2021年专升本高等数学公式全集
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专升本高等数学公式（全）
常数项级数：
是发散的
调和级数：等差数列：等比数列：n
n
n n q q q q q n
n 1
312112
)1(3211111
2
+++++=
++++--=
++++-
级数审敛法：
散。
存在，则收敛；否则发、定义法：
时，不确定
时，级数发散
时，级数收敛
，则设：、比值审敛法：
时，不确定时，级数发散
时，级数收敛
，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞
→+∞→∞
→+++=⎪⎩
⎪
⎨⎧=><=⎪⎩
⎪
⎨⎧=><=lim ;3111lim 2111lim 1211 ρρρρρρρρ
。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和
如果交错级数满足—莱布尼兹定理：
—的审敛法或交错级数1113214321,0lim )0,(+∞→+≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=≥>+-+-+-+-n n n n
n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u
绝对收敛与条件收敛：
∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛
１时发散ｐ 级数： 收敛；
级数：收敛；
发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中11
1
)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p n n n n
幂级数：
01
0)3(lim
)3(111
1111
221032=+∞=+∞===
≠==><+++++≥-<++++++++∞
→R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n n
n n n n n 时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。
，其中时不定
时发散时收敛
，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全
，如果它不是仅在原点 对于级数时，发散
时，收敛于
ρρρ
ρρ
函数展开成幂级数：
+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n
n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !
)0(!2)0()0()0()(00
lim )(,)()!1()()(!
)()(!2)())(()()(2010)1(00)(2
0000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ
某些函数展开成幂级数：
)
()!12()1(!5!3sin )11(!)1()1(!2)1(1)1(121532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-+
+=+--x n x
x x x x x x n n m m m x m m mx x n n n
m
可降阶高阶微分方程
类型一：()()n y f x =
解法（多次积分法）：(1)()()n du
u y f x f x dx
-=⇒=⇒令多次积分求 类型二：''(,')y f x y =
解法：'(,)dp
p y f x p dx
=⇒
=⇒令一阶微分方程 类型三：''(,')y f y y = 解法：'(,)dp dp dy dp p y p f y p dx dy dx dy
=⇒
==⇒⇒令类型二 类型四：)()('x Q y x p y =+
若Q(X)等于0，则通解为⎰=-dx
x p Ce y )(（一阶齐次线性）。若不等于0，通解⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x Q e y dx x p dx x p )()()(（一阶齐次非线性）。 一阶齐次非线性方程通解是相应齐次方程通解与它一种特解之和。 三、线性微分方程
类型一：''()'()0y P x y Q x y ++=（二阶线性齐次微分方程） 解法：找出方程两个任意线性不有关特解：12(),()y x y x 则：1122()()()y x c y x c y x =+
类型二：''()'()()y P x y Q x y f x ++=（二阶线性非齐次微分方程） 解法：先找出相应齐次微分方程通解：31122()()()y x c y x c y x =+ 再找出非齐次方程任意特解()p y x ，则：1122()()()()p y x y x c y x c y x =++ 类型三：'''0y py q ++=（二阶线性常系数齐次微分方程）
解法（特性方程法）：2
1,20p q λλλ++=⇒=
（一）1
2
2121240x x p q y c e c e λλλλ∆=->⇒≠⇒=+
（二）12120()x y c c x e λλλλ∆=⇒==⇒=+
（三）12120,(cos sin )x i i y e c x c x αλαβλαβββ∆<⇒=+=-⇒=+