四川省成都五校联盟2011届高三高考模拟试题(二)(数学文)扫描版
2011届高三第二次联考数学试题(文科)参考答案
2011届高三第二次联考数学试题(文科)参考答案一、1．B 2．C 3．C 4．D 5．A 6．C 7．B 8．C 9．C 10．A 二、11．π12 12．1120 1314．45[,]33ππ15．①[3,)+∞；② 16．解：（Ⅰ）假设a ∥b ，则2cos (cos sin )sin (cos sin )0x x x x x x +--=，……… 2分 ∴221cos211cos22cos sin cos sin 0,2sin20222x xx x x x x +-++=⋅++=， 即sin 2cos 23x x +=-2)34x π+=-，…………………………………… 4分与)|4x π+∴假设不成立，故向量a 与向量b 不可能平行．……………………………………… 6分 （Ⅱ）∵a ⋅b (cos sin )(cos sin )sin 2cos x x x x x x =+⋅-+⋅22cos sin 2sin cos x x x x =-+cos 2sin 222)2)4x x x x x π=+==+，……… 8分∴sin(2)42x π+=． ]2,0[π∈x ，∴52[,]444x πππ+∈，……………………………………………………10分442ππ=+∴x 或4342ππ=+x ，0=∴x 或4π=x ．………………………………12分17．解：（Ⅰ）305350?，205250?，∴男生被抽取人数为3人，女生被抽取人数为2人． ………………………………4分（Ⅱ）2225C 91C 10-=．…………………………………………………………………………8分 （Ⅲ）333544124128C ()555625´鬃==．………………………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）取AD 中点H ，连EH ，则EH ⊥平面ABCD ．过H 作HF ⊥AC 于F ，连FE ．∵EF 在平面ABCD 内的射影为HF ， ∵HF ⊥AC ，∴由三垂线定理得EF ⊥AC ，∴EFH Ð为二面角E AC B --的平面角的补角．……3分∵EH a =，14HF BD ==，∴tan EHEFH HF?=== ∴二面角E AC B --的正切值为-．……………………………………………6分 （Ⅱ）直线A 1C 1到平面ACE 的距离,即A 1到平面ACE 的距离，设为d ．…………8分∵11A EAC C A AEV V --=，∴11133EAC A AE S dS CD D D ??．C 1D 1 B 1A 1D CE ABHF∵AE==，32CE a=，AC=，∴222592cosa a aEAC+-?∴sin EAC?，∴21324EACS aD=，121224A AEa aS aD=鬃=，∴22344aa d a??，∴3ad=．∴直线A1C1到平面EAC的距离为3a．………………………………………………12分19．解：（Ⅰ）2()34f x tx x¢=-，令2()34g t x t x=-，则有(1)0,(1)0.gg≥≥ì-ïïíïïî即22340,340.x xx x≥≥ìï--ïíï-ïî……………………………………2分∴40,340.3xx x≤≤≤或≥ìïï-ïïïíïïïïïî∴43x≤≤-．∴x的取值范围为4[,0]3-．……………………………………………………5分（Ⅱ）32()21f x x x=-+，2()34(34)f x x x x x¢=-=-,令()0f x¢>得0x<或43x>．令()0f x¢<得43x<<，∴()f x在(,0)-?和4(,)3+?为递增函数，在4(0,)3为递减函数．又因为(0)1f=，45()327f=-，令()1f x=可得0x=或2x=．……………8分①当30a+<，即3a<-时，()f x在[,3]a a+单调递增，∴32()(3)71510h a f a a a a=+=+++．②当032a≤≤+，即31a≤≤--时，()(0)1h a f==．③当32a+>，即01a>>-时，32()(3)71510h a f a a a a=+=+++，∴321(31)()71510(31)ah aa a a a a≤≤或ìï--ï=íï+++<->-ïî……………………………12分20．解：（Ⅰ）由已知得11n na a+=+，∴{}na为首项为1，公差为1的等差数列，∴na n=．………………………………………………………………………………3分∵13n n n b b +-=，∴21321()()()0n n n b b b b b b b -=-+-++-+121333n -=+++113(13)313(31)313222n n n---==-=?-， ∴n a n =，13322n n b =?．……………………………………………………………6分 （Ⅱ）132(3)cos 22n n C n n π=⋅⋅-(33),(33),nnn n n n ⎧--⎪=⎨-⎪⎩为奇数,为偶数.……………………8分∴当n 为偶数时123(33)2(33)3(33)(33)n n S n =--+⋅--⋅-++-12345(3233343533)(32333433)n n n =-+⋅-⋅+⋅-⋅++⋅+-⋅+⋅-⋅+- ． 设23323333n n T n =-+??+?，则23413323333n n T n +-=-??-?，∴23414333333n n n T n +=-+-+-++?131()344n n +=-++⋅，∴11[3(41)3]16n n T n +=-++⋅． ∴1113(41)3243[3(41)3]()16216n n n n n S n n +++⋅--=-++⋅+-=．……………………11分当n 为奇数时 11(41)3242116n n n n n n S S c +--+⋅++=+=，∴11(41)32421,16(41)3243,16n n n n n n S n n n ++⎧-+⋅++⎪⎪=⎨+⋅--⎪⎪⎩为奇数.为偶数.……………………………………13分 21. 解: （Ⅰ）依题意,有点C 到定点M 的距离等于到直线l 的距离，所以点C 的轨迹为抛物线，方程为y x 42=．……………………………………………………………………3分（Ⅱ）可得直线AB 的方程是0122=+-y x ，由⎩⎨⎧=+-=,0122,42y x y x 得点A 、B 的坐标分别是(6,9)、(4,4)-．…………………………………………………………………………4分由y x 42=得241x y =， 12y x '=， 所以抛物线y x 42=在点A 处切线的斜率为63x y ='=．设圆C 的方程是222)()(r b y a x =-+-，则222291,63(6)(9)(4)(4).b a a b a b -⎧=-⎪-⎨⎪-+-=++-⎩………………………………………………………6分 解之得 .2125)4()4(,223,23222=-++==-=b a r b a 所以圆C 的方程是2125)223()23(22=-++y x ．……………………………………8分（Ⅲ）设)4,(211x x A ，)4,(222x x B ,由241x y =得x y 21='，所以过点A 的切线的斜率为121x ，切线方程为042211=--x y x x ．令1-=y 得Q 点横坐标为12124x x x -=，同理可得22224x x x -=，所以1211212424x x x x -=-，化简得421-=x x ．…………………………………………………………………………10分又21222144x x xx k AB--==421x x +，所以直线AB 的方程为21121()44x x x y x x +-=-． 令0=x ，得1421-==x x y ，所以1-=t ．……………………………………………12分 )44,24(21121++=x x x ，同理)44,24(22222++=x x x ，所以0)16141)(4)(4(212221=+++=⋅x x x x QB QA ．……………………………14分第21题第三问，1-=t 应为1t =（Ⅲ）设)4,(211x x A ，)4,(222x x B ,由241x y =得x y 21='，所以过点A 的切线的斜率为121x ，切线方程为042211=--x y x x ．令1-=y 得Q 点横坐标为12124x x x -=，同理可得22224x x x -=，所以1211212424x x x x -=-，化简得421-=x x ．…………………………………………………………………………10分又21222144x x xx k AB --==421x x +，所以直线AB 的方程为21121()44x x x y x x +-=-．令0=x ，得1214x x y =-=，所以1t =．……………………………………………12分)44,24(21121++=x x x ，同理)44,24(22222++=x x x ，所以0)16141)(4)(4(212221=+++=⋅x x x x QB QA ．……………………………14分。
成都二诊文科数学及答案
成都市2011级高中毕业班第二次诊断性检测数 学（文史类）本试卷分选择题和非选择题两部分，第I 卷（选择题）第1至2页，第II 卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名，考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦拭干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上做答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，只将答题卡交回。
第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{|03},={|1A x x B x x =<≤<-或2}x >-，则=A B ⋂（A ）(2,3] （B ）(,1)(0,)-∞-⋃+∞ （C ）(1,3]- （D ）(,0)(2,)-∞⋃+∞ 2.设复数i z +=3（i 为虚数单位）在复平面中对应点A ，将OA 绕原点O 逆时针旋转90°得到OB ，则点B 在（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3. 执行如图的程序框图，若输入的x 值为7，则输出的x 的值为 （A ）41 （B ）3log2 （C ）2 （D ）34. 在平面直角坐标系xoy 中，P 为不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≤01021y x y x y 所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为 （A ）2 （B ）31 （C ）21（D ）1 5. 已知βα,是两个不同的平面，则“平面//α平面β”成立的一个充分条件是 （A ）存在一条直线l ，βα//,l l ⊂ （B ）存在一个平面γ，βγαγ⊥⊥, （C ）存在一条直线βα⊥⊥l l l ,, （D ）存在一个平面βγαγγ⊥,//,6. 下列说法正确的是（A ）命题“若21x >，则1x >”的否命题为“若21x >，则1x ≤”（B ）命题“200,1x R x ∃∈>”的否定是“2,1x R x ∀∈>”（C ）命题“若x y =，则cos cos x y =”的逆否命题为假命题 （D ）命题“若x y =，则cos cos x y =”的逆命题为假命题7. 已知实数1,,4m 构成一个等比数列，则圆锥曲线2221x y m+=的离心率为（A（B（C（D ）12或3 8.已知P 是圆()1122=+-y x 上异于坐标原点O 的任意一点，直线OP 的倾斜角为θ，若d OP =，则函数()θf d =的大致图像是9. 已知过定点()0,2的直线与抛物线y x =2相交于()()2211,,,y x B y x A 两点.若21,x x 是方程0cos sin 2=-+ααx x 的两个不相等实数根，则αtan 的值是（A ）21 （B ）21- （C ）2 （D ）-2 10. 已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，121,02()1(2),22x x f x f x x -⎧-<≤⎪⎨->⎪⎩，则关于x 的方程26[()]()10f x f x --=的实数根的个数是（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2011年高考四川卷文科数学试题及答案
2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（四川卷）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)k kn kn n P k C P P -=-第一部分（选择题 共60分）1．选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上． 2．本大题共12小题，每小题5分，共60分．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．1．若全集{1,2,3,4,5}M =，{2,4}N =，则M N =ð（A ）∅ （B ）{1,3,5} （C ）{2,4}（D）{1,2,3,4,5}答案：B解析：∵{1,2,3,4,5}M =，则M N =ð{1,3,5}，选B ．2．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5) 2 [15.5，19.5) 4 [19.5，23.5) 9 [23.5，27.5) 18 [27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5，39.5) 7 [39.5，43.5) 3 根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占（A ）211 （B ） 13（C ）12 （D ）23答案：B解析：大于或等于31.5的数据共有12+7+3=22个，约占221663=，选B ．3．圆22460x y x y +-+=的圆心坐标是（A ）(2，3) （B ）(－2，3) （C ）(－2，－3) （D ）(2，－3)答案：D解析：圆方程化为22(2)(3)13x y -++=，圆心(2，－3)，选D ．4．函数1()12x y =+的图象关于直线y =x 对称的图象像大致是答案：A解析：1()12x y =+图象过点(0,2)，且单调递减，故它关于直线y =x 对称的图象过点(2,0)且单调递减，选A ． 5．“x ＝3”是“x 2＝9”的（A ）充分而不必要的条件 （B ）必要而不充分的条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要的条件答案：A解析：若x ＝3，则x 2＝9，反之，若x 2＝9，则3x =±，选A ． 6．1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（A ）12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒（B ）12l l ⊥，23//l l ⇒13l l ⊥（C ）233////l l l ⇒1l ，2l ，3l 共面（D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面答案：B解析：由12l l ⊥，23//l l ，根据异面直线所成角知1l 与3l 所成角为90°，选B ．7．如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=（A ）0 （B ）BE（C ）AD （D ）CF答案：D解析：BA CD EF CD DE EF CF ++=++=，选D ．8．在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（A ）(0,]6π（B ）[,)6ππ（C ）(0,]3π（D ）[,)3ππ答案：C解析：由222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-得222a b c bc ≤+-，即222122b c a bc +-≥，∴1cos 2A ≥，∵0A π<<，故03A π<≤，选C ．9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1 =3S n （n ≥1），则a 6=（A ）3 × 44（B ）3 × 44+1（C ）44（D ）44+1答案：A解析：由a n +1 =3S n ，得a n =3S n －1（n ≥ 2），相减得a n +1－a n =3(S n －S n －1)= 3a n ，则a n +1=4a n （n ≥ 2），a 1=1，a 2=3，则a 6= a 2·44=3×44，选A ．10．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为 （A ）4650元 （B ）4700元 （C ）4900元 （D ）5000元 答案：C解析：设派用甲型卡车x （辆），乙型卡车y （辆），获得的利润为u （元），450350u x y =+，由题意，x 、y 满足关系式12,219,10672,08,07,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≥⎨⎪≤≤⎪≤≤⎪⎩作出相应的平面区域，45035050(97)u x y x y =+=+在由12,219x y x y +≤⎧⎨+≤⎩确定的交点(7,5)处取得最大值4900元，选C ．11．在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为（A ）(2,9)-- （B ）(0,5)- （C ）(2,9)- （D ）(1,6)- 答案：A解析：令抛物线上横坐标为14x =-、22x =的点为(4,114)A a --、(2,21)B a -，则2AB k a =-，由22y x a a '=+=-，故切点为(1,4)a ---，切线方程为(2)60a x y ---=，该直线又和圆相切，则d ==，解得4a =或0a =（舍去），则抛物线为2245(2)9y x x x =+-=+-，定点坐标为(2,9)--，选A ．12．在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b =α，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积等于2的平行四边形的个数为m ，则mn=（A ）215 （B ）15 （C ）415 （D ）13答案：B解析：∵以原点为起点的向量(,)a b =α有(2,1)、(2,3)、(2,5)、(4,1)、(4,3)、(4,5)共6个，可作平行四边形的个数2615n C ==个，结合图形进行计算，其中由(2,1)(4,1)、(2,1)(4,3)、(2,3)(4,5)确定的平行四边形面积为2，共有3个，则31155m n ==，选B ．第二部分（非选择题 共90分）注意事项：1．必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．2．本部分共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．9(1)x +的展开式中3x 的系数是_________．（用数字作答）答案：84解析：∵9(1)x +的展开式中3x 的系数是639984C C ==．14．双曲线2216436x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是4，那么P 到左准线的距离是____． 答案：16 答案：16解析：离心率54e =，设P 到右准线的距离是d ，则454d =，则165d =，则P 到左准线的距离等于2641616105⨯+=．15．如图，半径为4的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_________．答案：32π解析：如图，设球一条半径与圆柱相应的母线夹角为α，圆柱侧面积24sin 24cosS παα=⨯⨯⨯＝32sin 2πα，当4πα=时，S取最大值32π，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为32π． 16．函数()f x 的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函数．例如，函数()f x =2x +1(x ∈R )是单函数．下列命题：①函数2()f x x =（x ∈R ）是单函数；②指数函数()2x f x =（x ∈R ）是单函数；③若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号） 答案：②③④解析：对于①，若12()()f x f x =，则12x x =±，不满足；②是单函数；命题③实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题④满足条件．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题共l2分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14、12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12、14；两人租车时间都不会超过四小时． （Ⅰ）分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率． 本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概念及相关概率计算，考查运用所学知识和方法解决实际问题的能力． 解：（Ⅰ）分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A 、B ，则111()1424P A =--=，111()1244P A =--=．答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14、14．（Ⅱ）记甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元为事件C ，则1111111111113()()()()4244222442444P C =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为3418．（本小题共l2分）已知函数73()sin()cos()44f x x x ππ=++-，x ∈R ．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知4cos()5βα-=，4cos()5βα+=-，02παβ<<≤．求证：2[()]20f β-=．本小题考查三角函数的性质，同角三角函数的关系，两角和的正、余弦公式、诱导公式等基础知识和基本运算能力，函数与方程、化归与转化等数学思想．（Ⅰ）解析：7733()sin cos cos sin cos cos sin sin4444f x x x x x ππππ=+++x x 2sin()4x π=-，∴()f x 的最小正周期2T π=，最小值min ()2f x =-． （Ⅱ）证明：由已知得4cos cos sin sin 5αβαβ+=，4cos cos sin sin 5αβαβ-=-两式相加得2cos cos 0αβ=，∵02παβ<<≤，∴cos 0β=，则2πβ=．∴22[()]24sin 204f πβ-=-=．19．（本小题共l2分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=1，延长A 1C 1至点P ，使C 1P ＝A 1C 1，连接AP 交棱CC 1于D ．（Ⅰ）求证：PB 1∥平面BDA 1； （Ⅱ）求二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值；本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决问题的能力． 解法一： （Ⅰ）连结AB 1与BA 1交于点O ，连结OD ， ∵C 1D ∥平面AA 1，A 1C 1∥AP ，∴AD =PD ，又AO =B 1O ，∴OD ∥PB 1，又OD ⊂面BDA 1，PB 1⊄面BDA 1，∴PB 1∥平面BDA 1． （Ⅱ）过A 作AE ⊥DA 1于点E ，连结BE ．∵BA ⊥CA ，BA ⊥AA 1，且AA 1∩AC =A ， ∴BA ⊥平面AA 1C 1C ．由三垂线定理可知BE ⊥DA 1． ∴∠BEA为二面角A －A 1D－B 的平面角． 在Rt △A 1C 1D 中，1A D =，又1111122AA D S AE ∆=⨯⨯=，∴AE= 在Rt △BAE 中，BE =，∴2cos 3AH AHB BH ∠==．故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23． 解法二：如图，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A 1－B 1C 1A ，则1(0,0,0)A ，1(1,0,0)B ，1(0,1,0)C ，(1,0,1)B ，(0,2,0)P ．（Ⅰ）在△P AA 1中有1112C D AA =，即1(0,1,)2D ．∴1(1,0,1)A B = ，1(0,1,)A D x =，1(1,2,0)B P =- ．设平面BA 1D 的一个法向量为1(,,)a b c =n ，则11110,10.2A B a c A D b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n 令1c =-，则11(1,,1)2=-n ． ∵1111(1)2(1)002B P ⋅=⨯-+⨯+-⨯= n ，∴PB 1∥平面BA 1D ，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面BA 1D 的一个法向量11(1,,1)2=-n ．又2(1,0,0)=n 为平面AA 1D 的一个法向量．∴12121212cos ,3||||312⋅<>===⋅⨯n n n n n n ．故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23． 20．（本小题共12分）已知{}n a 是以a 为首项，q 为公比的等比数列，n S 为它的前n 项和．（Ⅰ）当1S 、3S 、4S 成等差数列时，求q 的值；（Ⅱ）当m S 、n S 、l S 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，m k a +、n k a +、l k a +也成等差数列．本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本运算能力和分析问题、解决问题的能力．解：（Ⅰ）由已知，1n n a aq -=，因此1S a =，23(1)S a q q =++，234(1)S a q q q =+++．当1S 、3S 、4S 成等差数列时，1432S S S +=，可得32aq aq aq =+．化简得210q q --=．解得q =． （Ⅱ）若1q =，则{}n a 的每项n a a =，此时m k a +、n k a +、l k a +显然成等差数列．若1q ≠，由m S 、n S 、l S 成等差数列可得2m l nS S S +=，即(1)(1)2(1)111m l na q a qa q q q q ---+=---． 整理得2m l n q q q +=．因此，11()22k m l n k m k l k n k a a aq q q aq a -+-++++=+==．所以，m k a +、n k a +、l k a +也成等差数列．21．（本小题共l2分）过点C (0，1)的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆与x 轴交于两点(,0)A a 、(,0)A a -，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ．（I ）当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长；（Ⅱ）当点P 异于点B 时，求证：OP OQ ⋅为定值．本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力．解：（Ⅰ）由已知得1,c b a ==2a =，所以椭圆方程为2214x y +=．椭圆的右焦点为，此时直线l 的方程为 1y =+，代入椭圆方程得270x -=，解得120,x x ==，代入直线l 的方程得 1211,7y y ==-，所以1)7D -，故16||7CD =． （Ⅱ）当直线l 与x 轴垂直时与题意不符．设直线l 的方程为11(0)2y kx k k =+≠≠且．代入椭圆方程得22(41)80k x kx ++=．解得12280,41k x x k -==+，代入直线l 的方程得2122141,41k y y k -==+，所以D 点的坐标为222814(,)4141k k k k --++．又直线AC 的方程为12x y +=，又直线BD 的方程为12(2)24ky x k +=+-，联立得4,2 1.x k y k =-⎧⎨=+⎩因此(4,21)Q k k -+，又1(,0)P k-．所以1(,0)(4,21)4OP OQ k k k⋅=--+= ．故OP OQ ⋅为定值． 22．（本小题共l4分）已知函数21()32f x x =+，()h x（Ⅰ）设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值；（Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程33lg[(1)]2lg ()2lg (4)24f x h a x h x --=---；（Ⅲ）设*n ∈N ，证明：1()()[(1)(2)()]6f n h n h h h n -+++≥ ．本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．解：（Ⅰ）223()18()[()]129(0)F x f x x h x x x x =-=-++≥，2()312F x x '∴=-+．令()0F x '∴=，得2x =（2x =-舍去）．当(0,2)x ∈时．()0F x '>；当(2,)x ∈+∞时，()0F x '<，故当[0,2)x ∈时，()F x 为增函数；当[2,)x ∈+∞时，()F x 为减函数． 2x =为()F x 的极大值点，且(2)824925F =-++=．（Ⅱ）方法一：原方程可化为42233log [(1)]log ()log (4)2f x h a x h x --=---，即为4222log (1)log log log x -=，且,14,x a x <⎧⎨<<⎩①当14a <≤时，1x a <<，则14a xx--=，即2640x x a -++=， 364(4)2040a a ∆=-+=->，此时3x ==1x a <<， 此时方程仅有一解3x = ②当4a >时，14x <<，由14a x x x--=-，得2640x x a -++=，364(4)204a a ∆=-+=-，若45a <<，则0∆>，方程有两解3x =若5a =时，则0∆=，方程有一解3x =； 若1a≤或5a>，原方程无解．方法二：原方程可化为422log (1)log (4)log ()x h x h a x -+-=-，即221log (1)log log 2x -+=10,40,0,(1)(4).x x a x x x a x ->⎧⎪->⎪⇔⎨->⎪⎪--=-⎩214,(3) 5.x x a a x ⎧<<⎪⇔<⎨⎪=--+⎩ ①当14a <≤时，原方程有一解3x = ②当45a <<时，原方程有二解3x =± ③当5a =时，原方程有一解3x =；④当1a ≤或5a >时，原方程无解．（Ⅲ）由已知得(1)(2)()]h h h n +++=11()()66f n h n -=．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1()()6nS f n h n =-（*n ∈N ）从而有111a S ==，当2100k ≤≤时，1k k k a S S -=-=又1[(4(46k a k k =+-2216=106=>．即对任意2k ≥时，有k a ，又因为11a =，所以12n a a a +++则(1)(2)()n S h h h n ≥+++ ，故原不等式成立．。
2011成都七中高三上期末数学(文科)高考模拟题
成都七中2011级高考模拟试卷（文科）一．选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．） 1、设全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{1,3,5}S =，{3,6}T =，则()U C S T ⋃等于（ ）A ．∅B ．{2,4,7,8}C ．{1,3,5,6}D ．{2,4,6,8}2.一个总体分为A 、B 、C 三层，其中个体数之比为4:3:3，若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，则应从B 中抽取的个体数为（ ）A 60B 40C 80D 303.在△ABC 中，(2,3)A B = ，(,1)A C k = ，2A π=，则k 的值为( )A. 113-B.113C.32-D.324.已知:p 不等式21x a +≤的解集为φ，:()(0,1)x q f x a a a =>≠是减函数，则p 是q 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要 5.在45(1)(1)x x +++的展开式中，含4x 项的系数为（ ）A4 B 5 C 6 D 7 6.设函数()cos sin f x x x =-，把()f x 的图象按向量（,0m ）（0m >）平移后，图象恰好为函数)4y x π=+的图象，则m 的值可以为( )A 、4πB 、2πC 、34π D 、π7.设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列四个命题中正确的序号是（ ）①,m n α⊥若//α，则m n ⊥ ②,,//αγβγαβ⊥⊥若则 ③//,//,//m n m n αα若则 ④,αββγαγ⊥⊥若//,//,m 则m A 、①的②B 、②和③C 、③和④D 、①和④8．男教师6名，女教师4名，其中男女队长各1人，选派5人到灾区支教，队长中至少有一人参加，则不同的选派方法有（ ）种。
A 169B 140C 126D 196 9. 已知数列{}n a 满足1113,10n n n a a a a ++=⋅++=，则2011a =（ ） A 43- B 14-C 3D 3-10. 设定义域在R 上的函数()f x 存在反函数1()fx -，且对任意的x R ∈，恒有()()1f x f x +-=，则11(2010)(2009)fx fx ---+-的值为（ ）A.0B.2C.3D.不能确定与x 的值有关 11.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的各个顶点与各棱的中点共20个点中，任取两点连成直线，在 这些直线中任取一条，它与对角线BD 1垂直的概率为（ ） A 、21166B 、21190C 、27166D 、2719012.设a,b,m 为整数（m ﹥0），若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对m 同余记为a=b(modm),已知12322019202020201222,a C C C C =+++++ (mod 10),b a =则b 的值可以是（ ） A 、2010B 、2011C 、2012D 、2009二、填空题：（每小题4分，共16分）13.长方体的长、宽、高的值为 2、2、4，则它的外接球的表面积为______________； 14．/()f x 是函数321()33f x x x =++的导函数，则/(1)f -=15. 若函数321()(,10)3f x x x a a =--在上有最小值，则a 的取值范围为 .16. 已知集合{}22()()()()(),,M f x f x f y f x y f x y x y R =-=+⋅-∈,有下列命题①若11,0,()1,0,x f x x ≥⎧=⎨-<⎩则1()f x M ∈；②若2()2,f x x =则2()f x M ∈； ③若3(),f x M ∈则3()y f x =的图象关于原点对称； ④若4(),f x M ∈则对于任意不等的实数12,x x ，总有414212()()0f x f x x x -<-成立.其中所有正确命题的序号是成都七中2011级高考模拟试卷（文科）答题卷二．填空题答案：13、 14、 15、 16、三.解答题（17-21每小题12分，22题14分，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17． 已知向量()1cos ,1,(1,)a x b a x ωω=+=+（ω为常数且0ω>），函数b a x f ⋅=)(在R 上的最大值为2． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）把函数()y f x =的图象向右平移6πω个单位，可得函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,]4π上为增函数，求ω的最大值．18、甲乙两人参加某电台举办的有奖知识问答。
2011年四川高考文科数学试题（含答案）
2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数 学本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．第1部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案打在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．后，将本试题卷和答题卡一并交回．参考公式：参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球是表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R p =如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ×=× 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343V R p =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)kkn kn n P k C P P -=-第一部分（选择题第一部分（选择题 共60分）分）1．选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上．2．本大题共12小题，每小题5分，共60分．分．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．求的．1．若全集{1,2,3,4,5}M =，{2,4}N =，则M N =ð（A ）Æ （B ）{1,3,5} （C ）{2,4}（D ）{1,2,3,4,5}2．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5) 2 [15.5，19.5) 4 [19.5，23.5) 9 [23.5，27.5) 18 [27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5，39.5) 7 [39.5，43.5) 43.5) 3 3 根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占的数据约占（A ）211（B ） 13 （C ）12 （D ）233．圆22460x y x y +-+=的圆心坐标是的圆心坐标是（A ）(2，3) （B ）(－2，3) （C ）(－2，－3) （D ）(2，－3) 4．函数1()12x y =+的图象关于直线y =x 对称的图象像大致是对称的图象像大致是，5．“x ＝3”是“x 2＝9”的”的（A ）充分而不必要的条件 （B ）必要而不充分的条件）必要而不充分的条件 （C ）充要条件）充要条件（D ）既不充分也不必要的条件）既不充分也不必要的条件6．1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（A ）12l l ^，23l l ^13//l l Þ（B ）12l l ^，23//l l Þ13l l ^]],辆载重量为6吨的乙型卡车．吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运元，该公司合理计划当天的平行四边形的个数为（毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．）分别))p如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=1，延长A 1C 1至点P ，使C 1P ＝A 1C 1，连接AP 交棱CC 1于D ．（Ⅰ）求证：PB 1∥平面BDA 1； （Ⅱ）求二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值；的平面角的余弦值；20．（本小题共12分）分）已知{}n a 是以a 为首项，q 为公比的等比数列，n S 为它的前n 项和．项和． （Ⅰ）当1S 、3S 、4S 成等差数列时，求q 的值；的值；（Ⅱ）当m S 、n S 、l S 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，m k a +、n k a +、l k a +也成等差数列．也成等差数列．21．（本小题共l2分）分）过点C (0，1)的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，椭圆与x 轴交于两点(,0)A a 、(,0)A a -，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ．（I ）当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长；的长；（Ⅱ）当点P 异于点B 时，求证：O P O Q ×为定值．为定值．已知xlg[1答案：B 解析：∵{1,2,3,4,5}M =，则M N =ð{1,3,5}，选B ． 2答案：B 解析：大于或等于31.5的数据共有12+7+3=22个，约占221663=，选B ．3答案：D 解析：圆方程化为22(2)(3)13x y -++=，圆心(2，－3)，选D ．4答案：A 解析：1()12x y =+图象过点(0,2)，且单调递减，故它关于直线y =x 对称的图象过点(2,0)且单调递减5答案：A 解析：若x ＝3，则x 2＝9，反之，若x 2＝9，则3x=±，选A ．6答案：B 解析：由12l l ^，23//l l ，根据异面直线所成角知1l 与3l 所成角为90°，选B ． 7答案：D 解析：BA C D EF C D DE EF C F ++=++=，选D ． 8答案：C 解析：由222sin sin sin sin sin A B C B C £+-得222a b c bc £+-，即222122b c a b c+-³，∴1cos 2A ³，∵0A p<<，故03A p <£，选C ．9答案：A 解析：由a n +1 =3S n ，得a n =3S n －1（n ≥ 2），相减得a n +1－a n =3(S n －S n －1)= 3a n ，则a n +1=4a n （n ≥ 2），a 1=1，a 2=3，则a 6= a 2·44=3×=3×444，选A ． 10答案：C 解析：设派用甲型卡车x （辆），乙型卡车y （辆），获得的利润为u （元），450350u x y=+，由题意，x 、y 满足关系式12,219,10672,08,07,x y x y x y x y +£ìï+£ïï+³íïî作出相应的平面区域，45035050(97)u x y x y =+=+在由12,219x y x y +£ìí+£î确定的交点(7,(7,5)5)处取得最大值4900元，选C ．11答案：A 解析：令抛物线上横坐标为14x =-、22x =的点为(4,114)A a --、(2,21)B a -，则2AB k a =-，由22y x a a ¢=+=-，故切点为(1,4)a ---，切线方程为(2)60a x y ---=，该直线又和圆相切，则2665(2)1d a ==-+，解得4a =或0a =（舍去），则抛物线为2245(2)9y x x x =+-=+-，定点坐标为(2,9)--， 12答案：B 解析：∵以原点为起点的向量(,)a b =a 有(2,1)、(2,(2,3)3)、(2,(2,5)5)、(4,1)、(4,(4,3)3)、(4,(4,5)5)共6个，可作平行四边形的个数2615n C ==个，结合图形进行计算，其中由(2,1)(4,1)、(2,1)(4,(4,3)3)、(2,(2,3)3)(4,(4,5)5)确定的平行四边形面积为2，共有3个，则31155mn ==，选B 13答案：84 解析：∵9(1)x +的展开式中3x 的系数是639984C C ==．14 解析：离心率54e =，设P 到右准线的距离是d ，则454d=，则165d =， 则 P 到左准线的距离等于2641616105´+=．15答案：32π解析：如图，设球一条半径与圆柱相应的母线夹角为α，圆柱侧面积24sin 24cos S p a a=´´´＝32sin 2pa，当4pa =时，S 取最大值32p ，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为32p ．16答案：②③④②③④ 解析：对于①，若12()()f x f x =，则12x x =±，不满足；②是单函数；命题③实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题④满足条件．函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题④满足条件．18本小题考查三角函数的性质，同角三角函数的关系，两角和的正、余弦公式、诱导公式等基础知识和基本运算能力，函数与方程、化归与转化等数学思想． （Ⅰ）解析：7733()sin coscos sincos cossin sin4444f x x x x x p p p p =+++2sin 2cos x x =-2sin()x p=-，∴()f x 的最小正周期2T p=，最小值()2f x =-．p2215()12+525222535()15+轴建立空间直角坐标系A 1－B 1C 1A ，则1(0,0,0)A )23||||3．本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本运算能力和分析问题、解决问题的能力．23)q +．15±显然成等差数列．显然成等差数列．2(1)1na q q -=-．33,33x8383() 22831(0)(1)77-+--))]422244a xa x xx----=-，且4a xx--，即620452aa±-==-，∵5a--．4a xx--，得5a±-；；221log42x a x-=-5a--；35a=±-；设数列{}na 的前n项和为n S ，且1()()6n S f n h n =-（*n ÎN ）从而有111a S ==，当2100k ££时，14341166k k k k k a S S k k -+-=-=--．又1[(43)(41)1]6k a k k k k k -=+---221(43)(41)(1)6(43)(41)1k k k k k k k k +---=×++-- 1106(43)(41)1k k k k =×>++--． 即对任意2k ³时，有k a k >，又因为111a ==，所以1212n a a a n +++³+++ ．则(1)(2)()n S h h h n ³+++ ，故原不等式成立．，故原不等式成立．。
四川省成都市高三数学第二次诊断性检测 文
成都市2011届高中毕业班第二次诊断性检测数学（文史类）本试卷分选择题和非选择题两部分。
第Ⅰ卷（选择题）l 至2页，第Ⅱ卷（非选择题）3至l 页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 )()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ， 334R V π= 那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率),,2.1,0()1()(n k p p C k P k n nk n n =-=- 其中R 表示球的半径一、选择题： (1)计算=-2lg 20lg (A)4 (B)2 (C)l (D)21 解：20lg 20lg 2lglg1012-===，选C (2)已知向量)1,3(=a ，),2(λ=b ，若b a //，则实数λ的值为(A)32 (B)32- (C)23 (D)23- 解：2//3203a b λλ⇔-=⇔=，选A(3)在等比数列}{n a 中，若35-=a ，则=⋅82a a (A) —3 (B)3 (C)—9 (D)9解：22853a a a ⋅==，选B(4) 已知1010221052)2(x a x a x a a x x ++++=-- ，则10921a a a a ++++ 的值为 (A)—64 (B) —32 (C)0 (D)64解：2555(2)(2)(1)x x x x --=-+，令0x =得50(2)32a =-=-，令1x =，则0129a a a a a+++++ 32=-，所以129100a a a a ++++=，选C(5)在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ．若bc a c b 56222=-+，则)sin(C B +的值为(A)54-(B)54 (C)53- (D)53解：22222263cos 525b c a b c a bc A bc +-+-=⇒==，4sin()sin 5B C A +==，选B (6)设集合}14|),{(22=-=y x y x P ，}012|),{(=+-=y x y x Q ，记Q P A =，则集合A 中元素的个数有(A)3个 (B)1个 (C)2个 (D)4个解：由于直线210x y -+=与双曲线2214x y -=的渐近线12y x =平行，所以选B (7)定义在R 上的函数)(x f 满足1)1(2)(2-+-=⋅x x f x f ，则)0(f 的值为(A)32 (B) 32- (C) 31 (D) 31- 解：以1x -代x 得2(1)2()(1)1f x f x x ⋅-=+--，从而223()2(1)3f x x x -=-+-，令0x =，则1(0)3f =-，选C(8)已知关于x 的方程0122=--mx x 在区间)1,0(上恰有一个实数根，则实数m 的取值范围是(A))1,0( (B)),0(+∞ (C)),1(+∞ (D))1,(-∞解：222112102x x mx m x x x---=⇒==-，由于函数12x x -在区间)1,0(上是增函数且值域为)1,(-∞，所以选D(9)某出租车公司计划用450万元购买A 型和B 型两款汽车投入营运，购买总量不超过50辆，其中购买A 型汽车需13万元／辆，购买B 型汽车需8万元／辆．假设公司第一年A 型汽车的纯利润为2万元／辆，B 型汽车的纯利润为1.5万元／辆，为使该公司第一年纯利润最大，则需安排购买(A) 10辆A 型出租车，40辆B 型出租车 (B)9辆A 型出租车，41辆B 型出租车 (C)11辆A 型出租车，39辆B 型出租车 (D) 8辆A 型出租车，42辆B 型出租车 解法一：A 时，成本为813428440⨯+⨯=万元，利润为8242 1.579⨯+⨯=万元 B 时，成本为913418445⨯+⨯=万元，利润为92411.579.5⨯+⨯=万元 C 时，成本为1113398455⨯+⨯=万元，利润为11239 1.580.5⨯+⨯=万元 D 时，成本为1013408450⨯+⨯=万元，利润为10240 1.580⨯+⨯=万元 而1113398455450⨯+⨯=>，选A解法二：设购买A 型出租车x 辆，购买B 型出租车y 辆，第一年纯利润为z ，则50138450**x y x y x N y N +≤⎧⎪+≤⎪⎨∈⎪⎪∈⎩，2 1.5z x y =+，作出可行域，由50138450x y x y +=⎧⎨+=⎩解得1040x y =⎧⎨=⎩，选A(10)过点)4,4(-P 作直线l 与圆25)1(:22=+-⋅y x C 交于A 、B 两点，若2||=PA ，则圆心C 到直线l 的距离等于(A)5 (B)4 (C)3 (D)2 解法一：如图，||PC ==，||5BC =，2=，当5d =时，2220||d B C d -=-A 当4d =23== B解法二：2=2222||4||PC d BC d --=-，5=，224d =，4d =，选B(11)某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有(A)144种 (B)150种 (C)196种 (D)256种解，把学生分成两类：311，221，所以共有31122133521531332222150C C C C C C A A A A +=，选B (12)已知定义在]8,1[⋅上的函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤≤--=82),2(2121|,23|84)(x x f x x x f ．则下列结论中，错误的是(A) 2)3(=f(B)函数)(x f 的值域为]4,0[(C)对任意的]8,1[∈x ，不等式6)(≤x xf 恒成立(D)将函数)(x f 的极值由大到小排列得到数列*},{N n a n ∈，则}{n a 为等比数列 解：348||,122()1(),2,22x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩111348||,1221133()[48||]24||,24222222211133()()()[48||]12||,48224442421(),2222n n n n x x x x x f x x x x f x f f x x x f x ---⎧--≤≤⎪⎪⎪=--=--<≤⎪⎪⎪===--=--<≤⎨⎪⎪⎪⎪<≤⎪⎪⎩，其图象特征为：在每一段图象的纵坐标缩短到原来的一半，而横坐标伸长到原来的2倍，并且图象右移1322n -⨯个单位，从而A 对；显然33(3)24||222f =--= B 结合图象知对； C 00006()6()x f x f x x >⇔>，结合图象可知对； D 从而错，选D第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在答题卡上．(13)设53cos sin =+αα，则=α2sin ______________________． 解：23916sin cos (sin cos )sin 252525x αααα+=⇒+=⇒=-，填1625-(14)在底面边长为2的正四棱锥ABCD P -中，若侧棱PA 与底面ABCD 所成的角大小为4π，则此正四棱锥的斜高长为______________________．解：如图，OA==，2PA==，在正PAD∆中，2PE==(15)已知椭圆12:22=+yxC的右焦点为F，右准线l与x轴交于点B，点A在l上，若ABO∆(O为坐标原点)的重心G恰好在椭圆上，则=||______________________．解：设(2,)A y，则焦点(1,0)F，重心022004(,)(,)3333y yG++++=，因为重心G恰好在椭圆上，所以224()3()1123yy+=⇒=±，即(2,1)A±，所以||2AF=，填(16)如图，在半径为l的球O中．AB、CD是两条互相垂直的直径，半径⊥OP平面ACBD．点E、F分别为大圆上的劣弧BP、AC的中点，给出下列结论：①E、F两点的球面距离为32π；②向量在向量方向上的投影恰为21；③若点M为大圆上的劣弧AD的中点，则过点M且与直线EF、PC成等角的直线有无数条；④球面上到E、F两点等距离的点的轨迹是两个点；其中你认为正确的所有结论的序号为______________________．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,22E，F，(0,1,0)B，(0,0,1)P，(1,0,0)C①2212 cos cos cos co45cos(9045)2223 EOF EOB COB EOFπ∠=∠∠=+=-=-⇒∠=，对；②向量在向量，错；③由于等角的值不是一定值，因此将直线EF 、PC 都平移到点M ，可知过点M 且与直线EF 、PC 成等角的直线有无数多条，对；④过点EF 的中点及球心O 的大圆上任意点到点E 、F 的距离都相等，错；填①③第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)（本小题满分12分） 已知函数m x x x x f +-+=2cos )6cos(sin 2)(π．(I)求函数)(x f 的最小正周期； (Ⅱ)当]4,4[ππ-∈x 时，函数)(x f 的最小值为3-，求实数m 的值． 解：(I)m x x x x f +-+=2cos )6cos(sin 2)(πm x x x x +--=2cos )sin 21cos 23(sin 2 ……1分m x x x x +--=2cos sin cos sin 32m x x x +---=.2cos 2)2cos 1(2sin 23 …3分 m x m x x +--=+--=21)62sin(212cos 212sin 23π．……5分 )(x f ∴的最小正周期ππ==22T ……6分 (Ⅱ)当]4,4[ππ-∈x ，即44ππ≤≤-x 时，有222ππ≤≤-x ，36232πππ≤-≤-∴x ． ……8分23)32sin(1π-≤-∴x ． ……10分得到)(.x f 的最小值为m +--211．……11分由已知，有3211-=+--m ．23-=∴m ， ……12分(18)（本小题满分12分）如图，边长为1的正三角形SAB 所在平面与直角梯形ABCD 所在平面垂直，且CD AB //，AB BC ⊥，1=BC ，2=CD ，E 、F 分别是线段SD 、CD 的中点．(I)求证：平面//AEF 平面SBC ； (Ⅱ)求二面角F AC S --的大小．解：（Ⅰ）F 分别是CD 的中点，121==∴CD FC ．又1=AB ，所以AB FC =． AB FC // ，∴四边形ABCF 是平行四边形．BC AF //∴．……2分E 是SD 的中点，SC EF //∴.……3分又F EF AF = ，C SC BC = ，∴平面//AEF 平面.SBC ……5分 (Ⅱ)取AB 的中点O ，连接SO ，则在正SAB ∆中，AB SO ⊥，又 平面⊥SAB 平面ABCD ，=AB 平面 SAB 平面ABCD ，⊥∴SO 平面ABCD . …6分于是可建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -.则有)0,21,0(-A ，)0,21,1(C ，)23,0,0(S ，)0,21,1(-F ，)0,1,1(=，)23,21,0(=． …7分设平面SAC 的法向量为),,(z y x =，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02321000z y y x ．取31,1,1=-==z y x ，得)311,1(,-=．……9分平面FAC 的法向量为)1,0,0(=. …10分77311131,cos =++=>=<n m …11分 而二面角F AC S ---的大小为钝角，∴二面角F AC S --的大小为77cosarc -π． …12分(19)（本小题满分12分）某电视台拟举行“团队共享”冲关比赛，其规则如下：比赛共设有“常识关”和“创新关”两关，每个团队共两人，每人各冲一关，“常识关”中有2道不同必答题，“创新关”中有3道不同必答题；如果“常识关”中的2道题都答对，则冲“常识关”成功且该团队获得单项奖励900元，否则无奖励；如果“创新关”中的3道题至少有2道题答对，则冲“创新关”成功且该团队获得单项奖励1800元，否则无奖励，现某团队中甲冲击“常识关”，乙冲击“创新关”，已知甲回答“常识关”中每道题正确的概率都为32，乙回答“创新关”中每道题正确的概率都为21，且两关之间互不影响，每道题回答正确与否相互独立． (I)求此冲关团队在这5道必答题中只有2道回答正确且没有获得任何奖励的概率； (Ⅱ)求此冲关团队在这5道必答题中只有3道回答正确且获得1800元奖金的概率． 解：(I)记“此冲关团队在这5道必答题中只有2道回答正确且没有获得任何奖励”为事件E ，事件E 发生即“常识关”和“创新关”两关中都恰有一道题答正确． 61)21(213132)(21312=⨯⨯⨯⨯⨯=C C E P ． ……6分 (Ⅱ)记“此冲关团队在这5道必答题中只有3道回答正确且获得1800元奖金”为事件F ，“‘常识关’中2道题都答错，且‘创新关’中3道题都答正确”为事件M ；“‘常识关’中2道题一对一错，且‘创新关’中3道题恰有2道正确”为事件N ，事件M 与N 为互斥事件．181)21()32()(32=⨯=M P ； ……8分6121)21(3132.)(22312=⨯⨯⨯⨯⨯=C C N P ； ……10分9261181)()()(=+=+=∴N P M P F P ． ……12分(20)（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知动点)0)(,(≤y y x P 到点)2,0(-F 的距离为1d ，到x 轴的距离为2d ，且221=-d d ． (I)求点P 的轨迹E 的方程；(Ⅱ)若A 、B 是(I)中E 上的两点，16-=⋅OB OA ，过A 、B 分别作直线2=y 的垂线，垂足分别为P 、Q ．证明：直线AB 过定点M ，且⋅为定值． 解：（Ⅰ）)2,(+=y x ．由2||||=-y FP 及0≤y ，得2||)2(22=-++y y x . ……2分整理，得)0(82≤-=y y x .即为所求动点P 的轨迹E 的方程． ……3分 (Ⅱ)设),(.11y x A ，),(.22y x B ．由题意，知直线AB 的斜率必定存在， 故设直线AB 的斜率为k ，方程为.b kx y +=. ……4分联立088822=++⇒⎩⎨⎧-=+=b kx x yx bkx y ．则k x x 8.21-=+，b x x 821=. …6分))((21212121b kx b kx x x y y x x +++=+=⋅ 221212)()1(b x x bk x x k ++++= 168)1(8222-=+-+=b bk k b ．01682=++∴b b ．从而4-=b ． ……8分又032642>-=∆b k ，即22k b <，故4-=b ．经检验符合题意．当4-=b 时，直线AB 的方程为4-=kx y ，恒过定点)4,0(-M ． ……10分 由题意，知)2,(1x P ，)2,(2x Q ．则36)6,()6,(2121+=⋅=⋅x x x x . 故当4-=b 时，4=⋅为定值． ……12分 (21)（本小题满分12分）已知函数23)(ax x x f -=．(I)求以曲线)(x f 上的点)0,1(P 为切点的切线方程； (Ⅱ)当0≤a 时，讨论函数)(x f 的单调性；(Ⅲ)如果函数)(x f 的图象与函数2352)(x x x x g +-=的图象有四个不同的交点，求实数a 的取值范围．解：(Ⅰ) 函数)(x f 过点)0,1(P ，1=∴a ．x x x f 23)('2-= ，1)1('==f k ， ∴以)0,1(P 为切点的切线方程：1-=x y . ……3分(Ⅱ) )0)(23(23)('2≤-=-=a a x x ax x x f .①当0=a 时，0)('≥x f 恒成立，∴函数)(x f 在),(+∞-∞单调递增，②当0<a 时，令0)('≥x f ，则0≥x 或32a x ≤，∴函数)(x f 的单调递增区间为]32,(a -∞，),0[+∞；单调递减区间为]0,32[a ． …7分 (Ⅲ) 函数)(x f 的图象与函数2352)(x x x x g +-=的图象有四个不同的交点，235232x x x ax x +-=-∴，即0)1(3235=++-x a x x 有四个不同的根． 显然0=x 为其中的一个根．0)1(33=++-∴a x x 有三个不同的非零根， …8分构造辅助函数)1(3)(3++-=a x x x M ．则)1)(1(333)('2-+=-=x x x x M ． )(x M ∴在区间)1,1(-上单调递减，在区间)1,(--∞，),1(∞上单调递增．)1()(-=∴M x M 极大值，)1()(M x M =极小值． …10分．0)1(33=++-∴a x x 有三个不同的非零根⎪⎩⎪⎨⎧=/+<>-⇔.01,0)1(0)1(a M M ， 即⎪⎩⎪⎨⎧-=/<->+.10103a a a ． 13<<-∴a ，且1-=/a ． …12分 (22)（本小题满分14分）已知正项数列}{n a 的前n 项和为n S ，且*,21N n S a a n nn ∈=+． (Ⅰ)求证：数列}{2n S 是等差数列；(Ⅱ)求解关于n 的不等式84)(11->+-+n S S a n n n 、； (Ⅲ)记数列32n n S b =，n n b b b T 11121+++= ，证明：nT n n 123111-<<+-．解：(Ⅰ) n n n S a a 21=+ ．n n n S a a 212=+∴．当2≥n 时，n n n n n S S S S S )(21)(121---=+-，化简得1212=--n n S S ．由11121a a a =+，得21211S a ==．∴数列}{2n S 是等差数列． ……5分(Ⅱ)由(I)知n n S n =-+=)1(12，又由84)(11->+++n S S a n n n ，得84))((11->+-++n S S S S n n n n ．84221->-∴+n S S n n ，即841->n ．49<∴n ．又*N n ∈，∴不等式的解集为}2,1{． ……9分(Ⅲ)当2≥n 时，n n n n n n n n n n n n n n b n 111)1(11)1(1211--=---<--=-+<= ．n n n T n 123)111)312)211(21(-=--++--+-+<∴111)112(11)1(1211+-=+⋅++->++-=++>=n n n n n n n n n n n n n b n ．111)111.)31)211(+-=+-++-+->∴n n n h T n ，故n T n n 123111-<<+- …14分。
四川省成都石室中学2011届高三高考模拟二WORD版(理数)
四川省成都石室中学2010-2011学年高三第二次高考模拟考试数 学 试 题（理）一、选择题。
（本大题共12道小题，每题5分，共60分，每题只有一个唯一正确的答案，将答案涂在机读卡相应位置）1．在复平面内，复数2(1)对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．设向量(1,sin ),(3sin ,1),//a b a b θθ==且，则cos2θ等于（ ） A ．13- B ．23- C ．23 D ．133．全集U=R ，集合2{|0}1x A x x -=≤+，{|cos ,}B y y x x A ==∈，则A B =（ ） A ．[)cos2,cos1B ．[cos 2,1]C ． (]1,1-D ．(]1,cos2- 4．已知21()n x x +的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 的系数为（ ） A ．5 B ．10 C ．20 D ．405．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15S 为一确定常数，下列各式也为确定常数的是（ ） A ．213a a + B ．213a a C ．1815a a a ++ D ．1815a a a6．已知向量a 、b 满足||1,||2,|2|2a b a b ==+=，则向量b 在向量a 方向上的投影是（ ） A ．12- B ．-1 C ．12 D ．17．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()cos 2g x x =的图像，则只要将()f x 的图像（ ）A ．向右平移6π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度 8．某出租公司计划用450万元购买A 型和B 型两款汽车投入营运，购买总量不超过50辆，其中购买A 型汽车需13万元/辆，购买B 型汽车需8万元/辆。
2011年5月份高三二模数学(文科)答案
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）非选择题 （共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9. y x =±，2x =- 10. 6 11. 1π+12. 2 13. 2，n 14. 1 ，(0)(1)(1)h h h <<- 三、解答题(本大题共6小题,共80分)15. （共13分）解：（Ⅰ） x x x x f 2sin cos sin )(+=，∴4sin 4cos4sin)4(2ππππ+=f …………………1分2222=+（（）…………………4分 1= . …………………6分（Ⅱ）x x x x f 2sin cos sin )(+= 22cos 12sin 21x x -+=…………………8分 21)2cos 2(sin 21+-=x x21)42sin(22+-=πx ， …………………9分 由]2,0[π∈x 得]43,4[42πππ-∈-x ， …………………11分所以，当242ππ=-x ，即π83=x 时，)(x f 取到最大值为212+. ……………13分 16. （共13分）证明：（Ⅰ）由已知可得1//AF B E ，1AF B E =， ∴四边形E AFB 1是平行四边形，∴1//FB AE ， ……………1分1C FE1A 1BAE ⊄平面FC B 1，1FB ⊂平面FC B 1，//AE ∴平面FC B 1； ……………2分又 E D ,分别是1,BB BC 的中点，∴C B DE 1//， ……………3分ED ⊄平面FC B 1，1B C ⊂平面FC B 1， //ED ∴平面FC B 1； ……………4分,AEDE E AE =⊂平面EAD ，ED ⊂平面EAD ， ……………5分∴平面FC B 1∥平面EAD . ……………6分 (Ⅱ) 三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱， ∴⊥C C 1面ABC ，又⊂AD 面ABC ，∴⊥C C 1AD . ……………7分 又直三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都相等，D 是BC 边中点，∴ABC ∆是正三角形，∴BC AD ⊥， ……………8分 而1C CBC C =， 1CC ⊂面11B BCC ，BC ⊂面11B BCC ，⊥∴AD 面11B BCC ， ……………9分故 1AD BC ⊥ . ……………10分 四边形11BCC B 是菱形，∴C B BC 11⊥， ……………11分 而C B DE 1//，故 1DE BC ⊥ , ……………12分由D DE AD = AD ⊂，面EAD ，ED ⊂面EAD ，得 ⊥1BC 面EAD . ……………13分17. （共13分）解：（Ⅰ）由条形图可得，选择A ，B ，C ，D 四款套餐的学生共有200人， ……………1分 其中选A 款套餐的学生为40人， ……………2分 由分层抽样可得从A 款套餐问卷中抽取了 42004020=⨯份. ……………4分 设事件M =“同学甲被选中进行问卷调查”， ……………5分2011年5月份海淀区高三二模试题答案（文科）则.10404)(==M P . ……………6分 答：若甲选择的是A 款套餐，甲被选中调查的概率是0.1.(II) 由图表可知，选A ，B ，C ，D 四款套餐的学生分别接受调查的人数为4，5，6，5. 其中不满意的人数分别为1，1，0，2个 . ……………7分 记对A 款套餐不满意的学生是a ；对B 款套餐不满意的学生是b ；对D 款套餐不满意的学生是c ，d. ……………8分 设事件N=“从填写不满意的学生中选出2人，至少有一人选择的是D 款套餐” ……………9分 从填写不满意的学生中选出2人，共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6个基本事件，……10分 而事件N 有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5个基本事件， ……………11分 则 65)(=N P . ……………13分 答：这两人中至少有一人选择的是D 款套餐的概率是65.18. （共14分）解：（Ⅰ）因为2'()2f x x ax b =-+ ， …………………2分由'(0)'(2)1f f ==即1441b a b =⎧⎨-+=⎩得11a b =⎧⎨=⎩ ， …………………4分所以()f x 的解析式为321()3f x x x x =-+. …………………5分(Ⅱ)若2b a =+，则2'()22f x x ax a =-++，244(2)a a ∆=-+ ， …………………6分 （1）当0∆≤，即12a -≤≤时，'()0f x ≥恒成立，那么()f x 在R 上单调递增， 所以，当12a -≤≤时，()f x 在区间(0,1)上单调递增； …………………8分 （2）解法1：当0∆>，即2a >或1a <-时，令2'()220f x x ax a =-++=解得1x a =，2x a =+ …………………9分 列表分析函数()f x 的单调性如下：…………………10分要使函数()f x 在区间(0,1)上单调递增，只需210'(0)0a a a f ><-⎧⎪<⎨⎪≥⎩或或211'(1)0a a a f ><-⎧⎪>⎨⎪≥⎩或，解得21a -≤<-或23a <≤. …………………13分解法2：当0∆>，即2a >或1a <-时，因为2'()22f x x ax a =-++的对称轴方程为x a = …………………9分 要使函数()f x 在区间(0,1)上单调递增，需1'(0)0a f <-⎧⎨≥⎩或2'(1)0a f >⎧⎨≥⎩解得21a -≤<-或23a <≤. …………………13分 综上：当[2,3]a ∈-时，函数()f x 在区间(0,1)上单调递增. …………………14分19. （共14分） 解：(Ⅰ)22,22===a c e c ， ……………1分 2,1==∴a c ，122=-=∴c a b ， …………4分椭圆C 的标准方程是 1222=+y x . ………………5分 (Ⅱ)由已知可得)0,1(),1,0(F B ， …………………6分 设),(00y x A ，则)1,1(),1,(00-=-=BF y x BA ， 2=⋅ ，2)1(00=--∴y x ，即001y x += ， …………………8分代入122020=+y x ，得：⎩⎨⎧-==1000y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==313400y x ，2011年5月份海淀区高三二模试题答案（文科）即)1,0(-A 或)31,34(A . ………………10分 当A 为)1,0(-时，1===OF OB OA ,ABF ∆的外接圆是以O 为圆心，以1为半径的圆，该外接圆的方程为122=+y x ； ………………12分 当A 为)31,34(时，1,1=-=AF BF k k ，所以ABF ∆是直角三角形，其外接圆是以线段BA 为直径的圆.由线段BA 的中点)32,32(以及352=BA 可得ABF ∆的外接圆的方程为95)32()32(22=-+-y x . ………………14分 综上所述，ABF ∆的外接圆的方程为122=+y x 或95)32()32(22=-+-y x .20. （共13分）解：(Ⅰ)由变换T 的定义可得1:0,1,1,0,0,1A ………………2分 0:1,0,1A ………………4分(Ⅱ) 数列0A 中连续两项相等的数对至少有10对 ………………5分 证明：对于任意一个“0-1数列”0A ，0A 中每一个1在2A 中对应连续四项1,0,0,1，在0A 中每一个0在2A 中对应的连续四项为0,1,1,0，因此，共有10项的“0-1数列”0A 中的每一个项在2A 中都会对应一个连续相等的数对， 所以2A 中至少有10对连续相等的数对. ………………8分 (Ⅲ) 设k A 中有k b 个01数对，1k A +中的00数对只能由k A 中的01数对得到，所以1k k l b +=，1k A +中的01数对有两个产生途径：①由k A 中的1得到； ②由k A 中00得到，由变换T 的定义及0:0,1A 可得k A 中0和1的个数总相等，且共有12k +个，所以12kk k b l +=+， 所以22k k k l l +=+，由0:0,1A 可得1:1,0,0,1A ，2:0,1,1,0,1,0,0,1A所以121,1l l ==， 当3k ≥时，若k 为偶数，222k k k l l --=+,4242k k k l l ---=+,2422l l =+.上述各式相加可得122421(14)11222(21)143k k kk l ---=++++==--，经检验，2k =时，也满足1(21)3k k l =-.若k 为奇数，222k k k l l --=+ 4242k k k l l ---=+312l l =+.上述各式相加可得12322(14)112221(21)143k k kk l ---=++++=+=+-，经检验，1k =时，也满足1(21)3k k l =+.所以1(21),31(21),3kk k k l k ⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数 .………………13分。
2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学试题 (文科)(解析版)
绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数 学(文史类)本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．第1部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案打在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)k kn kn n P k C P P -=-第一部分（选择题 共60分）1．选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上． 2．本大题共12小题，每小题5分，共60分．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．1．若全集{1,2,3,4,5}M =，{2,4}N =，则N C M =（ ）（A ）∅ （B ）{1,3,5} （C ）{2,4} （D ）{1,2,3,4,5} 答案：B解析：∵{1,2,3,4,5}M =，则M N =ð{1,3,5}，选B ．2．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5) 2 [15.5，19.5) 4 [19.5，23.5) 9 [23.5，27.5) 18 [27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5，39.5) 7 [39.5，43.5) 3 根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占（ ）（A ）211 （B ）13 （C ）12 （D ）23答案：B解析：大于或等于31.5的数据共有12+7+3=22个，约占221663=，选B ．3．圆22460x y x y +-+=的圆心坐标是（ ）（A ）(2，3) （B ）(－2，3) （C ）(－2，－3) （D ）(2，－3) 答案：D解析：圆方程化为22(2)(3)13x y -++=，圆心(2，－3)，选D ．4．函数1()12x y =+的图象关于直线y =x 对称的图象像大致是（ ）答案：A解析：1()12x y =+图象过点(0,2)，且单调递减，故它关于直线y =x 对称的图象过点(2,0)且单调递减，选A ．5．“x ＝3”是“x 2＝9”的（ ）（A ）充分而不必要的条件 （B ）必要而不充分的条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要的条件 答案：A解析：若x ＝3，则x 2＝9，反之，若x 2＝9，则3x =±，选A ．6．1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）（A ）12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒ （B ）12l l ⊥，23//l l ⇒13l l ⊥（C ）233////l l l ⇒1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面 答案：B解析：由12l l ⊥，23//l l ，根据异面直线所成角知1l 与3l 所成角为90°，选B ．7．如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=u u u r u u u r u u u r（ ）（A ）0 （B ）BE u u u r （C ）AD u u u r（D ）CF u u u r 答案：D解析：BA CD EF CD DE EF CF ++=++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，选D ．8．在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ）（A ）(0,]6π （B ）[,)6ππ （C ）(0,]3π（D ）[,)3ππ答案：C解析：由222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-得222a b c bc ≤+-，即222122b c a bc +-≥，∴1cos 2A ≥，∵0A π<<，故03A π<≤，选C ．9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1 =3S n （n ≥1），则a 6=（ ）（A ）3 × 44 （B ）3 × 44+1 （C ）44（D ）44+1 答案：A 解析：由a n +1 =3S n ，得a n =3S n －1（n ≥ 2），相减得a n +1－a n =3(S n －S n －1)= 3a n ，则a n +1=4a n （n ≥ 2），a 1=1，a 2=3，则a 6= a 2·44=3×44，选A ．10．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为（ ） （A ）4650元 （B ）4700元 （C ）4900元 （D ）5000元 答案：C解析：设派用甲型卡车x （辆），乙型卡车y （辆），获得的利润为u （元），450350u x y =+，由题意，x 、y 满足关系式12,219,10672,08,07,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≥⎨⎪≤≤⎪≤≤⎪⎩作出相应的平面区域，45035050(97)u x y x y =+=+在由12,219x y x y +≤⎧⎨+≤⎩确定的交点(7,5)处取得最大值4900元，选C ．11．在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为（ ） （A ）(2,9)-- （B ）(0,5)- （C ）(2,9)- （D ）(1,6)- 答案：A解析：令抛物线上横坐标为14x =-、22x =的点为(4,114)A a --、(2,21)B a -，则2AB k a =-，由22y x a a '=+=-，故切点为(1,4)a ---，切线方程为(2)60a x y ---=，该直线又和圆相切，则25(2)1d a ==-+，解得4a =或0a =（舍去），则抛物线为2245(2)9y x x x =+-=+-，定点坐标为(2,9)--，选A ．12．在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b =α，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积等于2的平行四边形的个数为m ，则mn=（ ）（A ）215 （B ）15 （C ）415 （D ）13答案：B解析：∵以原点为起点的向量(,)a b =α有(2,1)、(2,3)、(2,5)、(4,1)、(4,3)、(4,5)共6个，可作平行四边形的个数2615n C ==个，结合图形进行计算，其中由(2,1)(4,1)、(2,1)(4,3)、(2,3)(4,5)确定的平行四边形面积为2，共有3个，则31155m n ==，选B ．第二部分（非选择题 共90分）注意事项：1．必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．2．本部分共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．9(1)x +的展开式中3x 的系数是_________．（用数字作答）答案：84解析：∵9(1)x +的展开式中3x 的系数是639984C C ==．14．双曲线2216436x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是4，那么P 到左准线的距离是____．答案：16解析：离心率54e =，设P 到右准线的距离是d ，则454d =，则165d =，则P 到左准线的距离等于2641616105⨯+=．15．如图，半径为4的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_________． 答案：32π解析：如图，设球一条半径与圆柱相应的母线夹角为α，圆柱侧面积24sin 24cos S παα=⨯⨯⨯＝32sin2πα，当4πα=时，S 取最大值32π， 此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为32π．16．函数()f x 的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函数．例如，函数()f x =2x +1(x ∈R )是单函数．下列命题：①函数2()f x x =（x ∈R ）是单函数； ②指数函数()2x f x =（x ∈R ）是单函数；③若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号） 答案：②③④解析：对于①，若12()()f x f x =，则12x x =±，不满足；②是单函数；命题③实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题④满足条件．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题共l2分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14、12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12、14；两人租车时间都不会超过四小时．（Ⅰ）分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率．本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概念及相关概率计算，考查运用所学知识和方法解决实际问题的能力． 解：（Ⅰ）分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A 、B ，则111()1424P A =--=，111()1244P A =--=．答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14、14．（Ⅱ）记甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元为事件C ，则1111111111113()()()()4244222442444P C =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为3418．（本小题共l2分）已知函数73()sin()cos()44f x x x ππ=++-，x ∈R ．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知4cos()5βα-=，4cos()5βα+=-，02παβ<<≤．求证：2[()]20f β-=．本小题考查三角函数的性质，同角三角函数的关系，两角和的正、余弦公式、诱导公式等基础知识和基本运算能力，函数与方程、化归与转化等数学思想．（Ⅰ）解析：7733()sin cos cos sin cos cos sin sin4444f x x x x x ππππ=+++ 2sin 2cos x x =-2sin()4x π=-，∴()f x 的最小正周期2T π=，最小值min ()2f x =-． （Ⅱ）证明：由已知得4cos cos sin sin 5αβαβ+=，4cos cos sin sin 5αβαβ-=-两式相加得2cos cos 0αβ=，∵02παβ<<≤，∴cos 0β=，则2πβ=．∴22[()]24sin 204f πβ-=-=．19．（本小题共l2分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=1，延长A 1C 1至点P ，使C 1P ＝A 1C 1，连接AP 交棱CC 1于D ．（Ⅰ）求证：PB 1∥平面BDA 1；（Ⅱ）求二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值；本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决问题的能力．解法一：（Ⅰ）连结AB 1与BA 1交于点O ，连结OD ，∵C 1D ∥平面AA 1，A 1C 1∥AP ，∴AD =PD ，又AO =B 1O ， ∴OD ∥PB 1，又OD ⊂面BDA 1，PB 1⊄面BDA 1， ∴PB 1∥平面BDA 1．（Ⅱ）过A 作AE ⊥DA 1于点E ，连结BE ．∵BA ⊥CA ，BA ⊥AA 1，且AA 1∩AC =A ， ∴BA ⊥平面AA 1C 1C ．由三垂线定理可知BE ⊥DA 1． ∴∠BEA 为二面角A －A 1D －B 的平面角．在Rt △A 1C 1D 中，22115()12A D =+=，又11151122AA D S AE ∆=⨯⨯=⨯⋅，∴25AE =． 在Rt △BAE 中，222535()15BE =+=，∴2cos 3AH AHB BH ∠==． 故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23． 解法二：如图，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A 1－B 1C 1A ，则1(0,0,0)A ，1(1,0,0)B ，1(0,1,0)C ，(1,0,1)B ，(0,2,0)P ．（Ⅰ）在△P AA 1中有1112C D AA =，即1(0,1,)2D ．∴1(1,0,1)A B =u u u r ，1(0,1,)A D x =u u u u r，1(1,2,0)B P =-u u u r ．设平面BA 1D 的一个法向量为1(,,)a b c =n ，则11110,10.2A B a c A D b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u ru u u u r n n 令1c =-，则11(1,,1)2=-n ． ∵1111(1)2(1)002B P ⋅=⨯-+⨯+-⨯=u u u r n ，∴PB 1∥平面BA 1D ，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面BA 1D 的一个法向量11(1,,1)2=-n ．又2(1,0,0)=n 为平面AA 1D 的一个法向量．∴12121212cos ,3||||312⋅<>===⋅⨯n n n n n n ．故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23． 20．（本小题共12分）已知{}n a 是以a 为首项，q 为公比的等比数列，n S 为它的前n 项和．（Ⅰ）当1S 、3S 、4S 成等差数列时，求q 的值；（Ⅱ）当m S 、n S 、l S 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，m k a +、n k a +、l k a +也成等差数列．本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本运算能力和分析问题、解决问题的能力． 解：（Ⅰ）由已知，1n n a aq -=，因此1S a =，23(1)S a q q =++，234(1)S a q q q =+++． 当1S 、3S 、4S 成等差数列时，1432S S S +=，可得32aq aq aq =+．化简得210q q --=．解得15q ±=． （Ⅱ）若1q =，则{}n a 的每项n a a =，此时m k a +、n k a +、l k a +显然成等差数列．若1q ≠，由m S 、n S 、l S 成等差数列可得2m l n S S S +=，即(1)(1)2(1)111m l n a q a q a q q q q ---+=---． 整理得2m l n q q q +=．因此，11()22k m l n k m k l k n k a a aq q q aq a -+-++++=+==． 所以，m k a +、n k a +、l k a +也成等差数列．21．（本小题共l2分）过点C (0，1)的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3，椭圆与x 轴交于两点(,0)A a 、(,0)A a -，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ．（I ）当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长；（Ⅱ）当点P 异于点B 时，求证：OP OQ ⋅u u u r u u u r为定值．本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力．解：（Ⅰ）由已知得31,c b a ==，解得2a =，所以椭圆方程为2214x y +=． 椭圆的右焦点为(3,0)，此时直线l 的方程为 31y x =-+，代入椭圆方程得27830x x -=，解得12830,x x ==，代入直线l 的方程得 1211,7y y ==-，所以831(,)7D -，故16||7CD ==． （Ⅱ）当直线l 与x 轴垂直时与题意不符．设直线l 的方程为11(0)2y kx k k =+≠≠且．代入椭圆方程得22(41)80k x kx ++=．解得12280,41kx x k -==+，代入直线l 的方程得2122141,41k y y k -==+，所以D 点的坐标为222814(,)4141k k k k --++．又直线AC 的方程为12x y +=，又直线BD 的方程为12(2)24ky x k +=+-，联立得4,2 1.x k y k =-⎧⎨=+⎩因此(4,21)Q k k -+，又1(,0)P k-．所以1(,0)(4,21)4OP OQ k k k⋅=--+=u u u r u u u r ．故OP OQ ⋅u u u r u u u r为定值．22．（本小题共l4分）已知函数21()32f x x =+，()h x = （Ⅰ）设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值；（Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程33lg[(1)]2lg ()2lg (4)24f x h a x h x --=---；（Ⅲ）设*n ∈N ，证明：1()()[(1)(2)()]6f n h n h h h n -+++≥L ．本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．解：（Ⅰ）223()18()[()]129(0)F x f x x h x x x x =-=-++≥， 2()312F x x '∴=-+．令()0F x '∴=，得2x =（2x =-舍去）．当(0,2)x ∈时．()0F x '>；当(2,)x ∈+∞时，()0F x '<，故当[0,2)x ∈时，()F x 为增函数；当[2,)x ∈+∞时，()F x 为减函数． 2x =为()F x 的极大值点，且(2)824925F =-++=．（Ⅱ）方法一：原方程可化为42233log [(1)]log ()log (4)2f x h a x h x --=---，即为4222log (1)log log log x -=，且,14,x a x <⎧⎨<<⎩①当14a <≤时，1x a <<，则14a xx --=，即2640x x a -++=，364(4)2040a a ∆=-+=->，此时3x ==1x a <<，此时方程仅有一解3x =②当4a >时，14x <<，由14a xx x--=-，得2640x x a -++=，364(4)204a a ∆=-+=-，若45a <<，则0∆>，方程有两解3x = 若5a =时，则0∆=，方程有一解3x =； 若1a ≤或5a >，原方程无解．方法二：原方程可化为422log (1)log (4)log ()x h x h a x -+-=-，即2221log (1)log 4log 2x x a x -+-=-，10,40,0,(1)(4).x x a x x x a x ->⎧⎪->⎪⇔⎨->⎪⎪--=-⎩214,(3) 5.x x a a x ⎧<<⎪⇔<⎨⎪=--+⎩ ①当14a <≤时，原方程有一解35x a =--；②当45a <<时，原方程有二解35x a =±-；③当5a =时，原方程有一解3x =； ④当1a ≤或5a >时，原方程无解．（Ⅲ）由已知得(1)(2)()]12h h h n n +++=+++L L ，1431()()666n f n h n n +-=-．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1()()6n S f n h n =-（*n ∈N ）从而有111a S ==，当2100k ≤≤时，14341166k k k k k a S S k k -+-=-=--．又1[(43)(41)1]6k a k k k k k -=+---2216(43)(41)1k k k k =⋅++--106(43)(41)1k k k k =⋅>++--． 即对任意2k ≥时，有k a k >，又因为111a ==，所以1212n a a a n +++≥+++L L ． 则(1)(2)()n S h h h n ≥+++L ，故原不等式成立．。
成都市L3数学高2011级高考模拟训练(二)
成都市L3数学高2011级高考模拟训练（二）数 学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（文）已知命题甲为0>x ；命题乙为0||>x ，那么 （ ） A ．甲是乙的充分非必要条件 B ．甲是乙的必要非充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 （理）已知两条直线0:1=++c by ax l ，直线0:2=++p ny mx l ，则bm an =是直线21//l l 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．（文）下列函数中，周期为π的奇函数是 （ ） A ．x x y cos sin = B ．x y 2sin = C ．x y 2tan = D ．x x y 2cos 2sin +=（理）方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=ty t x sin 6π（t 是参数，R t ∈）表示的曲线的对称轴的方程是 （ ）A ．)Z (3ππ2∈+=k k xB ．)Z (3π2π∈+=k k xC ．)Z (6ππ2∈-=k k xD ．)Z (6ππ∈+=k k x3．已知26)1()1(-+ax x 的展开式中，3x 系数为56，则实数a 的值为 （ ） A ．6或5 B ．1-或4 C ．6或1- D ．4或5 4．（文）在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为3:1，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为 （ ） A ．3:1 B ．9:1 C ．33:1 D ．)133(:1- （理）已知数列}{n a 的通项公式是1+=bn ana n ，其中b a ,均为正常数，那么n a 与1+n a 的大小关系是 （ ） A ．1+>n n a a B ．1+<n n a a C ．1+=n n a a D ．与n 的取值相关 5．将4张互不相同的彩色照片与3张互不相同的黑白照片排成一排，任何两张黑白照片都不相邻的不同排法的种数是 （ ） A ．3444A A B ．3344A A C ．3544C A D ．3544A A 6．椭圆122=+my x 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为 （ ）A ．41 B ．21C ．2D ．4 7．若曲线x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线03=-y x ，则点P 的坐标为 （ ）A ．)3,1(B ．)3,1(-C ．)0,1(D ．)0,1(- 8．已知函数)(x f y =是R 上的偶函数，且在]0,(-∞上是减函数，若)2()(f a f ≥，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．2≤a B ．2-≤a 或2≥a C ．2-≥a D ．22≤≤-a9．如图，F E ,分别是三棱锥ABC P -的棱BC AP ,的中点，,6,10==AB PC7=EF ，则异面直线AB 与PC 所成的角为 （ ）A ．060B ．045C ．00D ．012010．圆心在抛物线)0(22>=y x y 上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是 （ ）A ．041222=---+y x y x B ．01222=+-++y x y xC ．01222=+--+y x y xD ．041222=+--+y x y x11．双曲线的虚轴长为4，离心率26=e ，1F 、2F 分别是它的左、右焦点，若过1F 的直线与双曲线的左支交于B A ,两点，且||AB 是||2BF 和||1AF 的等差中项，则||AB 等于（ ）A ．28B ．24C ．22D ．8 12．如图，正三棱柱111C B A ABC -中，1AA AB =，则1AC 与平面C C BB 11所成的角的正弦值为 （ ） A ．22 B ．515 C ．46 D ．36第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．若n S 是数列}{n a 的前n 项的和，2n S n =，则=++765a a a ．14．若y x ,满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+009382y x y x y x ，，， ，则y x z 2+=的最大值为 ．15．有E D C B A ,,,,五名学生参加网页设计竞赛，决出了第一到第五的名次，B A ,两位同学去问成绩，教师对A 说：“你没能得第一名”．又对B 说：“你得了第三名”．从这个问题分析，这五人的名次排列共有 种可能（用数字作答）．16．若对n 个向量21a a ⋅，…，n a 存在n 个不全为零的实数1k ，2k ，…，n k ，使得02211=+++n n a k a k a k 成立，则称向量1a ，2a ，…，n a 为“线性相关”．依此规定，能说明)2,1(1=a ，)1,1(2-=a ，)2,2(3=a “线性相关”的实数1k ，2k ，3k 依次可以取 （写出一组数值即中，不必考虑所有情况）．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）已)sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==，与之间有关系式||3||b k a b a k -=+，其中0>k ．（1）用k 表示⋅；（2）求⋅的最小值，并求此时与的夹角θ的大小．18．（12分）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，82,2a a =为4a 和16a 的等比中项。