弹性力学平面问题的有限元法

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3 弹性力学平面问题的有限元法

本章包括以下的内容：

3.1弹性力学平面问题的基本方程

3.2单元位移函数

3.3单元载荷移置

3.4单元刚度矩阵

3.5单元刚度矩阵的性质与物理意义

3.6整体分析

3.7约束条件的处理

3.8整体刚度矩阵的特点与存储方法

3.9方程组解法

3.1弹性力学平面问题的基本方程

弹性力学是研究弹性体在约束和外载荷作用下应力和变形分布规律的一门学科。在弹性力学中针对微小的单元体建立基本方程，把复杂形状弹性体的受力和变形分析问题归结为偏微分方程组的边值问题。弹性力学的基本方程包括平衡方程、几何方程、物理方程。

弹性力学的基本假定如下：

1）完全弹性，2）连续，3）均匀，4）各向同性，5）小变形。

3.1.1基本变量

弹性力学中的基本变量为体力、面力、应力、位移、应变，各自的定义如下。

体力

体力是分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。

面力

面力是分布在物体表面上的力，例如接触压力、流体压力。

应力

物体受到约束和外力作用，其内部将产生内力。物体内某一点的内力就是应力。

图3.1

如图3.1假想用通过物体内任意一点p 的一个截面mn 将物理分为Ⅰ、Ⅱ两部分。将部分Ⅱ撇开，根据力的平衡原则，部分Ⅱ将在截面mn 上作用一定的内力。在mn 截面上取包含p 点的微小面积A ∆，作用于A ∆面积上的内力为Q ∆。

令A ∆无限减小而趋于p 点时，Q ∆的极限S 就是物体在p 点的应力。

S A Q

A =∆∆→∆0lim

应力S 在其作用截面上的法向分量称为正应力，用σ表示；在作用截面上的切向分量称为剪应力，用τ表示。

显然，点p 在不同截面上的应力是不同的。为分析点p 的应力状态，即通过p 点的各个截面上的应力的大小和方向，在p 点取出的一个平行六面体，六面体的各楞边平行于坐标轴。

图3.2

将每个上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行。用六面体表面的应力分量来表示p 点的应力状态。应力分量的下标约定如下：

第一个下标表示应力的作用面，第二个下标表示应力的作用方向。

xy τ，第一个下标x 表示剪应力作用在垂直于X 轴的面上，第二个下标y 表示剪应力指

向Y 轴方向。

正应力由于作用表面与作用方向垂直，用一个下标。x σ表示正应力作用于垂直于X 轴的面上，指向X 轴方向。

应力分量的方向定义如下：

如果某截面上的外法线是沿坐标轴的正方向，这个截面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正；

如果某截面上的外法线是沿坐标轴的负方向，这个截面上的应力分量以沿坐标轴负方向为正。

剪应力互等：xz zx zy yz yx xy ττττττ===,,

物体内任意一点的应力状态可以用六个独立的应力分量x σ、y σ、z σ、xy τ、yz τ、zx

τ来表示。 位移

位移就是位置的移动。物体内任意一点的位移，用位移在x ，y ，z 坐标轴上的投影u 、v 、w 表示。

应变

物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。 各线段的单位长度的伸缩，称为正应变，用ε表示。

两个垂直线段之间的直角的改变，用弧度表示，称为剪应变，用γ表示。

物体内任意一点的变形，可以用zx yz xy z y x γγγεεε、、、、、六个应变分量表示。

3.1.2平面应力和平面应变问题

弹性体在满足一定条件时，其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变形和应力的分布规律来代替，这类问题称为平面问题。平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 1）平面应力问题

设有很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度变化的面力，体力也平行于板面且不沿厚度变化。

图3.3

设板的厚度为t ，在板面上：

()02

=±

=t

z z σ，()02

=±=t z zx τ， ()02

=±=t z zy τ

由于平板很薄，外力不沿厚度变化，因此在整块板上有，

0=z σ，0=zx τ， 0=zy τ

剩下平行于XY 平面的三个应力分量xy y x τσσ、、未知。

2）平面应变问题

设有很长的柱形体，支承情况不沿长度变化，在柱面上受到平行于横截面而且不沿长度变化的面力，体力也如此分布。

图3.4

以柱体的任一横截面为XY 平面，任一纵线为Z 轴。假定该柱体为无限长，则任一截面都可以看作对称面。由对称性，

0=zx τ，0=zy τ，0=w

由于没有Z 方向的位移，Z 方向的应变0=z ε。

未知量为平行于XY 平面的三个应力分量xy y x τσσ、、，物体在Z 方向处于自平衡状

态。

3.1.3平衡方程

弹性力学中，在物体中取出一个微小单元体建立平衡方程。平衡方程代表了力的平衡关系，建立了应力分量和体力分量之间的关系。对于平面问题，在物体内的任意一点有，

00=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂Y x

y X y

x xy

y yx

x τστσ

（3-1）

3.1.4几何方程

由几何方程可以得到位移和变形之间的关系。对于平面问题，在物体内的任意一点有，

x

v y u y v

x u xy y x ∂∂+

∂∂=∂∂=∂∂=

γεε （3-2）

刚体位移

由位移u=0，v=0可以得到应变分量为零，反过来，应变分量为零则位移分量不为零。应变分量为零时的位移称为刚体位移。刚体位移代表了物体在平面内的移动和转动。

由 000=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂x

v y u y v

x u

可以得到刚体位移为以下形式，

x

v v y u u ωω+=-=00

由

0,0=∂∂=∂∂y

v

x u 可得， )(),

(21x f v y f u ==

将21,f f 代入

0=∂∂+∂∂x

v

y u 可得， ω==-

dx

x df dy y df )

()(21

积分后得到，

x

v x f y u y f ωω+=-=0201)()(

得到位移分量，

x

v v y u u ωω+=-=00

当0,0,000==≠ωv u 时，物体内任意一点都沿x 方向移动相同的距离，可见0u 代

表物体在x 方向上的刚体平移。

当0,0,000=≠=ωv u 时，物体内任意一点都沿y 方向移动相同的距离，可见0v 代表