辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2019_2020学年高二数学上学期第二次月考试题文
辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2019-2020学年高二数学上学期第二次月考试题 文参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：1221ˆˆˆ()niii nii x ynx ybay bx xn x ==-==--∑∑， 一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1．推理:“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边形;③所以三角形不是矩形”中的小前提是( )A.①B.②C.③D.①和③ 2．命题“存在实数x ，使012<+x ”的否定可以写成 （ ） A ．若01,2<+∈x R x 则 B ．01,2≥+∈∃x R xC ．01,2<+∈∀x R xD ．01,2≥+∈∀x R x3．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）Ａ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则180A B ∠+∠=°Ｂ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质Ｃ．三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(2)180n -· Ｄ．在数列{}n a 中，11a=，)2(,12111≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=--n a a a n n n ，由此归纳出{}n a 的通项公式 4．若sin 21(21)i θ-++是纯虚数，则θ的值为（ ）Ａ．π2π()4k k -∈Z Ｂ．ππ()4k k +∈Z Ｃ．π2π()4k k ±∈Z Ｄ．ππ()24k k -∈Z5.下面框图属于（ ）A ．程序框图B ．结构图C ．流程图D ．工序流程图6．已知a b ，是不相等的正数，2a b x +=，y a b =+，则x y ，的关系是（ ）Ａ．x y >Ｂ．y x >Ｃ．2x y >Ｄ．2y x >7．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ）A.假设三内角都不大于60度；B. 假设三内角至多有两个大于60度。
C.假设三内角至多有一个大于60度；D.假设三内角都大于60度；8．下列说法正确的个数是（ ）①若()()213x i y y i -+=--，其中,,I x R y C R I ∈∈为复数集,则必有()2113x yy -=⎧⎪⎨=--⎪⎩②21i i +>+ ③虚轴上的点表示的数都是纯虚数 ④若一个数是实数，则其虚部不存在A ．0B ． 1C ．2D ．39．定义集合A 、B 的一种运算：1212{,,}A B x x x x x A x B *==+∈∈其中， 若{1,2,3}A =，{1,2}B =，则A B *中的所有元素数字之和为（ ）．A ．9B ．14C ．18D ．2110．若不等式x 2+ax+1≥0对于一切x∈(0,21)成立,则a 的取值范围是( ) A. a ≤ 0 B. a ≥ -2 C. a ≥ 25- D. a ≥-311.设f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,0)()()()(>'+'x g x f x g x f .且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是（ ） Ａ．(－3,0)∪(3,+∞) Ｂ．(－3,0)∪(0, 3)Ｃ．(－∞,－ 3)∪(3,+∞) Ｄ．(－∞,－ 3)∪(0, 3)12. 已知关于x 的方程2(12)30x i x m i +-+-=有实根，则实数m 满足（ ） Ａ．14m -≤Ｂ．14m -≥Ｃ．112m =-Ｄ．112m =二.填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）。
13．定义运算bc ad dc b a -=,若复数z 满足211=-ziz,其中i 为虚数单位,则复数z =14．将给定的25个数排成如图5所示的数表，若每行5个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的5个数按从上到下的 顺序也构成等差数列，且表正中间一个数a 33＝1，则表中所有 数之和为15.若数列{a n }，(n ∈N *)是等差数列,则有数列 b n =na a a n +⋯++21(n ∈N *)也是等差数列，类比上述性质，相应地：若数列{C n }是等比数列,且C n ＞0(n ∈N *),则有11121314152122232425313233343541424344455152535455a a a a a a a a a a a a a a a aa a a a a a a a ad n =____________ (n ∈N *)也是等比数列。
16．比较大小：27+________36+ 三.解答题：（本大题共6小题，共 74分）。
17.（本小题满分12分）下表是关于某设备的使用年限（年）和所需要的维修费用y (万元)x2 3 4 5 6 y2.23.85.56.57.0（1）请在给出的坐标系中画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x 的线性回归方程a x by ˆˆ+=)； （3）估计使用年限为10年时，维修费用为多少？ (参考数值3.1120.765.655.548.332.22=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯)18．（本小题满分12分）已知R x ∈，12-=x a ，22+=x b 。
求证b a ,中至少有一个不小于0。
19．（本小题满分12分）设。
是实数，且是虚数，11121121≤≤-+=z z z z z （1）求 | z 1| 的值以及z 1的实部的取值范围； （2）若1111z z +-=ω，求证：ω为纯虚数。
20.（本小题满分12分）某研究机构为了研究人的体重与身高之间的关系,随机抽测了20人,得到如下数据:序 号12 3 4 5 6 7 8 9 10 身高x(厘米) 182 164 170 176 177 159 171 166 182 166 体重y(公斤) 76 60 61 76 77 58 62 60 78 57 序 号1112 13 14 15 16 17 18 19 20 身高x(厘米) 169 178 167 174 168 179 165 170 162 170 体重y(公斤) 76746877637859756473(1)若“身高大于175厘米”的为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”；“体重大于75(公斤)”的为“胖子”，“体重小于等于75(公斤)”的为“非胖子”.请根据上表数据 高 个 非高个 合 计 胖 子 非胖子 12 合 计20(2)根据题(1)中表格的数据,若按99%的可靠性要求,能否认为体重与身高之间有关系?21.（本小题满分12分）已知函数()f x ax b =+，当11[,]x a b ∈时，值域为22[,]a b ，当22[,]x a b ∈时，值域为33[,]a b ，…，当11[,]n n x a b --∈时，值域为[,]n n a b ，…．其中a 、b 为常数，a 1=0，b 1=1．（1）若a =1，求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；（2）若0,1a a >≠，要使数列{b n }是公比不为1的等比数列，求b 的值； 22.（本小题满分14分）已知定义在R 上的函数1()21x f x a =-+是奇函数，其中a 为实数； （1）求a 的值；（2）求)(x f 的值域； （3）当0≠+n m 时，比较33)()(nm n f m f ++与)0(f 的大小并证明．高二期中考试数学参考答案（文）一．选择题1. B2.D3.A4.B5.C6.B7.D8.A9.B 10.C 11.D 12. D 二．填空题13. 1-i 14.25 15.n n c c c Λ21 16. < 三．解答题17.解：(1)全对得4分，连线扣2分 (2) Q5214916253690ii x==++++=∑，且4,5,5x y n ===，……5分112.354512.3ˆ 1.239051610b-⨯⨯∴===-⨯ ……8分ˆ5 1.2340.08a=-⨯=……9分 ∴回归直线为 1.230.08y x =+．……10分 (3)当10x =时, 1.23100.0812.38y =⨯+=，所以估计当使用10年时，维修费用约为12.38万元．……12分18．证明：假设b a ,中没有一个不少于0，即0<a ，0<b ……4分 所以0<+b a……6分又0)1(12221222≥+=++=++-=+x x x x x b a ……10分这与假设所得结论矛盾，故假设不成立 …… 12分所以b a ,中至少有一个不少于019.解：(1)设)0,(1≠∈+=b R b a bi a z ，且，则因为 z 2是实数，b ≠0，于是有a 2+b 2=1，即|z 1|=1，还可得z 2=2a,由-1≤z 2≤1，得-1≤2a ≤1，解得2121≤≤-a ，即z 1的实部的取值范围是]21,21[-.（2）i a bb a bi b a bi a bi a z z 1)1(211111222211+-=++---=++--=+-=ω因b 0 所以 为纯虚数i b a b b b a a a bi a bi a z z z )()(112222112+-+++=+++=+=20.------------5分(2)依题数据()879.780.814613712125202>=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=k ------------10分 由表知: 认为体重与身高之间有关的可能性为%99%5.99>所以有理由认为体重与身高之间有关系. ------------12分21.解：⑴∵a ＝1>0，∴f(x)＝ax ＋b 在R 上为增函数，∴a n ＝a ·a n －1＋b ＝a n －1＋b ，b n ＝b n －1＋b(n ≥2)， ∴数列{a n }，{b n }都是公差为b 的等差数列．又a 1=0，b 1=1,∴a n =(n －1)b,b n ＝1＋(n －1)b(n ≥2) ……………7分⑵∵a>0，b n ＝ab n －1＋b ，∴b n b n －1＝a ＋b b n －1，………………………10分 由{b n }是等比数列知bb n －1为常数．又∵{b n }是公比不为1的等比数列，则b n －1不为常数，∴必有b ＝0．………………………………………………12分22.解：(1) ()f x Q 为奇函数, ()()f x f x ∴-=-,即112121x x a a --=-+++, 解得: 1.2a =11().221x f x ∴=-+ …………………4分 （2）由(1)知11()221x f x =-+, 211x+>Q ,10121x ∴<<+,11110,()2122x f x ∴-<-<∴-<<+ 所以()f x 的值域为11(,).22- ……………8分(3) ()f x Q 的定义域为R, 设12x x <,则121211()()2121x x f x f x a a -=--+++=121222(12)(12)x x x x -++, 12x x <Q , 1212220,(12)(12)0x x x x ∴-<++>,12()()0,f x f x ∴-<即12()()f x f x <,所以()f x 为增函数R. …………………10分 所以()f x 在R 上为增函数且为奇函数，)0(f =0，)()(n f n f -=-； …………11分①当0>+n m 时，得n m ->，∴⎩⎨⎧>->f(-n)f(m)n m 33，∴⎩⎨⎧>+>+0f(n)f(m)0n m 33，∴0)()(33>++n m n f m f ；②当0<+n m 时，得n m -<，∴⎩⎨⎧<-<f(-n)f(m)n m 33，∴⎩⎨⎧<+<+0f(n)f(m)0n m 33，∴0)()(33>++n m n f m f ； ∴当0≠+n m ，有)0()()(33f nm n f m f >++． …………………14分。
2019-2020学年辽宁省沈阳市城郊市重点联合体高二(上)第二次月考数学试卷(文科)
2019-2020学年辽宁省沈阳市城郊市重点联合体高二（上）第二次月考数学试卷（文科）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1. 推理：“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形．”中的小前提是（）A.①B.③C.①和②D.②【答案】D【考点】演绎推理【解析】根据推理，确定三段论中的：大前提；小前提；结论，从而可得结论【解答】推理：“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形．”中大前提：矩形是平行四边形；小前提：三角形不是平行四边形；结论：三角形不是矩形2. 命题“存在实数x，使x2+1<0”的否定可以写成（）A.若x∈R，则x2+1<0B.∃x∈R，x2+1≥0C.∀x∈R，x2+1<0D.∀x∈R，x2+1≥0【答案】D【考点】命题的否定【解析】根据否定：否定量词，否定结论，改写命题．【解答】否定：否定量词，否定结论，所以把存在改成任意，x2+1<0改为x2+1≥0，即∀x∈R，x2+1≥0，3. 下面几种推理过程是演绎推理的是（）A.两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B＝180∘B.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C.三角形内角和是180∘，四边形内角和是360∘，五边形内角和是540∘，由此得凸多边形内角和是(n−2)⋅180∘D.在数列{a n}中，a1＝1，a n=12(a n−1+1a n−1)(n≥2)，由此归纳出{a n}的通项公式【答案】A【考点】演绎推理【解析】本题考查的是演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分．【解答】A为演绎推理，在推理过程“两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B＝180∘”中两条直线平行，同旁内角互补，是大前提如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，是小前提则∠A+∠B＝180∘为结论．B是类比推理C、D为归纳推理4. 若sin2θ−1+(√2+1)i是纯虚数，则θ的值为（）A.2kπ−π4(k∈Z) B.kπ+π4(k∈Z)C.2kπ±π4(k∈Z) D.kπ2−π4(k∈Z)【答案】B【考点】复数的基本概念复数的运算虚数单位i及其性质【解析】由纯虚数的定义可得sin2θ−1＝0，解出即可．【解答】由题意，得sin2θ−1＝0，解得2θ＝2kπ+π2，∴θ=kπ+π4,k∈Z，5. 如图框图属于（）A.程序框图B.结构图C.流程图D.工序流程图【答案】C【考点】流程图的概念【解析】由定义判断．【解答】流程图可以按照一定流程顺序完成任务．结构图可以表示没有先后顺序，但存在某种逻辑关系．框图是表示一个系统各个部分和关节之间的关系，包括工序流程图． 由定义可知，C 比较符合．6. 已知a 、b 是不相等的正数，x =√a+√b √2，y =√a +b ，则x 、y 的关系是（ ）A.x >yB.y >xC.x >√2yD.不能确定【答案】 ∵ x2=12（√a +√b ）2=12（a+b+2√ab ），y 2＝a+b =12（a+b+a+b ）>12（a+b+2√ab ）＝x 2，又∵ x ＞0，y ＞0∴ y ＞x 【考点】利用不等式比较两数大小 基本不等式及其应用 【解析】先将x 和y 平方，再利用均值不等式比较x 2和y 2的大小，进而确定x 与y 的大小关系． 【解答】∵ x 2=12(√a +√b)2=12(a +b +2√ab)，y 2＝a +b =12(a +b +a +b)>12(a +b +2√ab)＝x 2，又∵ x >0，y >0． ∴ y >x ．7. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ） A.假设三内角都不大于60度 B.假设三内角都大于60度C.假设三内角至多有一个大于60度D.假设三内角至多有两个大于60度 【答案】 B【考点】反证法与放缩法 【解析】一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n 个”的否定：“至少有n +1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”． 【解答】根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．8. 下列说法正确的个数是（ ）①若(2x −1)+i ＝y −(3−y)i ，其中x ∈R ，y ∈∁I R ，I 为复数集．则必有{2x −1=y 1=−(3−y) ②2+i >1+i③虚轴上的点表示的数都是纯虚数④若一个数是实数，则其虚部不存在． A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】 A【考点】复数的基本概念 复数的运算虚数单位i 及其性质 【解析】对于①利用复数相等的条件，直接直接列出方程即可判断正误； 对于②利用复数的基本概念，即可判断正误； 对于③通过复平面的定义判断正误即可； 对于④利用复数的基本概念判断即可； 【解答】①若(2x −1)+i ＝y −(3−y)i ，其中x ∈R ，y ∈∁I R ，I 为复数集． 令y ＝bi ，则必有{2x −1=−b1=3−b，不是{2x −1=y 1=−(3−y) ，所以①不正确． ②2+i >1+i ，不正确，复数不能比较大小．③虚轴上的点表示的数都是纯虚数，必须除去原点，所以③不正确． ④若一个数是实数，则其虚部不存在．不正确，虚部为0，不是不存在．9. 定义集合A 、B 的一种运算：A ∗B ={x|x =x 1+x 2, x 1∈A, x 2∈B}，若A ={1, 2, 3}，B ={1, 2}，则A ∗B 中的所有元素之和为（ ） A.21 B.18 C.14 D.9 【答案】 C【考点】元素与集合关系的判断 【解析】根据新定义A ∗B ={x|x =x 1+x 2, x 1∈A, x 2∈B}，把集合A 与集合B 中的元素分别代入再求和即可求出答案． 【解答】解：∵ A ∗B ={x|x =x 1+x 2, x 1∈A, x 2∈B}，A ={1, 2, 3}，B ={1, 2}， ∴ A ∗B ={2, 3, 4, 5}，∴ A ∗B 中的所有元素之和为：2+3+4+5=14， 故选C ．10. 若不等式x 2+ax +1≥0对于一切x ∈(0, 12)恒成立，则a 的取值范围是（ ） A.a ≥0B.a ≥−2C.a ≥−52D.a ≥−3【答案】 C【考点】函数恒成立问题 【解析】将参数a 与变量x 分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，进行求解即可． 【解答】x 2+ax +1≥0对于一切x ∈(0, 12)成立， 则等价为a ≥−x 2−1x对于一切x ∈(0, 12)成立，即a ≥−x −1x 对于一切x ∈(0, 12)成立， 设y ＝−x −1x ，则函数在区间(0，12〕上是增函数 ∴ −x −1x <12−2=−52， ∴ a ≥−52．11. 设f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0．且g(3)＝0．则不等式f(x)g(x)<0的解集是（ ） A.(−3, 0)∪(3, +∞) B.(−3, 0)∪(0, 3)C.(−∞, −3)∪(3, +∞)D.(−∞, −3)∪(0, 3) 【答案】 D【考点】函数奇偶性的性质与判断 导数的运算 不等式 【解析】先根据f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0可确定[f(x)g(x)]′>0，进而可得到f(x)g(x)在(−∞, 0)上递增，结合函数f(x)与g(x)的奇偶性可确定f(x)g(x)在(0, +∞)上也是增函数，最后根据g(3)＝0可求得答案． 【解答】因 f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0，即[f(x)g(x)]′>0 故f(x)g(x)在(−∞, 0)上递增，又∵ f(x)，g(x)分别是定义R 上的奇函数和偶函数，∴ f(x)g(x)为奇函数，关于原点对称，所以f(x)g(x)在(0, +∞)上也是增函数． ∵ f(3)g(3)＝0，∴ f(−3)g(−3)＝0所以f(x)g(x)<0的解集为：x <−3或0<x <312. 已知对于x 的方程x 2+(1−2i)x +3m −i ＝0有实根，则实数m 满足（ ） A.m ≤−14B.m ≥−14C.m =−112D.m =112【答案】 D【考点】复数的基本概念 复数的运算虚数单位i 及其性质 【解析】方程的实根x 满足方程x 2+(1−2i)x +3m −i ＝0，整理得(x 2+x +3m)−(2x +1)i＝0，由复数等于0则实部＝0，虚部＝0列方程可解出m 值． 【解答】由已知{x 2+x +3m =0−2x −1=0，解得x =−12，代入①中解得m =112．二.填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）．定义运算|a bcd|=ad −bc ，若复数z 满足|1−1z zi |=2，其中i 为虚数单位，则复数z ＝________．【答案】 1−i 【考点】 复数的运算二阶行列式的定义 【解析】设出要求的复数，根据条件中定义的行列式，写出含有复数的行列式的结果，根据复数相等的充要条件，写出关于所设的复数的实部和虚部的方程，解方程即可． 【解答】 设z ＝a +bi∵ 行列式的运算定义为 |a b cd |=ad −bc ，∴ |1−1z zi|=2等价于zi +z ＝2，∴ (a +bi)i +(a +bi)＝2， ∴ a −b +(b +a)i ＝2， ∴ a +b ＝0，a −b ＝2， ∴ a ＝1，b ＝−1， ∴ z ＝1−i ，将给定的25个数排成如右图所示的数表，若每行5个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的5个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正中间一个数a 33＝1，则表中所有数之和为________【答案】 25【考点】等差数列的前n 项和 【解析】首先根据等差数列的性质求出每行数的和每行数的和等于第三个数的5倍，又知每列的5个数按从上到下的顺序也构成等差数列，求出该列数的和，根据等差数列的性质，每列数的和等于第3个数的5倍，据此即可求出表中所有数之和．【解答】∵每行5个数按从左至右的顺序构成等差数列，∴a11+a12+a13+a14+a15＝5a13，a21+a22+a23+a24+a25＝5a23，a31+a32+a33+a34+a35＝5a33，a41+a42+a43+a44+a45＝5a43，a51+a52+a53+a54+a55＝5a53，∵每列的5个数按从上到下的顺序也构成等差数列，∴a13+a23+a33+a43+a53＝5a33，∴表中所有数之和为25a33＝25，(n∈N∗)也是等差数列，若数列{a n}，(n∈N∗)是等差数列，则有数列b n=a1+a2+⋯+a nn类比上述性质，相应地：若数列{c n}是等比数列，且c n>0(n∈N∗)，则有d n=________(n∈N∗)也是等比数列．【答案】n√c1c2…c n【考点】类比推理【解析】在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，可得结论．【解答】(n∈N∗)也是等差数列．解：数列{a n}，(n∈N∗)是等差数列，则有数列b n=a1+a2+⋯+a nnn时，数列类比推断：若数列{c n}是各项均为正数的等比数列，则当d n=√c1c2…c n{d n}也是等比数列．n．故答案为：√c1c2…c n比大小：√2+√7________√3+√6．【答案】<【考点】利用不等式比较两数大小【解析】两个正实数比较大小，可先分别求出两数的平方，再比较出两平方数的大小，从而得到原来两实数的大小．【解答】(√2+√7)2＝9+2√14，(√3+√6)2＝9+2√18，∵14<18，∴√14<√18，∴√2+√7<√3+√6．三.解答题：（本大题共6小题，共74分）．下表是关于某设备的使用年限（年）和所需要的维修费用y（万元）的几组统计数据：（1）请在给出的坐标系中画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^=b ^x +a ^；（3）估计使用年限为10年时，维修费用为多少？（参考数值：2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7.0＝112.3）． 【答案】根据所给的数据，得到对应的点的坐标，写出点的坐标， 在坐标系描出点，得到散点图，∵ ∑ 5i=1x i 2=4+9+16+25+36＝90且x =4,y =5,n =5， ∴ b ^=112.3−5×4×590−5×16=12.310=1.23 a ^=5−1.23×4=0.08∴ 回归直线为y ＝1.23x +0.08．当x ＝10时，y ＝1.23×10+0.08＝12.38，所以估计当使用10年时，维修费用约为12.38万元． 【考点】利用散点图识别两变量之间关系 求解线性回归方程 【解析】（1）根据所给的数据，得到对应的点的坐标，写出点的坐标，在坐标系描出点，得到散点图（2）做出利用最小二乘法所用的几个数据，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．（3）给出自变量的值，把它代入线性回归方程，求出y 的值，这里得到的不是y 的准确数值，而是一个估计值，一个预报值． 【解答】根据所给的数据，得到对应的点的坐标，写出点的坐标， 在坐标系描出点，得到散点图，∵ ∑ 5i=1x i 2=4+9+16+25+36＝90且x =4,y =5,n =5， ∴ b ^=112.3−5×4×590−5×16=12.310=1.23a ^=5−1.23×4=0.08∴ 回归直线为y ＝1.23x +0.08．当x ＝10时，y ＝1.23×10+0.08＝12.38，所以估计当使用10年时，维修费用约为12.38万元．已知x ∈R ，a ＝x 2−1，b ＝2x +2．求证a ，b 中至少有一个不小于0． 【答案】证明：假设a ，b 中没有一个不小于0，即a <0，b <0，所以 a +b <0．又a +b ＝x 2−1+2x +2＝x 2+2x +1＝(x +1)2≥0，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，所以，a ，b 中至少有一个不小于0． 【考点】反证法与放缩法 【解析】假设 a <0，b <0，则a +b <0，又a +b ＝x 2−1+2x +2＝x 2+2x +1＝(x +1)2≥0，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立． 【解答】证明：假设a ，b 中没有一个不小于0，即a <0，b <0，所以 a +b <0．又a +b ＝x 2−1+2x +2＝x 2+2x +1＝(x +1)2≥0，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，所以，a ，b 中至少有一个不小于0．设z 1是虚数，z 2＝z 1+1z 1是实数，且−1≤z 2≤1．（1）求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围．（2）若ω=1−z 11+z 1，求证：ω为纯虚数．【答案】设z1＝a+bi(a，b∈R且b≠0)，则z2＝z1+1z1=a+bi+1a+bi=a+bi+a−bi(a+bi)(a−bi)＝a+bi+aa2+b2−ba2+b2i＝a+aa2+b2+(b−ba2+b2)i．∵z2是实数，b≠0，∴b−ba2+b2=0．b≠0，于是有a2+b2＝1，即|z1|＝1，还可得z2＝2a．由−1≤z2≤1，得−1≤2a≤1，解得−12≤a≤12，即z1的实部的取值范围．证明：ω=1−z11+z1=1−a−bi1+a+bi=(1−a−bi)(1+a−bi)(1+a+bi)(1+a−bi)=1−a2−b2−2bi(1+a)2+b2=−2bi2+2a=−ba+1i．∵a∈[−12,12]，b≠0，∴ω为纯虚数．【考点】复数的运算【解析】（1）设z1＝a+bi(a，b∈R且b≠0)，则z2＝z1+1z1=a+bi+1a+bi=a+bi+a−bi (a+bi)(a−bi)=a+aa2+b2+(b−ba2+b2)i．根据z2是实数，b≠0，可得b−ba2+b2=0．b≠0，即可得出．还可得z2＝2a．由−1≤z2≤1，即可得出z1的实部的取值范围．（2）由a2+b2＝1，代入ω=1−z11+z1化简即可证明．【解答】设z1＝a+bi(a，b∈R且b≠0)，则z2＝z1+1z1=a+bi+1a+bi=a+bi+a−bi(a+bi)(a−bi)＝a+bi+aa2+b2−ba2+b2i＝a+aa2+b2+(b−ba2+b2)i．∵z2是实数，b≠0，∴b−ba2+b2=0．b≠0，于是有a2+b2＝1，即|z1|＝1，还可得z2＝2a．由−1≤z2≤1，得−1≤2a≤1，解得−12≤a≤12，即z1的实部的取值范围．证明：ω=1−z11+z1=1−a−bi1+a+bi=(1−a−bi)(1+a−bi)(1+a+bi)(1+a−bi)=1−a2−b2−2bi(1+a)2+b2=−2bi2+2a=−ba+1i．∵a∈[−12,12]，b≠0，∴ω为纯虚数．某研究机构为了研究人的体重与身高之间的关系，随机抽测了20人，得到如下数据：（1）若“身高大于175厘米”的为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”；“体重大于75（公斤）”的为“胖子”，“体重小于等于75（公斤）”的为“非胖子”．请根据上表数据完成下面的2×2联列表：（2）根据题（1）中表格的数据，若按99%的可靠性要求，能否认为体重与身高之间有关系？【答案】=8.80>7.879，依题数据k=20×(5×12−2×1)27×13×6×14由表知：认为体重与身高之间有关的可能性为99.5%>99%，所以有理由认为体重与身高之间有关系．【考点】独立性检验【解析】（1）根据题目所给信息分别求出高个胖子，高个非胖子，非高个胖子和非高个非胖子人数，列出列联表即可；（2）根据（1）中列联表计算K2的观测值k，查表判断即可．【解答】=8.80>7.879，依题数据k=20×(5×12−2×1)27×13×6×14由表知：认为体重与身高之间有关的可能性为99.5%>99%，所以有理由认为体重与身高之间有关系．已知函数f(x)＝ax+b，当x∈[a1, b1]时，值域为[a2, b2]，当x∈[a2, b2]时，值域为[a3, b3]，…，当x∈[a n−1, b n−1]时，值域为[a n, b n]，…．其中a、b为常数，a1＝0，b1＝1．（1）若a＝1，求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若a>0且a≠1，要使数列{b n}是公比不为1的等比数列，求b的值；（3）若a>0，设数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，求T n−S n的值．【答案】a＝1，f(x)＝x+b．a n＝f(a n−1)＝a n−1+b，b n＝b n−1+b，(n≥2)，因此数列{a n}、{b n}都是等差数列，公差为b．∵a1＝0，b1＝1．∴a n＝(n−1)b，b n＝1+(n−1)b＝bn+1−b．a>0且a≠1，b n＝f(b n−1)＝ab n−1+b，b2＝a+b，b3＝ab2+b＝a(a+b)+b＝a2+ab+b，∵数列{b n}是公比不为1的等比数列，∴(a+b)2＝1×(a2+ab+b)，化为：ab+b2＝b．∴b＝0或b＝1−a．当b＝0时，b n＝a n−1，数列{b n}是等比数列，首项为1，公比为a．b＝1−a(a>0且a≠1)时，b1＝b2＝1，舍去．a>0时，f(x)＝ax+b的单调递增函数．a n＝f(a n−1)＝aa n−1+b，b n＝ab n−1+b，(n≥2)，a n−b n＝a(a n−1−b n−1)，∴数列{a n−b n}是等比数列，首项为a1−b1＝−1，公比为a．a＝1时，T n−S n＝−n．a>0且a≠1时，T n−S n=−(1−a n)1−a．∴T n−S n=−{−n,a=1a n−11−a,a>0,a≠1．【考点】等比数列的通项公式数列的求和【解析】（1）a＝1，f(x)＝x+b．a n＝f(a n−1)＝a n−1+b，b n＝b n−1+b，(n≥2)，利用等差数列的通项公式即可得出．（2）a>0且a≠1，b n＝f(b n−1)＝ab n−1+b，可得b2＝a+b，b3＝a2+ab+b，利用等比数列的性质可得：(a+b)2＝1×(a2+ab+b)，化为：ab+b2＝b．b＝0或b＝1−a．再利用等比数列的通项公式即可判断出结论．（3）a>0时，f(x)＝ax+b的单调递增函数．a n＝f(a n−1)＝aa n−1+b，b n＝ab n−1+b，(n≥2)，可得：a n−b n＝a(a n−1−b n−1)，对a分类讨论，再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】a＝1，f(x)＝x+b．a n＝f(a n−1)＝a n−1+b，b n＝b n−1+b，(n≥2)，因此数列{a n}、{b n}都是等差数列，公差为b．∵a1＝0，b1＝1．∴a n＝(n−1)b，b n＝1+(n−1)b＝bn+1−b．a>0且a≠1，b n＝f(b n−1)＝ab n−1+b，b2＝a+b，b3＝ab2+b＝a(a+b)+b＝a2+ab+b，∵数列{b n}是公比不为1的等比数列，∴(a+b)2＝1×(a2+ab+b)，化为：ab+b2＝b．∴b＝0或b＝1−a．当b＝0时，b n＝a n−1，数列{b n}是等比数列，首项为1，公比为a．b＝1−a(a>0且a≠1)时，b1＝b2＝1，舍去．a>0时，f(x)＝ax+b的单调递增函数．a n＝f(a n−1)＝aa n−1+b，b n＝ab n−1+b，(n≥2)，a n−b n＝a(a n−1−b n−1)，∴数列{a n−b n}是等比数列，首项为a1−b1＝−1，公比为a．a＝1时，T n−S n＝−n．a>0且a≠1时，T n−S n=−(1−a n)1−a．∴T n−S n=−{−n,a=1a n−11−a,a>0,a≠1．已知定义在R上的函数f(x)＝a−12x+1是奇函数，其中a为实数．(Ⅰ)求实数a的值；(Ⅱ)求函数f(x)的值域；(Ⅲ)当m+n≠0时，比较f(m)+f(n)m3+n3与f(0)的大小并证明．【答案】（1）∵函数f(x)=a−12x+1在R上是奇函数，∴f(0)＝0，即a−120+1=0，∴a=12；（2）由(Ⅰ)知f(x)=12−12+1，∵2x+1>1，∴0<12x+1<1，∴−1<−12+1<0，则−12<12−12+1<12，即−12<y<12，所以函数f(x)的值域为(−12,12 )；(Ⅲ)当m+n≠0时，f(m)+f(n)m3+n3>f(0)．设x1，x2∈R，且x1<x2，f(x2)−f(x1)=(1−1x2)−(1−1x1)=2x2−2x1x2x1∵x1<x2，∴2x2−2x1>0,(2x2+1)(2x1+1)>0，∴2x2−2x1(2x2+1)(2x1+1)>0即f(x2)−f(x1)>0，所以函数f(x)=12−12x+1在R上是单调递增，①若m+n>0，即m>−n，所以f(m)>f(−n)，m3>(−n)3，又因为f(x)=12−12x+1在R上是奇函数，所以f(−n)＝−f(n)，f(m)+f(n)>0，m3+n3>0所以f(m)+f(n)m3+n3>0，又因为f(0)＝0，所以f(m)+f(n)m3+n3>f(0)；②若m+n<0，即m<−n，所以f(m)<f(−n)，m3<(−n)3，又因为f(x)=12−12x+1在R上是奇函数，所以f(−n)＝−f(n)，f(m)+f(n)<0，m3+n3<0所以f(m)+f(n)m3+n3>0，又因为f(0)＝0，所以f(m)+f(n)m3+n3>f(0)．综上所述：当m+n≠0时，f(m)+f(n)m3+n3>f(0)．【考点】函数的值域及其求法函数奇偶性的性质与判断【解析】(Ⅰ)利用函数是奇函数，结合f(0)＝0，解方程即可求实数a的值；(Ⅱ)结合方式函数的性质即可求函数f(x)的值域；(Ⅲ)利用定义法判断函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系即可证明当m+n≠0时，比较f(m)+f(n)m3+n3与f(0)的大小关系．【解答】（1）∵函数f(x)=a−12x+1在R上是奇函数，∴f(0)＝0，即a−12+1=0，∴a=12；（2）由(Ⅰ)知f(x)=12−12x+1，∵2x+1>1，∴0<12x+1<1，∴−1<−12x+1<0，则−12<12−12x+1<12，即−12<y<12，所以函数f(x)的值域为(−12,12 )；(Ⅲ)当m+n≠0时，f(m)+f(n)m3+n3>f(0)．设x1，x2∈R，且x1<x2，f(x2)−f(x1)=(12−12x2+1)−(12−12x1+1)=2x2−2x1(2x2+1)(2x1+1)∵x1<x2，∴2x2−2x1>0,(2x2+1)(2x1+1)>0，∴2x2−2x1(2x2+1)(2x1+1)>0即f(x2)−f(x1)>0，所以函数f(x)=12−12x+1在R上是单调递增，①若m+n>0，即m>−n，所以f(m)>f(−n)，m3>(−n)3，又因为f(x)=12−12x+1在R上是奇函数，所以f(−n)＝−f(n)，f(m)+f(n)>0，m3+n3>0所以f(m)+f(n)m3+n3>0，又因为f(0)＝0，所以f(m)+f(n)m3+n3>f(0)；②若m+n<0，即m<−n，所以f(m)<f(−n)，m3<(−n)3，又因为f(x)=12−12x+1在R上是奇函数，所以f(−n)＝−f(n)，f(m)+f(n)<0，m3+n3<0所以f(m)+f(n)m3+n3>0，又因为f(0)＝0，所以f(m)+f(n)m3+n3>f(0)．综上所述：当m+n≠0时，f(m)+f(n)m3+n3>f(0)．。
2019-2020学年辽宁省沈阳市城郊市重点联合体高二上学期第二次月考数学(文)试题(含答案)
辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2019-2020学年高二上学期第二次月考数学试题（文）参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：1221ˆˆˆ()niii nii x ynx ybay bx xn x ==-==--∑∑， 一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1．推理:“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边形;③所以三角形不是矩形”中的小前提是( ) A.① B.② C.③ D.①和③ 2．命题“存在实数x ，使012<+x ”的否定可以写成 （ ） A ．若01,2<+∈x R x 则 B ．01,2≥+∈∃x R xC ．01,2<+∈∀x R xD ．01,2≥+∈∀x R x3．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）Ａ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则180A B ∠+∠=° Ｂ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 Ｃ．三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(2)180n -· Ｄ．在数列{}n a 中，11a =，)2(,12111≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=--n a a a n n n ，由此归纳出{}n a 的通项公式 4．若sin 21(21)i θ-++是纯虚数，则θ的值为（ ）Ａ．π2π()4k k -∈Z Ｂ．ππ()4k k +∈Z Ｃ．π2π()4k k ±∈Z Ｄ．ππ()24k k -∈Z5.下面框图属于（ ）A ．程序框图B ．结构图C ．流程图D ．工序流程图6．已知a b ，是不相等的正数，2a b x +=，y a b =+，则x y ，的关系是（ ）Ａ．x y >Ｂ．y x >Ｃ．2x y >Ｄ．2y x >7．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是 （ ） A.假设三内角都不大于60度； B. 假设三内角至多有两个大于60度。
辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2019-2020学年高二(上)期中数学试卷(理科)B卷(解析版)
辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2019-2020学年高二（上）期中数学试卷（理科）B卷一、选择题（本大题共12小题）1.设P=2a（a-2）+3，Q=（a-1）（a-3），a∈R，则有（）A. P≥QB. P>QC. P<QD. P≤Q2.已知m＞n，则下列不等式中一定成立的是（）A. m+a>n+bB. mc>ncC. a−m<a−nD. ma2>na23.在△ABC中，b=√3，c=3，B=30°，则a等于（）A. √3B. 12√3C. √3或2√3D. 24.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6=12，则a3+a4=（）A. 3B. 4C. 6D. 75.已知△ABC的周长为18，且sin A：sin B：sin C=4：3：2，则cos A=（）A. 23B. −23C. 14D. −146.设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10S5=5，则S15S10=（）A. 73B. 215C. 17D. 57.设△ABC的三条边分别为a、b、c，三角形面积为S=a2+b2−c24，则∠C为（）A. π6B. π3C. π4D. π28.已知{a n}为等比数列，a5+a8=2，a6•a7=-8，则a2+a11=（）A. 5B. 7C. −7D. −59.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S16＜0，S17＞0，则S n的最小值为（）A. S16B. S17C. S8D. S910.设变量x、y满足{x−y≤20≤x+y≤40≤y≤3，则2x+3y的最大值为（）A. 11B. 10C. 9D. 811.在△ABC中，若sinAsinC=cos2B2，则△ABC是（）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形12.已知x＞0，y＞0且x+y=1，则√2x +3y的最小值是（）A. √3+√2B. √10C. 5+2√6D. 2√6二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5•a6=27，则log3a1+log3a2+…+log3a10=______．14.对于x∈R，式子√mx2−mx+1恒有意义，则常数m的取值范围是______−15.若数列{a n}的前n项和S n=2n−4，则{a n}的通项公式是______−16.已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x，则x的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求函数f(x)=−2x2+x−3，(x＞0)的最大值，以及此时x的值．x18.在△ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程x2-2√3x+2=0的两个根，且2cos（A+B）=1．求：（1）角C的度数；（2）边AB的长．19.在公差不为零的等差数列{a n}中，a4=10，且a3、a6、a10成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=2a n−6，求数列{b n}的前n项和s n20.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A=（2b+c）sin B+（2c+b）sin C．（1）求A的大小；（2）求sin B+sin C的取值范围．21.设函数f（x）=|x-a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤-1}，求a的值．22.设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2−4n+4．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a n2n ，数列{b n}的前n项和为T n，求证：14≤T n<1．答案和解析1.【答案】A【解析】解：P-Q=2a（a-2）+3-（a-1）（a-3）=a2≥0，∴P≥Q．故选：A．作差即可得出P-Q=a2≥0，从而得出P，Q的大小关系．本题考查了作差比较实数大小的方法，清楚a2≥0，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵m＞n，则取m=1，n=0，a=0，b=2，c=0，可排除A，B，D．对C，∵m＞n，∴-m＜-n，∴a-m＜a-n，故C正确．故选：C．根据不等式的基本性质，结合特殊值，可得正确选项．本题考查了不等式的基本性质，属基础题．3.【答案】C【解析】解：∵b=√3，c=3，B=30°，∴由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B得：（√3）2=a2+32-3√3a，整理得：a2-3√3a+6=0，即（a-√3）（a-2√3）=0，解得：a=√3或a=2√3，则a=√3或2√3．故选：C．由B的度数求出cos B的值，再由b与c的值，利用余弦定理列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．本题a有两解，注意不要漏解．4.【答案】B【解析】解：依题意，S6=a1+a62×6=a3+a42×6=12，解得a3+a4=4，故选：B．将S6转化为用a3和a4表达的算式，即可得到a3+a4的值．本题考查了等差数列的前n项和公式，考查了等差中项的性质，主要体现了方程思想和整体思想，本题属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵由正弦定理可知，sin A：sin B：sin C=a：b：c=4：3：2，∴可设a=4k，b=3k，c=2k，k＞0，∴由余弦定理可得，cos A=b2+c2−a22bc =9k2+4k2−16k22×3k×2k=-14．故选：D．由正弦定理可知sin A：sin B：sin C=a：b：c=4：3：2，可设a=4k，b=3k，c=2k，由余弦定理可得cos A的值．本题主要考查了正弦定理及余弦定理的应用，属于基础试题．6.【答案】B【解析】解：由等比数列的性质可得：S 5，S 10-S 5，S 15-S 10（各项不为0）成等比数列，不妨设S 5=1，由S10S 5=5，可得S 10=5．∴（5-1）2=1×（S 15-5），解得S 15=21， 则S 15S 10=215．故选：B ．由等比数列的性质可得：S 5，S 10-S 5，S 15-S 10（各项不为0）成等比数列，即可得出． 本题考查了等比数列的前n 项和的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 7.【答案】C【解析】解：设△ABC 的三条边分别为a 、b 、c ，三角形面积为S =a 2+b 2−c 24，所以12absinC =2abcosC4，整理得tan C =1．由于0＜C ＜π，所以C =π4．故选：C ．直接利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 8.【答案】C【解析】解：a 5+a 8=2，a 6•a 7=-8， ∴a 5•a 8=-8，解得a 5=4，a 8=-2， 或a 5=-2，a 8=4． 当a 5=4，a 8=-2，q 3=-12，a 2+a 11=a 5q -3+a 8q 3=4×(1−12)-2×(−12)=-7， 当a 5=-2，a 8=4．q 3=-2．a 2+a 11=a 5q -3+a 8q 3=-2×（−12）+4×（-2）=-7故选：C ．通过已知条件求出a 5，a 8，求出公比，求出a 7，然后求解a 2+a 11的值． 本题考查等比数列的通项公式的应用，考查计算能力． 9.【答案】C【解析】解：∵等差数列{a n }中，S 16＜0，S 17＞0， ∴a 1+a 16=a 8+a 9＜0，a 1+a 17=2a 9＞0， ∴a 8＜0，a 9＞0， ∴a 1＜0，d ＞0，则当n =8时S n 取最小值S 8． 故选：C ．由已知结合等差数列的求和公式可得，a 1+a 16=a 8+a 9＜0，a 1+a 17=2a 9＞0，从而可得a 8＜0，a 9＞0，即可判断．本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题．10.【答案】A【解析】解：变量x 、y 满足{x −y ≤20≤x +y ≤40≤y ≤3的平面区域如下图所示：令z =2x +3y 可得y =-23x +z3，则z3为直线2x +3y -z =0在y 轴上的截距，截距越大，z 越大， 作直线l ：2x +3y =0，把直线向上平移可得过点A 时2x +3y 最大， 由{y =3x +y =4可得x =1，y =3，此时z =11． 故选：A ．先画出满足约束条件 的平面区域，结合几何意义，然后求出目标函数z =2x +3y 取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键． 11.【答案】C【解析】解：由sinAsinC =cos 2B2，得sin A sin C =1+cosB 2，则2sin A sin C =1+cos B =1-cos （A +C ）=1-cos A cos C +sin A sin C ， ∴cos A cos C +sin A sin C =1，即cos （A -C ）=1． ∵-π＜A -C ＜π，∴A -C =0，得A =C ． ∴△ABC 是等腰三角形． 故选：C ．利用倍角公式降幂，再把B 用A 和C 表示，然后利用两角和与差的余弦变形求解． 本题考查三角形的形状判断，考查三角函数的恒等变换应用，是基础题． 12.【答案】A【解析】解：∵x ＞0，y ＞0且x +y =1， ∴2x +3y =（2x +3y ）（x +y ）=5+2yx +3x y≥5+2√2y x ⋅3x y=5+2√6，当且仅当2yx =3x y且x +y =1即x =3−√6，y =√6−2时取等号，√2x +3y ≥√5+2√6=√3+√2即最小值是√3+√2． 故选：A ．由已知可得2x +3y =（2x +3y ）（x +y ）=5+2yx +3x y，利用基本不等式可求最值．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行1的代换进行应用条件的配凑，属于基础试题． 13.【答案】15【解析】解：由等比数列的性质可得：a 1•a 10=a 2•a 9=…=a 5•a 6，由对数的运算性质可知：log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10=log 3（a 1•a 2•…•a 10）=log 3（27）5=log 3（3）15=15， 故答案为：15．由等比数列的性质及对数的运算性质可知：log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10=log 3（a 1•a 2•…•a 10）=log 3（3）15=15．本题考查对数的运算性质，等比数列的性质，考查计算能力，属于基础题． 14.【答案】[0，4）【解析】解：由题意，mx 2-mx +1＞0恒成立， 当m =0时，1＞0，显然恒成立，当m ≠0时，要使mx 2-mx +1＞0恒成立，则{m >0m 2−4m <0，解得0＜m ＜4，综上，实数m 的取值范围为[0，4）． 故答案为：[0，4）．由题意，mx 2-mx +1＞0恒成立，分m =0及m ≠0两种情况讨论即可．本题考查不等式的恒成立问题，考查不等式的解法及转化思想，属于基础题．15.【答案】a n ={−2,n =12n−1,n ≥2【解析】解：∵数列{a n }的前n 项和S n =2n −4， ∴a 1=S 1=2-4=-2，n ≥2时，a n =S n -S n -1=2n -2n -1=2n -1． ∴{a n }的通项公式是a n ={−2,n =12n−1,n ≥2．故答案为：a n ={−2,n =12n−1,n ≥2．a 1=S 1=2-4=-2，n ≥2时，a n =S n -S n -1=2n -2n -1=2n -1．由此能求出{a n }的通项公式． 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的通项公式和数列的前n 项和的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】(√5，√13)【解析】解：分两种情况来做，当x 为最大边时，由余弦定理可知只要22+32-x 2＞0即可，可解得3＜x ＜√13当x 不是最大边时，则3为最大边，同理只要保证3所对的角为锐角就可以了，则有22+x 2-32＞0，可解得√5＜x ≤3所以综上可知x 的取值范围为(√5，√13)， 故答案为(√5，√13)．分两种情况来做，当x 为最大边时，只要保证x 所对的角为锐角就可以了；当x 不是最大边时，则3为最大边，同理只要保证3所对的角为锐角就可以了． 本题考查余弦定理得运用，应注意分类讨论．17.【答案】解：f(x)=1−(2x +3x )，∵x ＞0，∴2x +3x ≥2√6，∴f(x)≤1−2√6，当且仅当2x =3x ，即x 2=32即x =√62时，等号成立．∴f(x)max =1−2√6，此时x =√62．【解析】利用基本不等式即可得出f （x ）的最大值及其对应的x 的值． 本题考查了基本不等式与函数最值的计算，属于基础题．18.【答案】解：（1）cosC =cos[π−(A +B)]=−cos(A +B)=−12∴C =120°（2）由题设：{a +b =2√3ab =2∴AB 2=AC 2+BC 2-2AC •BC cosC=a 2+b 2-2ab cos120°=a 2+b 2+ab =(a +b)2−ab =(2√3)2−2=10∴AB =√10【解析】（1）根据三角形内角和可知cos C =cos[π-（A +B ）]进而根据题设条件求得cos C ，则C 可求．（2）根据韦达定理可知a +b 和ab 的值，进而利用余弦定理求得AB ．本题主要考查了余弦定理的应用．考查了学生综合分析问题和函数思想，化归思想的应用．19.【答案】解：（1）设数列{a n }的公差为d则a 3=a 4-d =10-d ，a 6=a 4+2d =10+2d ，a 10=a 4+6d =10+6d由a 3，a 6，a 10成等比数列，得a 3a 10=a 62即（10-d ）（10+6d ）=（10+2d ）2，整理得10d 2-10d =0，解得d =1或d =0（舍）， ∵a 4=10，d =1， ∴a 1=7所以，a n =a 1+（n -1）d =n +6． （2）b n =2a n −6=2n ， 当n =1时，b 1=2；当n ≥2时，b nbn−1=2n 2n−1=2．故数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，S n =2(1−2n )1−2=2n+1−2．【解析】（1）利用等差数列以及等比数列关系，求出公差，然后求解数列的通项公式． （2）化简数列的通项公式，判断数列是等比数列，然后求解数列的和．本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和，考查计算能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）△ABC 中，由已知，根据正弦定理得2a 2=（2b +c ）b +（2c +b ）c ，即 a 2=b 2+c 2+bc ． 由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc •cos A ，故 cos A =-12，∴A =120°． （Ⅱ）由（Ⅰ）得：sin B +sin C =sin B +sin （60°-B ）=√32cos B +12sin B =sin （B +60°）．因为0°＜B ＜60°，所以，60°＜B +60°＜120，∴√32＜sin （B +60°）≤1，故sin B +sin C 的取值范围是（√32，1]．【解析】（Ⅰ）△ABC 中，由已知，根据正弦定理得a 2=b 2+c 2+bc ，再由余弦定理求得cos A =-12，A =120°．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sin B +sin C =sin （B +60°），根据60°＜B +60°＜120，求得√32＜sin （B +60°）≤1，从而求得sin B +sin C 的取值范围．本题主要考查正弦定理、余弦定理，两角和差的正公式的应用，属于中档题． 21.【答案】解：（Ⅰ）当a =1时，f （x ）≥3x +2可化为 |x -1|≥2．由此可得x ≥3或x ≤-1．故不等式f （x ）≥3x +2的解集为 {x |x ≥3或x ≤-1}． （Ⅱ）由f （x ）≤0得 |x -a |+3x ≤0此不等式化为不等式组{x ≥a x −a +3x ≤0或{x ≤a a −x +3x ≤0 即{x ≥a x ≤a 4或{x ≤ax ≤−a 2因为a ＞0，所以不等式组的解集为{x |x ≤−a2} 由题设可得-a2=-1，故a =2【解析】（Ⅰ）当a =1时，f （x ）≥3x +2可化为|x -1|≥2．直接求出不等式f （x ）≥3x +2的解集即可．（Ⅱ）由f （x ）≤0得|x -a |+3x ≤0分x ≥a 和x ≤a 推出等价不等式组，分别求解，然后求出a 的值．本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型．22.【答案】解：（1）当n =1时，a 1=S 1=1．当n ≥2时，a n =S n -S n -1=n 2-4n +4-[（n -1）2-4（n -1）+4]=2n -5. ∵a 1=1不适合上式， ∴a n ={1,n =12n −5,n ≥2. （2）证明：∵b n =a n2n ={12,n =12n−52n,n ≥2．当n =1时，T 1=12， 当n ≥2时，T n =12+−122+123+⋯+2n−52n，①12T n=122+−123+124+⋯+2n−72n +2n−52n+1．②①-②得：12T n =12−222+2(123+⋯+12n )−2n−52n+1=12(1−12n−2)−2n−52n+1,得T n =1−2n−12n(n ≥2)，此式当n =1时也适合． ∴T n =1−2n−12n(n ∈N *）．∵2n−12n＞0(n ∈N ∗)，∴T n ＜1．当n ≥2时，T n+1−T n =(1−2n+12n+1)−(1−2n−12n)=2n−32n+1＞0，∴T n ＜T n +1（n ≥2）． ∵T 1=12，T 2=1−34=14， ∴T 2＜T 1．故T n ≥T 2，即T n ≥14(n ∈N ∗)． 综上，14≤T n ＜1(n ∈N ∗)．【解析】本题主要考查了数列通项公式以及数列的前n 项和的求法，对于等差数列与等比数列乘积形式的数列，一般采取错位相减的方法求数列的前n 项和，这种方法要熟练掌握．体现了分类讨论的数学思想方法，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，属中档题．（1）根据a n =S n -S n -1求通项公式，然后验证a 1=S 1=1，不符合上式，因此数列{a n }是分段数列；（2）先写出数列{b n }的通项公式，应用错位相减法，求出T n ．。
2019-2020学年辽宁省沈阳市高二上学期期中考试2数学试题
辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2019-2020学年高二上学期期中考试（2）数学试卷命题范围:人教B 版必修5，考试时间：120分钟 分数：150分第Ⅰ卷客观题一、选择题（每小题5分，共60分）1.设R a a a Q a a P ∈--=+-=，，)3)(1(3)2(2，则有( ) A ．Q P ≥B ．Q P >C ．Q P <D ．Q P ≤2．已知n m >，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．b n a m +>+B ．nc mc >C ．n a m a -<-D ．22na ma > 3. 在ABC ∆中，3033===B c b ，，，则a 等于（ ） A ．3 B ．323或 C .23或 D ． 24．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若126=S ，则=+43a a （ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 75．已知ABC ∆的周长为18，且2:3:4sin :sin :sin =C B A ，则 =A cos （ ） A ．32 B ．32- C ．41D ．41-6．设等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若5510=S S ，则=1015S S（ ） A ．37 B ．521C ．17D ．57. 设ABC ∆的三条边分别为c b a 、、，三角形面积为4222c b a S -+=，则C ∠为（ ）A.6π B.3π C.4π D.2π 8.已知{n a }为等比数列，285=+a a ，876-=a a ，则=+112a a （ ）A ． 7B ． 2C ．-2D ． -79.已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若016<S ，017>S ，则n S 的最小值为（ ）A ．16SB ． 17SC ．8SD ． 9S10.设变量y x 、满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤≤-30402y y x y x ，则y x 32+的最大值为（ ）A.11B.10C.9D.8 11.在ABC ∆中，若2cos sin sin 2BC A =，则ABC ∆是（ ） A. 直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 12.已知0,0>>y x 且1=+y x ，则yx 32+的最小值是（ ） A.23+ B.10 C.625+ D.62第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应位置.）13.设{n a }是正项等比数列，且2765=a a ，那么 log log log 1032313=+⋅⋅⋅++a a a 14.对于R x ∈，式子112+-mx mx 恒有意义，则常数m 的取值范围是15.若数列{n a }的前n 项和42-=nn S ，则{n a }的通项公式是16.已知锐角三角形的边长分别为a ,3,2，则a 的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、推证过程或演算步骤.）17.（10分）求函数)0(32)(2>-+-=x xx x x f 的最大值，以及此时x 的值。
辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2019-2020学年高二数学上学期第二次月考试题(文科、理科)试题及答案
辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2019-2020学年高二数学上学期第二次月考试题 文参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：1221ˆˆˆ()niii nii x ynx ybay bx xn x ==-==--∑∑， 一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1．推理:“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边形;③所以三角形不是矩形”中的小前提是( ) A.① B.② C.③ D.①和③ 2．命题“存在实数x ，使012<+x ”的否定可以写成 （ ） A ．若01,2<+∈x R x 则 B ．01,2≥+∈∃x R xC ．01,2<+∈∀x R xD ．01,2≥+∈∀x R x3．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）Ａ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则180A B ∠+∠=° Ｂ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 Ｃ．三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(2)180n -· Ｄ．在数列{}n a 中，11a =，)2(,12111≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=--n a a a n n n ，由此归纳出{}n a 的通项公式 4．若sin 21(21)i θ-++是纯虚数，则θ的值为（ ）Ａ．π2π()4k k -∈Z Ｂ．ππ()4k k +∈Z Ｃ．π2π()4k k ±∈Z Ｄ．ππ()24k k -∈Z5.下面框图属于（ ）A ．程序框图B ．结构图C ．流程图D ．工序流程图6．已知a b ，是不相等的正数，2a b x +=，y a b =+，则x y ，的关系是（ ）Ａ．x y >Ｂ．y x >Ｃ．2x y >Ｄ．2y x >7．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是 （ ） A.假设三内角都不大于60度； B. 假设三内角至多有两个大于60度。
辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2019-2020学年高二数学上学期期中试题[附答案]
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辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2019-2020学年高二数学上学期期中试题（2）命题范围:人教B 版必修5，考试时间：120分钟 分数：150分第Ⅰ卷客观题一、选择题（每小题5分，共60分）1.设R a a a Q a a P ∈--=+-=，，)3)(1(3)2(2，则有( ) A ．Q P ≥B ．Q P >C ．Q P <D ．Q P ≤2．已知n m >，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．b n a m +>+B ．nc mc >C ．n a m a -<-D ．22na ma > 3. 在ABC ∆中，ο3033===B c b ，，，则a 等于（ ） A ．3 B ．323或 C .23或 D ． 24．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若126=S ，则=+43a a （ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 75．已知ABC ∆的周长为18，且2:3:4sin :sin :sin =C B A ，则 =A cos （ ） A ．32 B ．32- C ．41D ．41-6．设等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若5510=S S ，则=1015S S（ ） A ．37 B ．521C ．17D ．57. 设ABC ∆的三条边分别为c b a 、、，三角形面积为4222c b a S -+=，则C ∠为（ ）A.6π B.3π C.4π D.2π 8.已知{n a }为等比数列，285=+a a ，876-=a a ，则=+112a a （ ）A ． 7B ． 2C ．-2D ． -79.已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若016<S ，017>S ，则n S 的最小值为（ ）A ．16SB ． 17SC ．8SD ． 9S10.设变量y x 、满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤≤-30402y y x y x ，则y x 32+的最大值为（ ）A.11B.10C.9D.8 11.在ABC ∆中，若2cos sin sin 2BC A =，则ABC ∆是（ ） A. 直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 12.已知0,0>>y x 且1=+y x ，则yx 32+的最小值是（ ） A.23+ B.10 C.625+ D.62第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应位置.） 13.设{n a }是正项等比数列，且2765=a a ，那么 log log log 1032313=+⋅⋅⋅++a a a 14.对于R x ∈，式子112+-mx mx 恒有意义，则常数m 的取值范围是15.若数列{n a }的前n 项和42-=nn S ，则{n a }的通项公式是16.已知锐角三角形的边长分别为a ,3,2，则a 的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、推证过程或演算步骤.）17.（10分）求函数)0(32)(2>-+-=x xx x x f 的最大值，以及此时x 的值。
2019-2020学年辽宁沈阳高二上数学月考试卷
2019-2020学年辽宁沈阳高二上数学月考试卷一、选择题1. 设z =3−5i ，则在复平面内z ¯对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2. 在等比数列中，a 1=12，q =12，a n =164，则项数n 为( ) A.3 B.4 C.5 D.63.2i 1−i=( )A.1+iB.−1+iC.−1−iD.1−i4. 在12和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积( ) A.8 B.±8 C.16 D.±165. 在等差数列{a n }中，若S n 为前n 项和，2a 7=a 8+5，则S 11的值是( ) A.55 B.11 C.50 D.606. 已知等比数列{a n }中，a 1+a 3=10，a 4+a 6=54，则该数列的公比q 为( ) A.2 B.1 C.14D.127. 一个等比数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为( ) A.83 B.108 C.75 D.638. 数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于( ) A.−4 B.−6 C.−8 D.−109. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第2天走了( )A.24里B.48里C.96里D.192里10. 已知数列{a n}满足a1=1，a n=a n−1+3n−2(n≥2)，则{a n}的通项公式为( )A.a n=3n2B.a n=3n2+nC.a n=3n2−n2D. a n=3n2+n211. 数列{a n}满足a1=12,1a n+1−1=1a n−1−1(n∈N∗)，则a10=( )A.9 10B.109C.1011D.111012. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1=2a n，则使不等式a12+a22+...+a n2<86成立的n的最大值为( )A.3B.4C.5D.6二、填空题13. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9等于 ________.14. 若等差数列{a n}满足a7+a8+a9>0，a7+a10<0，则当n=________时，{a n}的前n项和最大．15. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=3S2+2,a2n=2a n，则数列{a n}的通项公式a n=________.16. 若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则ln a1+ln a2+...ln a20=________．三、解答题17. 在等比数列{a n}中，a1⋅a2⋅a3=27，a2+a4=30.试求：(1)a1和公比q；(2)前6项的和S6．18. 已知复数z=(2m2−3m−2)+(m2−3m+2)i．(1)当实数m取什么值时，复数z是：①实数；②虚数；③纯虚数；(2)在复平面内，若复数z所对应的点在第二象限，求m的取值范围．19. 在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1= 1，公比为q(q≠1)，且b2+S2=12，q=S2b2．(1)求a n与b n；(2)求数列{1S n}的前n项和T n.20. 已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n−a n}为等比数列．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和．21. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S n=12na n+a n−c(c是常数，n∈N∗)，a2=6．(1)求c的值及数列{a n}的通项公式；(2)设b n=1a n a n+1，数列{b n}的前n项和为T n，证明：124≤T n<18.22. 在数列{a n}中，a n>0，其前n项和为S n，满足S n=2a n−2n+1，其中n∈N+.(1)设b n=a n2n，证明：数列{b n}是等差数列；(2)设c n=b n⋅2n,T n为数列{c n}的前n项和，求T n；(3)设数列{d n}的通项公式为d n=4n+(−1)n−1λ⋅2b n(λ为非零整数n∈N+)，试确定λ的值，使得对任意n∈N+，都有数列{d n}为递增数列.参考答案与试题解析2019-2020学年辽宁沈阳高二上数学月考试卷一、选择题1.【答案】A2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】A5.【答案】A6.【答案】D7.【答案】D8.【答案】B9.【答案】C10.【答案】C11.【答案】C12.【答案】B二、填空题13.【答案】 45 14. 【答案】 8 15. 【答案】 2n 16. 【答案】 50三、解答题 17. 【答案】解：(1)在等比数列{a n }中，由已知可得：{(a 1q)3=27，a 1q +a 1q 3=30，解得：{a 1=1，q =3，或{a 1=−1，q =−3；(2)∵ S n =a 1(1−q n )1−q，∴ 当{a 1=1，q =3时，S 6=1×(1−36)1−3=1−36−2=364； 当{a 1=−1，q =−3时，S 6=(−1)×[1−(−3)6]1+3=36−14=182.18.【答案】解：(1)复数z =(2m 2−3m −2)+(m 2−3m +2)i ，①当m 2−3m +2=0，解得m =1或2时，复数是实数； ②由①可知当m ≠1或m ≠2时，复数是虚数； ③当{2m 2−3m −2=0，m 2−3m +2≠0，解得m =−12时，复数是纯虚数；(2)在复平面内，若复数z 所对应的点在第二象限， m 满足{2m 2−3m −2<0，m 2−3m +2>0，解得{−12<m <2，m >2或m <1，即−12<m <1，在复平面内，若复数z所对应的点在第二象限，m的取值范围是：−12<m<1．19.【答案】解：(1)设数列{a n}的公差为d，∵b2+S2=12，a1=3，b1=1，q=S2b2，∴{q+6+d=12，q2=6+d，解得q=3或q=−4（舍），d=3．故a n=3n，b n=3n−1；(2)S n=n(a1+a n)2=n(3+3n)2，1 S n =2n(3+3n)=23[1n(n+1)]T n=1S1+1S2+⋯+1S n=23[11×2+12×3+⋯+1n(n+1)]=23[1−12+12−13+⋯+1n−1n+1]=23(1−1n+1)=2n3n+3.20.【答案】解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，由题意得d=a4−a13=12−33=3．∴a n=a1+(n−1)d=3n(n=1, 2,…)．∴数列{a n}的通项公式为：a n=3n；设等比数列{b n−a n}的公比为q，由题意得：q3=b4−a4b1−a1=20−124−3=8，解得q=2．∴b n−a n=(b1−a1)q n−1=2n−1．从而b n=3n+2n−1(n=1, 2,…)．∴数列{b n}的通项公式为：b n=3n+2n−1；(2)由(1)知b n=3n+2n−1(n=1, 2,…)．∵数列{3n}的前n项和为32n(n+1)，数列{2n−1}的前n项和为1−2n1−2=2n−1．∴数列{b n}的前n项和为32n(n+1)+2n−1．21.【答案】(1)解：因为S n=12na n+a n−c，所以当n=1时，S1=12a1+a1−c，解得a1=2c，当n=2时，S2=a2+a2−c，即a1+a2=2a2−c，解得a2=3c，所以3c=6，解得c=2，则a1=4，数列{a n}的公差d=a2−a1=2，所以a n=a1+(n−1)d=2n+2；(2)证明：由已知得：b n=1a n a n+1=12(12n+2−12n+4)T n=12[(14−16)+(16−18)+⋯…+(12n+2−12n+4)]=12(14−12n+4)<18，因为n∈N∗，所以T n+1−T n=1(2n+4)(2n+6)>0，因此数列{T n}在n∈N∗上是增数列，所以T n≥T1=124，综上所述，原不等式成立.22.【答案】解：(1)当n=1时，S1=2a1−4，所以a1=4，当n≥2时，a n=S n−S n−1=2a n−2n+1−2a n−1+2n，所以a n−2a n−1=2n，即a n2n −a n−12n−1=1，所以b n−b n−1=1(常数)，又b1=a12=2，所以数列{b n}是首项为2，公差为1的等差数列，所以b n=n+1；(2)c n=b n⋅2n=(n+1)⋅12n，所以T n=22+322+423+⋯+n+12n，①1 2T n=222+323+424+⋯+n+12n+1，②①−②得12T n=1+12+12+12+⋯+12n−n+12n+1=1+122(1−12n−1)1−12−n+12n+1=32−12n−n+12n+1，所以T n=3−22n −n+12n=3−n+32n.(3)若数列{d n}为递增数列，可得d n+1>d n，得4n+1+(−1)nλ⋅2n+2>4n+(−1)n−1λ⋅2n+1.化简得3⋅4n+(−1)n⋅λ⋅2n+2−(−1)n−1⋅λ⋅2n+1>0，即3⋅4n+(−1)n⋅λ⋅2n+1×3>0，不等式两边同时除以3×2n+1，得2n−1+(−1)nλ>0对任意n∈N+恒成立，当n为奇数时，λ<2n−1，所以λ<1；当n为偶数时，λ>−2n−1，所以λ>−2，所以−2<λ<1，又λ为非零整数，所以λ=−1.。
2019-2020学年辽宁省沈阳市城郊市重点联合体高二(上)期中数学试卷(B卷)(PDF版 含答案)
2
2
则 2sin Asin C 1 cos B 1 cos( A C) 1 cos Acos C sin Asin C ，
cos A cos C sin Asin C 1 ，即 cos( A C) 1 ．
A C ， A C 0 ，得 A C ．
(
)
A． 7 3
B． 21 5
C．17
D．5
7．设 ABC 的三条边分别为 a 、 b 、 c ，三角形面积为 S a2 b2 c2 ，则 C 为 (
)
4
A． 6
B． 3
C． 4
D． 2
8．已知{an} 为等比数列， a5 a8 2 ， a6 a7 8 ，则 a2 a11 (
-2-
20 ． 在 ABC 中 ， 已 知 a ， b ， c 分 别 为 内 角 A ， B ， C 的 对 边 ， 且 2a sin A (2b c)sin B (2c b)sin C ．
（1）求 A 的大小； （2）求 sin B sin C 的取值范围．
21．设函数 f (x) | x a | 3x ，其中 a 0 ． （Ⅰ）当 a 1 时，求不等式 f (x) 3x 2 的解集 （Ⅱ）若不等式 f (x)0 的解集为 {x | x 1} ，求 a 的值．
0y3
令 z 2x 3y 可得 y 2 x z ，则 z 为直线 2x 3y z 0 在 y 轴上的截距，截距越大，z 越 33 3
大，
-6-
作直线 l : 2x 3y 0 ， 把直线向上平移可得过点 A 时 2x 3y 最大，
由
2019-2020学年辽宁省沈阳市城郊市重点联合体高二(上)文【含解析】
2019-2020学年辽宁省沈阳市城郊市重点联合体高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题中，只有一项是符合题目要求的.）1.若复数，则在复平面内对应的点位于( )3z i =-z A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【详解】复数在复平面内对应的点是，在第四象限，故选D.()3,1-2.计算的结果是 （ ）1i1i -+A. B. C. D. i i-22-【答案】B 【解析】,故选B.()()()21121112i i i i i i i ---===-++-3.已知点，则它的极坐标是（）(1,P A. B.2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭42,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C.D.2,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭42,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】由计算即可．tan yx ρθ==【详解】在相应的极坐标系下，由于点位于第四象限，且极角满足2ρ==P ，所以.tan y x θ==3πθ=-故选C.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题．4.极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是（ ）1ρ=123x ty t =--⎧⎨=+⎩t A. 圆、直线 B. 直线、圆 C. 圆、圆 D. 直线、直线【答案】A 【解析】【分析】直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．【详解】解：极坐标方程，转换为直角坐标方程为.1ρ=221x y +=参数方程（为参数）转换为直角坐标方程为.123x ty t =--⎧⎨=+⎩t 31y x =--所以表示的为圆和直线.故选：A.【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5.下列直线中，平行于极轴且与圆相切的是（ ）2cos ρθ=A. B. C. D.cos 1ρθ=sin 1ρθ=cos 2ρθ=sin 2ρθ=【答案】B 【解析】【分析】先利用，进行代换即得圆的直角坐标方程，然后根222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+据直线与圆相切求出所求．【详解】解：，圆的普通方程为：，22cos ρρθ=2cos ρθ=222x y x +=即，()2211x y -+=又直线平行于极轴且与圆相切，所以，2cos ρθ=1y =±即或.sin 1ρθ=sin 1ρθ=-故选：B.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，同时考查了直线与圆的位置，属于基础题．6.设有一个回归方程为，变量增加一个单位时（ ）ˆ32y x =-x A. 平均增加2个单位y B. 平均减少3个单位yC. 平均减少2个单位yD. 平均增加3个单位y 【答案】C 【解析】试题分析：在线性回归方程中，斜率是y 随x 变化的变化率．由回归方程为，得ˆ32y x =-增加一个单位时平均减少2个单位．x y 考点：对回归方程的理解．点评：学生应正确理解回归方程中各量的实际含义并能加以应用．7.否定“自然数中恰有一个偶数”的正确的反设为（ ）,,a b c A. 都是奇数 B. 都是偶数,,a b c ,,a b c C. 至少有两个偶数 D. 中或都是奇数或至少有两个,,a b c ,,a b c 偶数【答案】D 【解析】【详解】因为反证法中的反设就是原命题的否定，而“自然数中恰有一个偶数”的否定是“中或都是奇数或至少有两个偶数”，,,a b c ,,a b c 所以否定“自然数中恰有一个偶数”的正确的反设为“中或都是奇数或至少有,,a b c ,,a b c 两个偶数”，故选D.8. 下面几种推理过程是演绎推理的是( )A. 某校高三有8个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班人数都超过50人B. 由三角形的性质,推测空间四面体的性质C. 平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分D. 在数列{a n }中,a 1=1,a n =,由此归纳出{a n }的通项公式12111n n a a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】推理分为合情推理（特殊→特殊或特殊→一般）与演绎推理（一般→特殊），合情推理包括类比推理与归纳推理．根据合情推理与演绎推理的概念即可作出判断．【详解】解：∵A 中是从特殊→一般的推理，均属于归纳推理，是合情推理；B 中，由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质，是由特殊→特殊的推理，为类比推理，属于合情推理；C 为三段论，是从一般→特殊的推理，是演绎推理；D 为不完全归纳推理，属于合情推理．故选C ．【点睛】本题考查演绎推理，掌握几种推理的定义和特点是解决问题的关键，属基础题．9.对相关系数，下列说法正确的是（ ）r A. 越大，线性相关程度越大r B. 越小，线性相关程度越大r C.越大，线性相关程度越小，越接近0，线性相关程度越大rrD.且越接近1，线性相关程度越大，越接近0，线性相关程度越小1r ≤rr【答案】D 【解析】【分析】两个变量之间的相关性和相关系数的大小有关，的绝对值越接近于1，表明两个变量的线r 性相关性越强，的绝对值越接近于0，两个变量之间几乎不存在线性相关．r 【详解】解：两个变量之间的相关系数，的绝对值越接近于1，r 表面两个变量的线性相关性越强，的绝对值越接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关，r 故选：D.【点睛】本题考查相关系数，要想知道两个变量之间的有关或无关的精确的可信程度，只有利用独立性检验的有关计算，才能做出判断．相关系数大于0.75时，表示两个变量有很强的线性相关关系．10.按流程图的程序计算，若开始输入的值为，则输出的的值是（ ）3x =xA. 231B.C.D. 621156【答案】A 【解析】【分析】根据程序框图，依次执行即可得出结果.【详解】输入3x =第一步：，进入循环；()161002x x x +==<第二步：，进入循环；()1211002x x x +==<第三步：，结束循环，输出.()12311002x x x +==>231x =故选A【点睛】本题主要考查程序框图，分析框图的作用即可求解，属于基础题型.11.在极坐标系中，直线与曲线相交于两点，为极点，则1cos 2=ρθ2cos ρθ=,A B O 的大小为 ( )AOB ∠A. B. C. D. 3π2π23π56π【答案】C 【解析】化极坐标方程为直角坐标方程:直线与圆相交于12x =()22222,11x y x x y +=-+=两点，所以 即，选C.,AB 11,,22A B ⎛⎛ ⎝⎝o o 260120AOB∠=⨯=12.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ）n A. B. 82n -62n -C. D. 82n +62n +【答案】D 【解析】【分析】由图形间的关系可以看出，每多出一个小金鱼，则要多出6根火柴棒，则火柴棒的个数组成了一个首项是8，公差是6的等差数列，写出通项，求出第n 项的火柴根数即可．【详解】由图形间的关系可以看出，每多出一个小金鱼，则要多出6根火柴棒，第一个图中有8根火柴棒组成，第二个图中有8+6个火柴棒组成，第三个图中有8+2×6个火柴组成，以此类推：组成n 个系列正方形形的火柴棒的根数是8+6（n﹣1）∴第n 个图中的火柴棒有6n+2．故选D ．【点睛】本题考查归纳推理，考查等差数列的通项，解题的关键是看清随着小金鱼的增加，火柴的根数的变化趋势，属于基础题．二、填空题（共4道题，每题5分共20分，把正确答案填在答题纸的横线上）13.若是纯虚数，则实数的值是_____．22(1)(32)x x x -+++x 【答案】1【解析】【分析】复数为纯虚数时，实部为0，虚部不为0，求解相应的方程与不等式，即可确定x 的值．【详解】因为i 是纯虚数，，所以，解得：22(1)(32)x x x -+++x ∈R 2210320x x x ⎧-=⎨++≠⎩.1x =故答案为1【点睛】本题主要考查了复数的基本概念及其应用，其中解答中熟记复数概念与分类，准确列出方程组是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．14.复数的模为______.512z i =+【答案】13【解析】【分析】直接根据复数模的计算公式求解.【详解】解：∵，∴.512zi =+13z ==故答案为:13.【点睛】本题考查复数模的求法，是基础题.15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线ρ=与的交点的极坐标为______．2sin θcos1p θ=-【答案】34π【解析】试题分析：=与联立方程得2sin θ32sin cos 1sin 214θθθθπ=-∴=-∴=，极坐标为32sin 4ρπ∴==3)4π考点：极坐标方程点评：有关于极坐标的问题常考极坐标与直角坐标的互化：极坐标与直角坐标(),ρθ的互化(),xy cos ,sin x y ρρθρθ===16.经过圆上一点的切线方程为，则由此类比可知：经过221x y +=()00,x y 001x x y y +=椭圆上一点的切线方程为______.22221x y a b +=()00,x y 【答案】00221x x y yab +=【解析】【分析】根据圆的切线方程形式，类比推理出椭圆的切线方程．【详解】解：圆的性质中，经过圆上一点的切线方程就是将圆的方程中的一个()00,M x y 和分别用的横坐标与纵坐标替换，x y ()00,M x y 故可得椭圆类似的性质为：过椭圆上一点的切线方程为22221x y a b +=22221x y a b +=()00,x y .00221x x y ya b +=故答案为:.00221x x y ya b +=【点睛】考查了类比推理的数学思想，是基础题．三、解答题（共6道题，第17题10分，其余每题12分，共70分，解答题须写出演算步骤.）17.已知复数满足（为虚数单位），求的共轭复数和的值.z ()()222z i --=i z z z z ⋅【答案】，14255z i =-8z z ⋅=【解析】【分析】由求出的值，再计算它的共轭复数和的值．()()222z i --=z z z z ⋅【详解】解：由，()()222z i --=得，()()()2221422222255i z i i i i +=+=+=+--+所以的共轭复数为；z 14255z i =-.222142855z z z ⎛⎫⎛⎫⋅==+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查了复数的代数形式运算问题，也运算求解能力，是基础题．18.对某校高二年级800名学生上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有60人，语文成绩优秀但外语不优秀的有140人，外语成绩优秀但语文不优秀的有100人.问：（1）由题意列出学生语文成绩与外语成绩关系的列联表：22⨯语文优秀语文不优秀总计外语优秀外语不优秀总计（2）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系？（保留三位小数）（附：）()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥0.0100.0050.0010k 6.6357.87910.828【答案】（1）详见解析（2）能在犯错概率不超过0.001的前提下，认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系.【解析】【分析】（1）由题意填写列联表即可；（2）由表中数据计算，对照临界值得出结论．2K 【详解】解：（1）由题意填写列联表如下，语文优秀语文不优秀总计外语优秀60100160外语不优秀140500640总计200600800（2）由表中数据，计算，()228006050010014016.66710.828160640200600K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以能在犯错概率不超过0.001的前提下，认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系.【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．19.已知直线的参数方程是（为参数），在平面直角坐标系中，以坐标原点L 2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩t 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.X C 2cos ρθ=-（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程化为直角坐标方程；C L （2）求直线被曲线截得的弦长.L C【答案】（1）曲线的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程是C ()2211x y ++=L ；（220x y -+=【解析】【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用（1）的结论，进一步利用点到直线的距离公式和垂径定理求出结果．【详解】解：（1）直线的参数方程是（为参数），转换为直角坐标方程为L 2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩t .20x y -+=曲线的极坐标方程是，转换为直角坐标方程为，C 2cos ρθ=-()2211x y ++=（2）圆心到直线的距离()1,0-Ld所以圆被直线所截的弦长.l ==【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，垂径定理的应用，主要考查学生的运算能力，是基础题．20.设直线过点，倾斜角为.1L ()2,4A -23π（1）求的参数方程；并指出参数的几何意义；1L （2）设直线：，与的交点为，求点与点的距离.2L 10x y -+=2L1L B B A 【答案】（1）（为参数），表示直线上任意点到定点的距离；1224x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩t t ()2,4A -（2）7【解析】【分析】（1）首先求出直线的方程，进一步直接利用转换关系式求出结果．（2）利用参数方程的几何意义的应用求出结果．【详解】解：（1）直线过点，倾斜角为；1L ()2,4A -23π转换为参数方程为（为参数），22cos 324sin 3x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩t整理得（为参数）.1224x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩t 表示直线上任意点到定点的距离；t A （2）将的参数方程代入的方程中，1L2L 得，124102t ⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得.7AB t ==【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，参数的几何意义的应用，主要考查学生的运算能力，是基础题．21.某种产品的广告费用支出(百万)与销售额(百万)之间有如下的对应数据:x y x 24568y 3040605070(1)画出散点图;(2)求回归直线方程;y(3)据此估计广告费用为10(百万)时,销售收入的值.【答案】（1）散点图如图所示：ˆy（2）＝6.5x＋17.5（3）广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元【解析】【分析】试题分析：(1)散点图如图所示：（2）计算得＝＝5，＝＝50，ˆx255ˆy 2505＝145，＝1 380. 6分521i i x=∑51ii i x y =∑于是可得＝＝＝6.5，b 51522155i i i i i x y xy x x ==--∑∑21380555014555-⨯⨯-⨯＝－＝50－6.5×5＝17.5.a ˆy ˆbx 所以所求的线性回归方程为＝6.5x ＋17.5.y (3)根据上面求得的线性回归方程，当广告费用支出为10百万元时，＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，y 即广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元．考点：本小题主要考查散点图的画法和回归直线的求解及应用.点评：求回归直线时要先根据散点图判断是否线性相关，如果不线性相关，求出的回归方程没有意义.【详解】请在此输入详解！22.已知曲线：（为参数），：（为参数）.1C 4cos 3sin x t y t =-+⎧⎨=+⎩t 2C 8cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩θ（1）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？1C 2C （2）若上的点对应的参数为，为上的动点，求的中点到直线1C P 2t π=Q 2C PQ M的距离的最小值.270x y --=【答案】（1）：，曲线是圆；：，曲线是椭1C ()()22431x y ++-=1C 2C 221649x y +=2C圆；（2【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式消去参数，得到曲线的普通方程；（2）根据椭圆的参数方程设出椭圆上一点，求出点到直线距离后，研究其最小值，得到本题结论．【详解】解：（1）∵曲线：（为参数），1C 4cos 3sin x t y t =-+⎧⎨=+⎩t ∴：.1C ()()22431x y ++-=∴曲线是圆.1C ∵曲线：（为参数），2C 8cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩θ∴：.2C 221649x y +=∴曲线是椭圆.2C （2）∵上的点对应的参数为，1C P 2t π=∴.()4,4P -∵为上的动点，Q 2C ∴设，()8cos ,3sin Q θθ则的中点，PQ 8cos 43sin 4,22M θθ-+⎛⎫ ⎪⎝⎭点到直线的距离M 270x y --=d当时，.()cos 1θφ-=mind ==∴的中点到直线.PQ M 270x y --=【点睛】本题考查的是曲线的参数方程和普通方程的互化，以及曲线参数方程的应用．本题难度不大，属于中档题．。
辽宁省沈阳市城郊市重点联合体19年-20年学年高二上学期期中数学试题
沈阳市城郊市重点联合体高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题6分，共60分.）1.i 是虚数单位，复数73ii-=+（ ） A. 2i + B. 2i -C. 2i -+D. 2i --【答案】B 【解析】试题分析：()()()()7372010233310i i i ii i i i ----===-++-. 考点：复数的四则运算.2.()f x 在R 上可导，则0'()0f x =是函数()f x 在点0x 处有极值的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】 分析】结合极值的定义可知必要性成立，而充分性中除了要求f′（x 0）＝0外，还要求在两侧有单调性的改变（或导函数有正负变化），通过反例可知充分性不成立． 【详解】若函数在x 0取得极值，由定义可知f′（x 0）＝0反之 如y ＝x 3，y′＝3x 2，y′|x ＝0＝0，但x ＝0不是函数的极值点． 所以f′（x 0）＝0是x 0为函数y ＝f （x ）的极值点的必要不充分条件 故选B ．【点睛】本题主要考查充分必要条件，极值的定义，注意函数取得极值的条件：函数在x 0处取得极值⇔f′（x 0）＝0，且f′（x ＜x 0）•f′（x ＞x 0）＜0，是基础题3. 有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（ ）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 非以上错误【答案】C 【解析】∵大前提“有些有理数是真分数”与小前提“整数是有理数”都正确，∴该推理形式错误，故选C 4.已知曲线cos y x =，其中30,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该曲线与坐标轴围成的面积等于（ ）A. 1B. 2C.52D. 3【答案】D 【解析】 【分析】根据图形的对称性,只需求出[0,]2x π∈上的定积分,再乘以3即可得到答案.【详解】解：根据图形的对称性，可得曲线cos y x =，30,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，与坐标轴围成的面积22003cos 3sin 3S xdx x ππ===⎰.故选:D .【点睛】本题考查了定积分的计算,属于基础题.5.如果z 是34i +的共轭复数，则z 对应的向量OA 的模是（ ）A. 1B.C. D. 5【答案】D 【解析】 【分析】求出复数z 对应的向量的坐标后,利用模长公式计算可得答案. 【详解】解：由题意，34z i =-，∴z 对应的向量OA 的坐标为()3,4-5=.故选:D .【点睛】本题考查了求复数的共轭复数以及其对应的向量的模长的计算,属于基础题.6.若函数y ＝a(x 3－x)在区间33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上递减，则a 的取值范围是( ) A. a ＞0 B. －1＜a ＜0 C. a ＞1 D. 0＜a ＜1【答案】A 【解析】 【分析】先对函数求导，由函数在区间33,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上递减，可得y′＜0的范围为33,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，即可得a 的范围．【详解】函数y=a （x 3﹣x ），求导可得，y′=a （3x 2﹣1）=3a （x ﹣3）（x+3）， 由函数在区间33,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上递减，可得y′=a （3x 2﹣1）=3a （x ﹣33）（x+33）＜0的范围为33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以a ＞0， 故选A ．【点睛】本题主要考查了有函数的单调性求参数的范围问题，利用了函数的单调性与函数的导数关系，属于基础题．7.定义*A B ，*B C ，*C D ，*D A 的运算分别对应右图中的（1），（2），（3），（4），则图中，a ，b 对应的运算是（ ）A. *B D ，*A CB. *B D ，*A DC. *B C ，*A DD. *C D ，*A D【答案】A 【解析】分析：不同的运算形式与其对应的图形之间都有共同之处，比如,A B B C **都有B 运算，而图形都有正方形，故B 运算对应作正方形，A 对应作横线，C 对应作竖线，其余类似处理.详解：,A B B C **都有B 运算，而图形都有正方形，故B 运算对应作正方形，A 对应作横线，C 对应作竖线；,C D D A **都有D 运算，而图形都有圆，故D 运算对应作圆.所以a 对应的运算是B D *，b 对应的运算是A C *，故选A.点睛：本题考察类比推理，此类问题往往是两类对象在某些方面有相似的特点，所以它们也应该有相似的性质，注意类比推理得到的结果不一定正确.8.函数f （x ）的定义域为开区间（a ，b ），导函数f ′（x ）在（a ，b ）内的图象如图所示，则函数f （x ）在开区间（a ，b ）内有极小值（ ）A. 2 个B. 1 个C. 3 个D. 4 个【答案】B 【解析】 【分析】根据函数与导函数的关系以及极小值的定义，若0()f x 为函数f （x ）的极小值，则0'()0f x =，且'()y f x =在0x x =左负右正，结合图像可得解.【详解】根据函数与导函数的关系以及极小值的定义，若0()f x 为函数f （x ）的极小值，则0'()0f x =，且'()y f x =在0x x =左负右正. 结合图像可知满足条件的有1个. 故选：B【点睛】本题考查了利用导函数图像判断函数极小值的个数，考查了学生概念理解，数形结合的能力，属于中档题.9.给出下列四个命题：（1）任意两个复数都不能比较大小；（2）z z ⋅为实数z ⇔为实数；（3）虚轴上的点对应的复数都是纯虚数；（4）复数集与复平面内的所有点所成的集合是一一对应的. 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】根据虚数不能比较大小可知(1)不正确;根据两个共轭虚数的积为实数可知(2)不正确;根据原点在虚轴上可知(3)不正确;(4)正确.【详解】解：（1）因为两个复数都是实数时，可以比较大小.所以（1）不正确； （2）举反例,当zi ，z i =-，1z z ⋅=，所以（2）不正确；（3）坐标原点在虚轴上,但原点对应的复数是实数，所以（3）不正确； （4）复数集与复平面内的所有点所成的集合是一一对应的.正确. 所以正确命题的个数是：1个. 故选:A【点睛】本题考查了复数的有关概念,属于基础题. 10.已知函数431()232f x x x m =-+，x R ∈，若()90f x +≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A. 32m ≥B. 32m >C. 32m ≤D. 32m <【答案】A 【解析】【详解】试题分析：因为函数431()232f x x x m =-+，所以()3226f x x x '=-． 令f′（x ）=0得x=0或x=3，当()()''3,0;03,0;x f x x f x >><<< 经检验知x=3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f （3）=3m-272． 不等式f （x ）+9≥0恒成立，即f （x ）≥-9恒成立，所以3m-272≥-9，解得m≥32考点：函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值二、填空题（共4道题，每题5分共20分，把正确答案填在答题纸的横线上）11.设复数z 满足()132i z i +=-+(i 为虚数单位)，则z 等于___ _____． 【答案】13i +【解析】试题分析：由复数z 满足()3213213213ii z i z i z i i-++=-+∴+==+∴=+，故可知答案为1+3i 考点：复数的代数乘除法运算点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题． 12.已知函数3f x x ax 在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是____________.【答案】(,0)-∞ 【解析】 【分析】本题首先可通过函数()f x 的解析式得出函数()f x 的导函数，然后对0a =、0a >以及0a <三种情况进行分类讨论，通过函数的单调性即可判断出函数的极值，最后得出结果． 【详解】因为3f x x ax ，所以23f xx a ，①当0a =时，0f x ，函数()f x 恒为增函数，无极值点； ②当0a >时，0f x ，函数()f x 恒为增函数，无极值点； ③当0a <时，0fx，解得3a x或3ax ，()f x 为增函数； 0f x ，解得33a ax，()f x 为减函数，此时函数()f x 有两个极值点， 综上所述，实数a 的取值范围是,0．【点睛】本题考查了导数的相关性质，通过函数的单调性确定函数的极值是解决本题的关键，考查通过导数确定函数单调性，考查推理能力，是简单题． 13.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()10f =，()()()200xf x f x x x ->>'，则不等式()2x f x >的解集是 . 【答案】【解析】试题分析：，因为()()()200xf x f x x x ->>'，所以，所以h （x ）在区间，因为()10f =，所以h （1）=0.令h （x ）>0，因为x>0,所以，得x>1．()20x f x >等价于，因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以-1<x<0或x>1.考点：奇函数、导函数与单调性、不等式与函数图像的关系 14.一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）○●○○●○○○●○○○○●……,若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006个圆中有实心圆的个数为______. 【答案】61 【解析】 【分析】将这些圆分段处理, 第一段2个圆，第二段3个圆，第三段4个圆,……,然后利用等差数列的前n 项和公式计算前62段和前63段的和,可知答案.【详解】解：将这些圆分段处理，第一段2个圆，第二段3个圆，第三段4个圆，……， 可以看出每一段的最后一个圆都是实心圆，由于本题要求前2006个圆中实心圆的个数， 因此找到第2006个圆所在的段数很重要， 因为()26261234562195220062+⨯++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+==<，而()26362234563201520062+⨯++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+==>，因此,前2006个圆中共有61个实心圆， 故答案为:61.【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和的公式,属于基础题.三、解答题（共6道题，第17题10分，其余每题12分，共70分，解答题须写出演算步骤.）15.已知复数()()2236z m m m m i =-+--，则当实数m 为何值时，复数z 是： （1）实数； （2）46z i =+； （3）对应的点在第三象限.【答案】（1）3m =或2m =-（2）4m =（3）03m <<【解析】 【分析】(1)令虚部为0,可解得答案;(2)令实部为4,虚部为6,解方程组可得答案;(3)令实部,虚部都小于0,解不等式组可得答案.【详解】解：因为复数()()2236z m m m m i =-+--, (1)令260m m --=,解得3m =或2m =-， 即3m =或2m =-时，z 为实数；(2)令223466m m m m ⎧-=⎨--=⎩,解得4m =； 所以4m =时,46z i =+.(3)若z 所对应点在第三象限,则223060m m m m ⎧-<⎨--<⎩, 解得03m <<,所以当03m <<时,复数z 对应的点在第三象限.【点睛】本题考查了复数的有关概念,一元二次不等式的解法,属于基础题.16.已知函数()()320ax bx c f x x a =++≠，当1x =-时,()f x 取得极值5，且()111f =-,求()f x 的单调区间和极小值.【答案】函数()f x 的单调增区间为(),1-∞-和()3,+∞；单调减区间为()1,3-，()27f x =-极小值 【解析】 【分析】求导后,根据(1)5,(1)0,(1)11f f f '-=-==-,三个方程解方程组可得1,3,9a b c ==-=-,可得()f x 和()f x '的解析式,根据导数的符号得单调区间,从而可得极小值.【详解】解：∵函数()()320ax bx c f x x a =++≠,所以()2'32f x ax bx c =++，因为当1x =-时,()f x 取得极值5，则有()15f -=且()'10f -=， 即有5a b c -+-=①且320a b c -+=②， 又因为()111f =-，所以可得：11a b c ++=-③ 由①②③解得1a =，3b =-，9c =-.即()3239x x f x x --=，()2'369f x x x =--，∴由()'0f x >,得3x >或1x <-；由()'0f x <,得13x.∴所以函数()f x 的单调增区间为(),1-∞-和()3,+∞；单调减区间为()1,3-. 故函数()f x 在3x =处取得极小值，且()()327f x f ==-极小值. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值,属于基础题. 17.已知曲线 y = x 3 + x －2 在点 P 0 处的切线1l 平行于直线 4x －y －1=0，且点 P 0 在第三象限, ⑴求P 0的坐标;⑵若直线1l l ⊥, 且 l 也过切点P 0 ,求直线l 的方程. 【答案】（1）（2）【解析】【详解】本试题主要是考查了导数的几何意义，两条直线的位置关系，平行和垂直的运用．以及直线方程的求解的综合运用．首先根据已知条件，利用导数定义，得到点P 0的坐标，然后利用1l l ⊥，设出方程为x+4y+c=0,根据直线过点P 0得到结论．解：（1）由y=x 3+x-2，得y′=3x 2+1， 由已知得3x 2+1=4，解之得x=±1． 当x=1时，y=0； 当x=-1时，y=-4． 又∵点P 0在第三象限， ∴切点P 0坐标为（-1，-4）； （2）∵直线 l ⊥l 1，l 1的斜率为4， ∴直线l 的斜率为-1/ 4 ，∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为（-1，-4） ∴直线l 的方程为y+4=14-（x+1）即x+4y+17=0．18.已知x ＝1是函数f （x ）＝mx 3﹣3（m +1）x 2+nx +1的一个极值点，其中m ，n ∈R ，m ＜0． （1）求m 与n 的关系表达式； （2）求f （x ）的单调区间；（3）当x ∈[﹣1，1]时，函数y ＝f （x ）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围． 【答案】（1）n ＝3m +6．（2）f （x ）在（﹣∞，12m +）单调递减，在（12m+，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．（3）43-＜m ＜0． 【解析】 【分析】（1）求出f ′（x ），因为x ＝1是函数的极值点，所以得到f '（1）＝0求出m 与n 的关系式； （2）令f ′（x ）＝0求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；（3）由题意知f ′（x ）＞3m ，分x ＝1和x ≠1，当x ≠1时g （t ）＝t 1t -，求出g （t ）的最小值．要使2m＜（x ﹣1）11x --恒成立即要g （t ）的最小值2m＞，解出不等式的解集求出m 的范围． 【详解】（1）f ′（x ）＝3mx 2﹣6（m +1）x +n ．因为x ＝1是f （x ）的一个极值点，所以f '（1）＝0，即3m ﹣6（m +1）+n ＝0． 所以n ＝3m +6．（2）由（1）知f ′（x ）＝3mx 2﹣6（m +1）x +3m +6＝3m （x ﹣1）[x ﹣（12m+）] 当m ＜0时，有1＞12+，当x 变化时f （x ）与f '（x ）的变化如下表：由上表知，当m ＜0时，f （x ）在（﹣∞，12m +）单调递减，在（12m+，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．（3）由已知，得f ′（x ）＞3m ，即3m （x ﹣1）[x ﹣（12m+）]＞3m ，∵m ＜0．∴（x ﹣1）[x ﹣1（12m +）]＜1．（*） ①x ＝1时．（*）式化为0＜1恒成立．∴m ＜0．②x ≠1时∵x ∈[﹣1，1]，∴﹣2≤x ﹣1＜0．（*）式化为2m ＜（x ﹣1）11x --． 令t ＝x ﹣1，则t ∈[﹣2，0），记g （t ）＝t 1t -，则g （t ）在区间[﹣2，0）是单调增函数．∴g （t ）min ＝g （﹣2）＝﹣21322-=--． 由（*）式恒成立，必有232m -＜⇒43-＜m ，又m ＜0．∴43-＜m ＜0． 综上①②知43-＜m ＜0．【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式的方法及导数的几何意义，利用导数研究函数极值和单调性的方法，考查了利用导数研究不等式恒成立的条件，属于中档题．19.求由抛物线243y x x =-+-与它在点A （0，－3）和点B(3，0)的切线所围成的区域的面积。