波利亚的解题理论
波利亚的解题理论_2022年学习资料
解题过程：-·第1弄清问题-·条件（已知）：-■1c-10:-2CosA/cosB-b/a=4/3-·③点 为△ABC内切圆上的动点、-口问题（未知）：-·求点P到项点A、B、C的距离的平方和的-最小值和最大值。6
第2拟订计划-回忆原来有没有见过同类问题（没有），但见-过相关的问题：-o-1已知三角形的某些边角关系，判 三角形-的形状、解三角形等（知三求一，已知的三个-边角元素中至少有一个是边，题目基本符-合-·②如果三角形 以确定，那么此题就是求这-个三角形的某个特征曲线上的动点到三个顶-点的距离的平方和的最值问题。-17
如何解题-1.积累认识的资源-2.掌握转化的方法-3。及时调控的能力-4.良好信念系统的支持
波利亚的怎样解题表-解题过程分为以下四个阶段：-1.弄清问题-2.拟订计划-3.实现计划-4.回顾
波利亚的怎样解题表-1弄清问题-1未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？-满足条件是否可能？要确定未知 ，条件是否充分？或-者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？-2画张图，并引入适当的符号.-3把条件的 部分分开，并把它们写下来。
波利亚《怎样解题表》简介-波利亚的数学教育思想概述-波利亚George Polya数学教育思想的核心问题数 学教育的目的是什么？-1波利亚主张数学教学的目的应当是提高学生的一般素-养：首先和主要的目标应当是教会青年 考、-2教什么样的思考？数学是什么？数学有什么特点？对数-学及其意义的认识的教学观起着决定性的作用。
我国数学解题研究的代表人物和代表作-罗增儒-戴再平-单蹲-朱华伟-·中学数学解题的-理论与实践M.-数学习 理论-南宁：广西教育-[M上海：上-出版社，2008-解题研究M.-海教育出版社，-年9：前言-南京：南京 -•数学解题策略-范大学出版社，-1991.3:-·数学解题学引论-2002.6-1996.10.-[M西 .陕西-•北京：科学出-师范大学出版社，-版社，2009.8.-1997.6-4
波利亚的数学解题理论及其在初中数与代数应用题教学中的应用
所谓数学建模就是在阅读材料、理解题意 的基础上，把实际问题抽象成数学问题，并 对获取的信息进行分析加工、去粗取精、抽 象概括，利用数学知识建立相应的数学模型 。从实际问题到纯数学问题，既有对新信息 的分析加工，又有对记忆中的原有信息的提 取再加工，是一个复杂艰难的过程。建构数 学模型，是解应用题的关键。
列方程(组)解应用题的一般步骤： 审题 ； (1)_______ 设元 ； (2)_______ 等量关系 (3)找出包含未知数的___________； 列出方程(组) ； (4)_______________ 求出方程(组)的解 ； (5)___________________ 检验并作答 ． (6)_____________
在列方程（组）解应用题时，一般采用直 接设元法，但有时也使用间接设元。不论采用 什么方法设元，要首先寻找题目中的数量关系 ，然后再寻找等量关系，根据数量关系和等量 关系列出的方程，一般情况下，列出的方程的 个数要与未知数的个数相同。 根据题意列出的方程（组）可能是各种各样 的，这些方程（组）和我们学解方程（组）时 解过的方程（组）不一样，因此，我们要利用 学过的知识来判断是什么方程（组），然后， 根据不同类型方程（组）的解法去解方程（组 ）。
初中数学应用题类型分类
方程应用题
一次函数应用题
统计应用题 其他应用题
不等式应用题
二次函数应用题
解直角三角形应用题
一、方程应用题芈月传中的数学题
• 例1：为了有效地控制沙尘暴等恶劣天气对人 类生存环境的破坏，我国北方某地决定加快植 树造林的速度，计划用两年的时间将防风林面 积从现在的20,000公顷扩大到2.4万公顷。求平 均每年增长的百分率。 • 例2：某种商品因换季准备打折出售。如果按 定价的七五折出售将赔25元，而按定价的九折 出售将赚20元，问这种商品的定价是多少。 方程应用题的解题步骤可用六个字概括，即 审(审题)，设(设未知数)，列(列方程)，解(解 方程)，检(检验)，答。 考试内容多结合当前一些热点话题，如储蓄 问题，人均收入问题，环保问题，商品打折问 题等。
波利亚的解题理论
23
第三步
实现计划
解析：设原来的进价为 x ，售价为 y ，则由题 意可知现在的进价为 x1 10% ，由等量关系 列出方程
y x(1 10%) y x (1 25%) x(1 10%) x
13
1. 弄清问题
“弄清问题”阶段，重述问题，教会学生形成 正确的审题方法 ① 首先，了解已知是什么?未知是什么?条件 是什么?要确定未知数,条件是否充分? 是否 不充分?
② 其次，形成正确的审题方法。
③ 最后，注意引导学生挖掘已知条件与所求之 间的关系，特别是挖掘题中的隐含条件。
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例如：计算 C
y ( x 0) 2 (0 2) 2 [ x (1)] 2 (0 3) 2
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3. 实现计划
“实现计划”阶段，加强基础教学，善用 一题多变加深和提高解题能力 ① 实现你的求解计划,检验每一步骤. ② 你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你 能否证明这一步骤是正确的?
波利亚的数学教育理论
1
回顾一下，我们学过的教育理论有哪些？ 弗赖登塔尔数学教育理论 建构主义理论 数学教学理论
2
一、波利亚简介
二、波利亚数学教育理论 三、波利亚《怎样解题》
四《怎样解题》在中学数学中的应用
3
一、波利亚简介
波 利 亚 （ 1887-1985 ） ， 美 籍匈牙利数学家。生于布达佩 斯，卒于美国。青年时期曾在布 达佩斯、维也纳、巴黎等地攻读 数学、物理和哲学，获博士学 位。1914年在瑞士苏黎世工业大 学任教 ， 1938 年任数理学院院 长。1940年移居美国，历任布朗 大学、斯坦福大学教授。1963年 获美国数学会功勋奖。
波利亚解题理论
四部曲
改善学生数学解题中的元认知的教学策略
问题与思考
• 设计一个解决某类问题的解题表． • 根据你的解题经历，选一个典型例子，详细介绍
解题的具体过程． • 实践解题表，求解下题：如果3个有相同半径的
圆过一点，则通过它们的另外3个交点的圆具有 相同的半径． • 对解题表，谈谈你想说的任何看法，写一篇不少 于1000字的小论文． • 基于波利亚的解题理论谈数学解题教学
程看得见，摸得着。
弄
拟
执
检
清
定
行
验
题
计
计
回
意ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
划
划
顾
变换,推广,类 比,作出新的 数学发现.
概括方法论 因素,建立数 学模型.
波利亚的教育思想
数学教学的目的应当是提高学生的一般素养：首 先和主要的目标应当是教会青年思考。
教什么样的思考?数学是什么?数学有什么特点? 对数学及其意义的认识决定性的作用。
波利亚及其解题理论
回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，
波利亚致力于解题的研究，专门研究了解题的思维过程，并把
研究所得写成《怎样解题》一书。
核心是《怎样解题》表，他把寻找并发现解法的思维过程分解
为五条建议和23个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发
现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过
波利亚解题理论在高三圆锥曲线复习课中的教学案例研究
波利亚解题理论在高三圆锥曲线复习课中的教学案例研究《波利亚解题理论在高三圆锥曲线复习课中的教学案例研究》是本次研究的主题，波利亚解题理论是由意大利数学家阿隆索波利亚所提出的一种解决复杂数学问题的方法，他首先使用此理论解决三角函数问题，本次研究主要是研究该理论在高三圆锥曲线复习课中的应用。
一、波利亚解题理论的背景阿隆索波利亚（Arono B. Poli）是20世纪意大利数学家，他提出了一套叫做“波利亚解题理论”的数学方法，该方法又被称为“波利亚公式”。
这套理论的核心思想是“把一个复杂的问题分解成几个小问题，并且用具体的步骤来解决”。
这套理论的本质是动态解题法，即从反方向出发，先求解具体步骤，最后归纳出总体解法。
波利亚先生认为，数学学习只有通过实践来实现才能真正理解，而不是去学习繁杂的知识点。
二、波利亚解题理论在高三圆锥曲线复习课中的应用圆锥曲线是数学中一个重要的课题，学习这一类型的曲线，要求学生能够熟练掌握解方程的方法和计算圆锥曲线的坐标位置，但很多学生对此感到无从下手，屡屡重复犯同样的错误。
为此，本课程采用了“波利亚解题理论”的教学方法来解决一些典型的圆锥曲线问题，以帮助学生熟练掌握圆锥曲线的解方程法。
（1）课前准备本次课程内容包括从角度、离心率以及圆锥曲线的解方程等等，可以根据学生的不同学习水平来灵活调整每节课的内容，以帮助学生达到更好的学习效果。
（2）上课在上课过程中，教师可以先以一些圆锥曲线的简单例题来熟悉学生对波利亚解题理论的掌握情况。
然后，教师可以采用加深训练的方法，逐步增加难度，让学生用波利亚解题理论来解决更复杂的问题。
在教授方法时，教师可以详细讲解步骤，用不同的例子来让学生从多角度理解，并且与学生交流，加深学生对高三圆锥曲线的理解。
（3）总结在教学活动结束时，教师可以再次总结本节课的内容，提出一些细节问题，让学生对学过的知识有更深入的理解。
如果发现有学生对解题方法还存在困惑，教师应及时给予帮助，为学生解答问题，以提高学生自我学习能力。
(完整版)波利亚的解题理论
波利亚的解题理论（讲稿）同学们好!今天我们大家一起来学习波利亚的解题理论。
首先，让我们了解一下波利亚的生平.乔治·波利亚（George Polya,1887-1985）美籍匈牙利数学家，生于匈牙利,青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、数学、物理和哲学,1912年获数学博士学位。
他是法国科学院、美国全国科学院和匈牙利科学院的院士，是20世纪举世公认的数学家和数学教育家,也是享有国际盛誉的数学方法论大师,为数学方法论的现代研究,特别是为数学解题教学研究奠定了必要的理论基础。
他的成就主要包括解题理论、数学教学理论和教师教育理论,发表200多篇论文和许多专著，主要著作包括:《怎样解题》（1944)、《数学的发现》（1954）、《数学与猜想》（1961)等。
其中《怎样解题》与《数学的发现》集中论述了怎样解题的问题,而《数学与猜想》则对合情推理进行了生动地、富有创造性地论述。
在数学方面,对实变函数、复变函数和概率论等若干分支领域作出了开创性的贡献,留下了以他的名字命名的术语和定理。
在数学解题研究领域,波利亚是一面旗帜，也是一代宗师。
这里主要介绍他的解题理论。
学习波利亚的解题理论，首先需要了解对“解题”过程的界定。
波利亚认为，解题是智力的特殊成就，题目是数学的心脏，数学教学的本质在于教会学生解题，解题思想“应当诞生在学生心里，教师仅仅像助产士那样行事"（苏格拉底语),由此,数学教师的首要任务是发展学生解决问题的能力.为了帮助学生，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究可解题的思维过程，用朴素而现代化的形式来阐明探索法（既有助于发现的探索方法），并集几十年教学与科研之大成写成《怎样解题》一书,与1948年出版，风靡世界.其中“怎样解题"表仔细分析了求解各种数学问题时的思维过程，成为经典之作。
概括的说来，“怎样解题”表是波利亚的解题理论的核心内容。
波利亚的《怎样解题》[word版]
![波利亚的《怎样解题》[word版]](https://img.taocdn.com/s3/m/b81648d6162ded630b1c59eef8c75fbfc67d945e.png)
波利亚的《怎样解题》[word版]乔治·波利亚是20世纪举世公认的数学家，著名的数学教育家，享有国际盛誉的数学方法论大师．波利亚在数学教育领域最突出的贡献是开辟了数学启发法研究的新领域，为数学方法论研究的现代复兴奠定了必要的理论基础。
波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。
这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题表》。
波利亚的四步解题法：
1.彻底理解问题
2.形成解决思路
3.执行
4.总结
1、彻底理解问题：为了确保真正理解问题，你最好把问题用自已的话换成各种形式反复重新表达，但另忘了指出问题的主干：要求解的是什么？已知什么？要满足哪些条件？但凡能画图，一定要画出来。
2、形成解题思路：要专注，用过往经验，已撑握的知识，并调整适用性来形成思路。
如果不行，就改变这个问题的各个组件：已知、未知、条件，先构造简单一点的，引入辅助，条件是否用足，甚至改变求解的未知数，看能否找到解题线索？直到找到与之相似而你又解决过的问题。
3、执行：一要有耐心，二需要及时的检查每一步，可
凭直觉或证明（两个都有用，但是两回事），要问自已每一步都检查了吗？能看出来这一步是对的吗？能证明这一步是对的吗？
4、总结：巩固与提升的关键，多想想，再论证，尝试另外的解法，找更明快简捷的方法，还要问，这次的解法还能用在什么地方？总结是最好的启法时刻。
波利亚的数学解题理论及其在初中数与代数应用题教学中的应用
4、“解”就是解方程，求出未 知数的值． 5、“验”就是验解，即检验方程 的解能否保证实际问题有意义． 6、“答”就是写出答案(包括单 位名称)
数学教学就是数学语言的教学。 数学语言具有简洁、无歧义的特点， 但同时内涵丰富，具有一定的抽象性 。尤其是符号语言和图表语言要在阅 读中进行语意转换，给阅读带来了一 定的困难，因而指导学生进行科学有 效的阅读能起到事半功倍的效果。
学科的 学生的 知 识
教学设计
知 识
教学的 知 识
教学实施
PCK古已有之
波利亚及其解题理论介绍
一、波利亚数学教育思想简介
• 乔治· 波利亚(GeorgePolya,1887- 1985)，是美籍匈牙 利数学家、数学教育家。在数学教育方面他有3部 世界名著:《怎样解题》、《数学与猜想》、 《数学的发现———对解题的理解、研究和讲授》。 这3本书在我国有5个译本,其中《怎样解题》发行量 已过百万册。著名数学家瓦尔登曾高度评价这本书 :“每个大学生、每个学者,特别是每个教师都应该 读这本引人入胜的书”。
所谓数学建模就是在阅读材料、理解题意 的基础上，把实际问题抽象成数学问题，并 对获取的信息进行分析加工、去粗取精、抽 象概括，利用数学知识建立相应的数学模型 。从实际问题到纯数学问题，既有对新信息 的分析加工，又有对记忆中的原有信息的提 取再加工，是一个复杂艰难的过程。建构数 学模型，是解应用题的关键。
开发生活中的应用题课程资源，发展学 生解决应用题的能力
在数学教学中，应用题教学始终是困扰学生和 教师的一个难点，学生害怕应用题，认为应用题 枯燥无味，老师害怕应用题，是因为应用题情景 平淡空洞，缺少情景载体，不能激发学生学习兴 趣。究其根源，教材中编写的应用题由于带有普 遍性、公共性，所以对人就是“甲、乙两人”， 对地点就是“A, B 两地”等，这样的应用题，缺 乏具体的、贴近学生生活的情感体验，没有学生 感兴趣的情景载体，仅仅是为了学会解决一类应 用题的方法。
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你能否用别的方法导出结果?
能不能一下子看出它来?
能不能把这结果或方法用于其他问题?
例
在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分
别是a、b、c且c=10，cosA/cosB=b/c=4/3，点P 为△ABC内切圆上的一个动点．求点P到顶点 A、B、C的距离的平方和的最小值和最大值．
y B
P
O
C
A
x
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（3）把条件的各部分分开,并把它们写下来.
2. 拟订计划
考虑以前是否见过它? 是否见过相同的问题而形式稍有不同? 你 是否知道一个可能用得上的定理? 考虑具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题. 能否利用它的结果或方法?为了利用它,是否引入某些辅助元素? 能否用不同的方法重新叙述它?
(1)已知三角形的某些边角关系，判断三角形 的形状、解三角形等(知三求一，已知的三个 边角元素中至少有一个是边)，题目基本符 合． (2)如果三角形可以确定，那么此题就是求这 个三角形的某个特征曲线上的动点到三个顶 点的距离的平方和的最值问题．
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第4 回顾
（1）在方法上，本题是使用“解析法”解决 三角问题的一个成功案例. （2）在数学思想上，本题是数形结合数学思 想的一个成功应用. （3）在基础知识的使用上，本题主要用到了 “余弦定理”、“勾股定理”、“参数方程” 和“三角函数的性质”等.
2.教什么样的思考?数学是什么?数学有什么特点?对数
学及其意义的认识的教学观起着决定性的作用.
问题解决
波利亚充分肯定解题的一般教育价值,把教会学生
解题看做是教会学生思考,培养他们独立探索的一
条有效途径.
数学学习的原则
主动学习原则 最佳动机原则 阶段序进原则
对教师的要求
1. 要对所讲的课题有兴趣; 2. 要懂得所讲的课题; 3. 要懂得学习的途径—发现; 4. 要观察学生的脸色,弄清他们的期望和困难, 置身于他们之中; 5. 不仅要传授知识,而且要教给学生才智,思维的方式和工作习惯; 6. 要让他们学习猜测; 7. 要让他们学习证明; 8. 要找出手边题目中那些对后来题目有用的特征; 9. 不要立即吐露你的全部秘ห้องสมุดไป่ตู้—让学生在你说出来之前先去猜,尽量让 他们自己找出来; 10. 要建议,不要强迫别人去接受.
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波利亚解题过程的四个阶段:
1. 弄清问题——认识、并对问题进行表征的过程 ，是成
功解决问题的一个必要前提
2. 拟订计划——是探索解题思路的发现过程，是关键环节
和核心内容。
3. 实现计划——是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑
配置，“我们所需要的只是耐心”
4. 回顾——是最容易被忽视的阶段，波利亚对其作。为解 题的必要环节而固定下来，是一个有远见的做法 .
解题过程： 第1弄清问题 条件(已知)： (1) c=10； (2) cosA/cosB=b/a=4/3 ； (3)点P为△ABC内切圆上的动点． 问题(未知)： 求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的 最小值和最大值．
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第2拟订计划
回忆原来有没有见过同类问题(没有)，但见 过相关的问题：
如何解题
1. 积累认识的资源
2. 掌握转化的方法
3. 及时调控的能力 4. 良好信念系统的支持
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波利亚的怎样解题表 解题过程分为以下四个阶段:
1. 弄清问题 2. 拟订计划 3. 实现计划 4. 回顾
波利亚的怎样解题表
1 弄清问题
（1）未知数是什么?已知数据是什么？条件是什么? 满足条件是否可能?要确定未知数,条件是否充分?或 者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的? （2）画张图,并引入适当的符号.
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我国数学解题研究的代表人物和代表作
罗增儒 戴再平 朱华伟 单墫
• 数学习题理论 [M].上海：上 • 解题研究[M]. 海教育出版社， 南京：南京师 • 数学解题学引论 范大学出版社， 1991.3； [M] 西安. 陕西 1996.10. 2002.6
• 中学数学解题的 理论与实践[M]. 南宁：广西教育 出版社，2008 年.9；前言
回到定义去. 如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的问题.
是否利用了所有的已知数据?是否利用了所有条件？是否考虑了包 含在问题中的所有必要的概念?
3. 实现计划
实现你的求解计划,检验每一步骤.
你能否清楚地看出这一步骤是正确的?
你能否证明这一步骤是正确的?
4. 回顾
能否检验这个论证?
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波利亚的解题理论
1
数学解题教学
没有一道题可以解决得十全十美，总存在值得我们探 究的地方。 ——[美]G. 波利亚
2
中国特色的数学解题研究 搞好数学解题教学，需要掌握一定的解题理论，进行 解题研究，掌握一定的解题技能，了解解题研究的最 新进展。 我国的数学解题研究，主要是从学习、研究波利亚的 解题思想开始的 20世纪80年代初，波利亚的系列名著《怎样解题》、 《数学的发现（一、二）》、《数学与猜想》翻译并 引进国内。 他的“怎样解题表”和名言“掌握数学就意味着善于 解题”、“中学数学教学首要任务就是加强解题训练” 等迅速风靡全国；
• 数学解题策略 • 北京：科学出 版社,2009.8.
师范大学出版社， 1997.6
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波利亚《怎样解题表》简介
波利亚的数学教育思想概述
波利亚(George Polya)数学教育思想的核心问题:数 学教育的目的是什么？ 1.波利亚主张数学教学的目的应当是提高学生的一般素 养:首先和主要的目标应当是教会青年思考.
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值得注意的四个方面
(1)只要学生按照这个过程去寻找解法，久而久之，不仅可 以提高解题能力，而且还可以养成规范的思维习惯．并不 是所有的题目都要像表中那样“面面俱到”． (2) 解题教学中，在教给学生学习方法和解题方法的同时， 应重视拓宽学生的认知面，经历探索，温故知新，体会数 学的应用价值，形成创新技能． (3) 解题教学时，要关注数学的文化价值，促进学生科学观 的形成． (4)正确理解解题的内涵，谨防将解题异化为“题海战 术”．