第1章 量子力学基础-习题与答案
量子力学基础试题及答案
量子力学基础试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 量子力学中，物质的波粒二象性是由哪位科学家提出的？A. 爱因斯坦B. 普朗克C. 德布罗意D. 海森堡答案：C2. 量子力学的基本原理之一是不确定性原理，该原理是由哪位科学家提出的？A. 玻尔B. 薛定谔C. 海森堡D. 狄拉克答案：C3. 量子力学中，描述粒子状态的数学对象是：A. 波函数B. 概率密度C. 动量D. 能量答案：A4. 量子力学中，哪个方程是描述粒子的波动性质的基本方程？A. 薛定谔方程B. 麦克斯韦方程C. 牛顿第二定律D. 相对论方程答案：A5. 量子力学中，哪个原理说明了粒子的波函数在测量后会坍缩到一个特定的状态？A. 叠加原理B. 波函数坍缩原理C. 不确定性原理D. 泡利不相容原理答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 在量子力学中，粒子的动量和位置不能同时被精确测量，这一现象被称为______。
答案：不确定性原理2. 量子力学中的波函数必须满足______条件，以确保物理量的概率解释是合理的。
答案：归一化3. 量子力学中的粒子状态可以用______来描述，它是一个复数函数。
答案：波函数4. 量子力学中的______方程是描述非相对论性粒子的波函数随时间演化的基本方程。
答案：薛定谔5. 量子力学中的______原理表明，不可能同时精确地知道粒子的位置和动量。
答案：不确定性三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述量子力学与经典力学的主要区别。
答案：量子力学与经典力学的主要区别在于，量子力学描述的是微观粒子的行为，它引入了波粒二象性、不确定性原理和量子叠加等概念，而经典力学主要描述宏观物体的运动，遵循牛顿力学的确定性规律。
2. 描述量子力学中的波函数坍缩现象。
答案：波函数坍缩是指在量子力学中，当对一个量子系统进行测量时，系统的波函数会从一个叠加态突然转变到一个特定的本征态，这个过程是不可逆的，并且与测量过程有关。
量子化学习题解仅供参考
(1) 2xsin(x2+1) (2) 5sinx (3) sin2x (4) x (5) 1/x2 1.2 如 Âf(x)=3x2f(x)+2xdf/dx，f(x)为任意函数，给出 Â 的表达式
Â=3x2+2xd/dx 1.3 给出 3 个满足 Âex=ex 的 Â 的表达式
(6) Â=24x+36x3
Â(bf+cg)= bÂf + cÂg，则 Â 一定是线性算符。
1)证明: Â 是线性算符 Â(bf+cg)= Â(bf) + Â(cg) = bÂf + cÂg
2)证明: Â(bf+cg)= bÂf + cÂg b,c 为常数
设 c=0 则有 Â(bf)= bÂf
设 c=1, b=1 则有 Â(f+g)= Âf + Âg 因此 Â 是线性算符
1.8 证明：(1) [Â, Bˆ ]= [Bˆ , Â] (2)[Âm,Ân]=0 (3)[Â2, Bˆ ]= Â[Â, Bˆ ]+[Â, Bˆ ]Â
(4) [Â, [Bˆ , Ĉ]]+ [Bˆ , [Ĉ, Â]]+ [Ĉ, [Â, Bˆ ]]=0 证明：(1) [Â, Bˆ ]= ÂBˆ Bˆ Â= (Bˆ ÂÂBˆ ) = [Bˆ , Â] (2)[Âm,Ân]= ÂmÂnÂnÂm= Âm+nÂm+n=0 (3) [Â2, Bˆ ]= Â2Bˆ Bˆ Â2 Â[Â, Bˆ ]+[Â, Bˆ ]Â= Â(ÂBˆ Bˆ Â)+ (ÂBˆ Bˆ Â)Â = Â2Bˆ ÂBˆ Â+ ÂBˆ ÂBˆ Â2= Â2Bˆ Bˆ Â2 [Â2, Bˆ ]= Â[Â, Bˆ ]+[Â, Bˆ ]Â (4) [Â, [Bˆ , Ĉ]]+ [Bˆ , [Ĉ, Â]]+ [Ĉ, [Â, Bˆ ]] =[Â, (Bˆ ĈĈBˆ )]+[Bˆ , (ĈÂÂĈ)]+ [Ĉ, (ÂBˆ Bˆ Â)] = ÂBˆ ĈÂĈBˆ Bˆ ĈÂ+ĈBˆ Â+Bˆ ĈÂBˆ ÂĈ ĈÂBˆ + ÂĈBˆ + ĈÂBˆ ĈBˆ Â ÂBˆ Ĉ+Bˆ ÂĈ=0 1.9 Hˆ pˆ x2 2m V (x) ，分别计算(1)当 V(x)=V(常数)，(2)当 V(x)=kx2/2，(3)当 V(x) V(r)=e2/40r
量子力学习题集及解答
量子力学习题集及解答目录第一章量子理论基础 (1)第二章波函数和薛定谔方程 (5)第三章力学量的算符表示 (28)第四章表象理论 (48)第五章近似方法 (60)第六章碰撞理论 (94)第七章自旋和角动量 (102)第八章多体问题 (116)第九章相对论波动方程 (128)第一章 量子理论基础1．设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000A （可见光），1A （x 射线）以及0.001A （γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？[解] 电子在电势差V 加速下，得到的能量是eV m =221υ这个能量全部转化为一个光子的能量，即λνυhc h eV m ===221 )(1024.1106.11031063.6419834A e hc V λλλ⨯=⋅⨯⨯⨯⨯==∴--（伏） 当A50001=λ时， 48.21=V （伏）A 12=λ时 421024.1⨯=V （伏）A 001.03=λ时 731024.1⨯=V （伏）2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。
[解] 普朗克公式为18/33-⋅=kT hv v e dvc hvd πνρ单位体积辐射的总能量为⎰⎰∞∞-==00/3313T hv v e dv v c h dv U κπρ令kThvy =，则 440333418T T e dy y c h k U y σπ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞ （★） 其中 ⎰∞-=0333418y e dyy c h k πσ （★★）（★）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。
这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。
其中σ是比例常数，可求出如下：因为)1()1(1121 +++=-=-------yy y y y ye e e e e e∑∞=-=1n ny edy e y e dy y n ny y ⎰∑⎰∞∞=-∞⎪⎭⎫ ⎝⎛=-013031 令 ny x =，上式成为dx e x n e dy y xn y⎰∑⎰∞-∞=∞=-03140311 用分部积分法求后一积分，有⎰⎰⎰∞-∞∞--∞∞--+-=+-=0220332333dx xe e x dx e x e x dx e x x xx xx66660=-=+-=∞∞--∞-⎰xx x e dx e xe又因无穷级数 ∑∞==144901n n π故⎰∞=⨯=-0443159061ππy e dy y 因此，比例常数⎰∞-⨯==-=015334533341056.715818ch k e dy y c h k y ππσ尔格/厘米3·度43．求与下列各粒子相关的德布罗意波长：（1）能量为100电子伏的自由电子； （2）能量为0.1电子伏的自由中子； （3）能量为0.1电子伏，质量为1克的质点； （4）温度T =1k 时，具有动能kT E 23=（k 为玻耳兹曼常数）的氦原子。
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第一章量子力学基础知识--要点1.1 微观粒子的运动特征光和微观实物粒子(电子、原子、分子、中子、质子等)都具有波动性和微粒性两重性质，即波粒二象性，其基本公式为：E=h5νP=h/λ其中能量E和动量P反映光和微粒的粒性，而频率ν和波长λ反映光和微粒的波性，它们之间通过Plank常数h联系起来。
h=6.626×10-34J.S。
实物微粒运动时产生物质波波长λ可由粒子的质量m和运动度ν按如下公式计算。
λ=h/mν量子化是指物质运动时，它的某些物理量数值的变化是不连续的，只能为某些特定的数值。
如微观体系的能量和角动量等物理量就是量子化的，能量的改变为E=hν的整数倍。
测不准关系可表示为：ΔX·ΔPx≥hΔX是物质位置不确定度，ΔPx为动量不确定度。
该关系是微观粒子波动性的必然结果，亦是宏观物体和微观物体的判别标准。
对于可以把h看作O的体系，表示可同时具有确定的坐标和动量，是可用牛顿力学描述的宏观物体，对于h不能看作O的微观粒子，没有同时确定的坐标和动量，需要用量子力学来处理。
1.2量子力学基本假设假设1：对于一个微观体系，它的状态和有关情况可用波函数ψ(x，y，z)来描述，在原子体系中ψ称为原子轨道，在分子体系中ψ称为分子轨道，ψ2d τ为空间某点附近体积元dτ中出现电子的几率，波函数ψ在空间的值可正、可负或为零，这种正负值正反映了微观体系的波动性。
ψ描述的是几率波，根据几率的性质ψ必须是单值、连续、平方可积的品优函数。
假设2. 对于微观体系的每一个可观测量,都有一个对应的线性自轭算符。
其中最重要的是体系的总能量算符（哈密顿算符）Ｈ假设3. 本征态、本征值和Schròdinger方程体系的力学量A的算符与波函数ψ若满足如下关系式中a为常数，则称该方程为本征方程，a为Ａ的本征值，ψ为Ａ的本征态。
Schr òdinger方程就是能量算符的本征值E和波函数ψ构成的本征方程：将某体系的实际势能算符写进方程中，通过边界条件解此微分方程和对品优波函数的要求，求得体系不同状态的波函数ψi以及相应的能量本征值Ei。
chapter1 量子力学基础知识习题解答
= 9.403×10-11m
(3) λ = h = h p 2meV
=
6.626 ×10−34 J ⋅ s
2× 9.109 ×10−31kg ×1.602×10−19 C × 300V
= 7.08×10−11m
4
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【1.5】用透射电子显微镜摄取某化合物的选区电子衍射图，加速电压为 200kV，计算电子 加速后运动时的波长。
图 1.2 金属的 Ek ~ ν 图
3
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h = Ek = ∆Ek ν −ν 0 ∆ν
即 Planck 常数等于 Ek − v 图的斜率。选取两合适点，将 Ek 和 v 值带入上式，即可求出 h 。
例如：
h
=
(2.7 −1.05) ×10−19 J (8.50 − 6.00) ×1014 s−1
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01.量子力学基础知识
本章主要知识点
一、微观粒子的运动特征
1.
波粒二象性： E
= hν , p =
h λ
2. 测不准原理： ∆x∆px ≥ h, ∆y∆py ≥ h, ∆z∆pz ≥ h, ∆t, ∆E ≥ h
3. 能量量子化
二、量子力学基本假设
1. 假设 1：对于一个量子力学体系，可以用坐标和时间变量的函数ψ (x, y, z,t) 来
相反的两个电子。或者说：对于多电子体系，波函数对于交换任意两个电子是反
对称的。
三、箱中粒子的 Schrödinger 方程及其解
1. 一维无限势阱的 Schrödinger 方程：
− 2 d2ψ 2m dx2
= Eψ
其解为：ψ n (x) =
一二三习题答案
B18.原子轨道指的是下列的哪一种说法？
（A）原子的运动轨迹（B）原子的单电子波函数（C）原子的振动态（D）原子状态
C19.钠原子光谱D线是双重线，其原因是下列的哪一个：
（A）电子的轨道角动量（B）外磁场;（C）自旋轨道耦合（D）3p能级高
C20.对于原子中电子的总能量，下列的哪一个说法是正确的？
D15.如果氢原子的电离能是13.6 eV，则Li2+的电离能是下列的哪一个？
（A）13.6eV，（B）27.2 eV；（C）54.4 eV；（D）122.4 eV
A16.在氢原子中，对于电子的能量，下列的哪一种说法正确？
（A）只与n有关；（B）只与l有关；（C）只与m有关；（D）与n和l有关
B17.测量3d态氢原子的轨道角动量的z轴分量，可得到几个数值？
（C）动量一定有确定值；（D）几个力学量可同时有确定值；
7.试将指数函数e±ix表示成三角函数的形式cosex±isinex
8.微观粒子的任何一个状态都可以用波函数来描述；ψψ*表示粒子出现的概率密度。
D9.Planck常数h的值为下列的哪一个？D
（A）1.38×10-30J/s（B）1.38×10-16J/s（C）6.02×10-27J·s（D）6.62×10-34J·s
(A)CA=0.90,CB=0.10；（B）CA=0.95,CB=0.32；
(C)CA=CB；（D）CA=0.10,CB=0.90；
B7.下列分子的基态中哪个是三重态？
（A）F2（B）O2（C）N2（D）H2+
B8.对分子的三重态，下列哪种说法正确？
（A）分子有一个未成对的电子（B）分子有两个自旋平行的电子
（A）Zeeman（B）Gouy（C）Stark（D）Stern-Gerlach
量子力学课后习题答案
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学课后习题答案
Wnl (r)dr Rnl2 (r)r 2dr
例如：对于基态 n 1, l 0
W10 (r) R102 (r)r 2
4 a03
r e2 2r / a0
求最可几半径
R e 2 r / a0
10
a03 / 2
dW10 (r) 4 (2r 2 r 2 )e2r / a0
x)
k
2
2
(
x)
0
其解为 2 (x) Asin kx B cos kx
根据波函数的标准条件确定系数A、B，由连续性条件，得
2 (0) 1(0) B 0
2 (a) 3 (a) Asin ka 0
A0
sin ka 0
ka n
(n 1, 2, 3,)
[1 r
eikr
r
(1 r
eikr )
1 r
eikr
r
(1 r
eikr )]er
i1 1 11 1 1
2
[ r
(
r2
ik
) r
r
(
r2
ik
r )]er
k
r2
er
J1与er 同向。 1 表示向外传播的球面波。
习题
(2)
J2
i
2
(
2
* 2
2*
解：U (x)与t 无关，是定态问题
薛定谔方程为
2
2
d2 dx2
(x) U (x) (x)
E (x)
在各区域的具体形式为：
x0
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一、是非题1. “波函数平方有物理意义， 但波函数本身是没有物理意义的”。
对否 解：不对2. 有人认为，中子是相距为10-13 cm 的质子和电子依靠库仑力结合而成的。
试用测不准关系判断该模型是否合理。
解：库仑吸引势能大大地小于电子的动能, 这意味着仅靠库仑力是无法将电子与质子结合成为中子的，这个模型是不正确的。
二、选择题1. 一组正交、归一的波函数123,,,ψψψ。
正交性的数学表达式为 a ，归一性的表达式为 b 。
()0,()1i i i i a d i jb ψψτψψ**=≠=⎰⎰2. 列哪些算符是线性算符------------------------------------------------------ (A, B, C, E )(A) dxd(B) ∇2 (C) 用常数乘 (D) (E) 积分3. 下列算符哪些可以对易-------------------------------------------- (A, B, D )(A) xˆ 和 y ˆ (B) x∂∂和y ∂∂ (C) ˆx p和x ˆ (D) ˆx p 和y ˆ 4. 下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx(C) e -ikx(D) 2e kx -(1) 哪些是dxd的本征函数；-------------------------------- (B, C ) (2) 哪些是的22dx d 本征函数；-------------------------------------- (A, B, C )(3) 哪些是22dx d 和dxd的共同本征函数。
------------------------------ (B, C )5. 关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) ------------------（C,D ）(A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比 (C)光电流大小与入射光强度成正比 (D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大6. 提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：------------------------------（ A ）(A) de Bröglie (B) A.Einstein (C) W. Heisenberg (D) E. Schrödinger7. 首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是：--------------（ C ）(A) 薛定谔 (B) 狄拉克 (C) 海森堡 (D) 波恩 8. 下列哪几点是属于量子力学的基本假设(多重选择)：---------------（ AB）(Ａ)电子自旋(保里原理) (Ｂ)微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征 (Ｃ)描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的 (Ｄ)微观体系的力学量总是测不准的，所以满足测不准原理9. 描述微观粒子体系运动的薛定谔方程是：------------------------------（ D ） (A) 由经典的驻波方程推得 (B) 由光的电磁波方程推得(C) 由经典的弦振动方程导出 (D) 量子力学的一个基本假设三、填空题：1. 1927年戴维逊和革未的电子衍射实验证明了实物粒子也具有波动性。
欲使电子射线产生的衍射环纹与Cu 的K α线(波长为154 pm 的单色X 射线)产生的衍射环纹相同， 电子的能量应为___________________J 。
T =()λh m mp 22122==1.016×10-17 J2. 金属钠的逸出功为2.3eV ，波长为589.0？nm 的黄光能否从金属钠上打出电子？在金属钠上发生光电效应的临阈频率是多少？临阈波长是多少不能141005.56,539.110nm s νλ-=⨯=3. 金属钾的临阈频率为5.464×1014 s -1，如用它作为光电池的阴极，当用波长为300 nm 的紫外照射该电池时，发射的光电子的最大速度是多少？解： 2012hv hv mv =+()1205128.1210h v v v m m s --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=⨯4. 自旋相同的两个电子在空间同一点出现的概率为_____0____。
5. 微观粒子运动的量子力学共性有（能量量子化），（波粒二象性）和（测不准关系） 。
测不准关系式为（x x P h ∆•∆≥），这一关系的存在是微粒具有（波粒二象性）的结果。
6.CO 2激光器给出一功率为1KW,波长为10.6μm 的红外光束，它每秒发射的光子数= 5.33×1022 个。
（1KW=1000 J/s ，光子能量81342062.99810(6.62410) 1.8741010.610cm s hv hJ s J mελ----⨯•===⨯•⨯=⨯⨯， 每秒钟的光子数量=11222010001000 5.33101.87410J s J s ε---••==⨯⨯） 7. 量子力学的几个假设有（状态和波函数假设）；（力学量和线性厄米算符假设）；（本征方程假设）；（状态叠加原理假设和薛定谔方程的假设）。
8. 函数*)x φ（称为)x φ（的（ 共轭 ）函数。
9. 微观粒子的运动状态可用（波函数）描述，波函数必须满足（连续）；（单值）和（平方可积）三个条件，称之为（品优）函数。
10. 2∇= 222222x y z ⎛⎫∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝⎭，是（Laplace, 拉普拉斯）算符；能量算符ˆH =222ˆ8h V mπ⎡⎤-∇+⎢⎥⎣⎦。
坐标算符x =（x ） 。
时间算符t =（t ）。
11. 在边长为a 的一维势箱中运动的粒子，当量子数n 等于1,2,3时,其波函数()x ψ和能量E 分别为()22111,,/8xn x E h ma aπψ=== ;()222222,,4/8xn x E h ma aπψ=== 12. 下列函数中 (1) sin x cosk x(2) cos 2x(3) sin 2x -cos 2x哪些是d/d x 的本征函数，本征值是多少，哪些是d 2/d x 2的本征函数，本征值是多少？解：kx x k kx x kx x xsin sin cos cos cos sin d d-=kx x k k x k kx x k kx x kx x xcos sin sin cos sin cos cos sin cos sin d d 222----= =kx x k kx x kx x cos sin sin cos 2cos sin 2+--2222222222222222dcos 2sin cos d d cos 2sin 2cos d d(sin cos )2sin cos 2sin cos 4sin cos d d (sin cos )4cos 4sin 4(sin cos )d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x=-=--=+=-=-=--13. 下列函数中，哪几个是算符22d dx 的本征函数？若是，求出本征值。
3,sin ,2cos ,,sin cos x e x x x x x +解：221x x d e e dx =⨯，xe 是22d dx的本征函数，本征值为1；22sin 1sin d x x dx =-⨯，sinx 是22d dx 的本征函数，本征值为-1； 222cos 2cos d x x dx =-，2cosx 是22d dx 的本征函数，本征值为-1； 23326d x x cx dx =≠，x 3不是22d dx的本征函数 ()()22sin cos 1sin cos d x x x x dx +=-+，sinx+cosx 是22d dx的本征函数，本征值为-1；13. 请指出下列算符中的线性算符和线性自轭算符：22,,d d d x i dx dxdx解：线性算符：()1212ˆˆˆA A A ϕϕϕϕ+=+线性自轭算符：()()11111221ˆˆˆˆA d A d A d A d ϕϕτϕϕτϕϕτϕϕτ****==⎰⎰⎰⎰由以上线性算符与线性自轭算符的定义知：线性算符有：22,,d d x dx dx线性自轭算符有：d idx四、计算题1. 2ax xeϕ-=是算符22224d a x dx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的本征函数，求其本征值。
解：应用量子力学假设II 和III ，得：()()22222222222222222222222223232344424244466ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax d d a x a x xe dx dx d xe a x xe dxd e ax e a x e dxaxe axe a x e a x e axe a ϕϕ-----------⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=--=--+-=-=-因此，本征值为-6a.2．测不准原理的另一种形式为ΔE ·Δt ≥h /2π。
当一个电子从高能级向低能级跃迁时，发射一个能量子h ν， 若激发态的寿命为10-9s ，试问ν的偏差是多少？由此引起谱线宽度是多少(单位cm -1)？解： ∆E =9818110131/()21/(2)1/(210) 1.5910/ 1.5910/310 5.310hE t hv h v v t s v v c s cm s cm ππ------∆=∆=∆=∆π∆=∆=⨯=⨯∆=∆=⨯⨯=⨯3. 某粒子的运动状态可用波函数ψ=N e -i x 来表示， 求其动量算符ˆx p的本征值。
解：ˆ2()()22x ix ix h d pi dxh d h i Ne Ne dx πππ--=--=-本征值为 2h-π4. 一个电子处于宽度为10-14 m 的一维势箱中， 试求其最低能级。
当一个电子处于一个大小为10-14 m 的质子核内时， 求其静电势能。
对比上述两个数据，能得到什么结论？ (电子质量m e =9.109×10-31 kg ， 4πε0=1.113×10-10 J -1。
C 2。
m ， 电荷e =1.602×10-19 C)解： 一维势箱 28126.03108h E J ml-==⨯ 静电势能 2130 2.3104e V J rπε-=-=-⨯结论：由于动能大于势能, 体系总能量大于零, 不能稳定存在。
发出h ν≈E 1的射线(β射线)。
5. 作为近似， 苯可以视为边长为0.28 nm 的二维方势阱， 若把苯中π电子看作在此二维势阱中运动的粒子， 试计算苯中成键电子从基态跃迁到第一激发态的波长。