弹塑性断裂力学

（b）裂纹长度修正
压力容器上的表面裂纹或深埋裂纹应换算为等效穿透裂纹 。
非贯穿裂纹： KI= α σ(πa*)1/2 = σ[π(α a*)2]1/2 ，其中α为裂纹形 状因子。 无限大板中心穿透裂纹：KI=σ（πa*）1/2
按等效原则，令非贯穿裂纹的等于无限大板中心穿透裂纹
2
（c）材料加工硬化修正
（1）D-B模型假设：裂纹尖端的塑性区沿裂纹线两边 延伸呈尖劈带状；塑性区的材料为理想塑性状态，整 个裂纹和塑性区周围仍为广大的弹性区所包围；塑性
区与弹性区交界面上作用有均匀分布的屈服应力σs 。
于是，可以认为模型在远场均匀拉应力σ作用下
裂纹长度从2a延长到2c，塑性区尺寸R=c-a，当以带 状塑性区尖端点c为“裂尖”点时，原裂纹（2a）的 端点的张开量就是裂纹尖端张开位移。
在工程结构或压力容器中，一些管道或焊接部件 的高应力集中区及残余应力区中往往发生短裂纹。由 于这些区域内的应力达到甚至超过材料的屈服点，故 使裂纹处于塑性区包围之中，这就是所谓的全面屈服 。
对于全面屈服情况，载荷的微小变化都会引起应
变和COD的很大变化，故在大应变情况下，已不宜用
应力作用断裂分析的依据，而需要寻求裂尖张开位移 δ与应变e、裂纹几何和材料性能之间的关系，即引入 应变这一物理量。
力，将使裂纹向外鼓胀，而在裂纹端部产生附加弯矩 。附加弯矩的附加应力与原工作应力迭加，使有效作 用增大，故按平板公式进行δ计算时，应在工作应力 中引入鼓胀系数M，用Mσ代替σ 。
M系数与裂纹长度2a、容器半径R和壁厚t有关：
M 1 a2
Rt
（16）
其中 β为1.61（圆筒轴向裂纹）；0.32（圆筒径向裂纹）； 1.93（球形容器裂纹）。
：
R
8
KI
s
2
0.39
KI
s
2
（8）
区尺寸将比式较（8R） 与1 IrKwsI in2小 范0.3围18屈 K服sI 下2 ，平可面见应力D-的B模塑型性 的塑性区尺寸稍大一些。
（3）δ的计算公式
经计算可得：
8 s a E
ln
sec
2 s
（9）
由式（9）可见，D-B模型不适用于全面屈服（即 σ= σs ）的情况。有限元计算表明，对小范围屈服或 大范围屈服，当σ/σs ≤0.6时，按式（9）所作的预测是 令人满意的。
3）弹塑性断裂力学的提出 （1）解决如何通过小试样在全面屈服条件下断裂韧度 的测试去确定中、低强度重型构件的平面应变断裂韧 度KIC。
因为用线弹性断裂力学方法测定中、低强度钢的 断，裂而韧且度 还由KIC于，大不锻仅件需不用同大部型位试的件K和IC差大别吨很位大的，试用验大机 试部样位所的测KIC得值的。KIC只是一个平均值，得不出各个具体
由平面应力条件下的位移公式并代入 k 3 / 1推 演得：
V KI E
2r
sin
2
2
1
cos2
2
（2）
2
当以O’点为裂尖时，O点处(即
， r
ry
1 2
KI s
)，
沿y方向的张开位移则为：
2V
r ry
1 2
KI s
2
4
K
2 I
E s
4GI
s
（3）
此即为Irwin提出的小范围屈服下的COD计算公式 。式中σs为材料的屈服极限，GI为裂纹扩展能量释放 率。
可有较小的安全裕度。
5）COD准则的工程应用 COD准则主要用于韧性较好的中、低强度钢，特
别是压力容器和管道。考虑到压力容器壁中的“鼓胀 效应”及容器多为表面裂纹和深埋裂纹，故将平板穿 透裂纹的断裂力学公式用于压力容器和管道时，还需 进行一些修正。
（a） “鼓胀效应” 压力容器曲面上的穿透裂纹，由于器壁受有内压
3）Irwin小范围屈服条件下的COD
在讨论小范围屈服的塑性区修正时，曾引入有效 裂纹长度a a ry 的概念，这意味着为考虑塑性区的影 响假想地把原裂纹O移至O’，OO ry 。这样一来当以 假想的有效裂纹尖端点作为“裂尖”时，原裂纹点O 发生了张开位移，这个位移就是张开位移，简称为
COD，简写为δ 。
裂纹张开位移的定义
2）COD判据
Wells认为；当裂纹张开位移δ达到材料的临界值δC 时，裂纹即发生失稳扩展，这就是弹塑性断裂的COD 准则，表示为：
δ =δC
（1）
件尺δC寸是改材变料的弹材塑料性常断数裂。的韧性指标，是一个不随试
对于COD准则，要解决三个方面的问题：（a） 找出裂纹尖端张开位移δ与裂纹几何尺寸、外加载荷 之间的关系式，即δ的计算公式。（2）实验测定材料 的应裂用纹。张开位移的临界值δC 。（3）COD准则的工程
（2）在大范围屈服条件下，确定出能定量描述裂纹尖 端区域弹塑性应力、应变场强度的参量，以便既能用 理论建立起这些参量与裂纹几何特征、外加载荷之间 的关系，又易于通过实验来测定它们，并最后建立便 于工程应用的断裂准则。
第二节 COD理论
1）COD定义
1961年Wells提出COD理论。COD是英文（Crack Opening Displaement）的缩写，其意是“裂纹张开位 移”。指裂纹体受载后，裂纹尖端垂直于裂纹方向上 产生的张开量，就称主裂纹（尖端）张开位移，通常 用δ表示。
由含中心 穿/ 2透esa裂纹的宽板拉e伸/ es试验，可绘出无量
钢COD即
与标称应变 之间的关系曲线 。
其中es是相应于材料屈服点σs的屈服应变，a是裂纹 尺寸，标称应变e是指一标长下的平均应变，通常两 个标点取在通过裂纹中心而与裂纹垂直的线上。
由图可以看出，实验数据构成一个较宽的分散带 。实际应用时，为偏于安全，曾提出如下经验设计曲 线作为裂纹容限和合理选材的计算依据。
系数稍有差别。
** 适用条件：(1)针对平面应力情况下的无限大平板 含中心穿透裂纹进行讨论的；(2)引入了“弹性”化假 设后，使计算分析比较简单，适用于σ/σs ≤0.6的情况 ；（3）在塑性区内假设材料为理想塑性，实际上一 般金属材料存在加工硬化，硬化材料的塑性区形状可 能不是窄条形的。
4) 全面屈服条件下的COD
R
a
sec
2
s
1
若将 sec 按级数展开，则
2 s
1 2 5 4
sec
2 s
1
2
2 s
24
2 s
L L
2
当 /s 较小时，
sec
2 s
1
1
2
2
s
（6）
代入式（6），得R的近似表达式为：
R
a
2
2 s
2
（7）
考虑到无限大平板有中心穿透裂纹时， a KI，有
屈服考点虑，材对料于的σ加s =工20硬0~化40修0M正P，a的可低用碳流钢变，应一力般σ取f代：替
σf =0.5（ σs + σb）
(18)
式中σb为材料的抗拉强度。
综上所述修正，D-B模型的δ计算公式（10）变为：
8 f a E
*
ln
sec
(M
2
f
)
(19)
6）临界的实验测定 重要裂参纹量张。开它位和移KCICO一D样的，临是界材值料δc韧是性CO好D坏准的则量的度一，个 可以通过试验测定。
服下通过间接方法测出。 由于COD不要求试样满足平面应变的条件，因此
，规定试样的厚度B一般等于被测材料的厚度（即所 谓全厚度），宽度W及裂纹长度a有如下规定:
W=B， a=(0.25~0.35)W W=1.2B， a=(0.35~0.45)W W=2B， a=(0.45~0.55)W
S=4W
(2) δ的表达式
生的
： K
I
2
K
1
I
c
K
I
2
2 s
c
cos1
a c
从而有：
K
C I
K
1
I
K
I
2
c 2 s
c
cos1
a c
（4）
由于c点是塑性区的端点，应无奇性，故其 KIC=0， 于是代入式（4）得
c a / cos agsec
2 s
2 s
（5）
由于塑性区尺寸R=c-a ，将式（5）代入并化简得
第三章 弹塑性断裂力学
第一节 弹塑性断裂力学概述 第二节 COD理论 第三节 J积分理论
第一节 弹塑性断裂力学概述
1）线弹性断裂力学的适用范围 （1）脆性材料，如玻璃、陶瓷、岩石，及高强度钢 等材料。 （2）小范围屈服的金属材料，可用小范围屈服的塑 性修正断裂准则来计算。
2）实际中的问题 （1）大范围屈服：对中、低强度构件，其塑性区尺 寸超过了裂纹尺寸。（低温、厚截面和高应变速率 下除外） （2）全面屈服：焊接件等由于局部应力和残余应力 的作用，使局部地区的应力超过屈服应力。
故有
8 s E
1 2
2 s
2
a E s
（10）
因为 ，所以有： KI
a,GI
KI2 E
2 a
K
2 I
GI
E s E s s
（11）
式（11）表示在小范围屈服条件下裂尖张开位移δ
与KI、GI之间的关系。该结果与Irwin有效裂纹模型所 得的结果式（3）比较，可见它们的形式相同，只是
但是由于裂纹尖端的钝化，很难确切地指出原裂 纹尖端的位置，因而亦难确定裂纹尖端的张开位移。
目前，有人用2AB作为理解纹张开位移（从变形 后的裂纹顶端测量）；有人用2CD作为裂纹张开位移 （在D点测量，D为线弹性的直线与非线性的曲线的 交点）；有人用2EF作为裂纹张开位移（从裂纹尖端 作450线与裂纹面相交处F的分离的大小）。