基于谱方法分析有阻尼负载圆柱壳频散特性
充水黏弹性管道的频散曲线计算分析
充水黏弹性管道的频散曲线计算分析刘泽;陶猛;陈文清【摘要】针对谱方法分析计算充水黏弹性管道的广义特征值问题,根据Chebyshev 多项式及微分矩阵、位移和应力连续条件,将波动方程离散为相应的线性方程.利用MATLAB数值编程计算充水弹性和黏弹性管道对应频率下的轴对称纵向导波频散曲线和衰减曲线.分析表明,波在黏弹性管道中传播不仅具有衰减特性,而且由于水和黏弹性壳体交叉耦合作用,在一定频率范围内产生两种截断模态.【期刊名称】《应用声学》【年(卷),期】2018(037)006【总页数】7页(P867-873)【关键词】谱方法;充水黏弹性管道;频散曲线;衰减曲线【作者】刘泽;陶猛;陈文清【作者单位】贵州大学机械工程学院贵阳 550025;贵州大学机械工程学院贵阳550025;贵州大学机械工程学院贵阳 550025【正文语种】中文【中图分类】TB5591 引言黏弹性材料由于自身特殊的性质，被广泛地应用在各种减振降噪结构中，其中黏弹性圆柱管道是最常用的形式。
例如用于工业生活中的聚氯乙烯材料的输水管道、气流或液流管隔振的橡胶接管等。
无论是减振还是吸声方面，其基本特性都是依赖于导波在黏弹性圆柱管中的传播特性，包括相速度和衰减特性。
对于弹性圆柱管中导波传播已经有大量文献研究，而对于充液黏弹性管道，现有文献中很少讨论过厚的黏弹性管道。
管道导波介质中波传播频散曲线和衰减曲线是进行波传播特性研究的基础，在超声无损检测、管路消声及检漏工程等领域具有重要应用价值。
波传播理论中的频散曲线和衰减曲线计算过程含有Bessel函数，一般传统求解是利用数值计算频散方程复数根，复杂边界条件形成的超越频散方程根的搜索会带来大量计算，需要在二维复平面上搜根，求解程序精度不高并容易出现丢根现象。
谱方法是20世纪70年代迅速发展起来的一种数值求解偏微分方程的方法，是通过谱函数(Chebyshev多项式函数)数值插值求解微分方程，将微分算子离散为微分矩阵。
复杂边界条件圆柱壳自由振动特性分析
复杂边界条件圆柱壳自由振动特性分析复杂边界条件下圆柱壳的自由振动特性分析是研究圆柱壳在振动过程中的频率和模态形式的一种方法。
在工程领域中，圆柱壳结构广泛应用于航空航天、汽车工程、建筑结构等领域，因此对其自由振动特性的研究具有重要的理论和实际意义。
圆柱壳的自由振动特性包括固有频率和振型两个方面。
固有频率是指圆柱壳在没有外界激励作用下，自身在特定模态下振动的频率。
振型是指圆柱壳在特定频率下的振动形式。
通过对圆柱壳自由振动特性的分析，可以了解和预测圆柱壳结构在振动情况下的响应特性，为工程设计和优化提供依据。
复杂边界条件下的圆柱壳自由振动特性分析主要涉及到两方面的问题：边界条件的确定和求解方法的选择。
对于边界条件的确定，一般有两种情况：一是边界固定的情况，即圆柱壳的边界处完全固定，不能发生位移；二是边界自由的情况，即圆柱壳的边界处可以发生位移。
在实际工程中，边界条件常常是复杂的，因此需要根据具体情况确定边界条件。
确定边界条件后，可以利用合适的数学模型进行求解。
在求解方法选择上，常用的方法有两类：解析方法和数值方法。
解析方法是指通过解析公式求解圆柱壳自由振动的特性。
这种方法适用于边界简单、材料均匀、形状规则的圆柱壳，可以得到准确的解析解。
当边界条件复杂、材料非均匀、形状不规则时，解析方法往往难以求解。
此时，可以采用数值方法进行求解，主要包括有限元法、边界元法、模态超元法等。
这些方法可以将复杂问题离散化为简单问题，通过数值计算得到近似解，具有较高的计算精度和适用性。
复杂边界条件下圆柱壳自由振动特性的分析是一个复杂而有挑战的问题。
需要根据具体情况确定边界条件，并选择合适的求解方法。
通过对圆柱壳自由振动特性的分析，可以深入了解圆柱壳的振动行为，为工程设计提供科学依据，具有重要的理论和应用价值。
复杂边界条件圆柱壳自由振动特性分析
复杂边界条件圆柱壳自由振动特性分析复杂边界条件在工程领域中是一个常见的问题，尤其是在圆柱壳自由振动特性分析中。
圆柱壳是一种很常见的结构，在各种工程中都有广泛的应用，比如管道、储罐、压力容器等。
而圆柱壳的振动特性分析对于结构的设计和安全性都具有重要意义。
由于圆柱壳的形状和结构特点，其振动特性受到复杂的边界条件的影响，因此需要对这些特殊情况进行深入研究和分析。
一般来说，圆柱壳的自由振动特性受到以下几个方面的影响：壳的几何形状、材料性质、边界条件、外部载荷等。
边界条件是影响振动特性的关键因素之一。
在工程实际中，圆柱壳的边界条件往往是多种多样的，比如固支、自由支承、剪力支承等，这些边界条件的不同会对圆柱壳的自由振动特性产生显著的影响。
一般来说，我们会采用有限元分析等方法对圆柱壳的振动特性进行模拟和分析。
常见的有限元分析方法在处理复杂边界条件时存在一定的局限性，可能无法准确地反映出圆柱壳在复杂边界条件下的振动特性。
需要结合理论分析和数值模拟等方法，深入研究圆柱壳在复杂边界条件下的振动特性。
对圆柱壳的几何形状和材料性质进行建模，确定壳体的刚度和质量分布等基本参数。
然后，根据实际工程情况确定壳体的边界条件，包括支承方式、剪力支承等。
根据理论分析和数值模拟等手段，对圆柱壳在不同边界条件下的自由振动特性进行分析和计算。
这一步通常需要采用一些专业软件和工程计算方法，比如有限元分析、模态分析等。
对分析结果进行验证和评价，检查是否符合工程实际要求。
如果有必要，还可以进行模拟试验等实验研究，以验证分析结果的准确性和可靠性。
在实际工程中，圆柱壳在不同边界条件下的振动特性可能会呈现出非常复杂的情况。
比如在地震荷载下，圆柱壳可能会发生非线性振动、失稳现象等。
这就需要我们对圆柱壳的振动特性进行更深入的研究和分析，以提高工程设计的安全性和可靠性。
随着计算机技术的不断发展和进步，我们可以采用更加先进的数值模拟方法，比如基于人工智能算法的优化设计、深度学习方法等，来进一步研究复杂边界条件下圆柱壳的振动特性。
基于辛方法的功能梯度圆柱壳振动特性分析
基于辛方法的功能梯度圆柱壳振动特性分析
肖笛;王忠民
【期刊名称】《应用力学学报》
【年(卷),期】2019(0)3
【摘要】基于辛方法分析了功能梯度圆柱壳的自由振动特性。
从薄壳理论和功能
梯度材料特性出发,得到了功能梯度圆柱壳自由振动时的拉格朗日密度函数。
引入
对偶变量,经哈密顿正则变换,导出了功能梯度圆柱壳自由振动的哈密顿正则方程,将问题转化为求解哈密顿矩阵的辛本征值问题,得到了两端固支和两端简支两种边界
条件下功能梯度圆柱壳的量纲为一的固有频率。
数值结果表明:简支和固支两种边
界条件下功能梯度圆柱壳的量纲为一的固有频率随体积分数、厚径比、环向波数的变化规律基本相同,但在数值上略有差别;量纲为一的固有频率随环向波数的增大呈
现先减小后增大的现象,随厚径比的增大而增大,随材料体积分数的增大而逐渐减小。
【总页数】8页(P704-710)
【作者】肖笛;王忠民
【作者单位】西安理工大学土木建筑工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】TB34
【相关文献】
1.基于改进傅里叶级数方法的旋转功能梯度圆柱壳振动特性分析
2.弹性边界条件下的功能梯度圆柱壳振动特性研究
3.基于波动法的静水压力下功能梯度圆柱壳振动
特性研究4.基于Flügge理论的功能梯度圆柱壳自由振动响应均匀化转换计算方法5.弹性边界约束旋转功能梯度圆柱壳结构自由振动行波特性分析
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基于谱有限元的自由阻尼梁结构损耗因子分析
基于谱有限元的自由阻尼梁结构损耗因子分析尹帮辉;王敏庆【摘要】The spectral finite element method was used to analyze propagating wave types and their damping loss factor (DLF)in a beam with a non-constrained damping layer (NCDL).Every wave type's exciting condition was studied by analyzing characteristic wave shapes.The finite element method was used to compute the strain energy for every element of a long beam with a NCDL,the DLF was computed with the strain energy method and the relationship between structure DLF and load types was studied.In the end,the boundary reflected waves' effect on the DLF was studied.The study showed that the vertical excitation mainly excites the highest order bending wave or some lower order longitudinal waves whereas the longitudinal excitation mainly excites the highest order longitudinal wave;when the beam becomes longer and the distance between the exciting point and the boundary becomes farther,the effect of boundary reflection on the structural DLF becomes smaller;the DLFs under different boundary conditions are always the same except at some special frequencies;the structural DLF of a beam with a NCDL is decided mainly by the wave types and it is influenced a little by boundary reflection.%使用谱有限元分析了自由阻尼梁中扩散波类型及其损耗因子，通过对其特征波形的分析探讨了各个频率下每种波的激励条件，然后使用有限元对自由阻尼长梁做谐响应分析得到各个单元的应变能，根据应变能法计算得到该长梁分别在垂直和水平激励下的结构损耗因子，对结构损耗因子同激励起的波类型之间的关系进行了讨论，最后分析了边界反射对结构损耗因子的影响。
热环境下功能梯度圆柱壳的频散特性
热环境下功能梯度圆柱壳的频散特性叶曦;孙永华;刘见华;姚熊亮【摘要】The research about wave-motion characteristics of functionally graded material structure in the thermal environment was presented. Based on the classical shell theory, the free vibration equations of func-tionally graded cylindrical shells in the different temperature fields were deduced. The results show that the thermal effect is obvious on the propagation wave whose main motion component is bending. The thermal ef-fect on the near-field decaying wave is reduced with the increment of the frequency. The conversion fre-quency from conjugate decaying waves to near-field decaying waves is increased with the increment of the temperature. Compared with the nonlinear temperature distribution through the thickness which meets the 1-D thermal conduction condition, as the same maximum temperature rise, the thermal effect of uniform temperature rise on the dispersion characteristics is more obvious. The results in this paper could provide reference for the research about wave-motion characteristics of functionally graded material in the thermal environment.%基于经典壳体理论推导了温度场作用下功能梯度材料圆柱壳自由振动方程，研究了沿厚度方向不同温度分布对功能梯度壳体频散特性的影响。
静水压力下圆柱壳结构频散特性分析
散 特 性 产 生 一 定 的 影 响 ， 影 响 效 果 随 水 深 的 增 加 逐 渐 增 大 。与 参 考 文 献 ［ ］ 其 ４ 的结 果 作 比较 发 现 ， 对 各 支 其
传 播 波 起 始 频 率 的 作 用 并 不 大 ， 对 处 于声 速 线 上方 的 亚 声 速 波 影 响 明显 ， 水 深 增 加 ， 应 的波 数 呈 下 降 趋 而 随 相 势 ， 间距加大水深 ， 浸深绝对值越 大影响也越大 ， 等 其 图示 曲 线 间距 增 加 。 关键 词 ：圆柱 壳 ；静 水 压 力 ；频 散 特 性 ； 合 系 统 耦
ｔｅｃｍ ａｉ ｎｗｔ ｔｅｒ ｅ ｎ ｅ ４ ｅｕｔ， ｄｃｔ ａ ｈ ｄｏｔｔ ｒｓｕｅｈ ｓ ｉｌ ｅｆ ｔ ｎ ｈ ｏ ｐ ｒ ｏ ｉ ｅ ｒ ｃ ［ ］ｒｓｌ ｉｉ ｉ ｅ ｔ ｔ ｙ ｒｓ ｉ ｐｅｓｒ ａ ｔｅ ｆ ｃ ｏ ｓ ｈｈ ｆｅ ｓ ｔｎ ａ ｓ ｈ ａｃ ｌｔ ｅ
ｓｏ ｈ ｒ ｃ ｅ ｉｔｃ ｆｓ ｂ ｅｇ ｄ ｓ ｅ ｌ ａ ｄ ｔ ｅｆ ｃｓ ｗｉｌａ ｄ ｂ ｈｅ ｉ ｃ ｅ ｓ ｄ ｏ ｔ ｒｄｅ ｔ ｉ ｎ ｃ ａ ａ ｔ ｒｓｉ ｓ ｏ ｕ ｍ ｒ ｅ ｈ ｌ， ｎ ｉ ｓ ｆｅ ｔ ｌ ｄ ｙ ｔ ｎ ｒ ａ ｅ ｆｗａ ｅ — ｐ ｈ．Ｂｙ
中 图 分 类 号 ： ６ １４ Ｕ ６ ．４ 文献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：６ ３— １５ ２ ０ ） ３一Ｏ １７ ３ ８ （ ０ ６ Ｏ ５一Ｏ ４
圆柱壳自由振动特性分析方法研究[1]
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第28卷 第1期 应 用 力 学 学 报 V ol.28 No.1 2011年2月 CHINESE JOURNAL OF APPLIED MECHANICS Feb. 2011来稿日期：2010-06-02 修回日期：2010-10-20第一作者简介：杨毅，男，1976年生，西安交通大学机械结构强度和振动教育部重点实验室，博士生；研究方向——航天结构声振耦合。
E-mail: irongreat@文章编号：1000- 4939(2011) 01-0059-05圆柱壳自由振动特性分析方法研究杨毅 魏光涛 阎桂荣(西安交通大学 强度与振动教育部重点实验室 710049 西安)摘要：对传统解析法进行了改进，直接将复特征根代入边界条件构造了特征方阵；并基于圆柱壳Flugge 模型推导了位移形式的传递函数矩阵。
在此基础上对比了改进的解析法、传递函数法、有限元法和实验方法获得的两端自由边界条件下圆柱壳的固有频率和模态。
研究结果表明：改进的解析方法其特征方阵表达式简单且易于实现；同时通过与有限元和实验方法的对比，验证了改进解析法和位移形式传递函数矩阵的正确性；传递函数法相对于传统解析法对舍入误差敏感，可以通过增加字长的方式进行改善。
关键词：圆柱壳；Flugge 模型；传递函数法；有限元；模态实验 中图分类号：O32 文献标识码： A1 前 言在航天和船舶等工程领域，圆柱壳作为结构的基础部件，其振动特性受到相关研究人员广泛关注。
自上世纪50年代开始，各种分析方法大量涌现，其中常用几类方法有：解析法(如：传统解析法和传递函数法)、半解析法(如：瑞利里兹法)、有限元法。
传统解析法[1-2]根据特征方程获得特征根，然后由边界条件确定特征方阵，根据特征方阵行列式为零确定固有频率。
为回避复数运算，传统方法常采用三角函数和自然指数函数描述位移，这使得特征方阵表达式非常复杂。
对此本文直接将复特征根代入边界条件构造特征方阵，使得特征方阵表达式极大简化。
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基于谱方法分析有阻尼负载圆柱壳频散特性王献忠;吴卫国;庞福振;孔祥韶【摘要】The wave equation of the elastic theory was discretized with the spectral method.Then,the equation was converted to a corresponding generalized eigenvalue problem by taking Chebyshev polynomials as base functions. Considering the boundary conditions at fluid-structure interface and damping layer-structure interface of a cylindrical shell structure,a generalized eigenvalue equation of this complex cylindrical shell system was built.The wave numbers for a given frequency were calculated with MATLAB eigenvalue solver.Then the dispersion curve of the cylindrical shell was gained.The dispersion curves of the cylindrical shell with a damping layer and water filled or not were discussed.Some valuable conclusions were obtained according to the dispersion curves.%以Chebyshev多项式系为基函数，采用谱方法离散弹性理论的波动方程，建立对应的广义特征值问题。
依据壳体结构波运动、内部流体及外部阻尼材料在界面处的位移、应力连续条件，构造此复杂圆柱壳系统广义特征值方程。
通过数值求解特征值获得对应频率下波数，进而获得圆柱壳结构的频散曲线。
分别讨论充水与否、有阻尼负载圆柱壳的频散曲线，获得有价值结论。
【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2015(000)006【总页数】6页(P13-17,23)【关键词】谱方法;圆柱壳;频散特性;阻尼层【作者】王献忠;吴卫国;庞福振;孔祥韶【作者单位】武汉理工大学高性能舰船技术教育部重点实验室，武汉430063; 武汉理工大学交通学院，船舶、海洋与结构工程系武汉430063;武汉理工大学高性能舰船技术教育部重点实验室，武汉430063; 武汉理工大学交通学院，船舶、海洋与结构工程系武汉430063;哈尔滨工程大学船舶工程学院，哈尔滨 150001;武汉理工大学高性能舰船技术教育部重点实验室，武汉430063; 武汉理工大学交通学院，船舶、海洋与结构工程系武汉430063【正文语种】中文【中图分类】U674.76Spectral method for dispersion characteristics of a cylindrical shell boarded with a damping layerKey words:spectral method; cylindrical shell; dispersion characteristics; dam ping layer圆柱壳体广泛用于工业结构、航空航天及水下潜艇结构中。
研究其声传播特性对理论及实践均具有重要意义。
实际工程应用时控制圆柱壳结构振动、声辐射的常用措施为在其表面敷设阻尼材料，因此研究敷设阻尼材料的圆柱壳声传播问题尤为必要。
对真空中薄壁圆柱壳及硬壁管内流体弹性波传播研究已较成熟。
文献[1-3]专门讨论具有轴对称性质波，但忽略了Poisson系数引起的壳体位移耦合，且只讨论低频情况。
Brevart等[4]利用简化的Donnell-Mushtari壳方程研究单层圆柱壳一流耦合系统的声振特性。
Fuller等[5]通过建立的充液圆柱壳自由振动方程，讨论低阶周向模态(n=0,1)下实、虚及复波数波的传播特性。
Gazis等[6-7]用数值方法求解推导的频散方程，获得频率-波长曲线，并与薄壳近似理论结果对比。
Breitenbach等[8]推导出浸入水中的无限长内充空气铝柱壳在垂直入射平面波下简正波解。
Maze等[9]研究弹性柱壳中周向波频散曲线的分叉(repulsion)现象。
Barshinger等[10]研究有粘弹材料覆盖层的空心圆柱壳中导波传播问题，用传递矩阵法推导频散方程，并数值求解频散曲线。
由于超声导波技术具有无损检测的独特优势，广泛用于各种结构尤其管道结构的健康、缺陷检测。
而研究导波在各种构件中的传播规律是应用导波技术的关键。
Alleyne等[11]在较低频厚积下研究内径-壁厚比变化对导波模式频散特性影响。
Kumar 等[12-13]研究空心圆柱内充满液体时对导波在管道中传播影响，认为泄漏圆柱系统较自由表面单层管道模态更多、更复杂，此复杂模态需用复杂的Bessel方程方能计算。
Lafleur等[14]详细研究了低频模态在充液管道中的传播。
Sinha等[15-16]研究轴对称导波在内充液管道或外受液体荷载管道中的传播规律，计算复杂缺陷形状的真实波数及复杂频率，并进行对比实验。
以上研究思路均为建立壳体运动方程及Helmholtz方程。
利用界面处运动协调条件建立流固耦合超越方程，通过实波数轴求根方法或复平面围道积分方法求解。
当需考虑弹性管壁与管内流体间相互作用及壳体表面敷设有粘弹性材料时，波传播问题相当复杂。
而此数值方法面临求解多层(N>2)介质、有阻尼、非均匀层介质、多孔材料、各向异性等情况下结构频散特性困扰，会严重降低搜根法的实用性。
对任意多层圆柱结构的波传播特性分析，采用谱方法分析结构频散特性较简便。
Adamou等[17]采用谱方法进行数值求解二维弹性介质中波频散方程。
谱方法是加权余量法中较完善的，较传统搜根方法，谱方法不但具有精度高、计算效率高等优点，且可求解结构为阻尼、多孔材料等情况。
Karpfinger等[18-19]利用谱方法求解圆柱结构为多层均匀介质时的频散关系及位移分布。
本文将谱方法扩展到求解有阻尼负载情况下的圆柱壳结构频散问题。
该方法理论以Chebyshev多项式系作为基函数[20]，将圆柱壳半径的变化范围通过坐标变换至区间[-1,1]。
因此先给出[-1,1]的广义Chebyshev多项式及性质以及展开系数满足的部分关系式。
再用谱方法对柱坐标系下的标量、向量波动方程进行空间离散，据交界面处边界条件构造复数特征值方程，求解结构频散曲线。
以带阻尼材料层的无限长弹性圆柱壳为例进行分析。
采用严格的弹性理论分析圆柱壳结构的频散关系。
设壳体弹性模量为E，泊松比为μ，密度为ρ，液体介质密度为ρ0。
所用坐标系见图1。
由弹性理论，得均匀各向同性弹性介质满足位移向量的波动方程为式中：u=Φ+H，H=Hrer+Hθeθ+Hzez(柱坐标下)。
圆柱壳运动由于仅考虑轴对称纵波、横波影响，通过分离变量可将波动方程分解为式中为纵、横波速。
设波沿+z方向传播，所得方程的解为将式(4)、(5)代入式(2)、(3)得由位移势函数得相应位移为由位移与应变关系可得由广义胡克定律σij=λΔj+2μεij可得对理想流体介质而言，无需考虑其剪切项，即可忽略式(3)，得理想流体特征方程为位移表达式为应力表达式为据圆柱壳边界处连续条件，对式(6)、(7)进行求解。
(1)对流体与流体交界面，有(2)对流体与结构交界面，有(3)对结构与结构交界面，有对波动方程一类双曲型方程，常采用Chebyshev-gauss配置点，即求解变量在[-1,1]的规则区域，而实际求解区域往往不在标准区间，因此需对计算区域进行坐标变换，即区域转换后对未知函数φ的一、二阶导数为谱方法的构造可由加权参量法得出，设故有式中本文采用Chebychev多项式去逼近方程(13)、(14)中的特征向量项f，h，进而利用微分矩阵对该多项式快速、准确微分求导。
将函数f沿半径方向离散为N个点，则据式(7)可表示为由式(32)可得式(13)、(14)左端微分算子，即式(13)、(14)用微分矩阵形式表示为式中：Ll，Ls为微分矩阵，表达式为将式(15)、(16)用微分矩阵形式表示为式中；Tzf=-k2I；。
将式(19)、(20)用微分矩阵形式表示为式中：阻尼层位移向量中λ*，μ*为复粘弹性Lamé常数，所得阻尼层纵波及横波波速为复数，且不增加计算难度及效率。
通过式(34)构造有阻尼负载圆柱壳矩阵方程为式中：Ll，Ls为圆柱壳微分矩阵；为负载阻尼层微分矩阵。
将式(26)~式(30)代入式(36)、(37)，并将边界条件行整合到式(38)中，得广义特征方程为式中为由式(38)左端微分矩阵结合应力、位移边界条件获得，具体结构见图2。
图中N1表示内层结构(圆柱壳)；N2表示外层结构(阻尼层)；自上而下表示在该结构上从内到外依次进行配点构造微分矩阵；T为特征向量；M为4个(N×N)矩阵E的整合，具体表达式为式中：E为对角阵，E(1,1)=0，E(N,N)=0，E(i,i)=1,i=2…N-1。
由式(31)看出其满足Ax=Bλx形式，即有结构的频散方程本质上为求解广义特征值问题。
对此已有较多数值方法可求解。
5.1 圆柱壳结构频散特性用充液圆柱壳模型[17]，计算圆柱壳纵波速度为4 879m/s，横波速度为2 600 m/s，密度为2 160 kg/m3，圆柱壳外径为2 m，内径为0.1 m，内部流体介质纵波速度为1 500 m/s，密度为1 000 kg/m3。
计算结果见图3。
对比图3中1阶相速度频散曲线看出，采用传统的搜根方法(二分法、牛顿法)计算结果与谱方法计算结果吻合良好，从而验证本文方法的有效性及正确性。
由于谱方法通过求解特征值获得频散曲线，较传统搜根法在计算效率上有较大提高。
5.2 充水圆柱壳频散特性计算中圆柱壳取各向同性的铜质材料，弹性模量E=2.078E11 N/m2，泊松比μ= 0.317 756，密度ρ=8 500kg/m3，纵波速度为3.7 km/s，横波速度为2 km/s。
离散点个数π/ N≤λ/2，N=40，圆柱壳厚径比h/R= 0.125。
流体介质水密度为1 000 kg/m3，纵波速度1.5 km/s。
分别计算圆柱壳充水与否的频散特性。
计算曲线见图4。
对比图4(a)、(b)相速度频散曲线发现，本文壳体的相速度频散曲线与各导波模式的频散曲线[18]吻合较好。