波利亚怎样解题实例分析
波利亚“怎样解题表”在解题中的应用——以一道圆锥曲线压轴题为例
波利亚“怎样解题表”在解题中的应用——以一道圆锥曲线压轴题为例摘要：数学解题教学，重在教会学生解题的方法，帮助学生养成良好的解题习惯。
本文通过波利亚的“怎样解题表”的解题的四个步骤: 阐明问题、制定计划、实施计划、回顾和反思，演绎解决一道圆锥曲线压轴题的具体过程，并给出一些解题教学建议。
关键词：波利亚解题表；解题方法；圆锥曲线《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出“让学生在现实情境中体验什么是数学”。
初中数学教学注重培养学生的问题解决能力。
数学教育家波利亚指出：“中学数学教学的首要任务是加强问题解决的训练。
”这种“解题”不同于“题海战术”。
他认为，问题解决应该作为培养学生数学能力和教他们思考的一种手段，方法。
[1]波利亚《怎样解题》中为人们提供了一套系统的解题途径，这有利于人们掌握解题过程的一般规律，也有利于数学教师探索解题教学的一般规律。
笔者结合2015年课标全国卷（Ⅱ）的圆锥曲线压轴题论述“怎样解题表”在数学解题教学中的应用。
一、问题的由来——2015年课标全国卷（Ⅱ）的圆锥曲线压轴题案例：已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。
（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点(1/3m,m)，延长线段OM与C交与点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。
二、寻觅依据——波利亚解题“解题四部曲”本研究通过圆锥曲线问题来激发学生对数学问题解决的兴趣，转变学生对待数学解题的态度，培养学生的解题思维。
为了提高学生解决问题的能力，波利亚把解决数学问题的过程分为四个阶段：阐明问题、制定计划、实施计划、回顾和反思。
[2]对每个阶段要考虑的问题，思维活动，具体要做什么，有什么建议，都进行了很详细的叙述，多方面地考虑到了学生在解题过程中会面临的问题。
“弄清问题”是我们拿到一道题首先要考虑的问题，理解题目，找出未知量，分析已知条件，找出已知条件与未知量之间的联系，需要的话还可引进相关符号，让学生充分理解题目的含义。
例谈波利亚“怎样解题”表在初中数学解题中的应用
体 会 ： 过 将 已知 条 件具 体 化 ， 学 生清 楚 地 看 到题 目 中涉 通 使
援羁§ ｉ ａｌ Ｅ 籀 穗∞
一
数学教学通讯 【 教师版 ）
教学 研究 ＞ 课参 备 考
及 的各 种 量 以及 他 们 之 问 的初 步 联 系．这 为 如 何 解 决 问 题 做 好
的数 学 知 识 ； 是 提 高分 析 问题 、 决 问题 的 能力 ， 中后 者 是 二 解 其 数 学 教 学 的根 本 目标 ， 是 素 质教 育 下 专家 、 师 们 关 注 的热 点 也 教
做 憾
鼢
话 题 之一．但 是 ， 要有 效地 提 高 学生 分 析 和解 决 问题 的能 力却 并 非易 事 ， 们 往往 会 发 现 即使 学 生 已经 掌 握 了解 决 某 道 题 目所 我 必 需 的基 本 定 义 、 念 或 定 理 ， 面 对这 道 题 仍 然 如 同 “ 虎 吃 概 他 老
使 我 们更 好地 理 解题 目．
例 如 初 二 学 习 分式 方 程 的应 用 时 有 这 样 一 道 题 ： 商 场 销 某
仿， 不会 举 一 反 三．面 对 这些 问题 ， 不 是 每 一位 教 师 都 有 自 己 并
的灵 丹 妙 药 ， 而波 利 亚 的“ 怎样 解 题 ” 为 我们 提 供 了一 套 完 整 表
进 价 减少 了１ ％ ； 润率 提高 了２ ％ ０ 利 ５ 上述 两个 条 件 可 以叙 述得 更详 细 ， 清楚 吗 ？ 更 现在 的进 价 比原 来 的进 价 减少 了１ ％ ； ０ 现在 的 利润 率 比原 来 的利 润 率提 高 了２ ％ ５
下 面笔 者结 合 自己的 实 践 和 体会 来 谈 谈 如 何 应 用 “ 怎样 解
波利亚“怎样解题”表在解题中的应用
波利亚“怎样解题”表在解题中的应用著名数学家波利亚认为中学数学教育的根本宗旨是教会年轻人思考，他把“解题”作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径．他专门研究解题的思维过程，分解解题的思维过程得到一张“怎样解题”表 ：第一步：理解题目 1．已知是什么？未知是什么？要确定未知数，条件是否充分？2．画张图，将已知标上．3．引入适当的符号．4．把条件的各个部分分开．第二步：拟定方案 1．你能否转化成相似的、熟悉的问题？ 2．你能用自己的语言重新叙述问题？ 3．回到定义去． 4．你能否解决问题的一部分？ 5．你是否利用了所有的条件？ 第三步：执行方案 1．勇敢地写出你的方法． 2．你能否说出你写的每一步的理由？ 第四步：回顾 1．你能否一眼就看出结论？ 2．你能否用别的方法导出这个结论？ 3．你能否把这个题目或这种方法用于解决其他的问题？ 下面，我们就按“怎样解题”中的步骤来分析两个例题的解题过程：例1：已知函数f (x )=mx 3－x 的图象上，以N (1，n )为切点的切线的倾斜角为4π，(1)求m ，n 的值；(2)是否存在最小的正整数k ，使得不等式f (x )≤k －1991对于x ∈[－1，3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k ；如果不存在，请说明理由；(3)求证：|f (sin x )＋f (cos x )|≤2f (t ＋t21)(x ∈R ，t >0)． 理解题目：函数f (x )=mx 3－x ，以点N (1，n )为切点的切线的倾斜角为4π． 解：(1) f ′(x )=3mx 2－1，依题意，得tan4π，即1=3m －1，m =32，n =31．拟定方案：①对f (x )求导，由x =1处的导数等于1，算 出m ，再根据n =f ′(1)算出n ．②先求出f ′(x )于[－1，3] 上的最大值，k 就易得到．③由求证的不等式知，只要证明|f (sin x )＋f (cos x )|的最大值小于2f (t ＋t 21)（t >0）的最小值即可．(2)令f ′(x )=2x 2－1=0，得x =±22．当－1<x <－22时，f ′(x )=2x 2－1>0；当22<x <3时，f ′(x )=2x 2－1>0． f (－1)=31，f (－22)=32，f (22)=－32，f (3)=15．因此，当x ∈[－1，3]时－32≤f (x )≤15；要使不等式f (x )≤k －1991对于x ∈[－1，3]恒成立，使不得等式f (x )≤k －1991对于x ∈[－1，3]恒成立．必须：k ≥2006．所以，存在最小的正整数k =2006，执行方案：对|f (sin x )＋f (cos x )|的最大值，有两种方法：（a ）将x=sin x 和x=cos x 代入f (x )，整理得出|f (sin x )＋f (cos x )| 的表达式，再 利用三角 函数的性质求最大值．（b ）由绝对值不等式得：|f (sin x )＋f (cos x )|≤|f (sin x )|＋|f (cos x )|，再利用f （x ）的单调性得：|f (sin x )| ≤23，|f (cos x )|≤23，最大值容易算出．2f (t ＋t21)（t>0）的最小值也有两种方法：（a ）t >0，∴t ＋t21≥.tt ,141222≥+2f (t ＋12t )=2(t ＋t 21)[32(t 2＋241t＋1)－1]≥223 （b ）利用t ＋,t1221>≥ 及f (x )于[1，＋∞]上递增，也能求出最小值．(3)（法一）|f (sin x )＋f (cos x )|=|(32sin 3x －sin x )＋(32cos 3x －cos x )|=|32(sin 3x ＋cos 3x )－(sin x ＋cos x )|=|(sin x ＋cos x )[32(sin 2x －sin x cos x ＋cos 2x )－1]|=|sin x ＋cos|x |－32sin x cos x －31|=31|sin x +cos x |3=31)4π+|3≤322．综上可得，|f (sin x )＋f (cos x )|≤2f (t ＋t21)(x ∈R ，t >0)． ∴2f(t ＋12t )=2(t ＋t 21)[32(t 2＋241t＋1)－1]≥223．又∵t >0，∴t ＋t 21≥.t t ,141222≥+(法2)由(2)知，函数f (x )在[－1，－22]上是增函数；在[－22，22]上是减函数；在[22，1]上是增函数；综上可得，|f (sin x )＋f (cos x )|≤2f (t ＋t21)(x ∈R ，t >0)．所以，当x ∈[－1，1]时，－23≤f (x )≤23，即|f (x )|≤23．∵sin x ，cos x ∈[－1，1]，∴|f (sin x )| ≤23，|f (cos x )|≤23． ∴|f (sin x )＋f (cos x )| ≤|f (sin x )|＋|f (cos x )| ≤23＋23≤322．又∵t >0．∴t ＋,t 1221>≥且函数f (x )在上是增函数， ∴2f (t ＋t21)≥2f (2)=2[32(2)3－2]=322．又f (－1)=31，f f ⎛== ⎝⎭⎝⎭()11.3f =回顾：检验每一步的正确性及所得结果，有没其它解法？仔细分析波利亚的怎样解题表，不难发现：将解题的思维过程的分解为四个过程，把它们告诉学生，引导学生按照这五个思维过程，在解题过程中，有意识地调控他们自己的思维活动，这是提高学生的思维品质的一个有效途径．学生这种对自身学习活动和思维过程的认知和调控能力，实际上就是心理学上的元认知能力．简单的说，元认知是对认知的认知．教师在教学过程中，引导学生了解元认知知识，经历元认知体验，学会元认知监控，对学生数学思维能力的发展是十分重要的．从元认知的角度来讲，波利亚“怎样解题”表至少有以下价值：（1）发展学生的数学思维能力，提高学生的思维品质，或通俗一点，就是教会学生去思考．（2）向学生传授元认知的知识，发展元认知策略．（3）给学生提供元认知体验的机会，激发学生的学习动机和兴趣，增强学生的自信，并体验成功的喜悦．（4）培养学生的元认知监控能力，如对自己思维过程的控制、反思和调节等．（5）挖掘学生的非智力因素，给学生自身潜能的充分发挥提供支撑．。
波利亚解题——案例分析
波利亚解题——案例分析例题：给定正四棱台的高h ，上底的一条边长a 和下底的一条边长b ，求正四棱台的体积V ．(学生已学过棱柱、棱锥的体积)波利亚解题：一、弄清问题（理解题目的未知和已知条件）本题的已知条件有哪些？ 本题的未知是什么？①正四棱台的高h ；②上底边长a ；？ 正四棱台的体积V ．③下底边长b二、拟定计划（找到已知条件和未知之间的联系）1）怎样才能求得V ？由于我们已经知道棱柱、棱锥的体积公式，而棱台的几何结构（棱台的定义）告诉我们，棱台是“用一个平行于底面的平面去截棱锥”，从一个大棱锥中截去一个小棱锥所生成的．如果知道了相应两棱锥的体积1V 和2V ，我们就能求出棱台的体积21V V V -=。
①这样我们就引入两个新的符号1V 和2V ，同时也找到了V 、1V 、2V 三个量之间的联系，这就把求V 转化为求1V 和2V ．2）怎样才能求得1V 和2V ？据棱锥的体积公式（Sh V 31=），底面积可由已知条件直接求得，关键是如何求出两个棱锥的高。
并且，一旦求出小棱锥的高x ，大棱锥的高也就求出，为h x +．我们再次引入了一个新符号x ，于是根据棱锥的体积公式就有x a V 2231=，)(3121h x b V +=， 这样，问题就由求1V 和2V 转化为了求x 。
3）怎样才能求得x ？为了使未知数x 与已知数a 、b 、h 联系起来，建立起一个等量关系．我们调动处理立体几何问题的基本经验，进行“平面化”的思考．用一个通过高线以及底面一边上中点（如下图蓝色线条所示）的平面去截两个棱锥，在这个截面上有两个相似三角形能把a 、b 、h 、x 联系起来（转化为平面几何问题），由三角形相似的性质得：hx x b a += ②这就将一个几何问题最终转化为代数方程的求解．解上述方程，便可由a 、b 、h 表示x ，至此，我们已在V 与已知数a 、b 、h 之间建立起了一个不中断的联络网，解题思路全部沟通．三、实现计划（利用找到的联系进行解题） 作辅助线，由相似三角形的性质可得，hx x b a +=， 解得ab ah x -=。
波利亚的解题过程
波利亚的解题过程 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-波利亚解题“怎样解题”思路剖析例题例题：如图11所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A．(1)求证：BC与⊙O相切．(2)若OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4，求AD的长．(一)通过审题,弄清问题,培养学生分析已知条件的习惯审题过程就是要审清题目数量关系，知道该道题讲的是什么，并能找出已知条件，使题目的条件、问题及其关系在学生头脑中建立起完整的印象，为正确分析数量关系和解答问题创造良好的前提条件。
对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义，对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义。
讲解第一步、弄清问题：1．（1）问中求证的是什么？（2）中未知数是什么你能复述它吗？答：（1）中求证BC与⊙O相切，（2）中要求我们求AD的长。
2．已知数据是什么？你能复述它吗？可以用数学语言来叙述题意吗可以画张图吗答：已知：AB是⊙O的直径（如上图11），AD是弦，∠DBC＝∠A．则我们由图可知∠ADB是⊙O的圆周角，等于90°，那么∠A+∠ABD=90°。
（2）中已知OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝43．条件是什么？答：AB是⊙O的直径（如上图11），AD是弦，∠DBC＝∠A4．满足上述条件（1）是否可能成立？能否求出AD的长答：满足上述条件（1）能成立。
但不能求出AD的长，如果要求出AD的长那么我们还有加上一下条件即可：OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝45．要确定未知数，条件是否充分？答：要确定未知数，如上所述是充分的。
6．是否需要引入适当的符号？如果需要，分别有哪些？有什么含义答：一般情况下做这些几何类型的题目为了方便书写和理解我们都会适当引入符号，但这题相对比较简单易懂，就不需要引入了，如果在很多线，很复杂的图形中就必须得引入。
波利亚解题方法1
例:如果一条直线平行于一个平面,那么垂直于这条直线的
平面必垂直于这个平面.
讲解
第一步、弄清问题:
你要求证的是什么?
要求证的是平面与平面垂直.
已知些什么?
一条直线平行于一个平面,另一个平面垂直于这条直线. 可以用数学语言来叙述题意吗?可以画张图吗?
已知: 直线a∥平面α,直线a⊥平面β.求证:平面α⊥平面β.
第二步、拟定计划:
怎样证明两个平面垂直?
要证明平面α⊥平面β,只要在其中一个平面内找到另一个平面的垂线即可。
怎样找到另一个平面的垂线呢？
由直线a⊥平面β,根据直线和直线平行的性质定理,只要在平面α内找到一条和直线a平行的直线,这直线必定垂直于平面β。
怎样在平面α内找到这条直线呢？
而由直线和平面平行的性质定理可知,只须过直线a任意作一个平面γ和平面α相交于直线b,则交线b⊥平面β, 由此可证明结论成
立.
解题计划：直线a∥平面α，可找平面α内的直线b，a∥b 可得直线b⊥平面β，b⊥平面β且平面α经过直线b结论可得证。
第三步、实现计划:
证明:过直线a任作一个平面γ,和平面α相交于直b,
因为直线a∥平面α,a∥b,直线a⊥平面β,所以b⊥平面β而平面α过直线b，则平面α⊥平面β.
第四步、回顾:
回顾解题过程可以看到,解题首先要弄清题意,从中捕捉有用的信息,同时又要及时提取记忆中的有关识,来拟定出
一个成功的计划。
此题我们在思维策略上是二层次解决问题,首先根据直线和平面平行的性质定理找到直线b,然后根据
直线和直线平行的性质定理及平面与平面垂直的判定定理
得证。
波利亚的解题过程
波利亚解题“怎样解题”思路剖析例题例题：如图11所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A．(1)求证：BC与⊙O相切．(2)若OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4，求AD的长．(一)通过审题,弄清问题,培养学生分析已知条件的习惯审题过程就是要审清题目数量关系，知道该道题讲的是什么，并能找出已知条件，使题目的条件、问题及其关系在学生头脑中建立起完整的印象，为正确分析数量关系和解答问题创造良好的前提条件。
对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义，对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义。
讲解第一步、弄清问题：1．（1）问中求证的是什么？（2）中未知数是什么你能复述它吗？答：（1）中求证BC与⊙O相切，（2）中要求我们求AD的长。
2．已知数据是什么？你能复述它吗？可以用数学语言来叙述题意吗可以画张图吗答：已知：AB是⊙O的直径（如上图11），AD是弦，∠DBC＝∠A．则我们由图可知∠ADB是⊙O的圆周角，等于90°，那么∠A+∠ABD=90°。
（2）中已知OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝43．条件是什么？答：AB是⊙O的直径（如上图11），AD是弦，∠DBC＝∠A4．满足上述条件（1）是否可能成立？能否求出AD的长答：满足上述条件（1）能成立。
但不能求出AD的长，如果要求出AD的长那么我们还有加上一下条件即可：OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝45．要确定未知数，条件是否充分？答：要确定未知数，如上所述是充分的。
6．是否需要引入适当的符号？如果需要，分别有哪些？有什么含义答：一般情况下做这些几何类型的题目为了方便书写和理解我们都会适当引入符号，但这题相对比较简单易懂，就不需要引入了，如果在很多线，很复杂的图形中就必须得引入。
7．把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来？答：能。
AB是⊙O的直径AD是弦，∠DBC＝∠AOC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4（1）已知：AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A．求证：BC与⊙O相切．（2）已知：AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A．BC与⊙O相切，OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4求解：AD的长效果：通过以上的审题和分析已知条件，使学生弄清了题意并数学化，同时大脑中有了一个平面模型，更清晰地了解题目。
例说波利亚“怎样解题表”在中学数学中的应用-2019年精选文档
例说波利亚“怎样解题表”在中学数学中的应用本文从波利亚的“怎样解题表”出发,结合具体的例子,在具体的例子中一步一步地讲解波利亚的“怎样解题表”在解数学题时的步骤和思想,来回答一个好的解法是如何想出来的.下面是实践波利亚解题表的一个示例.例已知点P(3,4) 是椭圆+ = 1 (a > b > 0)上的一点,F1,F2 是椭圆的两焦点,若PF1⊥PF2,试求椭圆方程.讲解第一,弄清问题.问题1 你要求解的是什么?要求解的是椭圆方程,在思维中的位置用一个单点F象征地表示出来(图1-1).问题2 有哪些已知条件?一方面是题目条件中给出的点P(3,4) ,椭圆上PF1⊥PF2;另一个方面是已经在平面几何中学习过的直角三角形的一些性质和椭圆中半焦距c和长半轴a,短半轴b之间的关系,即a2 - b2 = c2. 把已知的两个量添到图示处(图1-1)就得到了新添的两个点P ,Q(其中Q表示PF1⊥PF2);它们与F之间有条鸿沟,表示要求解的问题和已知的量没有直接的联系,我们的任务就是要将要求解的量F和已知的量联系起来.第二,拟定计划.问题3 怎样才能求出F?我们已经知道了椭圆经过点P和一个Rt△PF1F2 ,如果能够确定椭圆方程中的两个参数a和b,那么我们就能够求解椭圆的方程了,于是问题转化成求a和b.(1) 我们在图示上添加进两个新的点a和b,用斜线把它们和F连接起来,以此来表示a,b这两个量和F之间的联系(图1-2即式(1)的几何图示),这样我们就把问题转化为确定a和b的值了.问题4 怎样求得a和b?我们根据已知条件Rt△PF1F2,再结合整个图形,我们可以知道直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,也就是说坐标原点到点P的距离等于半焦距c. 我们在图示上(图1-2)再添加两个点半焦距c,和L(L表示线段OP的长度,其中O表示坐标原点),连接c和L,表示c和L有相等的关系. 连接Q和c,Q和L,表示c和L相等的关系是由Q推出来的. 连接P和L,表示L的长度是由点P的坐标确定的,从而c = L = = 5. 我们要求解的是a和b 的值,因此很自然地想到在椭圆中还隐藏着这样的关系:a2 - b2 = c2,于是我们连接a和c,b和c(图1-3),表示c和a,b有 a2 - b2 = c2的关系,再连接a和b表示b可以用a表示,即b2 = a2 - 25. 这时椭圆方程可以写成:+ = 1. 同时我们还应注意到点P在椭圆上还没有用到,因此我们连接P和a(图1-3),表示把P点的坐标代入椭圆方程 + = 1. 一个未知数,一个方程恰好可以解出a,从而椭圆的方程就确定了.至此,我们已在F与P ,Q之间建立起了一个不中断的联络网,解题思路全部沟通.第三,实现计划.连接OP(图1-3).∵ PF1⊥PF2∴ PF1F2 是直角三角形,∴|OP| =|F1F2| = c.又|OP| = = 5.∴ c = 5,∴椭圆的方程为: + = 1.∵点P(3,4) 在椭圆上,∴ += 1,解得a2 = 45或 a2 = 5(舍去),故所求的椭圆方程为+ = 1.第四,回顾.(1) 正面校验每一步,推理是合理的,有效的,计算是精确的. 本题也可作特殊性检验,即按照两点之间的距离公式分别求解出线段PF1和 PF2的长度,再验证△PF1F2能否成为直角三角形;同时验证|PF1| + |PF2|是否等于 2a.(2) 还能用其他的方法得到这个结果吗?,条条大道路罗马,万事都不是绝对的,我们应该在信念上坚信每道题目都是有多种解法的,那么本例有没有其他解法呢?有,下面是本例的另解.如图1-1所示,令F1(-c,0), F2(c,0).∵ PF1⊥PF2∴ k ∪k =-1,即∪= -1,解得c = 5.∴椭圆的方程为: + = 1(以下步骤同上述解答).(3) “能将本例的方法用于其他的问题吗?能,我们看到解决本例的关键在于分析已知条件后得到:|OP| = |F1F2| = c,或者k ∪k =-1. 可见,这是解决本例的“泉眼”,勤于分析已知条件,对于培养解数学题的“灵感”是非常有必要的.小结回顾这个解题过程,“怎样解题表”包含四部分内容:弄清问题､拟订计划､实现计划､回顾.波利亚说:“ 弄清问题是为好念头的出现做准备;制订计划是试图引发它;在引发之后,我们实现它;回顾此过程和求解的结果,是试图更好地利用它.” 解题的过程实际上是一个不断地变更问题的过程(如上文中分析的将求F转化成求a和b,再将求a和b转化为求c),通过不断地变更问题,引入新的量,从而在未知量和已知量之间建立起“桥梁”,使得未知量和已知量最终处于“通路”的状态.注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”。
波利亚解题模型在高中数学解题教学中的运用分析
波利亚解题模型在高中数学解题教学中的运用分析冯㊀洁(江苏省常州市龙城高级中学ꎬ江苏常州２１３０００)摘㊀要:培养高中生数学解题能力ꎬ是判断学生知识掌握和应用情况的关键指标ꎬ同时也是提升学生学习兴趣的重要途径.鉴于当前高中生在解题中面临的重重困难ꎬ科学融入波利亚解题模型ꎬ可促使学生在 理清题意㊁制定计划㊁执行计划㊁检验与回顾 的解题流程中高效解答题目ꎬ逐渐提升学生的解题能力.本文聚焦于此ꎬ结合解题实践ꎬ针对波利亚解题模型在数学解题中的应用展开了详细探究.关键词:高中数学ꎻ解题能力ꎻ波利亚解题模型ꎻ课堂教学中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３０－００１４－０３收稿日期:２０２３－０７－２５作者简介:冯洁(１９９６.１１－)ꎬ女ꎬ江苏省溧阳人ꎬ硕士ꎬ中小学二级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀波利亚解题模型源于波利亚«怎样解题:数学思维的新方法».在该书中ꎬ波利亚紧紧围绕 解决数学问题 这一中心任务ꎬ提出了 波利亚解题模型 ꎬ倡导学生在解题时ꎬ应遵循 理清题意 制定计划 执行计划 检验与回顾 四个流程开展.其中ꎬ 理清题意 即为理解题目意思㊁明确题目已知条件㊁所求问题等ꎬ这是学生高效解题的关键ꎻ 制定计划 是联系题目已知条件㊁所求问题ꎬ运用所学的知识进行思考ꎬ寻找解题思路ꎻ 执行计划 则是依据上一个阶段中制定的解题思路ꎬ利用所学的知识㊁方法进行推理㊁运算ꎬ最终得出正确的结论ꎻ 检验与回顾 则是对整个解题过程进行回顾㊁反思㊁总结ꎬ在检验解题正确与否的基础上ꎬ进行知识积累ꎬ并为学生后续的解题奠定基础[１].鉴于波利亚思想的内涵ꎬ将其应用到高中数学解题教学中ꎬ已经成为一线教师研究的重点.１高中数学解题教学状况１.１解题教学驱动性不足ꎬ学生学习积极性较低新课标执行前期ꎬ高中数学解题教学大多仍以讲解式教学和练习式教学为主.讲解式教学由教师主导ꎬ注重对问题进行剖析和讲解ꎬ学生处于被动学习状态ꎻ练习式教学则以学生为主体ꎬ对学生自主学习能力和独立思考能力要求较高.因此ꎬ教师教学设计不够全面ꎬ教学模式趣味性较低ꎬ导致解题教学驱动性不足ꎬ学生学习缺乏主动性等现象在讲解式教学和练习式教学中都有体现.在讲解式教学中的体现为学生注意力不集中ꎬ打瞌睡㊁走神等现象频发ꎻ在练习式教学中的体现为学生解题效率较低㊁正确度较低.例如ꎬ教师在讲解 椭圆的标准方程 相关的知识点时ꎬ会在引导学生进行等式的化简后推导出椭圆的标准方程ꎬ但因为学生对于等式的化简存在困难ꎬ而课堂时间有限ꎬ造成学生缺少练习时间ꎬ教师也需要进行后续的讲解.这造成 一步慢ꎬ步步慢 的情况ꎬ学生也无法跟上教师后续的讲解进度ꎬ学习自信心也会受到打击.１.２解题教学创新性不足ꎬ难以培养学生核心素养新课程标准指出ꎬ高中数学教学需要在传授知识的基础上培养学生的运用能力㊁创新精神㊁核心素养等综合能力.数学习题每年都会迎来一定的创新ꎬ４１虽然考查的内容大体相同ꎬ但解题思路会发生一定的改变.前期高中数学教师因为没有针对性地培养学生的解题能力和核心素养ꎬ导致学生掌握了某一个问题的解题方法ꎬ并未掌握这一类题型的解题方法.例如ꎬ教师在讲解 已知函数ｆ(ｘ)＝ｌｎ(ｘ＋ｘ２＋１)ꎬ若实数ａꎬｂ满足ｆ(ａ)＋ｆ(ｂ－１)＝０ꎬ则ａ＋ｂ＝? 这一问题的核心在于观察ｆ(ｘ)在定义域内是增函数还是减函数.教师在讲解时也会按部就班地完成讲解ꎬ但在实际过程中缺乏引导学生深度思考的过程ꎬ导致学生只能将解题方法运用到这一个题目上ꎬ无法触类旁通.１.３忽视回顾与反思环节ꎬ解题教学有效性不足回顾反思作为解题教学的收尾阶段ꎬ其具有帮助学生查漏补缺㊁增强学生记忆力㊁提升学生解题思维的重要作用.但在当前高中数学教学中ꎬ仍有部分教师忽视回顾反思教学开展ꎬ导致解题教学有效性不足.以 立体几何初步 这一章节知识点为例ꎬ教师在讲解完成之后会为学生布置相关的复习任务ꎬ如进行习题训练等.因为教师并未了解学生的实际学情ꎬ其很难针对性地布置复习任务ꎬ因此大部分教师会选择 题海战术 ꎬ试图通过量变来引起质变.并且ꎬ学生在完成复习任务之后教师的评价也极其简单ꎬ大都只有几个 对钩 或者一个 阅 字ꎬ复习任务的有效性难以充分体现ꎬ学生也无法根据教师的评价确定自身的问题.久而久之ꎬ学生的复习积极性会不断降低ꎬ学习压力也会因为题海战术不断增加.２波利亚解题模型在高中数学解题教学中的实践应用㊀㊀为对波利亚解题模版在解题中的应用展开深入研究ꎬ笔者结合以下两道题目进行了详细的探究:例１㊀已知正项等比数列ａｎ{}的前ｎ项和为Ｓｎꎬａ１＝２ꎬ２Ｓ２＝ａ２＋ａ３求:(１)等比数列ａｎ{}的通项公式? (２)设ｂｎ＝２ｎ－１ａｎꎬ求数列ｂｎ{}的前ｎ项和?基于波利亚解题模型ꎬ在解答这一问题时ꎬ可从以下四个方面进行:第一ꎬ理清题意.引导学生自己读题㊁审题ꎬ理解题目的含义ꎬ明确题目中的已知条件㊁未知内容㊁所求目标等.在本题中学生经过审题ꎬ理清了题目中已知条件㊁所求目标.其中ꎬ已知条件:数列ａｎ{}的首项㊁第二项和第三项的和㊁ａｎ{}是正项等比数列ꎻ所求目标:数列ａｎ{}㊁ｂｎ{}的通项公式ꎬ以及ｂｎ{}的前ｎ项和?第二ꎬ制定计划.本阶段是形成解题思路的核心ꎬ主要是聚焦所求的问题ꎬ围绕已知量和未知量之间的关系进行探究ꎬ并在此基础上形成解题思路.在本题目中ꎬ先将题目中已知条件和所求问题联系起来ꎬ并由 等比数列的通项公式㊁数列ｂｎ{}的前ｎ项和 展开联想.在此基础上通过讨论㊁分析ꎬ逐渐形成本题目的解题思路:针对(１)来说ꎬ需要借助等比数列的性质ꎬ前ｎ项和求和公式ꎬ将ａｎ{}的首项和公比ｑ求出来ꎻ针对(２)来说ꎬ则需要借助数列ａｎ{}的通项公式ꎬ将ｂｎ{}的通项公式求出来.接着再利用错位相减的方法ꎬ将ｂｎ{}前ｎ项和求出来.第三ꎬ执行计划.主要是按照上述设计的解题思路进行解答.在本题目中根据上述分析所形成的解题思路ꎬ按照如下步骤执行解题:(１)设数列ａｎ{}公比为ｑ(ｑ>０)ꎬ因为２Ｓ２＝ａ２＋ａ３ꎬ所以２(ａ１＋ａ２)＝ａ１ｑ＋ａ２ｑꎬｑ＝２所以ａｎ＝２ ２ｎ－１＝２ｎ(２)根据题目(１)得出:ｂｎ＝２ｎ－１ａｎ＝２ｎ－１２ｎꎬ假设ｂｎ{}的前ｎ项和为Ｔｎ则Ｔｎ＝１ˑ１２＋２ˑ(１２)２＋５ˑ(１２)３＋ ＋(２ｎ－３)ˑ(１２)ｎ－１＋(２ｎ－１)ˑ(１２)ｎ①又因为１２Ｔｎ＝１ˑ(１２)２＋３ˑ(１２)２＋ ＋(２ｎ－３)ˑ(１２)ｎ＋(２ｎ－１)ˑ(１２)ｎ＋１②由①－②得出:５１１２Ｔｎ＝１２＋２ˑ(１２)２＋２ˑ(１２)３＋ ＋(１２)ｎ－(２ｎ－１)ˑ(１２)ｎ＋１即１２Ｔｎ＝１２＋１－(１２)ｎˑ２－(２ｎ－１)ˑ(１２)ｎ＋１所以Ｔｎ＝３－４ˑ(１２)ｎ－(２ｎ－１)ˑ(１２)ｎ＝３－(２ｎ＋３)ˑ(１２)ｎ第四ꎬ检验与回顾.这一环节主要是解题完成之后对其进行检验ꎬ看其是否正确.同时ꎬ在这一阶段中ꎬ还应及时进行反思和积累ꎬ为学生后续解题奠定基础.在本题目解答完毕后ꎬ就先引导学生开展检验ꎬ之后围绕整个解题过程进行反思和总结.对此ꎬ有的学生表示本题目中主要围绕等比数列的性质㊁通项公式㊁错位相减法进行了考查ꎻ还有的学生在总结中提出了解答第一问数列ａｎ{}的首项和公比ｑ是关键ꎻ也有的学生在总结中提出了本题的难点在于第二问ꎬ关键是运算[２].如此ꎬ学生通过反思与总结ꎬ不仅掌握了这一类型数学解题的解答技巧ꎬ也学会了知识的迁移和应用ꎬ真正提升了学生的举一反三能力.３高中数学波利亚解题教学启示波利亚模型是一种重要的㊁系统化的解题方式ꎬ将其应用到数学解题中ꎬ可促使学生在 理清题意 制定计划 执行计划 检验与回顾 的引导下ꎬ深入挖掘题目中已知条件和所求问题ꎬ并引导学生运用所学的知识寻求已知条件和未知条件的内在联系ꎬ最终将陌生的数学题目转化成为学生所熟悉的数学解题类型ꎬ以便于学生形成明确㊁清晰的解题思路.鉴于波利亚模型在数学解题中的应用价值ꎬ高中数学教师还应灵活开展课堂教学ꎬ引导学生在日常学习中逐渐掌握这一解题技巧和能力.首先ꎬ引导学生灵活应用波利亚 怎样解题 表.波利亚模型为学生提供了一个常规的解题思路ꎬ无论是简单的数学题目ꎬ还是复杂的数学题目ꎬ都可以按照这一思路展开.因此ꎬ为了引导学生真正掌握这一解题技巧ꎬ就应结合具体的题目ꎬ引领学生分析题目㊁确定目标㊁研究解题思路㊁解题实践等.如此ꎬ经过一段时间的训练之后ꎬ学生就会逐渐形成波利亚解题思维.其次ꎬ深层次挖掘波利亚解题思想观ꎬ培养学生的核心素养.根据波利亚解题的具体流程和内涵ꎬ对学生的审题能力㊁基础知识体系㊁数学思想㊁数学运算等都提出了更高的要求.鉴于此ꎬ高中数学教师在日常教学中ꎬ还应立足于波利亚解题的思想观ꎬ聚焦学生的核心素养设计课堂教学方案ꎬ全面加强学生基础知识㊁数学审题能力㊁数学抽象素养㊁常见数学思想教学ꎬ借助针对性的训练提升学生的数学综合素养.最后ꎬ重视检验与总结.波利亚解题模型中的四个步骤组成了一个系统化的解题体系.在实际应用中ꎬ部分教师常常忽视回顾和检验.鉴于此ꎬ在日常解题教学时ꎬ应给予足够的重视ꎬ引导学生完成解题之后及时进行反思ꎬ使学生在反思㊁总结中ꎬ领悟数学解题中蕴含的数学思想ꎬ内化数学知识ꎬ并提升自身的数学解题能力[３].综上所述ꎬ波利亚模型作为一种有效的解题工具ꎬ将其应用到数学解题中ꎬ不仅提升了学生的数学解题效率ꎬ也帮助学生逐渐形成了良好的解题习惯ꎬ真正提升了高中生的数学解题能力.鉴于此ꎬ高中数学教师在日常解题教学中ꎬ应基于针对性的练习题目ꎬ对波利亚解题模型进行细化ꎬ使学生在针对性的训练中ꎬ逐渐掌握这一解题技巧.参考文献:[１]李辉.例谈波利亚解题模型在高中数学解题教学中的应用[Ｊ].语数外学习(高中版上旬)ꎬ２０２１(５):５５.[２]黄倩欣.基于波利亚解题理论的高中数学习题课教学研究[Ｄ].海口:海南师范大学ꎬ２０２０.[３]赵源.运用波利亚数学解题表进行高中解题教学的策略研究[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０１８(１２):４０－４１.[责任编辑:李㊀璟]６１。
波利亚“怎样解题”的思想,内容及实践结果
波利亚“怎样解题”的思想,内容及实践结果波利亚“怎样解题”的思想，内容及实践结果乔治.波利亚(George Polya) 1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根，巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。
1914年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。
1940年移居美国，1942年起任美国斯坦福大学教授。
他一生发表达200多篇论文和许多专著，他在数学的广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复变函数、概率论、数论、几何和微分方程等若干分支领域都做出了开创性的贡献，留下了以他的名字命名的术语和定理波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。
这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题》表。
在这张包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解题全过程的解题表中，对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。
他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题。
最终得出一个求解计划。
”他把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和23个具有启发性的提示语，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着。
波利亚的《怎样解题》表的精髓是启发你去联想。
联想什么？怎样联想？让我们看一看他在表中所提出的建议和提示性的问题吧。
“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试指出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。
这里有一个与你现在的问题有联系且早已解决的问题。
你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方式重新叙述它？┅ ┅”这些大量提示性的问题，不是问别人，而是问自己，实际是解题者的自我诘问，自我反省。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
怎样解题一、熟悉问题1、未知是什么？2、已知是什么？3、你能复述它吗？二、寻找解题方法1、以前做过类似的题吗？可以仿照以前的解题过程写出此题吗？2、与未知已知相关的定理、公式、法则、概念都有什么？这道题是相关的定理、公式、法则、概念的直接应用吗？3、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？4、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？5、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？若不能解题，可考虑：1、已知条件都用上了吗？2、能不能得到一个比较特殊的情况？三、书写过程1、你能按步骤写出你的分析过程吗？2、你所写的步骤都正确吗？四、总结与回顾1、以前做过同类型的题吗？它与同类型的其它题有什么异同？2、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？3、解题过程能简化吗？例1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC求证：∠B=∠C分析：问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：∠B=∠C问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：在三角形ABC中，AB=AC问题3、以前做过类似的题吗？答：似乎没有。
问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：似乎没有。
不能直接用定理解出此题。
问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：此题条件只有一个，似乎不能直接重新分组。
问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？答：似乎不能。
问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？答：1、未知是求∠B=∠C，在以前学过的定理中有根据平行线证角相等、利用角平分线证角相等、利用度数证角相等、利用全等三角形证角相等。
由于这些都没有出现，是不是能引入辅助元素？观察∠B、∠C所处的位置，平行线、角平分线都不合适、角的度数没有出现，考虑运用全等三角形来解此题。
但此题中∠B、∠C处在同一个三角形中，需要将此两角放入到两个不同的三角形中，需引入一条线将此三角形分成两个三角形，并将∠B、∠C分别处于两个三角形中，可在A点引下一条线与BC相交。
2、新问题出现了：如何证明⊿ABD≌⊿ACD？答：已知中含有AB=AC，从图中可得AD=AD，尚缺少一个条件。
3、新问题：加入什么条件就可以了？答：∠BAD=∠CAD，可利用角边角进行判定。
或BD=CD，可利用边边边进行判定。
或AD⊥BC，可利用直角三角形的全等的判定进行判定。
4、新问题：如何实现？答：在做线的时候可以利用做图做出其中的某一个条件。
如做角A的角平分线，或做BC边上的中线，或做BC的垂线。
到此，此题可解。
问题8、如何书写过程？答：先写线的做法，然后写全等证明，最后得到未知求证。
问题9、解题过程能简化吗？答：尚无更简化方法。
问题10、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：此题条件少，没有直接出现三角形，需要构造出三角形求解。
可得到一个结论：利用三角形全等证明一个图形中的两角相等进可行的。
要求是要将此两角放到两个三角形中，然后找全等的条件。
例2、求二次函数y=-3x 2-6x+5的图象的顶点坐标。
问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：二次函数图象的顶点坐标。
问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：二次函数解析式y=-3x 2-6x+5问题3、以前做过类似的题吗？答：做过。
问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答： 能直接运用公式（—ab 2，a b ac 442 ）求解。
问题5、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：此类题型主要考查对二次函数的顶点坐标的掌握情况，以及准确的计算能力。
例3、已知：如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，D为BC中点，求AD取值范围。
问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：求AD的取值范围。
问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：在△ABC中，AB=5，AC=3，D为BC中点问题3、以前做过类似的题吗？答：没有。
问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：我知道三角形三边关系：三角形两边和大于第三边，两边差小于第三边。
问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：条件中两条边的边长分别是AB、AC，所属三角形为△ABC，而所求AD 边长所属是△ACD或△ADC。
问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？答：已知中的边长为AB、AC，要想使用三角形三边关系，需将AB、AC和AD 边联合到一个三角形中。
考虑：需移动AB或AC并到AC或AB与AD或包含AD的线段构成一角三角形。
移动的方法考虑使用全等三角形的方法。
延长AD 至E，使AD=AE，则可出现△ACD≌△EBD，可得AC=BE，则2<AE<8,可得1<AD<4。
问题7、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：1、有三角形的中线，可构造全等三角形。
2、当条件分散时，可向定理集中。
例4、已知：如图，△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，ED∥BC，求证：DE=BE+CD问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：线段DE的长等于EF与FD的和。
问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：角平分线BF和CF，平行线DE平行于BC。
问题3、以前做过类似的题吗？答：没有。
问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：角分线定理，平行线性质。
问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：从图中可得，此题角平分线与平行线有重合部分。
问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？答：根据角平分线性质，可得∠CBF=∠EBF，根据平行线性质可得∠CBF=∠EFB，进而可得∠EFB=∠CBF，可以得到等腰三角形EBF，可得BE=EF。
根椐对称原则可得CD=FD。
进而此题可解。
问题7、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：1、有角平分线和平行线，可得等腰三角形。
2、求证线段和可以用分段相等的形式得到结论。
例6、已知x = 1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值。
问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：代数式m2+2mn+n2的值。
问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：x = 1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根。
问题3、以前做过类似的题吗？答：没有。
问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：不能直接运用公式求解。
问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：不能。
问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？答：根据方程根的含义可知12+1×m+ n = 0，进而可得m+n=0。
问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？答：根据因式分解的公式可将未知变形为m2+2mn+n2=（m+n）2，即若知m+n的值可得未知。
到此，此题可解。
例7、如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，M、N、P分别是AD，BC的3，求∠NMP的度数。
中点，∠BDC=700，cos∠ABD=2问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：求∠NMP的度数。
问题2、已知是什么？你能复述它吗？3。
答：AB＝CD，M、N、P分别是AD，BC的中点，∠BDC=700，cos∠ABD=2问题3、以前做过类似的题吗？答：没有。
问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：相关的定理有中点现的中位线，由三角函数可求出相应的角的值；不能直接运用公式求解。
问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？3可知∠ABD=300；进而可答：1、由中位线定理可知，AB=2MP；cos∠ABD=2得∠MPD=300；2、由中位线定理可知DC=2NP；由∠BDC=700，可知∠BPN=700；进而可得∠NPD=1100；进而可得∠MPN=1400；3、由中位线定理和已知AB=CD可知MP=NP；进而可知MP=NP；进而可得∠PMN=∠PNM。
综合以上因素，可得∠NMP=∠MNP=200。
到此，此题可解。
问题5、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：1、利用一切机会将已知重新分组与组合，可得新的结论，将新结论与其它已知相结合可得更新的结论，可能能到达终点。
2、有中位线，可寻找相等的线段。
例8、如图所示：已知∠xOy＝900，点A，B分别在射线Ox，Oy上移动，∠OAB 的内角平分线与∠OBA的外角平分线交于C，求∠ACB的度数。
问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：求∠ACB 的度数问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：∠xOy ＝900，点A ，B 分别在射线Ox ，Oy 上移动，∠OAB 的内角平分线与∠OBA 的外角平分线交于C问题3、以前做过类似的题吗？答：似乎没有。
问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：三角形内角和定理，三角形外角定理，角平分线定理。
不能直接用定理解出此题。
问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：∠ABO 的外角的度数与∠BAO 是有关联的，但这中间似乎很乱。
清理一下：∠ABO 的外角∠ABE 在度数上等于（900+∠OAB ），则外角的一半∠EDB 应等于21（900+∠OAB ），而∠ABO 应等于（900-∠OAB ），则∠ABC 应等于二者之和： ∠ABC=21（900+∠OAB ）+（900-∠OAB ）=（1350-21∠OAB ）。
问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？答：1、未知是求∠ACB的度数，利用三角形内角和定理，将未知转化成求式子1800—∠CBA—∠BAC的度数。
1∠OAB）2、根据以上所得，则有∠ACB=1800—∠CBA—∠BAC=1800—（1350-21∠OAB=450。
原题得解。
即无论A、B如何运动，只要角平线不改，∠ACB —2永远等于450。
问题8、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：例9、如图，△ABC为正三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD。
求证：DB=DE。
问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：求证：DB=DE 。
问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：△ABC 为正三角形，BD 是中线，CE=CD 。
问题3、以前做过类似的题吗？问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：等腰三角形性质和判定。
不能直接用定理证明。
问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：根据已知中△ABC 为正三角形，BD 是中线可得∠DBC=21∠ABC=21∠ACB 。