2021年数学建模竞赛题参考解答

数学建模竞赛题参照解答
一、原料采购
某工厂正常状况下每天需要消耗某种原材料4吨，因而每隔一段时间需要购买一次原材料，原材料价格为元/吨，原材料保管费用每天2元/吨，每次购买原材料需要支付运费1600元.为了保证每天均有原材料供应生产，请给出最优原材料采购筹划. 解：设每隔t 天购买一次原材料，则总保管费用为
1)t(t 4)4241(42+=⨯+⋯+⨯+⨯⨯t ---------------------（10分）
支付总费用为：
20004t 16001)4t(t Q(t)⨯+++=
则平均每天支付费用为
80041600
42000416001)4(t Q(t)++=⨯+++=t t t t ---------(20分) 从而当1600
4t t
=，即t=20时平均每天支付费用至少.于是应当20天采购一次原材料.
-----------------(25分)
二、运送成本
某运送公司接受了向抗洪抢险地区每天至少送180t 增援物资任务.该公司有8辆载重为6tA 型卡车与4辆载重为10tB 型卡车，有10名驾驶员；每辆卡车每天来回次数 为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天来回成本费A 型车为320元，B 型车 为504元.请为该公司安排一下应当如何调配车辆，才干使公司所花成本费最低？ 解：依照题意可得：
设每天调出A 型车x 辆、B 型车y 辆，公司所花成本为z 元，则数学模型为
y x z 504320min += ---------------（5分）
..t S ⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨
⎧∈≥⋅+⋅≤+∈≤≤∈≤≤N y x y x y x N
y y N x x ,1803104610,40,80 ------------------------(15分
)
画出可行域（如上图），作L ：320x +504y=0， 可行域内点E 点（7.5，0）可使Z 最小.但不是整数点，近来整点是（8，0）即只调配A 型卡车8辆，所花最低成本费 z=320×8=2560（元） ------- -------------(25分)
三、最短途径
如下图，图中箭头方向表达可以进行移动，箭头上数字表达行走距离（单位：km ，如6号位置可以迈进到7号位置，距离为4km ；而7号无法前去6号）.现咱们所处1号位置，由于行程需要前去8号位置，求至少需要走多少路程可以到达，并且写出详细路线.
解：（1）.列举法(略)
（2）.运用迪杰斯特拉算法：X表达行进过区域，X={1}，
第一步：min {d12,d14,d16}=min {0+2,0+1,0+3}=min {2,1,3}=1
X={1,4}，p4=1
第二步：min {d12,d16,d42,d47}=min {0+2,0+3,1+10,1+2}=min {2,3,11,3}=2 X={1,2,4}，p2=2
第三步：min {d16,d23,d25,d47}=min {0+3,2+6,2+5,1+2}=min {3,8,7,3}=3 X={1,2,4,6}，p6=3
第四步：min {d23,d25,c47,d67}=min {2+6,2+5,1+2,3+4}=min {8,7,3,7}=3 X={1,2,4,6,7}，p7=3
第五步：min {d23,d25,d75,d78}=min {2+6,2+5,3+3,3+8}=min {8,7,6,11}=6 X={1,2,4,5,6,7}，p5=6
第六步：min {d23,d53,d58,d78}=min {2+6,6+9,6+4,3+8}=min {8,15,10,11}=8 X={1,2,3,4,5,6,7}，p3=8
第七步：min {d38,d58,d78}=min {8+6,6+4,3+7}=min {14,10,11}=10 X={1,2,3,4,5,6,7,8}，p8=10
1到8最短途径为{1，4，7，5，8}，长度为10km.
四、隔热厚度
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用隔热层，每厘米厚隔热层建导致本为6万元．该建筑物每年能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：)100(5
3)(≤≤+=
x x k
x C （k
为一未知待定系数），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设)(x f 为隔热层建造费用与能源消耗费用之和． （Ⅰ）求k 值及)(x f 表达式；
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用)(x f 达到最小，并求最小值． 解：(Ⅰ)设隔热层厚度为xcm ，
由题设，每年能源消耗费用为)100(53)(≤≤+=x x k
x C ，
再由C(0)=8，得k=40，因而5
340
)(+=x x C ， -----------------------（5分）
而建造费用为C 1(x)=6x ，
最后得隔热层建造费用与能源消耗费用之和为
)10065
3800
65340*
20)()(20)(1≤≤++=++=+=x x x x x x C x C x f （ ---（12分）
(Ⅱ)2
)
53(24006)('+-
=x x f 令f ′(x)=0，即
6)53(24002=+x ，解得5
23
,5-
==x x （舍去），--------------（17分） 当0＜x ＜5时，f ′(x)＜0，当5＜x ＜10时，f ′(x)＞0， 故x=5是f(x)最小值点，相应最小值为地5
15800
5*6)5(++
=f =70 -------（25分） 五、车间通风
某车间体积为1立方米,开始时空气中具有0.1%2CO ,为了减少车间内空气中2CO 含量,用一台风量为每分钟立方米鼓风机通入含0.03%2CO 新鲜空气,同步以同样风量将混合均匀空气排出，问鼓风机开动6分钟后,车间内2CO 比例减少到多少?
解：设鼓风机开动后t 时刻2CO 含量为()%x t 在[], t t dt +内，气量变化关系为：
220000.03CO dt =⋅⋅的通入量；22000()CO dt x t =⋅⋅的排出量；
222CO CO CO =-的改变量的通入量的排出量.
故可得到：1200020000.032000()dx dt dt x t =⋅⋅-⋅⋅，--------------（10分） 进一步有：
1
(0.03)6
dx x dt =--， 求解以上微分方程得到：1
6
0.03t x Ce
-=+，结合初值条件：0|0.1t x ==，
得到：0.07C =，故有：16
0.030.07t x e -=+，---------------------（20分）
计算在6分钟后，有 1
6|0.030.070.056t x e
-==+≈,
于是，鼓风机开动6分钟后，车间内2CO 比例减少到0.056%.------（25分）
六、最大面积
工厂里有一块半圆形铁板，其半径为R.半圆一某些有破损，破损位置如图所示，其中BC=R/2，并且破损位置在以B 所在水平线右侧.
现要在半圆铁板剩余某些上切割出一种直角三角形，如图甲乙两个方案：
甲方案是以半圆直径所在边作为斜边，乙方案是选用半圆直径所在边为直角边.哪种方案所切割直角三角形最大？并阐明理由.
甲方案 乙方案
解：咱们依照甲、乙方案，分别求出两种方案所能切割出直角三角形最大面积.
对于甲方案，以AB 或者比AB 短线段作为直径半圆内接三角形.显然，选用AB 作为直
径时可以保证三角形尽量大，此时内接半圆半径为，即.
以O’为原点建立直角坐标系，此时O’(0,0),A(3
,0
4
R),B().设D点坐标为
().
则三角形面积
关于求导后可知，当时，
对于乙方案，以O为圆心，O(0,0).设D点坐标为().
则三角形面积
关于求导，
令，即或时，获得极值.
当时，
通过比较，乙方案所切割出来三角形面积大，因而乙方案要优于甲方案.。