高中数学讲义微专题83 特殊值法解决二项式展开系数问题

高中数学二项式中系数问题的求解策略

高中数学二项式中系数问题的求解策略二项式中的系数和二项式系数比较容易混淆，二项式系数有具体的规律，解决比较容易，而关于系数的求解是二项式中的重点和难点。

这类题型的解题方法比较灵活，对观察力的要求也很高。

现在就此类问题的解答技巧，谈几种常见的方法。

一应用通项和组合，直接求解。

例题1求展开式中的系数解法一：故展开式中含的项为故展开式中的系数为240解法二：要使指数为1，只有才有可能，即故的系数为解法三：由多项式的乘法法则，从以上5个括号中，一个括号内出现，其它四个括号出现常数项，则积为的一次项，此时系数为剖析：此类问题通常有两个解法：化三项为二项，乘法法则及排列、组合知识的综合应用二巧妙赋值，灵活求解。

例题2若(1－2x)2009＝a0＋a1x＋…＋a2009x2009(x∈R)，则a12＋a222＋…＋a200922009的值为()A．2B．0C．－1 D．－2解析：.(1－2x)2009＝a0＋a1x＋…＋a2009x2009，令x＝12，则(1－2×12)2009＝a0＋a12＋a222＋…＋a200922009＝0，其中a0＝1，所以a12＋a222＋…＋a200922009＝－1. 选C例题3已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展开式中x的系数为11.(1)求x2的系数取最小值时n的值．(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和．解析：(1)由已知Cm1＋2Cn1＝11，∴m＋2n＝11，x2的系数为Cm2＋22Cn2＝m(m－1)2＋2n(n－1)＝m2－m2＋(11－m)(11－m2－1)＝(m－214)2＋35116.∵m∈N*，∴m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3，∴f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3.设这时f(x)的展开式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.剖析：在对二项式进行赋值时，主要考虑如何赋值能得到所需要的系数，通常赋值有0、1、-1、12等不同的数值。

高中数学讲义微专题83 特殊值法解决二项式展开系数问题

a2013 22013
1
a1 2
，所
以所求表达式变形为：
1 2
1 a1
1
a1 2
1 a1
，而
a1x
C1 2013
2x
1 2012
4026x
，所以
a1
4026
，从而表达式的值为
1 4026
答案：D
例 8 ：已知 1 x 1 x 2 1 x n a 0 a1x a nx n
A. 55
B. 1
C. 25
D. 25
思路：虽然 2 3x5 展开式的系数有正有负，但 2 3x5 与 2 3x5 对应系数的绝对值相同，
且 2 3x5 均为正数。所以只需计算 2 3x5 展开的系数和即可。令 x 1，可得系数和为 55 ，
所以 a0 a1 a2 a3 a4 a5 55
a0 a2 an a1 a3 an 1 f 1 ，
即偶次项系数和与奇次项系数和的差
由①③即可求出 a0 a2 an 和 a1 a3 an1 的值
二、典型例题：
例 1：已知 3x 18 a0 a1x a2x 2 a8x 8 ，则 a1 a3 a5 a7 的值为________
（2）设 f x 2x 1n a0 a1x a2x 2 a nx n
① 令 x 1 ，则有： a0 a1 a2 an 2 1 1n f 1 ，即展开式系数和
② 令 x 0 ，则有： a0 2 0 1n f 0 ，即常数项
③ 令 x 1，设 n 为偶数，则有： a0 a1 a2 a3 an 1 2 1n f 1
a1 a2 an1 2n1 2 n 1 ，所以 2n1 2 n 1 29 n ，即 2n1 32 ，解得 n4

高中数学完整讲义——二项式定理2.二项展开式2求展开式中的特定项

1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理．⑵二项式系数、二项式的通项011222...nn n n n nnnnC a C a b C ab C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r rnC a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr n T C a b -+=．⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rnC b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()na b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r rr n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系知识内容求展开式中的特定项数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr rn nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,n n n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ．当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅，()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．，()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1knn n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1n n C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n nC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项．这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项展开式2求展开式中的特定项（常数项，有理项，系数最大项等．）常数项【例1】在()2043x y+展开式中，系数为有理数的项共有项．【例2】的展开式中共有_____项是有理项．1003(23)+典例分析【例3】展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例4】 ()6211x x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_________．【例5】二项式42x +x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_____________，展开式中各项系数和为．（用数字作答）【例6】若123a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为220-，则实数a =___________．【例7】在二项式52a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是10-，则实数a 的值为．61034(1)(1x x++【例8】在621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是______．（结果用数值表示）【例9】如果1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，第四项与第六项的系数相等，则n = ，展开式中的常数项的值等于．【例10】的展开式中常数项为（用数字作答）【例11】若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【例12】若的展开式中含有常数项，则最小的正整数等于．【例13】在的二项展开式中，若常数项为，则等于（用数字作答）281(12)()x x x+-1()n x x+3(2)n x xn 2()n x x+60n【例14】的展开式中，常数项为15，则．【例15】已知的展开式中没有常数项，，且，则______．【例16】展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例17】已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是（用数字作答）【例18】已知，若的展开式中含有常数项，则这样的有（） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．021()n x x-n =231(1)()n x x x x+++n ∈*N 28n ≤≤n =123(x x-2()n x x-314-21i =-10()n n ∈N ≤nxx )1(23-n【例19】展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例20】的展开式中整理后的常数项为（用数字作答）．【例21】的展开式中常数项为（用数字作答）【例22】已知的展开式的常数项是第项，则的值为（）A ．B ．C ．D ．【例23】在的二项展开式中，若常数项为，则等于（用数字作答）【例24】的展开式中，常数项为15，则． 61034(1)(1)x x51(2)2x x+281(12)()x x x+-312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭7n 789102()n x x+60n 21()n x x-n =【例25】展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例26】已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是（用数字作答）【例27】已知，若的展开式中含有常数项，则这样的有（） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【例28】展开式中的常数项为（） A ． B ． C ． D ．【例29】求展开式中的常数项．123(x x-2()n x x-314-21i =-10()n n ∈N ≤nxx )1(23-n 123x x ⎛- ⎝1320-1320220-220612x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭【例30】的展开式的常数项是（用数字作答）【例31】在的二项展开式中，若常数项为，则等于（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【例32】的展开式中的第项为常数项，那么正整数的值是．【例33】若的展开式中存在常数项，则的值可以是（） A ． B ． C ． D ．【例34】在的展开式中常数项是，中间项是．6122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2nx x ⎫⎪⎭60n 369121nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭5n nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+31n 10111214261(2)x x-________【例35】已知的展开式中没有常数项，，且，则______．【例36】若的展开式中含有常数项，则最小的正整数等于．【例37】已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是（） A ． B ． C ． D ．【例38】若展开式中的二项式系数和为，则等于________；该展开式中的常数项为_________．【例39】若的展开式中常数项为，则_____，其展开式中二项式系数之和为_________．231(1)()nx x x x+++n ∈*N 28n ≤≤n =3(2n x xn 2nx x ⎛- ⎝3141-145-4521nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭512n 921ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭84a =【例40】若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（） A ．B ．C ．D ．有理项【例41】求二项式的展开式中： ⑴常数项；⑴有几个有理项（只需求出个数即可）；⑴有几个整式项（只需求出个数即可）．【例42】的展开式中共有_______项是有理项．【例43】二项式的展开式中：⑴求常数项；⑵有几个有理项；⑶有几个整式项．1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭102030120153x x 1003(23)+153(x x【例44】已知在的展开式中，前三项的系数成等差数列 ①求；②求展开式中的有理项．【例45】二项展开式中，有理项的项数是（） A ． B ． C ． D ．【例46】在的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为，则 A ．1 B ． C ． D ．【例47】的展开式中，含的正整数次幂的项共有（） A ．项B ．项C ．项D ．项【例48】若（，为有理数），则（） 42nx x n 153x x 3456(11332x x p 10p x dx =⎰67761113123()x x x 4321(5122a b +=+a b a b +=A ．B ．C ．D ．系数最大的项【例49】已知的展开式中前三项的系数成等差数列．⑴求的值；⑵求展开式中系数最大的项．【例50】展开式中系数最大的项是第几项？【例51】已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于，求展开式中系数最大的项．【例52】在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是____． A ． B ． C ． D ．【例53】已知的展开式中，二项式系数最大的项的值等于，求．45557080(2n x x n 20(23)x +(13)n x +121132nx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭7-728-28lg 8(2)x x x +1120x【例54】求的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项．【例55】已知展开式中的倒数第三项的系数为，求： ⑴含的项；⑵系数最大的项．【例56】设，，的展开式中，的系数为．⑴求展开式中的系数的最大、最小值；⑴对于使中的系数取最小值时的、的值，求的系数．【例57】已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大． ⑴求展开式中二项式系数最大的项；⑴求展开式中系数最大的项．1032x x 3241nx x 453x m n +∈N ，1m n ，≥()(1)(1)m n f x x x =+++x 19()f x 2x ()f x 2x m n 7x 223(3)n x x +992【例58】展开式中系数最大的项是第几项？【例59】关于二项式有下列命题：⑴该二项展开式中非常数项的系数和是：⑴该二项展开式中第六项为；⑴该二项展开式中系数最大的项是第项与第项；⑴当时，除以的余数是．其中正确命题的序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）【例60】在的展开式，只有第项的二项式系数最大，则展开式中常数项为．（用数字作答）【例61】设的整数部分和小数部分分别为与，则的值为．20(23)x +2005(1)x -1619992005C x 100310042006x =2005(1)x -2006200532nx x ⎛ ⎝5)()21*174n n +∈N n M n m ()n n n m M m +【例62】中，为正实数，且，它的展开式中系数最大的项是常数项，求的取值范围．【例63】二项式的展开式中，末尾两项的系数之和为，且二项式系数最大的一项的值为，则在内的值为___________．【例64】如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为_______（用数字作答）．【例65】在二项式的展开式中，存在着系数之比为的相邻两项，则指数的最小值为．12()m n ax bx +a b ，200m n mn +=≠，a b(1sin )n x +752x (0,2π)232(3)n x x -n ()1nx +57∶()*n n ∈N。

高考数学讲义二项式定理.版块二.二项展开式2求展开式中的特定项.教师版

1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项011222...n n n n nn n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nT C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()na b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r rr n T C a b -+=是不同的，在这知识内容求展开式中的特定项里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr r n nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,nn n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ．当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅， ()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．， ()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1knn n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1nn C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n nC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项．这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项展开式2求展开式中的特定项（常数项，有理项，系数最大项等．）常数项【例1】在()2043x +展开式中，系数为有理数的项共有项．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星典例分析【题型】填空【关键字】2010年，湖北高考【解析】略【答案】6；【例2】 100的展开式中共有_____项是有理项．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】展开式的第r 项为50100321100100C C23r r r rrr r T --+==⋅⋅，要使第r 项为有理项，需要r 为2与3的倍数，从而6r k =，k ∈Z ，又0100r ≤≤，故01216k =L ，，，，，共有17项．【答案】17；【例3】 610(1(1++展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2008年，江西高考【解析】两个二项式的通项公式分别为3416110C (06)C (010)i j ij i j T x i S x j -++==≤≤，≤≤， 3411610C C (06010)i j i j i j T S x x i j -++⋅=≤≤，≤≤，当034i j-=即43i j =时，有3种情况：0i j ==；34i j ==，；68i j ==，．因此常数项为34686106101C C C C 4246++=．【答案】4246；【例4】 ()6211x x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_________．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2010年，辽宁高考【解析】略【答案】5-【例5】二项式42x +x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_____________，展开式中各项系数和为．（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2010年，石景山一模【解析】通项公式4421442C 2C rrrr r rr T xx x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，2r =时，可得常数项2242C 24=；令1x =即可得各项系数和为4381=．【答案】24,81；【例6】若123a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为220-，则实数a =___________．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2010年，崇文1模【解析】由二项式定理4124311212CC rrr r r r r a T a x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭．令44033r r -=⇒=．于是有3312C 2201a a =-⇒=-．【答案】1-；【例7】在二项式52a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是10-，则实数a 的值为．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2010年，海淀一模【解析】由二项式定理，()()5210355C C rrr rr rr a T xa xx --⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭．当1031r -=时，3r =，于是x 的系数为()3335C 10a a -=-，从而1a =．【答案】1；【例8】在621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是______．（结果用数值表示）【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2010年，西城2模【解析】容易知道26C 15=为所求．【答案】15；【例9】如果1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，第四项与第六项的系数相等，则n = ，展开式中的常数项的值等于．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2010年，朝阳2模【解析】由题意有35C C 8n n n =⇒=；展开式的常数项的值为48C 70=．【答案】8，70；【例10】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2007年，全国高考【解析】281(12)()x x x+-的展开式中常数项为4338812(1)42C C ⋅+⋅⋅-=-．【答案】42-；【例11】若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2007年，重庆高考【解析】由题意，2646n n =⇒=．于是通项662166r r r r r r T C x x C x ---+=⋅=当620r -=时，3r =．常数项为34620T C ==．【答案】20；【例12】若3(2n x的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】若3(2n x的展开式中含有常数项，31(2)rn r r r n T C x -+=⋅为常数项，则7302rn -=，即67n r =，所以n 被7整除，当76n r ==，时成立，最小的正整数n 等于7．【答案】7；【例13】在2)n x+的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2006年，江西高考【解析】通项公式为3212C =2C n rr n rr r r r nn x x--+T ＝()，由已知条件有30n r -=时，2C 60r r n =．容易验证当3n =时，不满足条件；6n =时满足条件．【答案】6；【例14】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n = ．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2007年，全国高考【解析】21()n x x -的展开式中，通项公式22311C ()()(1)C r n r r r r n rr n n T x xx --+=-=-，常数项为15，则：230(1)C 15r r n n r -=-=，．所以n 可以被3整除．容易验证当3n =时，不满足条件；当6n =时，4r =，常数项446(1)C 15-=，故6n =．【答案】6；【例15】已知231(1)()nx x x x+++的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤，则n =______．【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】填空【关键字】2008年，辽宁高考【解析】31()n x x +的通项公式为4131C ()C r n r r r n rr n n T x x x--+==．如果题目中的多项式展开后没有常数项，则：40120n r r n -≠--，，，≤≤．所以n 被4除只能余1．当28n ≤≤时，5n =．【答案】5；【例16】 12(x -展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2008年，山东高考【解析】用通项公式1212311212C ((1)C r r r r rr r r T xxx---+==-，当1203rr --=时，9r =，常数项为912C 220-=-．【答案】220-；【例17】已知2(n x的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2006年，山东高考【解析】第三项的系数为2C n -，第五项的系数为4C n ，由第三项与第五项的系数之比为314-，可解得10n =，则通项210110()(rrr r T C x -+=＝405210()r rr i C x--，当4050r -=，解得8r =，故所求的常数项为8810()C 45i -=．【答案】45；【例18】已知10()n n ∈N ≤，若nxx )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【关键字】无【解析】通项335121()()(1)C C rn r r r r n rr n n T x x x--+=-=-，存在常数项，则350n r -=， n 能被5整除，所以n 只有两种选择．选B ．【答案】B ；【例19】 610(1(1++展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2008年，江西高考【解析】两个二项式的通项公式分别为3416110C (06)C (010)i j ij i j T x i S x j -++==≤≤，≤≤， 3411610C C (06010)i j ij i j T S x x i j -++⋅=≤≤，≤≤，当034i j-=即43i j =时，有3种情况：0i j ==；34i j ==，；68i j ==，．因此常数项为34686106101C C C C 4246++=．【答案】4246；【例20】 51(2x x+的展开式中整理后的常数项为（用数字作答）．【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】填空【关键字】2005年，湖北高考【解析】注意到21055512((()22(2)x x x x x x +++==，所以要求10(x +的5x 的系数，10(x 的通项公式为：101011010C C r r r rr r r T x x --+==当5r =时，可求得10(x 的5x 的系数，所以所求常数项为55105C 2=．当然也可以直接将原多项式变为10，然后用通项公式求常数项．【例21】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2007年，全国高考【解析】281(12)()x x x+-的展开式中常数项为4338812(1)42C C ⋅+⋅⋅-=-．【答案】42-；【例22】已知312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则n 的值为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【关键字】无【解析】略；【答案】B ；【例23】在2)n x+的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2006年，江西高考【解析】通项公式为3212C =2C n rr n rr r r r nn x x--+T ＝()，由已知条件有30n r -=时，2C 60r r n =．容易验证当3n =时，不满足条件；6n =时满足条件．【答案】6；【例24】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n = ．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2007年，全国高考【解析】21()n x x -的展开式中，通项公式22311C ()()(1)C r n r r r r n rr n n T x xx--+=-=-，常数项为15，则：230(1)C 15r r n n r -=-=，．所以n 可以被3整除．容易验证当3n =时，不满足条件；当6n =时，4r =，常数项446(1)C 15-=，故6n =．【答案】6；【例25】 12(x -展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2008年，山东高考【解析】用通项公式1212311212C ((1)C r r rr rr r r T xxx---+==-，当1203rr --=时，9r =，常数项为912C 220-=-．【答案】220-；【例26】已知2(n x的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2006年，山东高考【解析】第三项的系数为2C n -，第五项的系数为4C n ，由第三项与第五项的系数之比为314-，可解得10n =，则通项210110()(rrr r T C x -+==405210()r rr i C x--，当4050r -=，解得8r =，故所求的常数项为8810()C 45i -= 【答案】45；【例27】已知10()n n ∈N ≤，若nx x )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【关键字】无【解析】通项335121()()(1)C C rn r r r r n rr n n T x x x--+=-=-，存在常数项，则350n r -=，n 能被5整除，所以n 只有两种选择．选B ．【答案】B ；【例28】 12x ⎛- ⎝展开式中的常数项为（）A ．1320-B ．1320C ．220-D ．220【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【关键字】2008年，山东高考【解析】41212311212C C (1)rr r r r r r T xx--+⎛==- ⎝， 412093r r -=⇒=，9912121110C (1)22032⨯⨯-=-=-⨯．【答案】C ；【例29】求612x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】212xx ++= 12612xx ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．由12展开式的通项公式12611212rr r rr T x --+==C C ，可得展开式的常数项为612924=C ．【例30】 6122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2009年，四川高考【解析】通项公式662621661C (2)(1)C 22rr rr r r rr T x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令620r -=，得3r =，故常数项为336(1)C 20-=-．【答案】-20【例31】在2nx ⎫+⎪⎭的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于（）Ａ．3 Ｂ．6 Ｃ．9 Ｄ．12【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【关键字】无【解析】通项公式3212C 2C rn r rn rr r r nn T x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令3023n r nr -=⇒=，且n 为3的倍数．常数项为2332C 60215nn n==⨯，从而6n ≤，故3n =或6，验证可知6n =．【答案】B ；【例32】 1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n 的值是．【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】填空【关键字】2007年，四川高考【解析】8n =；44448411C C n n nn T xx x --+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭为常数项，故80n -=．【答案】8；【例33】若nx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+31的展开式中存在常数项，则n 的值可以是（） A ．10 B ．11 C ．12 D ．14【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【关键字】2009年，东城区一模【解析】通项公式3561C C rn rr n r rr n n T x --+==，由题设知存在r n ≤，使得350n r -=，即35n r =，因此n 应是5的倍数，只有A 选项符合要求，验证可知满足要求．【答案】A ；【例34】在261(2)x x-的展开式中常数项是，中间项是________．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】略【答案】360160x -，．35460160T T x ==-，．【例35】已知231(1)()nx x x x+++的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤，则n =______．【考点】求展开式中的特定项【题型】填空【关键字】2008年，辽宁高考【解析】31()n x x +的通项公式为4131C ()C r n r r r n rr n n T x x x--+==．如果题目中的多项式展开后没有常数项，则：40120n r r n -≠--，，，≤≤．所以n 被4除只能余1．当28n ≤≤时，5n =．【答案】5；【例36】若3(2n x的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于．【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】填空【关键字】无【解析】若3(2n x的展开式中含有常数项，31(2)rn r r r n T C x -+=⋅为常数项，则7302rn -=，即67n r =，所以n 被7整除，当76n r ==，时成立，最小的正整数n 等于7．【答案】7；【例37】已知2nx⎛- ⎝的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是（）A ．1-B ．1C ．45-D ．45【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【解析】通项公式52221C ()(1)C rn r r n rr r r nn T x x --+⎛==- ⎝，由题设2244(1)C 310(1)C 14n nn -=⇒=-．令52082n r r -=⇒=，故常数项为8810(1)C 45-=．【答案】D ；【例38】若21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的二项式系数和为512，则n 等于________；该展开式中的常数项为_________．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2009年朝阳区一模【解析】由题设25129nn =⇒=，通项公式291831991C ()C rrrr rr T x xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令1830r -=，得6r =，故常数项为69C 84=．【答案】9；84；【例39】若921ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为84，则a =_____，其展开式中二项式系数之和为_________．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2009年，西城区二模【解析】通项公式2991831991C ()(1)C rrrr r r rr T ax a xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令1830r -=，得6r =，常数项6639(1)C 841a a -=⇒=，展开式中二项式系数之和为92512=．【答案】1512，；【例40】若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（）A ．10B ．20C ．30D ．120【考点】求展开式中的特定项【难度】2星【题型】选择【关键字】无【解析】略【答案】B ；有理项【例41】求二项式15的展开式中：⑴常数项；⑵有几个有理项（只需求出个数即可）； ⑶有几个整式项（只需求出个数即可）．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】展开式的通项为：30515611515(1)C (1)2C rrrr rr r r r T x--+=-=-． ⑴设1r T +项为常数项，则30506r -=，得6r =，即常数项为667152C T =； ⑵设1r T +项为有理项，则3055566r r -=-为整数，∴r 为6的倍数，又∵015r ≤≤，∴r 可取0，6，12三个数，故共有3个有理项．⑶556r -为非负整数，得0r =或6，∴有两个整式项．【例42】100的展开式中共有_______项是有理项．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】展开式的第r 项为50100321100100C C23r r rrrr r T --+==⋅⋅，要使第r 项为有理项，需要r 为2与3的倍数，从而6r k =，k ∈Z ，又0100r ≤≤，故01216k =L ，，，，，共有17项．【答案】17；【例43】二项式15的展开式中：⑴求常数项；⑵有几个有理项； ⑶有几个整式项．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】展开式的通项为：30515611515(1)C (1)2C r rr rr r rr r T x--+=-=-．⑴1r T +项为常数项，则30506r -=，得6r =，即常数项为667152C T =；⑵设1r T +项为有理项，则3055566r r -=-为整数，∴r 为6的倍数，又∵015r ≤≤，∴r 可取0612，，三个数．⑶556r -为非负整数，得0r =或6，∴有两个整式项．【例44】已知在n的展开式中，前三项的系数成等差数列①求n ；②求展开式中的有理项．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】①通项公式2341C C 2rn rr r n rn r nr T x--+==，由题设2102C C C 2822nn nn +=⨯⇒=（1n =舍去）．②34841C 2r rr r T x -+=，1r T +为有理项的充要条件为344r -∈Z ，所以r 是4的倍数，048r =，，．因此所有有理项为415923518256T x T x T x ===，，．【例45】二项展开式15中，有理项的项数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【关键字】无【解析】45515611515C C rrrrrr T x --+=⋅=⋅（r = 0，1，2，…，14 ），当3915r =，，时，为有理项，选A ．【答案】A ；【例46】在(1132的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为p ，则1p x dx =⎰A ．1B ．67 C ．76 D ．1113【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】选择【关键字】2009届高考数学二轮冲刺专题测试【解析】B ；11111111323211111C 3232C rrr rr r r r r T x x x --+-+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是r 可取3，9，则21126P ==，1711660066|77x dx x ⎰== 【答案】B ；【例47】12的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有（） A ．4项 B ．3项 C ．2项 D ．1项【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【关键字】无【解析】略【答案】B ；【例48】若(51a +=+a ，b 为有理数），则a b +=（） A ．45B ．55C ．70D ．80【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【关键字】2009年，北京高考【解析】(523451141+=++++=+【答案】C ；系数最大的项【例49】已知(n x +的展开式中前三项的系数成等差数列．⑴求n 的值；⑵求展开式中系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】⑴由题设，得02111C C 2C 42n nn +=⨯，即2980n n -+=，解得8n =或1n =（舍去）． ⑵设第1r +项的系数最大，则1881188111C C 2211C C 22rr r r r r r r ++--⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≥，即1182(1)1129r r r r⎧⎪-+⎪⎨⎪⎪-⎩≥≥解得2r =或3r =．所以系数最大的项为7523477T x T x ==，．【例50】 20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项？【考点】求展开式中的特定项【难度】2星【题型】解答【关键字】无【解析】通项公式为20120C 2(3)rr r r T x -+=⋅⋅．若第1r +项最大，设第1r +项的系数为1r t +，则11211r r r rt tt t +++≥，≥．将通项公式系数代入化简得：2(1)3(21)113(20)2r r r r+--≥，≥．解出586355r ≤≤．∴12r =因此系数最大的项是第13项．【答案】13；【例51】已知(13)n x +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】由已知有21C C C 121n n n n n n --++=，即22400n n +-=，解得15n =或16n =-（舍去）设第第1r +项的系数最大，则111515111515C 3C 3C 3C 3r r r r r r r r ++--⎧⋅⋅⎪⎨⋅⋅⎪⎩≥≥，即133115116r r r r -+-≥，≥ 解得1112r =，所以系数最大的项为1111111215C 3T x =⋅和1212121315C 3T x =⋅．【例52】在132nx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是____．A ．7-B ．7C ．28-D ．28【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【关键字】2009届高考数学二轮冲刺专题测试【解析】于是8n =⨯，展开式的常数项为6216378C 72x T x -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】B ；【例53】已知lg 8(2)x x x +的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x ．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】由题设，44lg 48C (2)()1120x x x =，即44lg 1x x +=，0x >．故44lg 0x +=或1x =，解得x 的值为1或110．【答案】x 的值为1或110．【例54】求10的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】展开式的通项公式为：3056110C (1)2r rrrr T x--+=-⋅⋅，系数的绝对值为10C 2rr -⋅，记为1r t +．用前后两项系数的绝对值作商得：1(1)12101011010C 2C 10!!(10)!10C 22C (1)!(9)!210!2(1)r r r r r r rr t r r r t r r r +-+++-+⋅--===⋅=⋅+⋅-⋅+．令1012(1)r r -+≥得：83r ≤，即012r =，，时，上述不等式成立．所以，系数的绝对值从第1项到第4项增加，以后逐项减小．系数绝对值最大的项为第4项，5533322410C (1)215T x x -=-=-．从系数绝对值的变化情况及系数的正负交替，只要比较第3项与第5项的系数，记它们的系数分别为3t 与5t ，224431051045210105C 2C 24168t t --=⋅==⋅==，．所以，系数最大的项为第5项，5351058T x =．【例55】已知n展开式中的倒数第三项的系数为45，求： ⑴含3x 的项； ⑵系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】⑴ 由题设知2C 45n n-=，解得10n =． 21113010341211010C ()()C r rrrr r T x x x---+==，令11303612r r -=⇒=，因此含3x 的项为633710C 210T x x ==． ⑵ 系数最大的项为中间项，即55302551212610C 252T xx -==．【例56】设m n +∈N ，，1m n ，≥，()(1)(1)m n f x x x =+++的展开式中，x 的系数为19．⑴求()f x 展开式中2x 的系数的最大、最小值；⑵对于使()f x 中2x 的系数取最小值时的m 、n 的值，求7x 的系数．【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】11C C 19m n +=，即19m n +=．∴19m n =-．⑴设2x 的系数为222221919C C 1917117124mnT n n n ⎛⎫=+=-+=-+- ⎪⎝⎭．∵n +∈N ，1n ≥，∴当1n =或18n =时，max 163T =；当9n =或10时，min 81T =． ⑵对于使()f x 中2x 的系数取最小值时的m n ，的值，即98()(1)(1)f x x x =+++从而7x 的系数为77109C C 156+=．【例57】已知：223(3)n x x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．⑴求展开式中二项式系数最大的项；⑵求展开式中系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】令1x =，则展开式中各项系数和为2(13)2n n +=，又展开式中二项式系数和为2n ，∴222992n n -=，5n =．⑴ ∵5n =，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴223226335C ()(3)90T x x x ==，22232233345C ()(3)270T x x x ==， ⑵ 设展开式中第1r +项系数最大，则21045233155C ()(3)3C r rrr rr r T x x x+-+==，∴115511553C 3C 79223C 3C r r r r r r r r r --++⎧⎪⇒⎨⎪⎩≥≤≤≥，∴4r =，即展开式中第5项系数最大，2264243355C ()(3)405T x x x ==．【例58】20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项？【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】通项公式为20120C 2(3)rr r r T x -+=⋅⋅．若第1r +项最大，设第1r +项的系数为1r t +，则11211r r r rt tt t +++≥，≥．将通项公式系数代入化简得：2(1)3(21)113(20)2r r r r+--≥，≥．解出586355r ≤≤．∴12r =因此系数最大的项是第13项．【答案】13；【例59】关于二项式2005(1)x -有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数和是1：②该二项展开式中第六项为619992005C x； ③该二项展开式中系数最大的项是第1003项与第1004项； ④当2006x =时，2005(1)x -除以2006的余数是2005．其中正确命题的序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】填空【关键字】无【解析】二项式2005(1)x -所有项的系数和为0，其常数项为1-，非常数项的系数和是1，得①正确；二项展开式的第六项为520002005C x，即得②错误；二项展开式中系数绝对值最大的项为第1003项（系数为10022005C ）与第1004项（系数为10032005C -），得系数最大的项是第1003项，即③错误；当2006x =时，2005(1)x -除以2006的余数是20052006(1)2005+-=，即④正确．故应填①④．【答案】①④；【例60】在2nx ⎛ ⎝的展开式，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为．（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】填空【关键字】无【解析】7；根据第5项的二项式系数最大可求出n ．常数项为7。

《二项式系数的性质及应用》示范公开课教学课件【高中数学苏教版】

你能证明二项式系数性质的增减性么？
解：当时，要证明，只要证，即要证，即要证，而是已知条件，故结论得证．同理，当时，也成立．
因为．令，则有．这表明展开式各项的二项式系数的和等于．
的二项展开式中，如果令，你能得到哪些等式？
令，，则有．因此，．因为，所以，．
已知的展开式所有的二项式系数之和为．（1）求展开式中含的项；（2）求展开式中二项式系数最大的项．
第七章计数原理
二项式系数的性质及应用
1.了解二项式系数的4个性质；2.在运用二项式系数的性质解决问题的过程中提升逻辑推理和数学运算素养．
二项式系数的对称性、单调性；合理赋值，巧妙求解．
综合运用展开式、通项、二项式系数的性质解题．
被誉为“世界七大奇迹”之一的古埃及的金字塔，以其宏伟的气势、严密的结构、精美绝伦的整体外观让世界叹服．而数学上也有“金字塔”，这就是二项式的展开式在时的二项式系数而垒成的金字塔，称为杨辉三角，它是我国南宋数学家杨辉首先发现的，比欧洲的帕斯卡整整早发现了500年左右．
解：(3) 奇数项的二项式系数和为，偶数项的二项式系数和为．(4) 令，得， ①令，(或，)得， ②①＋②得，所以奇数项的系数和为；①－②得，所以偶数项的系数和为.(5) 的奇次项系数和为，的偶次项系数和为.
用二项式定理证明：能被整除．
证明：．因为上式的每一项都能被整除，所以能被整除．
已知，求满足下列条件的值．（1）求；（2）求所有项的系数和；（3）求所有奇数项的系数和；（4）求所有偶数项的系数和．
解：令，则展开式中各项系数和为，又展开式中二项式系数和为，所以，所以．(1) 因为，展开式共项，二项式系数最大的项为第三、四两项，所以，． (2) 设展开式中第项系数最大，则，所以，解得：，所以，即展开式中第项系数最大，．

二项展开式的任意项及其系数问题速解方法

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ｑｆ
９的系数为・ｒ・（一号）＝一２１．
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萎）＝旺１
墨二一， ’
例２（＋１）展开式中的系数为 — —… …一．
卜（一）
或指定项的系数．？
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《数学之友》
２０１７年第８期
依题意有：Ｃ３・】・。５＝７．．・．。３＝１
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１
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中第一个数为组合的上标，第三个数为组合的＿卜标，然后乘以二项式中两个单项式的系数，并把比值中对应的数值当做系数的指数即可．
或指
主要考查了二项展开式的指定项
一（３ａ／－－／的叫展垤开丌式中ｔＪ的州系数烈，为刀．Ｌ８ ‘ １ｌｓ．。。 “ ，
・．．
基金项目：广两省白色『教育科学“卜二五” 规划课题高考数学解题方法与技巧》立项号：６２０１３１１２５—１０．
例３（一去）展开式中的系数为
考查方向：本题主要号了二项展或指定项的系数．的指定项
解题思路：方法一（常规法）：先将通项写出来，求出未知数ｒ，冉米求第５项常数项的系数；方法二
（速解法）：在ｒ的求法中，须确保－－项式中两个单项
易错点：这种运算题日・股ｔＬ较容易被

高考高中数学第82炼求二项式的展开项

第82炼求二项式展开后的某项一、基础知识： 1、二项式()()na b n N *+∈展开式()011222nn n n r n r rn nn n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++，从恒等式中我们可以发现这样几个特点（1）()na b +完全展开后的项数为()1n +（2）展开式按照a 的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，,a b 的指数呈此消彼长的特点。

指数和为n（3）在二项式展开式中由于按a 的指数进行降幂排列，所以规定“+”左边的项视为a ，右边的项为b ，比如：()1n x +与()1nx +虽然恒等，但是展开式却不同，前者按x 的指数降幂排列，后者按1的指数降幂排列。

如果是()n a b -，则视为()na b +-⎡⎤⎣⎦进行展开（4）二项展开式的通项公式1r n r rr n T C a b -+= （注意是第1r +项）2、二项式系数：项前面的01,,,n n n n C C C 称为二项式系数，二项式系数的和为2n二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项。

对于()na b +可看作是n 个()a b +相乘，对于n rr ab -意味着在这n 个()a b +中，有()n r -个式子出a ，剩下r 个式子出b ，那么这种出法一共有rn C 种。

所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题。

而二项式系数便是这个组合问题的结果。

3、系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数注：（1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数。

二项式系数是展开式通项公式中的r n C ，对于确定的一个二项式，二项式系数只由r 决定。

而系数是指展开并化简后最后项前面的因数，其构成一方面是二项式系数，同时还有项本身的系数。

二项式定理.版块二.二项展开式2求展开式中的特定项.教师版普通高中数学复习讲义Word版

1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项011222...n n n n nn n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nT C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()na b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r rr n T C a b -+=是不同的，在这知识内容求展开式中的特定项里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr r n nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,nn n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ．当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅， ()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．， ()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1knn n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1nn C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n nC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项．这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项展开式2求展开式中的特定项（常数项，有理项，系数最大项等．）常数项【例1】在()2043x +展开式中，系数为有理数的项共有项．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星典例分析【题型】填空【关键字】2010年，湖北高考【解析】略【答案】6；【例2】 100的展开式中共有_____项是有理项．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】展开式的第r 项为50100321100100C C23r r r rrr r T --+==⋅⋅，要使第r 项为有理项，需要r 为2与3的倍数，从而6r k =，k ∈Z ，又0100r ≤≤，故01216k =，，，，，共有17项．【答案】17；【例3】 610(1(1++展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2008年，江西高考【解析】两个二项式的通项公式分别为3416110C (06)C (010)i j ij i j T x i S x j -++==≤≤，≤≤， 3411610C C (06010)i j i j i j T S x x i j -++⋅=≤≤，≤≤，当034i j-=即43i j =时，有3种情况：0i j ==；34i j ==，；68i j ==，．因此常数项为34686106101C C C C 4246++=．【答案】4246；【例4】 ()6211x x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_________．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2010年，辽宁高考【解析】略【答案】5-【例5】二项式42x +x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_____________，展开式中各项系数和为．（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2010年，石景山一模【解析】通项公式4421442C 2C rrrr r r r T xxx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，2r =时，可得常数项2242C 24=；令1x =即可得各项系数和为4381=．【答案】24,81；【例6】若12a x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为220-，则实数a =___________．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2010年，崇文1模【解析】由二项式定理4124311212CC rrr r r r r a T a x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭．令44033r r -=⇒=．于是有3312C 2201a a =-⇒=-．【答案】1-；【例7】在二项式52a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是10-，则实数a 的值为．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2010年，海淀一模【解析】由二项式定理，()()5210355C C rrr rr rr a T xa xx --⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭．当1031r -=时，3r =，于是x 的系数为()3335C 10a a -=-，从而1a =．【答案】1；【例8】在621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是______．（结果用数值表示）【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2010年，西城2模【解析】容易知道26C 15=为所求．【答案】15；【例9】如果1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，第四项与第六项的系数相等，则n = ，展开式中的常数项的值等于．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2010年，朝阳2模【解析】由题意有35C C 8n n n =⇒=；展开式的常数项的值为48C 70=．【答案】8，70；【例10】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2007年，全国高考【解析】281(12)()x x x+-的展开式中常数项为4338812(1)42C C ⋅+⋅⋅-=-．【答案】42-；【例11】若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2007年，重庆高考【解析】由题意，2646n n =⇒=．于是通项662166r r r r r r T C x x C x ---+=⋅=当620r -=时，3r =．常数项为34620T C ==．【答案】20；【例12】若3(2n x的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】若3(2n x的展开式中含有常数项，31(2)rn r r r n T C x -+=⋅为常数项，则7302rn -=，即67n r =，所以n 被7整除，当76n r ==，时成立，最小的正整数n 等于7．【答案】7；【例13】在2)n x+的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2006年，江西高考【解析】通项公式为3212C =2C n rr n rr r r r nn x x--+T ＝()，由已知条件有30n r -=时，2C 60r r n =．容易验证当3n =时，不满足条件；6n =时满足条件．【答案】6；【例14】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n = ．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2007年，全国高考【解析】21()n x x -的展开式中，通项公式22311C ()()(1)C r n r r r r n rr n n T x xx --+=-=-，常数项为15，则：230(1)C 15r r n n r -=-=，．所以n 可以被3整除．容易验证当3n =时，不满足条件；当6n =时，4r =，常数项446(1)C 15-=，故6n =．【答案】6；【例15】已知231(1)()nx x x x+++的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤，则n =______．【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】填空【关键字】2008年，辽宁高考【解析】31()n x x +的通项公式为4131C ()C r n r r r n rr n n T x x x--+==．如果题目中的多项式展开后没有常数项，则：40120n r r n -≠--，，，≤≤．所以n 被4除只能余1．当28n ≤≤时，5n =．【答案】5；【例16】 12(x -展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2008年，山东高考【解析】用通项公式1212311212C ((1)C r r r r rr r r T x xx---+==-，当1203rr --=时，9r =，常数项为912C 220-=-．【答案】220-；【例17】已知2(n x的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2006年，山东高考【解析】第三项的系数为2C n -，第五项的系数为4C n ，由第三项与第五项的系数之比为314-，可解得10n =，则通项210110()(rrr r T C x -+=＝405210()r rr i C x--，当4050r -=，解得8r =，故所求的常数项为8810()C 45i -=．【答案】45；【例18】已知10()n n ∈N ≤，若nxx )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【关键字】无【解析】通项335121()()(1)C C rn r r r r n rr n n T x xx --+=-=-，存在常数项，则350n r -=， n 能被5整除，所以n 只有两种选择．选B ．【答案】B ；【例19】 610(1(1++展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2008年，江西高考【解析】两个二项式的通项公式分别为3416110C (06)C (010)i j ij i j T x i S x j -++==≤≤，≤≤， 3411610C C (06010)i j ij i j T S x x i j -++⋅=≤≤，≤≤，当034i j-=即43i j =时，有3种情况：0i j ==；34i j ==，；68i j ==，．因此常数项为34686106101C C C C 4246++=．【答案】4246；【例20】 51(2x x+的展开式中整理后的常数项为（用数字作答）．【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】填空【关键字】2005年，湖北高考【解析】注意到551(2x x +==所以要求10(x +的5x 的系数，10(x 的通项公式为：101011010C C r r r rr r r T x x --+==当5r =时，可求得10(x 的5x =．当然也可以直接将原多项式变为10，然后用通项公式求常数项．；【例21】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2007年，全国高考【解析】281(12)()x x x+-的展开式中常数项为4338812(1)42C C ⋅+⋅⋅-=-．【答案】42-；【例22】已知312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则n 的值为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【关键字】无【解析】略；【答案】B ；【例23】在2)n x+的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2006年，江西高考【解析】通项公式为3212C =2C n rr n rr r r r nn x x--+T ＝()，由已知条件有30n r -=时，2C 60r r n =．容易验证当3n =时，不满足条件；6n =时满足条件．【答案】6；【例24】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n = ．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2007年，全国高考【解析】21()n x x -的展开式中，通项公式22311C ()()(1)C r n r r r r n rr n n T x xx--+=-=-，常数项为15，则：230(1)C 15r r n n r -=-=，．所以n 可以被3整除．容易验证当3n =时，不满足条件；当6n =时，4r =，常数项446(1)C 15-=，故6n =．【答案】6；【例25】 12(x -展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2008年，山东高考【解析】用通项公式1212311212C ((1)C r r rr rr r r T xxx---+==-，当1203rr --=时，9r =，常数项为912C 220-=-．【答案】220-；【例26】已知2(n x的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2006年，山东高考【解析】第三项的系数为2C n -，第五项的系数为4C n ，由第三项与第五项的系数之比为314-，可解得10n =，则通项210110()(rrr r T C x -+==405210()r rr i C x--，当4050r -=，解得8r =，故所求的常数项为8810()C 45i -= 【答案】45；【例27】已知10()n n ∈N ≤，若nxx )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【关键字】无【解析】通项335121()()(1)C C rn r r r r n rr n n T x x x--+=-=-，存在常数项，则350n r -=，n 能被5整除，所以n 只有两种选择．选B ．【答案】B ；【例28】 12x ⎛- ⎝展开式中的常数项为（）A ．1320-B ．1320C ．220-D ．220【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【关键字】2008年，山东高考【解析】41212311212C C (1)rr r r r r r T xx--+⎛==- ⎝， 412093r r -=⇒=，9912121110C (1)22032⨯⨯-=-=-⨯．【答案】C ；【例29】求612x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】212xx ++= 12612xx ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．由12展开式的通项公式12611212rr r rr T x --+==C C ，可得展开式的常数项为612924=C ．【例30】 6122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2009年，四川高考【解析】通项公式662621661C (2)(1)C 22rr rr r r rr T x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令620r -=，得3r =，故常数项为336(1)C 20-=-．【答案】-20【例31】在2nx ⎫+⎪⎭的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于（）Ａ．3 Ｂ．6 Ｃ．9 Ｄ．12【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【关键字】无【解析】通项公式3212C 2C rn r r n rr r r nn T x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令3023n r nr -=⇒=，且n 为3的倍数．常数项为2332C 60215n n n==⨯，从而6n ≤，故3n =或6，验证可知6n =．【答案】B ；【例32】 1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n 的值是．【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】填空【关键字】2007年，四川高考【解析】8n =；44448411C C n n nn T xx x --+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭为常数项，故80n -=．【答案】8；【例33】若nx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+31的展开式中存在常数项，则n 的值可以是（） A ．10 B ．11 C ．12 D ．14【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【关键字】2009年，东城区一模【解析】通项公式3561C C rn rr n r rr n n T x --+==，由题设知存在r n ≤，使得350n r -=，即35n r =，因此n 应是5的倍数，只有A 选项符合要求，验证可知满足要求．【答案】A ；【例34】在261(2)x x-的展开式中常数项是，中间项是________．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】略【答案】360160x -，．35460160T T x ==-，．【例35】已知231(1)()n x x x x +++的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤，则n =______．【考点】求展开式中的特定项【题型】填空【关键字】2008年，辽宁高考【解析】31()n x x +的通项公式为4131C ()C r n r r r n rr n n T x x x--+==．如果题目中的多项式展开后没有常数项，则：40120n r r n -≠--，，，≤≤．所以n 被4除只能余1．当28n ≤≤时，5n =．【答案】5；【例36】若3(2n x的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于．【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】填空【关键字】无【解析】若3(2n x的展开式中含有常数项，31(2)rn r r r n T C x -+=⋅为常数项，则7302rn -=，即67n r =，所以n 被7整除，当76n r ==，时成立，最小的正整数n 等于7．【答案】7；【例37】已知2nx⎛- ⎝的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是（）A ．1-B ．1C ．45-D ．45【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【解析】通项公式52221C ()(1)C rn r r n rr r r nn T x x --+⎛==- ⎝，由题设2244(1)C 310(1)C 14n nn -=⇒=-．令52082n r r -=⇒=，故常数项为8810(1)C 45-=．【答案】D ；【例38】若21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的二项式系数和为512，则n 等于________；该展开式中的常数项为_________．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2009年朝阳区一模【解析】由题设25129nn =⇒=，通项公式291831991C ()C rrrr rr T x xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令1830r -=，得6r =，故常数项为69C 84=．【答案】9；84；【例39】若921ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为84，则a =_____，其展开式中二项式系数之和为_________．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2009年，西城区二模【解析】通项公式2991831991C ()(1)C rrrr r r rr T ax a xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令1830r -=，得6r =，常数项6639(1)C 841a a -=⇒=，展开式中二项式系数之和为92512=．【答案】1512，；【例40】若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（）A ．10B ．20C ．30D ．120【考点】求展开式中的特定项【难度】2星【题型】选择【关键字】无【解析】略【答案】B ；有理项【例41】求二项式15的展开式中：⑴常数项；⑵有几个有理项（只需求出个数即可）； ⑶有几个整式项（只需求出个数即可）．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】展开式的通项为：30515611515(1)C (1)2C rrrr rr r r r T x--+=-=-． ⑴设1r T +项为常数项，则30506r -=，得6r =，即常数项为667152C T =；⑵设1r T +项为有理项，则3055566r r -=-为整数，∴r 为6的倍数，又∵015r ≤≤，∴r 可取0，6，12三个数，故共有3个有理项．⑶556r -为非负整数，得0r =或6，∴有两个整式项．【例42】100的展开式中共有_______项是有理项．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】展开式的第r 项为50100321100100C C23r r rrrr r T --+==⋅⋅，要使第r 项为有理项，需要r 为2与3的倍数，从而6r k =，k ∈Z ，又0100r ≤≤，故01216k =，，，，，共有17项．【答案】17；【例43】二项式15的展开式中：⑴求常数项；⑵有几个有理项； ⑶有几个整式项．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】展开式的通项为：30515611515(1)C (1)2C r rr rr r rr r T x--+=-=-．⑴1r T +项为常数项，则30506r -=，得6r =，即常数项为667152C T =； ⑵设1r T +项为有理项，则3055566r r -=-为整数，∴r 为6的倍数，又∵015r ≤≤，∴r 可取0612，，三个数．⑶556r -为非负整数，得0r =或6，∴有两个整式项．【例44】已知在n的展开式中，前三项的系数成等差数列①求n ；②求展开式中的有理项．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】①通项公式2341C C 2rn rr r n rn r nr T x--+==，由题设2102C C C 2822nn nn +=⨯⇒=（1n =舍去）．②34841C 2r rr r T x -+=，1r T +为有理项的充要条件为344r -∈Z ，所以r 是4的倍数，048r =，，．因此所有有理项为415923518256T x T x T x ===，，．【例45】二项展开式15中，有理项的项数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【关键字】无【解析】45515611515C Cr rrr rrT x--+=⋅=⋅（r = 0，1，2，…，14 ），当3915r=，，时，为有理项，选A．【答案】A；【例46】在(1132的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为p，则1 0px dx=⎰A．1 B．67C．76D．1113【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】选择【关键字】2009届高考数学二轮冲刺专题测试【解析】B；11111111323211111C3232Crr r rr r r rrT x x x--+-+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅⋅⎪⎪⎝⎭⎝⎭于是r可取3，9，则21126P==，1711660066|77x dx x⎰==【答案】B；【例47】12的展开式中，含x的正整数次幂的项共有（）A．4项B．3项C．2项D．1项【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【关键字】无【解析】略【答案】B ；【例48】若(51a +=+a ，b 为有理数），则a b +=（） A ．45B ．55C ．70D ．80【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【关键字】2009年，北京高考【解析】(523451141+=++++=+【答案】C ；系数最大的项【例49】已知(n x +的展开式中前三项的系数成等差数列．⑴求n 的值；⑵求展开式中系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】⑴由题设，得02111C C 2C 42n n n +=⨯，即2980n n -+=，解得8n =或1n =（舍去）． ⑵设第1r +项的系数最大，则1881188111C C 2211C C 22rr r r r r r r ++--⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≥，即1182(1)1129r r r r⎧⎪-+⎪⎨⎪⎪-⎩≥≥解得2r =或3r =．所以系数最大的项为7523477T x T x ==，．【例50】20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项？【考点】求展开式中的特定项【难度】2星【题型】解答【关键字】无【解析】通项公式为20120C 2(3)rr r r T x -+=⋅⋅．若第1r +项最大，设第1r +项的系数为1r t +，则11211r r r rt tt t +++≥，≥．将通项公式系数代入化简得：2(1)3(21)113(20)2r r r r+--≥，≥．解出586355r ≤≤．∴12r =因此系数最大的项是第13项．【答案】13；【例51】已知(13)n x +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】由已知有21C C C 121n n n n n n --++=，即22400n n +-=，解得15n =或16n =-（舍去）设第第1r +项的系数最大，则111515111515C 3C 3C 3C 3r r r r r r r r ++--⎧⋅⋅⎪⎨⋅⋅⎪⎩≥≥，即133115116r r r r -+-≥，≥ 解得1112r =，所以系数最大的项为1111111215C 3T x =⋅和1212121315C 3T x =⋅．【例52】在132nx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是____．A ．7-B ．7C ．28-D ．28【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【关键字】2009届高考数学二轮冲刺专题测试【解析】于是8n =⨯，展开式的常数项为6216378C 72x T x -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】B ；【例53】已知lg 8(2)x x x +的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x ．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】由题设，44lg 48C (2)()1120x x x =，即44lg 1x x +=，0x >．故44lg 0x +=或1x =，解得x 的值为1或110．【答案】x 的值为1或110．【例54】求10的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】展开式的通项公式为：3056110C (1)2r rr rr T x--+=-⋅⋅，系数的绝对值为10C 2rr -⋅，记为1r t +．用前后两项系数的绝对值作商得：1(1)12101011010C 2C 10!!(10)!10C 22C (1)!(9)!210!2(1)r r r r r r rr t r r r t r r r +-+++-+⋅--===⋅=⋅+⋅-⋅+．令1012(1)r r -+≥得：83r ≤，即012r =，，时，上述不等式成立．所以，系数的绝对值从第1项到第4项增加，以后逐项减小．系数绝对值最大的项为第4项，5533322410C (1)215T x x -=-=-．从系数绝对值的变化情况及系数的正负交替，只要比较第3项与第5项的系数，记它们的系数分别为3t 与5t ，224431051045210105C 2C 24168t t --=⋅==⋅==，．所以，系数最大的项为第5项，5351058T x =．【例55】已知n展开式中的倒数第三项的系数为45，求： ⑴含3x 的项； ⑵系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】⑴ 由题设知2C 45n n-=，解得10n =． 21113010341211010C ()()C r rrrr r T x x x---+==，令11303612r r -=⇒=，因此含3x 的项为633710C 210T x x ==． ⑵ 系数最大的项为中间项，即55302551212610C 252T xx -==．【例56】设m n +∈N ，，1m n ，≥，()(1)(1)m n f x x x =+++的展开式中，x 的系数为19．⑴求()f x 展开式中2x 的系数的最大、最小值；⑵对于使()f x 中2x 的系数取最小值时的m 、n 的值，求7x 的系数．【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】11C C 19m n +=，即19m n +=．∴19m n =-．⑴设2x 的系数为222221919C C 1917117124mnT n n n ⎛⎫=+=-+=-+- ⎪⎝⎭．∵n +∈N ，1n ≥，∴当1n =或18n =时，max 163T =；当9n =或10时，min 81T =． ⑵对于使()f x 中2x 的系数取最小值时的m n ，的值，即98()(1)(1)f x x x =+++从而7x 的系数为77109C C 156+=．【例57】已知：223(3)n x x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．⑴求展开式中二项式系数最大的项；⑵求展开式中系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】令1x =，则展开式中各项系数和为2(13)2n n +=，又展开式中二项式系数和为2n ，∴222992n n -=，5n =．⑴ ∵5n =，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴223226335C ()(3)90T x x x ==，22232233345C ()(3)270T x x x ==， ⑵ 设展开式中第1r +项系数最大，则21045233155C ()(3)3C r rrr rr r T x x x+-+==，∴115511553C 3C 79223C 3C r r r r r r r r r --++⎧⎪⇒⎨⎪⎩≥≤≤≥，∴4r =，即展开式中第5项系数最大，2264243355C ()(3)405T x x x ==．【例58】20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项？【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】通项公式为20120C 2(3)rr r r T x -+=⋅⋅．若第1r +项最大，设第1r +项的系数为1r t +，则11211r r r rt tt t +++≥，≥．将通项公式系数代入化简得：2(1)3(21)113(20)2r r r r+--≥，≥．解出586355r ≤≤．∴12r =因此系数最大的项是第13项．【答案】13；【例59】关于二项式2005(1)x -有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数和是1：②该二项展开式中第六项为619992005C x； ③该二项展开式中系数最大的项是第1003项与第1004项； ④当2006x =时，2005(1)x -除以2006的余数是2005．其中正确命题的序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】填空【关键字】无【解析】二项式2005(1)x -所有项的系数和为0，其常数项为1-，非常数项的系数和是1，得①正确；二项展开式的第六项为520002005C x，即得②错误；二项展开式中系数绝对值最大的项为第1003项（系数为10022005C ）与第1004项（系数为10032005C -），得系数最大的项是第1003项，即③错误；当2006x =时，2005(1)x -除以2006的余数是20052006(1)2005+-=，即④正确．故应填①④．【答案】①④；【例60】在2nx ⎛ ⎝的展开式，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为．（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】填空【关键字】无【解析】7；根据第5项的二项式系数最大可求出n ．常数项为7。

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