梯度下降和牛顿迭代的优化算法比较
机器学习中常见的几种优化方法
机器学习中常见的几种优化方法阅读目录1. 梯度下降法（Gradient Descent）2. 牛顿法和拟牛顿法（Newton's method & Quasi-Newton Methods）3. 共轭梯度法（Conjugate Gradient）4. 启发式优化方法5. 解决约束优化问题——拉格朗日乘数法我们每个人都会在我们的生活或者工作中遇到各种各样的最优化问题，比如每个企业和个人都要考虑的一个问题“在一定成本下，如何使利润最大化”等。
最优化方法是一种数学方法，它是研究在给定约束之下如何寻求某些因素(的量)，以使某一(或某些)指标达到最优的一些学科的总称。
随着学习的深入，博主越来越发现最优化方法的重要性，学习和工作中遇到的大多问题都可以建模成一种最优化模型进行求解，比如我们现在学习的机器学习算法，大部分的机器学习算法的本质都是建立优化模型，通过最优化方法对目标函数（或损失函数）进行优化，从而训练出最好的模型。
常见的最优化方法有梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法、共轭梯度法等等。
回到顶部1. 梯度下降法（Gradient Descent）梯度下降法是最早最简单，也是最为常用的最优化方法。
梯度下降法实现简单，当目标函数是凸函数时，梯度下降法的解是全局解。
一般情况下，其解不保证是全局最优解，梯度下降法的速度也未必是最快的。
梯度下降法的优化思想是用当前位置负梯度方向作为搜索方向，因为该方向为当前位置的最快下降方向，所以也被称为是”最速下降法“。
最速下降法越接近目标值，步长越小，前进越慢。
梯度下降法的搜索迭代示意图如下图所示：牛顿法的缺点：（1）靠近极小值时收敛速度减慢，如下图所示；（2）直线搜索时可能会产生一些问题；（3）可能会“之字形”地下降。
从上图可以看出，梯度下降法在接近最优解的区域收敛速度明显变慢，利用梯度下降法求解需要很多次的迭代。
在机器学习中，基于基本的梯度下降法发展了两种梯度下降方法，分别为随机梯度下降法和批量梯度下降法。
机器学习优化算法中梯度下降,牛顿法和拟牛顿法的优缺点详细介绍
机器学习优化算法中梯度下降,牛顿法和拟牛顿法的优缺点详细介绍 1、梯度下降法 梯度下降法实现简单，当目标函数是凸函数时，梯度下降法的解是全局解。
一般情况下，其解不保证是全局最优解，梯度下降法的速度也未必是最快的。
梯度下降法的优化思想：用当前位置负梯度方向作为搜索方向，因为该方向为当前位置的最快下降方向，所以也被称为是”最速下降法“。
最速下降法越接近目标值，步长越小，前进越慢。
缺点： 靠近极小值时收敛速度减慢，求解需要很多次的迭代； 直线搜索时可能会产生一些问题； 可能会“之字形”地下降。
2、牛顿法 牛顿法最大的特点就在于它的收敛速度很快。
优点：二阶收敛，收敛速度快； 缺点： 牛顿法是一种迭代算法，每一步都需要求解目标函数的Hessian矩阵的逆矩阵，计算比较复杂。
牛顿法收敛速度为二阶，对于正定二次函数一步迭代即达最优解。
牛顿法是局部收敛的，当初始点选择不当时，往往导致不收敛； 二阶海塞矩阵必须可逆，否则算法进行困难。
关于牛顿法和梯度下降法的效率对比： 从本质上去看，牛顿法是二阶收敛，梯度下降是一阶收敛，所以牛顿法就更快。
如果更通俗地说的话，比如你想找一条最短的路径走到一个盆地的最底部，梯度下降法每次只从你当前所处位置选一个坡度最大的方向走一步，牛顿法在选择方向时，不仅会考虑坡度是否够大，还会考虑你走了一步之后，坡度是否会变得更大。
所以，可以说牛顿法比梯度下降法看得更远一点，能更快地走到最底部。
（牛顿法目光更加长远，所以少走弯路；相对而言，梯度下降法只考虑了局部的最优，没有全局思想。
） 根据wiki上的解释，从几何上说，牛顿法就是用一个二次曲面去拟合你当前所处位置的局部曲面，而梯度下降法是用一个平面去拟合当前的局部曲面，通常情况下，二次曲面的拟合会比平面更好，所以牛顿法选择的下降路径会更符合真实的最优下降路径。
3、拟牛顿法 拟牛顿法的本质思想是改善牛顿法每次需要求解复杂的Hessian矩阵的逆矩阵的缺陷，它使用正定矩阵来近似Hessian矩阵的逆，从而简化了运算的复杂度。
迭代法(iterative method
迭代法(iterative method
迭代法是一种数学方法，通过不断地迭代逼近来求解数学问题。
这种方法通常用于求解方程、优化问题、积分问题等。
迭代法的基本思想是：给定一个初始值或初始解，然后根据一定的规则进行迭代，每次迭代都得到一个新的解，直到满足某个终止条件为止。
这个终止条件可以是精度要求、迭代次数限制等。
常见的迭代法包括：
1.牛顿迭代法：用于求解非线性方程的根，通过不断地逼近方程的根来求解。
2.梯度下降法：用于求解最优化问题，通过不断地沿着负梯度的方向搜索来找到最优
解。
3.牛顿-拉夫森方法：结合了牛顿法和二分法的优点，用于求解非线性方程的根。
4.雅可比迭代法：用于求解线性方程组，通过不断地逼近方程组的解来求解。
5.高斯-赛德尔迭代法：用于求解线性方程组，通过不断地逼近方程组的解来求解。
使用迭代法时需要注意初始值的选择、迭代规则的合理性、终止条件的设定等问题，以确保迭代过程的收敛性和有效性。
同时，迭代法也有一定的局限性，对于一些非线性问题或复杂问题，可能需要进行多次迭代或者采用其他方法进行求解。
对数几率回归的求解方法
对数几率回归的求解方法1. 标准求解：对数几率回归的求解方法主要是通过最大似然估计来实现。
最大似然估计的目标是找到一组参数，使得给定数据的观察概率最大化。
2. 梯度下降法：梯度下降法是一种迭代的优化算法，通过迭代更新参数来逐渐逼近最优解。
在对数几率回归中，可以利用梯度下降法来最大化似然函数。
3. 牛顿法：牛顿法是一种迭代的优化算法，通过逐步逼近最优解来最大化似然函数。
与梯度下降法不同，牛顿法利用目标函数的二阶导数来指导参数更新。
4. 拟牛顿法：拟牛顿法是一组近似牛顿法的优化算法。
它通过估计目标函数的海森矩阵或其逆矩阵来更新参数，从而实现对数几率回归的求解。
5. 共轭梯度法：共轭梯度法是一种用于求解线性方程组的优化算法，也可以用于求解对数几率回归。
它利用方向共轭性质来加速参数更新过程。
6. 正则化方法：正则化是一种用来控制模型复杂度的方法。
在对数几率回归中，可以引入L1正则化或L2正则化来降低过拟合的风险，并简化参数的求解过程。
7. 坐标下降法：坐标下降法是一种迭代的优化算法，它通过固定一部分参数而优化其他参数，以此来逐渐逼近最优解。
在对数几率回归中，可以使用坐标下降法来更新模型参数。
8. RANSAC算法：RANSAC（Random Sample Consensus）算法是一种鲁棒性较强的拟合算法。
在对数几率回归中，可以使用RANSAC算法来估计参数，并排除异常值的影响。
9. 改进的牛顿法：改进的牛顿法是对标准牛顿法的改进，通过引入阻尼因子来提高算法的稳定性。
在对数几率回归中，改进的牛顿法可以用来优化参数的求解。
10. 随机梯度下降法：随机梯度下降法是梯度下降法的一种变体。
它通过随机抽样小批量数据来更新参数，从而加快算法的收敛速度。
11. L-BFGS算法：L-BFGS（Limited-memory Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno）算法是一种省内存版本的拟牛顿法。
最优化问题的算法迭代格式
最优化问题的算法迭代格式最优化问题的算法迭代格式最优化问题是指在一定的条件下，寻找使某个目标函数取得极值（最大值或最小值）的变量取值。
解决最优化问题的方法有很多种，其中较为常见的是迭代法。
本文将介绍几种常用的最优化问题迭代算法及其格式。
一、梯度下降法梯度下降法是一种基于负梯度方向进行搜索的迭代算法，它通过不断地沿着目标函数的负梯度方向进行搜索，逐步接近极值点。
该方法具有收敛速度快、易于实现等优点，在许多应用领域中被广泛使用。
1. 算法描述对于目标函数 $f(x)$，初始点 $x_0$ 和学习率 $\alpha$，梯度下降算法可以描述为以下步骤：- 计算当前点 $x_k$ 的梯度 $\nabla f(x_k)$；- 更新当前点 $x_k$ 为 $x_{k+1}=x_k-\alpha\nabla f(x_k)$；- 如果满足停止条件，则输出结果；否则返回第 1 步。
2. 算法特点- 沿着负梯度方向进行搜索，能够快速收敛；- 学习率的选择对算法效果有重要影响；- 可能会陷入局部极小值。
二、共轭梯度法共轭梯度法是一种基于线性方程组求解的迭代算法，它通过不断地搜索与当前搜索方向共轭的新搜索方向，并在该方向上进行一维搜索，逐步接近极值点。
该方法具有收敛速度快、内存占用少等优点，在大规模问题中被广泛使用。
1. 算法描述对于目标函数 $f(x)$，初始点 $x_0$ 和初始搜索方向 $d_0$，共轭梯度算法可以描述为以下步骤：- 计算当前点 $x_k$ 的梯度 $\nabla f(x_k)$；- 如果满足停止条件，则输出结果；否则进行下一步；- 计算当前搜索方向 $d_k$；- 在当前搜索方向上进行一维搜索，得到最优步长 $\alpha_k$；- 更新当前点为 $x_{k+1}=x_k+\alpha_k d_k$；- 计算新的搜索方向 $d_{k+1}$；- 返回第 2 步。
2. 算法特点- 搜索方向与前面所有搜索方向都正交，能够快速收敛；- 需要存储和计算大量中间变量，内存占用较大；- 可以用于非线性问题的求解。
各种优化器Optimizer的总结与比较
各种优化器Optimizer的总结与⽐较1.梯度下降法(Gradient Descent) 梯度下降法是最基本的⼀类优化器，⽬前主要分为三种梯度下降法： 标准梯度下降法(GD, Gradient Descent) 随机梯度下降法(SGD, Stochastic Gradient Descent) 批量梯度下降法(BGD, Batch Gradient Descent) class tf.train.GradientDescentOptimizer 使⽤梯度下降算法的Optimizer tf.train.GradientDescentOptimizer(0.2).minimize(loss) 标准梯度下降法(GD) 假设要学习训练的模型参数为W，代价函数为J(W)，则代价函数关于模型参数的偏导数即相关梯度为ΔJ(W)，学习率为ηt，则使⽤梯度下降法更新参数为 其中，Wt表⽰tt时刻的模型参数 从表达式来看，模型参数的更新调整，与代价函数关于模型参数的梯度有关，即沿着梯度的⽅向不断减⼩模型参数，从⽽最⼩化代价函数 基本策略可以理解为”在有限视距内寻找最快路径下⼭“，因此每⾛⼀步，参考当前位置最陡的⽅向(即梯度)进⽽迈出下⼀步 评价：标准梯度下降法主要有两个缺点: 训练速度慢： 每⾛⼀步都要要计算调整下⼀步的⽅向，下⼭的速度变慢 在应⽤于⼤型数据集中，每输⼊⼀个样本都要更新⼀次参数，且每次迭代都要遍历所有的样本 会使得训练过程及其缓慢，需要花费很长时间才能得到收敛解 容易陷⼊局部最优解： 由于是在有限视距内寻找下⼭的反向 当陷⼊平坦的洼地，会误以为到达了⼭地的最低点，从⽽不会继续往下⾛ 所谓的局部最优解就是鞍点。
落⼊鞍点，梯度为0，使得模型参数不在继续更新 批量梯度下降法(BGD) 假设批量训练样本总数为nn，每次输⼊和输出的样本分别为X(i),Y(i)，模型参数为W，代价函数为J(W) 每输⼊⼀个样本ii代价函数关于W的梯度为ΔJi(Wt,X(i),Y(i))，学习率为ηt，则使⽤批量梯度下降法更新参数表达式为 其中，WtWt表⽰tt时刻的模型参数 从表达式来看，模型参数的调整更新与全部输⼊样本的代价函数的和（即批量/全局误差）有关。
凸优化证明题
凸优化证明题摘要：一、引言二、凸优化基本概念1.凸函数2.凸优化问题三、凸优化证明方法1.解析法2.梯度下降法3.牛顿法四、凸优化证明题实例解析1.解析法实例2.梯度下降法实例3.牛顿法实例五、结论正文：一、引言凸优化是运筹学中的一个重要分支，它在很多领域都有广泛的应用，例如机器学习、信号处理、经济学等。
凸优化问题的解决可以帮助我们找到最优解，从而提高效率和降低成本。
在解决凸优化问题时，证明是一个关键环节。
本文将介绍凸优化证明题的解题方法。
二、凸优化基本概念1.凸函数凸函数是指在其定义域内，任意两点之间的函数值都大于等于这两点连线的函数。
凸函数的图像呈现出一种向上凸起的形状。
2.凸优化问题凸优化问题是指在给定凸函数目标函数和凸约束条件下，寻找一个最优解的问题。
凸优化问题的解具有最优性，即任意其他解都至少和最优解一样差。
三、凸优化证明方法1.解析法解析法是凸优化证明中最常用的方法。
它主要通过分析目标函数和约束条件的性质，推导出最优解的存在性和唯一性。
2.梯度下降法梯度下降法是一种迭代优化算法，它是解决凸优化问题的有效工具。
通过计算目标函数的梯度，并不断更新解的方向，最终可以收敛到最优解。
3.牛顿法牛顿法是一种二阶优化算法，它具有更快的收敛速度。
牛顿法通过计算目标函数的二阶梯度，并更新解的方向，同样可以收敛到最优解。
四、凸优化证明题实例解析1.解析法实例假设我们要解决以下凸优化问题：最小化：f(x) = x^2约束条件：g(x) = x - 1 ≤ 0我们可以通过解析法证明，该问题的最优解为x=1。
2.梯度下降法实例我们继续以上述凸优化问题为例，使用梯度下降法求解。
初始解：x0 = 2学习率：α= 0.1迭代次数：T = 100通过梯度下降法，我们可以得到最优解x≈1.0000。
3.牛顿法实例我们再以上述凸优化问题为例，使用牛顿法求解。
初始解：x0 = 2迭代次数：T = 10通过牛顿法，我们可以得到最优解x≈1.0000。
如何在Matlab中进行迭代优化和迭代求解
如何在Matlab中进行迭代优化和迭代求解引言：Matlab是一种非常强大和流行的数值计算软件，广泛应用于工程、科学和数学等领域。
在问题求解过程中，迭代优化和迭代求解是常常使用的技术。
本文将介绍如何在Matlab中利用迭代方法进行优化和求解，以及相关的技巧和应用。
一、什么是迭代优化和迭代求解迭代优化指的是通过多次迭代，逐步接近优化问题的最优解。
常用的迭代优化方法包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
迭代求解则是通过多次迭代，逐步逼近方程或问题的解，常用的迭代求解方法有牛顿迭代法、弦截法、二分法等。
二、迭代优化的基本原理与方法1. 梯度下降法（Gradient Descent）:梯度下降法是一种常用的迭代优化方法，用于寻找函数的极小值点。
其基本原理是通过计算函数对各个变量的偏导数，从当前点开始沿着负梯度的方向迭代更新，直至达到最小值。
在Matlab中，可以利用gradient函数计算梯度向量，并通过循环迭代实现梯度下降法。
2. 牛顿法（Newton's Method）:牛顿法是一种迭代优化方法，用于求解非线性方程的根或函数的极值点。
其基本思想是利用函数的局部线性近似，通过求解线性方程组来得到函数的极值点。
在Matlab中，可以使用fminunc函数来实现牛顿法。
3. 拟牛顿法（Quasi-Newton Methods）:拟牛顿法是一类迭代优化方法，主要用于求解无约束非线性优化问题。
其基本思想是通过构造逼近目标函数Hessian矩阵的Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）公式或拟牛顿方法中的其他公式，来估计目标函数的梯度和Hessian矩阵。
在Matlab中，可以利用fminunc函数，并设置算法参数来实现拟牛顿法。
三、迭代求解的基本原理与方法1. 牛顿迭代法（Newton's Method）：牛顿迭代法是一种常用的迭代求解方法，用于求解方程或问题的根。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
梯度下降和牛顿迭代的优化算法比较梯度下降和牛顿迭代是两种常见的优化算法。
它们都被广泛应用于机器学习、深度学习和数值优化等领域。
本文将比较这两种优化算法的优缺点及适用范围。
1. 梯度下降算法
梯度下降算法是一个基于迭代的优化方法，用于寻找一个函数的最小值。
这个函数可以是连续可导的，也可以是凸函数。
梯度下降算法通过在每一步中移动到函数值最小化的方向上的某个位置来逐渐逼近函数的最小值。
梯度下降算法的主要优点是它的简单性和效率。
它是一种常见的优化算法，易于实现，并且可以用于大型数据集的计算。
梯度下降算法也具有可扩展性和高度优化的特性。
然而，它也有一些显著的缺点。
梯度下降算法的一个主要缺点是，它往往会停留在局部最小值处，而不是全局最小值处。
然而，这个问题可以通过使用随机梯
度下降（SGD）算法或者学习速率调节来解决。
此外，梯度下降算法的收敛速度通常很慢。
2. 牛顿迭代算法
牛顿迭代算法是一种优化算法，也是一种数值方法。
它的主要思想是通过构建一个二次近似函数来加速收敛，以寻找函数的极小值。
它更快地收敛到最小值处，而不仅仅是朝着费解的梯度方向前进。
牛顿迭代算法的主要优点是它的收敛速度比梯度下降算法要快得多。
此外，牛顿算法有时可以避免一些难以调节的问题。
牛顿迭代算法的主要缺点是，它不残值的贡献可以非常大，并且占用更多的内存。
它也更难以实现，并且可能对不连续可导的函数发挥不佳。
3. 梯度下降算法 vs. 牛顿迭代算法
梯度下降算法和牛顿迭代算法都有它们的优缺点。
梯度下降算
法通常更容易实现，收敛速度较慢，但可以使用学习率变化等技
巧来改进。
另一方面，牛顿迭代算法的收敛速度更快，但也需要
更多的内存和计算机算力。
总体而言，梯度下降算法适用于大规模数据集、具有许多特征
的问题；而牛顿迭代算法适用于精度要求高、数据较少和特征较
少的问题。
对于非凸函数，随机梯度下降（SGD）或者其他优化
技巧可能更适合使用。
在选择一种算法时，需要根据具体的问题、数据集和需求，权衡各种优缺点。
总的来说，梯度下降算法和牛顿迭代算法都是优秀的优化算法，可以应用于不同领域的问题中。
机器学习、深度学习和数值优化
等领域需要清晰了解这些算法的优缺点，并根据具体情况进行选择。