA ⊥ AB,平面 ABEF ⊥平面 ABCD,易知 EA ⊥平面 ABCD.

作 FG ⊥ AB, 交 BA 的延 于 G, FG ∥ EA.从而 FG ⊥平面 ABCD,

作 GH ⊥ BD 于 H,FH, 由三垂 定理知 BD ⊥ FH.

∴ ∠FHG 二面角 F-BD-A 的平面角 .

∵ FA=FE, ∠ AEF=45° , ∠ AEF=90° , ∠FAG=45°.

2 1 AB=1, AE=1,AF=

, FG AF sin FAG

2

2

1 3 在 Rt ⊿ BGH 中 , ∠ GBH=45° ,BG=AB+AG=1+ = ,

2 2

GH

BG sin GBH

3

2 3 2 2

2 4 ,

在 Rt ⊿ FGH 中 , tan FHG

FG 2 ,

GH

3

∴

二面角 F

BD

2

A 的大小 arc tan

3

????????????????12 分

解法二 : 因

ABE 等腰直角三角形， AB AE ，所以 AE

AB

又因 平面 ABEF 平面 ABCD

AB ，所以 AE ⊥平面 ABCD ，

所以 AE

AD

即 AD 、AB 、AE 两两垂直；如 建立空 直角坐 系

,

(I)

AB

1， AE 1 ， B(0,1,0), D (1,0,0), E(0,0,1), C (1,1,0)

∵ FA

FE , AEF

45 ，∴

AFE ＝90 0 ，

1 1

从而 F （0，－ ， ）

2 2

EF ( 0, 1 , 1

) ， BE (0, 1,1), BC (1,0,0)

2 2

于是 EF BE 1 1

0 ， EF BC 0 0

2 2

∴

EF ⊥ BE , EF ⊥ BC

∵ BE

平面 BCE ， BC

平面 BCE ， BC

BE B

∴ EF 平面 BCE

（ II ） M ( 0,0,

1 ), P(1, 1 ,0) ，从而 PM ( 1, 1 , 1 )

2 2 1, 1 , 1

) (0, 1 , 1 ) 2 2 1 1

于是 PM EF ( 0

2 2 2 2 4 4 ∴ PM ⊥ EF ，又 EF ⊥平面 BCE ，直 PM 不在平面 BCE 内，

故 PM ∥平面 BCE

（ III ） 平面

BDF 的一个法向量

n 1 ，并 n 1 ＝（ x, y, z) BD (1, 1,0), BF (0,

3 , 1

)

2 2

n1 BD 0

x y 0 即

3 y 1 z

n1 BF 0 0

2 2

取 y 1 ，则 x 1， z 3 ，从而n1 ＝（ 1， 1， 3）取平面 ABD D的一个法向量为 n2 (0,0,1)

cos n1、n2

n1 n2 3 3 11

n1 n2 11 1 11

故二面角 F BD A 的大小为arccos 3

11

11

7、（Ⅰ）证发 1：连接 BD ，由底面是正方形可得AC BD 。

SD 平面ＡＢＣＤ，BD 是 BE 在平面 ABCD 上的射影，

由三垂线定理得 AC BE.

(II) 解法 1： SD 平面 ABCD ，ＣＤ平面ＡＢＣＤ，SD CD.

又底面ＡＢＣＤ是正方形，ＣD Ａ D，又ＳＤAD=D ， CD 平面 SAD 。

过点 D 在平面 SAD 内做 DF AE 于 F，连接 CF，则 CF AE ，

故CFD 是二面角 C-AE-D 的平面角，即CFD=6 0°

在 Rt△ ADE中，AD= a , DE= a ， AE= a 2 1 。

于是， DF= AD ? DE

a

AE 2 1

在 Rt△ CDF中，由cot 60° =

DF

2

CD 1

得 3 ，即 3 2 3 =3

2 1 3

(0,1] ，解得=

2 2

8、解 :（Ⅰ）如图所示，由正三棱柱ABC A1B1C1的性质知 AA1 平面 ABC .

又 DE 平面 ABC，所以 DE AA1.而DE A1E， AA1 I A1 E A1,

所以 DE ⊥平面ACC1A1 .又 DE 平面 A1DE ，

故平面 A1DE ⊥平面 ACC1 A1.

（Ⅱ）解法 1: 过点 A 作 AF 垂直A1E于点F ,

连接 DF .由（Ⅰ）知，平面A1DE ⊥平面 ACC1 A1，

所以 AF 平面A1DE ,故ADF 是直线AD和

平面 A1DE 所成的角。因为DE ACC1A1，

所以 DE AC.而ABC 是边长为 4 的正三角形，

于是 AD= 2 3 ，AE= 4-CE =4 -1

CD =3. 2

又因为 AA1 7 ，所以A1E= A1E AA12 AE2 ( 7) 2 32 = 4,

AE AA1 3 7

sin ADF AF 21

.

AF ,

AD 8 A1 E 4

即直 AD 和平面A1DE 所成角的正弦21 8

解法 2 : 如所示，O 是 AC 的中点，以 O 原点建立空直角坐系，

相关各点的坐分是A(2,0,0,), A1(2,0, 7 ), D(-1, 3 ,0), E(-1,0,0).

uuuur uuur uuur

易知 A1D =（-3， 3 ，- 7 ）， DE =（0，- 3 ，0）， AD =（-3， 3 ，0）.

r

n ( x, y, z) 是平面A1DE的一个法向量，

r uuuv

3 y 0,

n DE

r uuuv

3x 3 y 7 z 0.

n A1D

解得 x

7

z, y 0.

3

r

7,0, 3) .于是

故可取 n (

r uuur r uuur

3 7 21 n AD

cos n, AD r uuur =

3 8

n AD 4 2

由此即知，直AD 和平面A1DE所成角的正弦21 8

所以 ME与 BN不共面，它是异面直。??..12分9、【解析】解法一：

因平面 ABEF⊥平面 ABCD，BC 平面 ABCD， BC⊥AB，平面 ABEF∩平面 ABCD=AB，所

以 BC⊥平面 ABEF.

所以 BC⊥ EF.

因⊿ ABE等腰直角三角形，AB=AE，

所以∠ AEB=45°，

又因∠ AEF=45,

所以∠ FEB=90°，即 EF⊥ BE.

因 BC平面ABCD, BE平面BCE,

BC∩ BE=B

所以 EF 平面 BCE ?????? 6 分

（ II ）取 BE的中点 N,CN,MN, MN 1

AB PC 2

∴PMNC 平行四形 , 所以 PM∥CN.

∵CN 在平面 BCE内 ,PM 不在平面 BCE内 ,

∴ PM ∥平面 BCE.????????????????8 分（III ）由 EA⊥ AB,平面 ABEF⊥平面 ABCD,易知 EA⊥平面 ABCD.

作FG⊥ AB, 交 BA的延于 G, FG∥ EA.从而 FG⊥平面 ABCD,

作GH⊥ BD于 H,FH,由三垂定理知 BD⊥ FH.

∴∠FHG二面角F-BD-A 的平面角 .

∵FA=FE, ∠ AEF=45° , ∠ AEF=90° , ∠ FAG=45° .

2

, FG AF sin FAG 1

AB=1, AE=1,AF=

2

2

在 Rt⊿ BGH中 ,

1 3 ∠ GBH=45° ,BG=AB+AG=1+ = ,

2 2

GH BG sin GBH 3 2 3 2 2 2 4

,

在 Rt⊿ FGH中 , tan FHG FG 2 GH 3

,

∴二面角 F BD A 的大小arc tan 2

?????? 12 分3

解法二 : 因ABE 等腰直角三角形，AB AE ，所以 AE AB

又因平面 ABEF 平面 ABCD AB ，所以AE⊥平面ABCD，所以AE AD 即 AD、AB、AE 两两垂直；如建立空直角坐系,

(I) AB 1， AE 1 ， B(0,1,0), D (1,0,0), E(0,0,1), C (1,1,0)

∵ FA FE , AEF 45 ，∴AFE ＝90 0，

1 1

从而 F（0，－，）

2 2

EF ( 0,

1 , 1

) ， BE (0, 1,1), BC (1,0,0) 2 2

于是 EF BE 1 1

0 ， EF BC 0 0

2 2

∴ EF ⊥ BE , EF ⊥ BC

∵ BE

平面 BCE ， BC

平面 BCE ， BC

BE B

∴ EF 平面 BCE

（ II ） M ( 0,0,

1

), P(1, 1

,0) ，从而 PM ( 1, 1 , 1)

2 2

2 2

于是 PM EF

( 1, 1 , 1

) (0, 1 , 1 ) 0 1 1 0

2 2 2 2 4 4 ∴ PM ⊥ EF ，又 EF ⊥平面 BCE ，直线 PM 不在平面 BCE 内， 故 PM ∥平面 BCE

（ III ）设平面 BDF 的一个法向量为

n 1 ，并设 n 1 ＝（ x, y, z)

BD

(1, 1,0), BF (0, 3 , 1

)

2 2

n 1 BD 0

x

y 0

即

3 1

n 1 BF 0

y 2 z 0

2

取 y 1 ，则 x

1， z 3 ，从而 n 1 ＝（ 1， 1， 3）

取平面 ABD D 的一个法向量为 n 2 (0,0,1) cos n 1、n 2

n 1 n 2

3

3 11

n 1 n 2

11 1

11

故二面角 F

BD

3 11

A 的大小为 arccos 11

10、解法一 :（Ⅰ） Q AB PDC , DC

平面 EFCD ,

AB 到面 EFCD 的距离等于点 A 到面

EFCD 的距离，过点 A 作 AG FD 于 G ，因 BAD

AB ∥ DC ，故 CD AD ；又Q FA

2 平面 ABCD ，由三垂线定理可知，

CD FD ，故 CD

面FAD ，知 CD

AG ，所以 AG 为

所求直线 AB 到面 EFCD 的距离。

在 Rt △ ABC 中， FD

FC 2 CD 2

9 4 5

由 FA 平面 ABCD ，得 FA AD ，从而在 Rt △ FAD 中， FA

FD 2 AD 2

5 4 1

AG

FA AD

2 2 5 。即直线 AB 到平面 EFCD 的距离为 2 5 。

FD 5

5 5

（Ⅱ）由己知， FA

平面 ABCD ，得 FA AD ，又由 BAD

，知 AD

AB ，故 AD

平面 ABFE

2

DA AE ，所以， FAE 为二面角 F AD E 的平面角，记为 .

在 Rt △ AED 中 , AE

ED 2 AD 2

7 4

3 , 由 Y ABCD 得 , FE PBA , 从 而

AFE

2

FE

在 Rt △ AEF 中 , FE

AE 2 AF 2

3

1

2 ,故 tan

2

FA

z

所以二面角 F

AD E 的平面角的正切值为 2 .

F

E

解法二 :

G

uuur uuur uuur

（Ⅰ）如图以 A 点为坐标原点 , AB, AD , AF 的方向为

x, y, z 的正方向建立空间直角坐标系数 ,则

x B A

C

D

y

设

可得 uuur

uuur 3 即

A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0)

F (0,0, z 0 ) ( z 0 0) FC (2,2,

z 0 ) 由 | FC |

.

,

22 22 z 02

3 ,解得 F (0,0,1)

Q AB ∥ DC ，

DC 面 EFCD ,所以直线 AB 到面 EFCD 的距离等于点 A 到面 EFCD 的距离。设 A 点在

uuur uuur uuur

uuur uuur 平面 EFCD 上的射影点为 G ( x 1 , y 1 , z 1 ) ,则 AG (x 1 , y 1 , z 1 ) 因 AG DF 0 且 AG CD 0 ,而

uuur

(0, 2,1)

DF

uuur

( 2,0,0) ,此即

2y 1 z 1 0

,知 G 点在 yoz 面上 ,故 G 点在 FD 上 .

CD 2x 1 0

解得 x 1 0 ①

uuur uuur uuur

1) 故有

y 1

2 4

GF PDF , GF

( x 1 , y 1, z 1 z 1

1 ②

联立① ,②解得 , G(0,

, )

2

5 5

uuur

uuur

(0, 2 , 4 ) uuur 2 5

| AG |为直线 AB 到面 EFCD 的距离 .

而

AG

所以 | AG | 5 5

5 ABFE 为平行四边形 , 则可设 E( x 0 ,0,1) uuur

（Ⅱ）因四边形 (x 0 0) , ED ( x 0 2, 1) .由