集合中的常用数学思想

⑶图示法，又叫韦恩（Venn）图．
⑷区间表示法：用来表示连续的数集．
<教师备案>⑴元素的性质：
元素的性质中最本质的属性是确定性，集合是有边界的，边界确定了，才能判断一个元素在还是不在集合中．正是因为有确定性，所以可以定义空集，因为所有元素都不在这个集合中，所以这也能构成一个集合，就是空集．
⑵集合的表示法：
①列举法一定要会用，当遇到陌生集合时，要会写出其中的元素．比如要想了解集合 ， 的关系，可以用列举法把一个个元素写出来： ， ，就知道 是 的真子集；
②描述法是集合的一个重点与难点： ， 表达 的外延，即 的最大讨论范围，以及集合中元素的形式，到底是数还是点， 并不一定能取到 中的所有，只是 一定是 中的元素， 表示 的内涵，是对 的精确描述．
<教师备案>本讲的例题很多都涉及到数学思想，如例1与例2都涉及到了分类讨论的思想，例5与例6会涉及到数形结合的思想．例3是对集合的思想的集中体现，可以在这里对集合中常用的数学思想作一个介绍与说明．例3不同的方法对应不同的思考方式，直接解决需要分类讨论，间接解决就是考虑问题的反面．遇到至少有、至多有的问题，需要注意问题的反面的形式．
2【解析】 ．
分析：
至少有1个不是空集，考虑方法有两种：第1种： 或 或 也就是 ， 和 取并集．第2种，至少有1个不是空集的反面是什么？如我们班至少有1个男生反面是不到1个男生，也就是没有男生，∴“至少有1个不是空集”的反面是“全都是空集”．“全都是空集” 取 ， ， 的公共部分也就是交集，再取个补集就行．
A．1B．2 C．3 D．4
【解析】⑴
⑵
⑶B
考点4：集合的关系
【例4】⑴ 设集合 ， ， ，
则下列说法正确的有________．
① ② ③ ④
⑵ 设集合 ， ，则（）
A． B． C． D．
⑶ 已知集合 ， ，
，则 、 、 满足的关系是（）
A． B． C． D．
【解析】⑴③④；
⑵B；
⑶B；
考点5：集合的关系与运算
⑵难度区别：
暑假讲义的例题以一星与二星为主，难度不大；秋季讲义例题以三星为主，有少量二星与四星的题，对于暑假已经讲过的知识点有“暑假知识回顾”版块，老师可以结合这个版块进行复习与知识点梳理．讲义中所有四星级题都是思考与选讲类的题，可以在一开始对学生进行说明．
2．升级后与原来讲义的区别：
⑴暑假与秋季没有重复内容，暑假讲过的内容，除了极重要的内容（会单独说明）外，秋季都不会在例题中重复出现；
证明：⑴若 ，则 中必还有另外两个元素；
⑵集合 不可能是单元素集；
⑶集合 中至少有三个不同的元素．
1【解析】⑴若 ，则 ，于是 ，
故集合 中还含有 ， 两个元素．
⑵若 为单元素集，则 ，即 ，此方程无实数解，∴ ，
∴ 与 都为集合 的元素，则 不可能是单元素集．
⑶由 是非空集合知存在 ．
现只需证明 、 、 三个数互不相等．
当遇到正面分类讨论比较多时，不妨考虑问题反面．
若改成“至少有两个是空集”，那么反面是什么？最多有1个空集．比如某富二代说“我家至少有10栋房”，那么反面是他家至多有9栋房．
1．子集：如果集合 中的任意一个元素都是集合 的元素，则 是 的子集，记作 或 ；
规定： 是任意集合的子集．
如果集合 中存在着不是集合 中的元素，那么集合 不包含于 ，记作 或 ．
A． 个B． 个C． 个D． 个
【解析】C
2．下列集合中恰有2个元素的集合是（）
A. B. C. D.
【解析】B．
3．若 ， ，则集合 中的元素共有（）
A． 个B． 个C． 个D． 个
【解析】A
考点1：元素与集合的关系
【例1】⑴ 已知 ，且 ，求实数 及集合 ．
⑵ 已知 ，集合 ，且 ， ，求满足条件的 的值．
【例3】 已知集合 中至多有一个元素，则实数 的取值范围是．
【解析】 或 ．
解法一（按照 的元素个数分类讨论）：
解法二（按照方程的次数分类讨论）：
解法三（先考虑问题的反面）：
备注：所有的【拓展】在学生版都不出现，只在教师版与课件上出现，供老师选讲．
【拓展】已知 ， ， ，且 ， ， 中至少有一个不是空集，求实数 的取值范围．
则实数 的取值范围是_______．
⑵ 已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是．
⑶ 已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是．
⑷ 设集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是___________．
【解析】⑴ 或 ；
⑵ ；
⑶ ；
⑷ 或 ；
【拓展】设集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是__________；若 ，则实数 的取值范围是___________．
<教师备案>例5是具体的集合的关系与运算，其中⑴涉及一元二次方程的解集，是有限集问题；从⑵－⑷是连续数集问题，借助韦恩图会更容易解决．对于一般的集合问题，这里有个易错点，即空集是任何集合的子集，考虑子集问题先想空集！
为了避免有部分学生没有上过暑期班，所以这一节我们尽量避开了集合的区间表示法．
【例5】⑴ 已知 ，其中 ，如果 ，
⑵ 若 ， ，集合 ，则 _____．
⑶ 由三个实数构成的集合，既可以表示为 ，也可表示为 ，则 ____．
【解析】⑴ ；
⑵ ；
⑶ ；
点评：根据两集合的元素是相同的，可以列方程组分类讨论，但显然复杂又繁琐，这时从特殊元素出发，如发现0这个特殊元素和 中的 不为0的隐含信息，就能得到简便解法．
考点3：集合中涉及到的数学思想
⑶ 已知 是数集，且满足：若 ，则 ，则当 时， 中仅有1个元素．若集合 中有且仅有两个元素，集合 _______．
【解析】⑴当 时， ；当 时， ．
⑵ ；
⑶ 或 ； ．
备注：所有的【备选】在学生版都不出现，只在教师版与课件上出现，供老师选讲．
【备选】设 是非空数集， ， ，且满足条件：若 ，则 ．
高一秋季讲义说明
1．暑秋讲义区别：
⑴定位区别：
暑期讲义侧重于知识的引入与概念的讲解，会有很多与实际生活相结合或是非常简单的小例子（有些在教师备案中，并有配套练习）；
秋季讲义侧重于知识点中的重点、难点与易错点，对常用方法与题型作系统说明与讲解．教师备案更多的是揭示概念与方法的本质，及需要重点说明的地方．
【解析】① 或 ；
A． B． C． D．
⑶已知两个集合 ， ，这两个集合的关系是（）
A． B． C． D．
⑷设 ， ，则下列关系正确的是（）
A． B． C． D．
3【解析】⑴D
⑵B
⑶A
⑷C
2．⑴设集合 ， ，则 ___________．
⑵设集合 ， ，则 =_________．
⑶已知全集 ，集合 ， ，则集合 中元素的个数为（）
不含任何元素的集合叫做空集，记作 ．
2．元素与集合的关系： 、 ；
3．常见的数集的写法：
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
或
4．元素的性质：确定性、互异性、无序性．
5．集合的表示法
⑴列举法．
⑵描述法（又称特征性质描述法）：
形如 ， 称为集合的特征性质， 称为集合的代表元素． 为 的范围，有时也写为 ．
考点2：两个集合相等
<教师备案>两个集合相等是集合的关系中出现的概念，但对于由列举法表示的集合来说，两个集合相等就是指两个集合中的元素完全相同，所以放在元素与集合这一板块中讲解更顺一些．下一板块的集合相等的定义主要针对更复杂更抽象的集合，通过互相包含得到相等关系．
【例2】⑴ 设 ，集合 ，则 _____．
⑵尖子班（提高班与尖子班讲义相同）与目标班区别度很大，每道例题都有区别，仅在目标班出现的例题与考点会标有“目标班专用”，知识点讲解的深度与难度更大，计算量也更大；
⑶题量与以前相比也有所增加，老师可以根据班上学生的进度情况与学生的程度好坏可以调整与选择性讲解，这一点也可以在最开始作个说明；
⑷对于暑假没有讲过的新知识点，有些会配上【练习】，有些难题前面配有【铺垫】，学生版都出现．个别例题后面备有较难的【备选】与【拓展】，学生版不出现，供老师选讲．
2．真子集：如果集合 ，且存在 ，但 ，我们称集合 是集合 的真子集，
记作 （或 ），读作 真包含于 （ 真包含 ）．
规定： 是任意非空集合的真子集．
3．集合相等：如果 ，且 ，我们说集合 与集合 相等，记作 = ．
4．交集： ；
5．并集： ；
6．补集：
①全集：如果所研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，常用 表示．
能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题．
集合间基本关系
√
理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
在具体情境中，了解全集与空集的含义．
集合基本运算
√
理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
①若 ，方程无解，∴ ；
②若 ，方程无解； ；
③若 ，方程无解，∴ ，
故集合 中至少有三个不同的元素．
【备注】集合离不开元素，元素是集合的核心，所以解决有关集合中的探索性问题，可以先从元素入手，作为解题的切入点．解此题关键在于由已知 ， ，得到 ， ，然后逐步探索，再根据集合中元素的互异性，从而将问题加以解决．⑵中用到反证法的解题思想．下面的例3中会进一步提到正难则反的思想．
第5讲
指数函数与相关复合函数
3小时
第6讲
对数函数与相关复合函数
3小时
第7讲
期中复习
提高班、尖子班3小时