湖北省武汉武昌区2014届高三元月调考数学理试题
湖北省武汉市武昌区高三元月调考——数学(理)数学(理)
参考答案一、选择题：1．A 2．B 3．B 4．B 5.B 6．C 7．D 8．B 9．C 10．C二、填空题：11． 0 12． a n ＝2n ，或a N ＝2N 13.14.（Ⅰ）126；（Ⅱ）34579 15． 4 16． 2三、解答题：17．解：（Ⅰ）因为()a x x x f ++=2cos 2sin 3，所以()a x x f ++=)62sin(2π.因为时，，所以时的取得最小值.依题意，，所以；…………………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知()1)62sin(2++=πx x f . 要使，即. 所以Z ∈+≤+≤-k k x k ,6726262πππππ，即Z ∈+≤≤-k k x k ,26ππππ. 当时，；当时，.又，故使成立的x 的集合是.…………………………（11分）18．解：（Ⅰ）设数列的公差为，依题意，1，，成等比数列，所以，即，所以或.因此，当时，；当时，.…………………………………（6分）（Ⅱ）当时，，此时不存在正整数n ，使得； 当时，()()12121531311+⨯-++⨯+⨯=n n T n )]121121()5131()3111[(21+--++-+-=n n 12)1211(21+=+-=n n n . 由，得，解得.故的最大值为1006. …………………………………………………（12分）19．解：设.以D 为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：，，，，,，, ,,.（Ⅰ）因为，， 所以()()02,2,22,2,11=--⋅--=⋅x x E C F A .所以.………………………………………（4分）（Ⅱ）因为BEF BEF BEF B S BB S V ∆∆-=⨯=323111， 所以当取得最大值时，三棱锥的体积取得最大值.因为()()11122≤--=-=∆x x x S BEF ， 所以当时，即E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点时，三棱锥B 1-BEF 的体积取得最大值，此时E ，F 坐标分别为,.设平面的法向量为， 则()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅=⋅=--⋅=⋅,00,1,1,,,02,1,0,,1c b a c b a B 得 取，得.显然底面的法向量为.设二面角的平面角为，由题意知为锐角. 因为31||||,cos -=⋅>=<n m ，所以，于是. 所以，即二面角的正切值为.………………………………（12分）20．解：（Ⅰ）设A 1表示事件“日车流量不低于10万辆”，A 2表示事件“日车流量低于5万辆”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”．则 P (A 1)＝0.35＋0.25＋0.10＝0.70，P (A 2)＝0.05，所以P (B )＝0.7×0.7×0.05×2＝0.049. …………………………………………………（6分） （Ⅱ）可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为027.0)7.01()0(303=-⋅==C X P ，189.0)7.01(7.0)1(213=-⋅⋅==C X P ，441.0)7.01(7.0)2(223=-⋅⋅==C X P ，343.07.0)3(333=⋅==C X P .X 的分布列为因为X ～B (3，0.7)12分）21．解：（Ⅰ）由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧==-=,3,42222b a b a c 解得a 2＝6，b 2＝2.所以椭圆C 的标准方程是. …………………………………………………（4分）（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F 点的坐标是(2，0).设直线PQ 的方程为x ＝my +2，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my +2，x 26＋y 22＝1. 消去x ，得(m 2＋3)y 2+4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝-4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3.于是x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)+4＝12m 2＋3. 设M 为PQ 的中点，则M 点的坐标为.因为，所以直线FT 的斜率为，其方程为.当时，，所以点的坐标为，此时直线OT 的斜率为，其方程为.将M 点的坐标为代入，得36)2(3222+⋅-=+-m t t m m m . 解得. ………………………………………………（8分） （ⅱ）由（ⅰ）知T 为直线上任意一点可得，点T 点的坐标为.于是，221221221221)()]([)()(||y y y y m y y x x PQ -+-=-+-=]4))[(1(212212y y y y m -++=]324)34)[(1(2222+--+-+=m m m m ]324)34)[(1(2222+--+-+=m m m m . 所以1)3(241)1(2431||||222222++⋅=++⋅+=m m m m m PQ TF 14)1(4)1(2411)3(2412222222+++++⋅=++⋅=m m m m m 414124122++++⋅=m m 33442241=+⋅≥. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF ||PQ |取得最小值． 故当|TF ||PQ |最小时，T 点的坐标是(3，1)或(3，－1)．…………………………………………（14分）22．解：（Ⅰ）由，得.又，所以.所以，.由，得.所以函数在区间上单调递减，在上单调递增. ………………（4分） (Ⅱ)证明：由（Ⅰ）知4ln 112ln 2e)2(ln )(2ln min -=--==f x f .所以，即，.令，则.所以在上单调递增，所以0)0(1e )(2=>--=g x x g x ，即.……（8分） (Ⅲ)首先证明：当时，恒有.证明如下：令，则.由(Ⅱ)知，当时，，所以，所以在上单调递增，所以，所以.所以，即.依次取，代入上式，则，，nn n n 1ln 33ln 1+>++. 以上各式相加，有)12312ln(33ln 12312nn n n n +⨯⨯⨯>+++++ 所以()1ln 33ln )131211(+>++++++n n nn ， 所以()n n n n --+>++++3ln 1ln 3131211 ，即()n n n n e 31ln 1312113+>++++ .………（14分） 另解：用数学归纳法证明（略）。
2014年武汉市元月调考数学试卷
2014 年武汉市元月调考数学试卷一、选择题（共 10小题，每题 3 分）1． 实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）A ．x >1B ．x ≥1C ． x <1D ． x ≤1 2．如图，点 A 、B 、C 在⊙ O 上，∠ AOB=40 °，则∠ ACB 的度数是（ ）A ．10°B ．20°C ．40°D ． 70°3．下列图形中，为中心对称图形的是（）4．签筒中有 5 根纸签 ,分别标有数字 1，2，3，4， 5，从中随机抽取一根，下列事件属于随机事件的是（7．有一人患了流感经过两轮传染后有 49 人患了流感， 设每轮传染中平均一个人传染了 x 人，则 x 的值为（ ） A ．5 B ．6C ． 7D ．88．若关于 x 的一元二次方程 ax 2+bx+c=0 （ a ≠0）的两根为 x 1，x 2，则 x 1+x 2=﹣ ，x 1?x 2= ．当 a=1，b=6 ， c=5时， x 1x 2+x 1+x 2 的值是（）A ． 5B ．﹣ 5C ． 1D ．﹣ 19．若 + =0，则下列各数中，与 的积为有理数的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，扇形 AOD 中，∠ AOD=90 °，OA=6 ，点 P 为 上任意一点（不与 点A 和D 重合），PQ ⊥OD 于点 Q ，点 I 为△OPQ 的内心，过 O 、I 和D 三点的圆的半径为 r ，则当点 P 在 上运动时， r 的值满足（）A. 0 r 3B. r 3C. 3 r 3 2D. r 3 2A ．A ．抽到的纸签上标有的数字 0B ．抽到的纸签上标有的数字小于 6C ．抽到的纸签上标有的数字是1D ．抽到的纸签上标有的数字大于 65．袋子中装有 5 个红球、 3 个绿球， A ． B ． C ．6．下列一元二次方程没有实数根的是（ 22A ． x +3=0B ． x +x=0从袋子中随机摸出一个球，是绿球的概率为（）C ． x 2+2x= ﹣ 1 D ．x 2+3x=1D ．二、填空题（共6 小题，每题 3 分）11．计算：﹣= ．12．平面直角坐标系中，点P（3，1﹣a）与点Q（b+2，3）关于原点对称，则a+b=13．2013 年12 月，有关报告显示近几年江城写字楼价格的增幅远远高于住宅价格增幅，与住宅的价差越来越大，如2011年某写字楼与住宅均价价差为614 元/平方米，2013 年上升至2401元/平方米．设这两年该写字楼与住宅均价价差的年平均增长率为x，根据题意，所列方程为．14．甲口袋中装有 2 个相同的小球，他们分别写有数字 1 和2；乙口袋中装有 3 个相同的小球，它们分别写有数字3， 4 和5，从 2 个口袋中各随机地取出 1 个小球，取出的两个球上的数字之和为 5 的概率是15．如图，P 为直径AB 上的一点，点M 和N 在⊙ O 上，且∠ APM= ∠NPB=30 PN+PM= cm．16．已知圆锥的底面半径为1，全面积为4π，则圆锥的母线长为．三、解答题（共9 小题，满分72 分）217．（6 分）解方程：x2﹣6=﹣2（x+1）18．（6分）如图，点A，C和B都在⊙ O上，且四边形ACBO 为菱形，求证：点 C是的中点．19．（6 分）如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 的三个顶点都在格点上，点 A 的坐标为（2，4）（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△ A1B 1C1，并写出点A1 的坐标；（2）画出△ABC 绕原点O逆时针旋转90°后得到的△ A2B 2C2，并写出点 A 2的坐标．．若OP=2cm，AB=16cm ，则20．（7 分）小红参加一次竞技活动，活动包括笔试和面试两个环节，都是以抽签答题的方式进行，笔试从B，C和D等四种类型的题目随机抽答一题，面试从E，F和G三种类型的题目随机抽答一题；（1）用列表法或画树形图法求出参加一次活动可能抽答的所有结果；（2）小红对 A 和F两种类型的题目很熟练，求“小红刚好抽答 A 和F两种类型的题目”的概率．221．（7 分）已知关于x 的一元二次方程ax +bx+1=0 中，b= + +m+1 ；（1）若a=4，求 b 的值；2（2）若方程ax2+bx+1=0 有两个相等的实数根，求方程的根．22．（8分）如图1，△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙ O分别与边BC和AC相交于点E和F，过点E作⊙ O 的切线交边AC 于点H．1）求证：CH=FH ；若OH= ，HC=1 ，求⊙ O 的半径．23．（10 分）如图1，某小区的平面图是一个占地400×300 平方米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长宽比例相同的矩形．如果要使四周的空地所占面积是小区面积的36%，南北空地等宽，东西空地等宽．（1）求该小区四周的空地的宽度；（2）如图2，该小区在东、西、南三块空地上做如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路，小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200 米，南侧绿化带的长为300 米，绿化面积为18000 平方米，请算出小区道路的宽度．24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC= ，P为AC边上一动点，PC=t，以点P为中心，将△ABC 逆时针旋转90°，得到△DEF ，DE 交边AC 于点G；A，2）如图2，连接OH ，（1）用含有t 的式子填空：DP= ；AG= ；（2）如图2，当点 F 在AB 上时，求证：PG=PC；（3）如图3，当P为DF 的中点时，求AG：PG 的值．25．（12分）如图1，⊙P的直径AB 的长为16，E为半圆的中点，F为劣弧上的一动点，EF和AB 的延长线交于点C，过点 C 作AB 的垂线交AF 的延长线于点D；（1）求证：BC=DC ；（2）以直线AB为x轴，线段PB的中垂线为y轴，建立如图2的平面直角坐标系xO y，则点B的坐标为（4，20），设点 D 的坐标为（m，n）若m，n 是方程x2+px+p+8=0 的两根，求P 的值；（3）在（2）中的坐标系中，直线y=kx+8 上存在点H ，使△ ABH 为直角三角形，若这样的H 点有且只有两个，请直接写出符合条件的k 的值或取值范围．2014 年湖北省武汉市九年级元月调考数学试卷参考答案一、选择题（共10 小题，每小题 3 分，满分30 分）1．D 2．B3．B4．C5．B6． A 7．B8．D 9．A10．、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分18分）11．12．-1 13．614（1+x）2=2401 14．15．6 16．3三、解答题（共9 小题，满分72 分）17．18．19．20．（-1）t 25．21．22．23．24．3-t3- +。
湖北省武昌区高三数学1月调考试卷 文(扫描版)新人教A版
湖北省武昌区2014届高三数学1月调考试卷文（扫描版）新人教A版武昌区2014届高三年级元月调研考试文科数学试题参考答案及评分细则一、选择题：1．D 2．C 3．A 4．B 5．C 6．C 7．C 8．A 9．A 10．C 二、填空题：11．72 12．（Ⅰ）61366=；（Ⅱ）61366=． 13.015125=+-y x 或3-=x14．4 15．②③ 16．（Ⅰ）16；（Ⅱ）()211++n n 17． 278三、解答题：18．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d ，因为063==S a ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+.62566,0211d a d a 解得41-=a ，2=d . 所以622)1(4-=⨯-+-=n n a n ．…………………………………………（6分） （Ⅱ）因为132412)2(--⨯===n n a n nb ， 所以数列}{n b 是以41为首项，2为公比的等比数列. 所以41221)21(411)1(1-=--⋅=--=n n nn q q b S .……………………………………（12分）19．解：（Ⅰ）因为ac b =2，由正弦定理得C A B sin sin sin 2=．又43sin sin =C A ，所以43sin 2=B ．因为0sin >B ，所以23sin =B ．因为20π<<B ，所以3π=B ． …………………………………………（5分）（Ⅱ）因为3π=B ，所以x B x x f sin )sin()(+-=x x sin )3sin(+-=πx x x sin 3sincos 3cossin +-=ππx x cos 23sin 23-=)6sin(3π-=x ． π<≤x 0Θ，∴6566πππ<-≤-x ． 当66ππ-=-x ，即0=x 时，23)21(3)(min -=-⨯=x f ；当26ππ=-x ，即32π=x 时，313)(max =⨯=x f . 所以，函数)(x f 的最大值为3，最小值为23-．…………………………（12分） 20．解：（Ⅰ）Θο90=∠=∠VAC VAB ，AB VA ⊥∴，AC VA ⊥.∴⊥VA 平面ABC ．∴BC VA ⊥． Θο90=∠ABC ，∴BC AB ⊥. ∴⊥BC 平面VBA .又⊂BC 平面VBC ，∴平面⊥VBA 平面VBC .…………………………………………（6分）（Ⅱ）如图，过点E 作AC EF ⊥于点F ，连BF ，则VA EF //． Θ⊥VA 平面ABC ，⊥∴EF 平面ABC ．∴EBF ∠为BE 与平面ABC 所成的角.Θ点E 为VC 的中点，∴点F 为AC 的中点.AC BF 21=∴，VA EF 21=. 在EFB ∆Rt 中，由3tan ===∠ACVABF EF EBF ，得ο60=∠EBF ． 所以，直线BE 与平面ABC 所成的角为ο60.………………………………（13分） 21.解：（Ⅰ）当1=b 时，x x a x f 1ln )(+=，定义域为(0,)+∞.2211)(x ax x x a x f -=-='. 若0<a ，则0)(<'x f ，所以，函数()f x 在),0(+∞上单调递减；若0>a ，则当a x 1>时，0)(>'x f ；当ax 10<<时，0)(<'x f . 所以，函数()f x 的单调递增区间为),1(+∞a ，单调递减区间为)1,0(a.………（6分）（Ⅱ）当2a b =时，xa x a x f 2ln )(+=，2)()(x a x a x f -='.令'()0f x =，得a x =. 若在区间],0(e 上存在一点0x ，使得0()0f x <成立，则()f x 在区间],0(e 上的最小值小于0.（1）当0<a 时，'()0f x <，所以，()f x 在区间],0(e 上单调递减，故()f x 在区间],0(e 上的最小值为e e e e 22ln )(a a a a f +=+=. 由02<+ea a ，得e ->a .所以0<<-a e .（2）当0>a 时，①若e ≥a ，则0)(≤'x f 对∈x ],0(e 成立，()f x 在区间],0(e 上单调递减，所以，()f x 在区间],0(e 上的最小值为0ln )(22>+=+=ee e e a a a af ，不合题意.②若e <<a 0，当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表：EACVB所以()f x 在区间],0(e 上的最小值为)1(ln ln )(2+=+=a a aa a a a f .由0)1(ln )(<+=a a a f ，得01ln <+a ，解得e 1<a .所以e1<<a 0. 综上可知，实数a 的取值范围.为)1,0()0,(ee Y -. ………………………（14分）22．解：（Ⅰ）设)0,(c F ，则22=a c ，知c a 2=. 过点F 且与x 轴垂直的直线方程为c x =，代入椭圆方程，有1)(2222=+-by a c ，解得b y 22±=. 于是22=b ，解得1=b . 又222b c a =-，从而1,2==c a .所以椭圆C 的方程为1222=+y x ． …………………………………………（4分） （Ⅱ）设),(11y x A ，),(22y x B .由题意可设直线AB 的方程为2y kx =+.由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,12,222y x kx y 消去y 并整理，得()2221860k xkx +++=.由0)12(24)8(22>+-=∆k k ，得232>k .且126,128221221+=+-=+k x x k k x x . Θ点O 到直线AB 的距离为212kd +=，AB =，22221221)12()32(84)(||21+-=-+==∴∆k k x x x x d AB S AOB. 设223t k =-，由232>k ，知0t >.于是8168)4(82++=+=∆tt t tS AOB .由816≥+t t ，得22≤∆AOB S .当且仅当274,2t k ==时成立. 所以△B O A 面积的最大值为22.…………………………………………（9分） （Ⅲ）假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 为△PQN 的垂心. 设),(11y x P ，),,(22y x Q 因为)1,0(N ，)0,1(F ，所以1-=NF k . 由PQ NF ⊥，知1=PQ k ．设直线l 的方程为m x y +=，由⎩⎨⎧=++=,22,22y x m x y 得0224322=-++m mx x ． 由0>∆，得32<m ，且3421mx x -=+,322221-=m x x ．由题意，有0=⋅.因为),1(),1,(2211y x y x -=-=， 所以0)1()1(1221=-+-y y x x ，即0)1)(()1(1221=-+++-m x m x x x ， 所以0)1)((222121=-+-++m m m x x x x ．于是0)1(34322222=-+---⨯m m m m m ．解得34-=m 或1=m ． 经检验，当1=m 时，△PQN 不存在，故舍去1=m ． 当34-=m 时，所求直线l 存在，且直线l 的方程为34-=x y ．……………（14分） 附：部分源自教材的试题题号 出 处 1 必修1第12页第6题，第10题． 2 选修1-2第60页例4，第61第5题 3 选修1-1第11页例3 4 必修2第28页习题1．3第3题． 5 选修1-1第110页A 组第9题． 7 必修2第61页练习第（3）题；习题2．2第1（1）题；第65页例1． 12 必修3第127页例3；第133页练习第4题 13 必修2第127页例2．15 ①必修4第119页B 组第1（1）题；②必修4第108页A 组第2题；③必修4第119页B 组第1（2）题. 16 必修2-2第90页B 组第1题20 必修2第73页A组第3题．。
数学_2014年湖北省武汉市高三四月调研数学试卷(理科)(含答案)
2014年湖北省武汉市高三四月调研数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数a+i 3+4i−1（a 为实数，i 为虚数单位）是纯虚数，则a =( )A 7B −7C 43D −432. 若一元二次不等式2kx 2+kx −38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为（ ） A (−3, 0) B [−3, 0] C [−3, 0) D (−3, 0]3. 已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是( )A 108cm 3B 100cm 3C 92cm 3D 84cm 34. 已知命题p:∃φ∈R ，使f(x)=sin(x +φ)为偶函数；命题q:∀x ∈R ，cos2x +4sinx −3<0，则下列命题中为真命题的是（ ）A p ∧qB (￢p)∨qC p ∨(￢q)D (￢p)∧(￢q)5. O 为坐标原点，F 为抛物线C:y 2＝4√2x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|＝4√2，则△POF 的面积为（ ）A 2B 2√2C 2√3D 46. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ，B ，C 成等差数列，2a ，2b ，2c 成等比数列，则cosAcosB =( ) A 14B 16C 12D 237. 安排6名歌手演出顺序时，要求歌手乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面，则不同排法的种数共有（ ）种．A 180B 240C 360D 4808. 设a 1，a 2，a 3均为正数，λ1<λ2<λ3，则函数f(x)=a 1x−λ1+a 2x−λ2+a 3x−λ3的两个零点分别位于区间（ ）A (−∞, λ1)∪(λ1, λ2)内B (λ1, λ2)∪(λ2, λ3)内C (λ2, λ3)∪(λ3, +∞)内D (−∞, λ1)∪(λ3, +∞)内9. 如图，在△ABC 中，∠C =90∘，CA =CB =1，P 为△ABC 内一点，过点P分别引三边的平行线，与各边围成以P 为顶点的三个三角形（图中阴影部分），则这三个三角形的面积和的最小值为（ ） A 19B 18C 16D 1310. 设函数f(x)=x 3+3bx 2+3cx 有两个极值点x 1，x 2，且x 1∈[−1, 0]，x 2∈[1, 2]，则（ ）A −10≤f(x 1)≤−12B −12≤f(x 1)≤0 C 0≤f(x 1)≤72D 72≤f(x 1)≤10二、填空题：本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．（一）必考题（11-14题）11. 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如表：由表中数据，求得线性回归方程y ¯=0.65x +a ¯，根据回归方程，预测加工70个零件所花费的时间为________分钟．12. 执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是________．13. 在计算“1×2+2×3+...+n(n +1)”时，某同学学到了如下一种方法： 先改写第k 项：k(k +1)=13[k(k +1)(k +2)−(k −1)k(k +1)]， 由此得1×2=13(1×2×3−0×1×2)， 2×3=13(2×3×4−1×2×3)， …n(n +1)=13[n(n +1)(n +2)−(n −1)n(n +1)]， 相加，得1×2+2×3+...+n(n +1)=13n(n +1)(n +2)，类比上述方法，请你计算“1×2×3+2×3×4+...+n(n +1)(n +2)”， 其结果为________．14. 如图，△OAB 是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线x =t(0<t ≤2)左侧的图形的面积为f(t)，则 （1）函数f(t)的解析式为________；（2）函数y =f(t)的图象与直线t =2、t 轴围成的图形面积为________．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）（选修4-1：几何证明选讲）15. 如图，在△ABC 中，∠C =90∘，∠A =60∘，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD 于D ．BD 与外接圆交于点E ，已知DE =5，则△ABC 的外接圆的半径为________．（选修4-4：坐标系与参数方程）16. 在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线ρsin(θ+π3)=12与曲线{x =12(t +1t)y =t −1t（t 为参数）相交于A ，B 两点，若M 为线段AB 的中点，则直线OM 的斜率为________．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量a →=(cosx −sinx, cosx +sinx)，b →=(cosx, −sinx)，c →=(2, 1)，其中x ∈[0, π]．（1）若(3a →+4b →) // c →，求x ；（2）设函数f(x)是a →在b →方向上的投影，在给出的直角坐标系中，画出y =f(x)在[0, π]的18. 在等比数列{a n }中，其前n 项和为S n ，已知a 3=32，S 3=92．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）是否存在正整数n ，使得S n −S n+2=332？，并说明理由．19. 如图，在底面是菱形的四棱锥P −ABCD 中，∠ABC =60∘，PA =AC =1，PB =PD =√2，点E 在PD 上，且PE =2ED ． （1）求二面角P −AC −E 的大小；（2）试在棱PC 上确定一点F ，使得BF // 平面AEC ．20. 一个袋中装有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率为25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率为79．（I ）若袋中共有10个球； （1）求白球的个数；（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求ξ的数学期望E(ξ)． （II ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于710．21. 如图，A ，B 是椭圆C:x 24+y 2=1的左、右顶点，M 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线BM 与直线l:x =4分别交于C ，D 两点． （1）若|CD|=4，求点M 的坐标；（2）记△MAB 和△MCD 的面积分别为S 1和S 2．是否存在实数λ，使得S 1=λS 2？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由． 22. 已知函数f(x)=ln(x +1)−x ． （1）求f(x)的最大值；（2）设g(x)=f(x)−ax 2(a ≥0)，l 是曲线y =g(x)的一条切线，证明：曲线y =g(x)上的任意一点都不可能在直线l 的上方；（3）求证：(1+22×3)(1+43×5)(1+85×9)…[1+2n(2n+1+1)(2n +1)]<e （其中e 为自然对数的底数，n ∈N ∗）．2014年湖北省武汉市高三四月调研数学试卷（理科）答案1. A2. A4. C5. C6. A7. D8. B9. C 10. C 11. 102 12. −113. 14n(n +1)(n +2)(n +3)14. f(t)={√32t 2，0<t ≤1−√32(t −2)2+√3，1<t ≤2；√3．15. 10 16. −4√3317. 解：（1）由已知，得3a →+4b →=(7cosx −3sinx, 3cosx −sinx)； ∵ (3a →+4b →) // c →，又c →=(2, 1)， ∴ 7cosx −3sinx −2(3cosx −sinx)=0， 化简，得cosx =sinx ， ∴ tanx =1； ∵ x ∈[0, π]， ∴ x =π4； （2）∵ f(x)=|b →|˙=(cosx −sinx)cosx +(cosx +sinx)(−sinx) =cos 2x −sin 2x −2sinxcosx =cos2x −sin2x=√2(√22cos2x −√22sin2x)=√2cos(2x +π4)，；∴ 画出y =f(x)在[0, π]的图象为18. 解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ， 则S 3=a 1+a 2+a 3=a 3(q −2+q −1+1)=92， 由a 3=32可得q −2+q −1+1=3，整理可得2q 2−q −1=0，解得q =1，或q =−12，当q =1时，a n =a 3=32，当q =−12时，可得a 1=6，a n =6×(−12)n−1；（2）由（1）知，当q =1时，S n =32n ，S n −S n+2=−3≠332，当a 1=6，q =−12时，S n =6[1−(−12)n ]1−(−12)=4[1−(−12)n ]，由S n −S n+2=332可得4[1−(−12)n ]−4[1−(−12)n−2]=332，化简可得−3(−12)n =332，即(−12)n =−132，解得n =5 综上可得存在正整数n =5，使得S n −S n+2=332 19. 解：（1）∵ 底面ABCD 是菱形，∠ABC =60∘， ∴ AB =AD =AC =1，在△PAB 中，由PA 2+AB 2=2=PB 2，知PA ⊥AB ， 同理PA ⊥AD∴ PA ⊥平面ABCD ．建立坐标系，则A(0, 0, 0)，B(√32, −12, 0)，C(√32, 12, 0)，P(0, 0, 1)，D(0, 1, 0)，E(0, 23, 13)， ∴ AC →=(√32, 12, 0)，AE →=(0, 23, 13)，设平面ACE 的一个法向量为n →=(x, y, z)，则{√32x+12y =023y +13z =0，可取n →=(1, −√3, 2√3)，同理平面ACP 的一个法向量为m →=(√32, −32, 0)，∴ cos <n →，m →>=12，∴ 二面角P −AC −E 的大小为60∘；（2）存在点F 为PC 的中点，使BF // 平面AEC ． 理由如下：取棱PC 的中点F ，线段PE 的中点M ，连接BD ．设BD ∩AC =O ． 连接BF ，MF ，BM ，OE ．∵ PE:ED =2:1，F 为PC 的中点，E 是MD 的中点， ∴ MF // EC ，BM // OE ．∵ MF ⊄平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，BM ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ， ∴ MF // 平面AEC ，BM // 平面AEC ． ∵ MF ∩BM =M ，∴ 平面BMF // 平面AEC ． 又BF ⊂平面BMF ， ∴ BF // 平面AEC ． 20. （I ）解：（1）记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A ， 记袋中白球个数为x ，则 P(A)=1−C 10−x 2C 102=79，解得x =5，∴ 白球有5个．（2）随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P(ξ=0)=C 53C 103=112，P(ξ=1)=C 51C 52C 103=512， P(ξ=2)=C 52C 51C 103=512，P(ξ=3)=C 53C 103=112，∴ Eξ=0×112+1×512+2×512+3×112=32．（II ）证明：设袋中有n 个球，其中y 个黑球，由题意得y =25n ， ∴ 2y <n ，2y ≤n −1，∴ yn−1≤12，设“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球”为事件B ， 则P(B)=25+35×yn−1≤25+35×12=710．21. 解：（1）设直线AM 的方程为y =k(x +2)(k >0)．由{x =4y =k(x +2)得C(4, 6k)； y =k(x +2)代入椭圆方程，消去y 可得(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−4=0， 设M(x 0, y 0)，则(−2)x 0=16k 2−41+4k 2，∴ x 0=2−8k 21+4k 2， ∴ y 0=4k1+4k 2， 即M(2−8k 21+4k2, 4k 1+4k 2)，∵ B(2, 0)，∴ 直线BM 的方程为y =−14k(x −2)，x =4时，y =−12k ，∴ D(4, −12k)∴ |CD|=|6k +12k |=4 ∵ k >0，∴ k =12或16， 从而M(0, 1)或M(85, 35)； （2）由（1）得(2−8k 21+4k2, 4k 1+4k 2)，∴ S 1=12|AB||y M |=8k 1+4k2，S 2=12|CD||4−x M |=(1+12k 2)22k(1+4k 2)，假设存在实数λ，使得S 1=λS 2，则 λ=S 1S 2=16k 21+24k 2+144k 4=16144k 2+1k2+24≤13，当且仅当144k 2=1k 2，即k =√36时，等号成立， ∵ λ>0， ∴ 0<λ≤13，∴ 存在实数λ满足0<λ≤13，使得S 1=λS 2．22. 解：（1）f(x)的定义域为(−1, +∞)，∵ f(x)=ln(x +1)−x ， ∴ f′(x)=−xx+1，∴ −1<x <0，f′(x)>0，函数单调递增，x >0，f′(x)<0，函数单调递减， ∴ x =0时，f(x)取得最大值f(0)=0； （2）证明：由（1），g(x)=ln(x +1)−ax 2−x ，设M(x 0, y 0)是曲线y =g(x)上的任意一点，则函数在M 处的切线方程为y −g(x 0)=g′(x 0)(x −x 0)， 即y =(1x0+1−2ax 0−1)(x −x 0)+g(x 0)令ℎ(x)=g(x)−[(1x 0+1−2ax 0−1)(x −x 0)+g(x 0)]，则ℎ′(x)=1x+1−2ax −1−(1x0+1−2ax 0−1)，∵ ℎ′(x 0)=0，∴ ℎ′(x)在(−1, +∞)上是减函数，∴ ℎ(x)在(−1, x 0)上是增函数，在(x 0, +∞)上是减函数， ∴ ℎ(x)在x =x 0处取得最大值ℎ(x 0)，即ℎ(x)≤0恒成立， ∴ 曲线y =g(x)上的任意一点都不可能在直线l 的上方；（3）证明：由（1）知ln(x +1)≤x 在(−1, +∞)是恒成立，当且仅当x =0时，等号成立， 故当x >−1且x ≠0时，有ln(x +1)<x ， ∵ 2n(2n+1+1)(2n +1)=2(12n−1+1−12n +1)， ∴ ln{(1+22×3)(1+43×5)(1+85×9) (1)2n(2n+1+1)(2n +1)]}=ln(1+22×3)+ln(1+43×5)+ln(1+85×9)+...+ln[1+2n(2n+1+1)(2n +1)]<22×3+43×5+ (2)(2n+1+1)(2n +1)=2[(12−13)+(13−15)+...+(12n−1+1−12n +1)]=2(12−12n +1)=1−22n +1<1， ∴ (1+22×3)(1+43×5)(1+85×9)…[1+2n(2n+1+1)(2n +1)]<e ．。
2014-2015武汉市元月调考数学试卷答案及分析
2015年元调数学试卷浅析刚刚结束的2015年元调数学考试，相信很多家长已经迫不及待希望了解究竟今年的卷子考的难度如何？孩子们做起来哪些题目可能容易有困难？卷子变化大不大，孩子们可能的分数段主要集中在哪？考完后学而思中考研究中心数学团队立即就今年的试卷进行作答，并从学生备考复习的角度分析本张卷子：全卷结构由原来的25题改为24题，这在考试前就已经释放出消息，相信很多孩子在学校里老师也已经通知。
选填没有变化，而解答题中送分题的分值均增多，这意味着孩子们将更容易得分。
前9题如我们所预测，均为基础过关题，学生只要就上基础知识不出问题，这九题基本上不会出现大的错误；第10题则是一道定角对定边的隠圆构造问题，显然，角ACD为30°，点A、C、D三点共圆，我们假定圆心为E，则OE、CE均可求出，此时OC的范围即在（OE-CE）~（OE+CE）之间（三角形三边）。
这道题在读完条件之后学生应该不难发现等腰三角形下定角对定边的隠圆，而在考前，我们在课堂上还专门对此进行了专题复习。
综合起来看，求解OC线段的范围则需巧妙利用边角关系求解OE、CE长度。
对于在考场状态和发挥情况来讲，此题为比较难的区分题；11-16题非常中规中矩，没有非常标新立异的题目出现，学生做起来会比较顺利，侧重考查基础知识是否扎实；17题考察解方程，这8分实在是送给孩子们的，关键在于抓住“简单题，详细写”的原则，把过程写好；18题概率问题，考察的是一道很熟悉的题目，放回随机摸出小球的树状图或列表法求解概率问题，送分；19题考察圆中垂径定理下等分弧及圆周角定理应用，并使用了简单的设未知数法构造勾股定理求解半径，无论是考点还是图形，可以说体现出命题人侧重于基础的命题思想，此题学生应该容易得分；20题考察旋转作图，不过不在坐标系中，但是第（2）问实则初二就已经非常熟悉的正方形夹半角模型，这8分地作图应该没有压力。
此外，第二问仅说明画出改点F，并没要求尺规作图，所以只要学生能说出如何取的改点，并简要证明，应该能得满分；全卷亮点在于今年考了两道应用题，其实去年和前年已经出现过两道应用题的考察方式，都是考察一元一次方程应用题。
湖北省武汉市部分学校2014届高三起点调研数学(理)试题(附答案)
湖北省武汉市部分学校2013—2014学年度新高三起点调研数学（理）试题说明：全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标后。
非选择题用黑包墨水的签字笔或钢笔直接答在答题卡上。
答在试题卷上无效。
3．考试结束后，监考人员将本试题和答题卡一并收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内z 对应的点的坐标是A ．（2，4）B ．（2，－4）C ．（4，－2）D ．（4，2）2．已知全集为R ，集合A ＝{x |log 2x ＜1}，B ＝{x |x －1≥0}，则A ∩（∁R B ）＝A ．{x |0＜x ＜1}B ．{x |0＜x ＜2}C ．{x |x ＜1}D ．{x |1＜x ＜2}3．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是A ．p 为真B ．﹁q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真4．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是5．执行右边的程序框图，如果输入a＝4，那么输出的n的值为A．2B．3C．4D．56．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A．64C．80D．112欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为A．35mB ．30mC ．25mD ．20m8．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＞0，x ＋m ＜0，y －m ＞0．表示的平面区域内存在点P （x 0，y 0），满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是A ．（－∞，43）B ．（－∞，13）C ．（－∞，－23）D ．（－∞，－53）9．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为A ．2＋2B ．5＋1C ．3＋1D ．2＋110．若函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f （x 1）＝x 1，则关于x 的方程3（f （x ））2＋2af（x ）＋b ＝0的不同实数根的个数是A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为 ．12．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，P 为边BC 上一点，满足＝2，则·＝ ．13．将序号分别为1，2，3，4，5的5张电影票全部分给4人，每人至少1张．如果分给同一人的2张电影票连号，那么不同的分法种数是 ．14．设θ为第二象限角，若tan （θ＋π4）＝12，则sin θ＋cos θ＝ ．15．已知数列{a n }的各项均为正整数，S n 为其前n 项和，对于n ＝1，2，3，…，有 a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧3a n＋5，a n 为奇数，a n 2k ，其中k 是使a n ＋1为奇数的正整数，a n 为偶数．（Ⅰ）当a 3＝5时，a 1的最小值为 ； （Ⅱ）当a 1＝1时，S 1＋S 2＋…＋S 10＝ ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2cos （B －C ）＋1＝4cos B cos C ． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a ＝27，△ABC 的面积为23，求b ＋c ．17．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点， AA 1＝AC ＝CB ＝22A B ．（Ⅰ）证明：BC 1∥平面A 1CD ； （Ⅱ）求二面角D -A 1C -E 的正弦值．18．（本小题满分12分）设公差不为0的等差数列{a n }的首项为1，且a 2， a 5，a 14构成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n＝1－12n ，n ∈N *，求{b n }的前n 项和T n ．19．（本小题满分12分）现有A ，B 两球队进行友谊比赛，设A 队在每局比赛中获胜的概率都是23． （Ⅰ）若比赛6局，求A 队至多获胜4局的概率；（Ⅱ）若采用“五局三胜”制，求比赛局数ξ的分布列和数学期望．20．（本小题满分13分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为33，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为22． （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有＝＋成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数f （x ）＝2－x x －1＋a ln （x －1）（a ∈R ）．（Ⅰ）若f （x ）在[2，＋∞）上是增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当a ＝2时，求证：1－1x －1＜2ln （x －1）＜2x －4（x ＞2）；（Ⅲ）求证：14＋16＋…＋12n ＜ln n ＜1＋12＋…＋1n －1（n ∈N *，且n ≥2）．参考答案一、选择题1．C 2．A 3．C 4．A 5．B 6．B 7．D 8．C 9．D 10．A 二、填空题11．3 12．56 13．96 14．－105 15．（Ⅰ）5；（Ⅱ）230 三、解答题16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由2cos （B －C ）＋1＝4cos B cos C ，得 2（cos B cos C ＋sin B sin C ）＋1＝4cos B cos C ，即2（cos B cos C －sin B sin C ）＝1，亦即2cos （B ＋C ）＝1， ∴cos （B ＋C ）＝12．∵0＜B ＋C ＜π，∴B ＋C ＝π3．∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝2π3．………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ），得A ＝2π3．由S △ABC ＝23，得12bc sin 2π3＝23，∴bc ＝8． ①由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得（27）2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3，即b 2＋c 2＋bc ＝28，∴（b ＋c ）2－bc ＝28． ② 将①代入②，得（b ＋c ）2－8＝28，∴b ＋c ＝6．………………………………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如图，连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点． 又D 是AB 的中点，连结DF ，则BC 1∥DF ． ∵BC 1⊄平面A 1CD ，DF ⊂平面A 1CD ， ∴BC 1∥平面A 1CD ．………………………………………………………………4分（Ⅱ）由AC ＝CB ＝22AB ，得AC ⊥BC ．以C 为坐标原点，的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz ．设CA ＝2，则D （1，1，0），E （0，2，1），A 1（2，0，2）， ∴＝（1，1，0），＝（0，2，1），＝（2，0，2）． 设n ＝（x 1，y 1，z 1）是平面A 1CD 的法向量，则即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0．可取n ＝（1，－1，－1）． 同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则 可取m ＝（2，1，－2）． 从而cos ＜n ，m ＞＝n ·m |n ||m |＝33， ∴sin ＜n ，m ＞＝63． 故二面角D -A 1C -E 的正弦值为63．……………………………………………12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），则 ∵a 2，a 5，a 14构成等比数列，∴a 25＝a 2a 14，即（1＋4d ）2＝（1＋d ）（1＋13d ）， 解得d ＝0（舍去），或d ＝2．∴a n ＝1＋（n －1）×2＝2n －1．……………………………………………………4分 （Ⅱ）由已知b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n ∈N *，当n ＝1时，b 1a 1＝12；当n ≥2时，b n a n ＝1－12n －（1－12n －1）＝12n ．∴b n a n ＝12n ，n ∈N *． 由（Ⅰ），知a n ＝2n －1，n ∈N *， ∴b n ＝2n －12n ，n ∈N *．又T n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n ， 12T n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1． 两式相减，得12T n ＝12＋（222＋223＋…＋22n ）－2n －12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1， ∴T n ＝3－2n ＋32n ．…………………………………………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）记“比赛6局，A 队至多获胜4局”为事件A ，则P （A ）＝1－[C 56（23）5（1－23）＋C 66（23）6]＝1－256729＝473729．故A 队至多获胜4局的概率为473729．………………………………………………4分 （Ⅱ）由题意可知，ξ的可能取值为3，4，5． P （ξ＝3）＝（23）3＋（13）3＝927＝13，P （ξ＝4）＝C 23（23）2×13×23＋C 23（13）2×23×13＝1027，P （ξ＝5）＝C 24（23）2（13）2＝827． ∴ξ的分布列为：ξ 3 4 5 P131027827∴E （ξ）＝3×13＋4×1027＋5×827＝10727．…………………………………………12分 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设F （c ，0），当l 的斜率为1时，其方程为x －y －c ＝0， ∴O 到l 的距离为|0－0－c |2＝c 2，由已知，得c 2＝22，∴c ＝1． 由e ＝c a ＝33，得a ＝3，b ＝a 2－c 2＝2．……………………………………4分 （Ⅱ）假设C 上存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有＝＋成立， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则P （x 1＋x 2，y 1＋y 2）． 由（Ⅰ），知C 的方程为x 23＋y 22＝1．由题意知，l 的斜率一定不为0，故不妨设l ：x ＝ty ＋1．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，x 23＋y 22＝1．消去x 并化简整理，得（2t 2＋3）y 2＋4ty －4＝0．由韦达定理，得y 1＋y 2＝－4t2t 2＋3， ∴x 1＋x 2＝ty 1＋1＋ty 2＋1＝t （y 1＋y 2）＋2＝－4t 22t 2＋3＋2＝62t 2＋3，∴P （62t 2＋3，－4t2t 2＋3）．∵点P 在C 上，∴(62t 2＋3)23＋(－4t 2t 2＋3)22＝1，化简整理，得4t 4＋4t 2－3＝0，即（2t 2＋3）（2t 2－1）＝0，解得t 2＝12． 当t ＝22时，P （32，－22），l 的方程为2x －y －2＝0； 当t ＝－22时，P （32，22），l 的方程为2x ＋y －2＝0． 故C 上存在点P （32，±22），使＝＋成立，此时l 的方程为2x ±y －2＝0．…………………………………………………………………………………13分 21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知，得f （x ）＝－1＋1x －1＋a ln （x －1），求导数，得f ′（x ）＝－1(x －1)2＋ax －1． ∵f （x ）在[2，＋∞）上是增函数，∴f ′（x ）≥0在[2，＋∞）上恒成立，即a ≥1x －1在[2，＋∞）上恒成立，∴a ≥（1x －1）max． ∵x ≥2，∴0＜1x －1≤1，∴a ≥1．故实数a 的取值范围为[1，＋∞）．………………………………………………4分 （Ⅱ）当a ＝2时，由（Ⅰ）知，f （x ）在[2，＋∞）上是增函数， ∴当x ＞2时，f （x ）＞f （2），即－1＋1x －1＋2ln （x －1）＞0，∴2ln （x －1）＞1－1x －1．令g （x ）＝2x －4－2ln （x －1），则g ′（x ）＝2－2x －1＝2(x －2)x －1． ∵x ＞2，∴g ′（x ）＞0，∴g （x ）在（2，＋∞）上是增函数，∴g （x ）＞g （2）＝0，即2x －4－2ln （x －1）＞0， ∴2x －4＞2ln （x －1）．综上可得，1－1x －1＜2ln （x －1）＜2x －4（x ＞2）．………………………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ），得1－1x －1＜2ln （x －1）＜2x －4（x ＞2）， 令x －1＝k ＋1k ，则1k ＋1＜2ln k ＋1k ＜2·1k ，k ＝1，2，…，n －1． 将上述n －1个不等式依次相加，得12＋13＋…＋1n ＜2（ln 21＋ln 32＋…＋ln n n －1）＜2（1＋12＋…＋1n －1）， ∴12＋13＋…＋1n ＜2ln n ＜2（1＋12＋…＋1n －1）， ∴14＋16＋…＋12n ＜ln n ＜1＋12＋…＋1n －1（n ∈N *，且n ≥2）．………………14分。
湖北省武昌区2014届高三1月调考理综试卷扫描版答案
武昌区2014届高三年级元月调研考试理科综合试卷评分标准一、选择题：本大题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本大题共8小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有的只有一项符合题目要求，有的有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有22．(1)(2)AC （2分）(3)2122))((21))((21t D m M t D m M mgx ∆+-∆+= （3分） 23．（1）D （1分）；E （1分） （5）图线如图 （1分） （6）4.5 （2分） 9000（.0） （2分）；21000（.0） （2分）24．（14分）（1）取沿杆向上为正方向，由图象可知：在0~2 s 内：m/s 151011=-=t v v a （方向沿杆向上） ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） 在2~5 s 内：m/s 102122-=-=t v v a （“－”表示方向沿杆向下）．．．．．．．．．．．（2分） （2）有风力时的上升过程，由受力分析和牛顿第二定律有：1sin )sin cos (cos ma mg F mg F =-+-θθθμθ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．①（3分） 停风后的上升阶段，有：2sin cos ma mg mg =--θθμ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②（3分） 由②解得： μ = 0.5 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） 代入①得： F = 50 N ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）25．（18分）（1）（1）由Rv m qBv 200=得m qBa v =0．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3分） （2）这些粒子中，从O 沿+y 轴方向射入磁场的粒子，从O 到C 耗时最长由0v s t =得 qBm v a t ππ==0max ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分） （3）这些粒子经过①区域偏转后方向都变成与 +x 轴平行；1K Ω 4 61081214接着匀速直线进入②区域，经过②区域偏转又都通过C 点；从C 点进入③区域，经过③区域偏转，离开③区域时，所有粒子都变成与－y 轴平行（即垂直进入电场）．．．．．．．．（2分） 对于从x = 2a 进入电场的粒子，在－x 方向的分运动有： 21212t mEq a ⨯⨯= 解得 Eq am t 41=．．．．．．．．．．．．（2分） 则该粒子运动到y 轴上的坐标为Emaq Ba a t v a y 4101--=--=．．．．（2分） 对于从x = 3a 进入电场的粒子，在－x 方向的分运动有： 22213t mEq a ⨯⨯= 解得 Eqam t 62=．．．．．．．．（2分） 则该粒子运动到y 轴上的坐标为Em aq Baa t v a y 6202--=--=．．．．．．．．．．．．．．．（2分） 这群粒子运动到y 轴上的区间为Emaq Ba a y Em aq Ba a 46--≤≤--．．．．．．．．．．．（1分） 26.（15分）（1）Mg 2B 2O 5·H 2O ＋2NaOH === 2NaBO 2＋2Mg(OH)2↓（2分）（2）2Na +＋4BO 2－＋2CO 2＋11H 2O === Na 2B 4O 7·10H 2O↓＋2HCO 3－（2分）（3）c (Na ＋) = c (CO 32－) + c (HCO 3－) + c (H 2CO 3) （2分）（4）利用强酸制备弱酸H 3BO 3 （1分）（5）①淀粉溶液（1分） 溶液由蓝色恰好变为无色（1分）②79.2%（2分）（6）NaBO 3·H 2O （1分）解题过程 （3分） 解：T 3时 n (Na)=molg ×g /23℅230.20= 0.2 mol （1分） 则30.80 g 样品中，依n (Na)∶ n (B)∶n (H)∶n (O)＝l ∶1∶n ∶7可得0.2 mol × 23 g/mol + 0.2 mol × 11 g/mol + 0.2n × 1g/mol + 7 × 0.2 mol × 16 g/mol = 30.80 g 解得n = 8故原晶体为NaBO 3·4H 2O （1分）设T 3时晶体的化学式为NaBO 3·m H 2O则由T 3时晶体中钠元素的质量分数可得m1848112323+++ × 100% = 23%解得m = 1所以T 3时晶体的化学式为NaBO 3·H 2O （1分） 27.（14分）（1）加热（2分） （2）①1.33或34（2分，若书写单位且正确得2分，单位错误不得分） ②C 、D （2分） （3）①B 、D （2分）②CH 3OCH 3－12e －＋16OH －=== 2CO 32－＋11H 2O （2分） ③C （2分） （4）CH 3OCH 3(g)＋3O 2(g) === 2CO 2(g)＋3H 2O(l) ΔH =－1454.98 kJ/mol （2分） 28．（14分）（1）减少副产物乙醚生成（1分）（2）b 中长直玻璃管内有一段液柱上升（1分）过度冷却，产品1 , 2－二溴乙烷在装置d 中凝固（1分） 防止倒吸（1分） （3）吸收乙烯气体中含有的CO 2、SO 2等酸性气体（2分）（4）①浓硫酸将部分乙醇氧化 ②发生副反应生成乙醚 ③乙醇挥发④乙烯流速过快，未完全发生加成反应（2分）（5）乙醚（2分） D （2分）（6）液封Br 2及1 , 2－二溴乙烷（2分） 29．（11分）（1）排除原有气体对实验结果的干扰（1分） CO 2浓度逐渐降低（1分） C 3（1分） （2）将NaHCO 3溶液换成等量的1%NaOH 溶液，其他条件同该装置（2分）至少再设置两组NaHCO 3溶液浓度不同的该装置，其他条件同该装置（2分） （3）植物光合作用速率达到最大时的最小光照强度（光饱和点）（2分）光照强度大于或等于c 时的真正（或总、实际）光合作用速率（2分）30．（10分）（1）胰岛素（1分） 葡萄糖载体（1分）ATP （1分） 胰岛素受体（的数目）（1分）（2）核糖体、内质网、高尔基体（2分） 胰高血糖素（肾上腺素）（1分） （3）Ⅰ型（1分） 自身免疫（1分） Ⅱ型（1分）31．（8分）（1）黑色（1分） 白色（1分） C a C d ×C a C d （1分） （2）（均为）白色（1分）（3）C a ＞C c ＞C b ＞C d （2分） （4）10（1分） 3（1分） 32．（10分）甲状腺分泌甲状腺激素（2分）（2）①促甲状腺激素释放激素（2分） ②甲状腺（1分） ③等量且适宜浓度的促甲状腺激素溶液（1分）（3）下降（1分） 下降（1分 上升（1分） 下降（1分） 33．【物理——选修3－3】（15分） （1）ACD (6分) （2）（i ）设起始状态气缸内气体压强为p 1，当活塞缓慢拉至气缸顶端，设气缸内气体压强为p 2由玻意耳定律得： LS p lS p 21= ………………………………………（2分）在起始状态对活塞由受力平衡得：S p mg S p 01+= …………………（1分） 对活塞由受力平衡得：S p mg S p F 02+=+ ………………………………（1分）解得 F = 110N …………………………………………（1分） （ii ）由盖-吕萨克定律得：T LS T lS '=…………………………………………（2分） 其中：K 300=T K )273(t T '+='解得 t '≈ 60.3℃ ……………………………………………………………（2分）34．【物理——选修3－4】（15分） （1）ABD (6分) （2）（i ）作出光路图，光线在AC 面上的入射角为60°，折射角为30°，则折射率330sin 60sin 00==n ……………………………………………（3分）（ii ）作出光束经BC 面反射后的光路图，因为发生全反射的临界角为2131sin >=C ，即C >30°，所以光线在在F 点发生全反射，在E 、H 点不能发生全反射。
2014届湖北省武昌区高三元月调研考试理科数学试题(含答案详解)WORD精校版
湖北武昌区2014届高三上学期期末学业质量调研数学（理）试题本试题卷共4页，共21题。
满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设m ∈R ，222(1)m m m i +-+-是纯虚数,其中i 是虚数单位，则m= A ．1 B ．一1 C ．一2 D ．2 2．已知全集为R ，集合A=协I 岫≤1），集合B={xlx2-．4x 一5<o ），则（驰）n 船 A ．（0，2] B ．（一1，0] （2，5）C ．[2，5）D ．（一l ，0） [2，5） 3．某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的p 为24，则输出的乃，S 的值分别为 A ．n=4，S=30 B ．n=5，S=30 C ．n=4，S=45 D ．n=5，S=454． 函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ-=+><<的部分图象 如图所示，则,ωϕ的值分别是 A ．2,3π- B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π 5．已知指数函数()y f x =、对数函数()y g x =和幂函数()y h x =的图象都经过点P（1,22），如果123123()()()4,f x g x h x x x x ===++=那么]A ．76B ．66C ．54D ．326．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是7．过双曲线M ：2221y x b-=的左顶点A 作斜率为l 的直线l ，若l 与双曲线舾的两条渐近线分别相交于j5}、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是ABC D 8．给出以下结论： ①在四边形ABCD 中，若,AC AB AD ABCD =+则是平行四边形；②在三角形ABC 中，若a=5，b=8，C=60°，则20;BC CA ⋅=③已知正方形ABCD 的边长为l ，则||AB BC AC ++=④已知5,28,3(),,,AB a b BC a b CD a b A B C =+=+=-则三点共线．其中正确结论的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．物体A 以速度v=3f 2+l （t 的单位：s ，v 的单位：m ／s ）在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体j5}在物体A 的正前方5 m 处以速度v=l0t （t 的单位：s ，v 的单位：m ／s ）的速度与A 同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A 的出发地的距离是A ．1 20 mB ．1 30 mC ．140 mD 。
2014届湖北省武昌区高三元月调研考试理科数学试题(含答案详解)扫描版
武昌区2014届高三年级元月调研考试 理科数学试题参考答案及评分细则一、选择题：1．C 2．B 3．B 4．A 5．D 6.D 7．A 8．C 9．B 10．B 二、填空题：11．480 12．2517（或0．68） 13．1(,1)2- 14．（Ⅰ）16；（Ⅱ）()211++n n 15．（Ⅰ）120；（Ⅱ）80 三、解答题： 16．（本小题满分12分）解：21cos 2B B =-，所以 2cos 2sin B B B =．因为 0B <<π， 所以 sin 0B >，从而 tan B =所以π3B =．…………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）因为 4A π=，π3B =，根据正弦定理得 sin sin AC BC B A =，所以sin sin BC BAC A⋅==因为512C A B π=π--=，所以 5sin sin sin()12464C πππ==+=．所以△ABC 的面积13sin 22S AC BC C +=⋅=．……… ………………（12分） 17．（本小题满分12分）解：(Ⅰ) 因为11=a ，且521,,a a a 依次成等比数列，所以5122a a a ⋅=，即()()d d 41112+⋅=+，所以022=-d d ，解得2=d （0=d 不合要求，舍去）. 所以()12121-=-+=n n a n .因为121-=+n n b b ，所以112(1).n n b b +-=-所以{}1n b -是首项为=-11b 2，公比为2的等比数列． 所以11222.n n n b --=⋅=xyz所以2 1.nn b =+ ……………………………………………………………（6分） （Ⅱ）22211.(21)(21)2121n n a a n n n n +==-⋅-+-+∴1211)121121()5131()3111(+-=+--++-+-=n n n S n 于是1111122(1)11.21212121(21)(21)nn n n nn n S b n n n ---=--+=-=++++++ 所以，当1,2n =时，22nn =，n S =11nb -； 当3n ≥时，22nn <，n S <11nb -．………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）方法一：A A ⋅+=⋅)(110)(=+⋅=⋅=BE AB BC AE BC ，AE C A ⊥∴1；AF DC D A AF C A ⋅+=⋅)(110)(=+⋅=⋅=，AF C A ⊥∴1.⊥∴C A 1平面AEF . …………………………（6分）方法二：⊥BC 平面11A ABB ，⊂AE 平面11A ABB ，∴AE BC ⊥．又∵B A AE 1⊥，∴⊥AE 平面BC A 1． ∵⊂C A 1平面BC A 1，∴C A AE 1⊥．同理可证C A AF 1⊥． ∵A AF AE = ，∴⊥C A 1平面AEF ． …………………………………（6分）（Ⅱ）如图，以为AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 因为4=AB ，3=AD ，51=AA ，得到下列坐标：)0,0,0(A ，)0,0,4(B ，)0,3,4(C ,)0,3,0(D ，)5,0,0(1A ，)5,0,4(1B ，)5,3,4(1C )5,3,0(1D ．由（Ⅰ）知，)5,3,4(1-=A 是平面AEF 的一个法向量. 设平面BD B D 11的法向量为()0,,y x =，则011=⋅D B .)0,3,4(11-=D B ，034=+-∴y x .令3=x ，4=y ，则()0,4,3=a ． ∴25212)5(34043)5(03443||||,cos 22222211=-++⨯++-⨯+⨯+⨯=⋅>=<C A a AC a ． ∴25337)25212(1sin 2=-=θ. ∴平面AEF 和平面BD B D 11所成的角的正弦值为25437．………………（12分） 19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）数学合格的概率约为4032841005++=．物理合格的概率约为4029631004++=．…………………………………………（4分）（Ⅱ）（ⅰ）随机变量X 的所有取值为9，4．5，3，-1．5．()5343549=⨯==X P ； ()20343515.4=⨯==X P ； ()5141543=⨯==X P ； ()20141515.1=⨯=-=X P ． 所以，随机变量X 的分布列为:X9 5.4 3 5.1- P35 320 15 120 6.6201)5.1(5132035.4539=⨯-+⨯+⨯+⨯=EX ．…………………………（9分）（ⅱ）抽查5位同学物理分数，合格n 人，则不合格有5n -人，总学分为56)5(5-=--n n n 个． 依题意，得14)5(5≥--n n ，解得619≥n ．所以4n =或5n =．设“抽查5位同学物理分数所获得的学分不少于14分”为事件A ，则445531381()C ()()444128P A =⨯+=．……………………………………（12分） 20．（本题满分13分） 解：（Ⅰ）设)0,(c F ，则22=a c ，知c a 2=. 过点F 且与x 轴垂直的直线方程为c x =，代入椭圆方程，有1)(2222=+-b y a c ，解得b y 22±=.于是22=b ，解得1=b .又222b c a =-，从而1,2==c a .所以椭圆C 的方程为1222=+y x ． …………………………………………（4分）（Ⅱ）设),(11y x A ，),(22y x B .由题意可设直线AB 的方程为2y kx =+.由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,12,222y x kx y 消去y 并整理，得()2221860k x kx +++=. 由0)12(24)8(22>+-=∆k k ，得232>k . 由韦达定理，得126,128221221+=+-=+k x x k k x x . 点O 到直线AB 的距离为212k d +=，AB =， 22221221)12()32(84)(||21+-=-+==∴∆k k x x x x d AB S AOB. 设223t k =-，由232>k ，知0t >. 于是8168)4(82++=+=∆tt t t S AOB .由816≥+t t ，得22≤∆AOB S .当且仅当274,2t k ==时等号成立. 所以△B O A 面积的最大值为22.…………………………………………（8分）（Ⅲ）假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 为△PQN 的垂心. 设),(11y x P ，),,(22y x Q 因为)1,0(N ，)0,1(F ，所以1-=NF k . 由PQ NF ⊥，知1=PQ k ．设直线l 的方程为m x y +=，由⎩⎨⎧=++=,22,22y x m x y 得0224322=-++m mx x ． 由0>∆，得32<m ，且3421mx x -=+,322221-=m x x ．由题意，有0=⋅FQ NP .因为),1(),1,(2211y x FQ y x NP -=-=，所以0)1()1(1221=-+-y y x x ，即0)1)(()1(1221=-+++-m x m x x x ， 所以0)1)((222121=-+-++m m m x x x x ．于是0)1(34322222=-+---⨯m m m m m ．解得34-=m 或1=m ． 经检验，当1=m 时，△PQN 不存在，故舍去1=m ． 当34-=m 时，所求直线l 存在，且直线l 的方程为34-=x y ．……………（13分） 21．（本题满分14分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为()+∞-,a ，ax a x a x x f +-+-=-+='111)(． 由0)(='x f ，得a a x ->-=1. 当a x a -<<-1时，()0/>x f；当a x ->1时，()0/<x f ．所以，)(x f 在a x -=1处取得最大值．由题意知()011=+-=-a a f ，所以1=a ．…………………………………（4分） （Ⅱ）（1）当0≥k 时，由012ln )1(<-=f ，知0≥k 不合题意. （2）当0<k 时，设()()22)1ln(kx x x kx x f x g --+=-=.则1)122(2111)(+++-=+-+='x k kx x kx x x g . 令0)(='x g ，得01=x ，12112122->--=+-=kk k x .①当21-≤k 时，02122≤+-=kk x ，0)(>'x g 在),0(+∞∈x 上恒成立，因此)(x g 在),0[+∞上单调递增，从而总有0)0()(=≥g x g ， 即2)(kx x f ≥在),0[+∞上恒成立.②当021<<-k 时，02122>+-=k k x ，对于)212,0(kk x +-∈，0)(<'x g ， 因此)(x g 在)212,0(kk +-上单调递减.因此，当取)212,0(0kk x +-∈时，0)0()(0=<g x g ，即200)(kx x f ≥不成立.故021<<-k 不合题意.综上，k 的最大值为21-. ……………………………………………………（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）得：221)1ln(x x x -≥-+对任意的[0,+)x ∈∞恒成立.即221)1ln(x x x ≤+-对任意的[0,+)x ∈∞恒成立.取122-=i x （),,3,2,1n i =，则2)12(2)1122ln(122-≤+---i i i ， 即2)12(2)]12ln()12[ln(122-≤--+--i i i i . 当1=n 时，23ln 2<-，不等式成立；当2≥n 时，)12ln(122)]12ln()12ln(122[11+--=-++--∑∑==n i i i i ni ni . 因为121321)12)(32(2)12(22---=--<-i i i i i ，所以)121321(3ln 2)12ln(12221---+-<+--∑∑==i i n i ni ni 212113ln 2<--+-=n . 综上，()212ln 1221<+--∑=n i ni ． ………………………………………（14分）。
湖北省武昌区2014届高三1月调考 理综试卷 扫描版答案.pdf
符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
1415161718192021答案DBDCACACBDAD22．(1)在误差允许的范围内相等（1分）
(2)AC（2分）
(3) （分）4.5
（2分）
9000（.0） （2分）；21000（.0） （2分）
24．（14分）
△ H2O ＋ OH C C O O —N OH OH —N OH OH —N OH OH
）（1）AB (6分)（2）（i）作出光路图，光线在AC面上的入射角为60°，折射角为30°，则折射率
……………………………………………（3分）
（ii）作出光束经BC面反射后的光路图，因为发生全反射的临界角为，即C >30°，所以光线在在F点发生全反射
E、H点不能发生全反射即该光束经一次反射后，到紧接着的一次射出玻璃砖发生在H点，则所求时间
武昌区2014届高三年级元月调研考试
理 科 综 合 试 卷
评分标准
题号123456答案CDBCBB一、选择题：本大题共13小题，每小题6分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
题号78910111213答案ADBABDC
二、选择题：本大题共8小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有的只有一项符合题目要求，有的有多项
解得……………………（3分）
对木块，由动量定理得： 解得 ………（3分）
（ii）小车向右运动的距离
……………………（3分）
36．【化学——选修2 化学与技术】（15分）
பைடு நூலகம்1）不是（1分） C（1分）
2）A、B、C、D （全选给3分，漏选给2分）
3）2NaClO3＋4HCl(浓)===2NaCl＋Cl2↑＋2ClO2↑＋2H2O 2分4）2NaClO2＋Cl22NaCl＋2ClO2 （2分） ，没有产
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湖北武昌区2014届高三上学期期末学业质量调研数学（理）试题本试题卷共4页，共21题。
满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设m ∈R ，222(1)m m m i +-+-是纯虚数,其中i 是虚数单位，则m=A ．1B ．一1C ．一2D ．2 2．已知全集为R ，集合A=协I 岫≤1），集合B={xlx2-．4x 一5<o ），则（驰）n 船 A ．（0，2] B ．（一1，0] （2，5） C ．[2，5） D ．（一l ，0） [2，5） 3．某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的p 为24，则输出的乃，S 的值分别为 A ．n=4，S=30 B ．n=5，S=30 C ．n=4，S=45 D ．n=5，S=454． 函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ-=+><<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是A ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π5．已知指数函数()y f x =、对数函数()y g x =和幂函数()y h x =的图象都经过点P （1,22），如果123123()()()4,f x g x h x x x x ===++=那么A ．76B ．66C ．54D ．326．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是7．过双曲线M ：2221y x b-=的左顶点A 作斜率为l 的直线l ，若l 与双曲线舾的两条渐近线分别相交于j5}、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是ABC．3D．28．给出以下结论： ①在四边形ABCD 中，若,AC AB AD ABCD =+则是平行四边形；②在三角形ABC 中，若a=5，b=8，C=60°，则20;BC CA ⋅=③已知正方形ABCD 的边长为l，则||AB BC AC ++=④已知5,28,3(),,,AB a b BC a b CD a b A B C =+=+=-则三点共线．其中正确结论的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．物体A 以速度v=3f 2+l （t 的单位：s ，v 的单位：m ／s ）在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体j5}在物体A 的正前方5 m 处以速度v=l0t （t 的单位：s ，v 的单位：m ／s ）的速度与A 同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A 的出发地的距离是 A ．1 20 m B ．1 30 m C ．140 m D 。
1 50 m 10．已知函数|1|,0,(),,,()()(),2ln ,.nx x e f x a b c f a f b f c a b c x x e <≤⎧===++⎨->⎩若互不相等且则的取值范围为A ．（1+e ，1+e+e 2）B ．（1+2e ，2+e 2）C ．(2+e 2） D ．（12e e+）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40，50）,[50，60）， [60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为 . 12．在区间（0，1）内随机地取出两个数，则两数之和小于65的概率是 .13．设20,,250,20.x y z kx y x y y --≤⎧⎪=-+-≥⎨⎪-≤⎩其中实数x,y 满足若当且仅当x=3，y=1时，z 取得最大值，则k 的取值范围为 ．14．如图，在圆内画1条线段，将圆分成两部分；画2条相交线段，将圆分割成4部分；画3条线段，将圆最多分割成7部分；画4条线段，将圆最多分割成．11部分，那么， （I ）在圆内画5条线段，将圆最多分割成 部分； （Ⅱ）在圆内画n 条线段，将圆最多分割成 部分。
15．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q （单位：元／100 kg ）与上市时间￡（单位：天）的数据如下表：根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间z 的变化关系．Q=at+b, Q=at 2+bt+c, Q=a ·b t ，Q=a ·log a t ．利用你选取的函数，求得：（I ）西红柿种植成本最低时的上市天数是 ; （Ⅱ）最低种植成本是 （元/100 kg ）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分1 2分）在△ABC21cos 2.B B =-（I ）求角B 的值；（Ⅱ）若BC=2,A=4π，求△ABC 的面积． 17．（本小题满分12分）在公差不为零的等差数列{n a }中，已知a 1=l ，．且a 1，a 2，a 5依次成等比数列．数列{n b }满足121 3.n n n b b b +=-=且．（I ）求{柚，{6nJ 的通项公式； （Ⅱ）设数列{12n n a a +⋅}的前n 项和为S n ，试比较S n 与1一1nb 的大小．18．（本小题满分12分）如图，在长方体A BCD —A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在BB 1，DD 1上，且AE ⊥AB ，A F ⊥A 1D ． （I ）求证：A 1C ⊥平面A EF ；（Ⅱ）若AB=4，AD=3，AA 1=5，求平面A EF 和平面D 1B 1BD 所成的角的正弦值．19．（本小题满分12分）某市高中结业考试数学和物理两科，其考试合格指标划分为：分数大于或等于85为合格，小于85为不合格．现随机抽取这两科各100位学生成绩，结果统计如下：（I ）试分别估计数学和物理合格的概率；（Ⅱ）抽取—位同学数学成绩，若成燃可得4个学分，若是不合格则扣除0.5个学分；抽取二位同学物理成绩，若成绩合格可得5个学分，若不合格则扣除1个学分．在（I ）的前提下，（i ）记X 为抽查1位同学数学成绩和抽查1位同学物理成绩所得的总学分，求随机变量X 的分布列和数学期望；（ii ）求抽查5位同学物理成绩所得的总学分不少于14个的概率． 20．（本小题满分13分）已知椭圆2232:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F，过点F 且与石轴垂直的直线被椭O 为坐标原点．（I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设经过点M （0，2）作直线A B 交椭圆C 于A 、B 两点，求△AOB 面积的最大值；（Ⅲ）设椭圆的上顶点为N ，是否存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使点F 为△PQN 的垂心?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分14分）已知函数()ln()f x x a x =+-的最大值为0，其中a>0． （I ）求a 的值；（Ⅱ）若对任意的2[0,),()x f x kx ∈+∞≥有成立，求实数k 的最大值； （Ⅲ）证明*12ln(21)2()21ni n n Ni =-+<∈-∑武昌区2014届高三年级元月调研考试 理科数学试题参考答案及评分细则一、选择题：1．C 2．B 3．B 4．A 5．D 6.D 7．A 8．C 9．B 10．B 二、填空题：11．480 12．2517（或0．68） 13．1(,1)2- 14．（Ⅰ）16；（Ⅱ）()211++n n 15．（Ⅰ）120；（Ⅱ）80 三、解答题： 16．（本小题满分12分）解：21cos 2B B =-，所以 2cos 2sin B B B =．因为 0B <<π， 所以 sin 0B >，从而 tan B =所以π3B =．…………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）因为 4A π=，π3B =，根据正弦定理得 sin sin AC BC B A =，所以sin sin BC BAC A⋅==．因为512C A B π=π--=，所以 5sin sin sin()1246C πππ==+=．所以△ABC 的面积1sin 2S AC BC C =⋅=……… ………………（12分） 17．（本小题满分12分）解：(Ⅰ) 因为11=a ，且521,,a a a 依次成等比数列，所以5122a a a ⋅=，即()()d d 41112+⋅=+，所以022=-d d ，解得2=d （0=d 不合要求，舍去）. 所以()12121-=-+=n n a n .因为121-=+n n b b ，所以112(1).n n b b +-=-所以{}1n b -是首项为=-11b 2，公比为2的等比数列．xyz所以11222.n n n b --=⋅=所以2 1.nn b =+ ……………………………………………………………（6分） （Ⅱ）22211.(21)(21)2121n n a a n n n n +==-⋅-+-+∴1211)121121()5131()3111(+-=+--++-+-=n n n S n 于是1111122(1)11.21212121(21)(21)nn n n n n n S b n n n ---=--+=-=++++++ 所以，当1,2n =时，22nn =，n S =11nb -； 当3n ≥时，22nn <，n S <11nb -．………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）方法一：AE BC B A AE C A ⋅+=⋅)(110)(=+⋅=⋅=，AE C A ⊥∴1；A A ⋅+=⋅)(110)(=+⋅=⋅=DF AD DC AF DC ，AF C A ⊥∴1.⊥∴C A 1平面AEF . …………………………（6分）方法二：⊥BC 平面11A ABB ，⊂AE 平面11A ABB ，∴AE BC ⊥．又∵B A AE 1⊥，∴⊥AE 平面BC A 1． ∵⊂C A 1平面BC A 1，∴C A AE 1⊥．同理可证C A AF 1⊥． ∵A AF AE = ，∴⊥C A 1平面AEF ． …………………………………（6分）（Ⅱ）如图，以为AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，因为4=AB ，3=AD ，51=AA ，得到下列坐标：)0,0,0(A ，)0,0,4(B ，)0,3,4(C ,)0,3,0(D ，)5,0,0(1A ，)5,0,4(1B ，)5,3,4(1C )5,3,0(1D ．由（Ⅰ）知，)5,3,4(1-=A 是平面AEF 的一个法向量. 设平面BD B D 11的法向量为()0,,y x a =，则011=⋅D B a .)0,3,4(11-=D B ，034=+-∴y x .令3=x ，4=y ，则()0,4,3=． ∴25212)5(34043)5(03443,cos 22222211=-++⨯++-⨯+⨯+⨯=⋅>=<C A a ． ∴25337)25212(1sin 2=-=θ. ∴平面AEF 和平面BD B D 11所成的角的正弦值为25437．………………（12分） 19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）数学合格的概率约为4032841005++=．物理合格的概率约为4029631004++=．…………………………………………（4分）（Ⅱ）（ⅰ）随机变量X 的所有取值为9，4．5，3，-1．5．()5343549=⨯==X P ； ()20343515.4=⨯==X P ； ()5141543=⨯==X P ； ()20141515.1=⨯=-=X P ． 所以，随机变量X 的分布列为:X9 5.4 3 5.1- P35 320 15 1206.6201)5.1(5132035.4539=⨯-+⨯+⨯+⨯=EX ．…………………………（9分）（ⅱ）抽查5位同学物理分数，合格n 人，则不合格有5n -人，总学分为56)5(5-=--n n n 个． 依题意，得14)5(5≥--n n ，解得619≥n ． 所以4n =或5n =．设“抽查5位同学物理分数所获得的学分不少于14分”为事件A ，则445531381()C ()()444128P A =⨯+=．……………………………………（12分） 20．（本题满分13分） 解：（Ⅰ）设)0,(c F ，则22=a c ，知c a 2=. 过点F 且与x 轴垂直的直线方程为c x =，代入椭圆方程，有1)(2222=+-b y a c ，解得b y 22±=.于是22=b ，解得1=b .又222b c a =-，从而1,2==c a .所以椭圆C 的方程为1222=+y x ． …………………………………………（4分） （Ⅱ）设),(11y x A ，),(22y x B .由题意可设直线AB 的方程为2y kx =+.由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,12,222y x kx y 消去y 并整理，得()2221860k x kx +++=. 由0)12(24)8(22>+-=∆k k ，得232>k . 由韦达定理，得126,128221221+=+-=+k x x k k x x . 点O 到直线AB 的距离为212k d +=，AB = 22221221)12()32(84)(||21+-=-+==∴∆k k x x x x d AB S AOB.设223t k =-，由232>k ，知0t >. 于是8168)4(82++=+=∆tt t t S AOB . 由816≥+t t ，得22≤∆AOB S .当且仅当274,2t k ==时等号成立. 所以△B O A 面积的最大值为22.…………………………………………（8分） （Ⅲ）假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 为△PQN 的垂心. 设),(11y x P ，),,(22y x Q 因为)1,0(N ，)0,1(F ，所以1-=NF k . 由PQ NF ⊥，知1=PQ k ．设直线l 的方程为m x y +=， 由⎩⎨⎧=++=,22,22y x m x y 得0224322=-++m mx x ． 由0>∆，得32<m ，且3421mx x -=+,322221-=m x x ．由题意，有0=⋅.因为),1(),1,(2211y x y x -=-=，所以0)1()1(1221=-+-y y x x ，即0)1)(()1(1221=-+++-m x m x x x ， 所以0)1)((222121=-+-++m m m x x x x ．于是0)1(34322222=-+---⨯m m m m m ． 解得34-=m 或1=m ． 经检验，当1=m 时，△PQN 不存在，故舍去1=m ． 当34-=m 时，所求直线l 存在，且直线l 的方程为34-=x y ．……………（13分） 21．（本题满分14分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为()+∞-,a ，ax a x a x x f +-+-=-+='111)(．由0)(='x f ，得a a x ->-=1. 当a x a -<<-1时，()0/>x f；当a x ->1时，()0/<x f ．所以，)(x f 在a x -=1处取得最大值．由题意知()011=+-=-a a f ，所以1=a ．…………………………………（4分） （Ⅱ）（1）当0≥k 时，由012ln )1(<-=f ，知0≥k 不合题意. （2）当0<k 时，设()()22)1ln(kx x x kx x f x g --+=-=.则1)122(2111)(+++-=+-+='x k kx x kx x x g . 令0)(='x g ，得01=x ，12112122->--=+-=kk k x .①当21-≤k 时，02122≤+-=kk x ，0)(>'x g 在),0(+∞∈x 上恒成立，因此)(x g 在),0[+∞上单调递增，从而总有0)0()(=≥g x g ， 即2)(kx x f ≥在),0[+∞上恒成立.②当021<<-k 时，02122>+-=k k x ，对于)212,0(kk x +-∈，0)(<'x g ， 因此)(x g 在)212,0(kk +-上单调递减.因此，当取)212,0(0kk x +-∈时，0)0()(0=<g x g ，即200)(kx x f ≥不成立.故021<<-k 不合题意.综上，k 的最大值为21-. ……………………………………………………（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）得：221)1ln(x x x -≥-+对任意的[0,+)x ∈∞恒成立.即221)1ln(x x x ≤+-对任意的[0,+)x ∈∞恒成立.取122-=i x （),,3,2,1n i =，则2)12(2)1122ln(122-≤+---i i i ， 即2)12(2)]12ln()12[ln(122-≤--+--i i i i . 当1=n 时，23ln 2<-，不等式成立；当2≥n 时，)12ln(122)]12ln()12ln(122[11+--=-++--∑∑==n i i i i n i ni . 因为121321)12)(32(2)12(22---=--<-i i i i i ， 所以)121321(3ln 2)12ln(12221---+-<+--∑∑==i i n i n i n i 212113ln 2<--+-=n . 综上，()212ln 1221<+--∑=n i n i ．………………………………………（14分）。