北师大版七年级数学下册《平方差公式》典型例题(含答案)
《平方差公式》典型例题
例1 下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？
（1）)23)(32(m n n m --； （2）)54)(45(xz y z xy --+-；
（3）))((c b a a c b ---+； （4）)831)(318(32
23x y x xy x +-．
（5）))((z y x z y x ++-+-
例2 计算：
（1）)32)(32(y x y x -+；
（2）)53)(53(b a b a ---；
（3）))((2332x y y x ---；
（4）)543)(534(z y x z x y +--+．
例3 计算)3)(3(y xy xy y +---．
例4 利用平方差公式计算 ：
（1）1999×2001； （2）31
3932
40⨯．
例5 计算：(a -2b )(2a -b )-(2a -b )(b +2a )
例6 计算：
（1）)32)(311()32)(23(2)2)(2(y x y x x y y x x y y x -------+-
（2）))()(()()(2222y x y x y x y x y x ++---+
例7 计算：(x 2+4)(x -2)(x +2)
例8 填空
(1)(a+d)·( )=d 2-a 2
(2)(-xy-1)·( )=x 2y 2-1
例9 计算)12()12)(12)(12(242++++n
参考答案
例1 分析：两个多项式相乘，只有当这两个多项式各分为两部分之后，它们的一部分完全相同，而另一部分只有符号不同，才能够运用平方差公式．
解：（1）两个二项式的两项分别是m 2，n 3-和m 2-，.3n 两部分的符号都不相同，没有完全相同的项，所以不能用平方差公式．
（2）这两个二项式的两项分别是xy 5-，z 4和xz 5-，y 4，所含字母不相同，没有完全相同的项，所以不能用平方差公式．
（3）b 与b -，a -与a ，c 与c -，没有完全相同的项，不能用平方差公式．
（4）两个二项式中，38x 完全相同，但231xy -与y x 23
1-除去符号不同外，相同字母的指数不同，所以不能用平方差公式．
（5）x 与x -，y 与y -，只有符号不同，z 完全相同，所以可以用平方差公式．可用平方差公式．
例2 分析：在应用乘法公式进行实际问题的计算时，多项式的系数、指数、符号、相对位置不一定符合公式的标准形式，但只要对题目的结构特征进行认真观察，就可以发现这几个题目都可以应用平方差公式进行计算．
解： （1）原式22)3()2(y x -=
2294y x -=
（2）原式)53)](53([b a b a -+-=
2
22222925)259(]
)5()3[(a b b a b a -=--=--=
或原式)35)(35(a b a b --+-=
22)3()5(a b --=
22925
a b -= （3）原式))((3232y x y x --+-=
642322)()(y x y x -=--=
（4）原式)]54(3)][54(3[z y x z y x ---+=
2
2222222540169)254016(9)
54)(54()3(z yz y x z yz y x z y z y x -+-=+--=---=
说明：1）乘法公式中的字母b a ,，可以表示数，也可以表示字母，还可以表示一个单项式或多项式；2）适当添加括号，将有利于应用乘法公式，添加括号的方法不同，一题可用多种解法，得出相同的结果；3）一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目，加以调整，使它变化为符合公式标准的形式．
例3 分析：本题有四种思路，①它属于多项式乘法可以直接用法则计算．②若将原式整理为)3)](3([xy y xy y -+-可用平方差公式计算．③观察两因式中，都有xy 3-，又有互为相反数的两项，y 和y -，也可以直接用平方差公式计算，可得22)3(y xy --．④可变形为)]3)[(3(xy y xy y +----，得])3([22xy y ---． 解： )3)(3(y xy xy y +---
)3)](3([xy y xy y -+-=
])3([22xy y ---=
2229y x y +-=
或)3)(3(y xy xy y +---
])3][()3[(y xy y xy +---=
22)3(y xy --= 2229y y x -=
说明：根据平方差公式的特征，一般常见的变形有位置变化，如))((a b b a +-+．符号变化，系数变化，还有一些较复杂的变形，如))((d b c a d c b a ++---+-，两因式中都有c b -，并且d a --与d a +互为相反数，因此，可以凑成平方差公式的结构特征，即)]())][(()[(d a c b d a c b ++-+--．
例4 分析：运用平方差公式可使与例2类似的计算题变得十分简便．运用
平方差公式计算两个有理数的积时，关键是要将其写成平方差法：（1）观察法．如
第（1）题适合此法；（2）平均数法．如第（2）题中，.402
80231393240==+=a 解：（1）1999×2001=2212000)12000)(12000(-=+-
（2）31393240⨯)3
240)(3240(-+= .9
51599941600)32(4022=-=-= 说明：在进行有理数运算时适当运用平方差公式会使运算简便．
例5 分析：前两个相乘的多项式不符合平方差公式特征，只能用“多项式乘多项式”；后两个多项式相乘可以用平方差公式，算出的结果一定要打上括号，再进行下面的计算.
解：(a -2b )(2a -b )-(2a -b )(b +2a )
=2a 2-ab -4ab +2b 2-［(2a )2-b 2］ 打括号
=2a 2-5ab +2b 2-(4a 2-b 2)
=2a 2-5ab +2b 2-4a 2+b 2
=-2a 2-5ab +3b 2
说明：当进行计算时，用平方差公式计算出的结果一定要打上括号再与其他项进行加、减、乘、除等运算！
例6 分析：（1）中的)32)(23(),2)(2(x y y x x y y x ---+-都可以利用平方差公式计算，)32)(311(y x y x --可以利用多项式乘法法则计算．
（2）中的22)()(y x y x -+可以逆用幂的运算法则，写成2)])([(y x y x -+再计算．
解：（1）原式)93922()23()23(2)]2)(2[(22y xy x y x y x y x y x +---⋅++-+= xy y y xy x y x y x 391893922818422
22222+-=-+--+-=
（2）原式))(()])([(22222y x y x y x y x +---+=
224444222244422224422222)
())(()
()(y x y y
x y y x y x x y x y x y x y x y x -=+-+--=----=---=
说明：（1）平方差公式积适用于))((b a b a -+类型的多项式乘法，其中a 、b 可以是数，也可以是单项式或多项式．
（2）逆用幂的运算法则，222)])([()()(y x y x y x y x -+=-+是常用的解题技巧．
（3）此题中的第（1）题先利用乘法的交换律及结合律合理变形后，可连续运用平方差公式；第（2）题先利用加法结合律，把两个因式变为“两数的和与这两数的差”的形式，进而利用平方差公式计算．这些都是常用的解题技巧．
例7 分析：由于运用平方差公式可简化运算，因此可以利用乘法结合律先将可用平方差公式进行计算的部分先计算，而且平方差公式可以连用.
解：(x 2+4)(x -2)(x +2)
=(x 2+4)［(x -2)(x +2)］
=(x 2+4) (x 2-4) 用公式计算后的结果要打括号
=（x 2）2-42
=x 4-16
例8 分析：根据平方差公式右边a 2-b 2中被减数中的a 代表相同的项，而减数中的b 在等式左边中应是互为相反数的两项.（1）中d 2-a 2中的d 在两个二项式中皆为正，而a 在第一个多项式中为正，则在第二个多项式中应为负.(2)中含xy 的项为a ，即相同的项，而含1的项为b ,即互为相反的项.
解：（1）2
~2~~~~~)()(a d a d d a -=-⋅+====== （2）~~
~~~~~~~~~~1)1()1(-=+-⋅--================xy xy xy 例9 分析：在式子前面添上)12(-，便可反复运用平方差公式，以达到简化运算的目的．
解：原式)12()12)(12)(12)(12(242++++-=n
.14121)2()
12()12)(12)(12(22222422-=-=-=+++-=⨯n n n n 说明：添加)12(-极富枝巧性，这是一个典型解法，领会好本题将会在今后解决类似问题时受益．。
2022-2023学年北师大版七年级数学下册《1-5平方差公式》同步练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版七年级数学下册《1.5平方差公式》同步练习题（附答案）一．选择题1．记x＝（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），且x+1＝2128，则n＝（）A．128B．32C．64D．162．下列多项式乘以多项式能用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（﹣b﹣a）B．（﹣a+b）（﹣b﹣a）C．（a+b）（b+a）D．（﹣a+b）（b﹣a）3．下列各式，不能用平方差公式计算的是（）A．（a+b﹣1）（a﹣b+1）B．（﹣a﹣b）（﹣a+b）C．（a+b2）（b2﹣a）D．（2x+y）（x﹣y）4．当n为正整数时，代数式（2n+1）2﹣（2n﹣1）2一定是下面哪个数的倍数（）A．3B．5C．7D．85．若a+b＝6，a2﹣b2＝30，则a﹣b＝（）A．5B．6C．10D．156．若m2﹣n2＝24，且m﹣n＝4，则m+n等于（）A．7B．6C．5D．87．（3+2）×（32+22）×（34+24）×（38+28）计算结果等于（）A．1B．316﹣216C．332+232D．332﹣232 8．运用乘法公式计算（4+x）（x﹣4）的结果是（）A．x2﹣16B．x2+16C．16﹣x2D．﹣x2﹣16 9．计算（2m﹣3n）（﹣2m﹣3n）的结果是（）A．﹣4m2+9n2B．﹣4m2﹣9n2C．4m2﹣9n2D．4m2+9n2 10．计算20212﹣2022×2020的结果是（）A．2B．﹣2C．﹣1D．1二．填空题11．已知x，y满足方程组，则x2﹣y2的值为．12．已知m﹣n＝3，则m2﹣n2﹣6n的值．13．若（2m+5）（2m﹣5）＝15，则m2＝．14．（a+2b）（）＝a2﹣4b2．15．已知x2﹣y2＝21，x﹣y＝3，则x+y＝．三．解答题16．计算（直接写出运算结果）（1）（4×103）×（5×102）＝；（2）（﹣5x2y3）•（﹣4y2z）＝；（3）20212﹣2020×2022＝；（4）522﹣482＝．17．利用乘法公式有时能进行简便计算．例：102×98＝（100+2）（100﹣2）＝1002﹣22＝10000﹣4＝9996．请参考给出的例题，通过简便方法计算：（1）31×29；（2）195×205．18．（x﹣y）（2x+y）﹣（x+y）（x﹣y）．19．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．（1）请直接用含a和b的代数式表示S1＝，S2＝；写出利用图形的面积关系所得到的公式：（用式子表达）．（2）应用公式计算：．（3）应用公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．20．观察下列各式：1﹣＝1﹣＝＝×；1﹣＝1﹣＝＝×；1﹣＝1﹣＝＝×；1﹣＝1﹣＝＝×；…（1）用你发现的规律填空：1﹣＝×，1﹣＝×；（2）用你发现的规律进行计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）．参考答案一．选择题1．解：∵x＝（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n）＝（2﹣1）（2+1）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n）＝（22﹣1）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n）＝…＝22n﹣1，又∵x+1＝2128，∴22n﹣1+1＝2128，∴n＝64，故选：C．2．解：能用平方差公式计算的是（﹣a+b）（﹣b﹣a），其它的不能用平方差公式计算．故选：B．3．解：A、（a+b﹣1）（a﹣b+1）＝[a+（b﹣1）][a﹣（b﹣1）]，两数和乘以这两个数的差，能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；B、（﹣a﹣b）（﹣a+b）＝（﹣a+b）（﹣a﹣b），两数和乘以这两个数的差，能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；C、（a+b2）（b2﹣a）＝（b2+a）（b2﹣a），两数和乘以这两个数的差，能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；D、（2x+y）（x﹣y），两数和乘以的不是这两个数的差，不能用平方差公式进行计算，故此选项符合题意；故选：D．4．解：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝[（2n+1）﹣（2n﹣1）][（2n+1）+（2n﹣1）]＝8n，故当n是正整数时，（2n+1）2﹣（2n﹣1）2是8的倍数．故选：D．5．解：∵a+b＝6，a2﹣b2＝30，∴（a+b）（a﹣b）＝30，∴a﹣b＝30÷6＝5，故选：A．6．解：因为m2﹣n2＝24，m﹣n＝4，（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2，所以4（m+n）＝24，所以m+n＝6．故选：B．7．解：（3+2）×（32+22）×（34+24）×（38+28）＝（3﹣2）（3+2）×（32+22）×（34+24）×（38+28）＝（32﹣22）×（32+22）×（34+24）×（38+28）＝（34﹣24）×（34+24）×（38+28）＝（38﹣28）×（38+28）＝316﹣216．故选：B．8．解：（4+x）（x﹣4）＝（x+4）（x﹣4）＝x2﹣42＝x2﹣16，故选：A．9．解：（2m﹣3n）（﹣2m﹣3n）＝（﹣3n）2﹣（2m）2＝﹣4m2+9n2，故选：A．10．解：20212﹣2022×2020＝20212﹣（2021+1）（2021﹣1）＝20212﹣（20212﹣1）＝20212﹣20212+1＝1．故选：D．二．填空题11．解：因为，所以x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝5×3＝15．故答案为：15．12．解：∵m﹣n＝3，∴原式＝（m﹣n）（m+n）﹣6n＝3（m+n）﹣6n＝3m﹣3n＝3（m﹣n）＝9．．故答案为：9．13．解：由（2m+5）（2m﹣5）＝15，得4m2﹣25＝15．解得m2＝10．故答案是：10．14．解：根据平方差公式得：（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣（2b）2＝a2﹣4b2，故答案为：a﹣2b．15．解：因为x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）＝21，x﹣y＝3，所以x+y＝＝7．故答案为：7．三．解答题16．解：（1）（4×103）×（5×102）＝20×105＝2×106；（2）（﹣5x2y3）•（﹣4y2z）＝﹣5×（﹣4）x2y3y2z＝20x2y5z；（3）20212﹣2020×2022＝20212﹣（2021﹣1）×（2021+1）＝20212﹣（20212﹣1）＝20212﹣20212+1＝1；（4）522﹣482＝（52+48）×（52﹣48）＝100×4＝400．17．解：（1）31×29＝（30+1）×（30﹣1）＝302﹣12＝900﹣1＝899；（2）195×205＝（200﹣5）×（200+5）＝2002﹣52＝40000﹣25＝39975；18．解：原式＝2x2﹣xy﹣y2﹣x2+y2＝x2﹣xy．19．解：（1）图1中阴影部分的面积为大正方形与小正方形的面积差，即a2﹣b2，图2中阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），由图1和图2中阴影部分的面积相等可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）原式＝＝＝＝；（3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（216﹣1）（216+1）（232+1）+1＝（232﹣1）（232+1）+1＝264﹣1+1＝264．20．解：（1）1﹣＝（1﹣）×（1+）＝，1﹣＝（1﹣）×（1+）＝，故答案为：，，，；（2）原式＝××××××…××××＝×＝．。
北师大版数学七年级下册课件：1.平方差公式的认识
第1课时 平方差公式的认识
北师版七年级数学下册
新课导入
计算下列各题： （1）（x + 2）（x – 2） （2）（1 + 3a）（1 – 3a） （3）（x + 5y）（1 – 5y） （4）（2y + z）（2y – z）
新课探究
（1）（x + 2）（x – 2） （2）（1 + 3a）（1 – 3a）
（2）（b + 2a）（2a – b） =（2a）2 – b2 = 4a2 – b2
想一想
（a – b）（– a – b）= ？等于什么？
（a – b）（– a – b） = –（a – b） （a + b） = –（a2 – b2） = b2 – a2
例 2 利 x + y）；
=（an）2 – b2 = a2n – b2
（2）（a + 1）（a – 1）（a2 + 1）
解（2）（a + 1）（a – 1）（a2 + 1） = （a2 – 1）（a2 + 1） =（a2）2 – 1 = a4 – 1
随堂演练
1. 下列式子能用平方差公式计算吗?
① (– 3x + 2)(3x – 2) ② (b + 2a)(2a – b)
不能
能，4a2 – b2
③ (– x + 2y)(– x – 2y) ④ (– x + y)(x – y)
能，x2 – 4y2
不能
2.下列多项式中，可以用平方差公式计算的是 （ B）
A. (2a – 3b)(– 2a+3b) B. (– 3a + 4b)(– 4b – 3a)
北师大版七年级数学下册全册试卷及答案(含单元期中期末全套)
七年级数学下册——第一章整式的乘除（复习）单项式整式多项式同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方同底数幂的除法零指数幂负指数幂整式的加减单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘整式的乘法多项式与多项式相乘整式运算平方差公式完全平方公式单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式第1章整式的乘除单元测试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每小题四个答案中只有一个是正确的，请把正确的答案选出来！1.下列运算正确的是（）A. 954aaa=+ B. 33333aaaa=⋅⋅C. 954632aaa=⨯ D. ()743aa=-=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫⎝⎛-20122012532135.2（）A. 1- B. 1 C. 0 D. 19973.设()()Ababa+-=+223535，则A=（）A. 30abB. 60abC. 15abD. 12ab4.已知,3,5=-=+xyyx则=+22yx（）A. 25. B 25- C 19 D、19-5.已知,5,3==ba xx则=-bax23（）A、2527B、109C、53D、526. .如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四 种表示该长方形面积的多项式：①(2a +b )(m +n ); ②2a (m +n )+b (m +n ); ③m (2a +b )+n (2a +b ); ④2am +2an +bm +bn ， 你认为其中正确的有A 、①②B 、③④C 、①②③D 、①②③④ （ ）7．如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（ ） A 、 –3B 、3C 、0D 、18．已知.(a+b)2=9，ab= －112 ，则a ²+b 2的值等于（ ）A 、84B 、78C 、12D 、6 9．计算（a －b ）（a+b ）（a 2+b 2）（a 4－b 4）的结果是（ ） A ．a 8+2a 4b 4+b 8B ．a 8－2a 4b 4+b 8C ．a 8+b 8D ．a 8－b 810.已知m m Q m P 158,11572-=-=（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为 （ ）A 、Q P >B 、Q P =C 、Q P <D 、不能确定二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）温馨提示：填空题必须是将最简洁最正确的答案填在空格处！ 11.设12142++mx x 是一个完全平方式，则m =_______。
七年级数学下册《平方差公式》典型例题(含答案)
《平方差公式》典型例题例1 下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？（1）)23)(32(m n n m --； （2）)54)(45(xz y z xy --+-；（3）))((c b a a c b ---+； （4）)831)(318(3223x y x xy x +-． （5）))((z y x z y x ++-+-例2 计算：（1）)32)(32(y x y x -+；（2）)53)(53(b a b a ---；（3）))((2332x y y x ---；（4）)543)(534(z y x z x y +--+．例3 计算)3)(3(y xy xy y +---．例4 利用平方差公式计算 ：（1）1999×2001； （2）31393240⨯． 例5 计算：(a -2b )(2a -b )-(2a -b )(b +2a )例6 计算：（1）)32)(311()32)(23(2)2)(2(y x y x x y y x x y y x -------+-（2）))()(()()(2222y x y x y x y x y x ++---+例7 计算：(x 2+4)(x -2)(x +2)例8 填空(1)(a+d)·( )=d 2-a 2(2)(-xy-1)·( )=x 2y 2-1例9 计算)12()12)(12)(12(242++++n参考答案例1 分析：两个多项式相乘，只有当这两个多项式各分为两部分之后，它们的一部分完全相同，而另一部分只有符号不同，才能够运用平方差公式．解：（1）两个二项式的两项分别是m 2，n 3-和m 2-，.3n 两部分的符号都不相同，没有完全相同的项，所以不能用平方差公式．（2）这两个二项式的两项分别是xy 5-，z 4和xz 5-，y 4，所含字母不相同，没有完全相同的项，所以不能用平方差公式．（3）b 与b -，a -与a ，c 与c -，没有完全相同的项，不能用平方差公式．（4）两个二项式中，38x 完全相同，但231xy -与y x 231-除去符号不同外，相同字母的指数不同，所以不能用平方差公式．（5）x 与x -，y 与y -，只有符号不同，z 完全相同，所以可以用平方差公式．可用平方差公式．例2 分析：在应用乘法公式进行实际问题的计算时，多项式的系数、指数、符号、相对位置不一定符合公式的标准形式，但只要对题目的结构特征进行认真观察，就可以发现这几个题目都可以应用平方差公式进行计算．解： （1）原式22)3()2(y x -=2294y x -=（2）原式)53)](53([b a b a -+-=222222925)259(])5()3[(a b b a b a -=--=--=或原式)35)(35(a b a b --+-=22)3()5(a b --=22925a b -= （3）原式))((3232y x y x --+-=642322)()(y x y x -=--=（4）原式)]54(3)][54(3[z y x z y x ---+=22222222540169)254016(9)54)(54()3(z yz y x z yz y x z y z y x -+-=+--=---=说明：1）乘法公式中的字母b a ,，可以表示数，也可以表示字母，还可以表示一个单项式或多项式；2）适当添加括号，将有利于应用乘法公式，添加括号的方法不同，一题可用多种解法，得出相同的结果；3）一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目，加以调整，使它变化为符合公式标准的形式．例3 分析：本题有四种思路，①它属于多项式乘法可以直接用法则计算．②若将原式整理为)3)](3([xy y xy y -+-可用平方差公式计算．③观察两因式中，都有xy 3-，又有互为相反数的两项，y 和y -，也可以直接用平方差公式计算，可得22)3(y xy --．④可变形为)]3)[(3(xy y xy y +----，得])3([22xy y --．解： )3)(3(y xy xy y +---)3)](3([xy y xy y -+-=])3([22xy y --=2229y x y +-=或)3)(3(y xy xy y +---])3][()3[(y xy y xy +---=22)3(y xy --=2229y y x -=说明：根据平方差公式的特征，一般常见的变形有位置变化，如))((a b b a +-+．符号变化，系数变化，还有一些较复杂的变形，如))((d b c a d c b a ++---+-，两因式中都有c b -，并且d a --与d a +互为相反数，因此，可以凑成平方差公式的结构特征，即)]())][(()[(d a c b d a c b ++-+--．例4 分析：运用平方差公式可使与例2类似的计算题变得十分简便．运用平方差公式计算两个有理数的积时，关键是要将其写成平方差法：（1）观察法．如第（1）题适合此法；（2）平均数法．如第（2）题中，.40280231393240==+=a 解：（1）1999×2001=2212000)12000)(12000(-=+-（2）31393240⨯)3240)(3240(-+= .951599941600)32(4022=-=-= 说明：在进行有理数运算时适当运用平方差公式会使运算简便．例5 分析：前两个相乘的多项式不符合平方差公式特征，只能用“多项式乘多项式”；后两个多项式相乘可以用平方差公式，算出的结果一定要打上括号，再进行下面的计算.解：(a -2b )(2a -b )-(2a -b )(b +2a )=2a 2-ab -4ab +2b 2-［(2a )2-b 2］ 打括号=2a 2-5ab +2b 2-(4a 2-b 2)=2a 2-5ab +2b 2-4a 2+b 2=-2a 2-5ab +3b 2说明：当进行计算时，用平方差公式计算出的结果一定要打上括号再与其他项进行加、减、乘、除等运算！例6 分析：（1）中的)32)(23(),2)(2(x y y x x y y x ---+-都可以利用平方差公式计算，)32)(311(y x y x --可以利用多项式乘法法则计算．（2）中的22)()(y x y x -+可以逆用幂的运算法则，写成2)])([(y x y x -+再计算．解：（1）原式)93922()23()23(2)]2)(2[(22y xy x y x y x y x y x +---⋅++-+= xy y y xy x y x y x 39189392281842222222+-=-+--+-=（2）原式))(()])([(22222y x y x y x y x +---+=224444222244422224422222)())(()()(y x y yx y y x y x x y x y x y x y x y x -=+-+--=----=---=说明：（1）平方差公式积适用于))((b a b a -+类型的多项式乘法，其中a 、b 可以是数，也可以是单项式或多项式．（2）逆用幂的运算法则，222)])([()()(y x y x y x y x -+=-+是常用的解题技巧．（3）此题中的第（1）题先利用乘法的交换律及结合律合理变形后，可连续运用平方差公式；第（2）题先利用加法结合律，把两个因式变为“两数的和与这两数的差”的形式，进而利用平方差公式计算．这些都是常用的解题技巧．例7 分析：由于运用平方差公式可简化运算，因此可以利用乘法结合律先将可用平方差公式进行计算的部分先计算，而且平方差公式可以连用.解：(x 2+4)(x -2)(x +2)=(x 2+4)［(x -2)(x +2)］=(x 2+4) (x 2-4) 用公式计算后的结果要打括号=（x 2）2-42=x 4-16例8 分析：根据平方差公式右边a 2-b 2中被减数中的a 代表相同的项，而减数中的b 在等式左边中应是互为相反数的两项.（1）中d 2-a 2中的d 在两个二项式中皆为正，而a 在第一个多项式中为正，则在第二个多项式中应为负.(2)中含xy 的项为a ，即相同的项，而含1的项为b ,即互为相反的项.解：（1）2~2~~~~~)()(a d a d d a -=-⋅+====== （2）~~22~~~~~~~~~~1)1()1(-=+-⋅--================y x xy xy 例9 分析：在式子前面添上)12(-，便可反复运用平方差公式，以达到简化运算的目的．解：原式242(21)(21)(21)(21)(21)n=-++++L224222222(21)(21)(21)(21)(2)12141.n n n n ⨯=-+++=-=-=-L 说明：添加)12(-极富技巧性，这是一个典型解法，领会好本题将会在今后解决类似问题时受益．。
北师大版七年级数学下册课件：总第10课时5 平方差公式(第2课时)
总第10课时——5 平方差公式(第2课时)
平方差公式的应用
知识管 归 理类 探 随 究堂 练 分 习层 作
业
知识管 理
利用平方差公式进行简便运算
基本思路：把相乘的两个数写成两数和与这两数差相乘的形式，使之能适用
平方差公式．
归类探 究
类型之一 用平方差公式进行简便运算 计算：
(1)102×98；(2)59.8×60.2；(3)1133×1103.
A．－m2＋4
B．－x2－y2
C．x2y2－1
D．(m＋n)2－(a＋b)2
2．若三角形的底边长为 2a＋1，底边上的高为 2a－1，则此三角形的面积为
( D) A．4a2－1
B．4a2－4a＋1
C．4a2＋4a＋1
D．2a2－12
3．有三种长度分别为三个连续整数的木棒，小明利用中等长度的木棒摆成了
1．下列各式，能用平方差公式计算的是( C )
A．(x＋2y)(2x－y)
B．(x＋y)(x－2y)
C．(x＋2y)(2y－x)
D．(x－2y)(2y－x)
2．[2017 春·湟中县校级月考]计算252120－0022482的结果是 ( C )
A．62 500
B．1 000
C．500
D．250
【解析】 原式＝252＋24180×002252－248＝510000×024＝500，故选 C. 3．计算：(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)＝_1__－__4__y___.
(3)1133×1103＝1＋1331－133 ＝12－1332＝1－1969 ＝116609. 【点悟】 解此类用平方差公式进行简便运算的题目，关键是根据数的特点， 将两数的积改写成两数和乘这两数差的形式．
2020—2021年北师大版初中数学七年级下册完全平方公式测试题及答案精品试卷.docx
《完全平方公式》习题一、选择题1．下列等式成立的是()A.（-1）3=-3B.（-2）2×（-2）3=（-2）6C.2a-a=2D.（x-2）2=x2-4x+42．若(2x-5y)2=(2x+5y)2+m，则代数式m为()A.-20xyB.20xyC.40xyD.-40xy3．下列计算中，正确的是()A.x2•x5=x10B.3a+5b=8abC.（a+b）2=a2+b2D.（-x）6÷（-x）4=x24．下面各运算中，结果正确的是()A.2a3+3a3=5a6B.-a2•a3=a5C.（a+b）（-a-b）=a2-b2D.（-a-b）2=a2+2ab+b25．若m+n=3，则2m2+4mn+2n2-6的值为()A.12B.6C.3D.06．不论x，y为何有理数，x2+y2-10x+8y+45的值均为()A.正数B.零C.负数D.非负数二、填空题7．已知：a-b=3，ab=1，则a2-3ab+b2=_____．8．若a+b=4，则a2+2ab+b2的值为_____．9．若a2b2+a2+b2+1-2ab=2ab，则a+b的值为_____．10．填上适当的整式，使等式成立：(x-y)2+_____=(x+y)2．三、解答题11．已知实数x、y都大于2，试比较这两个数的积与这两个数的和的大小，并说明理由．12．已知(a+b)2=24，(a-b)2=20，求：(1)ab的值是多少？(2)a2+b2的值是多少？13．已知2(x+y)=-6，xy=1，求代数式(x+2)-(3xy-y)的值．14．计算：①29.8×30.2；②46×512；③2052．15．计算：(a-2b+3c)(a+2b-3c)．参考答案一、选择题1．答案：D解析：【解答】A：（-1）3=（-1）×（-1）×（-1）=-1，故选项A错误；B：（-2）2×（-2）3=（-2）2+3=（-2）5，故选项B错误；C：2a-a=（2-1）a=a，故选项C错误；D：（x-2）2=x2-2•x•2+22=x2-4x+4，故选项D正确．故选：D【分析】根据同底数幂的乘法运算，底数不变指数相加，以及有理数的乘方，完全平方公式算出即可．2．答案：D解析：【解答】（2x-5y）2=（2x+5y）2+m，整理得：4x2-20xy+25y2=4x2+20xy+25y2+m，∴-20xy=20xy+m，则m=-40xy．故选：D【分析】利用完全平方公式化简已知等式，根据多项式相等的条件即可求出m．3．答案：D解析：【解答】A、因为x2•x5=x2+5=x7，故本选项错误；B、3a和5b不是同类项的不能合并，故本选项错误；C、应为（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误；D、（-x）6÷（-x）4=（-x）6-4=（-x）2=x2．正确．故选D．【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加；完全平方公式；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后利用排除法求解．4．答案：D解析：【解答】A、原式=5a3，故选项错误；B、原式=-a5，故选项错误；C、原式=-（a+b）2=-a2-2ab-b2，故选项错误；D、原式=（a+b）2=a2+2ab+b2，故选项正确．故选D．【分析】A、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；C、原式变形后，利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断；D、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．5．答案：A解析：【解答】原式=2（m2+2mn+n2）-6，=2（m+n）2-6，=2×9-6，=12．故选A．【分析】根据完全平方公式的逆用，先整理出完全平方公式的形式，再代入数据计算即可．6．答案：A解析：【解答】x2+y2-10x+8y+45，=x2-10x+25+y2+8y+16+4，=（x-5）2+（y+4）2+4，∵（x-5）2≥0，（y+4）2≥0，∴（x-5）2+（y+4）2+4＞0，故选A．【分析】根据完全平方公式对代数式整理，然后再根据平方数非负数的性质进行判断．二、填空题7．答案：8解析：【解答】∵（a-b）2=32=9，∴a2-3ab+b2=（a-b）2-ab=9-1=8【分析】应把所给式子整理为含（a-b）2和ab的式子，然后把值代入即可．8．答案：16解析：【解答】∵a+b=4，∴a2+2ab+b2=（a+b）2=16．【分析】原式利用完全平方公式化简，将a+b的值代入计算即可求出值．9．答案：2或-2解析：【解答】∵a2b2+a2+b2+1-2ab=2ab，∴a2b2+a2+b2+1-2ab-2ab=0，∴a2b2-2ab+1+a2+b2-2ab=0，∴（ab-1）2+（a-b）2=0，∴ab=1，a-b=0，∴a=b=1或-1，∴a+b=2或-2．【分析】首先把2ab移到等式的左边，然后变为a2b2+a2+b2+1-2ab-2ab=0，接着利用完全平方公式分解因式，最后利用非负数的性质即可求解．10．答案：4xy解析：【解答】（x+y）2-（x-y）2=（x2+2xy+y2）-（x2-2xy+y2）=4xy．【分析】所填的式子是：（x+y）2-（x-y）2，化简即可求解．三、解答题11．答案：见解答过程解析：【解答】xy＞x+y，理由是：∵x＞2，y＞2，∴xy＞2y，xy＞2x，∴相加得：xy+xy＞2y+2x，∴2xy＞2（x+y），∴xy＞x+y．【分析】根据已知得出xy＞2y，xy＞2x，相加得出xy+xy＞2y+2x，即可求出答案．12．答案：（1）ab=1；（2）a2+b2=22．解析：【解答】∵（a+b）2=24，（a-b）2=20，∴a2+b2+2ab=24…①，a2+b2-2ab=20…②，（1）①-②得：4ab=4，则ab=1；（2）①+②得：2（a2+b2）=44，则a2+b2=22．【分析】由（a+b）2=24，（a-b）2=20，可以得到：a2+b2+2ab=24…①，a2+b2-2ab=20…②，通过两式的加减即可求解．13．答案：-4．解析：【解答】∵2（x+y）=-6，即x+y=-3，xy=1，∴（x+2）-（3xy-y）=x+2-3xy+y=（x+y）-3xy+2=-3-3+2=-4．【分析】将所求式子去括号整理变形后，把x+y与xy的值代入计算，即可求出值．14．答案：①899.96；②1012；③42025．解析：【解答】①29.8×30.2=（30+0.2）（30-0.2）=302-0.22=900-0.04=899.96；②46×512=212×512=（2×5）12=1012；③2052=（200+5）2=40000+2000+25=42025．【分析】①首先将原式变为：（30+0.2）（30-0.2），然后利用平方差公式求解即可求得答案；②利用幂的乘方，可得46=212，然后由积的乘方，可得原式=（2×5）12=1012；③首先将205化为：200+5，然后利用完全平方公式求解即可求得答案．15．答案：a2-4b2+12bc-9c2解析：【解答】（a-2b+3c）（a+2b-3c）=[a-（2b-3c）][a+（2b-3c）]=a2-（2b-3c）2=a2-（4b2-12bc+9c2）=a2-4b2+12bc-9c2．【分析】首先将原式变为：[a-（2b-3c）][a+（2b-3c）]，然后利用平方差公式，即可得到a2-（2b-3c）2，求出结果．。
北师大版数学七年级下《平方差公式》练习题
初中数学试卷灿若寒星整理制作《平方差公式》练习题一、选择题1．若M(3x-y2)＝y4-9 x2，则代数式M应是( )A．-(3 x+y2) B．y2-3x C．3x+ y2D．3 x- y22．计算：(a+2)(a-2)的结果是( )A.a2+4B.a2-4C.2a-4D.2a3．计算(a+1)2(a-1)2的结果是( )A.a4-1B.a4+1C.a4+2a2+1D.a4-2a2+14．计算：a2-(a+1)(a-1)的结果是( )A.1B.-1C.2a2+1D.2a2-15．计算(a4+b4)(a2+b2)(b-a)(a+b)的结果是( )A.a8-b8B.a6-b6C.b8-a8D.b6-a6二、填空题6．(-3x+6 y2)(-6 y2-3 x)＝．7．(x-y+z)( )＝z2-( x-y)2．8．(4 x m-5 y2) (4 x m+5y2)＝．9．(x+y-z) (x-y-z)＝( ) 2-() 2．10．若x2-y2=48，x+y=6，则3x-3y=_____．11．(x-_____-3)(x+2y-_____)=[(_____)-2y][(_____)+2y]12．观察下列各式：(a-1)(a+1)=a2-1，(a-1)(a2+a+1)=a3-1，(a-1)(a3+a2+a+1)=a4-1…根据前面各式的规律计算：(a-1)(a4+a3+a2+a+1)=_____；22012+22011+…+22+2+1=_____．三、解答题13．计算: ( a－2b ) ( －2b－a ) ．14．若x 2+y 2=86，xy =-16，求(x -y )2．15．已知：x 2+xy +y =14，y 2+xy +x =28，求x +y 的值．16．先化简，再求值．(a 2 b -2 ab 2- b 3)÷b -( a+b )(a-b )，其中a ＝21，b ＝-1． 17．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘 数”．如：4＝22-02，12＝42-22，20＝62-42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．(1)28和2012这两个数是神秘数吗?为什么?(2)设两个连续偶数为2k +2和2k (其中k 取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗?为什么?参考答案 一、选择题1．A 2．D 3．A 4．C 5. B二、填空题6．答案：a 5-1 22013-17．答案：-a 4+2a 2-18．答案：2y 3 x -3 x -39．答案：（x -3）2 （2y ）2．10．答案：24．11. z-x+y .12. 16 x 2m -25 y 4三、解答题13．答案：118．解析：【解答】∵（x -y ）2=x 2+y 2-2xy ，且x 2+y 2=86，xy =-16，∴（x -y ）2=86-2×（-16）=118．【分析】根据完全平方公式得到（x -y ）2=x 2+y 2-2xy ，然后把x 2+y 2=86，xy =-16代入计算即可．14．答案：x +y =-7或x +y =6．解析：【解答】x 2+xy +y =14①，y 2+xy +x =28②，∴①+②，得：x 2+2xy +y 2+x +y =42，∴（x +y ）2+（x +y ）-42=0，∴（x +y +7）（x +y -6）=0，∴x +y +7=0或x +y -6=0，解得：x +y =-7或x +y =6．【分析】由x 2+xy +y =14，y 2+xy +x =28，即可求得x 2+2xy +y 2+x +y =42，则变形得（x +y ）2+（x +y ）-42=0，将x +y 看作整体，利用因式分解法即可求得x +y 的值．15．答案：28．解析：【解答】（m +n ）2=10，（m -n ）2=2，∴m 2+2mn +n 2=10，m 2-2mn +n 2=2，相减得：4mn =8，∴2mn =4，∴m 4+n 4=（m 2+n 2）2-2（mn ）2=[（m +n ）2-2mn ]2-8=[10-4]2-8=36-8=28．【分析】根据已知求出2mn 的值，把m 4+n 4化成含有（m +n ）2和2mn 的形式，代入即可．16．解：(a 2b -2 ab 2- b 3)÷b -( a+ b )·(a- b )= a 2-2ab- b 2-( a 2- b 2)= a 2-2 ab - b 2=-2 ab.当a =21，b =-l 时，原式＝1． 17．解：(1)找规律：4=4×1＝22-02，12＝4×3＝42-22，20＝4×5＝62-42，28=4×7＝82-62，…，2012=4×503＝5042-5022，所以28和2012都是神秘数． (2)(2k +2) 2-(2 k ) 2＝4(2 k +1)，因此由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数． (3)由(2)知，神秘数可以表示成4(2k+1)，因为2 k +1是奇数，因此神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数．另一方面，设两个连续奇数为2 n +1和2 n -1，则(2 n +1) 2-(2n-1) 2=8n，即两个连续奇数的平方差是8的倍数．因此，两个连续奇数的平方差不是神秘数．。
2022-2023学年北师大版七年级数学下册《1-5平方差公式》解答专项练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版七年级数学下册《1.5平方差公式》解答专项练习题（附答案）1．计算：（x+3）（x﹣3）．2．运用平方差公式计算：（a+3b）（a﹣3b）．3．运用乘法公式简便计算：（1）198×202；（2）9982﹣4．4．计算：（1）（2m﹣3n）（2m+3n）；（2）（2a﹣5b）（5b+2a）；（3）（﹣2+3x）（﹣2﹣3x）；（4）（x﹣y）（﹣x﹣y）．5．化简：（3a﹣2b）（﹣3a﹣2b）．6．计算：（1）（2x+y）（y﹣3x）（2）（﹣a﹣b）（a﹣b）7．（0.2x﹣0.3）（0.2x+0.3）8．计算：2021×2023﹣20222+1．9．计算：（﹣2+y）（y+2）﹣（y﹣1）（y+5）．10．计算：（x+3）（x﹣3）﹣（x+1）（x﹣2）11．（2x﹣5）（2x+5）﹣（2x+1）（2x﹣3）12．观察下列式子．①32﹣12＝（3+1）×（3﹣1）＝8；②52﹣32＝（5+3）×（5﹣3）＝16；③72﹣52＝（7+5）×（7﹣5）＝24；④92﹣72＝（9+7）×（9﹣7）＝32．（1）求212﹣192＝．（2）猜想：任意两个连续奇数的平方差一定是，并给予证明．13．如图，王大妈家有一块边长为a的正方形土地租给了邻居李大爷种植，今年，他对李大爷说：“我把你这块地的一边减少4m，另一边增加4m，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何”．李大爷一听，就答应了．同学们，你认为李大爷吃亏了吗？为什么？14．如图：边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．（1）图（1）中阴影部分的面积为，图（2）阴影部分面积为．（2）通过观察比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式为．（用式子表达）（3）计算：102×98（不用公式计算不得分）15．先阅读理解，在解答问题．如何计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）的值呢？我们注意到平方差公式的特征，可以将原式乘以（2﹣1），所以原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）＝232﹣1．试用上述方法求（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）﹣1的值．16．学校有一块边长为（2a+b）米的正方形草坪，经统一规化后，南北方向要缩短2b米，而东西方向要加长2b米，请回答下列问题：（1）改造后的长方形草坪的面积是多少平方米？（2）改造后的长方形草坪的面积比改造前的面积增加了还是减少了？增加或减少了多少平方米？17．某同学在计算2×（3+1）（32+1）时，把2写成（3﹣1）后，发现可以连续运用平方差公式，计算2（3+1）（32+1）＝（3﹣1）（3+1）（32+1）＝（32﹣1）（32+1）＝34﹣1＝80请借鉴该同学的经验计算（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（2）（1+）（1+）（1+）（1+）+．18．观察下列等式：32﹣12＝8＝8×1；52﹣32＝16＝8×2；72﹣52＝24＝8×3；92﹣72＝32＝8×4…这些等式反映了正整数的某种规律．（1）设n为正整数，试用含n的式子，表示你发现的规律；（2）验证你发现规律的正确性，并用文字归纳出这个规律．19．如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的阴影部分拼成如图2所示的长方形．（1）上述操作能验证的公式是；（2）请应用这个公式完成下列各题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝；②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）．20．探究如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式．（用含a，b的等式表示）应用：请应用这个公式完成下列各题：（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为．（2）计算：20222﹣2023×2021．拓展：（3）计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．参考答案1．解：（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9．2．解：（a+3b）（a﹣3b）＝a2﹣（3b）2＝a2﹣9b2．3．解：（1）198×202＝（200﹣2）×（200+2）＝2002﹣22＝40000﹣4＝39996；（2）9982﹣4＝9982﹣22＝（998+2）（998﹣2）＝1000×996＝996000．4．解：（1）（2m﹣3n）（2m+3n）＝（2m）2﹣（3n）2＝4m2﹣9n2；（2）（2a﹣5b）（5b+2a）＝（2a）2﹣（5b）2＝4a2﹣25b2；（3）（﹣2+3x）（﹣2﹣3x）＝（﹣2）2﹣（3x）2＝4﹣9x2；（4）（x﹣y）（﹣x﹣y）＝（﹣y）2﹣（x）2＝y2﹣x2．5．解：（3a﹣2b）（﹣3a﹣2b）＝（﹣2b+3a）（﹣2b﹣3a）＝（﹣2b）2﹣（3a）2＝4b2﹣9a2．6．解：（1）（2x+y）（y﹣3x）＝﹣6x2﹣3xy+2xy+y2＝﹣6x2﹣xy+y2；（2）（﹣a﹣b）（a﹣b）＝﹣a2+b2．7．解：（0.2x﹣0.3）（0.2x+0.3）＝（0.2x﹣0.3）（0.2x+0.3）＝0.04x2﹣0.09．8．解：原式＝（2022﹣1）×（2022+1）﹣20222+1＝20222﹣1﹣20222+1＝0．9．解：原式＝y2﹣4﹣（y2+5y﹣y﹣5）＝y2﹣4﹣y2﹣5y+y+5＝﹣4y+1．10．解：（x+3）（x﹣3）﹣（x+1）（x﹣2）＝x2﹣9﹣（x2﹣x﹣2）＝x2﹣9﹣x2+x+2）＝x﹣711．解：原式＝4x2﹣25﹣4x2+4x+3＝4x﹣22．12．解：（1）212﹣192＝（21+19）×（21﹣19）＝40×2＝80；（2）这两个数和的2倍证明：设n为正整数，（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝[（2n+1）+（2n﹣1）]×2∴任意两个连续奇数的平方差一定是这两个数和的2倍．故答案为：（1）80；（2）这两个数和的2倍．13．解：李大爷吃亏了．原来正方形地的面积a2，当一边减少4，另一边增加4时，面积为（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16，因为a2﹣16＜a2，所以李大爷吃亏了．14．解：（1）图（1）阴影部分的面积a2﹣b2，图（2）阴影部分的面积（a﹣b）（a+b）；故答案为：a2﹣b2，（a﹣b）（a+b）；（2）∵图（1）阴影部分的面积a2﹣b2，图（2）阴影部分的面积（a﹣b）（a+b），则a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）．故答案为：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）；（2）102×98＝（100+2）（100﹣2）＝1002﹣22＝10000﹣4＝9996．15．解：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）﹣1＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）﹣1＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）﹣1＝×（316﹣1）﹣1＝﹣﹣1＝．16．解：（1）改造后长为：2a+b+2b＝2a+3b，宽为：2a+b﹣2b＝2a﹣b．∴改造后的长方形草坪的面积是：（2a+3b）（2a﹣b）＝4a2+4ab﹣3b2．答：改造后的面积为：（4a2+4ab﹣3b2）平方米．故答案为：4a2+4ab﹣3b2．（2）改造前的面积为：（2a+b）2＝4a2+4ab+b2．∵4a2+4ab+b2﹣（4a2+4ab﹣3b2）＝4b2＞0．∴改造后比改造前的面积减少了，减少了4b2平方米．故答案为：改造后比改造前的面积减少了，减少了4b2平方米．17．解：（1）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）＝216﹣1＝65536﹣1＝65535；（2）原式＝2（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）+＝2（1﹣）（1+）（1+）（1+）+＝2（1﹣）（1+）（1+）+＝2（1﹣）（1+）+＝2（1﹣）+＝2．18．解：（1）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝4n2+4n+1﹣（4n2﹣4n+1）＝8n；即（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，故两个连续奇数的平方差是8的倍数．19．解：（1）图1中阴影部分的面积为边长为a，边长为b的面积差，即a2﹣b2，图2长方形的长为a+b，宽为a﹣b，因此面积为（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）①∵4a2﹣b2＝24，∴（2a+b）（2a﹣b）＝24，又∵2a+b＝6，∴2a﹣b＝24÷6＝4，故答案为：4；②原式＝＝＝＝．20．解：【探究】图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．【应用】（1）由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12，∵（2m+n）•（2m﹣n）＝4m2﹣n2，∴2m﹣n＝3．故答案为：3．（2）20222﹣2023×2021．＝20222﹣（2022+1）×（2022﹣1）＝20222﹣（20222﹣1）＝20222﹣20222+1＝1；【拓展】1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）＝199+195+…+7+3＝5050．。
8.3《平方差公式与完全平方公式》典型例题精析
8.3 完全平方公式与平方差公式1．了解乘法公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算．2．感受生活中两个乘法公式存在的意义，养成“观察—归纳—概括”的数学能力，体会数形结合的思想方法，提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力，进一步增强符号感和推理能力．1．完全平方公式(1)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.上式用语言叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．(2)完全平方公式的证明：(a±b)2＝(a±b)(a±b)＝a2±ab±ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2±2ab＋b2(合并同类项)．(3)完全平方公式的特点：①左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简单概括为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”．②公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．③对于符合两数和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式计算．【例1－1】用完全平方公式计算(1)(x＋2y)2；(2)(2a－5)2；(3)(－2s＋t)2；(4)(－3x－4y)2；(5)(2x＋y－3z)2.分析：第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算；第(3)题可先把它变成(t－2s)2，然后再计算，也可以把－2s看成一项，用和平方公式计算；第(4)题可看成－3x与4y差的平方，也可以看成－3x与－4y和的平方；(5)可把2x＋y看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成2x与y－3z的和平方，再用差平方公式计算．解：(1)(x ＋2y )2＝x 2＋2·x ·2y ＋(2y )2＝x 2＋4xy ＋4y 2；(2)(2a －5)2＝(2a )2－2·2a ·5＋52＝4a 2－20a ＋25；(3)(－2s ＋t )2＝(t －2s )2＝t 2－2·t ·2s ＋(2s )2＝t 2－4ts ＋4s 2；(4)(－3x －4y )2＝(－3x )2－2·(－3x )·4y ＋(4y )2＝9x 2＋24xy ＋16y 2；(5)(2x ＋y －3z )2＝[2x ＋(y －3z )]2＝(2x )2＋2·2x ·(y －3z )＋(y －3z )2＝4x 2＋4xy －12xz ＋y 2－2·y ·3z ＋(3z )2＝4x 2＋y 2＋9z 2＋4xy －12xz －6yz .(1)千万不要与公式(ab )2＝a 2b 2混淆，发生类似(a ±b )2＝a 2±b 2的错误；(2)切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形，使其具备公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．此外，在运用公式时要灵活，如第(4)题，由于(－3x －4y )2与(3x ＋4y )2是相等关系，故可以把(－3x －4y )2转化为(3x ＋4y )2，再进行计算，再如(5)题，也有许多不同的方法．(4)完全平方公式的几何解释．如图是对(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2几何意义的阐释．大正方形的面积可以表示为(a ＋b )2，也可以表示为S ＝S Ⅰ＋S Ⅱ＋S Ⅲ＋S Ⅳ，又S Ⅲ，SⅠ，S Ⅳ，S Ⅱ分别等于a 2，ab ，ab ，b 2，所以S ＝a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.如图是对(a－b)2＝a2－2ab＋b2几何意义的阐释．正方形Ⅰ的面积可以表示为(a－b)2，也可以表示为SⅠ＝S大－SⅡ－SⅣ＋SⅢ，又S大，SⅡ，SⅢ，SⅣ分别等于a2，ab，b2，ab，所以SⅠ＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2.从而验证了完全平方公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2.【例1－2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a，b的恒等式：__________________.解析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方法表示空白正方形的面积．首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成，所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积，即(a＋b)2－4ab，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，即(a－b)2，根据面积相等有(a＋b)2－4ab＝(a－b)2.答案：(a＋b)2－4ab＝(a－b)22．平方差公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.上式用语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．(2)平方差公式的证明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2－b2(合并同类项)．(3)平方差公式的特点：①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方)；③公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．利用此公式进行乘法计算时，应仔细辨认题目是否符合公式特点，不符合平方差公式形式的两个二项式相乘，不能用平方差公式．如(a＋b)(a－2b)不能用平方差公式计算．【例2－1】计算：(1)(3x＋2y)(3x－2y)；(2)(－m＋n)(－m－n)；(3)(－2x－3)(2x－3)．分析：(1)本题符合平方差公式的结构特征，其中3x对应“a”，2y对应“b”；(2)题中相同项为－m，互为相反数的项为n与－n，故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将原式变形为(－3＋2x)(－3－2x)，然后运用平方差公式计算．解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.(2)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2.(3)(－2x－3)(2x－3)＝(－3＋2x)(－3－2x)＝(－3)2－(2x)2＝9－4x2.利用公式计算，关键是分清哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公式中的b，通常情况下，为防止出错，利用公式前把相同项放在前面，互为相反数的项放在后面，然后套用公式．(4)平方差公式的几何解释如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ＋SⅢ＝SⅠ＋SⅣ＝(a＋b)(a－b)．从而验证了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2.【例2－2】下图由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是____________________．分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b的正方形得到的，所以它的面积等于a2－b2；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以它的面积又等于两个梯形的面积之和．这两个梯形的面积都等于12 (b＋a)(a－b)，所以梯形的面积和是(a＋b)(a－b)，根据阴影部分的面积不变，得(a＋b)(a－b)＝a2－b2.因此验证的一个乘法公式是(a＋b)(a－b)＝a2－b2.答案：(a＋b)(a－b)＝a2－b23．运用乘法公式简便计算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础，而且在许多的数字运算中也有广泛地运用．不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式，常可以使运算变繁为简，化难为易．解答此类题，关键是分析数的特点，看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式，若改写成两数和的形式乘以两数差的形式，则用平方差公式；若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式，则用完全平方公式．【例3】计算：(1)2 0132－2 014×2 012；(2)1032；(3)1982.分析：(1)2 014＝2 013＋1,2 012＝2 013－1，正好符合平方差公式，可利用平方差公式进行简便运算；(2)可将1032改写为(100＋3)2，利用两数和的平方公式进行简便运算；(3)可将1982改写为(200－2)2，利用两数差的平方公式进行简便运算．解：(1)2 0132－2 014×2 012＝2 0132－(2 013＋1)×(2 013－1)＝2 0132－(2 0132－12)＝2 0132－2 0132＋1＝1.(2)1032＝(100＋3)2＝1002＋2×100×3＋32＝10 000＋600＋9＝10 613.(3)1982＝(200－2)2＝2002－2×200×2＋22＝40 000－800＋4＝39 204.4．利用乘法公式化简求值求代数式的值时，一般情况是先化简，再把字母的值代入化简后的式子中求值．在化简的过程中，合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单．在代数式化简过程中，用到平方差公式及完全平方公式时，要特别注意应用公式的准确性．【例4】先化简，再求值：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2，其中m ＝－2，n ＝15. 解：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2＝5(m 2－n 2)－2(m 2＋2mn ＋n 2)－3(m 2－2mn ＋n 2)＝5m 2－5n 2－2m 2－4mn －2n 2－3m 2＋6mn －3n 2＝－10n 2＋2mn .当m ＝－2，n ＝15时，原式＝－10n 2＋2mn ＝－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋2×(－2)×15＝－65. 5．乘法公式的运用技巧一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时，表面上看起来不能利用乘法公式，实际上经过简单的变形后，就能直接运用乘法公式进行计算了．有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．在运用平方差公式时，注意以下几种常见的变化形式：①位置变化：(b ＋a )(－b ＋a )＝a 2－b 2.②符号变化：(－a ＋b )(－a －b )＝(－a )2－b 2＝a 2－b 2.③系数变化：(0.5a ＋3b )(0.5a －3b )＝(0.5a )2－(3b )2.④指数变化：(a 2＋b 2)(a 2－b 2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.⑤增项变化：(a－b－c)(a－b＋c)＝(a－b)2－c2，(a＋b－c)(a－b＋c)＝a2－(b－c)2.⑥增因式变化：(a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2.⑦连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)＝a8－b8.【例5－1】计算：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)；(2)(m－2n＋p)2；(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2.解：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]＝(a＋b)2－1＝a2＋2ab＋b2－1.(2)(m－2n＋p)2＝[(m－2n)＋p]2＝(m－2n)2＋2·(m－2n)·p＋p2＝m2－4mn＋4n2＋2mp－4np＋p2.(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2＝[(2x－3y)(2x＋3y)]2＝(4x2－9y2)2＝(4x2)2－2×4x2×9y2＋(9y2)2＝16x4－72x2y2＋81y4.在运用平方差公式时，应分清两个因式是否是两项之和与差的形式，符合形式才可以用平方差公式，否则不能用；完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个三项式，在计算时不要发生：(a＋b)2＝a2＋b2或(a－b)2＝a2－b2这样的错误；当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组，看成是两项，从而应用平方差公式或完全平方公式．【例5－2】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)的值．分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都是和的形式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(2－1)，这样就可巧妙地运用平方差公式了．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝…＝(22n－1)(22n＋1)＝24n－1.6．乘法公式的实际应用在解决生活中的实际问题时，经常把其中的一个量或几个量先用字母表示，然后列出相关式子，进而化简，这往往涉及到整式的运算．解题时，灵活运用乘法公式，往往能事半功倍，使问题得到快速解答．【例6】一个正方形的边长增加3 cm，它的面积就增加39 cm2，这个正方形的边长是多少？分析：如果设原正方形的边长为x cm，根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x＋3)2＝x2＋39，求解即可．解：设原正方形的边长为x cm，则(x＋3)2＝x2＋39，即x2＋6x＋9＝x2＋39，解得x＝5(cm)．故这个正方形的边长是5 cm.7．完全平方公式的综合运用学习乘法公式应注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”，注意为使用公式创造条件．(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式：①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ；②a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；③(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ；④(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ；⑤(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)；⑥(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab 等．在公式(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2中，如果把a ＋b ，ab 和a 2＋b 2分别看做一个整体，则知道了其中两个就可以求第三个．(2)注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用——a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.【例7－1】已知a 2＋b 2＋4a －2b ＋5＝0，则a ＋b a －b的值是__________．解析：原等式可化为(a 2＋4a ＋4)＋(b 2－2b ＋1)＝0，即(a ＋2)2＋(b －1)2＝0，根据非负数的特点知a ＋2＝0且b －1＝0，从而可知a ＝－2且b ＝1.然后将其代入求a ＋b a －b的值即可． 答案：13【例7－2】已知a ＋b ＝2，ab ＝1，求a 2＋b 2的值．分析：利用完全平方公式有(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，把2ab 移到等式的左边，可得(a ＋b )2－2ab ＝a 2＋b 2，然后代入求值即可．解：∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2aB ．∵a ＋b ＝2，ab ＝1，∴a 2＋b 2＝22－2×1＝2.涉及两数和或两数差及其乘积的问题，就要联想到完全平方公式．本题也可从条件出发解答，如因为a＋b＝2，所以(a＋b)2＝22，即a2＋2ab＋b2＝4.把ab＝1代入，得a2＋2×1＋b2＝4，于是可得a2＋b2＝4－2＝2.。
2023年北师大版七年级下册数学第一章整式的乘除第10课时平方差公式(2)
第10课时 平方差公式(2)
C NTENTS
01 学习目标 02 知识要点 03 对点训练 04 精典范例 05 变式练习
·数学
1.(2022新课标)理解乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，了解公 式的几何背景. 2.(2022新课标)能利用平方差公式进行简单的计算和推理.
抽象能力 运算能力 几何直观
知识点一：利用图形验证平方差公式
(北师7下P21、人教8上P107)如图1，边长为a 的大正方形中有一个边长为b的小正方形. (1)图1中的阴影部分面积为 a2－b2 ；
·数学
图1
·数学 (2)小颖将阴影部分拼成一个长方形(如图2)，这个长方形的 长为 a＋b ，宽为 a－b ，它的面积为 (a＋b)(a－b)； (3)通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等 式是 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 .
6.【例3】计算：(a＋1)(a－1)－a(a＋3). 解：原式＝a2－1－(a2＋3a) ＝a2－1－a2－3a＝－1－3a.
·数学
10.化简：(a＋b)(a－b)＋2b2. 解：原式＝a2【例4】先化简，再求值：(1＋a)(1－a)－a(2－a)，其中 a＝12. 解：原式＝1－a2－2a＋a2＝1－2a. 当a＝12时，原式＝1－2×12＝1－1＝0.
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4.【例1】如图，利用图1和图2的阴影面积相等，写出一个 正确的等式： (a＋2)(a－2)＝a2－4 .
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8.(创新题)在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方 形(a＞b).把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等 腰梯形(如图)，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式， 这个等式是( A ) A.a2－b2＝(a＋b)(a－b) B.(a＋b)2 ＝a2＋2ab＋b2 C.(a－b)2＝a2－2ab＋b2 D.a2－ab＝a(a－b)