关于等腰三角形中分类讨论问题的探讨

浅探等腰三角形中分类讨论问题

南陵县弋江蒲桥初中张一中

摘要：在解答数学问题时，会遇到多解情况，需要我们对各种情况进行分析并加以讨论，就是我们通常说的分类讨论思想。所谓分类讨论思想，就是在解答数学题时有时无法用同一种形式去解决，而需要选定一个标准，根据这个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一解决，从而使问题得到解决，这就是分类讨论的思想。

关键词：等腰三角形分类讨论思想

在日常教学练习及中考中经常会出现关于等腰三角形的题，此类题学生得分通常较低，学生没有分类思想，造成漏解情况。下面就关于等腰三角形的各种分需类题型进行分析和讲解。

一、当已知边不能确定是腰还是底边时，需讨论

例1、（1）已知等腰三角形的两边长分别为5cm和7cm，求周长。

（2）等腰三角形的两边长分别为5cm和11cm，求周长。

简析：已知条件中并没有指明5和7谁是腰长谁是底边的长，因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。当5是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是7，则此时等腰三角形的周长等于17；当7是腰长时，这个三角形的底边长就是5，则此时周长等于19。故这个等腰三角形的周长等于17cm或19cm。解（2）当腰长为5时，因为5+5<11，所以此时不能构成三角形；

当腰长为11时，因为11+11>5，所以此时能构成三角形，因此三角形周

长为：11+11+5=27；

故这个三角形的周长为27cm。

说明：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应分类讨论，但必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形。

二、当已知角不能确定是顶角或底角时，需讨论

例2. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（）

A. 30°

B. 75°

C. 105°

D. 30°或75°

简析：75°角可能是顶角，也可能是底角。当75°是底角时，则顶角的度

数为180°－75°×2=30°；当75°角是顶角时，则顶角的度数就等于75°。所以这个等腰三角形的顶角为30°或75°。故应选D 。

例3、已知等腰三角形的一个外角等于1400，求它的各个内角。

分析：已知等腰三角形的一个外角等于1400，有两种情况：与一个底角相邻的外角等于1400；与顶角相邻的外角等于1400。因此需要分类讨论；

解：（1）当顶角的外角等于1200时，则顶角=1800-1400=400，

∴每个底角=（1800-顶角）÷2=700；

（2）当底角的外角等于1400时，则每个底角=1800-1400=400；

∴顶角=1800-底角⨯2=1800-400⨯2=1000；

故三角形各个内角的度数为400，700，700或1000，400，400。

说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分

情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。

三、当高的位置关系不确定时，需讨论

例4、等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为350，求这个三角形的各个

内角的度数。

分析：由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须

进行分类讨论，另外，还要注意三角形的高可能在三角形内也可能在三角形外。 解：设AB=AC ，BD ⊥AC ；

（1）高与底边的夹角为350时，高一定在△ABC 的内部，

如图1，∵∠DBC=350，∴∠C=900-∠DBC=900-350=550，

∴ ∠ABC=∠C=550，∠A=1800-2×550=700。 （2）当高与另一腰的夹角为350时， 图1

①如图2，高在△ABC 内部时，

当∠ABD=350时，∠A=900-∠ABD=550，

∴ ∠C=∠ABC=（1800-∠A ）÷2=62.50；

②如图3，高在△ABC 外部时，∠ABD=350，A B C D

∴∠BAD=900-∠ABD=900-350=550，∴ ∠BAC=1800-5500∴∠ABC=∠C=（1800-1250）÷2=27.50 ∴三角形各内角为：550，550，700或62.50，62.50，550或1250，27.50，27.50。 说明：三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外。

四、由腰的垂直平分线所引起的分类讨论

例5.在ΔABC 中，AB=AC ，AB 的中垂线与AC 所在直线相交所得的锐角为

40°，则底角∠B=____________。

简析：按照题意可画出如图1和如图2两种情况的示意图。

如图1，当交点在腰AC 上时，ΔABC 是锐角三角形，此时可求得∠A=50°，

所以∠B=∠C=2

1（180°－50°）=65°。 如图2，当交点在腰CA 的延长线上时，ΔABC 为钝角三有形，此时可求得

∠BAC=130°，所以∠B=∠C=2

1（180°－130°）=25°

五、由腰上的中线引起的分类讨论

例6. 若等腰三角形一腰上的中线分周长为18cm 和24cm 两部分，求这个等

腰三角形的底和腰的长。

分析：已知条件并没有指明哪一部分是18cm ，哪一部分是24cm ，因此，应

有两种情形。若设这个等腰三角形的腰长是x cm ，底边长为y cm ，可得

B C

A

D

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+,2421,1821y x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.182

1,2421y x x x 解得⎩⎨⎧==,18,12y x 或⎩⎨⎧==.10,16y x 即当腰长是12cm 时，底边长是18cm ；当腰长是16cm 时，底边长是10cm 。

说明：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。

六、找点构造等腰三角形需讨论

例7 在直角坐标系中，O 为坐标原点，A （1,1）；在坐标轴上确定一点P ，使ΔAOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ）

A 、4个

B 、6个

C 、8个

D 、1个

解：（1）、如图一，以OA 为腰，以O 为顶角顶点时，只须以O 为圆心，以OA 为半径作圆，与坐标轴分别交于P 1

0）P 2

（P 3

（0），P 4

（0,，分别连接P 1A ，P 2A ，P 3A ，P 4A ，可得到四个等腰三角形ΔOAP 1，ΔOAP 2，ΔOAP 3，ΔOAP 4

（2）、如图二，以OA 为腰，以A 为顶角顶点时，只须以A 为圆心，以AO 为半径作圆，与坐标轴分别交于P5（2,0）P6（0,2），分别连接P 5A ，P 6A ，可得到两个等腰三角形ΔOAP 5，ΔOAP 6，

（3）、如图三，当OA 为底时，作OA 的中垂线分别与坐标轴相交于P 7（1,0），P 8（0,1）。

答案：选C

图图一一