波利亚的解题理论

如何解题
1. 积累认识的资源
2. 掌握转化的方法
3. 及时调控的能力 4. 良好信念系统的支持
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波利亚的怎样解题表 解题过程分为以下四个阶段:
1. 弄清问题 2. 拟订计划 3. 实现计划 4. 回顾
波利亚的怎样解题表
1 弄清问题
（1）未知数是什么?已知数据是什么？条件是什么? 满足条件是否可能?要确定未知数,条件是否充分?或 者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的? （2）画张图,并引入适当的符号.
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我国数学解题研究的代表人物和代表作
罗增儒 戴再平 朱华伟 单墫
• 数学习题理论 [M].上海：上 • 解题研究[M]. 海教育出版社， 南京：南京师 • 数学解题学引论 范大学出版社， 1991.3； [M] 西安. 陕西 1996.10. 2002.6
• 中学数学解题的 理论与实践[M]. 南宁：广西教育 出版社，2008 年.9；前言
• 数学解题策略 • 北京：科学出 版社,2009.8.
师范大学出版社， 1997.6
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波利亚《怎样解题表》简介
波利亚的数学教育思想概述
波利亚(George Polya)数学教育思想的核心问题:数 学教育的目的是什么？ 1.波利亚主张数学教学的目的应当是提高学生的一般素 养:首先和主要的目标应当是教会青年思考.
（3）把条件的各部分分开,并把它们写下来.
2. 拟订计划

考虑以前是否见过它? 是否见过相同的问题而形式稍有不同? 你 是否知道一个可能用得上的定理? 考虑具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题. 能否利用它的结果或方法?为了利用它,是否引入某些辅助元素? 能否用不同的方法重新叙述它?
2.教什么样的思考?数学是什么?数学有什么特点?对数
学及其意义的认识的教学观起着决定性的作用.
问题解决
波利亚充分肯定解题的一般教育价值,把教会学生

解题看做是教会学生思考,培养他们独立探索的一
条有效途径.
数学学习的原则

主动学习原则 最佳动机原则 阶段序进原则
对教师的要求
1. 要对所讲的课题有兴趣; 2. 要懂得所讲的课题; 3. 要懂得学习的途径—发现; 4. 要观察学生的脸色,弄清他们的期望和困难, 置身于他们之中; 5. 不仅要传授知识,而且要教给学生才智,思维的方式和工作习惯; 6. 要让他们学习猜测; 7. 要让他们学习证明; 8. 要找出手边题目中那些对后来题目有用的特征; 9. 不要立即吐露你的全部秘密—让学生在你说出来之前先去猜,尽量让 他们自己找出来; 10. 要建议,不要强迫别人去接受.


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波利亚解题过程的四个阶段:
1. 弄清问题——认识、并对问题进行表征的过程 ，是成
功解决问题的一个必要前提

2. 拟订计划——是探索解题思路的发现过程，是关键环节
和核心内容。

3. 实现计划——是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑
配置，“我们所需要的只是耐心”

4. 回顾——是最容易被忽视的阶段，波利亚对其作。为解 题的必要环节而固定下来，是一个有远见的做法 .
你能否用别的方法导出结果?
能不能一下子看出它来?
能不能把这结果或方法用于其他问题?

例
在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分
别是a、b、c且c=10，cosA/cosB=b/c=4/3，点P 为△ABC内切圆上的一个动点．求点P到顶点 A、B、C的距离的平方和的最小值和最大值．
y B
P
O
C
A
x
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解题过程： 第1弄清问题 条件(已知)： (1) c=10； (2) cosA/cosB=b/a=4/3 ； (3)点P为△ABC内切圆上的动点． 问题(未知)： 求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的 最小值和最大值．
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第2拟订计划
回忆原来有没有见过同类问题(没有)，但见 过相关的问题：
(1)已知三角形的某些边角关系，判断三角形 的形状、解三角形等(知三求一，已知的三个 边角元素中至少有一个是边)，题目基本符 合． (2)如果三角形可以确定，那么此题就是求这 个三角形的某个特征曲线上的动点到三个顶 点的距离的平方和的最值问题．
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第4 回顾
（1）在方法上，本题是使用“解析法”解决 三角问题的一个成功案例. （2）在数学思想上，本题是数形结合数学思 想的一个成功应用. （3）在基础知识的使用上，本题主要用到了 “余弦定理”、“勾股定理”、“参数方程” 和“三角函数的性质”等.


回到定义去. 如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的问题.
是否利用了所有的已知数据?是否利用了所有条件？是否考虑了包 含在问题中的所有必要的概念?
3. 实现计划

实现你的求解计划,检验每一步骤.

你能否清楚地看出这一步骤是正确的?
你能否证明这一步骤是正确的?
4. 回顾
能否检验这个论证?
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值得注意的四个方面
(1)只要学生按照这个过程去寻找解法，久而久之，不仅可 以提高解题能力，而且还可以养成规范的思维习惯．并不 是所有的题目都要像表中那样“面面俱到”． (2) 解题教学中，在教给学生学习方法和解题方法的同时， 应重视拓宽学生的认知面，经历探索，温故知新，体会数 学的应用价值，形成创新技能． (3) 解题教学时，要关注数学的文化价值，促进学生科学观 的形成． (4)正确理解解题的内涵，谨防将解题异化为“题海战 术”．



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波利亚的解题理论
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数学解题教学
没有一道题可以解决得十全十美，总存在值得我们探 究的地方。 ——[美]G. 波利亚
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中国特色的数学解题研究 搞好数学解题教学，需要掌握一定的解题理论，进行 解题研究，掌握一定的解题技能，了解解题研究的最 新进展。 我国的数学解题研究，主要是从学习、研究波利亚的 解题思想开始的 20世纪80年代初，波利亚的系列名著《怎样解题》、 《数学的发现（一、二）》、《数学与猜想》翻译并 引进国内。 他的“怎样解题表”和名言“掌握数学就意味着善于 解题”、“中学数学教学首要任务就是加强解题训练” 等迅速风靡全国；