优化算法和梯度下降法
直线拟合的四种方法
直线拟合的四种方法
1、最小二乘法：它是利用正规方程求解线性回归方程的最优解，通过该方法求出最小二乘平方和最小，即最小误差的直线的斜率和截距；
2、梯度下降法：它是一种迭代优化算法，通过不断更新参数使损失函数最小；
3、随机梯度下降法：它是一种迭代优化算法，但比梯度下降法更加高效，它每次只需要使用一小部分的样本数据，依次更新参数使损失函数最小；
4、正则化线性回归：它是一种线性回归方法，该方法通过在损失函数中加入正则化项来抑制参数的极端值，使模型较为简洁，以达到优化参数的目的。
梯度下降法原理
梯度下降法原理
梯度下降法是一种优化算法，主要用于寻找函数的最小值。
它的基本原理是通过不断迭代更新参数，从而逐步接近函数的最小值点。
1. 初始化参数：选择一个初始点作为起始点，即确定函数的初始参数。
2. 计算梯度：在当前参数点处，计算函数的梯度。
梯度是函数在某一点的偏导数，表示函数在该点上升最快的方向。
3. 更新参数：根据梯度的信息，更新参数点。
具体更新方法有多种，最常见的是通过参数点减去学习率乘以梯度的方法进行更新。
4. 判断收敛：判断当前参数点是否满足收敛条件。
可以通过设定一个阈值，当参数的变化小于阈值时停止迭代。
5. 迭代更新：如果参数点不满足收敛条件，则返回步骤2，继续进行梯度的计算和参数的更新，直到满足收敛条件为止。
通过以上步骤，梯度下降法不断迭代更新参数，直到找到函数的最小值点。
需要注意的是，梯度下降法只能保证找到局部最小值，并不一定能找到全局最小值。
此外，学习率是一个重要的超参数，过大或过小的学习率都会影响梯度下降法的性能，因此需要合理选择学习率。
梯度下降法 工作原理
梯度下降法工作原理
梯度下降法是一种优化算法，用于寻找函数的最小值。
其工作原理如下：
1.初始化参数：选择一个起始点作为初始参数，这可以是任意值或随机选择的值。
2.计算损失函数的梯度：计算当前参数点处的损失函数的梯度。
梯度表示损失函数在每个参数维度上的变化率。
3.更新参数：使用梯度信息来更新参数，以使损失函数的值减小。
更新参数的方法是沿着梯度的反方向进行调整。
4.迭代更新：重复步骤2和3，直到满足停止准则（如达到预设的最大迭代次数或损失函数值减小到足够小的值）。
5.输出结果：最终的参数值即为使损失函数最小化的参数值。
梯度下降法通过不断地沿着梯度的反方向移动参数，逐渐找到使损失函数最小化的最优解。
在机器学习和深度学习中，梯度下降法被广泛用于训练模型和优化模型参数。
数学中的优化问题
数学中的优化问题数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念的学科，优化问题是数学中一个重要的研究领域。
优化问题涉及到如何在给定的约束条件下，找到使目标函数取得最大或最小值的最优解。
在本文中，我们将探讨数学中的优化问题及其应用。
一、最优化问题的定义最优化问题是指在有限资源和给定约束条件下，寻找某一目标函数的最优解。
最优化问题既可以是求最大值，也可以是求最小值。
目标函数即我们需要优化的量，而约束条件则规定了该问题的限制条件。
二、优化问题的分类优化问题可以分为数学规划问题和凸优化问题。
数学规划问题是指在给定约束条件下，寻找目标函数的最优解，其中约束条件可以是线性或非线性的。
凸优化问题是指在给定的凸约束条件下，寻找凸目标函数的最优解。
三、优化问题的应用优化问题在各个领域都有广泛的应用，例如：1. 经济学：优化问题在经济学中被广泛应用，用于求解最优的资源分配方案，最大化利润或最小化成本等。
2. 运筹学：运筹学是研究如何在给定约束条件下，进行最优决策的学科。
优化问题在运筹学中起到了重要的作用，例如在物流规划、生产调度、交通优化等方面的应用。
3. 机器学习：机器学习中的许多问题可以被看作是优化问题，例如参数的最优选择、模型的最优拟合等。
4. 工程学：在工程学中，优化问题可以用于设计最优的结构、最佳的控制策略等。
5. 生物学：在生物学研究中，优化问题被用于模拟和分析生物系统的行为，例如生态系统的最优稳定性等。
四、优化算法为了解决优化问题，人们开发了许多优化算法。
常用的优化算法包括：1. 梯度下降法：梯度下降法是一种迭代的优化算法，通过沿着目标函数的负梯度方向不断更新参数的值，逐步接近最优解。
2. 共轭梯度法：共轭梯度法是一种迭代的优化算法，常用于求解线性规划问题。
3. 遗传算法：遗传算法模拟自然界中的进化过程，通过遗传操作（交叉、变异等）来不断搜索最优解。
4. 粒子群算法：粒子群算法模拟鸟群中鸟的行为，通过模拟每个个体的位置和速度来搜索最优解。
数值优化算法
数值优化算法在现代科学和工程中，数值优化算法被广泛应用于解决各种复杂问题。
数值优化算法是一种寻找函数极值的方法，这些函数可能具有多个自变量和约束条件。
数值优化算法对于在实际问题中找到最佳解决方案至关重要。
本文将介绍几种常见的数值优化算法及其应用。
一、梯度下降法梯度下降法是一种常用的数值优化方法。
它通过寻找损失函数的梯度来更新参数，以在每次迭代中逐步接近极值点。
梯度下降法的优势在于简单易实现，并且在大规模数据集上的表现良好。
这使得它成为许多机器学习算法中参数优化的首选方法。
二、牛顿法牛顿法是一种用于寻找函数极值点的迭代优化算法。
它利用函数的一阶导数和二阶导数信息来逼近极值点。
与梯度下降法相比，牛顿法的收敛速度更快，但它的计算复杂度更高。
牛顿法在求解高维问题或拟合复杂曲线时表现出色。
三、遗传算法遗传算法是一种模拟生物遗传和进化过程的优化算法。
它通过使用选择、交叉和变异等操作，模拟自然界的进化规律，来寻找函数的最优解。
遗传算法适用于复杂问题，能够在搜索空间中找到全局最优解。
在函数不可导或离散问题中，遗传算法能够提供有效的解决方案。
四、模拟退火算法模拟退火算法是一种启发式搜索算法，模拟了金属退火过程中原子随温度变化的行为。
模拟退火算法以一定的概率接受更差的解，并以较低的概率逐渐收敛到全局最优解。
模拟退火算法对局部极小点有一定的免疫能力，并且在大规模离散优化问题中表现出优越性。
五、粒子群算法粒子群算法是一种基于群体行为的优化算法。
它模拟了鸟群觅食的行为，通过迭代寻找问题的最优解。
粒子群算法通过评估适应度函数来引导粒子的移动，从而逐渐靠近最优解。
这种算法适用于多目标优化问题和高维函数优化。
结论数值优化算法在科学和工程领域扮演着至关重要的角色。
梯度下降法、牛顿法、遗传算法、模拟退火算法和粒子群算法是几种常见的数值优化方法。
它们各自具有不同的优势和适用范围，可以根据问题的特点选择合适的优化算法。
通过应用这些优化算法，可以帮助科学家和工程师在实际问题中找到最佳解决方案，推动技术的进步和创新。
梯度下降算法及优化方法
梯度下降算法及优化⽅法序⾔对于y=f(wx+b),如何使⽤神经⽹络来进⾏求解，也就是给定x和y的值，如何让系统⾃动⽣成正确的权重值w和b呢？⼀般情况下，有两种尝试⽅法：1）随机试：纯概率问题，⼏乎不可能实现。
2）梯度下降法：先初始化w和b(可以随机设置，也可以⼈为默认)，然后使⽤下降算法来对w和b进⾏更新。
都有哪些⽅法？到底哪种⽅法更好？⽬录⼀、基础知识⼆、SGD三、Momentum四、Adagrad五、Adadelta六、RMSProp七、Adam正⽂⼀、基础知识斜率：在⼀维空间上，斜率就是函数的导数；梯度：在多维空间⾥，函数的导数叫梯度，梯度是偏导数组成的向量；⼆、SGD⼀般情况下，SGD指Mini-batch GD，（GD可分为三种：Batch GD，Stochastic GD，mini-batch GD）SGD就是每次迭代计算mini-batch的梯度，然后对参数进⾏更新：1）gt=∇θt−1f(θt−1)2）Δθt=−η∗gt其中，η是学习率，gt是梯度SGD完全依赖于当前batch的梯度，η可理解为允许当前batch的梯度多⼤程度影响参数更新。
劣势：1、学习率LR选择⽐较困难2、对所有参数都使⽤相同的LR：在数据不均衡的情况下，如稀疏特征希望更新快些，常出现特征出现慢些时，SGD不太满⾜要求。
3、容易收敛到局部最优，有可能被困于鞍点三、Momentum积累之前的动量来替代梯度1）mt=µ∗mt−1+gt2）Δθt=−η∗mt其中，µ是动量因⼦梯度下降前期：使⽤上⼀次参数来更新，下降⽅向⼀致，乘上较⼤的µ能够进⾏很好的加速梯度下降后期，在局部最⼩值来回震荡的时候，gradient→0，µ使得更新幅度增⼤，跳出陷阱梯度⽅向改变时，µ能够减少更新结论：momentum项能够加速SGD，抑制振荡，从⽽加快收敛四、Adagrad对学习率进⾏了约束：nt=nt−1+gt2Δθt=−η/(√nt+ϵ)∗gt此处，对gt从11到tt进⾏⼀个递推形成⼀个约束项regularizer:−1/√(∑r=1t(gr)2+ϵ) ，ϵ⽤来保证分母⾮0特点：前期gt较⼩的时候， regularizer较⼤，能够放⼤梯度后期gt较⼤的时候，regularizer较⼩，能够约束梯度适合处理稀疏梯度缺点：由公式可以看出，仍依赖于⼈⼯设置⼀个全局学习率η设置过⼤的话，会使regularizer过于敏感，对梯度的调节太⼤中后期，分母上梯度平⽅的累加将会越来越⼤，使gradient→0，使得训练提前结束五、Adadelta对Adagrad的扩展，也是对学习率进⾏⾃适应约束，但对计算进⾏了简化。
最优化问题的算法迭代格式
最优化问题的算法迭代格式最优化问题的算法迭代格式最优化问题是指在一定的条件下，寻找使某个目标函数取得极值（最大值或最小值）的变量取值。
解决最优化问题的方法有很多种，其中较为常见的是迭代法。
本文将介绍几种常用的最优化问题迭代算法及其格式。
一、梯度下降法梯度下降法是一种基于负梯度方向进行搜索的迭代算法，它通过不断地沿着目标函数的负梯度方向进行搜索，逐步接近极值点。
该方法具有收敛速度快、易于实现等优点，在许多应用领域中被广泛使用。
1. 算法描述对于目标函数 $f(x)$，初始点 $x_0$ 和学习率 $\alpha$，梯度下降算法可以描述为以下步骤：- 计算当前点 $x_k$ 的梯度 $\nabla f(x_k)$；- 更新当前点 $x_k$ 为 $x_{k+1}=x_k-\alpha\nabla f(x_k)$；- 如果满足停止条件，则输出结果；否则返回第 1 步。
2. 算法特点- 沿着负梯度方向进行搜索，能够快速收敛；- 学习率的选择对算法效果有重要影响；- 可能会陷入局部极小值。
二、共轭梯度法共轭梯度法是一种基于线性方程组求解的迭代算法，它通过不断地搜索与当前搜索方向共轭的新搜索方向，并在该方向上进行一维搜索，逐步接近极值点。
该方法具有收敛速度快、内存占用少等优点，在大规模问题中被广泛使用。
1. 算法描述对于目标函数 $f(x)$，初始点 $x_0$ 和初始搜索方向 $d_0$，共轭梯度算法可以描述为以下步骤：- 计算当前点 $x_k$ 的梯度 $\nabla f(x_k)$；- 如果满足停止条件，则输出结果；否则进行下一步；- 计算当前搜索方向 $d_k$；- 在当前搜索方向上进行一维搜索，得到最优步长 $\alpha_k$；- 更新当前点为 $x_{k+1}=x_k+\alpha_k d_k$；- 计算新的搜索方向 $d_{k+1}$；- 返回第 2 步。
2. 算法特点- 搜索方向与前面所有搜索方向都正交，能够快速收敛；- 需要存储和计算大量中间变量，内存占用较大；- 可以用于非线性问题的求解。
梯度求解方法
梯度求解方法梯度求解方法是一种常用的优化算法，用于求解函数的极值点。
在机器学习和深度学习中，梯度求解方法被广泛应用于模型训练和参数优化过程中。
本文将介绍梯度求解方法的原理和常用的算法，以及其在实际应用中的一些注意事项。
一、梯度的概念在数学中，梯度是一个向量，表示函数在某一点上的变化率最大的方向。
对于多元函数而言，梯度是一个向量，其每个分量分别对应函数在每个自变量上的偏导数。
梯度的方向指向函数在某一点上变化最快的方向，而梯度的模表示函数在该点上的变化率。
二、梯度下降法梯度下降法是一种基于梯度的优化算法，用于求解函数的极小值点。
其基本思想是从一个初始点开始，沿着梯度的反方向迭代更新自变量，直到达到收敛条件或迭代次数达到上限。
具体来说，梯度下降法的更新规则如下：1. 初始化自变量的初始值；2. 计算当前点的梯度；3. 根据梯度的反方向更新自变量；4. 重复步骤2和3，直到达到收敛条件或迭代次数达到上限。
在梯度下降法中，学习率是一个重要的超参数，它控制了自变量在每次迭代中的更新幅度。
学习率过大可能导致震荡或发散，学习率过小可能导致收敛速度过慢。
三、常用的梯度下降算法1. 批量梯度下降法（Batch Gradient Descent，BGD）：在每次迭代中，BGD使用全部训练样本计算梯度，并更新自变量。
BGD的优点是每次迭代都朝着全局最优解的方向前进，但计算梯度的代价较高。
2. 随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent，SGD）：在每次迭代中，SGD使用一个样本计算梯度，并更新自变量。
SGD的优点是计算梯度的代价较低，但由于每次迭代只使用一个样本，更新方向可能不够准确。
3. 小批量梯度下降法（Mini-batch Gradient Descent）：在每次迭代中，Mini-batch GD使用一小批样本计算梯度，并更新自变量。
这种方法综合了BGD和SGD的优点，既可以保证较准确的更新方向，又能降低计算梯度的代价。
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局部优化算法之一：梯度下降法
举例：y=x2/2-2x 计算过程： 任给一个初始出发点，设为 x0=-4。 (1) 首先给定两个参数： =1.5，=0.01； (2) 计算导数：dy/dx = x-2 (3) 计算当前导数值：y’=-6 (5) 计算当前导数值：y’=3.0 (4) 修改当前参数： (6) 修改当前参数： x0=-4 x1= x0 - *y’ x1=5.0 x2=5.0 – 1.5*(3.0) =0.5; =-4-1.5*(-6)=5.0;
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局部优化算法之一：梯度下降法
可见，当=1.5时，搜索呈现振荡形式，在极值 点附近反复搜索。可以证明，当<1.0时，搜索 将单调地趋向极值点，不会振荡；当>2.0时， 搜索将围绕极值点逐渐发散，不会收敛到极值点。 为了保证收敛，不应当太大。但如果过小，收敛 速度将十分缓慢。可以采用自适应调节的方法加 快收敛而又不至于发散。 问题：为何当很小时搜索总会成功？ 证明：（下页）
局部优化算法之一： 梯度下降法
李金屏 济南大学信息科学与工程学院 2006年9月
优化算法和运筹学
优化算法 许多实际问题利用数学建模的方法得到下面常规的优化形 式： min f(x)，s.t. g(x) ≥0, x∈D. 其中，x是一个n维矢量，D是问题的定义域，F可行域。 关于f(x)： 当x=(x)时，f(x)是一条曲线； 当x=(x1, x2)时，f(x1, x2)是一个曲面； 当x=(x1, x2, x3)时，f(x1, x2, x3)是一个体密度（或类位势 函数）； 当x=(x1, x2, …, xn)时，f(x1, x2, …, xn)是一个超曲面。
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优化算法和运筹学
曲面，自然有许多极大值和极小值，必然各有一 个全局最大值和全局最小值。 超曲面，与上相同。 有些算法，只能在自己的小范围内搜索极大值或 极小值。这些算法称为局部优化算法，常称为经 典优化算法。 另有些算法，可以在整个超曲面取值范围内搜索 最大值或最小值。这些算法称为全局性优化算法， 又称为现代优化算法。
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局部优化算法之一：梯度下降法
可以按照下述方式： x1= - *(dy/dx1), x2= - *(dy/dx2), …, xn= - *(dy/dxn). 其中>0是个小的正数。代入前式，有 f = - *(dy/dx1)*(dy/dx1) - *(dy/dx2)*(dy/dx2) - … - *(dy/dxn)*(dy/dxn) = - *[(dy/dx1)2 + (dy/dx2)2 + (dy/dxn)2] <0 即f<0。这样就可以保证搜索到极小值。 于是获得梯度下降法的搜索策略： x1= - *(dy/dx1), x2= - *(dy/dx2), …, xn= - *(dy/dxn).
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总结和作业
局部优化算法之一：梯度下降法 用于BP神经网络，Hopfield神经网络，模式 分类，求函数极值等。 相关内容：共轭梯度法
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局部优化算法之一：梯度下降法
y=f (x1, x2, …, xn)。假设只有一个极小点。 假设当前点为(x1, x2, …, xn)。下面修改当前参数： x1x1+x1, x2x2+x2, …, xnxn+xn. 显然问题在于xi (i=1,2,…, n)的确定。 于是，当前函数值为y=f (x1+x1, x2+x2, …, xn+xn). 可以按照泰勒级数展开为： y=f (x1, x2, …, xn) + f 其中f=x1*(dy/dx1)+ x2*(dy/dx2)+ … + xn*(dy/dxn) 如何保证f<0? (搜索极小值)
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dy f ' ( x) dx
局部优化算法之一：梯度下降法
一般情况下分析： y=f (x1, x2, …, xn) 假设只有一个极小点。初始给定参数为 （x10, x20, …, xn0）。问题： 从这个点如何搜索才能找到原函数的极小值点？ 方法： 1、首先设定一个较小的正数，; 2、求当前位置处的各个偏导数：dy/dx1, dy/dx2, …, dy/dxn; 3、按照下述方式修改当前函数的参数值： x10x10 dy/dx1, x20x20 dy/dx2, …, xn0xn0 dy/dxn; 4、如果超曲面参数变化量小于，退出；否则返回2。
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局部优化算法之一：梯度下降法
(7) 计算当前导数值： y’=-1.5 (8) 修改当前参数： x2=0.5x3=0.5-1.5*(-1.5) =2.75; (9) 计算当前导数值： y’=0.75 (10) 修改当前参数： x3=2.75 x4 = 2.751.5*(0.75) =1.625; (12) 修改当前参数：x4=1.625 (11) 计算当前导数值： x5 = 1.625-1.5*(-0.375)=2.1875; y’=-0.375 …
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优化算法和运筹学
一个简单 二维曲面
通常的运筹学，就是 经典的局部优化算法。 全局性优化算法通常 是随机性搜索。
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局部优化算法之一：梯度下降法
见右图。局部极小值是C 点（x0）。 梯度，即导数，但是有方 向，是一个矢量。曲线情 况下，表达式为
如果，f’(x)>0，则x增加，y也增加，相当于B点；如果f’(x)<0， 则x增加，y减小，相当于A点。 要搜索极小值C点，在A点必须向x增加方向搜索，此时与A点 梯度方向相反；在B点必须向x减小方向搜索，此时与B点梯度 方向相反。总之，搜索极小值，必须向负梯度方向搜索。