浙江省苍南县2020姜立夫杯2020年高二数学上学期竞赛试题(1)

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苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一考试(浙江)

苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一考试(浙江)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：竞赛数学情况调查测试卷〔2005年8月27日〕一、选择题（每小题6分，共36分）1、函数y ＝x 2x －1 (x ∈R, x ≠1) 的递增区间是（）（A ）[2,＋∞) （B ）(－∞,0] 或[2,＋∞) （C ）(－∞,0]（D ）(－∞,1－2]或[2,＋∞)2、方程2002x ＋2003x ＋2004x ＝2005x x －2006的实根个数为（）（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）至少3个3、已知f(x)＝asinx ＋b 3x ＋c •ln(x ＋x 2＋1）＋4 (a,b,c 为实数)，且f(lglog 310)＝5，则f(lglg3)的值是（）（A ）－5（B ）－3（C ）3（D ）随a,b,c 而变4、若函数f(x)＝a 2sin2x ＋(a －2)cos2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，则a 的值等于（）（A ）2或－ 2（B ）1或－1（C ）1或－2（D ）－1或25、已知coa αcos β2cos(α－β2)＋coa βcosα2cos (β－α2)＝1，则cos α＋cos β的值等于（）（A ）1（B ）12（C ） 2（D ）226、已知在数列{a n }满足，a 1＝2＋3，a n ＋2(1－a n )＝1＋a n ，则a 2005的值为（）（A ）2＋ 3 （B ）2－ 3 （C ）3－2 （D ）－2－ 3二、填空题（每小题9分，共54分） 7、在△ABC 中，3sinA ＋4cosB ＝6,4sinB ＋3cosA ＝1，则∠C 的度数为 . 8、已知函数y ＝a －xx ―a ―1的反函数图象关于点(－1,4)成中心对称，则实数a ＝ .9、已知一个4元集合S 的所有子集的元素和（空集的元素和认为是零）的总和等于16040，则S 的元素之和等于 .10、若3f(x －2005)＋4f(2005―x)＝5(x ―2005)，对所有实数x 成立，则f(x)的解析式是f(x) ＝ .11、函数f(x)＝2x 2－3x ＋4＋x 2－2x 的最小值是 .12、已知正整数n 不超过2005, 并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的正整数n 有个.三、解答题（每小题20分，共60分）13、已知函数y＝sinx＋asin2xcosx..（1）当sinx＝1时，求y的值；（2分）（2）若函数的最大值为1，求实数a的取值范围.（18分）14、n 2(n ≥4)个正数排成n 行n 列 a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 31 a 32 a 33 … a 3n a 41 a 42 a 43 … a 4n … … … … …a n1 a n2 a n3 … a nn其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，已知a 24＝1, a 42＝18, a 43＝316，求S ＝a 11＋a 22＋…＋a nn .15、某公司离火车站40千米，有12名该公司的职员出差，须从公司出发赶到火车站，他们步行的速度为4千米／时，当时公司仅有一辆同时可送4人的轿车，其速度为52千米／时. 要求在3小时内将12名职员送到车站，还希望轿车第一批送的职员能尽早地到车站买票. 试问第一批职员最早能比3小时提前多少时间赶到车站.江苏省苏州实验中学2005年暑期竞赛数学情况调查测试卷（参考答案）1、B 原函数即为y ＝ (x －1)2＋2(x －1)＋1x －1 ＝ (x －1) ＋ 1x －1 ＋ 2，由对勾函数的增减性立知选B .2、B 原方程即为⎝⎛⎭⎫20022005x ＋⎝⎛⎭⎫20032005x ＋⎝⎛⎭⎫20042005x＝x －2006，考查两个函数y ＝⎝⎛⎭⎫20022005x ＋⎝⎛⎭⎫20032005x ＋⎝⎛⎭⎫20042005x 和y ＝x －2006，前者为减函数，后者为增函数，它们的图象有且只有一个交点，故对应的方程有且只有一个根，从而选B .3、C 容易判断f(x)＋f(－x)＝8，且lglog 310 ＝ lg lg10lg3 ＝－lg lg3lg10 ＝－lglg3，故有f(lglog 310)＋ f(lglg3)＝8，从而f(lglg3)＝3. 选C4、C 函数f(x)＝a 2sin2x ＋(a －2)cos2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，则f(－π8)应取得函数的最大值或最小值。

2016年苍南县“姜立夫杯”高二数学竞赛

2016年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案）1．已知集合2{|3100},{|121}A x x x B x m x m =--≤=+≤≤-．当A B =∅时，实数m 的取值范围是（）． A ．24m << B ．2m <或4m > C ．142m -<< D ．12m <-或4m > 2．函数()f x 对于任意实数x 满足：()()13f x f x +=-，若()02f =，则()2016f =（） A ．12-B ．12C ．2D ．2- 3．已知O 为ABC ∆内一点，若对任意k R ∈，有||||OA OB k BC AC --≥，则ABC ∆一定是（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定 4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知25235S a =，453325S a =，则6543Sa 的值是（） A ．125 B ．85 C ．45 D ．35 5．已知1sin cos 63π⎛⎫α+-α= ⎪⎝⎭，则2sin cos 6π⎛⎫αα+= ⎪⎝⎭（） A ．518-B. 518C. 79-D. 796．已知三个不同的平面,,αβγ和两条不重合的直线,m n ，有下列4个命题： ①m n m n ααβ=，，则②m m n n ⊥α⊂βα⊥β，，，则 ③α⊥βγ⊥βαγ，，则 ④m m αβ=⊥γα⊥γ，，则其中正确命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．47．设,x y 满足约束条件311x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩，若02ax by ≤+≤恒成立，则22a b +的最大值是（）A ．1B ．89 C ．209D ．4 8．已知函数()22030x x f x x a a x ⎧->⎪=⎨-++<⎪⎩，，的图象上恰有三对点关于原点成中心对称，则a的取值范围为（） A ．17(,2)8-- B ．17,28⎛⎤-- ⎥⎝⎦ C ．171,6⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．171,16⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.）9．若正实数,a b 满足284log log 5a b +=和284log log 7b a +=，则48log log a b +的值是▲10．已知点P 是直线:40l kx y ++=()0k >上一动点，PA PB 、是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A B 、是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则实数k 的值为 ▲ ．11．在三棱锥D ABC -中，2AB BC ==，AB BC ⊥，BC CD ⊥，DA AB ⊥，DA 与平面ABC 所成的角为45，则二面角A DB C --的平面角的余弦值为▲ ．12.已知函数()2sin f x x =ω()0ω>其中常数，若存在12,03x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭π，204x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，π，使得()()12f x f x =，则ω的取值范围为 ▲ ．13．已知()2()2x f x m n x nx =-⋅++，若{}{}()0(())0x f x x f f x ===≠∅，则m n +的取值范围为 ▲ ．14．已知点(11)A -，，(40)B ，，(22)C ，．平面区域D 由所有满足AP AB AC λμ=+ （1a λ<≤，1b μ<≤）的点()P x y ，组成的区域。

2020年浙江省高中数学竞赛试题及答案

2016年浙江省高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共8小题，每小题6分，满分48分） 1.曲线()()2220x y a x y++-=为平面上交于一点的三条直线的充要条件是（）．（A ） 0a = （B ）1a = （C ）1a =- （D ）a R ∈答案：（A ）解若0a =，则曲线()()2220x y a x y++-=表示曲线是三条交于原点的直线．反之，由于直线y x =和直线y x =-交于原点，所以曲线要为平面上交于一点的直线，则直线20x y a ++=过原点，即0.a =2.函数()234sin sin 2sin cos 22x x f x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的最小正周期为（）．（A ）2π （B ）2π（C ）23π （D ）π答案：（C ）解化简得，()sin32f x x =-+，则函数()f x 的最小正周期为.3π2 3.设双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ，点A 是过2F 且倾斜角为4π的直线与双曲线的一个交点．若△12F F A 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）．（A （B 1 （C （D 1 答案；(D)解因为122AF AF a -=，要使△12F F A 为等腰直角三角形，则A 必在双曲线的左支上，且212AF F F =2c =，从而122AF a c =+，由勾股定理得()()()22222.a c c +=解得1.ca= 4.已知正三棱锥S -ABC ，底面边长为1，侧棱为2．若过直线AB 的截面，将正三棱锥的体积分成两个相等的部分，则截面与底面所成二面角的平面角的余弦值为（）（A （B （C （D 答案：（D ）解：设截面与棱SC 交于D 点，由已知条件可知，点D 为棱SC 的中点．取AB 的中点E ，连接,,EC DE SE ，则DEC ∠为截面与底面所成二面角的平面角，设为θ．在△SEC中，2SE EC SC ===，所以中线DE =在△DEC 应用余弦定理得cos θ=5.已知,a b R ∈，函数().f x ax b =-若对任意[]1,1x ∈-，有()01f x ≤≤，则3122a b a b +++-的取值范围为（）（A ）1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （B ）4,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）12,27⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （D ）42,57⎡⎤-⎢⎥⎣⎦答案：（D ）解：由题设，()()011,011f f ≤≤≤-≤，即01,10.a b a b ≤-≤-≤+≤令u a b =+，c a b =-，则由此即知4312.5227a b a b ++-≤≤+- 6.已知向量,OA OB 垂直，且24.OA OB ==若[]0,1t ∈，则的最小值为（）（A ）（B ）26 （C ）（D ）24 答案：（B ）解：用数形结合方法求解，作正方形OACB ，连对角线AB ，则向量t AB AO -等于向量OD （D 为对角线AB 上一点）．向量()5112BO t BA --等于向量DE （E 为OB 上一点，10EB =）．因为OD DC =，所以由几何意义可知DE DC +的最小值为EC 的值，即等于26. 7.设集合()*,|,M x y x y N ⎧⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则集合M 的元素个数为（）（A ）0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 3答案：（B ）解：由=得115=+，从而11152255x y =++这样.Q 同理，.Q 所以可设22*5,5,,.x a y b a b N ==∈因此，原式等价于111.3a b -=解得()(),2,6.a b =又(),a b 与(),x y 一一对应，则集合M 中元素的个数为1. 8.记[]x 为不超过x 的最大整数．若集合()[][]{},|1S x y x y x y =++-≤，则集合S所表示的平面区域的面积为（）．（A ）52 （B ）3 （C ）92（D ）4 答案：（A ）解：当01x y ≤+<时，[]0x y +=，所以[]1x y -≤，即12x y -≤-<；当12x y ≤+<时，[]1x y +=，所以[]0x y -=，即01x y ≤-<；当10x y -≤+<时，[]1x y +=-，所以[]0x y -=，即0 1.x y ≤-< 画出满足上述条件的区域，可知集合S 所表示的平面区域的面积为5.2二、填空题（本大题共7小题，12题9分，其余各题7分，满分51分）9.设()f x 是定义在R 上的奇函数．若对任意实数,x 有()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2f x x =，则(f = ．答案：36-解：由()()2f x f x +=-得()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 周期为4，因此 10.已知数列{}{},n n a b 满足：()*11111,2,,23,n n n n n a b a b b a b n N ++=-==-=-∈则20152016b b += ．答案：201532.-⨯解：由题设递推关系，我们有从而，()()21212nn n b b b b +++=-+，注意到211238b a b =-=-．我们有20152015201632.b b +=-⨯11.设a R ∈．方程2x a a --=恰有三个不同的根，则a = ．答案：2.解：原方程可变形为2x a a -=±，要使方程恰好有三个不同的根，则2a =，此时方程恰好有三个不同的根1232,6,2x x x ===-，所以 2.a =12.已知两个底面重合的正四面体A -OBC 和D -OBC ，,M N 分别为△ADC 与△BDC 的重心．记,,OA a OB b OC c ===．若点P 满足,2.OP xa yb zc MP PN =++= 则实数x = ，y = ，z = ．答案：245,,.999x y z =-== 解设点A 在面OBC 上的投影为H ，则()()211,323OH OB OC b c =⨯+=+所以又()()211925,329AM AD AC a b c =⨯+=-++所以()125.9OM OA AM b c =+=+ 同理，()1355.9a b c =-++由2MP PN =得，()12.3OP OM ON =+所以13.在△ABC 中，5,412B C ππ==，AC AC =的中点为D ．若长度为3的线段PQ （P在Q 的左侧）在直线BC 上滑动，则AP DQ +的最小值为．答案：2解：由已知得3A π=，由正弦定理，得 6.BC =过D 作直线DE 平行BC ，交AB 于E 点，则//DE BC ，注意到DE 为△ABC 的中位线，则3DE PQ ==，所以PQDE 为平行四边形，即有.DQ EP =这样问题就转化为在直线BC 上找一点，使AP EP +最小．作A 关于BC 的对称点A '，则()min .AP EP A E '+=注意到sin sin AC CAB B⋅==则14.若关于,x y 的方程组有实数解，则正实数m 的取值范围为．答案：[]1,2．解：两式平分后相加，消去x ，得反之，当12m ≤≤时，也存在()00,x y 满足此方程．因此，正实数m 的取值范围为[]1,2. 15.已知,,a b c 为互不相等的整数，则()()22224a b c a b c ++-++的最小值为．答案：8. 解：()()()()()22222222224a b ca b c a b b c c a a b c ++-++=-+-+-+++，其最小值为8.三、解答题（本大题共3小题，16题15分，17，18题每题18分，满分51分） 16.设函数()()()22537,.f x x k ak x a k R =--++∈已知对于任意的[]0,2,k ∈若1,x2x 满足[]1,x k k a ∈+，[]22,4x k a k a ∈++，则()()12,f x f x ≥求正实数a 的最大值．解由于二次函数()()22537f x x k ak x =--++的对称轴为2532k ak x -+=，故题设条件等价于对任意的[]0,2k ∈，均有即对任意的[]0,2k ∈，均有注意到当且仅当1k =时取等号，故2min23 4.1k k k ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭所以，正实数a的最大值为4.517.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点163,5P ⎛⎫⎪⎝⎭，离心率为35．过椭圆C 的右焦点作斜率为k 的直线l ，交椭圆于,A B 两点，记,PA PB 的斜率为12,.k k （1）求椭圆的标准方程；（2）若120k k +=，求实数.k 解（1）由题设条件，得所以椭圆方程为221.2516x y += （2）椭圆的右焦点坐标为()3,0. 若0k =时，()()5,0,5,0,A B -则1228,,55k k ==-此时120k k +≠．故0.k ≠ 直线l 的方程为()3.y k x =-和椭圆方程联立，并消去y ，得设()()1122,,,A x y B x y ，则由韦达定理，得注意到()()11223,3,y k x y k x =-=-可得18.给定数列{}n x ，证明：存在唯一分解n n n x y z =-，其中数列{}n y 非负，{}n z 单调不减，并且()100,0.n n n y z z z --==证我们只需证明对任意的正整数n ，满足()110,0,0,0,0n n n n n n n n n x y z y z z y z z z --=-⎧⎪-=⎪⎨≥⎪⎪-≥=⎩ ① 的(),n n y z 存在且唯一．下面用数学归纳法证明之．（1）当1n =时，()110110y z z y z -==，这样有1110,y z x ==-或者111,0.y x z == 若10,x ≥则111,0y x z ==．若10x <，则1110,y z x ==-．此时命题成立．（2）假设当()1n k k =≥时，命题成立，则当1n k =+时，①等价于这样有()1110,k k k k k y z z x z +++=-=-+或111,0.k k k k k y x z z z +++=+-=进一步若10k k x z ++≥，则111,0.k k k k k y x z z z +++=+-=即111,.k k k k k y x z z z +++=+= 若10k k x z ++<，则()1110,k k k k k y z z x z +++=-=-+，即1110,.k k k y z x +++==- 故当1n k =+时，命题成立．（3）由数学归纳法可知，对任意的正整数n ，命题均成立．从而原命题得证．四、附加题（本大题共2小题，每题25分，满分50分）19.设集合{}*|2,0,1,6.A x N x =∈的十进制表示中数码不含证明：13.x Ax ∈<∑ （注：1x Ax ∈∑表示集合A 中的所有元素的倒数之和）证在k 位正整数中，各位上的数码不含数字2,0,1,6的共有6k个，其中首位数字为3,4,5,7,8,9的各有16k -个，所以，所有不含数字2,0,1,6的k 位数的倒数和小于所以，20.设正整数2n ≥，对2n ⨯格点链中的2n 个结点用红()R 、黄()Y 、蓝()B 三种颜色染色，左右端点中的三个结点已经染好色，如图所示．若对剩余的23n -个结点，要求每个结点恰染一种颜色，相邻结点异色，求不同的染色方法数．解对2n ⨯格点链中的2n 个结点用红()R 、黄()Y 、蓝()B 三种颜色染色，其中左端点染红色与黄色，设右端点染色为,P Q 如下图所示．记P R =（或Y ），Q B =时的着色数目为n a ；记,P B =Q R =（或Y ）时的者色数目为n b ；我们注意到：（1）若右端没有约束时，每增加一个格子都有3种不同的着色方法，则（2）由对称性，即将图形上下翻转，并且颜色R和Y互换，可知（3）考虑相互的递推特征，则由上三式知，即为问题所求的不同的染色方法数．。

浙江省高二上学期苍南县、龙港市“姜立夫杯”竞赛数学试卷含答案

2020年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案） 1.已知集合{}2|1A x y x ==-，集合{}2|1B y y x ==-，则A B =（）A ．φB ．{}|1x x ≥C ．{}|0x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．函数x a x x f cos sin )(+=的图象关于直线6π=x 对称，则实数a 的值是（）A ．21B ．2C ．23D ．33．设3log 2a =，5log 2b =，1()3c π-=，则（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>4．如图，已知正四面体A BCD -中，E 为棱CD 的中点，F 为棱BC 上的动点，则cos EAF ∠的最大值为（） A ．23B ．63C ．73D ．335．已知函数()||f x x x =，若存在[)1,x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是（）A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．1(,)2+∞D ．1(,)4+∞6．在面积为2的ABC ∆中，,E F 分别是,AB AC 的中点，点P 在直线EF 上，则2PC PB BC +的最小值是（）A ．1B ．2C ．23D ．437．如图，圆C 与x 轴相切于点T （1，0），与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且|AB |＝4．三角形AMN ∆的另外两个顶点,M N 恰好在圆O ：x 2+y 2＝1上，则||||||||NA MB NB MA +的值为（） A ．25B ．52-C ．52+D ．2558．设[]x 为不超过x 的最大整数，n a 为[][)(0,)x x x n ⎡⎤∈⎣⎦可能取到所有值的个数，n S 是数列121n a n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭前n 项的和，则下列四个结论中正确的个数为（）① 2020是数列{}n a 中的项 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.）9．已知函数212()log (45)f x x x =--，则函数()f x 的单调递减区间为_____________.10．已知(3,4),(1,2)a b ==-，则|2|a b +=___________.11．对任意的实数,a b ，直线()()(22)0a b x b a y a b ++-++=恒经过的一个定点的坐标是___________.12．已知函数()2221f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是．13．已知实数,,a b c 满足2a b c ++=，2224a b c ++=，且a b c >>，则a 的取值范围是_____________.14．定义()S n 为正整数n 的各位数字之和，例如(2020)20204S =+++=，当10009999n ≤≤时，()nS n 的最小值为___________. 三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知函数x x x x f cos sin sin 3)(2⋅+=.(1) 求函数)(x f 的最小正周期；(2) 求函数)(x f 在],0[π的单调递增区间和最大值.16．已知实数0a >，关于x 的方程2|1|x ax bx -+=恰有三个不同的实数根123,,x x x .且123x x x <<；(1) 当2b =时，求实数a 的值；(2) 记函数2()|1|f x x ax bx =-++，证明：132()()2()f x f x f x +>.17．已知11111211,1,,14n n n n n n n n nb a b a a b bc b a b +++==-===+-，，记n S 为数列{}n c 的前n 项和. (1) 求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2) 证明：11.n nS a <- 2020年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二答题卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9.________________10.________________11.________________ 12.________________ 13.________________ 14.________________三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知函数x x x x f cos sin sin 3)(2⋅+=.(1)求函数)(x f 的最小正周期；(2)求函数)(x f 在],0[π的单调递增区间和最大值.16．已知实数0a >，关于x 的方程2|1|x ax bx -+=恰有三个不同的实数根123,,x x x .且123x x x <<；(1)当2b =时，求实数a 的值；(2)记函数2()|1|f x x ax bx =-++，证明：132()()2()f x f x f x +>.17.已知11111211,1,,14n n n n n n n n nb a b a a b bc b a b +++==-===+-，，记n S 为数列{}n c 的前n 项和. (1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)证明：11.n nS a <- 2018年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试题参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9.___()5,+∞_______10.____11.___()2,0-______ 12.____(],2-∞-____13._____4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭____ 14.______109919__________ 三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知函数x x x x f cos sin sin 3)(2⋅+=.(1)求函数)(x f 的最小正周期；(2)求函数)(x f 在],0[π的单调递增区间和最大值.16．已知实数0a >，关于x 的方程2|1|x ax bx -+=恰有三个不同的实数根123,,x x x .且123x x x <<；(1)当2b =时，求实数a 的值；(2)记函数2()|1|f x x ax bx =-++，证明：132()()2()f x f x f x +>.解：1(1)0,||2x x a x>+-=由题意知，恰有三个不同实数根， 12x a x ∴+-=有两个不同实数根，12x a x +-=-恰有一个实数根，4a ∴=211111(2)|1|,()2,x ax bx f x bx -+=∴=同理，2233()2,()2,f x bx f x bx ==要证明132()()2()f x f x f x +>，只要证：1322x x x +>，由题意知：20,0,00,10b x x a x ax <<<>∴-+>若则而当时，21x ax bx -+=不存在三个实数根，0b ∴> 2x 是方程21x ax bx -+=-的唯一实数根，22()40,2,21a b a b a b x ∴∆=--=∴=+=-∴=（舍去）13,x x 是方程21x ax bx -+=的两个不等实根，131x x ∴=1322x x x ∴+>=，132()()2()f x f x f x ∴+>成立。

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2019-2020 年高二数学竞赛试卷含答案一二三合计题号（ 11）（12）（ 13）（14）（ 15）得分评卷员A．B．C．D．2.C.考虑对立事件： a 与 b， c 与 d， e 与 f 为正方体的对面，ab 有种填法， cd 有种填法， ef 有 2 种填法 ,而整体填法共有种填法，所以符合题意的概率为：.3．定义两种运算：，，则函数为（）（A）奇函数（ B）偶函数（C）奇函数且为偶函数（ D）非奇函数且非偶函数3．A．f ( x) 22 x 22 | 2 22 x2 22 x2 ( x [ 2,2]) .(2 x) 2 x | 2 x4．圆周上按顺时针方向标有1， 2， 3， 4， 5 五个点，一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若起跳点为奇数，则落点与起跳点相邻；若起跳点为偶数，则落点与起跳相隔一个点．该青蛙从 5 这点开始起跳，经xx 次跳动，最终停在的点为( ▲)A． 4 B． 3 C． 2 D．14． D．二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分．把答案填在题中横线上．5.已知方程 x2+(4+i)x+4+ai=0(aR)有实根 b,且 z=a+bi，则复数z=..由题意知b2+(4+i)b+4+ai=0(a,bR),即 b2+4b+4+(a+b)i=0.由复数相等可得：即z=2-2i.6．在直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为.6．(0,5). 方程 m(x2 +y2+2y+1)=(x-2y+3)2可以变形为 m=,即得 ,∴5 x2( y 1) 2x,y)到定点（ 0,-1)与定直线 x-2y+3=0 之比为常数 e=, m | x 2y 3 |其表示双曲线上一点（5又由 e>1,可得 0<m<5.7．直线 ax+by-1=0(a,b 不全为 0),与圆 x2+y2 =50 有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有条 .7. 72.如图所示，在第一象限内，圆x2+y2=50 上的整点有（ 1， 7）、（5， 5）、（ 7，1），则在各个象限内圆上的整点的个数共有12 个，此 12 个点任意两点相连可得 C=66 条直线，过12 个点的切线也有12 条，又直线ax+by-1=0(a,b 不全为 0）不过坐标原点，故其中有 6 条过原点的直线不合要求，符合条件的直线共有66+12-6=72 条 .17．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（ 2）第 n（ n≥ 2)行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第n 行 (n≥ 2)中第 2 个数是 ____▲ ____（用 n 表示） .12 234 3477 45111411 5616252516 6L L L17.8．一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数,那么积 m· n 是.8. 6.解：设六面体与八面体的内切球半径分别为r1与 r2,再设六面体中的正三棱锥A—BCD的高为 h 1,八面体中的正四棱锥M —NPQR 的高为 h 2,如图所示，则 h 1=a,h 2=a.∵V 正六面体 =2· h 1· S △ BCD =6· r 1· S △ ABC ，∴ r 1=h 1=a.又∵ V 正八面体 =2· h 2· S 正方形 NPQR =8· r 2· S △ MNP ，∴ a 3=2r 2a 2,r 2=a,r 16 a2 2于是9是最简分数，即 m=2,n=3,∴ m · n=6.r 2,36 a 369．若的两条中线的长度分别为 6， 7，则面积的最大值为 ..如图， D,E,F 是各边的中点，延长BE 至 G ，使得 BE=BG ，延长 BC 至 H ，使得 DC=CH ，连接 AG,EH,则 CH=EF=AG=DH,且AGAG||DH ，则四边形 EFCH 和 ADHG 是平行四边形 .F E故 CF=EH,AD=EH.故△ EGH 的三边 EH 、 EG 、 EH 分别是△ ABC 的三边的中线AD 、 BE 、 CF ，即、、 .由共边定理知 , S ABC2SBCE2 2 S BEH 4S EGH3 3.BDCH10．已知是定义（ -3,3）在上的偶函数，当 0<x<3 时，的图象如图所示，那么不等式的解集是.10．.由已知在 (0,3)图像我们可以得到在（－3， 3）上的整体图像，加上正弦函数的图像性质由数形结合思想可得到其解集是 .三、解答题：本大题共5 小题，共 90 分．要求写出解答过程．11．（本小题满分 15 分）已知函数，是的导函数．（Ⅰ）求函数 F x f x f ' x f 2x 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）若，求的值 .11．（ Ⅰ ） ∵2 分∴ F xf x f ' xf 2 xcos 2 x sin 2 x 1 2sin xcos x1cos 2x sin 2x 1 2 sin(2 x)6 分4∴当 2x 2k2 x k k Z 时，4 8最小正周期为8 分（Ⅱ ）∵ f x 2 f ' x sin x cos x 2cos x 2sin x∴ cos x 3sin x111 分tan x31 sin2 x 2sin 2 x cos2 x∴sin x cos x cos2 x sin x cos x cos2 x2tan2 x 1 1111915 分1 tan x2 6312．（本小题满分15 分）如右放置在水平面上的组合体由直三棱柱与正三棱锥组成，其中，．它的正视图、俯视图、从左向右的侧视图的面积分别为，，．（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦；（Ⅱ）在线段上是否存在点，使平面．若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．解： (1) 设 BA BC BD a, BB1 b.ab 1 a2 2 2 1a 2由条件 2 （分）1 b . 32 1 2a2以点 B为原点，分别以 BC、 BB1、 BA为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系, 则A(0,0, 2), C( 2,0,0), D(0, 2,0), B1(0,2,0), C1 ( 2,2,0), A1(0,2, 2)(5分）Q ACD的重心 G 2 2 2,3,.3 3r uuur 2 a BG=3 uuurCA1 ( 2, 2, ,2,2为平面 ACD 的法向量 .(7 分）3 3r uuur2 2632), 则 cos a, CA16(9分）2 2 63所求角的正弦值为6.(10分）uuur uuuur 6(2)令 AP mAC 1 2m, 2m, 2m（11分）uuur uuur uuur r B1P B1 A AP 2m, 2m 2, 22ma.2m232m 22 无解（ 14分）322m23不存在满足条件的点 P ．（ 15 分）13．（本小题满分 20 分）已知椭圆的中心在坐标原点，左顶点，离心率，为右焦点，过焦点的直线交椭圆于、两点（不同于点）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当时，求直线PQ 的方程；（Ⅲ）判断能否成为等边三角形，并说明理由．13．解：（Ⅰ）设椭圆方程为 (a>b>0) ，由已知∴-----------------------------------------2 分 ∴ 椭圆方程为． ------------------------------------------------- 4 分（Ⅱ）解法一椭圆右焦点．设直线方程为（∈R ）．----------------------------------5 分x my 1,得 3m 24 y 2由 x 2y 2 1,6my 9 0 ．①-----------6 分43显然，方程①的．设，则有 y 1y 2 6m , y 1 y 2 9． ----8 分3m 243m 24PQm 2 1 y 1 y 2 2m 2 136m 223643m 2 43m 2m 2 1 2m 2 1 ．12123m 2 4 23m 2 4∵，∴ ．解得．∴直线 PQ 方程为，即或．---------- 12 分解法二：椭圆右焦点．当直线的斜率不存在时，，不合题意．设直线方程为，-------------------------------------- 5分由得 3 4k 2 x2 8k 2 x 4k 2 12 0 ．①----6 分显然，方程①的．设，则 x1 x28k22, x1 x24k 2 12-------83 4k 3 4k 2．分8k 222 12PQ 1 k 2 x1 2 4x1 x2 1 k 2 4kx23 4k 2 44k 2 3k2 212 k 2=12 1 2 1 ．4k 2 3 4k2 3∵，∴，解得．∴直线的方程为，即或．--------12 分（Ⅲ）不可能是等边三角形．------------------------------------------------13 分如果是等边三角形，必有，∴ x1 2 2 y12 x2 2 2 y22，∴ x1 x2 4 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0 ，∴ m y1 y2 6 m y1 y2 y1 y2 y1 y2 0 ，------------------------------16 分∵，∴，∴，∴，或（无解）．而当时， PQ 3, AP AQ 3 52，不能构成等边三角形．∴不可能是等边三角形．------------------------------------------------------------ 20分14．设抛物线的焦点为F，动点P 在直线上运动，过P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB，且与抛物线 C 分别相切于A、B 两点 .（1）求△ APB 的重心 G 的轨迹方程 .（ 2）证明∠ PFA=∠ PFB.14．解：（ 1）设切点 A 、 B 坐标分别为，∴切线 AP 的方程为：切线 BP 的方程为：解得 P 点的坐标为：所以△ APB 的重心 G 的坐标为，y 0 y 1 y Px 02 x 12x 0 x 1( x 0 x 1 )2 x 0 x 1 4x P 2 y p,y G3333所以，由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：x ( 3 y 4x 2) 2 0,即 y1(4x 2x 2).uuur3uuuruuur（ 2）方法( x 0 , x 0 21 x 0 x 1 , x 0 x 11 21 1：因为 FA 4 ), FP ( ), FB (x 1, x 1 ).2 44 由于 P 点在抛物线外，则uuur uuurx 0 FP FA∴ cos AFP uuur uuur| FP || FA |uuur uuurFP FB 同理有 cos BFP uuur uuur| FP || FB |x 1 x 0 (x 0 x 1 1)( x 02 1) x 0 x 1 12 4 4 uuur 4 , uuur 1) 2 | FP || FP | x 02( x 0 2 x 0 x 1 4 x 1 ( x 0 x 1 1 21 ) x 0 x 1 1 )( x 1 4 , 2 uuur 4 4uuur ( x 12 1 ) 2 | FP | | FP | x 124∴∠ AFP=∠PFB.方法 2：①当 x 1 x 00时,由于 x 1 x 0 ,不妨设 x 0 直线 AF 的距离为： d 1| x 1 |; 而直线 BF 的方程2即 ( x 121)x x 1 y1x 1 0.441) x 1| ( x 12所以 P 点到直线 BF 的距离为： d 24 21 )2(x 124所以 d 1=d 2，即得∠ AFP=∠PFB.0, 则 y 01: y4x1 |4(x 1) 20, 所以 P 点坐标为，则 P 点到21x 1x 121 | x 1 |(x 1)| x 1 | 42 21 2 x 1421②当时，直线 AF 的方程： y1x 04( x 0),即( x 021) x x 0 y 1x 0 0,x 04 0 4421直线 BF 的方程： y1x 14(x0),即(x 121) x x 1 y1x 10,4 x 1 04 4所以 P 点到直 AF 的距离：| ( x 021)(x 0 x 1) x 0 2x 11x 0 | |x 0x 1)( x 02 1)| x 0 x 1 |4 2424d 11 )2212( x 02x 02x 044同理可得到 P 点到直 BF 的距离，因此由 d 1=d 2 ，可得到∠ AFP=∠ PFB ．14．（本小分20 分）x=l 是函数的一个极点（，自然数的底）．（ 1）求与的关系式（用表示），并求的区；（ 2）若在区上的最小 0，最大 , 且。

苍南县“姜立夫杯”2018年高二上学期数学竞赛试卷(含答案)

苍南县“姜立夫杯”2018年高二上学期数学竞赛试卷满分100分,时间120分钟.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案） 1.若集合{0}A x x =≥，且A B B ⋂=，则集合B 可能是（） A.{}1,2 B.{1}x x ≤ C.{1,0,1}- D.R2.若对任意实数x 都有x x x f x f sin cos 3)(2)(-=-+，则函数()y f x =的图象的对称轴方程为（） A ．Z k k x ∈+=,4ππ B ．Z k k x ∈-=,4ππ C ． Z k k x ∈+=,8ππ D ．Z k k x ∈-=,6ππ3.一个水平放置的一个的正三棱锥,其底面是边长为6的正三角形、侧棱长均为5，其主视图，俯视图如图所示，则其侧视图（）A.形状是等腰三角形，面积为133B.形状是等腰三角形，面积为2393 C.不是等腰三角形，面积为 133 D.不是等腰三角形，面积为2393 4.已知在△ABC 中，∠ACB=，AB=2BC ，现将△ABC 绕BC 所在直线旋转到△PBC ，设二面角P ﹣BC ﹣A 大小为θ，PB 与平面ABC 所成角为α，PC 与平面PAB 所成角为β，若0＜θ＜π，则α、sin β的范围分别是（）)33,0(],3,0(.πA ]33,0(],3,0(.πB)21,0(],3,0(.πC 1.(0,],(0,)62D π 5.202,()342x f x x x x ≤≤=+-函数的最大值是（）A. 5B. 6C.7D.86.已知点()1,1A --．若曲线T 上存在两点,B C ，使ABC ∆为正三角形，则称T 为“正三角形”曲线．给定下列三条曲线：①222x y +=；②()3003x y x +-=≤≤；③1(0)y x x=->．其中，“正三角形”曲线的个数是（） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 37.如图，圆C 分别与x 轴、y 轴正半轴相切于A 、B ，过劣弧AB 上一点T 作圆C 的切线，分别交x 轴、y 轴正半轴于M 、N 两点，若点Q （2,1）是切线上一点，则∆MON 周长的最小值为（） A ． 8 B ． 10 C ． 12 D ． 548.已知平面向量a ，b ，|a |=1,|b |=2， e 为平面单位向量且|a ·e |+|b ·e |的最大值为7，则下列结论成立的是（）A ．|a +b |=|a -b | B.b ·(a -b )=0 C. a ·(a -b )=0 D. min ,||3t R b ta ∈-= 二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.） 9. 在ABC △中，2a =，3b =，4c =，则sin 2sin AC= ▲ ． 10. 设{}n a 的公比为q 的等比数列,其前n 项和为n S ,且32420192018,S S S =+ 则q = ▲11. 432(1)0[0,)x x x a x a x -+-++≥∈+∞对恒成立，则a= ▲12.2()3,|(())0}|()0},xf x x ax b x f f x x f x a b φ=++⋅===≠+函数若{{则取值范围是 ▲13.在三棱锥ABC P -中，BC AB ⊥,32,2,AB BC PA PB ===当三棱锥ABC P -体积取最大时，锐二面角P-AC-B 的大小=θθtan ,则 ▲ ．14. 22224560,24x y x y xy x y x y x y +--++=+-+、是实数，则的取值范围是 ▲三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知圆22-(2)40)2x a y a a y kx +-=>=+C:（）（与直线交于M 、N 两点，其中C 为圆心，=2a (1)若, 125CM CN ⋅=-, 求k 的值; =1,k (2)若当CMN ∆面积取最大时，求a 的值.16. 已知函数()2f x x ax b =++.(1) 0a ≠且1b =,求()y f x =在区间0,a ⎡⎤⎣⎦上的最大值； (2) 若,a b Z ∈，且()a b f x +是的零点，求所有可能b 的值.17. 已知{a n }满足，++∈+==N n a a a a n n n ,144,812211 （1)证明：;811≤<+n n a a （2）证明：1211121119n n a a a +++>-+++参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9.8710. 12018 11.214. ]3,313[-- 三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知圆22-(2)40)2x a y a a ykx +-=>=+C:（）（与直线交于M 、N 两点其中C 为圆心，=2a (1)若,125CM CN ⋅=-, 求k的值; =1,k (2)若当CMN ∆面积取最大时，求a 的值.解析：(1) 125CM CN ⋅=-得3cos ,5MCN ∠=- ……2分……2分 1=22k =或 ……1分（其他方法酌情给分）(2)设圆心到直线的距离为d ,S ==……2分当CMN ∆面积取最大时d ……2=4a = ……1分（其他方法酌情给分）16. 已知函数()2f x x ax b =++.(1) 0a ≠且1b =,求()y f x =在区间0,a ⎡⎤⎣⎦上的最大值； (2) 若,a b Z ∈，且()a b f x +是的零点，求所有可能b 的值.解析：（1）当a>0时，()222max 1[1,21],|()|21f x x ax a f x a =++∈+=+ ……2分当a<0时, ()222max 4-4-1[,1],|()|max ||,144a a f x x ax f x ⎧⎫=++∈=⎨⎬⎩⎭……2分=2441,0a a -≤-<⎧⎪⎨⎪⎩，a ……1分（2）()()()20f a b a b a a b b +=++++=得22230a ab b b +++= ……1分2=b -8b ∆必为完全平方数 ……1分2222=b -8b=,()16m N m ∆∈-=令m 得(b-4){{{{42444-44-848444-44-2b m b m b m b m b m b m b m b m --=--=--=--=-+=-+=-+=-+=或或或所有可能b 的值为9、8、-1、0 ……3分17. 已知{a n }满足，++∈+==N n a a a a n n n ,144,812211 （1)证明：;811≤<+n n a a （2）证明：9211111121->++++++n a a a n 解析：（1）0>n a 易得=-+n n a a 1014)12(141441442223222≤+--=+--=-+n n n n n n n n n a a a a a a a a a ……2分∴≤≤∴+,811n n a a 014)12(22<+--n n n a a a ;811≤<∴+n n a a ……2分（用nnn n n n a a a a a a 14114421+=+=+同样给分）（2）284414422221+=+≤+=+n nn n n n n n a a a a a a a a ……2分 12211+=+≥+n n n n a a a a ,)11(2111+≥++nn a a 111292)11(11--⋅=⋅+≥+n n n a a ,1)21(911-⋅≤+n n n a a ……3分 =+11n a 1)21(91111-⋅-≥+-n n n a a ……2分 92])21()21(211[911111111221->+++-≥++++++-n n a a a n n …1分。

年苍南县“姜立夫杯”高中数学竞赛高一试卷

年苍南县“姜立夫杯”高中数学竞赛高一试卷一、选择题（每题5分，共40分）1、三元实数集A=},,{y x xy x +，B=},||,0{y x ，且A=B ，则20062006xy +=（）A 、0B 、1C 、2D 、－12、若某等差数列{a n }中，1662a a a ++是一个确定的常数，则其前n 项和S n 中也为确定的常数的是( ）A 、 15SB 、 14SC 、 8SD 、7S 3、设函数121(1)()lg (1)x x f x x x -⎧-<=⎨≥⎩，若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（） A 、（0，10） B 、（－1，+∞） C 、（－∞，－2） D 、（－∞，0）∪（10，+∞）4、等差数列}{n a 的前n 项和为S n ，且3184=S S ，则=168S S （） A 、81 B 、31 C 、91 D 、103 5、已知集合{|1284,,,}P u u m n l m n l Z ==++∈，集合{|201612,,,}Q u u p q r p q r Z ==++∈，则P 与Q 的关系为（）A 、P =QB 、P ∩Q =φC 、 P ∪Q =RD 、P ∪Q =Z6、数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4……，则这个数列的第个数是（）A 、62B 、63C 、64D 、657、已知函数f(x)是R 上的减函数，A （0，－2），B （－3，2）是其图象上的两点，则不等式|f(x+2)|>2的解集是（）A 、（－1，2）B 、（－∞，－1）∪（2，+∞）C 、（－∞，－5）∪（－2，+∞）D 、（－∞，－3）∪（0，+∞）8、某火车站在节日期间的某个时刻候车旅客达到高峰，此时旅客还在按一定的流量到达。

如果只打开3个检票口，需要30分钟才能使所有滞留旅客通过检票口。

如果打开6个检票口，只需要10分钟就能让所有滞留旅客通过。

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浙江省苍南县“姜立夫杯”2020年高二数学上学期竞赛试题考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案） 1.函数)2sin(3)(π+=x x f 是（）（A ）周期为π2的奇函数（B ）周期为π2的偶函数（C ）周期为π的奇函数（D ）周期为π的偶函数2．若M={(x ，y )| |tan y |+sin 2x =0}，N={(x ，y )|x 2+y 2≤2}，则M ∩N 的元素个数是（）（A ）4 （B ）5 （C ）8 （D ）93．如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( )（A ）1个（B ）2个（C ）50个（D ）100个 4．有若干个棱长为1的小正方体搭成一个几何体，这个几何体的正视图和侧视图均如右图所示，那么符合这个平面图形的小正方体块数最多时该几何体的体积是（）（A ）6 （B ） 14 （C ）16 （D ） 18 5．在平面直角坐标系中，方程|x +y |2a +|x －y |2b =1 (a ，b 是不相等的两个正数)所代表的曲线是 ( )（A ）三角形（B ）正方形（C ）非正方形的菱形（D ）非正方形的长方形6．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2≤0，x ＋3≥0，x －y －1≤0，则46--+x y x 的取值范围是 ( )（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡720,2 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡713,1 （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡73,0 （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡76,07．设四面体四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，它们的最大值为S ，记1234=S S S S Sλ+++，则λ一定满足( )（A ）2<λ≤4 （B ）3<λ<4 （C ）2.5<λ≤4.5 （D ）3.5<λ<5.58. 设函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若对任意给定的(2,)y ∈+∞，都存在唯一的x R ∈，满足第4题22(())2f f x a y ay =+，则正实数a 的最小值是（）（A ）14 （B ）12（C ）2 （D ）4 二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.）9．从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k 的最大值是．10. 若直线b x y +=被圆122=+y x 所截得的弦长不小于1，则b 的取值范围是．11.已知ABC ∆中，AB AC ⊥，||2AB AC -=，点M 是线段BC （含端点）上的一点，且()1AM AB AC ⋅+=，则||AM 的取值范围是．12．如图，在三棱锥S —ABC 中，若底面ABC 是正三角形，侧棱长SA=SB=SC=3， M 、N 分别为棱SC 、BC 的中点，并且AM ⊥MN ，则三棱锥S —ABC 的外接球的体积为 .13. 定义在R 上的函数f （x ）满足),(21)3(,1)1()(,0)0(x f xf x f x f f ==-+=且当1021≤<≤x x 时，有)()(21x f x f ≤，则)20141(f 的值为__ __. 14．若三个非零且互不相等的实数a 、b 、c 满足112a b c+=，则称a 、b 、c 是调和的；若满足2a c b +=，则称a 、b 、c 是等差的。

已知集合{}2014M x x x Z =≤∈，，集合P 是集合M 的三元子集，即{}P a b c M =⊆，，。

若集合P 中元素a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”。

则不同的“好集”的个数为．2020年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二答题卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9.________________________ 10._____________________________ 11._______________________ 12._____________________________ 13._______________________ 14._____________________________ 三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15、设函数()sin 1f x x x =+，（I ）求函数()f x 在[0,]2π上的最大值与最小值；（II ）若实数c b a ,,使得1)()(=-+c x bf x af 对任意R x ∈恒成立，求acb cos 的值．16．已知函数2()1f x x a x =+-，a 为常数．（1）当2a =时，求函数()f x 在[0,2]上的最小值和最大值；（2）若函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围．S是数列{}n a的前n项和，且n a是n S和2的等差中项．17．设n（1）求数列{}n a的通项公式；（2）当1i j n ≤≤≤（,,i j n 均为正整数）时，求i a 和j a 的所有可能的乘积i j a a 之和n T ；（3）设212222*nn M n N T T T =+++∈()，求证：1324M ≤<．2020年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9.______4________________ 10._____ [_______________ 11.______1(,1]2_______________ 12._____92π________________________13._____1128__________ 14.______1006_______________________四、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程） 15. 解：（I ）由条件知()2sin()13f x x π=++，由02x π≤≤知，5336x πππ≤+≤，于是1sin()123x π≤+≤所以2x π=时，()f x 有最小值12122⨯+=；当6x π=时，()f x 有最大值2113⨯+=．（4分）（II ）由条件可知2sin()2sin()133a xb xc a b ππ+++-++=对任意的x R ∈恒成立， ∴2sin()2sin()cos 2cos()sin (1)0333a xb xc b x c a b πππ+++⋅-+⋅++-= ∴2(cos )sin()2sin cos()(1)033a b c x b c x a b ππ+⋅+-⋅+++-=∴ cos 0sin 010a b c b c a b +=⎧⎪=⎨⎪+-=⎩,由sin 0b c =知0b =或sin 0c =。

若0b =时，则由cos 0a b c +=知0a =，这与10a b +-=矛盾！若sin 0c =，则cos 1c =（舍去），cos 1c =-，解得π)12(,21+===k c b a ，所以，1cos -=acb ．（10分） 16. 解：（1）当2a =时，22222,1,()2122,1,x x x f x x x x x x ⎧+-≥⎪=+-=⎨-+<⎪⎩22(1)3,1,(1)1,1,x x x x ⎧+-≥⎪=⎨-+<⎪⎩所以当[1,2]x ∈时，max min [()]6,[()]1f x f x ==当[0,1]x ∈时，max min [()]2,[()]1f x f x ==所以()f x 在[0,2]上的最大值为6，最小值为1。

(5分)（2）因为22,1,(),1,x ax a x f x x ax a x ⎧+-≥⎪=⎨-+<⎪⎩2222(),1,24(),1,24a a x a x a a x a x ⎧+--≥⎪⎪=⎨⎪--+<⎪⎩而()f x 在[0,)+∞上单调递增所以当1x ≥时，()f x 必单调递增，得12a-≤即2a ≥- 当01x ≤<时，()f x 亦必单调递增，得02a≤即0a ≤且2211a a a a +-≥-+恒成立故所求实数a 的取值范围为[2,0]-。

(10分) 17. 15.（1）∵n a 是n S 和2的等差中项，∴22n n S a +=， ① 当1=n 时，1122S a +=，解得21=a . 当2n ≥时，1122n n S a --+=. ②①－②得1122---=-n n n n a a S S ()2,*≥∈n N n ， ∴122--=n n n a a a 。

∴12-=n n a a 。

∴21=-n na a ()2n ≥. ∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， ∴nn a 2=()2n ≥.当1n =时，1122a ==，符合上式，所以数列{}n a 的通项公式为2nn a =()*n ∈N 。

………………………………………3分（2）由i a 和j a 的所有可能乘积2i j i j a a +⋅=()n j i ≤≤≤1可构成下表： 112+，122+，132+，…，()112n +-，12n + 222+，232+，…，()212n +-，22n + 332+，…，()312n +-，32n +……………… 2n n+构造如下n 行n 列的数表：112+，122+，132+，…，()112n +-，12n + 212+，222+，232+，…，()212n +-，22n +312+，322+，332+，…，()312n +-，32n +………………12n +，22n +，32n +，… ，()12n n +-，2n n+设上表第一行的和为T ，则()()41242112n n T -==--.于是()()2124221222222n n n T T -=++++++++()()()22414212141n n n -=-⋅-+-()()1821213nn +=--. ∴()()1421213nn n T +=-⋅-.…………………………………………………………8分（3）∵()()1421213nn n T +=-⋅-， ∴()()112323114212142121n n n n n n n T ++⨯⎛⎫==- ⎪---⋅-⎝⎭。