再谈高中数学中的特殊值法解题_胡春雷

x D． － 1 + x2
2 殊的二次函数 f（ x） = x ， 则 f（ 2 x － 1 ） ＜ f（
1） 2 ＜
1 1 2 ， ， ） ； 或者选 用 羊 角 函 数 f 可以轻松得到答案为 （ 9 3 3 1 也可以得到相同的 不再详解了。 答案， 三、 选用特殊的形来来解决问题
高中数学有很多常规而经典的解法， 比如换元法、 待定系数 法、 配方法等。也有一些非常规解法， 比如特殊值法。 有时在解 决有些数学问题时特殊值法可以收到奇效 。 笔者认真阅读了许 多同行关于特殊值法的论文， 结合自己教学实践， 在此也谈谈对 特殊值的认识和体会， 不妥之处， 敬请同行指正。 一、 选用特殊的数字解决问题 10 、 i、 e 等数字． 选用特殊数字来解决问题， 一般喜欢选用 ± 1 、 例 1 ： （ 2004 湖北） 已知 f （ 取为（ A． ） x 1 + x2 B． － 2x 1 + x2 1 －x 1 －x ） = ， 则 f （ x ） 的解析式可 1 +x 1 + x2
语数外学习
No． 03． 2013 Yu Shu Wai Xue Xi 2013 年第 3 期
再谈高中数学中的特殊值法解题
胡春雷 （ 惠州实验中学， 广东
摘
惠州
516000 ）
要： 高中数学问题的解决取决于思维 、 方法、 习惯等诸多方面， 解题方法需具有针对性， 对于一个数学问题如果具有一般性结 论， 那么适当取特殊值也是成立的， 这是特殊值法的理论根据。特殊值法是指选用特殊值解决数学问题的方法， 常见的三种特殊值有 三种， 分别是特殊的数、 式、 形； 本文结合实例来说明在使用特殊值法解题时取值的技巧 、 细节以及注意事项。 关键词： 特殊数； 特殊式； 特殊形 中图分类号： G633 文献标识码： A 文章编号： 1005 － 6351 （ 2013 ） － 03 － 0061 － 01 0 ） 是它图象的一个对称中心 π， 其中描述正确的是（ A． ①② ） C． ②④ D． ②③ B． ①③ ④当 x = π 时， 它一定取最大值，
本题常规解法是利用函数对称性讨论函数单调性， 如果分析 不透彻， 还以为要讨论变量 2 x － 1 和 1 的位置， 最好直接选用特 3 1 ） 可直接转化为（ 2 x － 3
2x C． 1 + x2 1 －x 1 －t = t， =x 解法一： 设 则 1 +x 1 +t 1 1 ∴ f（ t） = 1 1 +（ 1 1 －（ －t 2 ） +t 2t = － t 2 1 + t2 ） +t
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选用特殊图形来解决问题， 一般喜欢选用符合题目条件的正 正三角形、 正多面体等。 方形、 AC 于点 D、 E， 例 5 ： 过△ABC 重心任作一直线分别交 AB、 若 1 1 → → AD = x → AB， AE = y → AC， xy≠0 则 + 的值为 x y 本题最好就直接定△ABC 为边长为 3 的正三角形， 并且让直 线 DE / / BC， 则由重心性质知道AD = 2 1 1 ， + = 3． 所以 3 x y 最后要提醒的是， 在选用特殊值时解题时首先要满足题目的 条件， 这是要遵循的一条基本原则。 除了会选用特殊值来解题， 还要掌握选值的技巧， 当我们一次取值不能达到目标时， 可以考 虑多次取值、 混合选取。 看能否达到目标． 特殊值最大的优点就 是可以让一般问题特殊化， 抽象的问题具体化。 从而大大减少计 另外， 特殊值法可以有效地锻炼学生的思维灵活性和思维 算量， 的深刻性， 对培养学生正难则反的思想相当有益； 当然要形成真 正的解题能力， 还必须有意识的培养， 平时多加练习， 自然就能熟 能生巧， 运用自如。 参考文献： π ） 2 ［ 1］ J］ ． 中学生理科月刊， 1998 ， （ 09 ） ． 高慧明． 用特殊值法解题［ ［ 2］ J］ ． 数学教学通讯， 2012 ， （ 16 ） ． 傅晓霞． 巧用特殊值法解题［ ［ 3］ J］ ． 数理化解题研究 张良茂． 利用特殊值解高中数学选择题［ ③（ － （ 高中版） ， 2011 ， （ 08 ）
→
2 → → 2 → AB， AE = AC， 即x=y= 3 3
本题常规解法是先分类讨论去掉绝对值符号， 再解一元二次 不等式， 还涉及到集合的交并运算， 非常麻烦， 不妨定 x = － 1 代入 D 选项． 再选 x = 0 代入， x （ 1 － 2 x） ＞ 0 ， 知其成立， 排除 C、 知其 不成立， 排除 A 选项， 故选 B。 本题两次选值就解决问题 ． 方法简 洁而又有针对性， 非常漂亮。 二、 选用特殊的式解决问题 选用特殊数学表达式来解决问题， 一般喜欢选用符合题目条 件的的基本初等函数、 典型方程、 基本不等式等。 例 3 ： 已知 y = f（ x） 是定义在 R 上的奇函数， 且 y = f（ x + 为偶函数， 对于函数 y = f（ x） 有下列几种描述： ①y = f（ x） 是周期函数 ② x = π 是它的一条对称轴
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本题考查抽象函数的性质， 如果对函数的性质不理解， 简直 无法入手． 看到奇函数和数字 π ， 可以选用特殊的函数 f （ x ） = 2
sinx， 知其符合题目条件， 问题就变得非常简单， 显然选 B 选项。 + ∞ ） 单调增加， 例 4 ： 已知偶函数 f （ x ） 在区间 [ 0 ， 则满足 f（ 2 x － 1 ） ＜ f（ 1 ） 的 x 取值范围是 3 。
2x ∴ f（ x ） = = 1 + x2 故选 C。 解法二： 定 x = 0 代入条件， 则 f（ 1 ） = 1 ， 再将 x = 1 代入选项中 逐个计算， 故选 C。 解法一采用常规解法， 采用换元法， 变形复杂， 这是复合函数 解析式的通常解法， 容易想到但实际操作并不简单， 特别是换元 之后的变形很难算出， 解法二通过特殊值法解决， 解法简明， 计算 量少， 可以快速得到答案。 例 2 ： 不等式 x （ 1 － 2 x） ＞ 0 的解集是（ 1 A． （ － ∞ ， ） 2 C． （ 1 ， +∞） 2 ） 1 B． （ － ∞ ， 0 ） ∪（ 0 ， ） 2 1 D． （ 0 ， ） 2