人教版初中数学九年级上册第21章《一元二次方程》单元测试题(含答案解析)

第二十一章《一元二次方程》单元测试题一、选择题（每小题只有一个正确答案）1．下列方程中一定是一元二次方程的是( )A．x2−2xy+y2=0B．x(x+3)=x2−1C．x+1x=0D．x2−2x=3 2．已知x=1是方程x2+px+1=0的一个实数根，则p的值是（）A．0B．1C．2D．﹣23．一元二次方程2x2-x+1=0的根的情况是（）A．两个不相等的实数根B．两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断4．已知一元二次方程ax2+bx+c=0，若a−b+c=0，则该方程一定有一个根为（）A．0B．1C．2D．-15．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣1=0时，下列变形正确的是（）A．（x﹣3）2=1B．（x﹣3）2=10C．（x+3）2=1D．（x+3）2=10 6．关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2＝0有两个不相等的实数根，则整数k的最小值是( )A．1B．0C．2D．37．九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是（）A．x（x﹣1）=28 B．12x（x﹣1）=28 C．2x（x﹣1）=28 D．12x（x+1）=288．已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a(1+x2)+2bx−c(1−x2)=0的两根相等，则△ABC为()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．任意三角形9．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）A．10×6﹣4×6x=32B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32C．（10﹣x）（6﹣x）=32D．10×6﹣4x2=3210．已知a、β是方程x2−2x−4=0的两个实数根，则a3+8β+6的值为（）A．−1B．2C．22D．3011．如果非零实数a是一元二次方程x2－5x＋m＝0的一个根，－a是方程x2＋5x－m＝0的一个根，那么a的值等于( )D．5A．0B．1C．1212．设x2−px+q=0的两实根为α，β，而以α2，β2为根的一元二次方程仍是x2−px+q=0，则数对(p, q)的个数是（）A．2B．3C．4D．0二、填空题13．请写出一个根为x＝1，另一个根满足－1<x<1的一元二次方程______________．14．如果关于x的方程x2+2ax﹣b2+2=0有两个相等的实数根，且常数a与b互为倒数，那么a+b=_____．15．某药品经两次降价后，从原来每箱60元降为每箱48.6元，则平均每次的降价率为________．16．方程x2＋px＋q＝0，甲同学因为看错了常数项，解得的根是6，－1；乙同学看错了一次项，解得的根是－2，－3，则原方程为_______________．17．定义新运算®：对于任意实数a、b都有：a®b=a2+ab，如果3®4=32+3×4=9+12=21，那么方程x®2=0的解为________.三、解答题18．解一元二次方程：(1)x2−2x−8=0（配方法）；(2)2x2−9x+8=0（公式法）；(3)7x(3x−2)=6(2−3x)；(4)(x+8)(x+1)=−12．19．已知关于x的方程(m2−1)x2−(m+1)x+m=0．(1)m为何值时，此方程是一元一次方程？(2)m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．20．关于x的方程x2﹣ax+a+1=0有两个相等的实数根，求(a+2a2−2a −a−1a2−4a+4)÷4−aa的值．21．已知方程x2﹣（k+1）x﹣6=0是关于x的一元二次方程．（1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根．22．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快件总件数分别是5万件和6.05万件，现假定该公司每月投递的快件总件数的增长率相同．(1)求该公司投递快件总件数的月平均增长率；(2)如果平均每人每月可投递快递0.4万件，那么该公司现有的16名快递投递员能否完成今年6月份的快递投递任务？23．某经销商经销的学生用品，他以每件280元的价格购进某种型号的学习机，以每件360元的售价销售时，每月可售出60个，为了扩大销售，该经销商采取降价的方式促销，在销售中发现，如果每个学习机降价1元，那么每月就可以多售出5个．(1)降价前销售这种学习机每月的利润是多少元？(2)经销商销售这种学习机每月的利润要达到7200元，且尽可能让利于顾客，求每个学习机应降价多少元？(3)在(2)的销售中，销量可好，经销商又开始涨价，涨价后每月销售这种学习机的利润能达到10580元吗？若能，请求出涨多少元；若不能，请说明理由．24．如图，AO=OB=50cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一只蚂蚁由A以2cm/s速度向B爬行，同时另一只蚂蚁由O点以3cm/s的速度沿OC方向爬行，几秒钟后，两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2？参考答案1．D【解析】【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可．【详解】A、是二元二次方程，故不是一元二次方程，故此选项错误；B、是一元一次方程，故此选项错误；C、是分式方程，不是一元二次方程，故此选项错误；D、是一元二次方程，故此选项正确；故选D．【点睛】此题主要考查了一元二次方程，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2．D【解析】【分析】把x=1代入x2+px+1=0，即可求得p的值.【详解】把x=1代入把x=1代入x2+px+1=0，得1+p+1=0，∴p=-2.故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程的解得定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键.3．C【解析】【分析】先计算△=b2-4ac的值，再根据计算结果判断方程根的情况即可．【详解】∵△=b 2 -4ac=1-8=-7＜0，∴一元二次方程2x 2 -x+1=0没有实数根．故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．4．C【解析】【分析】将c=-a-b代入原方程左边，再将方程左边因式分解即可．【详解】依题意，得c=-a-b，原方程化为ax2+bx-a-b=0，即a（x+1）（x-1）+b（x-1）=0，∴（x-1）（ax+a+b）=0，∴x=1为原方程的一个根，故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义．方程的解是使方程左右两边成立的未知数的值．5．B【解析】【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．【详解】x2﹣6x﹣1=0方程移项得：x2-6x=1，配方得：x2-6x+9=10，即（x-3）2=10，故选：B．【点睛】考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6．C【解析】【分析】若一元二次方程有两不相等实数根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围，并结合二次项系数不为0求出k的最小值．【详解】∵关于x的一元二次方程（k-1）x2+2x-2=0有两个不相等的实数根，∴△=4-4（k-1）×（-2）＞0，且k-1≠0，，且k≠1，解得k＞12则k的最小整数值是2．故选C．【点睛】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是根据△＞0⇔方程有两个不相等的实数根列出k的不等式，此题难度不大．7．B【解析】【分析】赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），x个班比赛总场数=x（x-1）÷2，即可列方程求解．【详解】设九年级共有x个班，每个班都要赛（x-1）场，但两班之间只有一场比赛，x（x-1）=28．故12故选B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数=队数×（队数-1）÷2，进而得出方程是解题关键．8．C【解析】【分析】方程a(1+x2)+2bx−c(1−x2)=0的两根相等，即△=0，结合直角三角形的判定和性质确定三角形的形状．【详解】原方程整理得(a+c)x2+2bx+a−c=0，因为两根相等，所以△=b2−4ac=(2b)2−4×(a+c)×(a−c)=4b2+4c2−4a2=0，即b2+c2=a2，所以△ABC是直角三角形，故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，熟练掌握根的判别式是解题的关键.总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．9．B【解析】分析：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．详解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，根据题意得：（10−2x）（6−2x）＝32．故选：B．点睛：本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．D【解析】【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到α2＝2α＋4，再用α表示α3，则运算可化简为8（α＋β）＋14，然后利用根与系数的关系求解．【详解】∵α方程x2−2x−4＝0的实根，∴α2−2α−4＝0，即α2＝2α＋4，∴α3＝2α2＋4α＝2（2α＋4）＋4α＝8α＋8，∴原式＝8α＋8＋8β＋6＝8（α＋β）＋14，∵α，β是方程x2−2x−4＝0的两实根，∴α＋β＝2，∴原式＝8×2＋14＝30．故答案为：30．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−ba ，x1x2＝ca．也考查了一元二次方程的解．11．D【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义得到a2-5a+m=0，a2-5a-m=0，把两式相加得2a2-10a=0，然后解关于a的一元二次方程即可得到满足条件的a的值．【详解】由题意得：a2-5a+m=0，a2-5a-m=0，所以2a2-10a=0，解得a1=0（舍去），a2=5，所以a的值为5，故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及解一元二次方程，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．12．B【解析】【分析】利用根与系数的关系把α，β之间的关系找出来，利用α，β之间的关系，解关于p，q的方程，然后再代入原方程检验即可．【详解】根据题意得，α+β=p①，αβ=q②，α2+β2=p③，α2β2=q④，由②、④可得α2β2−αβ=0，解之得αβ=1或0，由①、③可得α2+β2=(α+β)2−2αβ=p2−2q=p，即p2−p−2q=0，当q=0时，p2−p=0，解之得，p=0或p=1，即p1=0q1=0，p2=1q2=0，把它们代入原方程的△中可知符合题意；当q=1时，p2−p−2=0，解之得，p=−1或2，即p3=2q3=1，p4=−1q4=1，把它们代入原方程的△中可知p4=−1q4=1不合题意舍去，所以数对(p, q)的个数是3对，故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式，有一定的难度，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=-ba ，x1•x2=ca．13．本题答案不唯一，如x(x－1)＝0【解析】【分析】首先在-1＜x＜1的范围内选取x的一个值，作为方程的另一根，再根据因式分解法确定一元二次方程．本题答案不唯一．【详解】由题意知，另一根为0时，满足-1＜x＜1，∴方程可以为：x（x-1）=0，故答案为：x(x－1)＝0（本题答案不唯一）.【点睛】本题考查的是已知方程的两根，写出方程的方法．这是需要熟练掌握的一种基本题型，解法不唯一，答案也不唯一．14．±2．【解析】【分析】根据根的判别式求出△=0，求出a2+b2=2，根据完全平方公式求出即可．【详解】解：∵关于x的方程x2+2ax-b2+2=0有两个相等的实数根，∴△=（2a）2-4×1×（-b2+2）=0，即a2+b2=2，∵常数a与b互为倒数，∴ab=1，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=2+3×1=4，∴a+b=±2，故答案为：±2．【点睛】本题考查了根的判别式和解高次方程，能得出等式a2+b2=2和ab=1是解此题的关键．【解析】【分析】设平均每次降价的百分率是x，则第一次降价后药价为60（1-x）元，第二次在60（1-x）元的基础之又降低x，变为60（1-x）（1-x）即60（1-x）2元，进而可列出方程，求出答案．【详解】设平均每次降价的百分率是x，则第二次降价后的价格为60（1-x）2元，根据题意得：60（1-x）2=48.6，即（1-x）2=0.81，解得，x1=1.9（舍去），x2=0.1，所以平均每次降价的百分率是0.1，即10%，故答案为：10%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.16．x2－5x＋6＝0【解析】【分析】根据甲得出p＝−（6-1）＝-5，根据乙得出q＝（-2）×（-3）＝6，代入求出即可．【详解】∵x2＋px＋q＝0，甲看错了常数项，得两根6和-1，∴p＝−（6-1）＝-5，∵x2＋px＋q＝0，乙看错了一次项，得两根-2和−3，∴q＝（-2）×（-3）＝6，∴原一元二次方程为：x2-5x＋6＝0．故答案为：x2-5x＋6＝0．【点睛】本题考查了根与系数关系的应用，解此题的关键是能灵活运用性质进行推理和计算，题目比较好．17．x1=0，x2=-2【解析】根据新定义得到x2+2x=0，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】方程x®2=0化为x2+2x=0，则x（x+2）=0，所以x1=0，x2=-2．故答案为：x1=0，x2=-2【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．18．(1)x1=4，x2=−2；(2)x1=9+174，x2=9−174；(3)x1=23，x2=−67；(4)x1=−4，x2=−5．【解析】【分析】（1）先利用配方法得到（x-1）2=9，然后利用直接开平方法解方程；（2）先计算判别式的值，然后代入求根公式求解；（3）先变形得到7x（3x-2）+6（3x-2）=0，然后利用因式分解法解方程；（4）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．【详解】(1)x2−2x=8，x2−2x+1=9，(x−1)2=9，x−1=±3，所以x1=4，x2=−2；(2)△=(−9)2−4×2×8=17，x=9±172×2，所以x1=9+174，x2=9−174；(3)7x(3x−2)+6(3x−2)=0，(3x−2)(7x+6)=0，3x−2=0或7x+6=0，所以x1=23，x2=−67；(4)x2+9x+20=0，(x+4)(x+5)=0x+4=0或x+5=0，所以x1=−4，x2=−5．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法和公式法解一元二次方程．19．(1)m=1时，此方程是一元一次方程；（2）m≠±1．一元二次方程的二次项系数m2−1、一次项系数−(m+1)，常数项m．;【解析】【分析】利用一元二次方程的一般形式求解即可.【详解】解：(1)根据一元一次方程的定义可知：m2−1=0，m+1≠0，解得：m=1，答：m=1时，此方程是一元一次方程；②根据一元二次方程的定义可知：m2−1≠0，解得：m≠±1．一元二次方程的二次项系数m2−1、一次项系数−(m+1)，常数项m．;【点睛】理解一元二次方程的一般形式是解题的关键.20．-18【解析】【分析】根据根的判别式得到△=（﹣a）2﹣4（a+1）=0，即a2﹣4a=4，再将所求代数式化简为−1a−4a+4，然后整体代入计算即可.【详解】解：∵关于x的方程x2﹣ax+a+1=0有两个相等的实数根，∴△=0，即（﹣a）2﹣4（a+1）=0，∴a2﹣4a=4，(a+2 a−2a −a−1a−4a+4)÷4−aa=a+2a−2−a a−1a a−2×a4−a=a−4a a−2×a4−a=−1a−4a+4，∴原式=﹣14×4=﹣18．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解此题的关键在于根据根的判别式得到关于a的方程，再化简所求代数式，然后整体代入求解即可.21．（1）证明见解析；（2）k的值为﹣2，方程的另一个根，为﹣3．【解析】【分析】（1）通过计算判别式的值得到△=（k+1）2+24＞0，从而可判断方程根的情况；（2）设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得到2+t=k+12t=−6，然后解方程组即可得到k和t的值．【详解】（1）∵△=（k+1）2﹣4×（﹣6）=（k+1）2+24＞0∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的另一个根为t，根据题意得：2+t=k+12t=−6，解得：k=−2t=−3．所以k的值为﹣2，方程的另一个根为﹣3．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=ba，x1x2=c．也考查了根的判别式．a22．(1)该公司投递快件总件数的月平均增长率为10%(2)该公司现有的16名快递投递员不能完成今年6月份的快递投递任务【解析】【分析】(1)设该公司投递快件总件数的月平均增长率为x，根据该公司今年三月份与五月份完成投递的快件总件数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；(2)根据6月份的快件总件数=5月份的快递总件数×(1+增长率)，可求出6月份的快件总件数，利用6月份可完成投递快件总件数=每人每月可投递快件件数×人数可求出6月份可完成投递快件总件数，二者比较后即可得出结论．【详解】解：(1)设该公司投递快件总件数的月平均增长率为x，根据题意得：5(1+x)2=6.05，解得：x1=0.1=10%，x2=−2.1(舍去)．答：该公司投递快件总件数的月平均增长率为10%．(2)6月份快递总件数为：6.05×(1+10%)=6.655(万件)，0.4×16=6.4(万件)，∵6.4<6.655，∴该公司现有的16名快递投递员不能完成今年6月份的快递投递任务．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(2)根据数量关系，列式计算．23．（1）4800元；（2）降价60元；（3）应涨26元每月销售这种学习机的利润能达到10580元．【解析】【分析】(1)根据总利润=单个利润×数量列出算式，计算即可求出值；(2)设每个学习机应降价x元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；(3)设应涨y元每月销售这种学习机的利润能达到10580元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：(1)由题意得：60×(360−280)=4800(元)，则降价前商场每月销售学习机的利润是4800元；(2)设每个学习机应降价x元，由题意得：(360−x−280)(5x+60)=7200，解得：x=8或x=60，由题意尽可能让利于顾客，x=8舍去，即x=60，则每个学习机应降价60元；(3)设应涨y元每月销售这种学习机的利润能达到10580元，根据题意得：(360−60+y−280)[5(60−y)+60]=10580，方程整理得：y2−52y+676=0，解得：y1=y2=26，则应涨26元每月销售这种学习机的利润能达到10580元．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．解答本题时还应明确：利润=售价-进价，总利润=单个利润×数量.24．15s，10s，30s后，两蚂蚁与O点组成的三角形的面积均为450cm2．【解析】【分析】设xs后两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2，分当蚂蚁在AO上运动和蚂蚁在OB 上运动两种情况列方程，解方程即可求解.【详解】有两种情况：（1）如图1，当蚂蚁在AO上运动时，设xs后两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2，×3x×（50-2x）=450，由题意，得12整理，得x2-25x+150=0，解得x1=15，x2=10．（2）如图2，当蚂蚁在OB上运动时，设x秒钟后，两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2，由题意，得1×3x（2x-50）=450，2整理，得x2-25x-150=0，解得x1=30，x2=-5（舍去）．答：15s，10s，30s后，两蚂蚁与O点组成的三角形的面积均为450cm2.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，分两种情况进行讨论是本题难点，解题时注意用运动的观点来观察事物．。