高二数学竞赛试卷及参考答案

高二数学竞赛试卷考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答； ⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分。

一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内．（1）12,F F 是椭圆22:184x y C +=的焦点，在C 上满足12PF PF ⊥的点P 的个数为（ ） (A ) 1个 (B ) 2个 (C ) 3个 (D) 4个（2）已知实数集合A 满足条件：若a A ∈，则11aA a+∈-，则集合A 中所有元素的乘积的值 为（ ）(A ) 1 (B ) 1- (C ) 1± (D) 与a 的取值有关（3）若ABC ∆的三边长a 、b 、c 满足2220a a b c ---=且0322=+-+c b a ，则它 的最大内角的度数是（ ）(A ) 150 (B ) 135 (C ) 120 (D)90（4）已知定点()7,8A 和抛物线24y x =，动点B 和P 分别在y 轴上和抛物线上，若0O B P B ⋅=（其中O 为坐标原点），则PB PA + 的最小值为（ ）(A ) 9 (B ) 10 (C ) (D)、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．把答案填在题中横线上．（5）高二数学竞赛获一等奖的人数在30到55人之间，颁奖 典礼上给获一等奖的学生照相．按3列排，多出2人；按5列排，多出4人；按7列排，多出2人，则获一等 奖的人数有 人． （6）若函数()f x 的图像经过点()()1,1,1,0,2,12⎛⎫-⎪⎝⎭，试写 出两个．．满足上述条件的函数的解析式 、 ．（7）已知点()b a P ，在直线01443=--y x 上，则()()2211-+-b a 的最小值为 ．（8）正三棱锥ABC P -中，30=∠=∠=∠APC BPC APB ，2===CP BP AP ，过点A 作平面分别交PB 、PC 于E 、F ，则AEF ∆的周长的最小值为 ．（9）现代社会对破译密码的要求越来越高，有一种密码把英文的明文（真实文）按字母分 解，其中英文的a 、b 、c 、…、z 的26个字母（不论大小写）依次对应1、2、3、…、给出如下一个变换公式：()()221126213 1262x x x x x x x x x +⎧∈≤≤⎪⎪'=⎨⎪+∈≤≤⎪⎩N N 不能被整除能被整除 ，　， ，　，将明文转换成密文，如1613266＝＋→即f 变为p ；52199＝+→即i 变为e ． 按上述规定，明文good 的密文是 ，密文gawqj 的明文是 ．（10）对一切实数x ，所有的二次函数()()b a c bx ax x f <++= 2的值均为非负实数， 则cb a ab ++-的最大值是 ．三、解答题：本大题共5小题，共90分．要求写出解答过程．已知函数()a x x x x f ++=2cos cos sin 3（a 为常数）．（Ⅰ）求函数()x f 的最小正周期，并指出其单调减区间；（Ⅱ）若函数()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，　上恰有两个x 的值满足()2=x f ，试求实数a 的取值范围．如图，点P 是矩形ABCD 所在平面外一点且⊥PA 平面ABCD ，1==AB PA ，2=BC ．（Ⅰ）求证：平面⊥PDC 平面PAD ；（Ⅱ）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值；（Ⅲ）在BC 边上是否存在一点Q ，使得D 点到平面PAQ 的距离为1．若存在，求出BQ 的值；若不存在，请说明理由．如图，将一块直角三角形板ABO 放置于平面直角坐标系中，已知2==BO AB ，OB AB ⊥．点⎪⎭⎫ ⎝⎛211，　P 是三角板内一点，现因三角板中阴影部分（即△POB ）受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P 的任一直线MN 将三角板锯成AMN ∆，设直线MN 的斜率为k ．（Ⅰ）试用k 表示AMN ∆的面积S ，并指出k 的取值范围； （Ⅱ）试求S 的最大值．已知数列{}n a 的各项均为正数，且11=a ，当2≥n 时，都有121n n a a n -=+-，记1211n T a a =++ (1)na +． （Ⅰ）试求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：2<n T ； （Ⅲ）令111n nb a +=-，12n B b b =……n b ，试比较13n n-与n B 的大小．设定义在R 上的函数()e dx cx bx ax x f ++++=234，当1-=x 时，()x f 取得极大值32，并且函数()1-=x f y 的图象关于点()01，　对称． （Ⅰ）求()x f 的表达式；（Ⅱ）试在函数()x f 的图像上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间⎡⎣上；（Ⅲ）若212t t x -=，)133t t y -= ()t +∈R ，求证：()()43f x f y -<．\参考答案及评分标准一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．（1）B （2）A （3）C （4）A 二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．（5）44 （6）本小题答案不唯一，只要满足题设条件即为正确答案。

例如：()12log f x x =， ()227333f x x x =-+， ()213f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ()(132f x =， ()()2i n 133f x x π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦， ()()()22111x x f x x x -+≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩ ， ()()()1120112x f x x x ⎧⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪==⎨⎪-=⎪⎪⎩ ，()((112221x f x x -=-+， ()(194f x = ，等等． （7）3 （8）2 （9）dhho ， maths （10）13第（10）题参考解答： 设b a k -=，则b a k =+． 依题意有0b a >>，24b ac ≤，即()24a k ac +≤，即()24a k c a+≥．故()2293224244b a kkka k a k k abc a k ca k aa-=≤=+++++++++11193333244242k a a k =≤==++⨯+．当且仅当()29444k a a k a k c a ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩即4b c a ==时取等号．三、解答题：本大题共5小题，满分90分．（11）（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）∵()1cos 222xf x x a +=++ 1sin 262x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭， ∴ 最小正周期22T ππ==， 单调递减区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ． （Ⅱ）令26u x π=+，则()1sin 2g u u a =++，7,66u ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 要使()g u 在7,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个x 的值满足()2g u =， 则2622g g ππ⎧⎛⎫≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩ ，解得 112a <≤．（12）（本小题满分15分）解法一：（Ⅰ）因⊥PA 平面ABCD ，PA ⊂面PAD ，故面PAD ⊥面ABCD ．因四边形ABCD 是矩形，故CD AD ⊥． 因面PAD 面ABCD AD =，故CD ⊥面PAD ．因CD ⊂面PCD ，故平面⊥PDC 平面PAD ． （Ⅱ）取CD 中点F ，连结AF 、EF ．因E 是PD 的中点，故//EF PC ．所以AEF ∠或它的补角是AE 与PC 所成的角．易得EF =，AE =AF =故222cos AEF +-∠==．故AE 与PC（Ⅲ）假设Q 点存在，过点D 作DG AQ ⊥于G ，因为面PAQ ⊥面ABCD ，面PAQ 面ABCD AQ =，所以DG ⊥面PAQ ，即1DG =．如图，易知30DAG AQB ︒∠=∠=， 则BQ =． 故存在一点Q ，当BQ =时使点D 到平面P AQ 的距离为1． 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐 标系，∵1==AB PA ，2=BC ， ∴ ()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,1P ，10,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭．∵ 10,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()1,2,1PC =-，由cos ,AE PC AE PC AE PC==⋅， ∴AE 与PC 所成角的余弦值为……10分 （Ⅲ）假设存在点()1,,0Q a 符合条件，则()0,0,1AP = ，()1,,0AQ a =．又设平面P AQ 的法向量为(),,x y z =n ，由0,0.AP AQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即0,0.z x ay =⎧⎨+=⎩取1y =-， 则(),1,0a =-n 是平面P AQ 的一个法向量．由题意有1AD =n n1=，解得a =故存在一点Q，当BQ =时使点D 到平面P AQ 的距离为1．（13）（本小题满分20分） 解：（Ⅰ）MN ：()112y k x =-+， OA ：y x =， 解得 12,2N k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，1122,11k k M k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭．于是 32AN k =-，321k AM k ⎫-⎪⎝⎭=-．所以()()23321132sin 452221281k k S AN AM k k k ︒⎫-⎪-⎛⎫⎝⎭==⋅-⋅⋅= ⎪--⎝⎭．易知 1122k -≤≤，故()()23281k S k -=-，1122k ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭． （Ⅱ）()()()2322181k k S k --'=-， 所以当12k =或32k =时，()S f k =取得极值． 因为当1122k -≤≤时，0S '≤，故()S f k =在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数． 所以当12k =-时，S 取得最大值43．（14）（本小题满分20分）解：（Ⅰ）当2≥n 时，21321221,231,2 1.n n a a a a a a n --=⨯--=⨯--=⨯- 各式相加得()()12231n a a n n -=+++-- ，求得2n a n =．又当1n =时，11=a 满足上式，故2n a n =． （Ⅱ）222111123n T n =++++ ()111112231n n<++++⨯⨯-⨯ 11111111222231n n n=+-+-++-=-<- ． （Ⅲ）()()()2221111n n n b n n +=-=++，()()()222221324352234211n n n n B n n +⨯⨯⨯+=⋅⋅=++ ， 当1n =时，13134n n n B -=>=；当2n =时，1233n n n B -==； 当3n =时，115338n n n B -=<=； 猜想当3n ≥时，13n n n B -<． 以下用数学归纳法证明:①当3n =时，左边115338n n n B -==<==右边，命题成立． ②假设当n k =()3k ≥时， ()12321k k k k B k -+<=+，即11232k k k k-++<． 当1n k =+时，1111123333326k k k k k k k k-++++=⋅<⋅< ()()1332222k k k B k k k +++=<=++，命题成立． 故当3n ≥时，13n n n B -<． 综上所述，当1n =时，13n n n B ->， 当2n =时，13n n n B -=， 当3n ≥时，13n n n B -<．（15）（本小题满分20分）解：（Ⅰ）因()1-=x f y 的图象关于点()01，　对称， 故()y f x =的图象关于原点()00，　对称． 故()()0f x f x +-=，易得0a c e ===，因为1-=x 时，()x f 有极值，所以1x =时，()x f 也有极值．故()3f x bx dx =+． ∴ ()()()22331133f x bx d b x x bx b '=+=+-=-， 于是 3d b =-．又由()213f -=得 23b d --=， 由此解得 13b =，1d =-，∴ ()313f x x x =-． （Ⅱ）设这两个切点分别为()()1122,,,x y x y ，并且12x x <，()21f x x '=-，依题意有()()()()221212111f x f x x x ''=--=- …… (*)因12,1x x ≠且12x x ≤≤ 故22122,2x x ≤≤ ．由(*)式得21221121x x =-≤-，即221101x +≥-． 故222201x x ≥-，解得221x >或20x =． 同理可得211x >或10x =．又因为当211x >与221x >同时成立时与(*)式矛盾，所以10x =或20x =．故1100x y =⎧⎨=⎩，223x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩或113x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，2200x y =⎧⎨=⎩． 即所求的两点为()0,0,⎭或()0,0,⎛ ⎝⎭． （Ⅲ）∵()21f x x '=-， 故当1x <-或1x >时，()0f x '>；当11x -<<时，()0f x '<．所以()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞，()f x 的单调递减区间为()1,1-． 因()21110,122t t tx -==-∈，故()()()10f f x f <<． 即()203f x -<<，故()23f x <；因)()131133t t t y -⎫==-∈⎪⎭，(f =，()00f =，()213f -=， 故()203f y <<，故()23f y <． 故()()()()224333f x f y f x f y -≤+<+=．。