最优化Armijo算法确定步长的最速下降法
最速下降法简介
的梯度，记作
函数的梯度是一个向量，
在
处的梯度向量为：
梯度方向是函数在该点增长最快的方向，负梯度方向是函数 在该点减少最快的方向。 如下示意图：
令 p ( k ) ( x ( k ) ) ， k 为在 x
(k )
点沿最速下降
方向 p ( k ) 所走的距离，最优步长。 可有最速下降法的迭代公式：
x(2) x(1) 1 p1 ( 36 8 T , ) 31 31
13 62
关于相邻连个梯度的关系
n 1 1 n n 函数 : R R ； ( x) ( Ax, x) (b, x) aij xi x j b j x j 2 2 i 1 j 1 j 1
p1 f ( x (1) ) (4, 6)T x(1) p1 (2 4 ,1 6 )T
( ) f ( x(1) p1 ) (2 4 )2 3(1 6 ) 2
min ( x)
' ( ) 8(2 4 ) 36(1 6 ) 0 1
谢谢
最速下降法基本思想
从当前点 出发，取函数在该点 处下降最快的 方向作为搜索方向 。 任一点的负梯度方向是函数值在该点下降最快 的方向。 将n维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维 搜索方法寻优的问题。
定义函数：
，
可微。
梯度的概念： 是定义在 量为 即 上的可微函数，称以 的 n 个偏导数为分量的向
( p ( k 1) , p ( k ) ) (b A( x ( k ) p ( k ) ), p ( k ) ) ( p ( k ) , p ( k ) ) k ( Ap ( k ) , p ( k ) ) 0
最优化算法实验3-最速下降法
最速下降法Matlab实现实验目的：1.掌握迭代法求解无约束最优化问题的基本思想2.通过实验掌握最速下降法的Matlab算法的基本步骤实验内容：1.迭代法求解无约束最优化问题的基本思想给定一个初始点x(0), 按照某一迭代规则产生一个迭代序列{x(k)}. 使得若该序列是有限的, 则最后一个点就是原问题的极小点; 否则, 若序列{x(k)} 是无穷点列时, 它有极限点且这个极限点即为原问题的极小点.设x(k) 为第k 次迭代点, d(k) 为第k 次搜索方向, a(k)为第k 次步长因子, 则第k 次迭代完成后可得到新一轮(第k + 1 次) 的迭代点x(k+1) = x(k) + a(k) d(k).2.无约束优化问题迭代算法的一般框架步0 给定初始化参数及初始迭代点x(0). 置k := 0.步1 若x(k) 满足某种终止准则, 停止迭代, 以x(k) 作为近似极小点.步2 通过求解x(k) 处的某个子问题确定下降方向d(k).步3 通过某种搜索方式确定步长因子a(k), 使得f(x(k) + a(k) d(k)) < f(x(k)).步4 令x(k+1) := x(k) + a(k) d(k), k := k + 1, 转步1.3. 最速下降法的基本步骤步0 选取初始点x(0) ∈R^n, 容许误差0 ≤e ≪1. 令k := 1.步1 计算g(k) = ∇f(x(k)). 若‖g(k)‖≤e, 停算, 输出x(k)作为近似最优解.步2 取方向d(k)= −g(k).步3 由线搜索技术确定步长因子a(k),即min f(a(k))=f(x(k)+a(k)d(k)).步4 令x(k+1) := x(k) + a(k)d(k)), k := k + 1, 转步1.4. 编写最速下降法Matlab 程序5. 利用程序求解无约束最优化问题f(x，y)=x^2+2y^2的最优值.。
最速下降法原理及例题实例
一、最速下降法基本原理
(一) 无约束问题的最优性条件
无约束问题的最优解所要满足的必要条件和充分条件是我们设计算法的依据， 为此我们有以下 几个定理。 定理 1 设 f : R → R 在点 x ∈ R 处可微。若存在 p ∈ R ，使
n 1 n n
∇f ( x )T p < 0
则向量 p 是 f 在点 x 处的下降方向。 定理 2 设 f : R n → R1 在点 x∗ ∈ R n 处可微。若 x∗ 是无约束问题的局部最优解，则
令 再求单变量极小化问题
p1 = −∇f ( X 1 ) min f ( X 1 + tp1 )
t ≥0
的最优解.略去计算步骤，由表 1-1 给出计算结果.由表 1-1 可以知道， ∇f ( X ) = 0.09 < ε ，所以
7
X 7 = (2.28,1.15)T 为近似最优解，原问题的近似最优值为 0.007 .
T T
α1 =
因此
22 1 = 2 3× 2 3
X ( 2) = X (1) + α1d (1) = [0, 0] +
T
1 2 T ,0 [ 2, 0] = 3 3
T
再计算第二轮循环，表 1-2 列出了各次迭代的计算结果。共计算了 9 个点， ∇f ( X
(9)
) = 0.025 <
表 1-1 迭代次 数k
Xk (0.00,3.00)T (2.70,1.51)T (2.52,1.20)T (2.43,1.25)T (2.37,1.16)T (2.33,1.18)T (2.30,1.14)T (2.28,1.15)T
f (X k ) 52.00
最速下降法-最优化方法
（4）f
(
X
)
3
(0.04,0.04)T
,
f ( X 3) 2 0.0032 0.01
X 3 已达到预定精度要求，迭代终止。
故f（x）的无约束近似极小点为
X X 3 (0.96,1.44)T
注：原问题的精确极小点为
X (1,1.5)T
3. 最速下降法性质与评价
x1 x1
2 2
x2 x2
1 1
（1） X 0 (1,1)T
,
f
(
X
)
0
(1,1)T
,
P0
f
(
X
)
0
(1,1)T
X P (t ) f( 0 t
)
0
5t 2
2t
1
,t>0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
应用一维搜索技术，可解得 (t) 的极小点为t0=0.2
所以 X 1 X 0 t0 P0 (1,1)T 0.2(1,1)T (0.8,1.2)T
X X P
Y f (X ) N 输出X
停止
例3.18 用最速下降法求解无约束优化问题：
x x x x x x min f (X ) 2 2 2
2
1
12
2
1
2
初始点 X 0 (1,1)T
,迭代终止准则为
f
(X k)
2
0.01
。
解：
f
(
X
)
4 2
1. 最速下降法原理 2. 最速下降法算法 3. 最速下降法性质与评价
最优化Armijo算法确定步长的最速下降法资料
最优化Armijo算法确定步长的最速下降法资料最速下降法是最优化算法中最简单、最基础的一种方法，但其收敛速度较慢且容易陷入局部最优解。
因此，在最速下降法的基础上，可以通过引入步长的方法来提高算法的收敛速度。
而Armijo算法就是一种常见的用于确定步长的方法。
最速下降法基础假设我们要最小化目标函数f(x)，那么最速下降法的思路就是从一个初始点x0开始，不断朝着负梯度方向进行迭代，直到找到最优解x∗，即：$x_{k+1} = x_k - \\alpha_k \ abla f(x_k)$其中，ablaf(x k)是f(x)在x k处的梯度，$\\alpha_k$ 是步长（也称为学习率），表示每次迭代的步长大小。
但这里还有一个问题：如何确定每次迭代的步长呢？Armijo算法Armijo算法是一种基于梯度下降法的步长确定方法。
它的思路是，每次迭代的步长不应该过大，否则容易导致超出收敛区域。
同时，步长也不应该过小，否则收敛速度会变得非常缓慢。
因此，步长的大小应该恰到好处，即在一定范围内找到一个最优的步长大小。
具体地，Armijo算法通过二分搜索的方法，在可行步长范围内找到一个最优的步长 $\\alpha_k$。
具体过程如下：1.首先初始化 $\\alpha_0$，并设定一些参数，如尝试步长大小t、可行步长下界 $\\tau$ 和函数下降的最小比例 $\\gamma$。
2.计算目标函数f(x k−t ablaf(x k))，以及根据一定准则确定下一个$\\alpha$。
3.如果 $f(x_k - \\alpha_k\ abla f(x_k))$ 函数值比f(x k)减小了一些比例$\\gamma$，则认为当前 $\\alpha_k$ 是可行的步长。
4.如果当前 $\\alpha_k$ 不是可行的步长，则将其折半，即 $\\alpha_k\\leftarrow \\alpha_k/2$，直到找到一个可行的步长为止。
使用精确搜索算法确定步长的最速下降法
数学与计算科学学院
实验报告
实验项目名称使用精确搜索算法确定步长的最速下降法所属课程名称最优化方法
实验类型算法编程
实验日期201
班级
学号
姓名
成绩
令,k:=k+1
【实验结论】
最小值：0.0006096631611
最优解时：x1=0.0329218107
X2=-0.008230452675
附录1：源程序
附录2：实验报告填写说明
1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致.
2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求.
3．实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识.
4．实验环境：实验用的软、硬件环境.
5．实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容.概括整个实验过程.
对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作.对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明.对于创新性实验，还应注明其创新点、特色. 6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析.
7．实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果，做出结论.
8．实验小结：本次实验心得体会、思考和建议.
9．指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价.。
最速梯度下降法
最速梯度下降法梯度下降法作为一种优化算法，可以用于解决众多的机器学习问题。
在梯度下降法的基础上，最速梯度下降法进一步优化了求解速度，同时也增强了算法的收敛性。
本文就对最速梯度下降法做一些详细介绍和分析。
最速梯度下降法的简介最速梯度下降法（Steepest Descent）是一种梯度下降优化算法，也是最早被提出的一种梯度下降法，旨在最小化一个连续可导的目标函数。
该算法通过沿负梯度方向迭代的方式优化模型，支持凸函数和非凸函数的优化，是一种常用的凸性和非凸性优化方法。
它在支持芯片设计、信号处理、图像处理和机器学习等任务中都有广泛应用。
最速梯度下降法的原理最速梯度下降法的原理是以梯度下降法为基础的，通过选择目标函数每一步的最优步长进行更新，从而加速了收敛，因此被称为最速算法。
梯度下降法是通过计算目标函数的梯度，沿着梯度方向不断移动，从而实现最小化目标函数的优化过程。
因此，最速梯度下降法也依赖于目标函数的梯度，每一步的向量更新可通过以下公式来计算：x^{(k+1)}=x^{(k)}-\alpha_k\bigtriangledownf(x^{(k)})其中， x^{(k)} 代表第 k 步迭代时的位置，\bigtriangledown f(x^{(k)}) 代表在 x^{(k)} 处的梯度，α_{k} 代表步长。
在这个迭代过程中，如果选择合适的步长，就可以实现最速收敛。
最速梯度下降法针对性地选择每一步的最优步长，因此提高了收敛速度和稳定性。
损失函数在某些情况下也会很坚固，因此，当损失函数是凸函数的时候，最速梯度下降法总是能够找到全局最优解。
最速梯度下降法的优缺点最速梯度下降法的优点主要有以下几点:1. 实现简单：由于是在梯度下降法的基础上进行优化，因此非常容易理解和实现。
2. 收敛速度快: 由于算法能够准确地选择每一步的最优步长，因此收敛速度更快。
3. 对于许多不平滑和非凸函数的优化都很有效。
但是，最速梯度下降法也有其缺点：1. 选取步长困难: 最速梯度下降法每一次都要找到最优的步长，但是这个步长很难求出。
matlab 最速下降法
MATLAB最速下降法引言最速下降法是一种优化算法，以迭代的方式寻找函数的最小值。
在MATLAB中，可以使用最速下降法对函数进行优化。
本文将详细介绍MATLAB中最速下降法的原理、应用和实现方法。
最速下降法原理最速下降法也称为梯度下降法，其核心思想是在每个迭代步骤中，沿着当前位置的负梯度方向下降，以实现函数的局部最小化。
最速下降法的迭代公式如下：x(k+1) = x(k) - λ * ∇f(x(k))其中，x(k+1)为下一次迭代的位置，x(k)为当前位置，λ为步长（学习率），∇f(x(k))为函数f(x)在x(k)点的梯度。
最速下降法的应用最速下降法广泛应用于函数优化、机器学习等领域。
它可以用来解决以下问题： 1. 函数优化：最速下降法可以根据函数的梯度信息找到函数的局部最小值，从而实现函数优化。
2. 机器学习：在机器学习中，最速下降法可以用于参数的求解，以最小化损失函数。
MATLAB中的最速下降法在MATLAB中，可以使用fminunc函数来实现最速下降法。
下面是使用MATLAB实现最速下降法的步骤： 1. 定义目标函数：首先，需要定义一个目标函数，即待优化的函数。
2. 定义初始值：选择一个合适的初始值作为最速下降法的起点。
3. 设置迭代终止条件：可以设置迭代次数上限或设定迭代误差阈值。
4. 调用fminunc函数：使用fminunc函数进行最速下降法的优化。
5. 获取优化结果：获取优化后的最优解和函数值。
下面是一个使用最速下降法优化的例子：% 定义目标函数function f = myfunc(x)f = (x(1)-1)^2 + (x(2)-2)^2;end% 定义初始值x0 = [0, 0];% 调用fminunc函数进行最速下降法的优化[xopt, fopt] = fminunc(@myfunc, x0);最速下降法的优缺点最速下降法的优点包括：简单易实现、收敛速度较快。
然而，最速下降法也存在一些缺点： 1. 收敛速度慢：最速下降法的收敛速度较慢，特别是对于目标函数呈现弯曲形状的情况。
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数学与计算科学学院
实验报告
实验项目名称使用非精确线搜索Armijo算法确定步长的最速下降法
所属课程名称最优化方法
实验类型算法编程
实验日期
班级
学号
姓名
成绩
)]
(-)([11-)(-)( )2.3(||-||2
1)-()-(21)(-)( 0)( )(,*
2
*
12
**T *****x f x f x f x f x x x x Q x x x f x f q Qx x f x q Qx x f k k Q ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤==
=+=∇+=∇+κκ可以改写成
所以则处且在由于对于二次函数.,( .,1 , ,1,,,)2.3(算法收敛很慢接近病态）较大时而当求出最优解算法只需一次迭代即可的所有特征值相等时即当特别最速下降收敛很快接近于当有关的条件数矩阵最速下降的收敛速度与看到由收敛速度估计式Q Q Q κκκκ=
结论：最速下降法的收敛速度比较慢，通常将其用在某些算法的初始阶段求较好的初始点或作为某些算法的间插步.
【实验环境】
Win 7； Matlab7.0
二、实验内容： 【实验方案】
1、求梯度；
2、向梯度相反的方向移动x ，其中 为步长。
如果步长足够小，则可以保证每一次迭代都在减小，但可能导致收敛太慢，如果步长太大，则不能保证每一次迭代都减少，也不能保证收敛。
3、循环迭代步骤2，直到x 的值变化到使得在两次迭代之间的差值足够小，比如0.00000001，也就是说，直到两次迭代计算出来的基本没有变化，则说明此时
已经达
到局部最小值了。
4、此时，输出x ，这个x 就是使得函数
最小时的x 的取值 。
【实验过程】
梯度下降法的计算过程就是沿梯度下降的方向求解极小值（也可以沿梯度上升方向求解极大值）。
其迭代公式为
,其中
代表梯度负方向，
表示梯度方向上的搜索步
长。
梯度方向我们可以通过对函数求导得到，步长的确定比较麻烦，太大了的话可能会发散，
太小收敛速度又太慢。
一般确定步长的方法是由线性搜索算法来确定，即把下一个点的坐标ak+1看做是的函数，然后求满足f(ak+1)的最小值的 即可。
因为一般情况下，梯度向量为0的话说明是到了一个极值点，此时梯度的幅值也为0.而采用梯度下降算法进行最优化求解时，算法迭代的终止条件是梯度向量的幅值接近0即可，可以设置个非常小的常数阈值。
【实验结论】（结果）
梯度下降法处理一些复杂的非线性函数会出现问题，例如Rosenbrock函数：
其最小值在处，函数值为。
但是此函数具有狭窄弯曲的山谷，最小
点就在这些山谷之中，并且谷底很平。
优化过程是之字形的向极小值点靠近，速度非常缓慢。
靠近极小值时收敛速度减慢。
直线搜索时可能会产生一些问题。
可能会“之字形”地下降。
【实验小结】（收获体会）
这次的实验报告，使得我们对这些算法的思想更加了解，在选择线性搜索的方法时，我们深刻体会到各类参数设置对程序效率的重要性，不同的问题要选用合适的参数来求解，这样使得问题求解及程序运行的效率最高。
通过不断地翻阅课本，剖析程序，我们最后实现了对程序的修改和完善，对提供的问题作出了较好的解答。
总的来说，对无约束最优化的求解，每种方法在解决不同的问题中效果不能都达到最优，所以我们在实际应用中，要根据实际情况选择合适的方法，争取最大可能的尽快的接近最优。
本次实验不仅使我们基本了解了最优化的实用算法的结构及性能，而且也使得我们对matlab 的一些编程技巧更加熟悉，收获很大。
三、指导教师评语及成绩：
评语
评语等级
优良中
及
格
不及格
1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强
2.实验方案设计合理
附录1：源程序
附录2：实验报告填写说明
1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。
2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。
3．实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识。
4．实验环境：实验用的软、硬件环境。
5．实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容。
概括整个实验过程。
对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。
对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设
计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。
对于创新性实验，还应注明其创新点、特色。
6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。
7．实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果，做出结论。
8．实验小结：本次实验心得体会、思考和建议。
9．指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。