(教师典型例题专讲)2014届高三数学一轮提能一日一讲(11月4日)
(教师典型例题专讲)2014届高三数学一轮提能一日一讲(11月27日)
【教师典型例题专讲】2014届高三数学一轮提能一日一讲（11月27日）一、填空题：本大题共9小题，每小题5分，共45分． 1.(2013·湖北武汉模拟)如图所示，平行四边形ABCD 中，＝，若△AEF 的面积等于1 cm 2，则△CDF 的面积等于________cm 2.解析 ∵AB∥CD ，∴△AEF∽△C DF ，又AE CD ＝AE AB ＝13，且相似三角形的面积之比等于对应边的比的平方．∴△CDF 的面积等于9 cm 2. 答案 9 2.(2013·广东佛山模拟)如图所示，在△ABC 中，DE∥BC，EF∥CD，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，则AB 的长为________．解析 ∵DE∥BC，EF∥CD，又BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，∴AF FD ＝AE EC ＝ADDB ＝2.∴AF＝2，AD＝3，BD ＝32，则AB 的长为92.答案 923.2如图所示，直角三角形ABC 中，∠B＝90°，AB ＝4，以BC 为直径的圆交边AC 于点D ，AD ＝2，则∠C 的大小为________．解析 连接BD ，∵BC 为直径，∴∠BDC＝90°.∴∠ABD＝∠BCD，在直角△ABD 中，∵AD ＝2，AB ＝4，∴∠ABD＝30°，故∠C＝∠ABD＝30°. 答案 30°4．(2013·重庆卷)如图所示，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD⊥CD，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为________．解析 由已知BC ＝AB sin 60°＝103，由弦切角定理∠BCD＝∠A＝60°，所以BD ＝BC sin 60°＝15，CD ＝BC cos 60°＝53，由切割线定理CD 2＝DE·BD，所以DE ＝5.答案 55.(2013·湖北卷)如图所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E.若AB ＝3AD ，则CEEO的值为________．解析 连接AC ，BC ，则AC⊥BC，又AB ＝3AD ，则AD ＝13AB ，BD ＝23AB ，OD ＝16AB ，OC ＝12AB ，△ABC 中，CD 2＝AD·BD＝29AB 2，△OCD 中，OD 2＝OE·OC，CD 2＝CE·OC 可得：OE ＝118AB ，CE＝49AB ，CEEO＝8. 答案 86．(2013·广东惠州5月)如图所示，已知AD ＝5，BD ＝8，AO ＝310，则圆O 的半径OC 的长为________．解析 取BD 的中点M ，连接OM ，OB ，则OM⊥BD，因为BD ＝8，所以DM ＝MB ＝4，AM ＝5＋4＝9，所以OM 2＝AO 2－AM 2＝90－81＝9，所以半径OB ＝OM 2＋BM 2＝9＋16＝25＝5，即OC ＝5.答案 5 7.4(2013·天津和平5月)如图所示，圆M 与圆N 交于A ，B 两点，以A 为切点作两圆的切线分别交圆M 和圆N 于C ，D 两点，延长DB 交圆M 于点E ，延长CB 交圆N 于点F ，已知BC ＝5，BD ＝10，则AB ＝________；CFDE＝________.解析 根据弦切角定理，知∠BAC＝∠BDA，∠ACB＝∠DAB，故△ABC∽△DBA，则AB DB ＝BCBA ，故AB 2＝BC·BD＝50，AB ＝5 2.根据切割线定理，知CA 2＝CB·CF，DA 2＝DB·DE，两式相除，得CA 2DA 2＝CB DB ·CFDE(*)．由△AB C ～△DBA，得AC DA ＝AB DB ＝5210＝22，CA 2DA 2＝12，又CB DB ＝510＝12，由(*)得CFDE ＝1.答案 5 2 18．(2013·陕西卷)如图所示，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.解析 由PE∥BC 得∠PED＝∠C＝∠A，△APE 中与△EPD 中，∠APE＝∠EPD，∠PED＝∠A，故△PDE∽△PEA，则PD PE ＝PE PA ，即PE 2＝PA·PD，又PA ＝PD ＋DA ＝3；PD ＝2，故PE 2＝2×3＝6，则PE ＝ 6.答案69.(2013·天津卷)如图所示，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD∥AC.过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F.若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝5，则线段CF 的长为________．解析 由切割线定理EA 2＝EB·ED，得62＝EB·(EB＋5)，经计算EB ＝4，∠EAB＝∠ACB ＝∠ABC，所以AE∥BC，又因为AC∥BD，所以四边形AEBC 是平行四边形，可得BC ＝AE ＝6，AC ＝EB ＝4.∠C＝∠C，∠CAF＝∠D＝∠C＝∠ABC，所以△CAF∽△CBA，所以AC BC ＝CFAC ，即CF＝AC 2BC ＝166＝83. 答案 83二、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分)(2013·云南大理二模)如图所示，在正△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，AD ，BE 相交于点P ，求证：(1)四点P 、D 、C 、E 共圆； (2)AP⊥CP.证明 (1)在△ABC 中，由BD ＝13BC ，CE ＝13CA 知△ABD≌△BCE，6∴∠ADB＝∠BEC ，即∠ADC＋∠BEC＝π.∴四点P 、D 、C 、E 共圆． (2)如图所示，连接DE.在△CDE 中，CD ＝2CE ，∠ACD＝60°， 由正弦定理知∠CED＝90°.由四点P ，D ，C ，E 共圆知，∠DPC＝∠DEC， 所以AP⊥CP.11.(本小题10分)(2013·全国卷Ⅱ)如图所示，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC·AE＝DC·AF，B 、E 、F 、C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值． 思路分析 本题考查圆的基本性质、三角形相似定理、直角三角形射影定理等基本知识，是对考生基本推理能力以及转化与化归能力的考查．解 (1)因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知BC FA ＝DCEA ，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC， 故∠EFA＝∠CFE＝90°.所以∠CBA＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)连接CE ，因为∠CBE＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE.由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC 2＝DB·BA＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB·DA＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.12.(本小题10分)(2013·全国卷Ⅰ)如图所示，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D.(1)证明： DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．8解 (1)连接DE ，交BC 于点G.由弦切角定理得，∠A BE ＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE ＝CE. 又DB⊥BE，所以DE 为直径，则∠DCE＝90°， 由勾股定理可得DB ＝DC.(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB ＝DC ， 故DG 是BC 的中垂线，所以BG ＝32. 设DE 的中点为O ，连接BO ，则∠BOG＝60°. 从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°， 所以CF⊥BF，故Rt △BCF 外接圆的半径等于32.。
(教师典型例题专讲)2014届高三数学一轮提能一日一讲(11月12日)
【教师典型例题专讲】2014届高三数学一轮提能一日一讲（11月12日）一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·安徽卷)在下列命题中，不是．．公理的是( )A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析立体几何中的公理有四个，B，C，D都是，第四个为空间平行线的传递性，而A 是面面平行的性质定理，由公理推证出来的，故选A.答案A2．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析对于A，直线l1与l3可能异面；对于C，直线l1、l2、l3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线时而不共面；对于D，直线l1、l2、l3相交于同一个点时不一定共面，所以选B.答案 B3．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，且a⊄α，a⊄β，则下列结论中不成立的是( )A．若b⊂β，a∥b，则a∥βB．若a⊥β，α⊥β，则a∥αC．若a⊥b，b⊥α，则a∥αD．若α⊥β，a⊥β，b∥a，则b∥α思路分析根据空间中的平行、垂直关系的判定和性质定理逐个进行判断．解析对于选项A，若有b⊂β，a∥b，且已知a⊄β，所以根据线面平行的判定定理，可得a∥β.故选项A正确．对于选项B，若a⊥β，α⊥β，则根据空间线、面的位置关系，可知a⊂α或a∥α，而由已知可知a⊄α，所以a∥α.故选项B正确．对于选项C，若a⊥b，b⊥α，所以a⊂α或a∥α.而由已知a⊄α，所以a∥α.故选项C正确．对于选项D，由a⊥β，b∥a，可得b⊥β.又α⊥β，所以b⊂α或b∥α.故不能得到b∥α.所以选项D错误．故选D.答案 D4．(2013·全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析m，n为异面直线，m⊥面α，n⊥面β，则α，β一定相交，不一定垂直，但交线一定垂直于直线m，n，又l⊥m，且l⊥n，则l平行于α和β的交线，故选D.答案 D5．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC解析由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD.在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD.又因为AB⊥AD，AD∩DC＝D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC.答案 D6．(2013·江西卷)如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m ＋n＝( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析 取CD 中点G ，连接EG ，FG ，得CD ⊥EG ，CD ⊥FG ，所以CD ⊥面EFG ，又AB ∥CD ，所以AB ⊥面EFG ，所以AB ⊥EF ，则EF 与正方体的左右面平行，与上下前后四个面均相交，n ＝4，而CE 在底面内与上底面平行，与四个侧面都相交，所以m ＝4，m ＋n ＝8，故选A.答案 A二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．(2013·贵州贵阳一模)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，BB 1的中点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为________．解析 如图所示，取AB 的中点E ，连接B 1E ，则AM ∥B 1E ，取EB 的中点F ，连接FN ，则B 1E ∥FN ，因此AM ∥FN ，则直线FN 与CN 所夹的锐角或直角为异面直线AM 与CN 所成的角．设AB ＝1，连接CF ，在△CFN 中，CN ＝52，FN ＝54，CF ＝174. 由余弦定理得cos ∠CNF ＝CN 2＋FN 2－CF 22CN ·FN ＝25.答案 258.(2013·北京卷)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上．点P 到直线CC 1的距离的最小值为________．解析 点P 到直线CC 1的距离等于点P 在面ABCD 上的射影到点C 的距离，点P 在面ABCD 内的射影落在线段DE 上，设为P ′，问题等价求为P ′C 的最小值，当P ′C ⊥DE 时，P ′C 的长度最小，此时P ′C ＝2×122＋1＝255 答案 2559.如图所示，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A ，B )，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题：①PA ∥平面MOB ；②MO ∥平面PAC ；③OC ⊥平面PAC ；④平面PAC ⊥平面PBC . 其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．解析 ①错误，PA ⊂平面MOB ；②正确；③错误，否则，有OC ⊥AC ，这与BC ⊥AC 矛盾；④正确，因为BC ⊥平面PAC .答案 ②④三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10.(本小题10分)(2013·西安五校联考)如图所示，在多面体ABC －A 1B 1C 1中，四边形ABB 1A 1是正方形，AC ＝AB ＝1，A 1C ＝A 1B ，B 1C 1∥BC ， B 1C 1＝12BC .(1)求证：平面A 1AC ⊥平面ABC ； (2)求证：AB 1∥平面A 1C 1C .证明 (1)∵四边形ABB 1A 1为正方形，∴A 1A ＝AB ＝AC ＝1，A 1A ⊥AB .∴A 1B ＝ 2.∵A 1C ＝A 1B ，∴A 1C ＝ 2. ∴∠A 1AC ＝90°，∴A 1A ⊥AC . ∵AB ∩AC ＝A ，∴A 1A ⊥平面ABC .又∵A 1A ⊂平面A 1AC ，∴平面A 1AC ⊥平面ABC ， (2)取BC 的中点E ，连接AE ，C 1E ，B 1E . ∵B 1C 1∥BC .B 1C 1＝12BC ，∴B 1C 1∥EC ，B 1C 1＝EC .∴四边形CEB 1C 1为平行四边形．∴B 1E ∥C 1C . ∵C 1C ⊂平面A 1C 1C ，B 1E ⊄平面A 1C 1C ，∴B 1E ∥平面A 1C 1C . ∵B 1C 1∥BC ，B 1C 1＝12BC ，∴B 1C 1∥BE ，B 1C 1＝BE .∴四边形BB 1C 1E 为平行四边形． ∴B 1B ∥C 1E ，且B 1B ＝C 1E . 又∵四边形ABB 1A 1是正方形， ∴A 1A ∥C 1E ，且A 1A ＝C 1E .∴四边形AEC 1A 1为平行四边形，∴AE ∥A 1C 1. ∵A 1C 1⊂平面A 1C 1C ，AE ⊄平面A 1C 1C ， ∴AE ∥平面A 1C 1C .∵AE ∩B 1E ＝E ，∴平面B 1AE ∥平面A 1C 1C . ∵AB 1⊂平面B 1AE ，∴AB 1∥平面A 1C 1C . 11.(本小题10分)(2013·江苏卷)如图所示，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA .解 (1)因为AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．又因为E 是SA 的中点，所以EF ∥AB .因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.12．(本小题10分)(理)(2013·广东卷)如下图(左)所示，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝2，O为BC的中点．将△ADE 沿DE折起，得到如下图(右)所示的四棱锥A′－BCDE，其中A′O＝ 3.(1)证明：A′O⊥平面BCDE；(2)求二面角A′－CD－B的平面角的余弦值．解(1)由题意，得OC＝3，AC＝32，AD＝2 2.连接OD，OE.在△OCD中，由余弦定理可得OD＝OC2＋CD2－2OC·CD cos45°＝ 5.由翻折不变性可知A′D＝22，所以A′O2＋OD2＝A′D2，所以A′O⊥OD.同理可证A′O⊥OE，又OD∩OE＝O，所以A′O⊥平面BCDE.图1(2)(传统法)过O 作OH ⊥CD 交CD 的延长线于H ，连接A ′H ，如图1. 因为A ′O ⊥平面BCDE ，所以A ′H ⊥CD ， 所以∠A ′HO 为二面角A ′－CD －B 的平面角． 结合OC ＝3，∠BCD ＝45°，得OH ＝322，从而A ′H ＝OH 2＋OA ′2＝302. 所以cos ∠A ′HO ＝OH A ′H ＝155，所以二面角A ′－CD －B 的平面角的余弦值为155.图2(向量法)以O 点为原点，建立空间直角坐标系O －xyz 如图2所示， 则A ′(0，0，3)，C (0，－3，0)，D (1，－2，0)， 所以CA ′→＝(0，3，3)，DA ′→＝(－1，2，3)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面A ′CD 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·CA ′，→＝0，n ·DA ′，→＝0，即⎩⎨⎧3y ＋3z ＝0，－x ＋2y ＋3z ＝0，解得⎩⎨⎧y ＝－x ，z ＝3x ，令x ＝1，得n＝(1，－1，3)，即n ＝(1，－1，3)为平面A ′CD 的一个法向量． 由(1)知，OA ′→＝(0，0，3)为平面CDB 的一个法向量， 所以cos 〈n ，OA ′→〉＝n ·OA ′，→|n ||OA ′，→|＝33×5＝155，即二面角A ′－CD －B 的平面角的余弦值为155. 12．(本小题10分)(文)(2013·北京卷)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD .E 和F 分别是CD 和PC 的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD.所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.。
(教师典型例题专讲)2014届高三数学一轮提能一日一讲(11月28日)
【教师典型例题专讲】2014届高三数学一轮提能一日一讲（11月28日）一、填空题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．1．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析 将直线l 1，l 2的参数方程分别化为直角坐标方程为：l 1：kx ＋2y －k －4＝0，l 2：2x ＋y －1＝0.若l 1∥l 2，则k ＝4；若l 1⊥l 2，则2k ＋2＝0，即k ＝－1. 答案 4 －12．(2013·江西卷)设曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．解析 曲线C 的普通方程为y ＝x 2，又ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，代入得ρ2cos 2θ－ρsin θ＝0，即ρcos 2θ－sin θ＝0.答案 ρcos 2θ－sin θ＝03．(2013·北京卷)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________． 解析 极坐标系中点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6对应直角坐标系中坐标(3，1)，极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系直线方程为y ＝2，所以距离为1.答案 14．(2013·广东深圳一模)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t ＋1(t 为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρsi n θ－ρcos θ＝3，则C 1与C 2交点在直角坐标系中的坐标为________．解析 将曲线C 1的参数方程和曲线C 2的极坐标方程分别转化为直角坐标方程C 1：y ＝x 2＋1，C 2：y －x ＝3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋1，y －x ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，故交点坐标为(2，5)． 答案 (2，5)5．(2013·广东卷)已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1，1)处的切线为l .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．解析 曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2，由圆的几何性质知，切线l 与圆心(0，0)与(1，1)的连线垂直，故l 的斜率为－1，从而l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y ＝2化成极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝2，化简得ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2.答案 ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 26．(2013·天津卷)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝________.解析 极坐标方程和极坐标在直角坐标中，方程为x 2－4x ＋y 2＝0，点P 为(2，23)，所以|CP |＝－2＋－232＝2 3.答案 2 37．(2013·重庆卷)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析 ρcos θ＝4化为普通方程x ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝t 3化为普通方程y 2＝x 3，联立解得A (4，8)，B (4，－8)，故|AB |＝16.答案 168．(2013·广东揭阳一模)已知曲线C 1：ρ＝22和曲线C 2：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，则C 1上到C 2的距离等于2的点的个数为________．解析 将方程ρ＝22与ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2化为直角坐标方程得x 2＋y 2＝(22)2与x－y －2＝0，知C 1为圆心在坐标原点，半径为22的圆，C 2为直线，因圆心到直线x －y －2＝0的距离为2，故满足条件的点的个数为3.答案 39．(2013·湖北卷)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．解析 椭圆的普通方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，l 的直角坐标系方程为x ＋y ＝m .圆的直角坐标系方程为x 2＋y 2＝b 2，椭圆焦点(c ，0)在直线上，则c ＝|m |，直线与圆相切，则|m |2＝b ，即c ＝2b ，e ＝c a ＝c b 2＋c2＝63.答案63二、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分) (2013·福建卷)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程； (2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．解 (1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1，0)，半径r ＝1. 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交．11．(本小题10分)(2013·辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y －2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0， 由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1.所以⎩⎪⎨⎪⎧b2＝1，－ab2＋1＝2.解得a ＝－1，b ＝2.12．(本小题10分)(2013·辽宁五校协作体联考)已知直线l 是过点P (－1，2)，方向向量为n ＝(－1，3)的直线，圆方程ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3.(1)求直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆相交于M ，N 两点，求|PM |·|PN |的值． 解 (1)∵n ＝(－1，3)，∴直线的倾斜角α＝2π3.∴直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos 2π3，y ＝2＋t sin 2π3(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)．(2)∵ρ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝cos θ＋3sin θ，∴ρ2＝ρcos θ＋3ρsin θ.∴x 2＋y 2－x ＋3y ＝0，将直线的参数方程代入得t 2＋(3＋23)t ＋6＋23＝0. ∴|t 1t 2|＝6＋23，即|PM |·|PN |＝6＋2 3.。
(教师典型例题专讲)2014届高三数学一轮提能一日一讲(11月11日)
【教师典型例题专讲】2014届高三数学一轮提能一日一讲（11月11日）一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．如图所示，下列长方体中由如图所示的平面图形围成的是( )解析实际进行操作，D成立．答案D2．将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如下图所示，则该几何体的俯视图为( )解析 如图所示，当俯视时，P 与B ，Q 与C ，R 与D 重合，故选C . 答案 C3．(2013·某某卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A .5603B .5803C ．200D ．240解析 该几何体是上、下底面均为矩形，左、右侧面均为等腰梯形的多面体，求体积时把等腰梯形作为上、下底面，则几何体为一个高为10的四棱柱，于是V ＝12×(2＋8)×4×10＝200.答案 C4．已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA⊥平面ABCD ，AB⊥BC，SA ＝AB ＝1，BC ＝2，则球O 的表面积等于( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π解析如图所示，由AB⊥BC知，AC为过A，B，C，D四点小圆直径，所以AD⊥DC.又SA⊥平面ABCD，设SB1C1D1－ABCD为SA，AB，BC为棱长构造的长方体，得体对角线长为12＋12＋22＝2R，所以R＝1，球O的表面积S＝4πR2＝4π.故选A.答案A5．(2013·某某卷)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于( )A．1 B. 2C.2－12D.2＋12解析由俯视图的面积为1可得底面与水平面平行，当正方体正放时，正视图的面积最小为1，正方体旋转其正视图为其对角面时，面积最大为2，2－12<1，故不可能．答案C6．(2013·某某一模)点A，B，C，D均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD＝2AB＝6，则该球的体积为( )A．323πB．48πC．643πD．163π解析 如图所示，O 1为三角形ABC 的外心，过O 做OE⊥AD，∴OO 1⊥面ABC ， ∴AO 1＝33AB ＝3.∵OD＝OA ， ∴E 为DA 的中点．∵AD⊥面ABC ， ∴AD∥OO 1，∴EO＝AO 1＝ 3. ∴DO＝DE 2＋OE 2＝2 3. ∴R＝DO ＝2 3.∴V＝43π(23)3＝323π.答案 A二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．(2013·某某卷)某几何体的三视图如图所示，则其体积为________．解析 由三视图可知，该几何体为底面半径为1，高为2的圆锥的一半，则体积V ＝13π×2×12＝π3.答案π38．(2013·某某江南十校联考)一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为________．解析 由三视图可知，直观图为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1去掉三棱锥B 1－A 1BC 1，所以其外接球的直径为正方体的体对角线的长度：22＋22＋22＝23，V 球＝4π3·(3)3＝43π.答案 43π9．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F 为线段BC 1的中点，E 为线段A 1C 1上的动点，则下列结论中正确的为________．①存在点E 使EF∥BD 1②不存在点E 使EF⊥平面AB 1C 1D ③EF 与AD 1所成的角不可能等于90° ④三棱锥B 1－ACE 的体积为定值 解析 ①中，若存在点E 使EF∥BD 1， 则BD 1∥平面A 1BC 1.而BD 1∩平面A 1BC 1＝B ，故①错； 当E 为A 1C 1的中点时，EF∥A 1B.由A 1B⊥平面AB 1C 1D 知，EF⊥平面AB 1C 1D ，故②错；当E 与A 1重合时，△A 1BC 1为等边三角形，此时EF⊥BC 1而BC 1∥AD 1，所以EF⊥AD 1，故③错；因为B 1到平面ACE 的距离为定值，△ACE 的面积也为定值， 所以三棱锥B 1－ACE 的体积为定值，故④正确． 答案 ④三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分)(2013·某某某某一模)如图所示，在边长为5＋2的正方形ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆，M ，N ，K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的表面积与体积．解 设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，高为h ，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋r ＋2r ＝5＋2×2，2πr l＝π2，解得r ＝2，l ＝4 2.所以S ＝πrl ＋πr 2＝10π，h ＝l 2－r 2＝30， V ＝13πr 2h ＝230π3. 11．(本小题10分)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝5，BB 1＝BC ＝6，D ，E 分别是AA 1和B 1C 的中点．(1)求证：DE ∥平面ABC ； (2)求三棱锥E －BCD 的体积．解 (1)证明：取BC 中点G ，连接AG ，EG ， 因为E 是B 1C 的中点， 所以EG ∥BB 1，且EG ＝12BB 1.由直棱柱知，AA 1綊BB 1.而D 是AA 1的中点，所以EG 綊AD. 所以四边形EGAD 是平行四边形． 所以ED ∥AG.又DE ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， 所以DE ∥平面ABC.(2)解：因为AD ∥BB 1，所以AD ∥平面BCE. 所以V E －BCD ＝V D －BCE ＝V A －BCE ＝V E －ABC . 由(1)知，DE ∥平面ABC ，所以V E －ABC ＝V D －ABC ＝13AD·12BC·AG＝16×3×6×4＝12.12．(本小题10分)下图是一个几何体的直观图、正(主)视图、侧(左)视图、俯视图．其中俯视图为正方形，正(主)视图为直角梯形，侧(左)视图为等腰直角三角形，且CE 是中线．(1)若F 为PD 的中点，求证：AF ⊥面PCD ； (2)证明：BD ∥面PEC.解 (1)由几何体的三视图可知，底面ABCD 是正方形，PA ⊥面ABCD ，PA ∥EB ，PA ＝2EB.∵PA ＝AD ，F 为PD 的中点，∴PD ⊥AF.又∵CD ⊥DA ，CD ⊥PA ，∴CD ⊥AF ，∴AF ⊥面PCD. (2)取PC 的中点M ，连接AC ，BD 交于点N ，连接MN ，EM. ∴MN ＝12PA ，MN ∥PA ，又由已知得BE 綊12PA.∴MN ＝EB ，MN ∥EB ，故BEMN 为平行四边形． ∴EM ∥BN ，EM ⊂面PEC ，BD ⊄面PEC. ∴BD ∥面PEC.。
(教师典型例题专讲)2014届高三数学一轮提能一日一讲(11月小结)
【教师典型例题专讲】2014届高三数学一轮提能一日一讲（11月小结）【例1】 若z ＝sin θ－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45i 是纯虚数，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4的值为( ) A ．－7 B ．－17C ．7D ．－7或－17[解析] 由纯虚数的概念，可知⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－35＝0，①cos θ－45≠0，②由①，得sin θ＝35，故cos θ＝±1－sin 2θ＝±1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝±45，而由②，可得cos θ≠45，故cos θ＝－45，所以tan θ＝sin θcos θ＝－34.所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－tanπ41＋tan θ×tan π4＝－34－11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×1＝－7.[答案] A【例2】 如图所示，矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，由此我们可以估计出阴影部分的面积约为( )A.165B.215C.235D.195[解析] 由几何概型的概念公式，得S 10＝138300，所以阴影部分面积约为235，故选C.[答案] C 2．快得分方法突破 高考需要我们在给定的时间内使分数最大化，对于试卷中的一些题目，如果按部就班地解答，可能会带来很多麻烦并且浪费很多时间，怎样高效、准确地来解答此类问题呢？这就需要我们采取一些简便快捷的方法，比如：特殊值法、排除法、数形结合法、估算法等．【例3】 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4，x ≤1，x 2－4x ＋3，x >1的图象和函数g (x )＝log 2x 的图象的交点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1[解析] 如图所示，观察易知两函数图象有且仅有3个交点．[答案] B【例4】 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12－x ，x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)[解析] 解法一：当a >0时，f (a )>f (－a )⇔log 2a >log 12a ⇔log 2a >－log 2a ⇔log 2a >0，∴a >1；当a <0时，f (a )>f (－a )⇔log 12(－a )>log 2(－a )⇔－log 2(－a )>log 2(－a )⇔log 2(－a )<0⇔0<－a <1⇔－1<a <0.综上，知a ∈(－1，0)∪(1，＋∞)．解法二：取a ＝2验证满足题意，排除A ，D ，取a ＝－2验证不满足题意，排除B. [答案] C 3．少丢分方法突破 进入冲刺阶段，考生经常面临着“会而不对，对而不全”的困境，要想克服此类问题，考生在做题时应做到：稳——变形要稳、不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不全；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不要粗心大意；准——运算要准，力戒计算出错．【例5】 在△ABC 中，已知(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，则△ABC 的形状为 ( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形[错解] 原式可化为(a 2＋b 2)(sin A cos B －cos A sin B )＝(a 2－b 2)(sin A cos B ＋cos A sin B )， 即a 2sin B cos A ＝b 2sin A cos B .由正弦定理，得b 2sin 2A sin 2B·sin B cos A ＝b 2sin A cos B . ∴sin A cos A ＝sin B cos B . ∴sin2A ＝sin2B ，即A ＝B . ∴△ABC 是等腰三角形．[错因] 此种解法忽略了角的范围，sin2A ＝sin2B 是2A ＝2B 的必要但不充分条件，另外，有些同学也可能由于逻辑关系不清而出现以下错误的判断：由sin2A ＝sin2B ，得2A ＝2B .又2A ＋2B ＝π，且A ＝B ，A ＋B ＝π2，所以△ABC 是等腰直角三角形．正解 将条件都化为有关角的关系形式， 由错解知sin2A ＝sin2B . ∵A ，B 是三角形的内角，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.故△ABC 是等腰三角形或直角三角形． [答案] D【例6】 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＋S 6＝2S 9，则数列的公比q 为________． [错解] ∵S 3＋S 6＝2S 9，∴a 1－q 31－q＋a 1－q 61－q＝2·a 1－q 91－q，整理得q 3(2q 6－q 3－1)＝0. 由q ≠0，得方程2q 6－q 3－1＝0. ∴(2q 3＋1)(q 3－1)＝0.∴q ＝－342或q ＝1. [错因] 在错解中，由a 1－q 31－q＋a 1－q 61－q＝2·a 1－q 91－q，整理得q 3(2q 6－q3－1)＝0时，应用a 1≠0和q ≠1.在等比数列中，a 1≠0是显然的，但公比q 完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比q ＝1的情况，再在q ≠1的情况下，应用等比数列的前n 项求和公式对式子进行整理变形．[正解] 若q ＝1，则有S 3＝3a 1，S 6＝6a 1，S 9＝9a 1. 因a 1≠0，则有S 3＋S 6≠2S 9，与题设矛盾，故q ≠1. 由S 3＋S 6＝2S 9得a 1－q 31－q＋a 1－q 61－q＝2·a 1－q 91－q整理得q 3(2q 6－q 3－1)＝0，即(2q 3＋1)(q 3－1)＝0， 因为q ≠1，所以q 3－1≠0，所以2q 3＋1＝0，解得q ＝－342. 4.抓基本分方法突破 很多省份高考试题共有6个解答题，一般来说，前两个题属于中、低档题，中间两个为中档题，后两个为难题，考生若在前四个题上做到“不丢分，少失分”即“抓大分”，才能得高分．这就要求我们在做题时遵循做解答题的一般步骤：①审题：要把握三性，即明确目的性、提高准确性和注意隐含性． ②联系：探究已知与未知、条件与目标的联系． ③书写：讲究书写规范，力争既对又全．④回扣：要学会回头检验和特值检验，注意检验其易错点、易误点、关键点等． 【例7】 (2013·重庆黔江二模)已知函数f(x)＝2cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π6.(1)求函数f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时x 的取值集合；(2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若f(A)＝32，b ＋c ＝2，求实数a的最小值．[解析] (1)f(x)＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π6 ＝(1＋cos 2x)－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x cos 7π6－cos 2x sin 7π6 ＝1＋32sin 2x ＋12cos 2x ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴函数f(x)的最大值为2.要使f(x)取最大值，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1，∴2x＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π＋π6，k ∈Z .故x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π6，k ∈Z. (2)由题意知，f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝32，化简得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12. ∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6.∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3.在△ABC 中，根据余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝1，即a 2≥1.∴当b ＝c ＝1时，实数a 的最小值为1. 5．多得分方法突破 高考是选拔性的考试，必然要具备选拔的功能，试卷中必然要有综合考查数学知识、数学思想的能力型试题，即拉分题(亦即压轴题)．对大部分考生来说，在解决好前四道大题的前提下，如何从拿不下的题目(压轴题)中分段得分，是考生高考数学能否取得圆满成功的重要标志，对此可采用如下四招达到高分的目的：(1)缺步解答：如遇到一个不会做的问题，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步．特别是那些解题层次明显的题目，每一步演算到得分点时都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却可以得到一半以上．(2)跳步解答：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的．这时我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论．若题目有两问，第(1)问想不出来，可把第(1)问的结论当作“已知”，先做第(2)问，跳一步再解答．(3)辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤．实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举．(4)逆向解答：对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展，顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证．【例8】(2013·浙江卷)已知a∈R，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当x∈[0， 2]时，求|f(x)|的最大值．[解析](1)由题意得f′(x)＝3x2－6x＋3a，故f′(1)＝3a－3.又f(1)＝1，所以所求的切线方程为y＝(3a－3)x－3a＋4.(2)由于f′(x)＝3(x－1)2＋3(a－1)，0≤x≤2，故(ⅰ)当a≤0时，有f′(x)≤0，此时f(x)在[0，2]上单调递减，故|f(x)|max＝max{|f(0)|，|f(2)|}＝3－3a.(ⅱ)当a≥1时，有f′(x)≥0，此时f(x)在[0，2]上单调递增，故|f(x)|max＝max{|f(0)|，|f(2)|}＝3a－1.(ⅲ)当0<a<1时，设x1＝1－1－a，x2＝1＋1－a，则0<x1<x2<2， f′(x)＝3(x－x1)(x－x2)．列表如下：a故f(x1)＋f(x2)＝2>0，f(x1)－f(x2)＝4(1－a)1－a>0.从而f(x1)>|f(x2)|.所以|f(x)|max＝max{f(0)，|f(2)|，f(x1)}．(1)当0<a <23时，f (0)>|f (2)|.又f (x 1)－f (0)＝2(1－a )1－a －(2－3a )＝a 2－4a－a1－a ＋2－3a>0，故|f (x )|max ＝f (x 1)＝1＋2(1－a )1－a .(2)当23≤a <1时，|f (2)|＝f (2)，且f (2)≥f (0)．又f (x 1)－|f (2)|＝2(1－a )1－a －(3a －2)＝a 2－4a －a1－a ＋3a －2，所以①当23≤a <34时，f (x 1)>|f (2)|.故|f (x )|max ＝f (x 1)＝1＋2(1－a )1－a .②当34≤a <1时，f (x 1)≤|f (2)|.故|f (x )|max ＝|f (2)|＝3a －1.综上所述，|f (x )|max＝⎩⎪⎨⎪⎧3－3a ，a ≤0，1＋－a 1－a ，0<a <34，3a －1，a ≥34.。
(教师典型例题专讲)2014届高三数学一轮提能一日一讲(11月19日)
【教师典型例题专讲】2014届高三数学一轮提能一日一讲（11月19日）一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x ＋y ＝0解析 由题意知直线l 与直线PQ 垂直， 所以k l ＝－1k PQ ＝－14－21－3＝1. 又直线l 经过PQ 的中点(2,3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0. 答案 A2．(2013·某某卷)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a －3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a＝0D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a＝0解析 若A 是直角，则b ＝a 3，B 是直角，BA →·OB →＝0，即b －a 3－1a ＝0；由图知O 不可能是直角，故C 成立．答案 C3．(2013·某某省实验中学诊断性测试)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于( )A ．33B ．2 3C .3D ．1解析 圆心到直线的距离d ＝|－5|32＋42＝1，所以R 2－d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22，即AB 2＝4(R 2－d 2)＝4×(4－1)＝12，所以AB ＝12＝23，选B .答案 B4．(2013·某某某某质检)直线x ＋3y －23＝0与圆x 2＋y 2＝4交A ，B 两点，则OA →·OB →＝( )A ．4B ．3C ．2D ．－2解析 由⎩⎨⎧x ＋3y －23＝0，x 2＋y 2＝4消去y 得：x 2－3x ＝0，解得x ＝0或x ＝ 3.设A(0,2)，B(3，1)，∴OA →·OB →＝2，选C . 答案 C5．(2013·某某卷)函数y ＝f(x)的图象如图所示，在区间[a ，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得fx 1x 1＝f x 2x 2＝…＝f x nx n，则n 的取值X 围是( )A ．{3,4}B ．{2,3,4}C ．{3,4,5}D ．{2,3}解析 fx x ＝f x －0x －0，即点(x ，f(x))与(0,0)连线的斜率，f x 1x 1＝f x 2x 2＝…＝fx nx n是指曲线上存在n 个点与原点连线斜率相等，则n 为过原点的直线与f(x)的图象交点的个数，结合图象可得n 为2,3,4，故选B .答案 B6．(2013·某某卷)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A .33B ．－33 C ．±33D ．－ 3 解析 y ＝1－x 2化为x 2＋y 2＝1(y≥0)表示圆心在原点半径为1的圆的上半圆，直线l过(2，0)与曲线y ＝1－x 2交于A ，B 的点，设l 的方程为y ＝k(x －2)，即kx －y －2k ＝0，S △AOB ＝12|OA||OB|·sin ∠AOB＝12sin ∠AOB，即sin ∠AOB＝1时，∠AOB＝π2时，S △AOB有最大值，此时原点O 到直线l 的距离d ＝|OA|·sin 45°＝22，即|2k|1＋k2＝22，解得k ＝±33，由题可知l 的倾斜角为钝角，故k ＝－33，选B . 答案 B二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．已知圆C 经过直线2x －y ＋2＝0与坐标轴的两个交点，又经过抛物线y 2＝8x 的焦点，则圆C 的方程为________．解析 直线与坐标轴的两交点分别为A(－1,0)，B(0,2)，抛物线的焦点坐标为F(2,0)． 再运用待定系数法即可求出圆C 的方程． 答案 x 2＋y 2－x －y －2＝08．(2013·某某某某5月模拟)已知曲线C ：x 2＋y 2＝9(x≥0，y≥0)与直线x ＋y ＝4相交于点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1y 2＋x 2y 1的值为________．解析 将y ＝4－x 代入x 2＋y 2＝9并整理有2x 2－8x ＋7＝0，解得x 1＝2＋22，x 2＝2－22， 从而得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22，2－22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22，2＋22. 故x 1y 2＋x 2y 1＝9. 答案 99．直线2ax ＋by ＝1(a ，b 是实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P(a ，b)与点(0,1)之间的距离的最大值为________．解析 易知△AOB 为等腰直角三角形，且点O 到直线距离为22，可得2a 2＋b 2＝2⇒－2≤b≤2，a 2＋b －12＝2－b22＋b －12≤2＋1.答案2＋1三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分)已知两圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0，C 2：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0. (1)证明此两圆相切；(2)求过点P(2,3)，且与两圆相切于点T(1,0)的圆的方程． 解 (1)两圆的方程可分别化为C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝13，C 1(－2,2)，r 1＝13；C 2：(x －4)2＋(y ＋2)2＝13，C 2(4，－2)，r 2＝13. ∴圆心距|C 1C 2|＝213＝r 1＋r 2，即两圆外切． (2)设所求圆的方程为C 3：(x －a)2＋(y －b)2＝r 23. ∵T(1,0)在C 1，C 2，C 3上，∴圆心(a ，b)在直线lC 1C 2：y ＝－23(x －1)上．∴b ＝－23(a －1)．①又由|C 3P|＝|C 3T|，得(a －2)2＋(b －3)2＝(a －1)2＋b 2.② 由方程①②，解得a ＝－4，b ＝103，∴r 23＝(a －1)2＋b 2＝3259，故所求圆的方程为(x ＋4)2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －1032＝3259.11．(本小题10分)已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P 满足|PA|＝2|PB|. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM|的最小值．解 设P 坐标为(x ，y)， 则x ＋32＋y 2＝2x －32＋y 2，化简可得(x －5)2＋y 2＝16即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图． 则直线l 2是此圆的切线，连接CQ ， 则|QM|＝|CQ|2－|CM|2＝|CQ|2－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ|取最小值，|CQ|＝|5＋3|2＝42，此时|QM|的最小值为32－16＝4.12．(本小题10分)(2013·某某卷)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A(0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值X 围．解 (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C(3,2)于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，由题意，|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a)2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M(x ，y)，因为MA ＝2MO ， 所以x 2＋y －32＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x ，y)在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤a 2＋2a －32≤3.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 当5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.。
(教师典型例题专讲)高三数学一轮提能一日一讲(11月8日)
【教师典型例题专讲】2014届高三数学一轮提能一日一讲（11月8日）一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·辽宁朝阳一模)在△ABC 中， M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.12B.13 C.14D ．1解析 ∵M 为边BC 上任意一点， ∴可设AM →＝xAB →＋yAC →(x ＋y ＝1)． ∵N 为AM 中点，∴AN →＝12AM →＝12xAB →＋12yAC →＝λAB →＋μAC →.∴λ＋μ＝12(x ＋y )＝12.答案 A2．(2013·辽宁卷)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 解析 AB →＝(3，－4)，则|AB →|＝5，所以与AB →同方向的单位向量是⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.答案 A3．已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.π2D.2π3解析 由(a ＋2b )·(a －b )＝|a |2＋a ·b －2|b |2＝－2，得a ·b ＝2，即|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝2，cos 〈a ，b 〉＝12.故〈a ，b 〉＝π3.答案 B4．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析 依题意得3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝1＋cos(A ＋B )， 3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，3sin C ＋cos C ＝1， 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝12.又π6<C ＋π6<7π6，因此C ＋π6＝5π6，C ＝2π3，选C.答案 C5．(2013·湖南卷)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]解析 由已知得|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2，易知c 与a ＋b 共线时，可取得最值． 因为|c －a －b |＝1，所以2－1≤|c |≤2＋1. 答案 A6．(2013·重庆卷)在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，52 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，72 C.⎝⎛⎦⎥⎤52，2 D.⎝⎛⎦⎥⎤72，2 解析 由题意得点B 1，B 2在以O 为圆心，半径为1的圆上，点P 在以O 为圆心半径为12的圆内，又AB 1→⊥AB 2→，AP →＝AB 1→＋AB 2→，所以点A 在以B 1B 2为直径的圆上，当P 与O 点重合时，|OA→|最大为2，当P 在半径为12的圆周上，|OA →|最小为72.答案 D二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．(2013·全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝________.解析 a ，b 均为单位向量，夹角为60°，所以a ·b ＝12.又b ·c ＝0.即：b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，得t2＋(1－t )＝0，解得t ＝2.答案 28．(2013·天津卷)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．解析 AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝AD →2＋12AB →·AD →－12AB →2＝AD →2＋12|AB →|·|AD→|cos60°－12AB →2＝1，把|AD →|＝1代入得|AB →|＝12.答案 129．如图是半径为2，圆心角为90°的直角扇形OAB ，Q 为AB 上一点，点P 在扇形内(含边界)，且OP →＝tOA →＋(1－t )OB →(0≤t ≤1)，则OP →·OQ →的最大值为________．解析 ∵OP →＝tOA →＋(1－t )OB →， ∴BP →＝tBA →.又0≤t ≤1， ∴P 在线段BA 上运动．∵Q 为AB 上一点，设∠POQ ＝θ，∴OP →·OQ →＝|OP →||OQ →|cos θ＝2|OP →|cos θ≤2|OP →|≤2×2＝4， 即当P ，Q 重合且位于A 或B 处时，OP →·OQ →取最大值4. 答案 4三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分)已知向量AB →＝(3,1)，AC →＝(－1，a )，a ∈R . (1)若D 为BC 中点， AD →＝(m,2)，求a ，m 的值； (2)若△ABC 是直角三角形，求a 的值． 解 (1)因为AB →＝(3,1)，AC →＝(－1，a )， 所以AD →＝12(AB →＋AC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋a 2.又AD →＝(m,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，1＋a ＝2×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，m ＝1.(2)因为△ABC 是直角三角形，所以A ＝90°或B ＝90°或C ＝90°. 当A ＝90°时，由AB →⊥AC →，得3×(－1)＋1·a ＝0，所以a ＝3；当B ＝90°时，因为BC →＝AC →－AB →＝(－4，a －1)， 所以由AB →⊥BC →，得3×(－4)＋1·(a －1)＝0，所以a ＝13； 当C ＝90°时，由BC →⊥AC →， 得－1×(－4)＋a ·(a －1)＝0， 即a 2－a ＋4＝0，因为a ∈R ，所以无解．综上所述，a ＝3或a ＝13.11．(本小题10分)(2013·江苏卷)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． 解 (1)由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2， 即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1得，sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.12．(本小题10分)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4. (1)若m ·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．解 (1)m ·n ＝3sin x 4cos x4＋cos 2x4 ＝32sin x 2＋12·cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12. 又∵m ·n ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0.∴cos B ＝12.又∵0<B <π，∴B ＝π3.∴0<A <2π3.∴π6<A 2＋π6<π2，12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6<1. 又∵f (x )＝m ·n ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.。
(教师典型例题专讲)2014届高三数学一轮提能一日一讲(11月14日)
【教师典型例题专讲】2014届高三数学一轮提能一日一讲（11月14日）1．(2013·某某卷)已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i解析 由M ∩N ＝{4}，得z i ＝4，则z ＝4i ＝－4i ，故选C.答案 C2．(2013·某某卷)设全集为R ，函数f (x )＝1－x 2的定义域为M ，则∁R M 为( ) A ．[－1,1] B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 f (x )＝1－x 2的定义域M ，即1－x 2≥0的解集，故M ＝{x |－1≤x ≤1}．由补集的运算，知∁R M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案 D3．(2013·某某卷)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析 在同一平面直角坐标中作出y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象，g (x )＝x 2－4x ＋5的顶点(2,1)，2ln2>2lne 12＝1，所以(2,1)位于y ＝f (x )图象下方，故交点个数为2.答案 B4．(2013·全国卷Ⅱ)执行右面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( ) A ．1＋12＋13＋…＋110B ．1＋12！＋13！＋ (110)C ．1＋12＋13＋…＋111D ．1＋12！＋13！＋ (111)解析 由程序框图的循环结构可知：T ＝1，S ＝0＋1＝1，K ＝2； T ＝12，S ＝1＋12，K ＝3；T ＝123＝12×3，S ＝1＋12＋12×3，K ＝4； T ＝110！，S ＝1＋12！＋13！＋ (110)，K ＝11>10； 停止循环，输出S ，故选B. 答案 B5．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52等于( )A ．－12B ．－14C.14D.12解析 ∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12. 答案 A6．如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝3，那么y x的最大值是( ) A.12B.33 C.32D. 3 解析 y x可以看作圆(x －2)2＋y 2＝3和原点连线的斜率．利用图形易知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝ 3.答案 D7．已知对于任意的k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则实数m的取值X 围是( )A ．(0,1)B ．(0,5)C ．[1,5)∪(5，＋∞) D．[1，＋∞)解析 直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，只要(0,1)在椭圆x 25＋y 2m ＝1内部即可．从而m ≥1，又因为椭圆x 25＋y 2m＝1中m ≠5，所以m 的取值X 围是[1,5)∪(5，＋∞)．答案 C8．如图所示，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，Q 满足A 1P ＝BQ ，过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A ．3:1B ．2:1C ．4:1 D.3:1解析 将P ，Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ ＝0，且易有VC －AA 1B ＝V3，故选B.答案 B9．(2013·某某卷)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 由二次函数的图象和性质知f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内单调递增，只需f (x )的图象在(0，＋∞)上与x 轴无交点，即a ＝0或1a<0，整理得a ≤0，而当a ≤0时，结合图象可知f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故a ≤0是f (x )在(0，＋∞)上单调递增的充要条件，故选C.答案 C10．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则sin x ，tan x 与x 的大小关系是( ) A ．tan x ≥sin x ≥x B ．tan x ≥x ≥sin xC ．大小关系不确定D ．|tan x |≥|x |≥|sin x |解析 结合y 1＝sin x ，y 2＝tan x ，y 3＝x 的图象可知D 正确．答案 D11．数列{a n }中，若a n ＋1＝a n2a n ＋1，a 1＝1，则a 6等于( )A ．3 B.13C ．11 D.111解析 由a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋1得a n >0，∴2a n ＋1>a n ，即a n2a n ＋1<1，故排除A 项，C 项．又a 2＝a 12a 1＋1＝13，又由已知可以看出a n ＋1<a n ， 故a 6应小于13.答案 D12．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则( ) A ．0<ω≤1 B．－1≤ω<0 C ．ω≥1 D．ω≤－1解析 ∵当ω>0时正切函数在其定义域内各长度为一个周期的连续区间内为增函数，∴排除A 、C ，又当|ω|>1时正切函数的最小正周期长度小于π，∴y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内不连续，在这个区间内不是减函数，这样排除D. 答案 B13．若等比数列的各项均为正数，前n 项的和为S ，前n 项的积为P ，前n 项倒数的和为M ，则有( )A ．P ＝SM B ．P >S MC ．P 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S M n D ．P 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫S M n解析 取等比数列为常数列：1,1,1，…，则S ＝n ，P ＝1，M ＝n ，显然P >S M和P 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫S M n 不成立，故选项B 和D 排除，这时选项A 和C 都符合要求．再取等比数列：2,2,2，…，则S ＝2n ，P ＝2n，M ＝n2，这时有P 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S M n，而P ≠SM ，所以A 选项不正确．答案 C14．(2013·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( ) A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0解析 f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ；x 3的系数为正数，故f (x )或者在(－∞，＋∞)上为增函数，或者存在极值点x 1，x 2，(x 1<x 2)，f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上为增函数在 (x 1，x 2)上为减函数，此时x 2为极小值点，故在(－∞，x 2)上先增后减，故选C.答案 C15．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x ≤K ，K ，f x >K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞) 解析 函数f (x )＝2－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |，作图f (x )≤K ＝12⇒x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故在(－∞，－1)上是单调递增的．答案 C16．(2013·某某卷)在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( )A ．22B ．2 3C ．42D ．4 3解析 |OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，求得∠AOB ＝π3，不妨设A (2,0)，B (1，3)，P (x ，y )．由题中所给OP →＝λOA →＋μOB →，知⎩⎨⎧x ＝2λ＋μ，y ＝3μ，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝x 2－y 23，μ＝y3，又|λ|＋|μ|≤1代入得：⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－y 23＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 3≤1，当y ≥0且x 2－y 23≥0时，得：3x ＋y ≤23，画出可行域可得S 0＝12×2×3＝ 3.由图象的对称性得S ＝4S 0＝43，故选D. 答案 D17．(2013·某某卷)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝( )A ．16B ．－16C ．a 2－2a －16 D ．a 2＋2a －16解析 令f (x )＝g (x )得x 2－2(a ＋2)x ＋a 2＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8，解得x ＝a ＋2或x ＝a －2，因为f (x )的对称轴是x ＝a ＋2，g (x )的对称轴是x ＝a －2，在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得A ＝f (a ＋2)＝－4a －4，B ＝f (a －2)＝－4a ＋12，所以A －B ＝－16.答案 B18．(2013·全国卷Ⅰ)设△A n B n 的三边长分别为a n ，b n ，，△A n B n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1>c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝＋a n 2，＋1＝b n ＋a n 2，则( )A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 解析 ∵a n ＋1＝a n ，∴令a n ＝a ，a 为常数，b 2＝c 1＋a 2，c 2＝b 1＋a2.∴b 2＋c 2＝c 1＋a ＋b 1＋a2＝2a .归纳可知b n ＋＝2a .∴点A 在以2a 为长轴的椭圆上．c 2－b 2＝b 1－c 12，归纳知|－b n |＝b 1－c 12n －1，∴与b n 越来越接近时，A 点越接近D 点，S n 逐渐递增．∴{S n}是递增数列．答案 B。
(教师典型例题专讲)2014届高三数学一轮提能一日一讲(11月18日)
【教师典型例题专讲】2014届高三数学一轮提能一日一讲（11月18日）一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．已知直线l的方向向量为l，直线m的方向向量为m，若l＝αb＋βc(α，β∈R)，m∥a，a⊥b，a⊥c且a≠0，则直线m与直线l( )A．共线B．相交C．垂直D．不共面解析由m∥a且a≠0，可得：m＝t a(t∈R)，所以m·l＝m·(αb＋βc)＝αm·b＋βm·c＝αt a·b＋βt a·c＝0，故m与l垂直，即直线m与直线l垂直．故选C.答案 C2．若不同直线l1， l2的方向向量分别为μ，v，则下列直线l1，l2中既不平行也不垂直的是( )A．μ＝(1，2，－1)，v＝(0，2，4)B．μ＝(3，0，－1)，v＝(0，0， 2)C．μ＝(0， 2，－3)，v＝(0，－2，3)D．μ＝(1，6，0)，v＝(0，0，－4)解析选项A中μ·v＝0＋4－4＝0，∴l1⊥l2；选项C中μ＝－v，∴μ，v共线，故l1∥l2；选项D中，μ·v＝0＋0＋0＝0，∴l1⊥l2，故选B.答案 B3．已知直二面角α－l－β，若A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD等于( )A．2 B. 3C. 2 D．1解析 如图所示，∵BD ⊥l ，α⊥β，α∩β＝l ， ∴BD ⊥α，∴BD ⊥AD . ∵AB →＝AC →＋CD →＋DB →，且AC ⊥l ， ∴AB 2＝AC 2＋CD 2＋BD 2. ∴22＝12＋CD 2＋12.∴CD 2＝2，∴CD ＝ 2.故选C. 答案 C4．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析 如图所示，取BC 中点E ，连接DE ，AE ，AD ，依题意知，三棱柱为正三棱柱，易得AE ⊥平面BB 1C 1C ，故∠ADE 为AD 与平面BB 1C 1C 所成的角．设各棱长为1，则AE ＝32，DE ＝12， tan ∠ADE ＝AE DE ＝3212＝3，由于∠ADE ∈[0°，90°]． ∴∠ADE ＝60°，故选C.答案 C5．(2013·全国大纲卷)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.33C.23D.13解析 建立如右图所示坐标系，设AA 1＝2AB ＝2，则B (1，1，0)，C (0，1，0)，C 1(0，1，2)，D (0，0，0)．设面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB ，→＝0n ·DC 1，→＝0代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0y ＋2z ＝0令z ＝1，得n ＝(2，－2，1)，设CD 与面BDC 1所成的角为θ，sin θ＝|n ·DC ，→||n ||DC ，→|＝23，选A.答案 A6．过正方形ABCD 的顶点A ，引PA ⊥平面ABCD .若PA ＝BA ，则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析 解法一：建立如图(1)所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB 与平面PCD 的法向量n 1＝(0，1，0)，n 2＝(0，1，1)，故平面ABP 与平面CDP 所成二面角的余弦值为|n 1·n 2||n 1||n 2|＝22，故所求的二面角的大小是45°. 解法二：将其补成正方体．如图(2)，不难发现平面ABP 和平面CDP 所成的二面角就是平面ABQP 和平面CDPQ 所成的二面角，其大小为45°是明显的．答案 B二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，CC 1中点为E ，则直线AE 与BC 1所成的角的大小为________．解析 以点D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设棱长为2，∴D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，C 1(0，2，2)，E (0，2，1)， ∴AE →＝(－2，2，1)，BC 1→＝(－2，0，2)，cos 〈AE →，BC 1→〉＝AE ，→·BC 1→|AE →||BC 1→|＝63×22＝22， 所以直线AE 与BC 1所成角大小为π4.答案π48．已知点E ，F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的正切值为________．解析 如图，建立空间直角坐标系．设DA ＝1，由已知条件得A (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，13，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，23， AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，13，AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，1，23，设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 平面AEF 与平面ABC 所成的二面角为θ， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE ，→＝0，n ·AF ，→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋13z ＝0，－x ＋y ＋23z ＝0.令y ＝1，得z ＝－3，x ＝－1，则n ＝(－1，1，－3)， 平面ABC 的法向量为m ＝(0，0，－1)，cos θ＝cos 〈n ，m 〉＝311，tan θ＝23.答案239．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|.其中正确命题的序号是________．解析 设正方体的棱长为1，①中(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3(A 1B 1→)2＝3，故①正确；②中A 1B 1→－A 1A →＝AB 1→，由于AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成的角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确；④中|AB →·AA 1→·AD →|＝0，故④也不正确．答案 ①②三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．(本小题10分)如图所示，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD ＝AD ＝a ，点E 是SD 上的点，且DE ＝λa (0<λ≤1)．(1)求证：对任意的λ∈(0，1]，都有AC ⊥BE ； (2)若二面角C －AE －D 的大小为60°，求λ的值．解 (1)证明：如图所示，建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，D (0，0，0)，E (0，0，λa )，∴AC →＝(－a ，a ，0)，BE →＝(－a ，－a ，λa )，∴AC →·BE →＝0对任意λ∈(0，1]都成立， 即对任意的λ∈(0，1]，都有AC ⊥BE .(2)显然n ＝(0，1，0)是平面ADE 的一个法向量， 设平面ACE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， ∵AC →＝(－a ，a ，0)，AE →＝(－a ，0，λa )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC ，→＝0，m ·AE ，→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋ay ＝0，－ax ＋λaz ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x －λz ＝0.令z ＝1，则x ＝y ＝λ，∴m ＝(λ，λ，1)． ∵二面角C －AE －D 的大小为60°，∴cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝λ1＋2λ2＝12， ∵λ∈(0，1]，∴λ＝22. 11．(本小题10分)(2013·北京卷)如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B .并求BDBC 1的值． 解 (1)因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面ABC . (2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB .由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC.如图所示，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ，则B (0，3，0)，A 1(0，0，4)，B 1(0，3，4)，C 1(4，0，4)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B ，→＝0，n ·A 1C 1，→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0.令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0，4，3)． 同理可得，平面B 1BC 1的一个法向量为m ＝(3，4，0)．所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1625.由题知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角， 所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625.(3)设D (x ， y ，z )是直线BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→.所以(x ，y －3，z )＝λ(4，－3，4)．解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ.所以AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)．由AD →·A 1B →＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝925.因为925∈[0，1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B .此时，BD BC 1＝λ＝925.12．(本小题10分)(2013·天津卷)如图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点．(1)证明B 1C 1⊥CE ；(2)求二面角B 1－CE －C 1的正弦值；(3)设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26，求线段AM 的长．解 解法一：如图所示，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0，0，0)，B (0，0，2)，C (1，0，1)，B 1(0，2，2)，C 1(1，2，1)，E (0，1，0)．(1)易得B 1C 1→＝(1，0，－1)，CE →＝(－1，1，－1)，于是B 1C 1→·CE →＝0，所以B 1C 1⊥CE . (2)B 1C →＝(1，－2，－1)．设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·B 1C ，→＝0，m ·CE ，→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0.消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2，1)．由(1)知，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1→＝(1，0，－1)为平面CEC 1的一个法向量．于是cos 〈m ，B 1C 1→〉＝m ·B 1C 1，→|m |·|B 1C 1，→|＝－414×2＝－277，从而sin 〈m ，B 1C 1→〉＝217.所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217. (2)AE →＝(0，1，0)，EC 1→＝(1，1，1)．设EM →＝λEC 1→＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM →＝AE →＋EM →＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB →＝(0，0，2)为平面ADD 1A 1的一个法向量．设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则sin θ＝|cos 〈AM →，AB →〉|＝|AM ，→·AB →||AM →|·|AB →|＝2λλ2＋λ＋2＋λ2×2＝λ3λ2＋2λ＋1.于是λ3λ2＋2λ＋1＝26，解得λ＝13，所以AM ＝ 2.11解法二：(1)因为侧棱CC 1⊥底面A 1B 1C 1D 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1C 1.经计算可得B 1E ＝5，B 1C 1＝2，EC 1＝3，从而B 1E 2＝B 1C 21＋EC 21，所以在△B 1EC 1中，B 1C 1⊥C 1E ，又CC 1，C 1E ⊂平面CC 1E .CC 1∩C 1E ＝C 1，所以B 1C 1⊥平面CC 1E .又CE ⊂平面CC 1E ，故B 1C 1⊥CE .(2)过B 1作B 1G ⊥CE 于点G ，连接C 1G .由(1)知，B 1C 1⊥CE ，故CE ⊥平面B 1C 1G ，得CE ⊥C 1G ，所以∠B 1GC 1为二面角B 1－CE －C 1的平面角．在△CC 1E 中，由CE ＝C 1E ＝3，CC 1＝2，可得C 1G ＝263.在Rt △B 1C 1G 中，B 1G ＝423，所以sin ∠B 1GC 1＝217，即二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217. (3)连接D 1E ，过点M 作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1，连接AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角．设AM ＝x ，从而在Rt △AHM 中，有MH ＝26x ，AH ＝346x .在Rt △C 1D 1E 中，C 1D 1＝1，ED 1＝2，得EH ＝2MH ＝13x .在△AEH 中，∠AEH ＝135°，AE ＝1，由AH 2＝AE 2＋EH 2－2AE ·EH cos135°，得1718x 2＝1＋19x 2＋23x ， 整理得5x 2－22x －6＝0，解得x ＝ 2.所以线段AM 的长为 2.。
高三数学一轮提能一日一讲(11月20日)
【教师典型例题专讲】2014届高三数学一轮提能一日一讲（11月20日）一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．以双曲线x 23－y 2＝1的左焦点为焦点，顶点在原点的抛物线方程是( )A ．y 2＝4x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝－42xD ．y 2＝－8x解析 由题意知：抛物线的焦点为(－2,0)．又顶点在原点，所以抛物线方程为y 2＝－8x .答案 D2．(2013·广东卷)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C的方程是( )A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 解析 双曲线中c ＝3，e ＝32，故a ＝2，b ＝c 2－a 2＝5，故双曲线方程为x 24－y 25＝1.答案 B3．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1解析 ⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>2－k ，2－k >0，∴1<k <2.答案 C4．(2013·广东六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－5,0)和C (5,0)，顶点B 在双曲线x 216－y 29＝1上，则sin B|sin A －sin C |为( )A.32B.23C.54D.45解析 设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ， 由正弦定理得sin B |sin A －sin C |＝b|a －c |，由双曲线的标准方程和定义可知，A ，C 是双曲线的焦点，且b ＝10，|c －a |＝8. 所以sin B |sin A －sin C |＝b |a －c |＝54.故选C.答案 C5．(2013·山东卷)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316 B.38 C.233D.433解析 设M ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，x 202p ，由题意得，对y ＝x 22p ，求导得y ′＝x p ，所以M 点处的切线斜率为x 0p ，双曲线的渐近线为y ＝±33x ，所以x 0p ＝33，x 0＝33p ，故M ⎝⎛⎭⎪⎫33p ，p 6，又知M 与双曲线右焦点F 2(2,0)与抛物线焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2共线，所以p 633p －2＝p 6－p233p .整理得32p ＝2，所以p ＝43＝433，故选D. 答案 D6．已知c 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距，则b ＋ca的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(1，2]解析 由b ＋c a ＝a 2－c 2＋c a＝1－e 2＋e ，又0<e <1，设f (x )＝1－x 2＋x,0<x <1，则f ′(x )＝1－x1－x 2＝1－x 2－x 1－x2.令y ′＝0，得x ＝22，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1上单调递减，∴f (x )max ＝1－12＋22＝2，f (0)＝1，f (1)＝1.∴1<f (x )≤2，故1<b ＋ca≤ 2. 答案 D二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 225＋y 29＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为________．解析 ∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，由椭圆方程知a ＝5，b ＝3，∴c ＝4.∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2＝64，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.解得|PF 1||PF 2|＝18，∴△PF 1F 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×18＝9.答案 98．(2013·北京大兴模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点间的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为________．解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x ＝－p2，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－bp2a ，x ＝－p2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－bp2a＝－1，－p2＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，p ＝4，又已知p2＋a ＝4，故a ＝2，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝ 5.所以双曲线的焦距2c ＝2 5. 答案 2 59．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________．解析 设双曲线的右焦点为F ′，由于E 为PF 的中点，坐标原点O 为FF ′的中点，所以EO ∥PF ′，又EO ⊥PF ，所以PF ′⊥PF ，且|PF ′|＝2×a2＝a ，故|PF |＝3a ，根据勾股定理得|FF ′|＝10a .所以双曲线的离心率为10a 2a ＝102.答案102三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．(本小题10分)如图所示，F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值． 解 (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)解法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2， 直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )， 将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2， 得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，－335c ，所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c .由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |·sin∠F 1AB＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403， 解得a ＝10，b ＝5 3. 解法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a ，由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ， 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos60°可得，t ＝85a ，由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.11．(本小题10分)(2011·江西卷)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值． 解 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4.由抛物线定义得，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)； 设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0，或λ＝2.12．(本小题10分)(2013·浙江卷)如图所示，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1.又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d ＝1k 2＋1，所以|AB |＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4，消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0，故x 0＝－8k4＋k2. 所以|PD |＝8k 2＋14＋k 2.设△ABD 的面积为S ，则 S ＝12|AB |·|PD |＝84k 2＋34＋k 2， 所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313，当且仅当k ＝±102时取等号． 所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1.。
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【教师典型例题专讲】2014届高三数学一轮提能一日一讲（11月4日）一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．函数y＝f(x)的图象在点x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)等于( )A．1 B．2C．0 D.1 2解析由题意知f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，故f(5)＋f′(5)＝2.故选B.答案 B2．函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )解析x<0时，f(x)为增函数，所以导函数在x<0时大于零；x>0时，原函数先增后减再增，所以导函数先大于零再小于零之后又大于零．故选D.答案 D3．(2013·福建卷)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C ．－x 0是－f (x )的极小值点D ．－x 0是－f (－x )的极小值点解析 y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称，由x 0是f (x )的极大值点，得－x 0是－f (－x )的极小值点．答案 D4．(理)(2013·浙江卷)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k(k ＝1,2)，则( )A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值解析 当k ＝1时，f (x )＝(e x －1)(x －1)，f ′(x )＝x e x－1，x ＝1不是f ′(x )＝0的根，所以不是极值点，排除A ，B ；当k ＝2时，f (x )＝(e x－1)(x －1)2，f ′(x )＝(x －1)(x e x ＋e x－2)，当x ＝1时，f ′(x )＝0且x >1时，f ′(x )>0.结合选项，故选C.答案 C4．(文)(2013·浙江卷)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )解析 在(－1,0)上，f ′(x )单调递增，所以f (x )图象的切线斜率呈递增趋势；在(0,1)上，f ′(x )单调递减，所以f (x )图象的切线斜率呈递减趋势．故选B.答案 B5．(理)(2013·湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln5D ．4＋50ln2解析 汽车以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t 行使到停止，故令v (t )＝0，解得t ＝4或t ＝－83(舍)，从而S ＝⎠⎛04v (t)d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln ＋| 40＝7×4－32×42＋25ln 5＝4＋25ln 5，所以选C .答案 C5．(文)(2013·辽宁卷)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析 y ＝12x 2－ln x ，y′＝x －1x ＝x 2－1x ＝－＋x(x>0)．令y′≤0，得0<x≤1， ∴递减区间为(0,1]．故选B . 答案 B6．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)－f(x)≤0，对任意正数a ，b ，若a<b ，则必有( )A ．af(b)≤bf(a)B ．bf(a)≤af(b)C ．af(a)≤f(b)D ．bf(b)≤f(a)解析 设F(x)＝x，则F′(x)＝－x2≤0，故F(x)＝x为减函数． 由0<a<b ，有a ≥b⇒af(b)≤bf(a)，故选A .答案 A二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．(2013·江西卷)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x)＝x ＋e x，则f′(1)＝________.解析 令t ＝e x>0，f(t)＝ln t ＋t ，即f(x)＝x ＋ln x(x>0)，f′(x)＝1＋1x ，于是f′(1)＝2.答案 28．函数f(x)＝x 3－3a 2x ＋a(a>0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．解析 f′(x)＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a)(x －a)，由f′(x)＝0得x ＝±a，当－a<x<a 时，f′(x)<0，函数递减；当x>a 或x<－a 时，f′(x)>0，函数递增，∴f(－a)＝－a 3＋3a 3＋a >0，且f(a)＝a 3－3a 3＋a<0，解得a>22. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 9．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________． 解析 过点P 作y ＝x －2的平行直线，且与曲线y ＝x 2－ln x 相切． 设P(x 0，x 20－ln x 0)，则有k ＝y′|x＝x 0＝2x 0－1x 0.∴2x 0－1x 0＝1.∴x 0＝1或x 0＝－12(舍去)．∴P (1,1)，∴d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.答案2三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分)已知函数f(x)＝4x 3＋3tx 2－6t 2x ＋t －1，x ∈R ，其中t ∈R . (1)当t ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)t ≠0时，求f (x )的单调区间．解 (1)当t ＝1时，f (x )＝4x 3＋3x 2－6x ，f (0)＝0，f ′(x )＝12x 2＋6x －6，f ′(0)＝－6，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝－6x .(2)f ′(x )＝12x 2＋6tx －6t 2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－t 或x ＝t2.因为t ≠0，以下分两种情况讨论：①若t <0，则t2<－t .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↘所以，f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2，(－t ，＋∞)；f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫t2，－t .②若t >0，则－t <t2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↘所以，f (x )的单调递增区间是(－∞，－t )，⎝ ⎛⎭⎪2，＋∞；f (x )的单调递减区间是⎝ ⎭⎪⎫－t ，t2.11．(本小题10分)(2013·福建卷)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )． (1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x. (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)， 即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a ，又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．12．(本小题10分)(理)(2013·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x(cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2.(1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围．解 (1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x(cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x(x ＋1)．设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x(x ＋1)－x 2－4x －2，则F ′(x )＝2k e x(x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x－1)．由题设可得F (0)≥0，即k ≥1. 令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.(ⅰ)若1≤k <e 2，则－2<x 1≤0，从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )<0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )>0，即F (x )在(－2， x 1)单调递减，在(x 1，＋∞)单调递增，故F (x )在[－2，＋∞)的最小值为F (x 1)．而F (x 1)＝2x 1＋2－x 21－4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0.故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．(ⅱ)若k ＝e 2，则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)( e x －e －2)．从而当x >－2时，F ′(x )>0，即F (x )在(－2，＋∞)单调递增．而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．(ⅲ)若k >e 2，则F (－2)＝－2k e －2＋2＝－2e －2(k －e 2)<0.从而当x ≥－2时，f (x )≤kg (x )不可能恒成立．综上，k 的取值范围是[1，e 2]．12．(本小题10分)(文)(2013·浙江卷)已知a ∈R ，函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax . (1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)若|a |>1，求f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值． 解 (1)当a ＝1时，f ′(x )＝6x 2－12x ＋6， 所以f ′(2)＝6.又因为f (2)＝4，所以切线方程为y ＝6x －8. (2)记g (a )为f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值．f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)·(x －a )．令f ′(x )＝0，得到x 1＝1，x 2＝a . 当a >1时，比较f (0)＝0和f (a )＝a 2(3－a )的大小可得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1<a ≤3，a 2－a ，a >3.当a <－1时，得g (a )＝3a －1.综上所述，f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值为 g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1，a <－1，0，1<a ≤3，a 2－a ，a >3.。