清华大学断裂力学讲义第三章-线弹性断裂力学
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第三章 断裂力学与断裂韧度
定义
也就是G表示弹性应变能的释放率或者为裂纹扩展力。 也就是 表示弹性应变能的释放率或者为裂纹扩展力。 表示弹性应变能的释放率或者为裂纹扩展力 因为G是裂纹扩展的动力，当G达到怎样的数值时， 达到怎样的数值时， 因为 是裂纹扩展的动力， 是裂纹扩展的动力 达到怎样的数值时 裂纹就开始失稳扩展呢? 裂纹就开始失稳扩展呢 按照Griffith断裂条件 断裂条件G≥R R=γs 按照 断裂条件 γ 按照Orowan修正公式 修正公式G≥R R=2(γ s+γ p) 按照 修正公式 γ γ
如对无限大平板内中心含有穿透K 如对无限大平板内中心含有穿透 1为
因此， 线弹性断裂力学并不象传统力学那样 ， 单 因此 ， 线弹性断裂力学并不象传统力学那样， 纯用应力大小来描述裂纹尖端的应力场， 纯用应力大小来描述裂纹尖端的应力场 ， 而是同 时考虑应力与裂纹形状及尺寸的综合影响。 时考虑应力与裂纹形状及尺寸的综合影响。 教材p67 教材
其研究结果在当时并未引起重视
对于大多数金属材料， 对于大多数金属材料 ， 虽然裂纹尖端由于应力集中 作用， 局部应力很高， 作用 ， 局部应力很高 ， 但是一旦超过材料的屈服强 就会发生塑性变形。 在裂纹尖端有一塑性区， 度 ， 就会发生塑性变形 。 在裂纹尖端有一塑性区 ， 材料的塑性越好强度越低， 材料的塑性越好强度越低 ， 产生的塑性区尺寸就越 裂纹扩展必须首先通过塑性区， 大 。 裂纹扩展必须首先通过塑性区 ， 裂纹扩展功主 要耗费在塑性变形上， 要耗费在塑性变形上 ， 金属材料和陶瓷的断裂过程 不同，主要区别也在这里。 不同，主要区别也在这里。
工作应力σ<许用应力 工作应力 许用应力[σ] 许用应力
即认为是安全的
塑性材料 脆性材料
断裂力学-线弹性理论(共53张PPT)
断裂动力学
● 1948年N．F．Mott(莫特), 进行了裂纹快速扩展速度的定量计算并将动能引入Griffith能量准 那么;
● 1951年，E．H．Yoffe(约飞) ,提出了恒长度裂纹的匀速扩展模型，计及惯性力，对 裂纹分叉作定量分析;
1960年，J．W．Craggs(克拉格斯) ,提出了裂纹面受载而加载点随裂纹前进的匀速扩展半 无限长裂纹模型；
K反映了裂尖应力场的强弱；足标1表示是1型。
sij越大，K越大；裂纹尺寸a越大，K越大。 K的量纲为[应力][长度]1/2，常用MPa m。
(5-1)式是中心穿透裂纹无穷大板的解。 断裂力学研究表明，K1可以更一般地写为：
K1 s a f (a,W,...)
f(a,W,...)为几何修正函数，可查手册。 特别地，当a<<w或a/w0时，即
这种连续介质模型仍是一种理想的模型，在远离 裂纹尖端的区域是适宜的，而在裂纹尖端附近的 小区域(原子或晶体结构的尺度范围)是否适宜， 还需深入到微观领域，弄清微观的断裂机理，才 能更好地了解力学因素在裂纹尖端的断裂过程中 是如何发挥作用的，才能深入了解宏观断裂的现
二、断裂力学中的几个根本概念
● Griffth(格里菲斯)裂纹
●1960年，D．S.Dugdale (达格代尔) 研究裂纹尖端的塑性区。
●1961年，A．A．Wells(威尔斯)提出的裂纹张开位移(COD)准那么。
●1968年,J.R．Rice(赖斯)提出用围绕裂纹尖端的与路径无关的线积分来研究裂纹尖 端的变形及J积分准那么。
●1968年，J．W．Hutchinson(哈钦森)及J．R．Rice与G．R．Rosengren
● 1977 Comninou(康尼诺)，和1988Delale(迪拉尔)和Erdogan，1989 Hutchinson ,和 Sun(锁志刚)提出的能量释放率扩展准那么；
断裂力学讲义分解
1
16 G
sin (2cos
k
1)
16
a22
1
16 G
[(k
1)(1
cos )
(1
cos )(3cos
1)]
a33
1
4 G
3 4
k
3
1
平面应变 平面应力
S
r 应变能密度因子—表示裂纹尖端附近应力场密度切的强弱程度
S a11KⅠ2 2a12 KⅠKⅡ a22 KⅡ2 a33KⅢ2
2 r 2
22
y
KⅠ cos (1 sin sin 3 )
2 r 2
22
KⅡ sin cos cos 3 2 r 2 2 2
15
xy
KⅠ
sin
cos
cos
3
2 r 2 2 2
KⅡ cos (1 sin sin 3 )
2 r 2
22
xz
KⅢ
sin
2 r 2
yz
r
) | 0 0
3 2
r
[
r
(
r
3 2
)]
0
0
12
r 0
r
3 2
0
( r
3 2
|
0
0
KⅠcos
0
2
KⅡ
sin
0
2
0 0
2
arctan
KⅠ ) KⅡ
G0
1 2 E
(
KⅡ4 KⅠ2 KⅡ2
)
G0
=1 -m2 ( E
KⅠ2
+KⅡ2 )
G0 G0 根不是解
裂纹扩展
断裂力学精品文档
目录 第一章 绪论 第二章 线弹性断裂力学 第三章 弹塑性断裂力学 第四章 疲劳裂纹扩展 第五章 复合型裂纹的脆性断裂理论 附 录 弹性力学基础
一、引例
第一章 绪 论
s
s s [s ]
s
2a
2b
s
2a
s
s max
s
1
2
a b
Inglis(1913)
s
?
第一章 绪论
用分子论观点计算出绝大部分固体材 料的强度103MPa，而实际断裂强度 100MPa？
裂力学，断裂动力学和界面断裂力学。
五、断裂力学的任务
第一章 绪论
1．研究裂纹体的应力场、应变场与位移场，寻 找控制材料开裂的物理参量；
2．研究材料抵抗裂纹扩展的能力——韧性指标 的变化规律，确定其数值及测定方法；
3．建立裂纹扩展的临界条件——断裂准则；
4．含裂纹的各种几何构形在不同载荷作用下， 控制材料开裂物理参量的计算。
一、Griffith理论
3．Griffith理论
s
1) b厚度板开裂前后应变能增量
V
s 2 πa2b A2ab πs 2 A2
E
4Eb
A：裂纹单侧自由表面面积
2a
2)表面自由能
ES 4ab 2A
s
V ES πs 2 A 2
A A 2Eb
2.2 断裂力学的能量方法
一、Griffith理论
4．1954年1月10日英国大型喷气民航客机彗星号坠 落，同时期共三架坠落；
第一章 绪论
二、工程中的断裂事故
5．1958美国北极星号导弹固体燃料发动机壳体爆 炸；
6．1969年11月美国F3左翼脱落； 7．1972年我国歼5坠毁； 8．近年来桥梁、房屋、锅炉和压力容器、汽车等
一、引例
第一章 绪 论
s
s s [s ]
s
2a
2b
s
2a
s
s max
s
1
2
a b
Inglis(1913)
s
?
第一章 绪论
用分子论观点计算出绝大部分固体材 料的强度103MPa，而实际断裂强度 100MPa？
裂力学，断裂动力学和界面断裂力学。
五、断裂力学的任务
第一章 绪论
1．研究裂纹体的应力场、应变场与位移场，寻 找控制材料开裂的物理参量；
2．研究材料抵抗裂纹扩展的能力——韧性指标 的变化规律，确定其数值及测定方法；
3．建立裂纹扩展的临界条件——断裂准则；
4．含裂纹的各种几何构形在不同载荷作用下， 控制材料开裂物理参量的计算。
一、Griffith理论
3．Griffith理论
s
1) b厚度板开裂前后应变能增量
V
s 2 πa2b A2ab πs 2 A2
E
4Eb
A：裂纹单侧自由表面面积
2a
2)表面自由能
ES 4ab 2A
s
V ES πs 2 A 2
A A 2Eb
2.2 断裂力学的能量方法
一、Griffith理论
4．1954年1月10日英国大型喷气民航客机彗星号坠 落，同时期共三架坠落；
第一章 绪论
二、工程中的断裂事故
5．1958美国北极星号导弹固体燃料发动机壳体爆 炸；
6．1969年11月美国F3左翼脱落； 7．1972年我国歼5坠毁； 8．近年来桥梁、房屋、锅炉和压力容器、汽车等
清华大学断裂力学讲义第三章-线弹性断裂力学
ˆ ui u r 1 i x3 x3
ui ,3 ui ,
ui x1, x2
裂纹尖端的二维渐近分析 当无限靠近裂尖时，有以下量级关系
fi
,3 ,
, 1, 2
为什么？
ui Cui,
C具有模量的量纲
定解方程变成以下解耦的两组：
按照对称性分析I，II型裂纹场的对称性：应力、应变和位移？
基于渐近分析
ui ui x1, x2
1 1 u x , x u x , x 1 1 2 u1 x1 , x2 u1 x1 , x2 2 1 1 2 2 u1 x1 , x2 0 1 1 u x , x u x , x u x , x u x , x 0 u2 x1 , x2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 u x , x u x , x 3 1 2 3 1 2 0 0
Papkovich-Neuber 势函数
4 C f ,
Plane strain Plane stress
f , , f3 0
Airy应力函数
2 2 2 11 2 , 22 2 , 12 21 x2 x1 x1x2
u3 r C1 sin
1 2
2
1 C u3 1 3r r 2 sin r 2 2
3
1 C u3 1 r 2 cos r 2 2
u3 0
+ u3 C1r 3 1 2 1 2
at 0 at at -
断裂力学——3裂纹尖端应力场和位移场计算
K I lim Z I 2 a
0
Z ( )
a
2a
K lim 2 Z ( ) a
0
l ( a) Z Ⅲ ( ) ( 2a)
KI lim 2 ZI ( ) l a
z
z 2 a2 a 2
2
z
z
z
0
只有实部且为一常数
z 0 Z II
lim Z ' ( z ) lim
z
z
z
a
2 3/2
x y 0
xy
在裂纹表面
y0
z
z a
2
x a 处
2
满足平板周围的边界条件 虚数
12
K lim 2 Z ( )
0
Ⅱ型裂纹求解
第三步：用 Z ( z) 求II型裂尖附近的应力场和位移场
应力强度因子是在裂尖时 0 存在极限，若考虑裂尖附近 的一个微小区域，则有：
K 2 Z ( )
Z ( ) K 2
若以极坐标表示复变量 则可得到
8
Ⅱ型裂纹求解
得到II型裂纹问题各应力分量表达式为
x 2 ImZ y Re Z ' y y Re Z '
‘ xy Re Z y Im Z
进而可得到位移分量
(1 ) u＝ 2(1 ) Im Z yReZ E (1 ) (1 2 )ReZ y Im Z v＝ E
断裂力学第三讲
Shanghai University
断裂力学 Fracture Mechanics
线弹性断裂力学PPT教案
取单位厚度的无限大平板，中央有长 为2a的 穿透裂 纹，承 受与裂 纹垂直 的均匀 拉伸应 力，如 图所示 。
对于薄板，为平面应力状态
三个应力分量为：
x
a 2r
cos 2
(1 sin
2
sin
3 2
)
y
a 2r
cos 2
(1 sin 2
sin
3 2
)
xy
a 2r
sin
2
cos 2
co s 3 2
G G (或 )
C
GC
脆性断裂准则
K KC
K C (或 )
平面应变断裂韧性
平面应力断裂韧性。
通常把K准则作为断裂准则的常用形 式，为 什么？
应用K准则，应力强度因子的数值一般由计算得出，断裂韧性 的数值由试验测定。
第25页/共65页
2.3.4 K断裂准则
2. K准则与G准则的关系
对于Ⅱ型裂纹 ，按照与Ⅰ型裂纹问题同样的思路， 有
第1页/共65页
2.3.1 裂纹体的三种断裂类型
裂纹体中的裂纹，由于外加作用力的 不同， 可以分 为三种 不同的 类型， 如图所 示，相 应地称 为Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ 型断裂 问题
由于Ⅰ型裂纹是最常见和最危险的，容 易引起 超低应 力脆断 ；近年 来对I型 裂纹的 研究也 最多， 实际裂 纹即使 是复合 型裂纹 ，也往 往把它 作为Ⅰ 型裂纹 来处理 ，这样 更安全 。
G GC
K KC
G
1 E
K
2
(平面应力)
GC
1 2 E
K2 C
(平面应变)
对于Ⅲ型裂纹，有
G GC
K KC
G
1 E
对于薄板，为平面应力状态
三个应力分量为：
x
a 2r
cos 2
(1 sin
2
sin
3 2
)
y
a 2r
cos 2
(1 sin 2
sin
3 2
)
xy
a 2r
sin
2
cos 2
co s 3 2
G G (或 )
C
GC
脆性断裂准则
K KC
K C (或 )
平面应变断裂韧性
平面应力断裂韧性。
通常把K准则作为断裂准则的常用形 式，为 什么？
应用K准则，应力强度因子的数值一般由计算得出，断裂韧性 的数值由试验测定。
第25页/共65页
2.3.4 K断裂准则
2. K准则与G准则的关系
对于Ⅱ型裂纹 ，按照与Ⅰ型裂纹问题同样的思路， 有
第1页/共65页
2.3.1 裂纹体的三种断裂类型
裂纹体中的裂纹，由于外加作用力的 不同， 可以分 为三种 不同的 类型， 如图所 示，相 应地称 为Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ 型断裂 问题
由于Ⅰ型裂纹是最常见和最危险的，容 易引起 超低应 力脆断 ；近年 来对I型 裂纹的 研究也 最多， 实际裂 纹即使 是复合 型裂纹 ，也往 往把它 作为Ⅰ 型裂纹 来处理 ，这样 更安全 。
G GC
K KC
G
1 E
K
2
(平面应力)
GC
1 2 E
K2 C
(平面应变)
对于Ⅲ型裂纹，有
G GC
K KC
G
1 E
《线弹性断裂力学》课件
02
它涉及到材料或结构的强度、韧 性和耐久性等方面的评估，对于 工程结构的安全性和可靠性至关 重要。
断裂力学的重要性
在工程领域中，许多结构如桥梁、高 层建筑、压力容器等都需要承受较大 的外力，因此断裂力学对于这些结构 的可靠性评估具有重要意义。
通过断裂力学的应用，可以预测结构 在各种载荷下的行为，从而采取相应 的措施来提高结构的强度、韧性和耐 久性。
意义。
裂纹扩展的驱动力
总结词
裂纹扩展的驱动力是指促使裂纹扩展的力或能量来源，是线弹性断裂力学中的重要研究内容。
详细描述
裂纹扩展的驱动力可以来自外部载荷、温度梯度、化学腐蚀等多种因素。这些驱动力会导致裂纹面上 的应力分布发生变化，从而促使裂纹扩展。研究裂纹扩展的驱动力有助于深入了解材料的断裂机制和 行为，为结构的安全性和可靠性设计提供理论支持。
总结词
弹性模量是描述材料抵抗弹性变形能力的物理量，是线弹性断裂力学中的重要参数。
详细描述
弹性模量是指材料在弹性范围内，抵抗变形的能力。它是衡量材料刚度的指标，表示材料在单位应变下所需的应 力。弹性模量越大，材料抵抗变形的能力越强。在工程应用中，了解材料的弹性模量对于预测结构的强度和稳定 性至关重要。
未来研究展望
发展更为精确的数值模拟方法
利用高性能计算机和先进的数值方法，模拟更为复杂的断裂行为，提 高预测精度。
深入研究复杂环境和服役条件下的断裂问题
针对高温、高压、腐蚀等复杂环境和服役条件下的材料和结构，深入 研究其断裂行为和失效机理。
跨学科合作与交流
加强与其他学科领域的合作与交流，如物理学、化学、生物学等，以 促进对材料断裂行为的深入理解。
有限元分析方法可以处理复杂 的几何形状、材料非均匀性和 多种物理场耦合等问题，具有 广泛的应用前景。
它涉及到材料或结构的强度、韧 性和耐久性等方面的评估，对于 工程结构的安全性和可靠性至关 重要。
断裂力学的重要性
在工程领域中，许多结构如桥梁、高 层建筑、压力容器等都需要承受较大 的外力，因此断裂力学对于这些结构 的可靠性评估具有重要意义。
通过断裂力学的应用，可以预测结构 在各种载荷下的行为，从而采取相应 的措施来提高结构的强度、韧性和耐 久性。
意义。
裂纹扩展的驱动力
总结词
裂纹扩展的驱动力是指促使裂纹扩展的力或能量来源，是线弹性断裂力学中的重要研究内容。
详细描述
裂纹扩展的驱动力可以来自外部载荷、温度梯度、化学腐蚀等多种因素。这些驱动力会导致裂纹面上 的应力分布发生变化，从而促使裂纹扩展。研究裂纹扩展的驱动力有助于深入了解材料的断裂机制和 行为，为结构的安全性和可靠性设计提供理论支持。
总结词
弹性模量是描述材料抵抗弹性变形能力的物理量，是线弹性断裂力学中的重要参数。
详细描述
弹性模量是指材料在弹性范围内，抵抗变形的能力。它是衡量材料刚度的指标，表示材料在单位应变下所需的应 力。弹性模量越大，材料抵抗变形的能力越强。在工程应用中，了解材料的弹性模量对于预测结构的强度和稳定 性至关重要。
未来研究展望
发展更为精确的数值模拟方法
利用高性能计算机和先进的数值方法，模拟更为复杂的断裂行为，提 高预测精度。
深入研究复杂环境和服役条件下的断裂问题
针对高温、高压、腐蚀等复杂环境和服役条件下的材料和结构，深入 研究其断裂行为和失效机理。
跨学科合作与交流
加强与其他学科领域的合作与交流，如物理学、化学、生物学等，以 促进对材料断裂行为的深入理解。
有限元分析方法可以处理复杂 的几何形状、材料非均匀性和 多种物理场耦合等问题，具有 广泛的应用前景。
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G a 0 ai2 x 1 ,0 u i a x 1 ,d x 1 w tip a
如果不是固定位移载荷加载（如固定力），是何结论？
可由能量平衡来理解
F
裂纹扩展
G d ad U F d
逐渐放松保持力过程
wtipdadUFd
F
这种假设裂纹闭合张开的虚拟过程的分析仍然适用。
x2
x2
应力强度因子的计算：
K Mx l1 i0m 2x1
2i
x1,0
i M
1, II
2, I
3 III
Westergaard应力函数法（ Westergaard stress function）
之前的解析函数构造时只关心裂尖处的渐近场及边界条件，Westergaard 应力函数方法将满足所有边界，并能给出全场解。
KQ
PQ BW
f
a W
应力强度因子求解
此前，只讨论了裂尖的渐近解，这里将讨论如何结合几何和载 荷条件来确定应力强度因子。主要有以下一些方法：
Westergaard应力函数法（ Westergaard stress function） 权函数法（Weight function） 线性叠加法 （Principle of superposition）
GlimUAUB
a0 a
lim 1 a02a
a
0 32
x1,0u3dx1
lim1
a0a
0a32x1,0u3ax1,dx1
G
K2 III
2
针对I、II、III型裂纹
x2
x2
σ
u
x1
a
u
x1
a
i2
KMaO
2x1
x1
i 1, 2, 3 M II I III
u i u i G a llaiai m m 0x 01 2,1a1a0 a0u ai i2i 2xa 1x, 10,x 01 u,i uida x12 xu 1i , a dx 1x 1 , G a 复2 K 合I2x E1 型K K裂M I2I 纹a K 2I2 IIa 【 作4 业1 1 题I I I I I I 3-5】
此外，I型断裂最为危险。
G
K
2 I
E
实验测量应力强度因子
电测法 裂尖应变
光弹法
裂尖主应力
数字图像相关（Digital image correlation） 热弹性法（Thermoelastic Method）
裂尖位移场
裂尖温度场
基于应力强度因子的断裂准则
实验测量KIC
安全
KI KIC 临界状态
I、II型裂纹
4F 0
应力函数 F R ezz zd z
应力场
11 Re2 z 22 Re2 z 12 Imz
位移场
2u1 Rez 2u2 Imz
34
3
1
Plane strain Plane stress
Westergaard应力函数法（ Westergaard stress function）
首先假设固定位移加载
针对III型裂纹
x2
A
B
σ
x1
a
x2
u
u
x1
a
K IIIlx1 i m 0 2x1 32 x1,0
32 x1,0
KIII
2x1
u 3 u 3 + a x 1 , u 3 - a x 1 , = 2 u 3 + a x 1 ,= 2 2 K I I I a x 1 1 2
应力强度因子KI,II,III与G之间的关系 G 与裂纹延伸时能量的变化有关
GUe 1Ue
A B a
KI,II,III仅与裂纹尖端区域的场强度有关
KKIII KIII
lim
r0
2r
1222
r,0 r,0
32 r,0
KI,II,III与G之间的关系?
George Rankine Irwin
G.R. Irwin. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate. Journal of Applied Mechanics 24, 361-364 (1957).
KIC 材料的断裂韧性 （Fracture toughness）
ASTM Single edge notch bend (SENB)
Compact tension (CT)
平面应变
B
2.5
K IC y
2
a
2 .5
K IC y
2
Crack mouth opening displacement (CMOD)
在前面的平面问题求解中,需要确定两个解析函数(z)和(z) ，其实在对称和
反对称特例下，可利用Westergaard函数进一步简化为一个解析函数的求解。
以I型问题为例：
F R z e z z d z
12 x1， 0＝ 0 x1 ,利用了对称性
2FF,
I z m z z I z m z z 0
σ
x1
a
u
a u
G KI2 KI2I
K2 III
x1
E 2
平面应变断裂韧性：
能量释放率和应力强度因子关系是假定裂纹呈直线延伸下得
到的。
G KI2
KI2I
K2 III
E 2
在II型和III型加载下裂纹扩展往往会发生拐折和分叉。对很
多材料的实验观察表明，裂纹实际的扩展路径会逐渐转向为I
型断裂占优的路径。
u3 r1uˆ3
ui 0 asr 0
为什么有如此渐近的形式？
分离变量法 u3r,Rru ˆ3
2u3 2 rR 2u ˆ31 r R ru ˆ3rR 2 2u ˆ2 30
12
r2 2Rr R1 R r2 Rr uˆ3
2uˆ3
2
0
12
M.L. Williams. On the stress distribution at the base of a stationary crack. Journal of Applied Mechanics 24, 109-115 (1957).
大家好
第三章：线弹性断裂力学
断裂模式及对称性分析 三型裂纹裂尖场的渐近解
复变函数（回顾） 三型裂纹裂尖场的解
应力强度因子K K-G关剪切问题（一个相对简单的问题）
3, 0
3
1 2 u3,
3 23
整理可得调和方程（或由Navier方程直接简化）
渐近解
2u3 0
2u3 2 ru231 r u r3r12 2 u2 30
x 2 0
x 2 0
zzz A A为实常数 x20
u v u v x y y x