双曲线知识点与性质大全
双曲线与方程
【知识梳理】 1、双曲线的定义
（11222,0a F F a a >>的点的轨迹称为双曲线，其中两称为双曲线的焦点，定长称为双曲线的实轴长，线段.此定义为双曲线的第一定义.
，此时P 点轨迹为两条射线.
（2点，定直线称为双曲线的准线，定值e 称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义. 2、双曲线的简单性质
3、渐近线
双曲线()221,0x y a b a b -=>的渐近线为220x y a b -=，即0a b ±=，或y x a
=±. 【注】
①与双曲线221x y a b -=具有相同渐近线的双曲线方程可以设为()220x y a b
λλ-=≠；
②渐近线为y x a
=±的双曲线方程可以设为()220x y a b λλ-=≠；
③共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同的渐近线.
④等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线. 4、焦半径
双曲线上任意一点P 到双曲线焦点F .()221,0x y a b a b
-=>上的任意一点，
e =
. 5、通径
过双曲线()221,0x y a b -=>焦点F 作垂直于虚轴的直线，交双曲线于A 、B 两点，称线段AB 为双曲线的通径，
且AB =.
6、焦点三角形
P 为双曲线()221,0a b a b
-=>三角形.122
cot
2
F PF S b ?=.
7、双曲线的焦点到渐近线的距离为b （虚半轴长）.
8、双曲线()221,0a b a b
-=>9、直线与双曲线的位置关系
，双曲线Γ：()221,0a b a b
-=>，则
l 与Γ相交；
l 与Γ相切22222； 与Γ相离.
10、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点.
【注】过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为4条、3条、2条，或者0条. 11、焦点三角形角平分线的性质
()221,0a b -=>是双曲线的焦点，M 是0F M MP ?=u u u u r u u u r
，即动点M 的点的轨迹为x y a x a +=≠±
【推广211()221,0a b a b -=>于C D 、两点，交直线于点E ．若E
为CD 的中点，则122b k k a
=.
13、中点弦的斜率
直线l 过()221,0x y a b -=>则直线l 的斜率02AB b x k a y =.
14、点()221,0x y a b -=>上的动点，过P 定值.
15、点()221,0x y a b -=>上的动点，过P 作渐近线的平行线，
2
.
【典型例题】
例1、，焦距为10，这双曲线的方程为_________.
【变式1】若曲线
141x y k k
+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是_________.
【变式2】双曲线
148
x y -=的两条渐近线的夹角为_________.
【变式3】已知椭圆2
2135x y m n +=和双曲线22123x y m n
-=有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为_________.
【变式4】若椭圆1(0)m n +
=>>和双曲线1(0,0)a b -=>>，P 为两曲线的一个交
【变式5】的图像与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是
（ ）
A ．
B . 1,0-
C .
D .
【变式6】直线2=x 14:2=-y x C 两点，设P 为双曲线C OB b OA a OP +=()，则下列不等式恒成立的是（ ）
A .
B .22
2≥
+b a C . D .222
a b +≤
【变式7】设连接双曲线221x y a b -=与221y x b a
-=,连接其四个焦点的四边形面积为
1
S 的最大值为_________.
例2、2
19
y x -=的左右焦点,若点P 在双曲线上，=0PF PF u u u r u u u u r g
【变式1】过双曲线1109
x y -
=的左焦点的弦，则（为右焦点）的周长为_________.
【变式2】双曲线11620
-
=，P 是双曲线上的动点，且
例3、22
14x y -=的两个焦点，点P 是双曲线的任意一点，且123
F PF ∠=.
例4、31x y -=有A B 、两个不同的交点，如果以AB 为直径的圆恰好过原点O ,试求k 的值.
例5、31x y -=相交于A B 、两点，那么是否存在实数k 使得A B 、两点关于直线
对称？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.
例6、已知双曲线
1124
x y -=的右焦点为F ,若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜率