波利亚的解题四步骤在数学解题中的实际运用

文章 编 号 ： １ ０ ０ ８— ０ ３ ３ ３ （ ２ ０ １ ６ ） ３ １ ～ ０ ０ ４ ３—０ １
怎样进一 步提 高学 生 的数学解 题 能力 ， 一直 是教 师 教学过程 中不 断反思 的 问题． 波利 亚 的《 怎 样解题 》 中提 到的解题四步骤 ， 正是我们教学过程中应不断坚持的理念 那么怎样具体操作波利亚的解题四步骤 ， 来提升学生的解题 能力呢？这其中要注意一些什么呢？现以 ２ ０ １ ６年江苏高考 卷的一道向量填空题的解说为例来具体说明一下． ２ ０ １ ６年江苏卷 １ ３题 ： 在 △Ａ Ｂ Ｃ中， Ｄ是 Ｂ Ｃ的 中点 ， Ｅ ， Ｆ是 Ａ Ｄ上的两个 三等分 点 ， Ｂ Ａ・ Ｃ Ａ＝ ４， Ｂ Ｆ・ ｃ Ｆ＝ 一 １ ， ￣ Ｊ Ｉ Ｂ Ｅ・ ｃ Ｅ 的值是
思考２ ： 数量积有哪些知识 点可用 ？ 发现２ ： 有数 量积公 式 ａ・ ｂ＝ｌ ａ『 Ｉ ｂ ｌ ｃ ｏ ｓ ０ ， ① 和数量积 的坐标运算 ａ・ ｂ＝ 。 ＋ ） ， ， ② 能得 到发现 ２的前提是 学生知道平 面向量数量积 的 这些公式 步骤 ２ 拟定 方 案——关 于 已知量 与未 知量之 间联 系的思考 思考 ３ ①② 两个公 式对 于所 求是否 可用 ？是 否有 帮助？ 发现 ３ ： 公式①这里不知道对应 向量的长度 ， 它们的夹角 也不知道 ， 未知的较多 ， 不适用． 公式②坐标运算 ， 如果要用 ， 就要把三角形放入直角坐标系中来进行坐标运算．
２ ０ １ ６ 年 １ １ 月 第 ３ １ 期
数 理化 解 题 研 究
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波利 亚 的解题 四 步骤 在数 学解题 中 的 实 际运 用
江 苏省无锡 湖 滨 中学 （ ２ １ ４ ０ ０ ０ ） 钱
中 图分 类 号 ： Ｇ ６ ３ ２ 文献标识码 ： Ｂ
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能有 以上这些 发现的前提是 学生有过 建立直 角坐标 系做题 的经验 ， 有 希望尽 量 用 比较 少 的未知 数来 设未 知 量的理 念． 步 骤 ３ 执行 方案—— 注意运 算 过程 中每一 步 的正 确率 我们来看一下这道题 的坐标运算 中又需要 哪些知识
点 呢？ 设 Ｄ（ Ｏ ， ０ ） ， Ｂ（一ｍ， ０） ， Ｃ（ ｍ， ０ ） ， Ａ（ ０ ， ３ ｎ ） ， Ｅ（ ０ ， ２ ｎ ） ， Ｆ（ ０， ｎ ） ． 由此 ： Ｂ Ａ＝（ ， ３ ｎ ） ， ＝（ ＿ ｍ， ３ ｎ ） ， Ｆ＝（ ｍ， ｎ ） ， Ｃ Ｆ＝（ 一ｍ， ｎ ） ， Ｂ Ｅ＝（ ｍ， ２ ｎ ） ， Ｃ Ｅ＝（一 ｍ， ２ ｎ ） ．
思考 ７ ： 已 ． 知 向量是什么？与所求向量有何关系７ ．
发现７ ： 蔚， ， 赢， ， 赢， 均可转化为赢 ，
之 间的表达式 ， 如此六 个 向量都 集 中在 了这两个 中间 向 量 中了．
Ｂ Ａ ・ ＝ 一 杠 ＋ ２ ＝ ４⑤ ，
— — — — — —４来自— — — 根 据解题 的四步 骤 ， 引导学生进行下列思考． 步 骤 １ 理解题 目——关 于题 意的思考 思考 １ 看到题 目先明确已知是什 么 ， 求 的是什 么． 发现 １ ： 已知和所求 都是向量的数 量积．
由已知可得： 赢 ． ＝一 ｍ ２ ＋ ９ ： ４ ③。 ＝一 ｍ ＋ １ ７ ， ＝一１ ④．
能得到发 现 ３的前提是学 生知道可用代 数坐标运算 的方法研究 向量． 因此能正确理 解该 题 ， 找 到解 题 思路 的前 提是 学 生 已具备 了平面 向量对应的知识点． 由此我们可以知道数学基本 知识点 和基本数 学思想 方法的积累是 正确 理解题 目拟定解 题方 案 的前提． 要理 解题 目， 知道题 目中的 已知量 与未知量 之间 的联 系 ， 首先 要看懂题 目， 知道题 目中的知识点 以及知识点之间的联 系 如果学生连题 目都看不懂 ， 那一切思考都无从下手． 在解这道题 的过程 中我们继续往下思考． 思考 ４： 怎样建立直角坐标系 比较好呢？ 发现 ４： Ｄ是 Ｂ Ｃ中点 ， 如果 以 Ｂ Ｃ为 轴 ， Ｄ为坐标原 点０ ， 建立坐标系 比较好 ， 这样 点 ｃ点只要设 出一个横 坐标即可． 又发现 Ａ Ｄ是斜 的 ， 不在 Ｙ轴上 ， 如果要设 点坐 标的话 ， Ａ点的 ， Ｙ都要设 出来 ， 未知数 比较 多 思考 ５ ： 能否微调 ， 使设点坐标中的未知数尽量少一点？ 发现 ５ ： 如果 Ａ Ｄ垂直 于 Ｂ Ｃ， 这 样 Ａ点 只要设一 个纵 坐标 了． 仔 细看 题 ， 发 现题 目并没 有对 ＡＡ Ｂ Ｃ有 所 限制 ，
．
能得 到发现 １的前 提是学生知道 向量数量积 的符 号
形 式．
由 ③ ④可得ｍ ＝ 和ｎ ＝ ÷ 再算出所求．
这几步运 算正确 的前 提是 学 生数 量积 的坐 标运 算 ， 二元一 次方程组 的解 的运算 的正确． 因此 ， 在执行 方案 的过 程 中 ， 数 学基本 知 识点 ， 数 学 基本运算公式 ， 同样是学生正确解题 的保障． 步骤 ４ 回顾 ， 反思——对题 目的进 一步深 入思 考 ， 帮助学生加深题 目的理解和掌握 思考 ６ 除了用 坐标运算 ， 还有其他方法吗？ 发现 ６ ： 向量 中常用方 法还有 一种 ， 利用 平面 向量基 本定理 和三角 形运 算法 则 ， 把所 求 的 向量 转化 为 已知 向 量之后再来运算． 能得 到发现 ６的前提是 学生知道 向量是数形 结合 的 有效载体 ， 既可 以用从代数 的角度用 坐标法研究 向量 ， 也 可 以由几何角度来研究