专升本高等数学讲义

x =x0
=f (x0 )x
（2） dy =ydx
3、应用
• 中值定理 (a,b)可导；f (a)=f (b) （1）罗尔定理：若 y f (x) 满足：在 [a,b] 连续； 则至少存在一点 (a,b) ，使得 f ( )=0 。 （2）拉格朗日中值定理： f ( )= • 洛必达法则
1 (x-x0 ) f (x0 )
1、导数
• 导数的计算 （1）基本求导公式（熟记）
u u v - uv （2）四则运算法则： u v，（ u v） u v uv, （u v） v2 v
（3）复合函数链式求导法则 （4）隐函数求导法
x
sin 2 x x x
1
x+2 lim （7） x x+1
（8） lim cos x x2
x 0
x3 +ax 2 +b =8 ，求 a ,b 。 • 例9：若 lim x 2 x-2
4、典型例题
1 x + 连续。 • 例10：设 f (x) 1-2x ,x 0 ，求 a 使 f (x) 在 -， a,x 0

f ( x ) dx =f (x ) （1）
（2）
f (x)dx =f (x)+C
• 基本积分公式（熟记） • 不定积分的积分方法 （1）直接积分法（加项减项、拆项、三角恒等变形等）
1+cot 2 x= csc2 x sin 2 x+cos2 x=1, 1+ tan 2 x=sec2 x， 如： sin 2 x=2sin x cos x, cos 2 x= cos 2 x-sin 2 x =2cos2 x-1 =1-2sin 2 x 1+ cos 2 x 1- cos 2 x 2 2 cos x = , sin x = 2 2
b
a
（2）几何意义：曲边梯形的面积 • 定积分的性质 （1）

b
a
f (x)dx= f (x)dx+ f (x)dx
a c
c
b
（2）若 f (x) 0,x [a,b] ，则

b
a
f (x)dx 0
2、定积分
•
变限积分
（1）变上限积分的概念： （2）变限积分求导定理：

x
a
f (t )dt 是关于上限 x 的函数。
dy x =f (t ) dy dt , = （5）参数方程求导法： y =g (t ) dx dx dt
（6）对数求导法：幂指函数 y =f (x) •
g (x )
，连乘、除……
高阶导数： y,y,y，y (4) ,……，y (n) ,……
2、微分
•
微分的概念
（1）定义：若 y f (x) 在点 x 处的增量 y f (x+x)-f (x) 可表示成 y Ax o(x) ，则称 y f (x) 在点 x 处可微， 微分记作：dy =Ax （2）可微与可导的关系：可微 可导 连续 有极限 • 微分的计算 （1） dy
在一点 (0,a) ，使得 f ( )+ f ( )=0 。 • 例11：求下列极限
x 0
（1） lim
tan x-x x 2 sin x
ln (1+x) （2）xlim + ln (1+2x )
4、典型例题
（3） （5）
x 0
lim x ln x
（4） lim
x
铅直渐近线 x =x0 , lim f (x )=
x x0
（6）经济应用：边际和弹性问题 • 微分的应用 （1）近似值公式：f (x0 +x) f (x0 )+f (x0 )x （2）泰勒公式：
f (x0 +x)=
n =0

f (n ) (x0 ) (x)n n!
4、典型例题
• 例16：求 sin 29 的近似值。
三
一元函数的积分学
1、不定积分
• • •
原函数：若 F ( x) f ( x), F ( x) 是 f (x) 的一个原函数。 不定积分的概念：f (x) 的全体原函数，不定积分记作： f (x )dx =F (x )+C 不定积分的性质（导数和积分互逆）
3 1 - 3 x 1 1-x 1-x
x4 3 -x 的单调性与极值。 • 例12：求 y = 4
• • 例13：证明：当 x >1 时， e x >ex 。 例14：求 y = ln (1+x ) 的凹凸区间与拐点。
2
x 0
lim x sin x
ln x • 例15：求 y = 的渐近线。 x
x f (t )dt =f (x) a (x ) f (t )dt =f (x) (x) a b f (t )dt =-f g (x) g(x) g (x ) (x ) f (t )dt = c f (t )dt + (x ) f (t )dt =f (x) (x)-f g(x) g(x) c g (x ) g (x )
4、典型例题
• • • • • • •
x arcsin - 1 的定义域。 2 3 - x2 x,1< x 4 例2：设 f (x) ，求 f (x2 ) 的定义域。 sin x, x 1 1 ,g (x)=1+x 2 ，求 f g (x) ,g f (x) 。 例3：设 f (x) 1+x


udv=uv- vdu （按照对、反、幂、三、指选择u）
2、定积分
•
定积分的概念
（1）定义： 其中：

b
a
f ( x)dx, x [a, b] ，为常数。
பைடு நூலகம்b a

b
a
f (x)dx= f (t )dt ,

a
a
f (x)dx=0,

b
a
f (x)dx=- f (x)dx
得 f ( )= 。
二
一元函数的微分学
1、导数
•
导数的概念
（1）定义：f ( x0 ) lim
x 0
f ( x0 x) - f ( x0 ) f ( x) - f ( x0 ) lim f ( x) x x0 x x 0 x x - x0
（对于分段函数在分段点处的导数要用导数的定义来求解） （2）左、右导数： f (x0 ) A f - (x0 )=f + (x0 ) A （3）几何意义： f (x0 ) k切 曲线 y =f (x) 过点 (x0 ,f (x0 )) 的切线方程： y-f (x0 )=f (x0 )(x-x0 ) 法线方程： y -f (x0 )=-
0 0
sin x =1 x
x
1 1 （2） 1 lim 1+ =e或 lim 1+x x =e x x 0 x
2、极限
• 无穷小与无穷大 （1）定义：倒数关系 （2）无穷小的性质：有限个无穷小的和、差、积是无穷小 无穷小乘以有界函数是无穷小 （3）无穷小的比较：同阶、等价、高阶 （4）等价无穷小的替换：当 x 0 时
1、不定积分
（2）第一换元积分法（凑微分法） （3）第二换元积分法（根式代换，三角换元） 如： f ax b dx ， 令 ax b =t
f
f
n1
x,
n2
x dx，令
n
x =t ，其中 n是 n1 ,n2的最小公倍数
2 2 a x dx ， 令 x = a sin t , t 0, 2 2 2 令 x =a tan t ,t 0, f a +x dx， 2 2 2 f x a dx ， 令 x =a sec t ,t 0, 2 （4）分部积分法
例1：求 y
1
2 例4：设 f (1+x) x +3x+5 ，求 f (x) 。
例5：求 f (x) ln x+ 1+x2

的奇偶性。
例6：设 f (x) 是以3为周期的奇函数，且 f (-7)=5 ，求 f (1) 。 例7：若 f (x )=
x -1 1 ，求 f -1 。 x +1 2
4、典型例题
•
例8：求下列极限
2x2 - 3 （1） lim x 1 x 1 x 2 -9 （3） lim 2 x 3 x -5 x +6
（5） lim
2 x 2 -3 （2） lim x 1 x -1
2 x 2 +1 （4） lim 2 x x -3x +4
（6） lim
tan x-sin x x 0 x3
2、极限
• 极限的概念 （1） lim f (x)=A lim f (x)= lim f (x)=A
x x - x+
（2） lim f (x)=A lim- f (x)= lim+ f (x)=A
x x0 x x0 x x0
• •
极限的四则运算 两个重要极限
（1） lim x 0
•
x2 , x 1 例1：设 f ( x) ax b, x 1
（1）求a,b,使 f (x) 在 x=1 处连续 （2）求a,b，使 f (x) 在 x=1 处可导 • 例2：求曲线 y =e x -3sin x+1 在点(0,2) 处的切线和法线方程。