中考数学难点之动点问题
数学动点问题及练习题附答案
初中数学动点问题及练习题附参考答案专题一：建立动点问题的函数解析式函数提醒了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要容.动点问题反映的是一种函数思想,由于*一个点或*图形的有条件地运动变化,引起未知量与量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.则,我们怎样建立这种函数解析式呢"下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式。
二、应用比例式建立函数解析式。
三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。
专题二：动态几何型压轴题动态几何特点----问题背景是特殊图形，考察问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性〔特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
〕动点问题一直是中考热点，近几年考察探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、以动态几何为主线的压轴题。
〔一〕点动问题。
〔二〕线动问题。
〔三〕面动问题。
二、解决动态几何问题的常见方法有:1、特殊探路，一般推证。
2、动手实践，操作确认。
3、建立联系，计算说明。
三、专题二总结，本大类习题的共性：1．代数、几何的高度综合〔数形结合〕；着力于数学本质及核心容的考察;四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数．2．以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值。
专题三：双动点问题点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考察学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读者欣赏.1 以双动点为载体，探求函数图象问题。
模型39 数轴上动点问题(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇
1．数轴（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．✮（4）数轴上两点间的距离公式：AB=X B-X A(即：右端点减左端点）✮（5）数轴上中点数公式：=+2(即：中点等于两端点相加除以2）例题精讲【例1】.如图，点A在数轴上表示的数为﹣3，点B表示的数为2，点P在数轴上表示的是整数，点P不与A、B重合，且PA+PB＝5，则满足条件的P点表示的整数有___________.解：∵PA+PB＝5，∴点P在A，B两点之间，A，B两点之间的整数有﹣2，﹣1，0，1，变式训练【变式1-1】．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB＝15，且OA＝2OB，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若3AP+2OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m＝ 2.5或5.5．解：∵AB＝15，OA＝2OB，∴AO＝AB＝10，BO＝AB＝5，∴A点对应数为﹣10，B点对应数为5，设经过t秒，则AP＝＝，OP＝5+4t，BP＝5+4t﹣（5+2t）＝2t，当t≤15时，3AP+2OP﹣mBP＝45﹣3t+10+8t﹣2mt＝（5﹣2m）t+55，∴当5﹣2m＝0，即m＝2.5时，3AP+2OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，当t＞15时，3AP+2OP﹣mBP＝3t﹣45+10+8t﹣2mt＝（11﹣2m）t﹣35，∴当11﹣2m＝0，即m＝5.5时，上式为定值﹣35，也不随t发生改变，故m为2.5或5.5．故答案为：2.5或5.5．【变式1-2】．已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发，速度为每秒2个单位，点N从点B出发，速度为M点的3倍，点P 从原点出发，速度为每秒1个单位．（1）若点M向右运动，同时点N向左运动，求多长时间点M与点N相距46个单位？（2）若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？（3）当时间t满足t1＜t≤t2时，M、N两点之间，N、P两点之间，M、P两点之间分别有47个、37个、10个整数点，请直接写出t1，t2的值．解：（1）设运动时间为t秒，由题意可得：6+8+2t+6t＝46，∴t＝4，∴运动4秒，点M与点N相距46个单位；（2）设运动时间为t秒，由题意可知：M点运动到6+2t，N点运动到﹣8+6t，P点运动到t，由t＝﹣8+6t可得t＝1.6，当t＜1.6时，点N在点P左侧，若MP＝NP，则t﹣（﹣8+6t）＝6+2t﹣t，解得t＝（s）；当t＞1.6时，点N在点P右侧，若MP＝NP，则﹣8+6t﹣t＝6+2t﹣t，解得t＝（s），∴运动s或s时，点P到点M，N的距离相等；（3）由题意可得：M、N、P三点之间整数点的多少可看作它们之间距离的大小，M、N两点距离最大，M、P两点距离最小，可得出M、P两点向右运动，N点向左运动①当t1＝4s时，P在4，M在14，N在﹣32，再往前一点，MP之间的距离即包含10个整数点，NP之间有47个整数点；②当N继续以6个单位每秒的速度向左移动，P点向右运动，若N点移动到﹣33时，此时N、M之间仍为47个整数点，若N点过了﹣33时，此时N、M之间为48个整数点故t2＝+4＝（s），∴t1，t2的值分别为4s，s．【例2】．如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为A，B，C，D，E，F，点A 落在2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么落在数轴上﹣2023的点是点D．解：由图形可知，旋转一周，点B对应的数是1，点C对应的数是0，点D对应的数是﹣1，点E对应的数是﹣2，点F对应的点为﹣3，点A对应的点为﹣4，继续旋转，点B对应的点为﹣5，点C对应的点为﹣6．∵2023÷6＝337…1，∴数轴上表示﹣2025的点与圆周上点D重合．故答案为：点D．变式训练【变式2-1】．在数轴上，点A，O，B分别表示﹣15，0，9，点P，Q分别从点A，B同时开始沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒4个单位，点Q的速度是每秒1个单位，运动时间为t秒．若点P，Q，O三点在运动过程中，其中一个点恰好是另外两点为端点的线段的一个中点，则运动时间为或或秒．解：由题知，P点对应的数为：﹣15+4t，Q点对应的数为：9+t，（1）当O为PQ中点时，根据题意得15﹣4t＝9+t，解得t＝，（2）当P是OQ的中点时，根据题意得2（4t﹣15）＝9+t，解得t＝，（3）当Q是OP的中点时，根据题意得2（9+t）＝4t﹣15，解得t＝，故答案为：或或．【变式2-2】．如图：在数轴上A点表示数﹣3，B点示数1，C点表示数9．（1）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数表示的点重合；（2）若点A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动．①若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值；②当点C在B点右侧时，是否存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．解：（1）AB＝9﹣（﹣3）＝12，12÷2＝6，AB的中点表示的数为：9﹣6＝3，3﹣1＝2，3+2＝5，则点B与5表示的点重合；（2）①由题意可知，t秒时，A点所在的数为：﹣3﹣2t，B点所在的数为：1﹣t，C点所在的数为：9﹣4t，（i）若B为AC中点，则．∴t＝1；（ii）若C为AB中点，则，∴t＝4；（iii）若A为BC中点，则，∴t＝16，∴综上，当t＝1或4或16时，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点；②假设存在．∵C在B右侧，B在A右侧，∴BC＝9﹣4t﹣（1﹣t）＝8﹣3t，AB＝1﹣t﹣（﹣3﹣2t）＝4+t，mBC﹣2AB＝m（8﹣3t）﹣2（4+t）＝8m﹣3mt﹣8﹣2t＝8m﹣8﹣（3mt+2t）＝8m﹣8﹣（3m+2）t，当3m+2＝0即m＝时，mBC﹣2AB＝8×（﹣）﹣8＝﹣为定值，∴存在常数m＝﹣，使mBC﹣2AB的值为定值．1．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上表示“0cm”“8cm”的刻度分别对应数轴上的是﹣3和x所表示的点，那么x等于（）A．5B．6C．7D．8解：根据数轴可知：﹣3+8＝5，故选：A．2．等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2021次后，点B（）A．对应的数是2019B．对应的数是2020C．对应的数是2021D．不对应任何数解：结合数轴，根据连续翻转可得出从原点开始，向右依次是A、B、C循环排列，2021次后共得出2022个顶点，∵2022÷3＝674，∴最后一个点为C，∵最后一个点C是翻转了2021次后得到的，∴点C表示的数为2021，∴点B表示的数为2020，故选：B．3．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+1|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数﹣1的点的距离，|x﹣2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．结合以上知识，下列说法中正确的个数是（）①若|x﹣2022|＝1，则x＝2021或2023；②若|x﹣1|＝|x+3|，则x＝﹣1；③若x＞y，则|x﹣2|＞|y﹣2|；④关于x的方程|x+1|+|x﹣2|＝3有无数个解．A．1B．2C．3D．4解：①若|x﹣2022|＝1，可得x﹣2022＝±1，则则x＝2021或2023；所以①说法正确；②若|x﹣1|＝|x+3|，几何意义是数轴到表示数1的点和表示数3的点的距离相等的点，即可得出x＝﹣1；所以②说法正确；③当y＜x＜0时，则|x﹣2|＜|y﹣2|，所以③说法不正确；④因为|x+1|+|x﹣2|＝3的几何意义是到数轴上表示﹣1的点与表示2的点的距离和等于3的点，即﹣1≤x≤2时满足题意，所以有无数个解，故④说法正确．故选：C．4．数轴上点A表示的数是﹣3，把点A向右移动5个单位，再向左移动7个单位到A′，则A′表示的数是﹣5．解：依题意得：﹣3+5﹣7＝﹣5，即则A′表示的数是﹣5．故答案为：﹣5．5．数轴上点A表示﹣8，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O 和点B，C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动．其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒，t＝4.4时，M、N两点相遇（结果化为小数）．解：当点M、N都运动到折线段O﹣B﹣C上，即t≥2时，M表示的数是×（t﹣2）＝2t﹣4，N表示的数是12﹣3（t﹣2）＝18﹣3t，∵M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，∴2t﹣4＝18﹣3t，解得：t＝＝4.4，故答案为：4.4．6．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，点A、B、C对应的数分别是a、b、c，且ab＜0．（1）原点在第②部分（填序号）；（2）化简式子：|a﹣b|﹣|c﹣a|﹣|a|；（3）若|c﹣5|+（a+1）2＝0，且BC＝2AB，求点B表示的数．解：（1）∵点A、B、C对应的数分别是a、b、c，且ab＜0，∴a＜0，b＞0，∴原点在点A和点B之间，又∵从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，∴原点在第②部分；故答案为：②（2）∵a＜0，b＞0，∴a﹣b＜0，c＞0，∴c﹣a＞0，∴|a﹣b|﹣|c﹣a|﹣|a|＝b﹣a﹣（c﹣a）﹣（﹣a）＝b﹣a﹣c+a+a＝a+b﹣c；（3）∵|c﹣5|+（a+1）2＝0，又∵|c﹣5|≥0，（a+1）2≥0，∴c﹣5＝0，a+1＝0，∴c＝5，a＝﹣1，∵B对应的数是b，5＞b＞﹣1，∴BC＝5﹣b，AB＝b﹣（﹣1）＝b+1，又∵BC＝2AB，∴5﹣b＝2×（b+1），即3b＝3，解得：b＝1，∴点B表示的数为1．7．已知b是最小的正整数，且（c﹣5）2与|a+b|互为相反数．（1）填空：a＝﹣1，b＝1，c＝5；（2）若P为一动点，其对应的数为x，点P在0和2表示的点之间运动，即0≤x≤2时，化简：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（请写出化简过程）；（3）如图，a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，在（1）的条件下，若点A 以1个单位长度/s的速度向左运动，同时，点B和点C分别以2个单位长度/s和5个单位长度/s的速度向右运动．ts后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．解：（1）依题意得，b＝1，c﹣5＝0，a+b＝0，解得a＝﹣1，c＝5．故答案为：﹣1，1，5；（2）点P在0和2表示的点之间运动，即0≤x≤2时，当0≤x≤1时，x+1＞0，x﹣1≤0，x+5＞0，原式＝x+1+x﹣1+2x+10＝4x+10；当1＜x≤2时，x+1＞0，x﹣1＞0，x+5＞0，原式＝x+1﹣x+1+2x+10＝2x+12．综上可知，|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|＝4x+10或2x+12；（3）不变，理由：t秒后A点表示的数是﹣1﹣t，B点表示的数是1+2t，C的表示的数是5+5t，∵AB＝1+2t﹣（﹣1﹣t）＝3t+2，BC＝5+5t﹣（1+2t）＝3t+4，∴BC﹣AB＝2，∴BC﹣AB的值不变，是2．8．数轴上有A、B、C三点，如图1，点A、B表示的数分别为m、n（m＜n），点C在点B 的右侧，AC﹣AB＝2．（1）若m＝﹣8，n＝2，点D是AC的中点．①则点D表示的数为﹣2．②如图2，线段EF＝a（E在F的左侧，a＞0），线段EF从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动（点F不与B点重合），点M是EC的中点，N是BF的中点，在EF 运动过程中，MN的长度始终为1，求a的值；（2）若n﹣m＞2，点D是AC的中点，若AD+3BD＝4，试求线段AB的长．解：（1）①∵m＝﹣8，n＝2，∴AB＝2﹣（﹣8）＝10．∵AC﹣AB＝2，∴AC＝12，∴点C对应的数字为4，∵点D是AC的中点，∴CD＝AC＝6，设点D表示的数为x，∴4﹣x＝6，∴x＝﹣2．∴点D表示的数为﹣2．故答案为：﹣2；②设EF运动的时间为t秒，则点E对应的数字为t﹣8，点F对应的数字为t﹣8+a，∵点M是EC的中点，N是BF的中点，∴点M对应的数字为＝，点N对应的数字为＝，∵MN＝1，∴||＝1．解得：a＝0或a＝4，∵a＞0，∴a＝4；（2）设点C对应的数字为c，点D对应的是为d，∵点A、B表示的数分别为m、n（m＜n），点C在点B的右侧，AC﹣AB＝2，∴c＝n+2，AB＝n﹣m．∵点D是AC的中点，∴d＝，∴AD＝m＝，BD＝n﹣＝，∵AD+3BD＝4，∴＝4，解得：n﹣m＝3．∴AB＝3．9．如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，其中a＜0，b＞0．（1）若a＝﹣7，b＝3，求线段AB的长度及线段AB的中点C表示的数c；（2）该数轴上有另一点D表示数d．①若d＝2，点D在点B的左侧，且AB＝5BD．求整式2a+8b+2023的值；②若d＝﹣2，且AB＝5BD，能否求整式2a+8b+2023的值？若能，求出该值；若不能，说明理由．解：（1）∵a＝﹣7，b＝3，∴线段AB的中点C表示的数c＝3﹣×（|﹣7|+3）＝3﹣×10＝3﹣5＝﹣2；（2）①∵d＝2，点D在点B的左侧，且AB＝5BD，∴AB＝b﹣a，BD＝b﹣2，∴b﹣a＝5（b﹣2），∴a+4b＝10，∴2a+8b+2023＝2（a+4b）+2023＝2×10+2023＝2043；②能求出代数式的值，∵d＝﹣2，点D在点B的左侧，且AB＝5BD，∴AB＝b﹣a，BD＝b+2，∴b﹣a＝5（b+2），∴a+4b＝﹣10，∴2a+8b+2023＝2（a+4b）+2023＝2×（﹣10）+2023＝﹣20+2023＝2003；10．先阅读，后探究相关的问题【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．（1）如图，先在数轴上画出表示点4.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为﹣4.5和 3.5，B，C两点间的距离是8；（2）若点A表示的整数为x，则当x为﹣2时，|x+6|与|x﹣2|的值相等；（3）要使代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣1≤x≤2．解：（1）4.5的相反数是﹣4.5，即点B表示的数为﹣4.5；点C表示的数为5﹣1.5＝3.5；B，C两点间的距离是3.5﹣（﹣4.5）＝3.5+4.5＝8；故答案为：﹣4.5，3.5，8；（2）∵|x+6|与|x﹣2|的值相等，∴x+6＝x﹣2此种情况等式不成立，或x+6＝﹣（x﹣2），x＝﹣2，∴x＝﹣2时，|x+6|与|x﹣2|的值相等；故答案为：﹣2；（3）∵|x+1|+|x﹣2|值最小，∴在数轴上可以看作表示x的到﹣1的距离与到2的距离和最小，∴数x只能在﹣1与2之间，包括﹣1与2两个端点，∴﹣1≤x≤2．故答案为：﹣1≤x≤2．11．如图，已知点O为数轴的原点，点A、B、C、D在数轴上，其中A、B两点对应的数分别为﹣1、3．（1）填空：线段AB的长度AB＝4；（2）若点A是BC的中点，点D在点A的右侧，且OD＝AC，点P在线段CD上运动．问：该数轴上是否存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化？（3）若点P以1个单位/秒的速度从点O向右运动，同时点E从点A以5个单位/秒的速度向左运动、点F从点B以20个单位/秒的速度向右运动，M、N分点别是PE、OF的中点．点P、E、F的运动过程中，的值是否发生变化？请说明理由．解：（1）∵A、B两点对应的数分别为﹣1、3，∴OA＝1，OB＝3，∴AB＝OA+OB＝4．故答案为：4；（2）数轴上存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化．理由：A、B两点对应的数分别为﹣1、3，∴OA＝1，OB＝3，∵点A是BC的中点，∴AC＝AB＝4．∴OC＝AC+OA＝5，∴C点对应的数为﹣5．又∵OD＝AC，点D在点A的右侧，∴D点对应的数为4．设P点对应的数为x，①P点在射线CA上时，PA＝﹣1﹣x，PB＝3﹣x，∴PA+PB＝﹣1﹣x+（3﹣x）＝2﹣2x，∴PA+PB的值随着点P的运动而发生变化；②P点在线段AB上时，PA＝x﹣（﹣1）＝x+1，PB＝3﹣x，∴PA+PB＝x+1+（3﹣x）＝4，∴PA+PB的值随着点P的运动没有发生变化；③P点在射线BD上时，PA＝x﹣（﹣1）＝x+1，PB＝x﹣3，∴PA+PB＝x+1+（x﹣3）＝2x﹣2，∴PA+PB的值随着点P的运动而发生变化．综上，P点在线段AB上时，PA+PB的值没有发生变化，∴数轴上存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化；（3）在运动过程中，的值不发生变化．理由：设运动时间为t 分钟，则OP ＝t ，OE ＝5t +1，OF ＝20t +3，∴EF ＝OE +OF ＝25t +4，∵M 、N 分别是PE 、OF 的中点，∴EM ＝PM ＝PE ＝（OP +OE ）＝3t +，ON ＝OF ＝10t +，∴OM ＝OE ﹣EM ＝5t +1﹣（3t +）＝2t +，∴MN ＝OM +ON ＝12t +2，∴．∴在运动过程中，的值不发生变化．12．如图，在数轴上，点O 表示原点，点A 表示的数为﹣1，对于数轴上任意一点P （不与点A 点O 重合），线段PO 与线段PA 的长度之比记作k （p ），即，我们称k （p ）为点P 的特征值，例如：点P 表示的数为1，因为PO ＝1，PA ＝2，所以．（1）当点P 为AO 的中点时，则k （p ）＝1；（2）若k （p ）＝2，求点P 表示的数；（3）若点P 表示的数为p ，且满足p ＝2n ﹣1，（其中n 为正整数，且1≤n ≤7），求所有满足条件的k （p ）的和．解：（1）由题意可知，当点P 为AO 的中点时点P 表示的数为，，∴，故答案为：1；（2）设点P 表示的数为x ，则PO ＝|x |，PA ＝|x ﹣（﹣1）|＝|x +1|，∵k （p ）＝2，∴，即PO ＝2PA ，∴|x|＝2|x+1|，∴x＝2（x+1）或x＝﹣2（x+1），解得：x＝﹣2或；故：点P表示的数﹣2或；（3）点P表示的数为p，且满足p＝2n﹣1，（其中n为正整数，且1≤n≤7），p＝2n﹣1＞0，此时：PO＝p，PA＝p﹣（﹣1）＝p+1，当p＝2n﹣1时∵1≤n≤7，且n为正整数，则所有满足条件的k的值分别为：（p），故所有满足条件的k的和为：＝（p），令，则，②﹣①得：，∴＝＝．13．把一根小木排放在数轴上，木棒左端点与点A重合，右端点与点B重合，数轴的单位长度为1cm，如图所示．（1）若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点B处时、它的右端点在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左移动时，当它的右端点移动到点A处时，木棒左端点在数轴上对应的数为5，由此可得木棒的长为5cm；我们把这个模型记为“木捧摸型”；（2）在（1）的条件下，已知点C表示的数为﹣2．若木棒在移动过程中，当木棒的左端点与点C相距3cm时，求木棒的右端点与点A的距离；（3）请根据（1）的“木棒模型”解决下列问题．某一天，小字问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要41年才出生；你若是我现在这么大，我就有124岁了，世界级老寿星了，哈哈！”请你画出“木棒模型”示意图，求出爷爷现在的年龄．解：（1）由图观察可知，三根木棒长是20﹣5＝15（cm），则此木棒长为：15÷3＝5（cm）；故答案为：5cm；（2）由题可知，点A所表示的数是5+5＝10，∵木棒的左端点与点C相距3cm，点C表示的数为﹣2，当左端点在点C右侧3cm时，此时木棒左端点表示的数为：﹣2+3＝1，右端点表示的数为；1+5＝6，木棒的右端点与A的距离为：10﹣6＝4，当左端点在点C左侧3cm时，此时木棒左端点表示的数为：﹣2﹣3＝﹣5，木棒的右端点表示的数为：﹣5+5＝0，木棒的右端点与点A的距离＝10﹣0＝10，∴木棒的右端点与点A的距离为4或10；（3）由图可知，把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB，类似爷爷是小红现在年龄时看作当B点移动到A点时，此时A点所对应的数位﹣41，因为当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为124，所以爷爷比小红大[124﹣（﹣41）]÷3＝55（岁），所以爷爷的年龄为124﹣55＝69（岁），答：爷爷现在的年龄是69岁．14．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．（1）若点A表示数﹣1，点B表示的数2，下列各数：，0，1，4，5所对应的点分别为C1，C2，C3，C4，C5，其中是点A，B的“联盟点”的是C2，C3，C5；（2）点A表示的数是﹣1，点B表示的数是3，P是数轴上的一个动点：①若点P在线段AB上，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；②若点P在点A的左侧，点P、A、B中有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，求出此时点P表示的数．解：（1）∵AC1═﹣﹣（﹣1）═，BC1═2﹣（﹣）═，∴2AC1≠BC1，∴C1不是A，B的“联盟点”．∵AC2═0﹣（﹣1）═1，BC2＝2﹣0＝2，∴2AC2═BC2，∴C2是A，B的“联盟点”．∵AC3═1﹣（﹣1）＝2，BC3═2﹣1＝1，∴AC3═2BC3，∴C3是A，B的“联盟点”．∵AC4═4﹣（﹣1）＝5，BC4═4﹣2＝2，∴AC4≠BC4，∴C4不是A，B的“联盟点”．∵AC5═5﹣（﹣1）＝6，BC5═5﹣2＝3，∴AC5═2BC5，∴C5是A，B的“联盟点”．综合上述，是点A，B的“联盟点”的是C2，C3，C5．（2）解；设点P表示的数为x，①∵P在线段AB上，∴AP＝x+1，BP＝3﹣x，当AP＝2BP时，有x+1＝2（3﹣x），解得x＝，当BP＝2AP时，有3﹣x＝2（x+1），解得x＝，综上所述，点P表示的数为，．②由题意得，AB＝4，∵P在A的左侧，∴AP＝﹣1﹣x，BP＝3﹣x，当点A为B，P的“联盟点”时，若AB＝2AP，则有4＝2（﹣1﹣x），解得x＝﹣3，若AP＝2AB，则有﹣1﹣x＝2×4，解得x＝﹣9，当点B为A，P的“联盟点”时，2AB＝BP，则有2×4＝3﹣x，解得x＝﹣5，当点P为A，B的“联盟点”时，BP＝2PA，则有3﹣x＝2（﹣1﹣x），解得x＝﹣5，综上所述，P表示的数为﹣9，﹣3，﹣5．15．如图，点A，O，B，D在同一条直线l上，点B在点A的右侧，AB＝6，OB＝2，点C 是AB的中点，如图画数轴．（1）若点O是数轴的原点，则点B表示的数是2，点C表示的数是﹣1；（2）若点O是数轴的原点时，D点表示的数为x，且AD＝5，求x；（3）若点D是数轴的原点，点D在点A的左侧，点A表示的数为m，且A，B，C，O 所表示的数之和等于21，求m；（4）当O是数轴的原点，动点E，F分别从A，B出发，相向而行，点E的运动速度是每秒2个单位长度，点F的运动速度是每秒1个单位长度，当EF＝3时，求点A，B，E，F表示的数之和．解；（1）点B在点A的右侧，OB＝2，∴点B表示的数是﹣2，故答案为：2；AB＝6，点C是AB的中点，∴BC＝3，∴点C表示的数是2﹣3＝﹣1，故答案为：﹣1；（2）AB＝6，点B在点A的右侧，点A表示的数是﹣4，AD＝|﹣4﹣x|＝5，x＝1或x＝﹣9；（3）若点D是数轴的原点，点D在点A的左侧，点A表示的数为m，∵AB＝6，C是AB的中点，OB＝2，∴AC＝3，AO＝4，∴点O表示的数是m+4，点C表示的数是m+3，点B表示的数是m+6，m+（m+6）+（m+3）+（m+4）＝21，解得m＝2；（4）设运动时间为t，据题意得：6﹣2t﹣t＝3，解得t＝1，AE＝2，BF＝1，点E表示的数是﹣2，点F表示的数是1，点A，B，E，F表示的数之和为：﹣4+2+（﹣2）+1＝﹣3，16．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a，c满足|a+4|+（c﹣2）2＝0，b是最大的负整数．（1）a＝﹣4，b＝﹣1，c＝2．（2）若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数﹣1表示的点重合；（3）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A和点B分别以每秒0.4个单位长度和0.3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒0.2个单位长度的速度向左运动，点C到达原点后立即以原速度向右运动，运动时间为t秒，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，请问：5AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出5AB﹣BC的值．解：（1）∵|a+4|+（c﹣2）2＝0，b是最大的负整数，a＝﹣4，b＝﹣1，c＝2，故答案为：﹣4，﹣1，2；（2）AB＝﹣1﹣（﹣4）＝3，AC＝2﹣（﹣4）＝6，点B为AC的中点，故将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与自身重合，故答案为：﹣1；（3）AB＝3+0.4t＝0.3t＝3+0.1t，当C运动到原点时，t＝2÷0.2＝10（秒），点B运动到点A的位置，当t≤10秒时，BC＝3+0.3t﹣0.2t＝3+0.1t，5AB﹣B＝5（3+0.1t）﹣（3+0.1t）＝15+0.5t﹣3﹣0.1t＝12+0.4t，5AB﹣BC的值随时间的变化而变化；当t＞10时，BC＝4+0.3t+0.2t＝4+0.5t，5AB﹣BC＝5（3+0.1t）﹣（4+0.5t）＝15+0.5t﹣4﹣0.5t＝11．这时5AB﹣BC的值不变．17．定义：对于数轴上的三点，若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系．如下图，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B就是点A，C的一个“关联点”．（1）写出点A，C的其他三个“关联点”所表示的数：﹣2、2、7．（2）若点M表示数﹣2，点N表示数4，数﹣8，﹣6，0，2，10所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，C5，其中不是点M，N的“关联点”是点C2．（3）若点M表示的数是﹣3，点N表示的数是10，点P为数轴上的一个动点．①若点P在点N左侧，且点P是点M，N的“关联点”，求此时点P表示的数．②若点P在点N右侧，且点P，M，N中，有一个点恰好是另外两个点的“关联点”，求此时点P表示的数．解：（1）2﹣1＝1，4﹣2＝2，2是A，C的一个“关联点”，设x是A，C的一个“关联点”，x﹣1＝2（x﹣4）解得x＝7，设y是A，C的一个“关联点”，2（1﹣y）＝4﹣y解得y＝﹣2，A，C的其他三个“关联点”所表示的数为：﹣2、2、7，故答案为：﹣2、2、7，（2）∵﹣2﹣（﹣8）＝6，4﹣（﹣8）＝12，∴C1是关联点，∵﹣2﹣（﹣6）＝4，4﹣（﹣6）＝10，∴C2不是关联点，∵0﹣（﹣2）＝2，4﹣0＝4，∴C3是关联点，∵2﹣（﹣2）＝4，4﹣2＝2，∴C4是关联点，∵10﹣（﹣2）＝12，10﹣4＝6，∴C5是关联点，故答案为：C2．（3）①若点P在点N左侧且在M的右侧，设点P表示的数为x，当2（x+3）＝10﹣x解得，当x+3＝2（10﹣x）解得，若点P在M点左侧，设点P表示的数为x，∴2（﹣3﹣x）＝10﹣x解得x＝﹣16，综上所述：P表示的数为：；②若点P在点N右侧，设点P表示的数为x，当PN＝2MN时，则2×13＝x﹣10解得x＝36，当MN＝2PN时，则13＝2×（x﹣10）解得，当MP＝2MN时，则x+3＝2×13解得x＝23，当MP＝2PN时，则x+3＝2×（x﹣10）解得x＝23，综上所述：P表示的数为：，23.36．18．[知识背景]：数轴上，点A，点B表示的数为a，b，则A，B两点的距离表示为AB＝|a﹣b|．线段AB的中点P表示的数为．[知识运用]：已知数轴上A，B两点对应的数分别为a和b，且（a﹣4）2+|b﹣2|＝0，P 为数轴上一动点，对应的数为x．（1）a＝4，b＝2；（2）若点P为线段AB的中点，则P点对应的数x为3，若点B为线段AP的中点，则P点对应的数x为0；（3）若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动，点A的速度为每秒1个单位长度，点B的速度为每秒3个单位长度，则经过122秒点B追上点A；（4）若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动，它们的速度都为每秒1个单位长度，与此同时点P从表示﹣16的点处以每秒2个单位长度的速度在数轴上向右运动．经过多长时间后，点A、点B、点P三点中，其中一点是另外两点组成的线段的中点？解：（1）∵（a﹣4）2+|b﹣2|＝0，∴a﹣4＝0，b﹣2＝0，∴a＝4，b＝2．故答案为4、2．（2）点A，B表示的数分别为4，2，P对应数为x，若点P为线段AB的中点，则P点对应的数x＝＝3，若B为线段AP的中点时，则＝2，解得x＝0．故答案为1，0；（3）解：设经过x秒点B追上点A，（3﹣1）x＝4﹣2，2x＝2，x＝1，答：经过1秒点B追上点A．（4）经过t秒后，点A，点B，点P三点中其中一点是另外两点的中点，t秒后，点A的位置为：4﹣t，点B的位置为：2﹣t，点P的位置为：﹣16+2t，当点A为PB的中点时，则有，2×（4﹣t）＝2﹣t﹣16+2t，解得：t＝，当点B为PA的中点时，则有，2×（2﹣t）＝4﹣t﹣16+2t，解得：t＝，当点P为BA的中点时，则有，2×（﹣16+2t）＝4﹣t+2﹣t，解得：t＝，答：经过秒，秒，秒后，点A，点B，点P三点中其中一点是另外两点的中点．故答案为：秒，秒，秒．19．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）探究：①数轴上表示5和3的两点之间的距离是2．②数轴上表示﹣1和﹣4的两点之间的距离是3．③数轴上表示﹣3和5的两点之间的距离是8．（2）归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于|a﹣b|．（3）应用：①若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，则|a+4|+|a﹣3|的值＝7．②若a表示数轴上的一个有理数，且|a﹣1|＝|a+3|，则a＝﹣1．③若a表示数轴上的一个有理数，|a﹣1|+|a+2|的最小值是3．④若a表示数轴上的一个有理数，且|a+3|+|a﹣5|＞8，则有理数a的取值范围是a＞5或a＜﹣3．（4）拓展：已知，如图2，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．若当电子蚂蚁P从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以3单位/秒的速度向左运动，求经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，并写出此时点P所表示的数．解：（1）①5﹣3＝2，故答案为：2；②（﹣1）﹣（﹣4）＝3，故答案为：3；③5﹣（﹣3）＝8，故答案为：8；（2）根据数轴上两点间的距离得|a﹣b|，故答案为：|a﹣b|；（3）①∵表示数a的点位于﹣4与3之间，∴|a+4|+|a﹣3|＝a+4+3﹣a＝7，故答案为：7；②∵|a﹣1|＝|a+3|∴表示数a的点在1和﹣3之间，∴|a﹣1|＝|a+3|，1﹣a＝a+3，a＝﹣1，故答案为：﹣1；③∵|a﹣1|+|a+2|有最小值，∴表示a的点在﹣2与1之间，∴|a﹣1|+|a+2|＝1﹣a+a+2＝3，故答案为：3；④|a+3|+|a﹣5|＞8，当﹣3＜a＜5时，|a+3|+|a﹣5|＝a+3+5﹣a＝8，不合题意舍去；当a＜﹣3时，|a+3|+|a﹣5|＝﹣（a+3）+5﹣a＞8，a＜﹣3；当a＞5时，|a+3|+|a﹣5|＞8，a+3+a﹣5＞8，a＞5，故答案为：a＜﹣3或a＞5；（4）设电子蚂蚁运动x秒时，P、Q相距20个单位长度，①4x+3x+20＝20+100，x＝，点P表示的是4×﹣20＝②4x+3x﹣20＝20+100，x＝20，点P表示的是4×20﹣20＝60，20．将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18．我们称点A和点C在数轴上的“友好函数”为28个单位长度．动点P从点A出发，以2单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为原来的一半．经过点B后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点B与点O之间时速度变为原来的两倍，经过O后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．（1）动点P从点A运动至点C需要19秒，动点Q从点C运动至点A需要23秒；（2）P，Q两点相遇时，求出相遇点M在“折线数轴”上所对应的数；（3）是否存在t值，使得点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B 在“折线数轴”上的“友好距离”？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，∴OA＝10，BO＝10，BC＝8，∴动点P从点A运动至点C需要的时间是：10÷2+10÷1+8÷2＝19（s），动点Q从点C运动至点A需要的时间是：10÷1+10÷2+8÷1＝23（s），故答案为：19，23；（2）根据题意可知，P、Q两点在OB上相遇，P点运动到OB上时表示的数是t﹣5，Q点运动到OB上时表示的数是10﹣2（t﹣8），∴t﹣5＝10﹣2（t﹣8），解得t＝，∴M点表示的数是﹣5＝；（3）存在t值，使得点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”，理由如下：∵点A表示﹣10，点B表示10，∴点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”是20，①当0≤t≤5时，P点在OA上，Q点在BC上，此时P点表示的数是﹣10+2t，Q点表示的数是18﹣t，∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为18﹣t+10﹣2t＝28﹣3t，由题意可得，28﹣3t＝20，解得t＝；②当5＜t≤8时，P点在OB上，Q点在OC上，此时P点表示的数是t﹣5，Q点表示的数是18﹣t，∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为18﹣t﹣t+5＝23﹣2t，由题意可得，23﹣2t＝20，解得t＝（舍）；③8＜t≤13时，点P、Q都在BO上，此时PQ＜10，∴此情况不符合题意；④13＜t≤15时，P点在OB上，Q点在OA上，此时P点表示的数是t﹣5，Q点表示的数是t﹣13，∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为t﹣5+t﹣13＝2t﹣18，由题意可得，2t﹣18＝20，解得t＝19（舍）；⑤15＜t≤19时，P点在BC上，Q点在OA上，此时P点表示的数是2t﹣20，Q点表示的数是t﹣13，∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为t﹣13+2t﹣20＝3t﹣33，由题意可得，3t﹣33＝20，解得t＝；⑥19＜t≤23时，P点在C的右侧，Q点在OA上，此时P点表示的数是2t﹣20，Q点表示的数是t﹣13，∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为t﹣13+2t﹣20＝3t﹣33，由题意可得，3t﹣33＝20，解得t＝（舍）；⑦t＞23时，P点在C点右侧，Q点在A点左侧，PQ＞20，不符合题意；综上所述：t的值为或．21．在数轴上，点M，N对应的数分别是m，n（m≠n，mn≠0），P为线段MN的中点，同时给出如下定义：如果＝10，那么称M是N的“努力点”．例如：m＝1，n＝，M是N的“努力点”．（1）若|m﹣10|+（n+90）2＝0则m＝10，n＝﹣90；（2）在（1）的条件下，下列说法正确的是③（填序号）；①M是P的“努力点”；②M是N的“努力点”③N是M的“努力点”；④N是P的“努力点”（3）若mn＜0，且P是M，N其中一点的“努力点”，求值？解：（1）∵|m﹣10|+（n+90）2＝0，∴m＝10，n＝﹣90，故答案为：10，﹣90；（2）∵m＝10，n＝﹣90，∴P点对应的数是﹣40，∵||＝，∴M不是P的“努力点”，故①不符合题意；∵m＝10，n＝﹣90，∴||＝，∴M不是N的“努力点”，故②不符合题意；∵||＝10，∴N是M的“努力点”，故③符合题意；∵||＝，∴N是P的“努力点”，故④不符合题意；故答案为：③；（3）∵P为线段MN的中点，∴P点对应的数为，当P是M点的“努力点”时，||＝10，∴＝21或＝﹣19，∵mn＜0，∴＝﹣；当P是N点的“努力点”时，||＝10，∴＝21或＝﹣19，∵mn＜0，∴＝﹣19；综上所述：的值为﹣19或﹣．22．在数轴上，O为原点，点A，B对应的数分别是a，b（a≠b，ab≠0），M为线段AB的中点．给出如下定义：若OA÷OB＝4，则称A是B的“正比点”；若OA×OB＝4，则称A是B的“反比点”．例如a＝2，时，A是B的“正比点”；a＝2，b＝﹣2时，A是B的“反比点”．（1）若|a+2|+（b﹣4）2＝0，则M对应的数为1，下列说法正确的是③④（填序号）．。
中考数学压轴题之动点问题
D C BA PQ K E D C B A 中考压轴题之动点问题1. （2011吉林）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD =90°，CE ⊥AD 于点E ，AD =8cm ，BC =4cm ，AB =5cm ．从初始时刻开始，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，运动速度均为1cm/s ，动点P 沿A -B -C -E 方向运动，到点E 停止；动点Q 沿B -C -E -D 方向运动，到点D 停止，设运动时间为x s ，△P AQ 的面积为y cm 2，（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题：（1） 当x =2s 时，y =_____ cm 2；当x =92s 时，y =_______ cm 2． （2）当5 ≤ x ≤ 14时，求y 与x 之间的函数关系式．（3）当动点P 在线段BC 上运动时，求出154 y S 梯形ABCD 时x 的值． （4）直接写出在整个．．运动过程中，使PQ 与四边形ABCE 的对角线平行的所有x 的值．2. （2007河北）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC =50，AD =75，BC =135．点P 从点B 出发沿折线段BA -AD -DC 以每秒5个单位长的速度向点C 匀速运动；点Q 从点C 出发沿线段CB 方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q 向上作射线QK ⊥BC ，交折线段CD -DA -AB 于点E ．点P 、Q 同时开始运动，当点P 与点C 重合时停止运动，点Q 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当点P 到达终点C 时，求t 的值，并指出此时BQ 的长；（2）当点P 运动到AD 上时，t 为何值能使PQ ∥DC ？（3）设射线QK 扫过梯形ABCD 的面积为S ，分别求出点E 运动到CD 、DA 上时，S 与t 的关系式；（4）△PQE 能否成为直角三角形？若能，写出t 的取值范围；若不能，请说明理由．备用图3. （2008河北）如图，在Rt ABC △中，∠C=90°，AB =50，AC =30，D ，E ，F 分别是AC ，AB ，B C 的中点．点P 从点D 出发沿折线DE -EF -FC -CD 以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q 从点B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q 作射线QK AB ⊥，交折线BC -CA 于点G ．点P Q ，同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P Q ，运动的时间是t 秒（0t >）．（1）D F ，两点间的距离是 ；（2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出t 的值．若不能，说明理由；（3）当点P 运动到折线EF FC -上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值；（4）连结PG ，当PG AB ∥时，请直接．．写出t 的值．4. （2011山西太原）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形．直线l 经过O 、C 两点．点A 的坐标为(8，0)，点B 的坐标为(11，4)，动点P 在线段OA 上从点O 出发以每秒1个单位的速度向点A 运动，同时动点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿A →B →C 的方向向点C 运动，过点P 作PM 垂直于x 轴，与折线O -C -B 相交于点M ．当P 、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒(0t >)，△MPQ 的面积为S ．（1）点C 的坐标为________，直线l 的解析式为__________．（2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．（3）试求题(2)中当t 为何值时，S 的值最大，并求出S 的最大值．（4）随着P 、Q 两点的运动，当点M 在线段CB 上运动时，设PM 的延长线与直线l 相交于点N ．试探究：当t 为何值时，△QMN 为等腰三角形？请直接写出t 的值．B 备用图F E DC BAF E O P D C B F E O P D C B F E O P D C B 5. （2011四川重庆）如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝23，点O 是AB 的中点，点P 在AB 的延长线上，且BP ＝3．一动点E 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA 匀速运动，到达A 点后，立即以原速度沿AO 返回；另一动点F 从P 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线P A 匀速运动，点E 、F 同时出发，当两点相遇时停止运动．在点E 、F 的运动过程中，以EF 为边作等边△EFG ，使△EFG 和矩形ABCD 在射线P A 的同侧，设运动的时间为t 秒（t ≥0）．（1）当等边△EFG 的边FG 恰好经过点C 时，求运动时间t 的值；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG 和矩形ABCD 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式和相应的自变量t 的取值范围；（3）设EG 与矩形ABCD 的对角线AC 的交点为H ，是否存在这样的t ，使△AOH 是等腰三角形？若存在，求出对应的t 的值；若不存在，请说明理由．备用图1 备用图26. （2011山东烟台）如图，在直角坐标系中，梯形ABCD 的底边AB 在x 轴上，底边CD 的端点D 在y 轴上．直线CB 的表达式为41633y x =-+，点A 、D 的坐标分别为（－4，0），（0，4）．动点P 自A 点出发，在AB 上匀速运动．动点Q 自点B 出发，在折线BCD 上匀速运动，速度均为每秒1个单位．当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动．设点P 运动t （秒）时，△OPQ 的面积为S （不能构成△OPQ 的动点除外）．（1）求出点B 、C 的坐标；（2）求S 随t 变化的函数关系式；（3）当t 为何值时S 有最大值？并求出最大值．备用图。
九年级中考压轴——动点问题集锦
九年级中考压轴——动点问题集锦1、已知等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动。
过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒。
1) 当四边形MNQP为矩形时，有MN=QP，即MN在运动t秒后，线段QP的长度为3+t。
因为三角形ABC是等边三角形，所以三角形ABC的高等于边长的一半，即2根号3.因此，四边形MNQP的面积为2根号3*t平方+2t。
2) 四边形MNQP的面积为S，运动时间为t。
因为三角形ABC是等边三角形，所以三角形ABC的高等于边长的一半，即2根号3.因此，四边形MNQP的高为2根号3.由于四边形MNQP是矩形，所以MN=QP=3+t，PQ=2根号3.因此，S=PQ*MN=2根号3*(3+t)。
函数关系式为S=2根号3*t+6根号3，t的取值范围为t≥0.2、在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=42，∠B=45度。
动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动。
设运动的时间为t 秒。
1) 因为三角形ABD和三角形CBD相似，所以BD=AB-AD=39.由于三角形BCD是直角三角形，所以BC=BD/根号2=39/根号2.2) 当MN∥AB时，由于三角形BMD和三角形BAC相似，所以BD/AB=MD/MN，即39/42=2t/(3+t)，解XXX13秒。
3) 当△MNC为等腰三角形时，由于三角形MNC和三角形ABD相似，所以CN/AD=MN/BD，即CN/3=(3+t)/39，XXX13秒。
3、在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(4，3)，点C在y轴的正半轴上。
动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点。
初三中考动点题型总结
初三中考动点题型总结
嘿，同学们！今天咱就来好好唠唠初三中考的动点题型！这动点题型啊，那可真是让咱又爱又恨呐！就好像是游戏里的大 boss，难是难，可
一旦攻克了，那成就感爆棚啊！比如说在一个直角三角形中，有一个点在边上不停移动，问你各种边长啊、角度啊之类的问题（例如：已知直角三角形ABC，直角边 AB=3，AC=4，点 P 在 BC 边上移动，问当 PA 垂直于 BC 时，PA 的长度是多少）。
动点题型就像一个神秘的宝藏盒，你永远不知道打开后会遇到什么难题！但就是这种神秘感，让我们充满了探索的欲望，不是吗！有时候一个看似简单的图形，因为动点的加入，一下子就变得超级复杂啦！就好像平静的湖面扔进了一颗石子，瞬间激起千层浪。
咱就得像侦探一样，抽丝剥茧地去分析。
想象一下，有个动点在那不停地窜来窜去，你得紧紧盯着它，看它到底想干啥（就像一个调皮的孩子在那儿捣乱，我们得想办法抓住他）。
在解决动点问题的时候，咱们得时刻保持头脑清醒，一点儿也马虎不得！要认真分析每个条件，把能用上的都用上。
画个图，仔细标注，别放过任何一个细节哟！而且，还得学会从复杂的图形中找到关键信息，这可是个技术活！就拿一个圆来说吧，上面有个点在动，看着都让人头晕（天哪，那复杂
的线条，脑袋都大了），但咱可不能怕，鼓起勇气，一点点分析，肯定能找到答案！
最后我想说，中考动点题型虽然难，但只要我们认真对待，多练习，多总结，就一定能战胜它！别被它吓倒，要相信自己的能力！我们一起加油，搞定动点题型，在中考中取得好成绩！。
几何中的动点问题：中考数学轨迹与路径
几何中的动点问题：中考数学轨迹与路径几何作为数学的一部分，一直以来被认为是高难度的学科之一，但是在实际中，几何也是生活和科学中必不可少的组成部分。
而在几何中，动点问题一直是人们感到困惑的一个问题。
在这篇文章中，我们将为大家全面介绍几何中的动点问题，以及如何在中考数学中处理轨迹和路径的问题。
一、动点问题的基本定义及特点动点问题可以简单定义为：在几何图形中，设有一个动点进行运动，如何求出该点的轨迹和路径。
动点问题是几何中的一个重要问题，具有以下特点：1. 动点问题一般是基于静态点进行分析，因此需要对静态点的性质有深刻的认识。
2. 动点问题的解决需要具备一定的数学能力和三维空间思维能力，需要较高的数学水平。
3. 动点问题结合实际进行探究，可以帮助人们更好地理解几何、物理等知识，也有益于培养人们的空间思维能力。
二、动点问题的基本应用1. 针对不同的几何图形，我们可以找到它们的动点问题：（1）直线的动点问题：一般是着眼于直线上的动点，分析其轨迹和路径；（2）圆的动点问题：针对圆上的任意一点，求其轨迹和路径；（3）曲线的动点问题：着重考虑曲线上的动点，探究它们的轨迹和路径。
2. 在实际生活中，动点问题也有很多应用：（1）公路的修建：如何建设一条曲线公路，使得大车可以顺利通过，是一个很好的动点问题实例；（2）太空飞行器飞行：在太空中，如何预测航天器的运动轨迹，需要运用动点问题的相关知识；（3）排球比赛中跑位：排球比赛中，如何控制自己的跑位，使得球能够顺利地落到自己的手中，也是一种动点问题的体现。
三、如何在中考数学中处理轨迹和路径在中考数学中，轨迹和路径的处理是重点。
我们可以通过以下方法来解决问题：1. 把动点分解成几个静止的点，结合点的特性，推导出动点刚好经过这些点时的轨迹和路径。
2. 找到一个合适的坐标系，将动点变成坐标，问题就可以转化为一个数学问题，更加便于解决。
3. 运用相关的几何定理，如垂线定理、角平分线定理等，结合动点的运动特性，解决问题。
中考数学动点问题(难)
因动点产生的三角形问题例1已知Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数(0)ky k x=?在第一象限内的图象与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2． （1）求m 与n 的数量关系； （2）当tan ∠A ＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式； （3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．例2在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，4），直线CM //x 轴（如图所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y ＝x ＋b （b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ．（1）求b 的值和点D 的坐标；（2）设点P 在x 轴的正半轴上，若△POD 是等腰三角形，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，如果以PD 为半径的圆与圆O 外切，求圆O 的半径．例3 如图，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．①求S 与t 的函数关系式；②设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．练习1.如图，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数43y x=的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．2.如图，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．(1)求证：MN∶NP为定值；(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．3.如图，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ． （1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；（3）设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H ．当点P从O 向C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．4.如图，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．因动点产生的四边形问题例1 几何图形中的四边形存在性问题1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t = 2时，AP =，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C 时，请直接．．写出t的值．2、如图梯形ABCD中AD∥BC,AD=CD,DE⊥BC于点E,且DE=1,AD=4, ∠B=45°.（1）直接写出BC的长；（2）直线AB以每秒0.5个单位的速度向右平移，交AD于点Q,则当直线AB的移动时间为多少秒，形成的四边形ABQP恰好为菱形？（结果精确到0.01秒）；（3）AB移动的方向、速度如同第（2）题，移动时间为t秒，AB扫过梯形ABCD的面积S（用t的代数式表示，直接写出答案即可）3、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）填空：①当t为s时，四边形ACFE是菱形；②当t为s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是直角梯形．4、已知：如图，▱ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为3cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接并延长QP交BA的延长线于点M，过M 作MN⊥BC，垂足是N，设运动时间为t（s）（0＜t＜1）。
中考数学动点问题复习
中考数学动点问题复习中考数学复习（一）动点型问题一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。
二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
三、中考考点精讲考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.例1 如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．对应训练1．如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（）A． B． C． D．考点二：动态几何型题目（一）点动问题．例2 如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE=EF=FB=5，DE=12动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止．设运动时间为t秒，y=S△EPF，则y与t的函数图象大致是（）A．B．C．D．对应训练2．如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A． B．C． D．（二）线动问题例3 如右图所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是（）A． B．C． D．对应训练3．如图所示，在矩形ABCD中，垂直于对角线BD的直线l，从点B开始沿着线段BD匀速平移到D．设直线l被矩形所截线段EF的长度为y，运动时间为t，则y关于t的函数的大致图象是（）A． B．C．D．（三）面动问题例4 如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内去掉小正方形后的面积为s，那么s与t的大致图象应为（）A．B．C．D．对应训练4．如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（）考点三：动点综合题动态问题是近几年来中考数学的热点题型，解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.（一）因动点产生的等腰三角形问题例1 如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB 上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1 备用图例2 如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1例3 如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1例4 如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数43y x的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA 或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．图1例5 如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12ym，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？图1例 6如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于M，过M作MN//AB交折线ADC于N，连结PN，设EP ＝x．①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．图1 图2 图3例1 如图1，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1例2 如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图1（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．例4设直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线．（1）已知直线①122y x=-+；②2y x=+；③22y x=+；④24y x=+和点C(0，2)，则直线_______和_______是点C的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式．图1例5 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244m my x x m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上．（1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．图1例6 如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，，，．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设．（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？图14=MN 1=MA 1>MB x AB=例 7如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由； ③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．图1例8 如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由； ③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．图1课后练习（一）一、选择题1．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.52．图1所示矩形ABCD中，BC=x，CD=y，y与x满足的反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过C 点，M为EF的中点，则下列结论正确的是（）A．当x=3时，EC＜EM B．当y=9时，EC＞EMC．当x增大时，EC•CF的值增大 D．当y增大时，BE•DF的值不变3．如图，将边长为4的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是2和4的Rt△GEF的一边GF重合．正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运动．设正方形的运动时间为t秒，正方形ABCD 与Rt△GEF重叠部分面积为s，则s关于t的函数图象为（）A．B．C．D．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．55．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤5）．以P 为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连接CD、QC．（1）求当t为何值时，点Q与点D重合？（2）设△QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（-4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．①求证：∠BDE=∠ADP；②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．7.如图，直角梯形OABC中，AB∥OC，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点C在x轴正半轴上，点B坐标为(2，2 3 )，∠BCO＝60°，OH⊥BC于点H。
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动点问题 题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、三角形边上动点1、（2009年齐齐哈尔市）直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从出发，同时到达A 点，运动停止．点Q沿线段OA 运动，速度为每秒1个单 位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．解：1、A （8，0） B （0，6）2、当0＜t ＜3时，S =t2当3＜t ＜8时，S =3／8(8-t )t 提示：第（2）问按点P到拐点B所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时图B图B 图按已知线段身份不同分类-----①O P为边、O Q为边，②O P为边、O Q为对角线，③O P为对角线、O Q为边。
然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。
2、（2009年衡阳市）如图，A B是⊙O的直径，弦B C=2c m，∠A B C=60º．（1）求⊙O的直径；（2）若D是A B延长线上一点，连结C D，当B D长为多少时，C D与⊙O相切；（3）若动点E以2c m/s的速度从A点出发沿着A B方向运动，同时动点F以1c m/s的速度从B点出发沿B C方向运动，设运动时间为)2)((<<tst，连结E F，当t为何值时，△B E F为直角三角形．注意：第（3）问按直角位置分类讨论3、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线(1)20)y a x a=-+≠经过点(2)A-，0，抛物线的顶点为D，过O作射线OM AD∥．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为()t s．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．注意：发现并充分运用特殊角∠D A B =60° 当△O P Q 面积最大时，四边形B C P Q的面积最小。
二、 特殊四边形边上动点4、（2009年吉林省）如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，60B ∠=°．从初始时刻开始，点P 、Q同时从A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A CB →→的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A B C D →→→的方向运动，当点Q 运动到D 点时，P 、Q 两点同时停止运动，设P 、Q 运动的时间为x 秒时，APQ △与ABC △重叠部分．．．．的面积为y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O 的三角形），解答下列问题： （1）点P 、Q 从出发到相遇所用时间是秒； （2）点P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当APQ △是等边三角形时x 的值是 秒；（3）求y 与x 之间的函数关系式．提示：第(3)问按点Q 到拐点时间B 、C 所有时间分段分类 ； 提醒----- 高相等的两个三角O MBH A C x y图O M B H A C x y 图形面积比等于底边的比 。
5、（2009年哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形A B C O 是菱形，点A 的坐标为（3-，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线A C 交y 轴于点M ，A B 边交y 轴于点H ．（1）求直线A C 的解析式； （2）连接B M ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线A B C 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△P M B 的面积为S （0S ≠），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠M P B与∠B C O 互为余角，并求此时直线O P 与直线A C 所夹锐角的正切值．注意：第（2）问按点P到拐点B所用时间分段分类；第（3）问发现∠M B C =90°，∠B C O 与∠A B M互余，画出点P 运动过程中，∠M P B =∠A B M 的两种情况，求出t 值。
利用O B ⊥A C ,再求O P 与A C 夹角正切值.6、(2009年温州)如图，在平面直角坐标系中，点A (3，0)，B (33，2)，C （0，2)．动点D以每秒1个单位的速度从点0出发沿O C 向终点C 运动，同时动点E 以每秒2个单位的速度从点A 出发沿A B 向终点B 运动．过点E 作E F 上A B ，交B C 于点F ，连结D A 、D F ．设运动时间为t 秒．(1)求∠A B C 的度数；(2)当t 为何值时，A B ∥D F ；(3)设四边形A E F D 的面积为S ． ①求S 关于t 的函数关系式；②若一抛物线y =x2+m x 经过动点E ，当S <23时，求m 的取值范围(写出答案即可)．注意：发现特殊性，D E ∥O A 7、（07黄冈）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形A B C O 是菱形，且 ∠A O C =60°，点B 的坐标是，点P 从点C 开始以每秒1个单位长度的速度在线段C B上向点B 移动，同时，点Q 从点O 开始以每秒a （1≤a ≤3）个单位长度的速度沿射线O A方向移动，设(08)t t <≤秒后，直线P Q 交O B 于点D . （1）求∠A O B 的度数及线段O A 的长；（2）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；（3）当3,a OD ==时，求t 的值及此时直线P Q的解析式； （4）当a 为何值时，以O ，P ，Q ，D 为顶点的三角形与OAB ∆相似？当a 为何值时，以O ，P ，Q ，D 为顶点的三角形与OAB ∆不相似？请给出你的结论，并加以证明.8、（08黄冈）已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC AB ∥，以O 为原点建立平面直角坐标系，A B C ，，三点的坐标分别为(80)(810)(04)A B C ，，，，，，点D 为线段BC 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD 的路线移动，移动的时间为t 秒．（1）求直线BC 的解析式；（2）若动点P 在线段OA 上移动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的27？（3）动点P 从点O 出发，沿折线OABD 的路线移动过程中，设OPD △的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围； （4）当动点P 在线段AB 上移动时，能否在线段OA 上找到一点Q ，使四边形CQPD 为矩形？请求出此时动点P 的坐标；若不能，请说明理由．9、(09年黄冈市)如图,在平面直角坐标系x o y中,抛物线21410189y x x =--与x 轴的交点为点A ,与y 轴的交点为点B .过点B 作x 轴的平行线B C ,交抛物线于点C ,连结A C ．现有两动点P ,Q 分别从O ,C 两点同时出发,点P 以每秒4个单位的速度沿O A 向终点A 移动,点Q 以每秒1个单位的速度沿C B 向点B 移动,点P 停止运动时,点Q 也同时停止运动,线段O C ,P Q 相交于点D ,过点D 作D E ∥O A ,交C A 于点E ,射线Q E 交x 轴于点F ．设动点P ,Q 移动的时间为t (单位:秒) (1)求A ,B ,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;(2)当t 为何值时,四边形P Q C A 为平行四边形?请写出计算过程; (3)当0＜t ＜92时,△P Q F 的面积是否总为定值?若是,求出此定值, 若不是,请说明理由; (4)当t 为何值时,△P Q F 为等腰三角形?请写出解答过程．提示：第（3）问用相似比的代换，得P F =O A （定值）。
第（4）问按哪两边相等分类讨论 ①P Q =P F ,②P Q =F Q ,③Q F =P F .三、 直线上动点8、（2009年湖南长沙）如图，二次函数2y ax bx c=++（0a ≠）的图象与x 轴交于A B 、两点，与y 轴相交A B DCO Py A BD COy （此y O xC N BPM A于点C ．连结AC BC A C 、，、两点的坐标分别为(30)A -，、(03)C ，，且当4x =-和2x =时二次函数的函数值y 相等．（1）求实数a b c ，，的值；（2）若点M N 、同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC 、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将BMN △沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以B N Q ，，为项点的三角形与ABC △相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．提示：第（2）问发现特殊角∠C A B =30°,∠C B A =60° 特殊图形四边形B N P M 为菱形；第(3)问注意到△A B C 为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出与△A B C 相似的△B N Q ，再判断是否在对称轴上。
9、（2009眉山）如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
⑴求该抛物线的解析式； ⑵动点P 在x 轴上移动，当△P A E是直角三角形时，求点P 的坐标P 。
⑶在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC 的值最大，求出点M 的坐标。