浅谈非正常积分的计算方法
联网下一次调频的积分电量浅析
联网下一次调频的积分电量浅析水电厂机组调速系统的一次调频是一个基本功能，它对改善电网频率品质有一定的积极意思，尤其是小范围的频率波动，其速动性和准确性是别的调频手段无法比拟的。
所以，如何充分利用这样一种机组自身具备的调差特性来优化电网系统的频率品质，本文从近期南网电力系统中各大中型水电厂出现的积分电量不合格的现象入手分析，浅谈一下水电厂调速系统调频原理和不合格的因素，并提出一些改进性建议。
希望能为当前大型水电机组新型水轮机调速器的研究和设计，为电网系统对电厂一次调频考核计算方法提供一定参考。
标签：调速器一次调频积分电量调差率频率死区水头一次调频是调速器的一个基本功能，该项功能在设备投产期间，一般由当地有资质的电力试验研究院所结合机组投产发电时的实际工况进行验证，依据一次调频的调节和指標的要求，适当选择和设置PID、Ef、bp五个参数并达到调节性能要求。
设备投产后，电网公司会根据一套自身的考核方法、算法，从系统频率波动出发，以单位时间内的有功反馈为重要判断依据对电厂一次调频调节情况给予考核，主要是一次调频的动作正确率和动作后的调节效果。
经过近几年从多个水电厂的运行情况了解，部分水电厂出现调频动作后积分电量被考核的问题（主要是动作量不够被考核，过量免考）。
下面针对屡次出现电厂积分电量被考核问题，做进一步探讨。
1、调速器一次调频原理及实际调节分析电网频率是波动的，该波动取决于电力系统内的有功的平衡。
电力系统的有功平衡取决于该电力系统内各电厂发出的有功和用电负荷的平衡。
如果发出的电多于系统消耗的电，根据能量守恒原理，假设保持发出的电不变，多出的有功会转化成系统的动能（机组的转速），从而抬升了频率。
反之亦然。
这时，如果系统频率变大或变小，调速器就应该根据自身的调差特性第一时间相应动作。
如果频率高过死区上限，导叶开度就会下调，反之上调。
目的是改变输入水轮机的水力能量，改变机组出力，从而改变机组有功输出。
目前南瑞主流调速系统调差特性是频率和导叶开度的关系。
微积分中求极限的常用方法_王燕华
=lim ［(1+sin
x→∞
2 ) x
sin
］
x
f(x) 存在时 ， 式子是分别对分子分母求导数再求极 g(x)
=e
1
注意 ：在利用重要公式时要注意条件 lim
x→0
x x =1，lim(1+x) x→∞ sinx
=e ， 但 lim
x→∞
sinx 1 x =0 ，lim(1+ ) ≠e. x→0 x x
x →0
ln （1+3xsinx ） tanx
2
=lim
x →0
3x x
2
2
=3.
2. 极限四则运算法则
利用极限四则运算法则的条件是充分而非必要的。 因 此 ，在 对 极 限 四 则 运 算 法 则 进 行 利 用 时 ，一 定 要 逐 一 对 所 给的函数进行验证。 看其是否满足极限四则运算法则条 件 ， 若 满 足 只 要 把 x0 代 替 函 数 中 的 x 就 行 了 ； 若 不 满 足 条 件 的 ，不 能 对 其 直 接 利 用 。 例 如 对 于 分 式 函 数 直 接 代 入 后 如 果 分 母 为 零 ，这 样 代 入 就 没 有 意 义 。 我 们 应 对 函 数 进 行 适 当 的 分 解 因 式 、通 分 、分 子 分 母 有 理 化 、分 子 分 母 同 除 最 高 次 幂 、三 角 函 数 等 恒 等 变 形 ，使 其 符 合 条 件 后 ，再 利 用 极 限 四则运算法则。 例 4 ： 求 lim
%
2
2 % = 姨5 3
结 论 ： ① 在 分 式 函 数 求 极 限 lim
x →x 0
=lim
x →0
3x 1
浅谈积分因子及首次积分
浅谈积分因子与首次积分摘要：本文先给出了微分方程中的积分因子、首次积分以及特征方程的相关定义并加深理解，后引出全微分方程积分因子存在的充要条件以及与之相关的两类重要命题，灵活的将用积分因子解微分方程的方法与偏微分方程首次积分联系起来，为求特殊积分因子提供了方便，最后应用性的求出了常见的几类微分方程的积分因子.关键词：微分方程；积分因子；首次积分；特征方程；偏微分：合分比Introduction to integral factor and the points for the first timeChen Xueyun(School of Mathematics and Statistics，Tianshui Normal University 741000) Abstract This paper firstly presents the definition of the integral factors ,first integral in differential equation and the characteristic equation and leads to the necessary and sufficient condition for the existence of all the integrating factor of differential equation as well as in connection with the two important types of proposition, Then it provides conveniences for special integral factor by combining the method of integral factor to solve differential equations with partial differential equation flexibly,Finally it finds out the integral factor of some types of differential equations via application.Keywords Differential equations,Integrating factor,For the first time points,Characteristic equation, Partial differential,points than目录0 引言 (1)1 相关概念 (1)1.1 积分因子 (1)1.2 首次积分 (2)1.3 特征方程（组） (2)2 预备知识 (2)3 问题的引入 (3)4 有关积分因子存在的充要条件的两类命题 (5)4.1 命题一 (5)4.2 命题二 (7)5 几类常见微分方程的积分因子 (8)5.1 可分离变量的微分方程 (8)5.2 齐次微分方程 (9)5.3 线性微分方程 (10)5.4 Bornoulli微分方程 (10)6 小结 (12)参考文献 (13)致谢 (14)浅谈积分因子与首次积分0 引言在微分方程的学习中，微分方程的求解是至关重要的，并且对于不同类型的微分方程可以给出不同的解法.Euler 曾在他的论文中指出：凡是可用分离变量法的地方都可以用积分因子法，这就启示我们要更多的了解和学习积分因子法.而这其中恰当微分方程就可以通过积分的方法求出，但并非所有的微分方程均为恰当微分方程，于是如何将一个非恰当微分方程转化为恰当微分方程，让求其通解变得简单？将是一个很显眼的问题，对此本文就特殊积分因子的求法引进了首次积分法，并加以论证运用.1 相关概念1.1 积分因子定义1 对于下面的一阶方程 (,)dy f x y dx= 现把它写成微分的形式(,)0f x y dx dy -=或者把,x y 平等的处理，写成具有对称形式的一阶微分方程，如下(,)(,)0,M x y dx N x y dy += （1.1.1）其中(,)M x y 和(,)N x y 是关于,x y 的连续函数且具有连续的一阶偏导数，(,)x y D ∈，D 为单连通区域.这样如果存在连续可微的函数(,)0x y μμ=≠，使得(,)(,)(,)(,)0x y M x y dx x y N x y dy μμ+=,为一恰当微分方程，即存在函数(,)u x y ，使 u u Mdx Ndy du dx dy x yμμ∂∂+≡=+∂∂, 则称(,)x y μ为方程（1.1.1）的积分因子.1.2 首次积分定义2 对于一般的常微分方程组 1112221212(,,,,),(,,,,),(,,,,).n n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪⎪=⎪⎩ （1.2.1）其中，右端函数12,,,n f f f 都在某个域G 内连续.设函数12(,,,,)n x y y y Φ=Φ在域G 内连续可微，且12(,,,,)n x y y y const Φ=Φ≠，如果以方程组的（1.2.1）的任一解()(1,2,)i y x i n =代入函数Φ时，使得函数12(,(),(),,())n x y x y x y x const Φ=Φ=（其中const 为任意常数），且此常数与x 无关，同时此常数值随不同解而异，则称表达式12=(,,,,)n x y y y const ΦΦ=为方程（1.2.1）的一个首次积分，有时也称12(,,,,)n x y y y Φ为首次积分.1.3 特征方程（组）定义3 对于一阶齐次线性偏微分方程 121(,,,)0n i n i iX x x x x μ=∂=∂∑, （1.3.1） 其中12,,,n x x x 是自变量，μ是12,,,n x x x 的未知函数，函数()(1,2,,)0i iX x i n x μ∂==∂为域'G 内相应的已知函数，则常微分方程组 1212n ndx dx dx X X X ===, （1.3.2） 称为一阶齐次线性偏微分方程（1.3.1）的特征方程组，也称特征方程.2 预备知识引理[1] 函数(,)x y μ是方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=的积分因子的充要条件是()()M N y xμμ∂∂=∂∂. （2.1） 现在对（2.1）式做如下变形 M N M N y y x xμμμμ∂∂∂∂+=+∂∂∂∂， M N N M x y y x μμμ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭， 则可得到如下以μ为未知函数的一阶线性偏微分方程 ln ln M N N M x y y xμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂. （2.2） 3 问题的引入通过对常微分方程的学习，我们了解了一阶微分方程的各种解法，其中对于恰当微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=我们可以通过积分求出它的通解，但是在学习研究中所遇到的微分方程大多并非全微分方程，于是我们引进了积分因子，以便更好的将一个非恰当微分微分方程转化为恰当微分方程，对于一般的积分因子我们可以通过观察法、分组法、公式法等来求解，那么对于特殊的又当如何呢？能否关联到有关偏微分方程的理论呢？下面的定理告诉我们这是肯定的.定理[2] 一阶微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有可求的积分因子⇔方程（2.2）的特征方程有可求的首次积分.证 )⇒ 由引理我们知道如果存在函数(,)x y μ，使(,)(,)(,)(,)x y M x y d x x y N x y μμ+= 为全微分方程，则有方程（2.1）成立，而方程（2.1）又与偏微分方程（2.2）等价，所以想要求解微分方程（1.1.1）关键是要求出积分因子(,)x y μ，而要求出积分因子(,)x y μ的关键是求解（2.2）式即偏微分方程 ln ln M N NM x y y x μμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂，现在令 ln t μ=， M N T y x∂∂=-∂∂， （3.1） 则方程（2.2）可变形为如下偏微分方程 t t N M T x y∂∂-=∂∂， （3.2） 由定义3现在可以写出（3.2）的特征方程 dx dy dt N M T==-， （3.3） 所以求解积分因子(,)x y μ的关键就在于求出（3.3）的首次积分，假设现在求出特征方程（3.3）式的两个首次积分11ϕ（x,y,t ）=c ，22ϕ（x,y,t ）=c ，并且让它们相互独立，即雅可比行列式 1112220(,)x y D D x y x yϕϕϕϕϕϕ∂∂∂∂=≠∂∂∂∂（,）， （3.4） 那么，若120ϕϕΦ=（,），并能从120ϕϕΦ=（,）中确定函数ln (,)t x y μϕ==， 则120ϕϕΦ=（,）为方程（2.2）的通解.)⇐ 假设特征方程（3.3）存在首次积分(,,)x y t c ϕ=()c 为常数，由 1ln (,)(,)t x y x y μϕ==可得 1(,)(,)x y x y e ϕμ=.把1(,)(,)x y x y e ϕμ=代入ln ln M N N M x y y xμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂，经验证成立. 故(,)(,)(,)(,)0x y M x y dx x y N x y μμ+=是一个全微分方程，并且(,)x y μ为方程(,)(,)0M x y d x N x y d y +=的一个积分因子.例1 用首次积分求解方程组22,().()dx y dt y x dy x dt y x ⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩ 解 首先将两式相比可得 dx y dy x=， 即 0xdx ydy -=对上式积分我们就可以得到方程组的一个首次积分2211x y c ψ=-=.再次将两式作差得到 2()()()d x y x y dt x y ---=-, 即 ()()0dt x y d x y +--=.对上式关于(x-y)积分可得 2221()2t x y c ψ=+-=. 下面根据定理以及（3.4）式验证首次积分1ψ与2ψ的相互独立性，因为 1121222(,)2()0(,)x y D x y D x y x yψψψψψψ∂∂∂∂==--≠∂∂∂∂， 故首次积分1ψ与2ψ是相互独立的，因而原方程组的通解为 22122,1().2x y c t x y c ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩ 4 有关积分因子存在的充要条件的两类命题4.1 命题一对一阶微分方程(,)(,)0,M x y dx N x y dy += (,)x y D ∈（4.1.1） D 为单连通区域，其中(,)M x y 和(,)N x y 是关于,x y 的连续函数且具有连续的一阶偏导数，若存在只与x 有关的函数()P x ，使得M N N y x ⎛⎫∂∂- ⎪∂∂⎝⎭P(x)=成立， 则方程（4.1.1）存在只与x 有关的积分因子()()P x dx x e μμ⎰==，证 （方法一）对于方程（4.1.1），由题设条件知，若存在只与x 有关的积分因子()x μμ=，则 0yμ∂=∂. 这时方程 M N N M x y y x μμμ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭, 变为 M N Nx y x μμ⎛⎫∂∂∂=- ⎪∂∂∂⎝⎭， 即 ()M N d y x dx P x dx Nμμ∂∂-∂∂==， （4.1.2） 进而得到 ()d P x dx μμ=， （4.1.3）这里()P x 仅为x 的函数，现在对方程（4.1.3）两边同时积分，可以求得方程（4.1.1）的一个积分因子 ()()P x dx x e μμ⎰==.（方法二） 由定理以及证明过程可知，设函数(,)x y μ为方程（4.1.1）的积分因子，那么它必满足偏微分方程（3.2）和特征方程 ln dx dy d M N N M y xμ==∂∂--∂∂， （4.1.4） 现在将条件M N N y x ⎛⎫∂∂- ⎪∂∂⎝⎭P(x)=变形为()*(,)M N P x N x y y x ∂∂-=∂∂并代入（4.1.4）， 得 ln 1()dx d P x μ=， 对上式积分可得首次积分为ln ()p x dx μ=⎰.从而可得方程（4.1.1）的一个积分因子()()P x dx x e μμ⎰==.4.2 命题二对一阶微分方程(,)(,)0,M x y dx N x y dy += (,)x y D ∈（4.2.1） D 为单连通区域，其中(,)M x y 和(,)N x y 是关于,x y 的连续函数且具有连续的一阶偏导数，若存在只与y 有关的函数()Q y ，使得M N M y x ⎛⎫∂∂-- ⎪∂∂⎝⎭P(x)=成立，则方程（4.2.1）存在只与y 有关的积分因子()()Q y dy y e μμ⎰==.证 （方法一）对于方程（4.2.1），由题设条件知若存在只与y 有关的积分因子()y μμ=，则0x μ∂=∂， 这时方程 M N N M x y y x μμμ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭变为 M N My y x μμ⎛⎫∂∂∂-=- ⎪∂∂∂⎝⎭， 即 ()M N d y x dy Q y dy Mμμ∂∂-∂∂==-， （4.2.2） 即 ()d Q y dy μμ=， （4.2.3）这里()Q y 仅为y 的函数，现在对方程（4.2.3）两边同时积分可以求得方程（4.2.1）的一个积分因子()()Q y dy y e μμ⎰==（方法二）由定理以及证明过程，现在设函数(,)x y μ为方程（4.2.1）的积分因子，那么它必满足偏微分方程（3.2）和特征方程 ln dx dy d M N N M y xμ==∂∂--∂∂， （4.2.4）现在将条件 ()M N y x Q y M∂∂-∂∂=-变形为 []()*(,)M N Q y M x y y x∂∂-=-∂∂并代入方程（4.2.4）， 得 ln 1()dy d Q y μ=， 对上式积分可得首次积分为ln ()Q y dy μ=⎰，从而可得方程（4.2.1）的一个积分因子()()Q y dy y e μμ⎰==.例2 求解(2)0y y e dx x xy e dy -+=的通解.解 容易看出 (,)y M x y e =，(,)(2)y N x y x xy e =-+以及 y M e y ∂=∂， 4y N xy e x∂=--∂. 由于 2M N y x N x∂∂-∂∂=-， 即此方程存在只与x 有关的积分因子()x μ. 由命题一可知 2()21()dx x x e xμ-⎰==， 再用积分因子21()x x μ=乘原方程两端可得 220y ye e dx ydy dy x x--=， 即 20ye d dy x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 于是，原方程的通解是 2ye y c x+=. 5 几类常见微分方程的积分因子5.1 可分离变量的微分方程设可分离变量方程为()()dy f x y dx ϕ=，其中()f x ，()y ϕ分别是,x y 的连续函数. 现在对上述方程做出变形得到更一般的形式1212()()()()0M x M y dx N x N y dy +=. （5.1.1）现在取211(,)()()x y M y N x μ=，同时乘到（5.1.1）式的两边，得到1212()()0()()M x N y dx dy N x M y +=. （5.1.2） 由于 1212()()0()()M x N y y N x x M y ⎛⎫⎛⎫∂∂== ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭，所以式（5.1.2）为恰当微分方程即全微分方程， 故211(,)()()x y M y N x μ=就是方程（5.1.1）的一个积分因子.5.2 齐次微分方程这里只考虑第一种形式的奇次微分方程.设齐次微分方程 ()dy yf dx x=， （5.2.1） 其中()f u 是u 的连续函数.作变量变换 yu x=，则 y ux =， （5.2.2）两边关于x 求导可得 dy du x u dx dx =+. （5.2.3） 现在将（5.2.1）式和（5.2.2）式代入（5.2.3）式可得到如下可分离变量的微分方程()duxu f u dx+= 或 []()0xdu u f u dx +-=， （5.2.4） 所以由前文对分离变量微分方程的讨论可知，微分方程（5.2.4）的积分因子是[]1(,)()x y x u f u μ=-. 现将[]1(,)()x y x u f u μ=-同时乘到（5.2.4）的两边得到 []110()du dx u f u x +=-， （5.2.5）由于 []110()u x x u f u ⎛⎫∂∂⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪∂∂-⎝⎭⎝⎭，所以（5.2.5）是全微分方程，也即 1(,)()x y y y xf xμ=- 是方程（5.2.1）的积分因子.5.3 线性微分方程设一阶线性微分方程()()dyP x y Q x dx=+， （5.3.1） 其中()P x ，()Q x 是关于x 的连续函数. 对上式进行简单变形可得如下对称形式 []()()0P x y Q x dx dy ++=， 其中 (,)()()M x y P x y Q x =+，(,)1N x y =.又由于 ()M N N P x y x ⎛⎫∂∂-= ⎪∂∂⎝⎭ （这里()P x 只是关于x 的函数），所以由前文的命题一结论可知此一阶线性微分方程有只与x 有关的积分因子()x μ，即 0y μ∂=∂，d x dxμμ∂=∂. （5.3.2）将（5.3.2）式代入（2.2）式，得到 ()M Nd y xdx Nμμ∂∂-∂∂= 即()d P x dx μμ=，对上式两边同时积分可得()()P x dx x e μ⎰=，即一阶线性微分方程（5.3.1）的积分因子是()()P x dx x e μ⎰=.5.4 Bornoulli 微分方程设Bornoulli 微分方程()()n dyP x y Q x y dx=+ (0,1)n ≠， （5.4.1） 其中()P x ，()Q x 为x 的连续函数.现在把（5.4.1）式变形为 ()()0n P x y Q x y dx dy ⎡⎤+-=⎣⎦，其中(,)()()n M x y P x y Q x y =+，(,)1N x y =-，并且 1()()n M P x ny Q x y -∂=+∂，0Nx∂=∂，于是可以得到它的特征方程为11(()())()()n n dx dy dtP x y Q x y P x ny Q x -==--++. （5.4.2） 对（5.4.2）式做一个变形可得1()()()()n n dx ndy ydtnP x y nQ x y P x y ny Q x -==++. （5.4.5） 利用分式的性质可得1(1)()dx ndy ydt n P x y+=-， 即 (1)()n P x ydx ndy ydt -=+， 1(1)()dt n P x dx ny dy -=--， 对上式积分可得首次积分为 (1)()ln t n P x dx n y =--⎰， 再由前文定理可知 (1)()ln ,(,)n P x dx n t x y y e μμ--⎰==.故Bornoulli 微分方程的积分因子是(1)()(,)n P x dx n x y y e μ--⎰=.例3 把方程32()()0x xy x y dx x y dy +++--=化为全微分方程. 解 由题目很容易知道32(,)M x y x xy x y =+++， (,)()N x y x y =--， 以及21M xy y ∂=+∂， 1Nx∂=-∂， 从而可以写出此方程的特征方程为32()()22dx dy dtx y x xy x y xy ==---++++，对上式进行简单变形可得233222(1)xdx ydy dtx xy x y xy xy y xy ==-+++-+，利用分式性质可得2222()(1)(1)xdx ydy dtx y xy xy +=++-+，即 2222()1d x y dtx y +=+-，对上式两边同时积分可得首次积分为 22ln()t x y =-+. 再由定理可知 ln t μ=，故221(,)x y x y μ=+，故所要化简方程的一个积分因子为221(,)x y x y μ=+，于是原方程可以化为一个全微分方程，即3222220x xy x y x ydx dy x y x y+++--=++， 其中 3222222222()x xy x y x y x y xyy x x y x y ⎛⎫⎛⎫∂+++∂---=-= ⎪ ⎪∂∂++⎝⎭⎝⎭. 6 小结通过本文使我们对微分方程的积分因子与偏微分方程有了一个初步的了解，尤其对偏微分方程中的特征方程，首次积分等概念有了一个简单的认识.其次就偏微分方程中的特征方程，首次积分在求解常微分方程组的积分因子中的应用有了进一步的认识，最后应用本文中的理论求出了几类常见的微分方程的积分因子，为今后能更好的研究与积分因子相关的理论提供帮助.参考文献[1] 王高雄，周之铭，朱思铭.常微分方程[M].第三版.北京：高等教育出版社，2006：50-60.[2] 李刚升.浅谈积分因子与偏微分方程[J].商丘科技职业技术学院，2004，（02）.[3] 张奕河，郭文川.关于一阶常微分方程的积分因子的求解问题[J].四川理工学院学报，2009.22（6）：11-13.[4] 徐安农，段复建.全微分方程与积分因子法[J].桂林电子工业学院学报，2002，22（2）：11-12.[5] 李耀红，张海燕.几类微分方程积分因子存在定理[J].巢湖学院学报，2002，8（3）：8-10.[6] 李伟鹏.求首次积分的几种方法[J].陇东学院学报.2007，17（1）22-24.致谢本论文的完成是在何万生老师的悉心指导下进行的，在何老师的指导下，我的各方面能力都有所提高，尤其是何老师渊博的知识，敏锐的学术思维，精益求精的工作态度以及诲人不倦的师者风范是我终生学习的楷模.何老师严谨求实和一丝不苟的治学态度和勤勉的工作态度也将永远鼓励我，至此，谨向何老师致以衷心的感谢和崇高的敬意.同时感谢所有教育过我的专业老师，你们传授的专业知识是我不断成长的源泉，也是我完成论文的基础.在此也感谢我同一组的组员和班里的同学，是你们在我遇到难题时帮我找大量相关资料，解决难题.再次真诚感谢所有帮过我的老师同学，另外，由于自己知识积累、能力有限和经验匮乏，论文中难免有许多考虑不周全的地方，希望各位老师多加指导.最后，我要向百忙之中抽出时间对本文进行审阅，评议和参与本人论文答辩的各位老师表示感谢.。
浅谈计算分形维数的两种方法
如果这两个值相等， 则 称 这 共 同 的 值 为 F 的计盒维数
【 例 2】 设 F 是 三 分 康 托 集 ， 贝 JdimBF = dimBF = = 3 证明： 显然， F 由 3 * < $ ) 的 $ 的 长 度 为 3 *的 区 间 的 覆 盖 ， 2 * ，由 dimBF =
3 S+ 1 ，则 N $ )
)= 0 }= s u p {5 ： * 4 ( F )=
U }& 参考文献： [1](英） 肯尼思•法尔科内， 曾 文 曲 等 译 .分 形 几 何 — 数 学 基 础 及 其 应 用 [ M ].东 北 大 学 出 版 社 ， 2001. - ] 王建军， 魏 宗 信 .粗 糙表面轮廓分形维数的计算方法 [J ] . 工具技术， 20 06 ， + 0 ( ) :73 — 75. ― ]丁 俊 ， 孙 洪 泉 . 分 形 维 数 测 定 方 法 对 比 分 析 —].工程 ( F )= 0 。 建设， 20 10 ， 42(5):10 —13.
$0〇
T — h g N $ ( F ) < v - log 2* = Og 2 i1 : - =g$ lo g3* 1 = = g 3° 另一方面， 如果3 * ")$<3 *,任 何 一 个 长 度 是 $ 的 区 间最多可以与构造F 之 中 的 一 长 度 是 3 *的基本区间相交，
浅谈一元隐函数求导方法
浅谈一元隐函数求导方法摘要：一元隐函数求导方法是微积分中的一项重点内容，它具有重要的应用价值。
在本文中，我们将详细介绍一元隐函数的概念、基本性质、求导方法以及实例应用。
本文不仅适合于初学者，同时也对于拓展和深入研究微积分理论的读者具有参考价值。
关键词：一元隐函数；求导方法；微积分；应用正文：一、概念所谓一元隐函数，是指由一个自变量和一个或多个函数构成的方程，其中一个函数表示成其他所有函数关于自变量的隐函数形式。
其形式可以表示为：F(x,y)=0其中，x 为自变量，y 为一元函数，F(x,y) 为二元函数。
这个等式中的 y 就是一元隐函数，它只取决于 x 的值。
二、基本性质对于一元隐函数，存在三个重要的性质，分别是：1.存在性对于形如 F(x,y)=0 的一元隐函数，如果存在一个点 (x0,y0) 使得 F(x0,y0)=0，且在该点处 y 作为 x 的函数存在，那么该一元隐函数存在。
2.唯一性如果一元隐函数存在，那么它是唯一的。
也就是说，在同一区间内，同一自变量所对应的函数值只有一个。
3.连续性如果 F(x,y) 在点 (x0,y0) 处连续且Fy(x0,y0)≠0，那么 y 作为 x 的函数也在点 x0 处连续。
三、求导方法对于一元隐函数的求导，有两种不同的方法可以使用。
1.牛顿-莱布尼茨公式法该方法是利用牛顿-莱布尼茨公式进行求导。
根据该公式，如果 y 是由一个方程 F(x,y)=0 决定的一元隐函数，那么该函数的导数可以表示为：dy/dx=-Fx/Fy其中，Fx 和 Fy 分别代表 F(x,y) 对 x 和 y 的偏导数。
2.隐函数定理法该方法是利用隐函数定理进行求导。
隐函数定理是指，在一个充分满足条件的函数系统中，方程可以用一个函数表示成另一个函数关于自变量的隐函数形式。
根据该定理，对于方程F(x,y)=0，它的一阶偏导数可以表示为：dy/dx=-Fx/Fy其中，Fx 和 Fy 分别代表 F(x,y) 对 x 和 y 的偏导数。
积分因子的存在条件及求法
3第14卷 第3期 邯郸师专学报 2004年9月 Vol. 14 No.3 Journal of Handan Teachers College Sept. 2004积分因子的存在条件及求法阎淑芳(邢台学院 数学系找积分因子是解一阶常微分方程的一种重要方法积分因子常微分方程中图分类号A 文章编号M(xy)dy=0(1)其求解方法是根据类型确定求解方法所谓全微分方程就是方程(1)的左端恰为某个函数的全微分当此条件不满足时方程(1)就不是全微分方程(x 使方程(1)的两端乘以ｙ）后所得的方程ｙ）Ｍ（ｘ（ｘｙ）ｄｙ＝０（２）为全微分方程(x1 积分因子存在的条件微分方程ｙ）Ｍ（ｘ（ｘｙ）ｄｙ＝０为全微分方程的充要条件是xy x N y x y y x M y x ∂∂=∂∂)],(),([)],(),([µµ既 x y x y x N x y x N y x x y x y x M y y x M y x ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂),(),(),(),(),(),(),(),(µµµµ另记ｙ）＝Ｍ（ｘＮ（ｘ上式整理即为ｙ）为方程(1)的积分因子的充要条件是ｙ）为方程(3)的解1Ò»°ãÇé¿öϱȽÏÀ§ÄÑ收稿日期阎淑芳(1964女邢台学院数学系副教授.4 2004年 邯郸师专学报 第3期 必要性若方程(1)存在只与x有关的积分因子则0=∂∂yµ代入(3)得 )(11xNy M N ∂∂−∂∂=∂∂χµµ (4) 左端只依赖于x 而与y 无关既)()(1x xN y M N Φ=∂∂−∂∂ÂÔ(x[y)]为方程(1)的积分因子的充要条件是分式)],([)/()(y x y M x N x N y M ωωωΦ=∂∂−∂∂∂∂−∂∂且ｙ）＝)],([)()(y x f f e d ωωωω=≡Φ∫(这里)],([y x ωΦ为ｙ）的复合函数)(x(y))为方程(1)的积分因子52004年 阎淑芳即 ωωωµµd yM x N x Ny M d ∂∂−∂∂∂∂−∂∂=视的自变量(xËùÒÔÓұߵķÖʽҲÈç´Ë(x所以)(ωµµΦ=d 可得 )],([)(),()(y x f f ey x d ωωµωω=≡=Φ∫ 充分性证明略时),(y x µ为x+y 的函数),(y x µ时由定理3可以推出定理13 分组求积分因子定理4 设0µ为M(x,y)dx+N(x,y)dy=0之积分因子则对任意单元可微函数)(U Φ证明 依题设(x62004年 邯郸师专学报 第3期½«·½³Ì(1)写成(dy N dx M 11+)+(dy N dx M 22+)=0 (或更多项)已知各括号内已求得积分因子),())(,(1111y x dU dy N dx M y x =+µ ),())(,(2222y x dU dy N dx M y x =+µ由定理4的结论其中21ΦΦ及是任意可微单元函数使成立等式111U Φµ=y x ,µ=ρ(x,y)=)(22U Φµ即为原始方程的积分因子后一组有积分因子21y和通积分x=C ÁíÓÐÌؽâx=0积分因子的存在条件及求法作者：阎淑芳作者单位：邢台学院,数学系,河北,邢台,054001刊名：邯郸师专学报英文刊名：JOURNAL OF HANDAN TEACHERS COLLEGE年，卷(期)：2004，14(3)被引用次数：1次1.期刊论文段志霞.卫艳荣全微分方程与积分因子法-宿州教育学院学报2009,12(1)给出了全微分方程通过积分可以求出它的通解,并提供了采用积分因子法把一阶微分方程转化为全微分方程来求解的一种方法.2.期刊论文徐安农.段复建全微分方程与积分因子法-桂林电子工业学院学报2002,22(2)在常微分方程理论的形成过程中,求解一阶微分方程曾出现过许多方法,如分离变量法、变量替换法、常数变易法以及积分因子法等等.其中尤以积分因子法出现的最晚,而作用也最大.在教学中注意积分因子法在求解一阶微分方程中的重要作用是必要的.3.期刊论文吴绪权.Wu Xuquan积分因子的一种求法-中国水运（理论版）2006,4(9)从非全微分方程通过分离变量法变为全微分方程的过程入手,给出了一种求积分因子的方法.4.期刊论文汤光宋.徐丰几类有关全微分方程问题的求解公式-邵阳学院学报2003,2(2)利用全微分方程的条件,给出一类微分方程的积分因子及通解公式,得出几类全微分方程中未知函数所满足的微分方程,获得未知函数及全微分方程的通解.5.期刊论文温启军.张丽静.WEN Qi-jun.ZHANG Li-jing关于积分因子的讨论-长春大学学报（自然科学版）2006,16(5)采用积分因子方法将一阶微分方程转化为全微分方程是求解微分方程一个重要手段,讨论了积分因子存在的充要条件及确定若干特殊类型积分因子的准则;通过实例来说明准则的应用方法.6.期刊论文刘许成.LIU Xu-cheng变量分离型积分因子存在定理及应用-大学数学2006,22(4)给出了变量分离型积分因子μ(x,y)=p(x)q(y)的定义,得到了微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0存在变量分离型积分因子μ(x,y)=p(x)q(y)的充要条件和计算积分因子的公式.7.期刊论文申小琳.Shen Xiaolin变量分离型积分因子存在性及其应用-延安职业技术学院学报2009,23(3)由变量分离型积分因子u(x,y)=p(x)q(y)的定义,得到了微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0存在变量分离因子u(x,y)=p(x)q(y)的充要条件和计算积分因子的公式,然后应用到一些微分方程的求解中.8.期刊论文张奕河.郭文川.ZHANG Yi-he.GUO Wen-chuan关于一阶常微分方程的积分因子求解问题-四川理工学院学报（自然科学版）2009,22(6)一阶微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0不是全微分方程时,寻找它的积分因子成为求解方程的关键,但又是比较棘手的问题.针对这一情况,本文通过对方程的积分因子存在的充要条件定理的证明,利用定理结论求解积分因子,进而求出其通解,是一种行之有效又直观方便的方法,从而达到化难为易的目的,而且定理结论具有一般性,可以进行推广,使求积分因子时不再盲目,变得有规可循.9.期刊论文郭文秀.GUO Wen-xiu利用积分因子巧解微分方程-武汉职业技术学院学报2002,1(3)求微分方程的通解常用到积分因子,求积分因子无固定法则可循.本文力图通过对全微分方程解法的探索,提出求积分因子的常用方法,以便顺利地求微分方程的通解.10.期刊论文赵凯宏.李晓飞.ZHAO Kai-hong.LI Xiao-fei常微分方程求积分因子的一个定理及其应用-玉溪师范学院学报2004,20(12)将积分因子满足的偏微分方程改写成其特征方程,从而与常微分方程组的首次积分相联系.利用"可积组合法"来求积分因子,从而使所求常微分方程化成全微分方程.1.李刚升浅谈积分因子与偏微分方程[期刊论文]-科技信息(学术版) 2008(2)本文链接：/Periodical_hdszxb200403001.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：54451d1d-2ce5-4c75-b8ef-9dcf011bf3b6下载时间：2010年8月11日。
无理函数积分的一些方法[权威资料]
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最新最全的学术论文期刊文献年终总结年终报告工作总结个人总结述职报告实习报告单位总结【摘要】给出无理函数积分的几种方法，对提高学生解题能力、发展学生思维能力有一定意义.【关键词】无理函数；积分；方法对于无理函数的积分，一般高等数学教材中只介绍了变量替换法和求被积函数中含有简单根式x2〒a2和nax+bcx+d 等情形.但实际遇到的有些无理函数积分问题，利用变量代换计算往往比较复杂，有些甚至还无法计算，虽然利用积分表可以查到结果，但从培养学生思维能力的角度讲并无益处.现把无理函数的积分归纳为以下几种方法，对提高学生解题能力、发展学生思维能力有一定意义.一、凑微分法例1 求 ∫x+3x2+6x+4dx.解∫x+3x2+6x+4dx=12∫d（x2+6x+4）x2+6x+4=x2+6x+4+C.例2 求∫dxx+x2 .∫dxx+x2=∫1x+1xdx=∫1x+1x+11x+x+1dx=2∫1x+x+1d （x+x+1）=2lnx+x+1+C.二、分项积分法例3 求∫x2x2+1dx.解∫x2x2+1dx=∫x2+1-1x2+1dx=∫x2+1dx-∫1x2+1dx=12[xx2+1-ln|x+x2+1|]+C.三、分部积分法例4 求∫x+x2dx.∫x+x2dx=xx+x2-∫（1+2x）x2x+x2dx=xx+x2+12∫xx+x2dx-∫x+x2dx.∫x+x2dx=12xx+x2+14∫xx+x2dx=14x+x2（2x+1）-18lnx+12+x+x2+C.四、换元法例5 求∫31+4xxdx.设t=31+4x，所以 x=（t3-1）4dx=12t2（t3-1）3dt.∫31+4xxdx=12∫（t6-t3）dt=127t7-3t4+C=127（1+4[]x）73-3（1+4[]x）43+C.五、欧拉代换法例6 求∫x31+x2dx.令1+x2=xu-1，则x=2uu2-1 dx=-2u2+2（u2-1）2du.∫x31+x2dx=-16∫u3（u2-1）4du=-8∫u2-1+1（u2-1）4d（u2-1）=4（u2-1）2+83（u2-1）3+C=x4（1+1+x2）2+x63（1+1+x2）3+C.虽然无理函数的积分比较复杂，但通过典型题目的训练，认真分析、总结，是可以达到熟练掌握无理函数积分的教学要求的.从被积函数的特点出发寻找不同的处理方法，从中去探索、发现数学规律，充分调动学生学习的主动性，培养学生的创新能力.在高等数学教学过程中渗透创新能力的培养，这是素质教育的要求，数学创新教育主要是发展学生的思维能力，使他们在数学问题的探索中有新的发现，在数学方法上有所创新，在思维层次上有新的提高.阅读相关文档:技巧在中学数学中的应用 Kuratowski十四集定理若干问题的代数思考一道中考压轴题解题方法的课堂探究从“草船借箭”的典故中看构造法在数学解题中的应用一类非线性SEIR模型平衡点的存在性浅谈数学期望在经济生活中的应用初中数学教学生活化策略探析由江浙两省高考圆锥曲线试题看命题的变化趋势关于“求与已知直线夹角为定值的直线方程的定理”一文的疑惑素数分布——素数硬币的抛掷运动对一道数学高考题的多角度思考课时津贴计算中数学模型的建立与应用论析三角函数典型错解问题高中复习课教学研究*本文若侵犯了您的权益，请留言。
浅谈极限的求解方法毕业论文
共17页第1页浅谈函数极限求解方法学生:陈智年指导老师：赵守江三峡大学理学院摘要:极限是数学分析的基础，数学分析的基本概念的表述,都可以用极限来描述。
如函数在某点处导数的定义，定积分的定义,偏导数的定义，二重积分的定义，三重积分的定义，无穷级数的定义都是用极限来定义的。
极限是研究数学分析的基本工具。
极限是贯穿数学分析的一条主线。
学好极限要从以下两个方面着手：1)是考察所给函数是否存在极限;2）若函数存在极限,则考虑如何计算此极限。
本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下,如何去求极限进行综述。
对于简单的极限的计算，利用定义求值或利用极限的四则运算法则求值都是可行的，但是对于一个比较复杂的极限的计算，例如的值时则不能直接采用一般的定义或者定理，即使采用洛必达法则也是比较繁琐的，然而用泰勒展示则计算简单多了,这就说明为一般地解决极限求值问题时,就必须利用有效有针对性的计算方法，对各个具体问题还要善于发现和利用其特点以简化手续．传统的极限的计算方法不下十几种，但具体到计算不同特征的极限时,究竟采用哪种方法，很多人总感到无从下手．只有将这些方法进行归纳总结,从而才可以针对不同特征的式子选择适当的计算方法,进而简化计算Abstract：Limit is the basis of mathematical analysis ，the basic concepts of mathematical analysis of expression ，can be used to describe the limit as a function definition derivative at some point ，the definition of the definite integral , the definition of partial derivative , the definition of double integrals ，triple integral definition , infinite series of definitions are used to define the limits of the limit is the basic tool to study the limits of mathematical analysis is a main theme throughout the mathematical analysis to learn the limits from the following two aspects is to investigate the function if there is a limit .If there is a limit function , then consider how to calculate this limit this article is the second question that under the conditions of the existence of the limit , how to find the limits are reviewed for a simple calculation of the limit of the use . define the limits of the evaluation or the use of four evaluation algorithms are feasible，but for a more complicated limit calculations，such asFind in coslimx when exxx values are not directly using the general definition or theorem, even with the Hospital's Rule is more complicated , however，Taylor shows the calculation is much simpler ，which is generally described when the limit is evaluated to solve the problem , we must use effective targeted method of calculation for each specific issues but also good at finding and using its features to simplify procedures. The traditional method of calculating the limit of no less than a dozen，but when calculating the limits specific to different characteristics ，whether using either method, a lot of people always feel unable to start . These methods will only be summarized, so that we can choose the appropriate method of calculation formulas for different characteristics ，and thus simplify the calculation 关键词：极限；极限的定义；极限的性质；罗必达法则；泰勒公式;单调有限法则；积分中值定理；拉格朗日中值定理共17页第2页Keywords :Limit；ultimate limits of nature；Luo's Rule; Taylor formula；monotonous limited law；integral mean value theorem; Lagrange mean value theorem与一切科学方法一样，极限法也是社会实践的产物。
浅谈微积分方法在组合恒等式证明中的应用
特征归纳：对于恒等式具有左端可以归结为∑（k+t1）t2Cnk 的形 k=0
式（其中 t1，t2 取自然数），证明的方法均可以采用导数法。 例如：证明组合恒等式Cn0+22Cn1+32Cn2+…+（n+1）2Cnn=（n2+5n+4）2n-2
n
时，观察可以发现，等式左端可以写成∑（k+1）2Cnk ，证明过程大家 k=0
12
n
特征归纳：当恒等式的左侧都可以归结为和式幂函数在某区间
上的定积分形式时，用积分法来证明就十分简单有趣，其证明过程
也是以二项式定理为母体，然后针对两端逐项求幂函数在不同区
间上的定积分，即可获得结果。
3.微积分综合法
如果将上述两类组合数恒等式的证明作为基本类型，那么有
些组合数恒等式的证明问题也可通过适当的恒等式变形后再归结
式是很巧妙的。
组合恒等式在组合数学中占有重要地位。证明组合数恒等式
的方法很多，在众多的方法中，运用微积分方法证明组合恒等式的
再将两边取［0，t］的定积分
研究是很有价值的，哪类恒等式证明适合用微分法（导数法），哪些
f（2 x）=f0′f（1 x）dx=∑k=n0（k+1）1（k+2）Cnk tk+2
等式证明适合用积分法证明，虽没有固定的规律可循，但在探寻微 分法和积分法证明的规律特点的过程中，使得数学知识中零散
k=1
k=0
k=1
但是，对它们的证明却没有确定或统一的证明方法，通过观
察，我们不难发现上述组合恒等式是存在一些共同特点的，事实
n
上，上述几个等式的左侧都可归纳为∑（k+t1）t2Cnk 的形式，其中 t1、t2 k=0
浅谈微积分法在异形体工程量计算中的应用
Ｊ （０一 ＋．一 ）８３ ［＿ 十－一 ×． × １２ －一 ２２ ７ ．× ４
公式， 但这两种方法均很难保证计算结果的精度。
首先 ， 平均 面积法缺 乏严 格 的数学 依据 ， 一般 只应用 在要 求
计算结果精 度不高 的情况 ， 基土石方工程 量计算 中； 如路 其次 ， 土 木工程施工现场所遇到 的异形 体一般不 能满足棱 台 的条件 ， 台 棱
是在棱锥 的基础上用平行 于棱 锥底面 的平面切 割棱 锥而得 到 ， 即
浅 谈 微 积 分 法 在 异形 体 工 程 量 计 算 中的 应 用
武 振 锋
摘 要： 通过具体 工程实例 ， 对微 积分法在异 形体 工程量计 算 中需注意 的几个 问题 ， 即坐标 系的建 立 以及积分 方程 的确 定进行 了论述 ， 出微积分 法应与计算机程序相 结合 ， 提 以达到事半功倍 的 目的。 关键词 ： 微积分 ， 土木工程 ， 工程量计算 中图分类 号 ： Ｕ ２ Ｔ ７２ 文献标识码 ： Ａ
Ａ部分在 坐标系 中的高度变化 范围为 ０ｍ－０ ４ｍ， － ． 故积分区 域 的下 限为 ０ 上限为 ０ ４ｍ。Ａ部分工程量 为 ： ， ．
＝
ｓ × 一 ） ｌ￣ ．一 ） ＝ （ 麦 ｉ （６ 笼 。 ＋７ ２７
桥墩在坐标系 中的高度变化范 围为 ０ｍ～１ ． 故 积分 区 ２０ｍ，
棱 台各边 的延长线必 交于一点 ， 工现场 异形体 的各 边延 长线 而施 往往交 于一条线 ， 所以采用棱台体积公式 也同样存在弊端 。
０ ８ ６
ｋ 一 —
为了精确计算土木施工现场的异形体工程量 ， 文中将通过工