【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修四《向量的减法》课时提升练习及解析
向量的减法课时练习-北师大版高中数学必修4
课时练习（十六） 向量的减法一、基本能力达标1．在△ABC 中，BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，则AB ―→＝( ) A ．a －b B ．b －a C ．a ＋bD ．－a －b解析：选D AB ―→＝CB ―→－CA ―→＝－BC ―→－CA ―→＝－a －b . 2．在平行四边形ABCD 中，BC ―→－CD ―→＋BA ―→＝( ) A ．BC ―→ B ．AD ―→ C ．AB ―→D ．AC ―→解析：选A 在平行四边形ABCD 中，BC ―→＝AD ―→，所以BC ―→－CD ―→＋BA ―→＝AD ―→－CD ―→＋BA ―→＝BA ―→＋AD ―→－CD ―→＝BD ―→－CD ―→＝BC ―→，故选A.3．化简以下各式：①AB ＋BC ＋CA ；②AB －AC ＋BD －CD ；③OA －OD ＋AD ；④NQ ＋QP ＋MN －MP .结果为零向量的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D 由三角形法则及向量加、减法的有关性质可知各式均为零向量．4. 如图，在四边形ABCD 中，下列各式成立的是 ( )A ．BC －BD ＝CDB ．CD ＋DA ＝AC C ．CB ＋AD ＋BA ＝CD D ．AB ＋AC ＝BD ＋DC解析：选C BC －BD ＝BC ＋DB ＝DC ，故A 错误；CD ＋DA ＝CA ，故B 错误；CB ＋AD ＋BA ＝CB ＋BD ＝CD ，故C 正确；BD ＋DC ＝BC ≠AB ＋AC ，故D 错误．5．在△ABC 中，|AB |＝|BC |＝|CA |＝1，则|BC －AC |的值为 ( ) A ．0 B ．1 C. 3D ．2解析：选B |BC －AC |＝|BC ＋CA |＝|BA |＝1. 6. 化简AB ―→＋DA ―→－DB ―→－BC ―→－CA ―→的结果是________.解析：原式=AB ―→＋（DA ―→－DB ―→）－（BC ―→＋CA ―→）=AB ―→＋BA ―→－BA ―→=AB ―→. 答案：AB ―→7．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝__________，|a －b |＝________. 解析：若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0，∴|a ＋b |＝0， 又a ＝－b ，∴|a |＝|－b |＝1，∵a 与－b 共线，∴|a －b |＝2. 答案：0 28．已知OA ＝a ，OB ＝b ，若|OA |＝12，|OB |＝5，且∠AOB ＝90°，则|a －b |＝________. 解析：利用向量减法的三角形法则，知|a －b |是Rt △AOB 的斜边长．由勾股定理，得|a －b |＝52＋122＝13.答案：139. 如图，已知D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点． 求证：AD ＋BE ＋CF ―→＝0.证明：连接EF ，由题意知：AD ＝AC ＋CD ，BE ＝BC ＋CE ，CF ＝CB ＋BF .由平面几何可知：EF ＝CD ，BF ＝FA .∴AD ＋BE ＋CF ＝(AC ＋CD )＋(BC ＋CE )＋(CB ＋BF )＝(AC ＋CD ＋CE ＋BF )＋(BC ＋CB )＝(AE ＋EC ＋CD ＋CE ＋BF )＋0＝AE ＋CD ＋BF ＝AE ＋EF ＋FA ＝0. 10. 如图，解答下列各题：(1)用a ，d ，e 表示DB ； (2)用b ，c 表示DB ； (3)用a ，b ，e 表示EC ； (4)用d ，c 表示EC .解：∵AB ＝a ，BC ＝b ，CD ＝c ，DE ＝d ，EA ＝e ， ∴(1)DB ＝DE ＋EA ＋AB ＝d ＋e ＋a . (2)DB ＝CB －CD ＝－BC －CD ＝－b －c . (3)EC ＝EA ＋AB ＋BC ＝a ＋b ＋e . (4)EC ＝－CE ＝－(CD ＋DE )＝－c －d .二、综合能力提升1．在四边形ABCD 中，若AB ＝DC ，且|AB ＋AD |＝|AB －AD |，则四边形ABCD 的 形状是 ( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形D ．正方形解析：选B 由AB ＝DC ，得AB ∥DC 且AB ＝DC ，则四边形ABCD 为平行四边形，所以AB ＋AD ＝AC ，AB －AD ＝DB ，所以|AC |＝|DB |，所以四边形ABCD 是 矩形．2．对于菱形ABCD ，给出下列各式：①AB ―→＝BC ―→；②|AB ―→|＝|BC ―→|；③|AB ―→－CD ―→|＝|AD ―→＋BC ―→|；④|AD ―→＋CD ―→|＝|CD ―→－CB ―→|.其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由菱形的图像，可知向量AB ―→与BC ―→的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以②正确，①错误；因为|AB ―→－CD ―→|＝|AB ―→＋DC ―→|＝2|AB ―→|，|AD ―→＋BC ―→|＝2|BC ―→|，且|AB ―→|＝|BC ―→|，所以|AB ―→－CD ―→|＝|AD ―→＋BC ―→|，即③正确；因为|AD ―→＋CD ―→|＝|BC ―→＋CD ―→|＝|BD ―→BD ―→|，|CD ―→－CB ―→|＝|CD ―→＋BC ―→|＝|BD ―→|，所以④正确．综上所述，正确的个数为3，故选C.3．边长为1的正三角形ABC 中，|AB －BC |的值为 ( ) A ．1 B ．2 C.32D. 3解析：选D 延长CB 到点D ，使BD ＝1，连接AD ， 则AB －BC ＝AB ＋BC ＝AB ＋BD ＝AD . 在△ABD 中，AB ＝BD ＝1，∠ABD ＝120°， 易求得AD ＝3∴|AB －BC |＝ 3.4．已知OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则 ( )A ．a ＋b ＋c ＋d ＝0B ．a －b ＋c －d ＝0C ．a ＋b －c －d ＝0D ．a －b －c ＋d ＝0解析：选B 如图，a －b ＝OA －OB ＝BA ，c －d ＝OC －OD ＝DC ， 又四边形ABCD 为平行四边形，则BA ＝CD ，即BA －CD ＝0， 所以BA ＋DC ＝0，即a －b ＋c －d ＝0.故选B.5. 如图所示，已知点O 为平行四边形ABCD 内一点，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，则OD ＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：OD ＝OA ＋AD ＝OA ＋BC ＝OA ＋OC －OB ＝a ＋c －b ＝a －b ＋c . 答案：a －b ＋c6．已知非零向量a ，b 满足|a |＝7＋1，|b |＝7－1，且|a －b |＝4，则|a ＋b |＝________. 解析：设OA ＝a ，OB ＝b ，则|BA |＝|a －b |.以OA 与OB 为邻边作平行 四边形OACB ，如图所示，则|OC |＝|a ＋b |.由于(7＋1)2＋ (7－1)2＝42，故|OA |2＋|OB |2＝|BA |2，所以△AOB 是∠AOB 为90°的直角三角形，从而OA ⊥OB ，所以平行四边形OACB 是矩形，根据矩形的对角线相等有|OC |＝|BA |＝4，即|a ＋b |＝4. 答案：47．若向量a ，b 满足|a |＝4，|a －b |＝5，|a ＋b |＝5，求|b |. 解：如图，作OA ＝a ，OB ＝b ，再以OA ，OB 为邻边作▱OACB ， 则有OC ＝a ＋b ，BA ＝a －b .∵|a －b |＝|a ＋b |＝5，∴|BA |＝|OC |， ∴平行四边形OACB 为矩形，∴|OB |2＝|BA |2－|OA |2＝52－42＝9， ∴|b |＝|OB |＝3.8．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，求|a ＋b |的值．解：如图，在平面内任取一点A ，作AD ＝a ，AB ＝b ， 则AC ＝a ＋b ，BD ＝a －b .由题意，知|AB |＝|BD |＝2，|AD |＝1. 过B 作BE ⊥AD 于E ，过C 作CF ⊥AB 交直线AB 于F . ∵AB ＝BD ＝2，∴AE ＝ED ＝12AD ＝12.在△ABE 中，cos ∠EAB ＝AE AB ＝14.在△CBF 中，∠CBF ＝∠EAB ， ∴cos ∠CBF ＝14.∴BF ＝BC cos ∠CBF ＝1×14＝14.∴CF ＝154. ∴AF ＝AB ＋BF ＝2＋14＝94.在Rt △AFC 中，AC ＝AF 2＋CF 2＝ 8116＋1516＝ 6. ∴|a ＋b |＝ 6.。
北师大版数学必修4课时作业13向量的减法 Word版含解析
课时作业向量的减法基础巩固(分钟，分)一、选择题(每小题分，共分)．在三角形中，＝，＝，则＝( )．－．－．＋．－－解析：＝＋＝＋(－)＝－.答案：．若，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )＝＋＝－＝－＋＝－－解析：＝＋＝－＝－＝－－.故选.答案：．下列式子不正确的是( )．－＝．－＝－(－)＋≠＝＋＋解析：根据向量减法的三角形法则，正确；正确；因为与是一对相反向量，相反向量的和为零向量，所以不正确；根据向量加法的多边形法则，正确．答案：．如图，在四边形中，设＝，＝，＝，则＝( )．－＋．－(＋)．＋＋．－＋解析：＝＋＋＝－＋.答案：．给出下列各式：①＋＋；②－＋－；③－－；④－＋＋.对这些式子进行化简，则其化简结果为的式子的个数是( )．．．．解析：①＋＋＝＋＝；②－＋－＝＋－(＋)＝－＝；③－－＝＋＋＝＋＝；④－＋＋＝＋＋－＝＋＝.答案：二、填空题(每小题分，共分)．化简(＋)＋(－)＝.解析：(＋)＋(－)＝(＋)＋(＋)＝＋＝.答案：．若，为相反向量，且＝，＝，则＋＝，－＝.解析：若，为相反向量，则＋＝，所以＋＝，又＝－，所以＝－＝，因为与－共线，所以－＝.答案：．设点是线段的中点，点在直线外，且＝，＋＝－，则＝.解析：以，为邻边作平行四边形，由向量加减法几何意义可知，＝＋，＝－，∵＋＝－平行四边形为矩形，∴＝，又＝，是线段的中点，∴＝＝＝.答案：三、解答题(每小题分，共分)．如图所示，已知＝，＝，＝，＝，＝，＝，试用，，，，，表示：()－；()＋；()－.解析：()因为＝，＝，所以－＝＝－＝－.()因为＝，＝，＝，＝，所以＋＝(－)＋(－)＝＋－－.()－＝＋＝＝－＝－.．已知＝，又＝λ，求实数λ.解析：因为＝λ，所以＝λ(－)，可得λ＝(－－λ).又因为＝，所以λ＝λ，可得－－λ＝λ，解得λ＝－.能力提升(分钟，分)．平面内有三点，，，设＝＋，＝－，若＝，则有( )．，，三点必在同一直线上。
[推荐学习]2018北师大版高中数学必修四学案：第二章 2.2 向量的减法
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2.2向量的减法学习目标 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算．知识点一相反向量思考实数a的相反数为－a，向量a与－a的关系应叫作什么？梳理与a________________的向量，叫作a的相反向量，记作________．(1)规定：零向量的相反向量仍是________．(2)－(－a)＝a.(3)a＋(－a)＝________＝________.(4)若a与b互为相反向量，则a＝________，b＝________，a＋b＝____.知识点二向量的减法思考1根据向量的加法，如何求作a－b?思考2向量减法的三角形法则是什么？梳理(1)定义：向量a加上____________，叫作a与b的差，即a－b＝__________.求两个向量____的运算，叫作向量的减法．→＝a，OB→＝b，则向量a－b＝________，如图所示．(2)几何意义：在平面内任取一点O，作OA(3)文字叙述：如果把向量a与b的起点放在O点，那么由向量b的终点B指向被减向量a的终点A，得到的向量BA→就是a—b.知识点三|a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者的关系思考在三角形中有两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合这一性质及向量加、减法的几何意义，|a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者关系是怎样的？→＝a，AB→＝b，则a＋b＝OB→，如图(1)，根据三角形的三梳理当向量a，b不共线时，作OA边关系，则有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.当a与b共线且同向或a，b中至少有一个为零向量时，作法同上，如图(2)，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.当a与b共线且反向或a，b中至少有一个为零向量时，不妨设|a|>|b|，作法同上，如图(3)，此时|a＋b|＝||a|－|b||.故对于任意向量a，b，总有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.①因为|a－b|＝|a＋(－b)|，所以||a|－|－b||≤|a－b|≤|a|＋|－b|，即||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.②将①②两式结合起来即为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.类型一向量减法的几何作图例1如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.引申探究若本例条件不变，则a －b －c 如何作？反思与感悟 在求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量．跟踪训练1 如图所示，已知向量a ，b ，c ，d ，求作向量a －b ，c －d .类型二 向量减法法则的应用 例2 化简下列式子： (1)NQ →－PQ →－NM →－MP →； (2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)．反思与感悟 向量减法的三角形法则的内容：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点． 跟踪训练2 化简：(1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)； (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)．类型三 向量减法几何意义的应用例3 已知|AB →|＝6，|AD →|＝9，求|AB →－AD →|的取值范围．反思与感悟 (1)如图所示，在平行四边形ABCD 中，若AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .(2)在公式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |中，当a 与b 方向相反且|a |≥|b |时，|a |－|b |＝|a ＋b |；当a 与b 方向相同时，|a ＋b |＝|a |＋|b |.(3)在公式||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |中，当a 与b 方向相同且|a |≥|b |时，|a |－|b |＝|a －b |；当a 与b 方向相反时，|a －b |＝|a |＋|b |.跟踪训练3 在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，且AC →＝a ＋b ，若|a ＋b |＝|a －b |，则四边形ABCD 的形状是( )A ．梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形1.如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则用a ，b 表示向量AC →和BD →分别是( ) A ．a ＋b 和a －b B ．a ＋b 和b －a C ．a －b 和b －a D ．b －a 和b ＋a2．化简OP →－QP →＋PS →＋SP →的结果等于( ) A.QP → B.OQ → C.SP →D.SQ →3．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →＋CD →|＝________. 4．若向量a 与b 满足|a |＝5，|b |＝12，则|a ＋b |的最小值为________，|a －b |的最大值为________．5.如图，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用a ，b ，c 表示向量BD →，BC →，BE →，CD →及CE →.→＝BA→就可以把减法转1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB化为加法．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．→＝a，AD→＝b，则两条对角线表示的向量为3．平行四边形ABCD的两邻边AB、AD分别为AB→＝a＋b，BD→＝b－a，DB→＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握．AC答案精析问题导学知识点一思考相反向量．梳理长度相等、方向相反－a(1)零向量(3)(－a)＋a0(4)－b－a0知识点二思考1先作出－b，再按三角形法则或平行四边形法则作出a＋(－b)．思考2(1)两个向量a，b的始点移到同一点；(2)连接两个向量(a与b)的终点；(3)差向量a－b的方向是指向被减向量的终点．这种求差向量a－b的方法叫作向量减法的三角形法则．概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”．→梳理(1)b的相反向量a＋(－b)差(2)BA知识点三思考它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.题型探究→＝a，AB→＝b，则OB→＝a＋b，再作OC→例1解方法一如图①，在平面内任取一点O，作OA＝c，则CB→＝a＋b－c.→＝a，AB→＝b，则OB→＝a＋b，再作CB→＝c，连方法二如图②，在平面内任取一点O，作OA接OC，则OC→＝a＋b－c.引申探究→＝a，OB→＝b，则BA→＝a－b.解如图，在平面内任取一点O，作OA再作CA→＝c，则BC→＝a－b－c.跟踪训练1 解 如图所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ， OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d .则a －b ＝BA →，c －d ＝DC →.例2 解 (1)原式＝NP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝NP →－NP →＝0. (2)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →)＝CB →＋BC →＝0. 跟踪训练2 解 (1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)＝CA →－CD →＝DA →. (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →) ＝AC →＋BA →－DC →＋(DO →＋OB →) ＝AC →＋BA →－DC →＋DB →＝BC →－DC →＋DB →＝BC →＋CD →＋DB → ＝BC →＋CB →＝0.例3 解 ∵||AB →|－|AD →||≤|AB →－AD →|≤|AB →|＋|AD →|，且|AD →|＝9，|AB →|＝6， ∴3≤|AB →－AD →|≤15.当AD →与AB →同向时，|AB →－AD →|＝3； 当AD →与AB →反向时，|AB →－AD →|＝15. ∴|AB →－AD →|的取值范围为[3,15]． 跟踪训练3 B 当堂训练1．B 2.B 3.2 4.7 175．解 ∵四边形ACDE 是平行四边形， ∴CD →＝AE →＝c ，→＝AC→－AB→＝b－a，BC→＝AE→－AB→＝c－a，BE→＝AE→－AC→＝c－b，CE→＝BC→＋CD→＝b－a＋c. ∴BD。
2017_2018学年高中数学课下能力提升十五向量的减法北师大版必修4
课下能力提升(十五) 向量的减法一、选择题A．①②B．②③C．③④D．①④3．如图，D，E，F别离是△ABC的边AB，BC，CA的中点，那么( )4．a与b是非零向量，以下结论正确的选项是( )A．|a|＋|b|＝|a＋b| B．|a|－|b|＝|a－b|C．|a|＋|b|>|a＋b| D．|a|＋|b|≥|a＋b|二、填空题5．假设菱形ABCD的边长为2，那么＝________.6．假设A、B、C、D是平面内任意四点，给出以下式子：①AB＋其中所有正确的式子的序号是________．7．在▱ABCD中，＝b，|a|＝|b|＝2，∠BAD＝120°，那么|a－b|＝________.8.如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝c，试用a，b，c表示＝________.三、解答题9．如图，在正五边形ABCDE中，假设＝c，＝e，求作向量a－c＋b－d －e.10. 如图，▱ABCD中，＝b，(1)用a、b表示；(2)当a、b知足什么条件时，a＋b与a－b的所在直线相互垂直？(3)当a、b知足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|.(4)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？什么缘故？答案1.2.3．4．解析：选D当a，b共线时，若a，b同向，那么|a＋b|＝|a|＋|b|，a，b反向时，|a＋b|<|a|＋|b|；当a，b不共线时，如图有：|a＋b|<|a|＋|b|.故|a|＋|b|≥|a＋b|.5．答案：26．答案：②③7．解析：如图，依题意▱ABCD是菱形，∴∠DAO＝60°，∴DO＝AD×sin 60°＝2×32＝3，故|a－b|＝|DB|＝2DO＝2 3.答案：2 38.＝a－b＋c.答案：a－b＋c9．解：a－c＋b－d－e＝(a＋b)－(c＋d＋e).如图，连接AC，并延长至点F，使CF＝AC，那么.因此，即为所求作的向量a－c＋b－d－e.10. 解：(1)＝a－b.(2)由(1)知a＋b＝AC，a－b＝DB.a＋b与a－b的所在直线垂直，即AC⊥BD.又∵ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为菱形，即a、b应知足|a|＝|b|.(3)|a＋b|＝|a－b|，即|AC|＝|BD|.∵矩形的对角线相等．∴当a与b的所在直线垂直时，知足|a＋b|＝|a－b|.(4)不可能，因为▱ABCD的两对角线不可能平行，因此a＋b与a－b不可能为共线向量，也就不可能为相等向量．。
北师大版必修4高中数学第2章平面向量22.2向量的减法
自主预习 探新知
向量的减法 (1)相反向量
把与 a 长度_相__等__、方向_相__反__的向量，叫作 a 的相反向量， 定
记作_－__a__； 义
规定_零__向__量__，于是－0＝0；
性 (2)互为相反向量的两个向量的和为_0_，即 a＋(－a)＝(－a)
∴四边形 ABCD 为平行四边形． 又|a－b|＝|a－d|，从而|O→A－O→B|＝|O→A－O→D|， ∴|B→A|＝|D→A|，∴四边形 ABCD 为菱形．
1．关于向量的加法和减法，一种方法就是依据三角形法则通过 作图来解决，另一种方法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运 算来解决．
2．用几个向量表示某个向量问题的解题步骤是：第一步，观察 向量位置；第二步，寻找(或作)有关的平行四边形或三角形；第三步， 利用三角形或平行四边形法则找关系；第四步，化简结果．
2．化简下列式子： (1)N→Q－P→Q－N→M－M→P； (2)(A→B－C→D)－(A→C－B→D)． [解] (1)原式＝N→P＋M→N－M→P＝N→P＋P→N＝N→P－N→P＝0. (2)原式＝A→B－C→D－A→C＋B→D ＝(A→B－A→C)＋(D→C－D→B)＝C→B＋B→C＝0.
向量加减法的综合应用
第二章 平面向量
§2 从位移的合成到向量的加法 2.2 向量的减法
学习目标
核心素养
1.知道向量减法的定义，理 1.通过学习向量减法的定义及相反向
解相反向量的意义． 量，体会数学抽象素养．
2．掌握向量减法的运算及 2．通过向量减法的运算及几何意义作
几何意义，能作出两个向量 出向量的差，体会数学直观素养.
2．在△ABC 中，A→B＝a，A→C＝b，则B→C＝( )
【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修四《数乘向量》课时提升练习及解析
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四课时提升作业 3.1数乘向量一、选择题(每小题3分,共18分) 1.(2014·开远高一检测)0AB →= ( ) A.0B.0C.AB →D.BA →【解析】选B.0AB →=0.2.如图,在正方形ABCD 中,点E 为CD 的中点,点F 为BC 上靠近点B 的一个三等分点,则EF →= ( )A.12AB →-13AD →B.14AB →-12AD →C.13AB →+12AD →D.12AB →-23AD →【解析】选 D.在正方形ABCD 中,点E 为CD 的中点,点F 为BC 上靠近点B 的一个三等分点,故EF →=EC →+CF →=12AB →+23CB →=12AB →-23AD →.3.如图,在正方形ABCD 中,下列描述中正确的是 ( )A.AB →=BC →B.AB →=CD →C.AC →=√2AB →D.|AB →+BC →|=|AB →-BC →|【解析】选D.在正方形ABCD 中,设边长等于1, 因为AB →+BC →=AC →,所以|AB →+BC →|=|AC →|=√2,|AB →-BC →|=|AB →-AD →|=|DB →|=√2, 所以|AB →+BC →|=|AB →-BC →|,故选D.4.已知O,A,B 是平面上不共线的三点,若点C 满足AC →=CB →,则向量OC →等于( ) A.OA →-OB →B.OA →+OB →C.12(OA →-OB →)D.12(OA →+OB →)【解题指南】由于O,A,B 是平面上不共线的三点,若点C 满足AC →=CB →,可得C 是AB 的中点.【解析】选D.由已知OC →=OA →+AC →,又AC →=CB →,所以OC →=OA →+CB →=OA →+OB →-OC →,故2OC →=OA →+OB →,OC →=12(OA →+OB →),故选D.5.设M 是▱ABCD 的对角线的交点,O 为任意一点(且不与M 重合),则OA →+OB →+OC →+OD →等于 ( )A.OM →B.2OM →C.3OM →D.4OM →【解析】选D.因为O 为任意一点,不妨把A 点看成O 点,则OA →+OB →+OC →+OD →=0+AB →+AC →+AD →, 因为M 是▱ABCD 的对角线的交点,所以0+AB →+AC →+AD →=2AC →=4AM →,故选D. 6.已知OM →=23OA →+13OB →,设AM →=λAB →,那么实数λ的值是 ( ) A.16B.15C.14D.13【解析】选D.因为AM →=λAB →, 所以OM →-OA →=λ(OB →-OA →). 因为OM →=23OA →+13OB →,所以-13OA →+13OB →=λ(OB →-OA →), 即13(OB →-OA →)=λ(OB →-OA →),所以λ=13. 二、填空题(每小题4分,共12分)7.如图所示,已知O 是△ABC 所在平面内一点,D 为BC 边的中点,且2OA →+OC →+OB →=0,则OA →= OD →.【解析】因为D 为BC 的中点,所以OC →+OB →=2OD →,即2OA →+2OD →=0,所以OA →=-OD →. 答案:-8.(2014·如东高一检测)已知向量e 1≠0,e 2≠0,μ∈R.向量a =μe 1+e 2,b =2e 2,若a 与b 共线,则下列关系中一定成立的是 .①μ=0;②e 1∥e 2;③e 1∥e 2或μ=0【解析】当μ=0时,显然a 与b 共线;当e 1∥e 2时也有a 与b 共线,故③一定成立. 答案:③【误区警示】本题容易出现错选①②的情况,当①②成立时向量共线,但向量共线①②不一定成立,应理清其中的逻辑关系.9.(2014·宜昌高一检测)已知O,A,M,B 为平面上四点,且OM →=λOB →+(1-λ)OA →,λ∈(1,2),则A,B,M 的关系是 .【解析】由OM →=λOB →+(1-λ)OA →可得AM →=λAB →,因为λ∈(1,2),因此点B 在线段AM 上. 答案:B 在线段AM 上三、解答题(每小题10分,共20分) 10.计算:(1)6(3a -2b )+9(-2a +b ). (2)12[(32)]23ab a b -7612a +37b +76a . (3)6(a -b +c )-4(a -2b +c )-2(-2a +c ). 【解析】(1)原式=18a -12b -18a +9b =-3b . (2)原式=1773()()2367a b a b =76a +12b -76a -12b =0.(3)原式=6a -6b +6c -4a +8b -4c +4a -2c =(6-4+4)a +(-6+8)b +(6-4-2)c =6a +2b .【拓展提升】向量的数乘运算的求解(1)向量的加、减法以及实数与向量的积的运算可类比实数的加、减法与乘法满足的运算法则.因此,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量的数乘运算中也都可以使用. (2)向量的运算与实数的运算在具体含义上是不同的,但它们在形式上类似. 11.(2013·南昌高一检测)已知点C 在线段AB 的延长线上,且AB AC =34.(1)用BC →表示AB →. (2)用CB →表示AC →.【解题指南】本题中已知条件没有涉及方向,但欲求结果中却涉及了方向.因此,解答此类问题,要把握好从单一的长度要素向长度、方向双重要素的过渡.【解析】如图①,由已知点C 在线段AB 的延长线上,且AB AC =34,所以ABAB+BC =34,解得AB=3BC. 同时可得AC=4CB.(1)如图②,向量AB →与BC →的方向相同, 所以AB →=3BC →.(2)如图③,向量AC →与CB →的方向相反, 所以AC →=-4CB →.一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知空间四边形ABCD,M,G 分别是BC,CD 的中点,连接AM,AG,MG,则AB →+12(BD →+BC →)等于 ( )A.AG →B.CG →C.BC →D.12BC →【解析】选A.AB →+12(BD →+BC →)=AB →+BG →=AG →.2.在△ABC 中,AN →=13NC →,P 是BN 上的一点,若AP →=m AB →+29AC →,则实数m 的值为( )A.19B.13C.1D.3【解题指南】利用数乘向量及向量的加减法,用向量AB →,AC →表示出向量AP →. 【解析】选A.因为AN →=13NC →,AP →=m AB →+29AC →, 所以AP →=m AB →+89AN →,设BP →=λPN →(λ>0),得AP →=11+λAB →+λ1+λAN →,所以m=11+λ且89=λ1+λ,解之得λ=8,m=19,故选A.3.(2014·百色高一检测)若O 为平行四边形ABCD 的中心,AB →=4e 1,BC →=6e 2,则6e 2-4e 1等于 ( ) A.AD →B.BD →C.AC →D.DC →【解析】选B.6e 2-4e 1=BC →-AB →=AD →-AB →=BD →.4.(2014·长沙高一检测)设e 1,e 2是两个不共线的向量,若向量m =-e 1+k e 2(k ∈R)与向量n =e 2-2e 1共线,则 ( ) A.k=0B.k=1C.k=2D.k=12【解题指南】解答本题的关键是根据e 1,e 2不共线,分析是否可以找到实数λ,使m =λn . 【解析】选D.由题意m =λn ,所以{−1=−2λ,k =λ,解得k=12.【变式训练】a =e 1+2e 2,b =3e 1-4e 2,且e 1,e 2共线,则a 与b ( ) A.共线 B.不共线C.相等D.可能共线也可能不共线【解析】选A.因为e 1,e 2共线,所以存在λ使得e 1=λe 2,故a =(λ+2)e 2,b =(3λ-4)e 2,故a 与b 共线. 二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2013·江苏高考)设D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点,AD=12AB,BE=23BC,若DE →=λ1AB →+λ2AC →(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 .【解题指南】利用向量加法的三角形法则,将DE →转化为AB →与AC →和的形式. 【解析】由DE →=DB →+BE →=12AB →+23BC →=12AB →+23(AC →-AB →)=-16AB →+23AC →, 则λ1+λ2的值为12. 答案:12【变式训练】在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是边CD 和BC 的中点,且AC →=λAE →+μAF →,其中λ,μ∈R,则λ+μ= .【解析】AE →=12AB →+AD →,AF →=AB →+12AD →,故AB →=-23AE →+43AF →,AD →=43AE →-23AF →,故AC →=AB →+AD →=23AE →+23AF →,故λ+μ=43.答案:436.(2014·景德镇高一检测)已知在△ABC 中,点M 满足MA →+MB →+MC →=0,若存在实数m 使得AB →+AC →=m AM →成立,则m= .【解题指南】确定点M 为△ABC 的重心,利用向量的加法法则,即可求得m 的值. 【解析】由点M 满足MA →+MB →+MC →=0,知点M 为△ABC 的重心,设点D 为底边BC 的中点, 则AM →=23AD →=23×12×(AB →+AC →)=13(AB →+AC →),所以AB →+AC →=3AM →,所以m=3.答案:3三、解答题(每小题12分,共24分)7.设P 是△ABC 所在平面内的一点,BC →+BA →=2BP →,证明PC →+PA →=0. 【证明】因为BC →+BA →=2BP →,所以点P 为线段AC 的中点,如图:即PC →+PA →=0.8.在△ABC 中,点D 在线段BC 的延长线上,且BC →=3CD →,点O 在线段CD 上(与点C,D 不重合),若AO →=x AB →+(1-x )AC →,求x 的取值范围.【解题指南】根据所给的数量关系,写出要求向量的关系式,注意共线的向量之间的三分之一关系,根据表示的关系式和所给的关系式进行比较,得到结果. 【解析】设CO →=y BC →, 因为AO →=AC →+CO →=AC →+y BC →=AC →+y(AC →-AB →) =-y AB →+(1+y)AC →,因为BC →=3CD →,点O 在线段CD 上(与点C,D 不重合), 所以y ∈(0,13), 因为AO →=x AB →+(1-x)AC →, 所以x ∈(−13,0).【变式训练】如图所示,已知△OAB.(1)若OP →=x OA →+y OB →,且点P 在直线AB 上,则x,y 应满足什么条件? (2)若正实数x,y 满足x+y<1,且有OP →=x OA →+y OB →,试求证点P 必在△OAB 内.【解析】(1)由点P 在直线AB 上得AP →=λAB →=λ(OB →-OA →),故OP →=OA →+AP →=(1-λ)OA →+λOB →. 又OP →=x OA →+y OB →,且在△OAB 中,OA →,OB →不共线,所以x=1-λ,y=λ,故x+y=(1-λ)+λ=1. (2)由题意设x+y=t,t ∈(0,1),则x t +yt =1.设P ′为平面内一点,且OP ′→=x t OA →+y t OB →,则AP ′→=OP ′→-OA →=(xt -1)OA →+y t OB →=-y t OA →+y t OB →=yt (OB →-OA →)=y t AB →,所以点P ′在直线AB 上.又yt∈(0,1),所以点P ′在线段AB 上.又OP →=x OA →+y OB →=t OP ′→,t ∈(0,1),即点P 在线段OP ′上,所以点P 必在△OAB 内.。
2017-2018学年高中数学北师大版必修四教学案：第二章 §2 第2课时 向量的减法
第2课时向量的减法[核心必知]1．相反向量(1)定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量．记作：－a．(2)相反向量的性质①－0＝0，－(－a)＝a；②a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；③如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．2．向量的减法[问题思考]1．向量减法的实质是什么？提示：向量减法的实质是加法的逆运算，即a－b＝a＋(－b)．2．如何运用三角形法则进行向量的减法运算？提示：如已知向量a，b，求a－b，在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，连接AB，则BA＝a－b.讲一讲1．已知向量a，b，c求作向量a＋b－c.[尝试解答] 法一：在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，连接OB，则OB＝a＋b.再作OC＝c，连接BC，则CB＝OB－OC＝a＋b－c即为所求(如图)法二：在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，以OA，OB为邻边，作▱OACB，连接OC，则OC＝a＋b.再作OD＝c，连接CD.则DC＝OC－OD＝a＋b－c即为所求(如图)．法三：在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，连接OB，则OB＝a＋b.再作BC＝－c，连接OC.则OC＝OB＋BC＝a＋b－c即为所求(如图)．1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB＝BA就可以把减法化为加法．在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接两向量终点，箭头指向被减向量”即可．2．以向量AB＝a、AD＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为AC＝a＋b，BD＝b－a，DB＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．3．三角形法则和平行四边形法则对于向量的减法同样适用．练一练1．如图，已知正方形ABCD的边长等于1，AB＝a，BC＝b，AC＝c，试作向量a－b＋c.讲一讲2．化简下列各式：1．计算向量的加减法时应谨记以下口诀：(1)加法口诀：首尾相接，箭头从始点指向最后一个终点．(2)减法口诀：始点相同连接终点，箭头指向被减向量．2．多个向量作加减运算时，应把首尾相连的放在一起计算，起点相同的放在一起计算．必要时，可画出图形，结合图形观察，将使问题更为直观．练一练讲一讲3．已知▱ABCD 中，∠ABC ＝60°，设AB ＝a ，AD ＝b ，若|a |＝|a ＋b |＝2，求|a －b |的值． [尝试解答]依题意，|AC |＝|a ＋b |＝2，而|AB |＝|a |＝2，∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形．∴BC ＝AB . ▱ABCD 为菱形，AC ⊥BD ， ∴|a |2＝(12|a ＋b |)2＋(12|a －b |)2即4＝1＋|a －b |24，∴|a －b |＝2 3.本题的解答是利用了向量加法与减法的几何意义，一般地，若a ，b 是两个不共线的向量，在平面内任取一点A 作AB ＝a ，AD ＝b ，以AB 、AD 为邻边作▱ABCD ，那么AC ＝a ＋b ，BD ＝a －b .恰当地构造平行四边形，寻找|a |，|b |，|a ±b |的关系，灵活运用平面图形的性质是解答本题的关键．练一练3．已知非零向量a，b满足|a|＝7＋1，|b|＝7－1，且|a－b|＝4，求|a＋b|的值．解：所以△OAB是以∠AOB为直角的直角三角形，从而OA⊥OB，所以▱OACB是矩形．根据矩形的对角线相等有＝4，即|a＋b|＝4.如图，四边形ABCD为平行四边形，. 试用a，b，c表示向量.[错解] ∵＝c＋b－a.[错因] 错误地使用了向量的减法法则，误认为，在应用三角形法则作向量减法时，应注意“连接两向量终点，箭头指向被减向量”．＝a－b＋c.1．在四边形ABCD中，设等于( )A．a－b＋c B．a＋b＋cC．b－(a＋c) D．b－a＋c解析：选A＝－b＋a＋c.4．已知|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝5，则|a－b|＝________．解析：∵(5)2＝12＋22.∴以a，b为邻边的平行四边形为矩形，那么|a－b|＝|a＋b|＝ 5.答案： 55．给出下列运算：∴①，②正确，③不正确．答案：①②6．如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.解：法一：如图①，在平面内任取一点O，作＝b，则OB＝a＋b，再作OC＝c，则CB＝a＋b－c.法二：如图②，在平面内任取一点O，作＝b，则OB＝a＋b，再作CB＝c，连接OC，则OC＝a＋b－c.一、选择题A．①②B．②③C．③④ D．①④3．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )4．a与b是非零向量，下列结论正确的是( )A．|a|＋|b|＝|a＋b| B．|a|－|b|＝|a－b|C．|a|＋|b|>|a＋b| D．|a|＋|b|≥|a＋b|解析：选D当a，b共线时，若a，b同向，则|a＋b|＝|a|＋|b|，a，b反向时，|a＋b|<|a|＋|b|；当a，b不共线时，如图有：|a＋b|<|a|＋|b|.故|a|＋|b|≥|a＋b|.二、填空题5．若菱形ABCD的边长为2，则＝________.答案：26．若A、B、C、D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋其中所有正确的式子的序号是________．答案：②③7．在▱ABCD中，＝b，|a|＝|b|＝2，∠BAD＝120°，则|a－b|＝________.解析：如图，依题意▱ABCD是菱形，∴∠DAO＝60°，∴DO＝AD×sin 60°＝2×32＝3，故|a－b|＝|DB|＝2DO＝2 3.答案：2 38.如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝c，试用a，b，c表示＝________.＝a－b＋c.答案：a－b＋c三、解答题9．如图，在正五边形ABCDE中，若＝c，＝e，求作向量a－c＋b－d－e.解：a－c＋b－d－e＝(a＋b)－(c＋d＋e).如图，连接AC，并延长至点F，使CF＝AC，则.所以，即为所求作的向量a－c＋b－d－e. 10. 如图，▱ABCD中，＝b，(1)用a、b表示；(2)当a、b满足什么条件时，a＋b与a－b的所在直线互相垂直？(3)当a、b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|.(4)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？解：(1)＝a－b. (2)由(1)知a＋b＝AC，a－b＝DB.a＋b与a－b的所在直线垂直，即AC⊥BD.又∵ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为菱形，即a、b应满足|a|＝|b|.(3)|a＋b|＝|a－b|，即|AC|＝|BD|.∵矩形的对角线相等．∴当a与b的所在直线垂直时，满足|a＋b|＝|a－b|.(4)不可能，因为▱ABCD的两对角线不可能平行，因此a＋b与a－b不可能为共线向量，也就不可能为相等向量．。
2018_2019学年高中数学第二章平面向量2.2向量的减法课件北师大版必修4
【训练1】 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
→ ＝a， → ＝b， → 解 如图所示， 在平面内任取一点 O， 作OA AB 则OB → ＝c，则CB → ＝a＋b－c. ＝a＋b，再作OC
题型二 【例 2】
向量减法的运算 化简下列式子：
→ －PQ → －NM → －MP →； (1)NQ → －CD → )－(AC → －BD → )． (2)(AB
答案 13
→ 5．如图，O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 的交点，设AB → → → ＝a，DA＝b，OC＝c，用 a，b，c 表示OA.
→ ＝OB → ＋BA → ＝OC → ＋CB → ＋BA → 解 OA → ＋DA → －AB → ＝OC ＝c＋b－a.
课堂小结 1．向量减法是向量加法的逆运算．即减去一个向量等于加上这个 向量的相反向量．如 a－b＝a＋(－b)． 2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的 终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断， 区分 a－b 与 b－a. → ＝a，AD → ＝b 为邻边作平行四边形 ABCD，则两条对 3．以向量AB → ＝a＋b，BD → ＝b－a. 角线的向量为AC
规律方法
1.关于向量的加法和减法，一种方法就是依据三角形
法则通过作图来解决，另一种方法就是通过表示向量的有向线 段的字母符号运算来解决． 2．用几个向量表示某个向量问题的解题步骤是：第一步，观察 向量位置；第二步，寻找(或作)有关的平行四边形或三角形；第 三步，利用三角形或平行四边形法则找关系；第四步，化简结 果.
答案 D
题型一 向量减法法则的应用 【例1】 －d. 如图所示，已知向量 a 、b 、 c 、 d ，求作向量 a－ b ，c
【全程复习方略】高中数学 2.2.2向量的减法课时作业 北师大版必修4
向量的减法一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·三明高一检测)化简-+-得( )A. B. C. D.0【解析】选D.-+-=+++=0.【举一反三】化简+--的结果是( )A.0B.C.D.【解析】选A.+--=+++=0.2.在△ABC中,=a,=b,则等于( )A.a+bB.-(a+b)C.a-bD.b-a【解析】选B.= -=--=-a-b=-(a+b),故选B.3.在平行四边形ABCD中,-+等于( )A. B. C. D.【解析】选D.-+=++=.故应选D.4.已知向量a与b反向,下列等式中成立的是( )A.|a|-|b|=|a-b|B.|a+b|=|a-b|C.|a|+|b|=|a-b|D.|a|+|b|=|a+b|【解题指南】结合向量减法的几何意义求解.【解析】选C.因为向量a与b反向,所以a+b,a-b与a,b同向(或反向)且满足|a|+|b|=|a-b|. 【误区警示】本题在求解过程中常因不理解“向量a与b反向”而错选D.5.下列式子中不能化简为的是( )A.++B.+++C.-+D.+-【解析】选 D.A中,++=++=;B中,+++=+(++)=+0=;C中,-+=+=;D 中,+-=2+,故选D.6.(2014·塘沽高一检测)如图,已知O为平行四边形ABCD内一点,=a,=b,=c,则= ( )A.a+b-cB.a-b-cC.a-b+cD.a+b+c【解析】选C.因为=,=-,=-,所以-=-,=-+.所以=a-b+c.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·如东高一检测)化简以下各式:①++;②-+-;③-+;④++-.其结果为0的个数是.【解析】①++=+=0;②-+-=++=0;③-+=+=0;④++-=+++=0.答案:48.(2013·蚌埠高一检测)如图,D,E,F是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则-的结果为①;②;③,其中正确的序号为.【解析】由图可知,-= -==,又==,故①②③均正确.答案:①②③9.若||=5,||=8,则||的取值范围是.【解题指南】找与,的关系:-=.【解析】=-,所以||=|-|,||-||≤|-|≤||+||,即3≤||≤13.答案:[3,13]三、解答题(每小题10分,共20分)10.如图,解答下列各题:(1)用a,d,e表示.(2)用b,c表示.(3)用a,b,e表示.(4)用c,d表示.【解析】(1)=++=d+e+a=a+d+e.(2)=-=--=-b-c.(3)=++=e+a+b=a+b+e.(4)=-=-(+)= -c-d.11.(2014·南京高一检测)如图所示,D,E在线段BC上,且BD=EC,求证:+=+.【证明】因为-=,-=,D,E在线段BC上,且BD=EC,所以与大小相等,方向相同,所以=.所以-=-,即+=+.一、选择题(每小题4分,共16分)1.如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则( )A.++=0B.-+=0C.+-=0D.--=0【解题指南】模相等、方向相同的向量为相等向量,得出图中的相等向量,再由向量加法法则得选项. 【解析】选A.由题图可知=,==,在△DBE中,++=0,即++=0.2.已知P为△ABC所在平面内一点,当+=时,点P位于( )A.△ABC的AB边上B.△ABC的BC边上C.△ABC的内部D.△ABC的外部【解析】选D.由+=得=-=,所以P在过A与BC平行的直线上(一确定的点),故P位于△ABC的外部.3.平面内有四边形ABCD和点O,若+=+,则四边形ABCD的形状是( )A.梯形B.平行四边形C.矩形D.菱形【解析】选B.因为+=+,所以-=-,即=.又A,B,C,D四点不共线,所以||=||,且BA∥CD,故四边形ABCD为平行四边形.4.(2014·烟台高一检测)如图,设△ABC三条边的中线AD,BE,CF相交于点G,则下列三个向量:++,++,++中,等于零向量的有( )A.3个B.2个C.1个D.0个【解题指南】由△ABC三条边的中线AD,BE,CF相交于点G,结合图形知++=0,++=-+=0,++=(++)=≠0.【解析】选B.因为△ABC三条边的中线AD,BE,CF相交于点G,所以++=0,++=-+=0,++=(++)=≠0,所以三个向量:++,++,++中,等于零向量的有2个.【拓展提升】向量加减法的四点化简技巧(1)加法:首尾连(如++=),起点到终点.(2)减法:共起点(如-=),连终点,指被减.(3)化减法为加法:减去一个向量等于加上这个向量的相反向量(如-=+=).(4)凑零法:相反向量和为0(如+=0).二、填空题(每小题5分,共10分)5.若菱形ABCD的边长为2,则|-+|= .【解析】|-+|=|++|=|+|=||=2.答案:26.(2014·郑州高一检测)已知三角形ABC为等腰直角三角形,且∠A=90°,有下列等式:①|+|=|-|;②|-|=|-|;③|-|=|-|;④|-|2=|-|2+|-|2.其中正确等式的序号为.【解析】以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,由题意知其为正方形.①因为|+|=||,|-|=||,||=||,所以①正确;②因为|-|=||,|-|=||,||=||,所以②正确;③因为|-|=|+|=||,|-|=|+|=||,||=||,所以③正确;④因为|-|2=||2,|-|2+|-|2=|+|2+|+|2=||2+||2=||2,所以④正确.答案:①②③④三、解答题(每小题12分,共24分)7.设O是△ABC内一点,且=a,=b,=c,若以线段OA,OB为邻边作平行四边形,第四个顶点为D,再以OC,OD为邻边作平行四边形,其第五个顶点为H.试用a,b,c表示,,.【解题指南】根据向量加减法的运算法则求解.【解析】由题意可知四边形OADB为平行四边形,所以=+=a+b,所以=-=c-(a+b)=c-a-b.又四边形ODHC为平行四边形,所以=+=c+a+b,所以=-=a+b+c-b=a+c.8.(2014·宿迁高一检测)如图所示,O为△ABC的外心,H为垂心,求证:=++.【解题指南】三角形的外心是三角形各边垂直平分线的交点,三角形的垂心是三角形各边高线的交点,利用外心及垂心的性质解题.【证明】作直径BD,连结DA,DC,则=-,DA⊥AB,AH⊥BC,CH⊥AB,CD⊥BC.所以CH∥DA,AH∥DC,故四边形AHCD是平行四边形.所以=,又=-=+,所以=+=+=++.。
北师大版数学高一必修4练习 向量的减法
[A 基础达标]1．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE →B.EF →＝OF →－OE →C.EF →＝－OF →＋OE →D.EF →＝－OF →－OE →解析：选B.根据向量的减法的定义可得EF →＝OF →－OE →. 2．下列式子不正确的是( ) A ．a ＋0＝aB ．a ＋b ＝b ＋aC.AB →＋BA →≠0D.AC →＝DC →＋AB →＋BD →解析：选C.根据向量加法的三角形法则，A 正确；向量加法满足交换律，B 正确； 因为AB →与BA →是一对相反向量，相反向量的和为零向量，所以C 不正确；根据向量加法的多边形法则， D 正确．3．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD →－AC →等于( ) A.CB → B.BC → C.CD →D.DC →解析：选C.在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD →－AC →＝CD →.4．如图，在任意四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则EF →＋EF →＝( )A.AB →B.AB →＋DC →C.DC →D.AD →＋BC →解析：选B.因为EF →＝EA →＋AB →＋BF →，EF →＝ED →＋DC →＋CF →，又EA →与ED →互为相反向量，BF →与CF →互为相反向量，所以EA →＋ED →＝0，BF →＋CF →＝0.所以EF →＋EF →＝ED →＋DC →＋CF →＋EA →＋AB →＋BF →＝(ED →＋EA →)＋DC →＋AB →＋(BF →＋CF →)＝AB →＋DC →.5．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是( )A ．[3，8]B ．(3，8)C ．[3，13]D ．(3，13)解析：选C.当AB →与AC →不共线时，有BC →＝AC →－AB →(如图所示)， 由三角形三边的不等关系可知 8－5<|BC →|<8＋5，即3<|BC →|<13， 当AB →与AC →共线反向时，|BC →|＝13；当AB →与AC →共线同向时，|BC →|＝3，所以3≤|BC →|≤13.6．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________．解析：BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝(BA →－BC →)－(OA →－OD →)＋DA → ＝CA →－DA →＋DA →＝CA →. 答案：CA →7．化简：(1)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)＝________． (2)(PQ →－MO →)＋(QO →－QM →)＝________．解析：(1)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)＝AD →＋MB →＋BC →＋CM →＝AD →＋(MB →＋BC →)＋CM →＝AD →＋MC →＋CM →＝AD →.(2)(PQ →－MO →)＋(QO →－QM →)＝PQ →＋QO →－(QM →＋MO →)＝PO →－QO →＝PO →＋OQ →＝PQ →. 答案：(1)AD → (2)PQ →8．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →＋CD →|＝________解析：因为菱形ABCD 的边长为2，所以|AB →－CB →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AC →＋CD →|＝|AD →|＝2.答案：2 9.如图，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示以下向量：(1)AC →；(2)AD →；(3)DF →＋FE →＋ED →. 解：(1)AC →＝OC →－OA →＝c －a .(2)AD →＝AO →＋OD →＝－OA →＋OD →＝－a ＋d .(3)DF →＋FE →＋ED →＝DO →＋OF →＋FO →＋OE →＋EO →＋OD →＝0.10．如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试作出下列向量，并分别求出其长度．(1)a ＋b ＋c ；(2)a －b ＋c .解：(1)由已知得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →， 又AC →＝c ，所以延长AC 到E ，使|CE →|＝|AC →|.则a ＋b ＋c ＝AE →，且|AE →|＝2 2. 所以|a ＋b ＋c |＝2 2. (2)作BF →＝AC →，连接CF . 则DB →＋BF →＝DF →，而DB →＝AB →－AD →＝a －BC →＝a －b ， 所以a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →且|DF →|＝2. 所以|a －b ＋c |＝2.[B 能力提升]1．平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形解析：选B.因为OA →＋OC →＝OB →＋OD →， 所以OA →－OB →＝OD →－OC →，即BA →＝CD →，又A ，B ，C ，D 四点不共线， 所以|BA →|＝|CD →|，且BA ∥CD ， 故四边形ABCD 为平行四边形．2．如图，在正六边形ABCDEF 中，与OA →－OC →＋CD →相等的向量有________．①CF →；②AD →；③BE →；④DE →－FE →＋CD →；⑤CE →＋BC →；⑥CA →－CD →；⑦AB →＋AE →. 解析：因为四边形ACDF 是平行四边形， 所以OA →－OC →＋CD →＝CA →＋CD →＝CF →， DE →－FE →＋CD →＝CD →＋DE →＋EF →＝CF →， CE →＋BC →＝BC →＋CE →＝BE →， CA →－CD →＝DA →，因为四边形ABDE 是平行四边形， 所以AB →＋AE →＝AD →，综上知与OA →－OC →＋CD →相等的向量是①④. 答案：①④3．在五边形ABCDE 中，设AB →＝m ，BC →＝n ，CD →＝p ，DE →＝q ，EA →＝r ，求作向量m －p ＋n －q －r .解：因为m －p ＋n －q －r ＝(m ＋n )－(p ＋q ＋r )＝(AB →＋BC →)－(CD →＋DE →＋EA →) ＝AC →－CA →＝AC →＋AC →.延长AC 到M ，使|CM →|＝|AC →|，则CM →＝AC →， 所以AC →＋AC →＝AC →＋CM →＝AM →.所以向量AM →为所求作的向量，如图所示．4．(选做题)已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，M 是斜边AB 的中点，CM →＝a ，CA →＝b .求证：(1)|a －b |＝|a |； (2)|a ＋(a －b )|＝|b |.证明：因为△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°， 所以CA ＝CB .又M 是斜边AB 的中点，所以CM ＝AM ＝BM . (1)因为CM →－CA →＝AM →， 又|AM →|＝|CM →|，所以|a －b |＝|a |.(2)因为M 是斜边AB 的中点，所以AM →＝MB →，所以a ＋(a －b )＝CM →＋(CM →－CA →)＝CM →＋AM →＝CM →＋MB →＝CB →， 因为|CA →|＝|CB →|，所以|a ＋(a －b )|＝|b |.。
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（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四
课时提升作业
向量的减法
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.(2014·三明高一检测)化简-+-得( )
A. B. C. D.0
【解析】选D.-+-=+++=0.
【举一反三】化简+--的结果是( )
A.0
B.
C.
D.
【解析】选A.+--=+++=0.
2.在△ABC中,=a,=b,则等于( )
A.a+b
B.-(a+b)
C.a-b
D.b-a
【解析】选B.=-=--=-a-b=-(a+b),故选B.
3.在平行四边形ABCD中,-+等于( )
A. B. C. D.
【解析】选D.-+=++=.故应选D.
4.已知向量a与b反向,下列等式中成立的是( )
A.|a|-|b|=|a-b|
B.|a+b|=|a-b|
C.|a|+|b|=|a-b|
D.|a|+|b|=|a+b|
【解题指南】结合向量减法的几何意义求解.
【解析】选C.因为向量a与b反向,所以a+b,a-b与a,b同向(或反向)且满足|a|+|b|=|a-b|.
【误区警示】本题在求解过程中常因不理解“向量a与b反向”而错选D.
5.下列式子中不能化简为的是( )
A.++
B.+++
C.-+
D.+-
【解析】选 D.A中,++=++=;B中,+++=+(++)=+0=;C 中,-+=+=;D中,+-=2+,故选D.
6.(2014·塘沽高一检测)如图,已知O为平行四边形ABCD内一点,=a,=b,=c,则= ( )
A.a+b-c
B.a-b-c
C.a-b+c
D.a+b+c
【解析】选C.因为=,=-,=-,
所以-=-,=-+.所以=a-b+c.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2014·如东高一检测)化简以下各式:①++;②-+-;
③-+;④++-.其结果为0的个数是.
【解析】①++=+=0;
②-+-=++=0;
③-+=+=0;
④++-=+++=0.
答案:4
8.(2013·蚌埠高一检测)如图,D,E,F是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则-的结果为①;②;③,其中正确的序号为.
【解析】由图可知,-=-==,又==,故①②③均正确.
答案:①②③
9.若||=5,||=8,则||的取值范围是.
【解题指南】找与,的关系:-=.
【解析】=-,所以||=|-|,||-||≤|-|≤||+||,即3≤||≤13. 答案:[3,13]
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.如图,解答下列各题:
(1)用a,d,e表示.
(2)用b,c表示.
(3)用a,b,e表示.
(4)用c,d表示.
【解析】(1)=++
=d+e+a=a+d+e.
(2)=-=--=-b-c.
(3)=++=e+a+b=a+b+e.
(4)=-=-(+)=-c-d.
11.(2014·南京高一检测)如图所示,D,E在线段BC上,且BD=EC,
求证:+=+.
【证明】因为-=,
-=,D,E在线段BC上,且BD=EC,所以与大小相等,方向相同,
所以=.所以-=-,即+=+.
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则( )
A.++=0
B.-+=0
C.+-=0
D.--=0
【解题指南】模相等、方向相同的向量为相等向量,得出图中的相等向量,再由向量加法法则得选项. 【解析】选A.由题图可知=,==,
在△DBE中,++=0,
即++=0.
2.已知P为△ABC所在平面内一点,当+=时,点P位于( )
A.△ABC的AB边上
B.△ABC的BC边上
C.△ABC的内部
D.△ABC的外部
【解析】选D.由+=得=-=,
所以P在过A与BC平行的直线上(一确定的点),故P位于△ABC的外部.
3.平面内有四边形ABCD和点O,若+=+,则四边形ABCD的形状是( )
A.梯形
B.平行四边形
C.矩形
D.菱形
【解析】选B.因为+=+,
所以-=-,
即=.又A,B,C,D四点不共线,
所以||=||,且BA∥CD,
故四边形ABCD为平行四边形.
4.(2014·烟台高一检测)如图,设△ABC三条边的中线AD,BE,CF相交于点G,则下列三个向量:++,++,++中,等于零向量的有( )
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
【解题指南】由△ABC三条边的中线AD,BE,CF相交于点G,结合图形知++=0,++=-+=0,++=(++)=≠0.
【解析】选B.因为△ABC三条边的中线AD,BE,CF相交于点G,所以++=0,
++=-+=0,
++=(++)=≠0,
所以三个向量:++,++,++中,等于零向量的有2个.
【拓展提升】向量加减法的四点化简技巧
(1)加法:首尾连(如++=),起点到终点.
(2)减法:共起点(如-=),连终点,指被减.
(3)化减法为加法:减去一个向量等于加上这个向量的相反向量(如-=+=).
(4)凑零法:相反向量和为0(如+=0).
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.若菱形ABCD的边长为2,则|-+|= .
【解析】|-+|=|++|
=|+|=||=2.
答案:2
6.(2014·郑州高一检测)已知三角形ABC为等腰直角三角形,且∠A=90°,有下列等式:
①|+|=|-|;
②|-|=|-|;
③|-|=|-|;
④|-|2=|-|2+|-|2.
其中正确等式的序号为.
【解析】以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,由题意知其为正方形.
①因为|+|=||,|-|=||,
||=||,所以①正确;
②因为|-|=||,|-|=||,||=||,所以②正确;
③因为|-|=|+|=||,|-|
=|+|=||,||=||,所以③正确;
④因为|-|2=||2,
|-|2+|-|2
=|+|2+|+|2=||2+||2=||2,所以④正确.
答案:①②③④
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.设O是△ABC内一点,且=a,=b,=c,若以线段OA,OB为邻边作平行四边形,第四个顶点为D,再以OC,OD为邻边作平行四边形,其第五个顶点为H.试用a,b,c表示,,.
【解题指南】根据向量加减法的运算法则求解.
【解析】由题意可知四边形OADB为平行四边形,
所以=+=a+b,
所以=-=c-(a+b)=c-a-b.
又四边形ODHC为平行四边形,
所以=+=c+a+b,
所以=-=a+b+c-b=a+c.
8.(2014·宿迁高一检测)如图所示,O为△ABC的外心,H为垂心,求证:=++.
【解题指南】三角形的外心是三角形各边垂直平分线的交点,三角形的垂心是三角形各边高线的交点,利用外心及垂心的性质解题.
【证明】作直径BD,连结DA,DC,
则=-,
DA⊥AB,AH⊥BC,CH⊥AB,CD⊥BC.
所以CH∥DA,AH∥DC,
故四边形AHCD是平行四边形.
所以=,
又=-=+,
所以=+=+=++.。