最优化之最速下降法PPT课件
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最速下降法课件
当 Q 为正定阵时，称 f (X) 为正定二次函数。
结论：正定二次函数 全局极小点：
有唯一
无约束问题4-4
一 . 最速下降法
收敛性问题的基本概念 最速下降法的迭代原理 最速下降法的迭代步骤 最速下降法的举例 最速下降法的收敛结论
无约束问题4-4
2 . 迭代原理
梯度的性质：函数f (X)在X(k)处的负梯度方向
无约束问题4-4
3 . 迭代步骤
无约束问题4-4
3 . 迭代步骤
注释：
10 停机准则： 设
连续( 即 f(X)连续可微) (一阶必要条件)
无约束问题4-4
3 . 迭代步骤
注释：
20 结论：一维搜索最优解的梯度
证明：
与搜索方向 正交
无约束问题4-4
3 . 迭代步骤
注释：
30 结论： 最速下降法的任何两个相邻搜索方向正交(垂直)
齿现象,函数值下降速度显著变慢.
优点： 计算简单,存储量小. 缺点：由于锯齿现象,迭代后期收敛速度变慢.
无约束问题4-4
一 . 最速下降法
收敛性问题的基本概念 最速下降法的迭代原理 最速下降法的迭代步骤 最速下降法的举例 最速下降法的收敛结论
无约束问题4-4
5 . 最速下降法的收敛结论
定义4-10
若
收敛于 ，且满足
则p称为
收敛于 的阶。
当 p = 1 时，称为一阶收敛； 当 p = 2 时，称为二阶收敛；
最速下降法 Newton法
当
时，称为超线性收敛；拟Newton法
无约束问题4-4
1.收敛性问题的基本概念
定义4-12
若某算法对于任意正定二次目标函数,从任意初始点 出发,都能经过有限次迭代达到其极小点,则该算法称 为具有二次终止性的算法或二次收敛算法.
最优化方法第二章_线搜索算法_最速下降法
f x1 , x2 c, c>0,
2
改写为：
x12 2c 1
2 x2
2c 2
2
1
二、最速下降法
x2
这是以
2c
1
和
2c
2
为半轴的椭圆
2c
2c
2
2
从下面的分析可见 两个特征值的相对
x1
大小决定最速下降法的收敛性。
（1）当 1 2 时，等值线变为圆
2 2
4 f x , 2
2 x1 2 x2 4 f ( x) , 2 x1 +4x2
4 d = f x , 2
0 0
=40 2 20 3 令 0= ' ( ) 80 20, 得 0 =1/4,
一
一维搜索
二 三 四
下 降 算 法
五
最速下降法 Newton法 共轭梯度法
多尺度法 （拟Newton法）
二、最速下降法 假设 f 连续可微，取 线搜索方向
k
d f ( x )
k
步长k 由精确一维搜索得到。 从而得到第 k+1次迭代点，即
f ( x k k d k ) min f ( x k d k )
(推论)在收敛定理的假设下，若f (x)为凸函数，则最速下降 法或在有限迭代步后达到最小点；或得到点列 x k ，它的任 何聚点都是 f (x)的全局最小点。
二、最速下降法
最速下降法特征：相邻两次迭代的方向互相垂直。
令
( ) f ( x d ), 利用精确一维搜索，可得
007最速下降和牛顿法-PPT文档资料
最速下降法 与牛顿法 SteepestDescent Methods & Newton Methods
内容提要
最速下降法 针对二次函数的收敛速度分析 收敛图示/香蕉函数 Newton法 实用Newton法 BB算法 一个有研究价值的例子 Matlab程序示例
steepest-descent direction
梯度 g= 4u’u u-4Au
Hessian矩阵 4u’u *I+8uu’-4A 改进幂法？ 思路一 Since A ≈uu’ (4u’u+4uu’) d = -g 用秩一求逆公式 u+=u + d 思路二 (12u’uu’u -4u’Au)/u’u * d=-g
Matlab程序示例 计算 Min ||A-X||F S.t. Rank(X)=1 X≥0
X = max(0,u1) *S(1,1)*max(0,-v1)'; temp3 = norm(A-X,'fro'); X = max(0,-u1) *S(1,1)*max(0,-v1)'; temp4 = norm(A-X,'fro') ; fval1 = min([temp1 temp2 temp3 temp4]);
m=10 n=20 残差 14.38 CPU 58.032s
function fval=opt_3(A) %直接调用无约束优化函数fminunc [m n]=size(A); [U,S,V] = svd(A); S11 = S(1,1); x=fminunc((x) myfun_3(x,A,S11),ones(n+m)); fval = myfun_3(x,A,S11); fval = sqrt(fval); function F = myfun_3(x,A,S11) [m n]=size(A); F=0; for i=1:m for j=1:n F = F+(A(i,j)-x(i)^2*S11*x(m+j)^2)^2; end end
内容提要
最速下降法 针对二次函数的收敛速度分析 收敛图示/香蕉函数 Newton法 实用Newton法 BB算法 一个有研究价值的例子 Matlab程序示例
steepest-descent direction
梯度 g= 4u’u u-4Au
Hessian矩阵 4u’u *I+8uu’-4A 改进幂法？ 思路一 Since A ≈uu’ (4u’u+4uu’) d = -g 用秩一求逆公式 u+=u + d 思路二 (12u’uu’u -4u’Au)/u’u * d=-g
Matlab程序示例 计算 Min ||A-X||F S.t. Rank(X)=1 X≥0
X = max(0,u1) *S(1,1)*max(0,-v1)'; temp3 = norm(A-X,'fro'); X = max(0,-u1) *S(1,1)*max(0,-v1)'; temp4 = norm(A-X,'fro') ; fval1 = min([temp1 temp2 temp3 temp4]);
m=10 n=20 残差 14.38 CPU 58.032s
function fval=opt_3(A) %直接调用无约束优化函数fminunc [m n]=size(A); [U,S,V] = svd(A); S11 = S(1,1); x=fminunc((x) myfun_3(x,A,S11),ones(n+m)); fval = myfun_3(x,A,S11); fval = sqrt(fval); function F = myfun_3(x,A,S11) [m n]=size(A); F=0; for i=1:m for j=1:n F = F+(A(i,j)-x(i)^2*S11*x(m+j)^2)^2; end end
最优化最速下降法,阻尼牛顿效率比较课件
f=f+100*(x(i+1)-x(i)^2)^2+(x(i)-1)^2; end
f=(x(1)-1)^2+(x(2)-2)^2; (精确解x=（1,2）,f=0) 初始点（0,0）、（1,2）、（5,5）、(-10，10)、（-30,30）
f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(x(1)-1)^2 (精确解x=（1,1）,f=0)
• while(m<20)
•
if(feval(fun,x0+rho^m*d)<feval(fun,x0)+sigma*rho^m*g'*d)
•
mk=m;break;
•
end
•
m=m+1;
• end
• x0=x0+rho^mk*d;
• k=k+1;
• end
• x=x0;
• val=feval(fun,x0);
一、算法思想
• 1、最速下降法：
• 最速下降法是求解无约束优化问题最简单和古老的方法之一， 虽然时至今日它不再具有使用性，但它却是研究其他无约束 优化算法的基础，许多有效算法都是以它为及基础通过改进 或修正而得到的。
• 2、阻尼牛顿法
• 初始点需要足够“靠近”极小点，否则，有可能导致算法不 收敛。由于实际问题的精确极小点一般是不知道的，因此， 初始点的选取给算法的实际操作带来了很大的困难，为了克 服这一困难，可引入线搜索技术以得到大范围收敛的算法， 即所谓的阻尼牛顿法.给出一个基于Armijo搜索的阻尼牛顿法。
• x=x(2:end);
• f=fun(x);
•
• for i=1:n
• for j=1:n
f=(x(1)-1)^2+(x(2)-2)^2; (精确解x=（1,2）,f=0) 初始点（0,0）、（1,2）、（5,5）、(-10，10)、（-30,30）
f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(x(1)-1)^2 (精确解x=（1,1）,f=0)
• while(m<20)
•
if(feval(fun,x0+rho^m*d)<feval(fun,x0)+sigma*rho^m*g'*d)
•
mk=m;break;
•
end
•
m=m+1;
• end
• x0=x0+rho^mk*d;
• k=k+1;
• end
• x=x0;
• val=feval(fun,x0);
一、算法思想
• 1、最速下降法：
• 最速下降法是求解无约束优化问题最简单和古老的方法之一， 虽然时至今日它不再具有使用性，但它却是研究其他无约束 优化算法的基础，许多有效算法都是以它为及基础通过改进 或修正而得到的。
• 2、阻尼牛顿法
• 初始点需要足够“靠近”极小点，否则，有可能导致算法不 收敛。由于实际问题的精确极小点一般是不知道的，因此， 初始点的选取给算法的实际操作带来了很大的困难，为了克 服这一困难，可引入线搜索技术以得到大范围收敛的算法， 即所谓的阻尼牛顿法.给出一个基于Armijo搜索的阻尼牛顿法。
• x=x(2:end);
• f=fun(x);
•
• for i=1:n
• for j=1:n
数值最优化(李董辉)第三章 最速下降法和Newton法PPT课件
3
4
第一节 最速下降法
1、 思想 ：每次沿最速下降方向进行搜索
5
2、 算法步骤
6
7
8
3、 最速下降法的收敛性
全局收敛性
9
收敛速度估计
10
从上图可以看出，最速下降法 具有锯齿现象 11
12
由上面的分析可知，最速下降法的收敛速度 比较慢，通常将其用在某些算法的初始阶段 求较好的初始点
25
结束语
感谢参与本课程，也感激大家对我们工作的支 持与积极的参与。课程后会发放课程满意度评 估表，如果对我们课程或者工作有什么建议和
意见，也请写在上边
26
感谢您的观看与聆听
本课件下载后可根据实际情况进行调整
27
唯楚有材 於斯为盛
最优化
博士
1
整体概述
概况一
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概况二
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概况三
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2
第三章 无约束问题算法(I)—— 最速下降法、 Newton法
第一节 最速下降法 第二节 Newton法及其修正形式
13
第二节 Newton法及其修正形式
1、思想：用近似二次函数的极小点作为原问题的新的近似解
14
2、 Newton法的算法步骤
(
20
3、Newton的 收敛性
21
4、 局部二次收敛性
22
5、 Newton法的修正形式
23
24
Q&A
人人思考，大声说出
4
第一节 最速下降法
1、 思想 ：每次沿最速下降方向进行搜索
5
2、 算法步骤
6
7
8
3、 最速下降法的收敛性
全局收敛性
9
收敛速度估计
10
从上图可以看出，最速下降法 具有锯齿现象 11
12
由上面的分析可知，最速下降法的收敛速度 比较慢，通常将其用在某些算法的初始阶段 求较好的初始点
25
结束语
感谢参与本课程，也感激大家对我们工作的支 持与积极的参与。课程后会发放课程满意度评 估表，如果对我们课程或者工作有什么建议和
意见，也请写在上边
26
感谢您的观看与聆听
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27
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2
第三章 无约束问题算法(I)—— 最速下降法、 Newton法
第一节 最速下降法 第二节 Newton法及其修正形式
13
第二节 Newton法及其修正形式
1、思想：用近似二次函数的极小点作为原问题的新的近似解
14
2、 Newton法的算法步骤
(
20
3、Newton的 收敛性
21
4、 局部二次收敛性
22
5、 Newton法的修正形式
23
24
Q&A
人人思考，大声说出
最速下降法-最优化方法
（4）f
(
X
)
3
(0.04,0.04)T
,
f ( X 3) 2 0.0032 0.01
X 3 已达到预定精度要求，迭代终止。
故f（x）的无约束近似极小点为
X X 3 (0.96,1.44)T
注：原问题的精确极小点为
X (1,1.5)T
3. 最速下降法性质与评价
x1 x1
2 2
x2 x2
1 1
（1） X 0 (1,1)T
,
f
(
X
)
0
(1,1)T
,
P0
f
(
X
)
0
(1,1)T
X P (t ) f( 0 t
)
0
5t 2
2t
1
,t>0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
应用一维搜索技术，可解得 (t) 的极小点为t0=0.2
所以 X 1 X 0 t0 P0 (1,1)T 0.2(1,1)T (0.8,1.2)T
X X P
Y f (X ) N 输出X
停止
例3.18 用最速下降法求解无约束优化问题：
x x x x x x min f (X ) 2 2 2
2
1
12
2
1
2
初始点 X 0 (1,1)T
,迭代终止准则为
f
(X k)
2
0.01
。
解：
f
(
X
)
4 2
1. 最速下降法原理 2. 最速下降法算法 3. 最速下降法性质与评价
最优化：最速下降法和Newton法
定理 3.1.1 设假设 2.4.1的条件成立 , 那么采用精确搜索 , 或 Armijo搜索或 Wolfe- P owell搜索的最速下降法产生 的迭 代序列{xk }满足 lim || f ( xk ) || 0
k
由前面的例子看到, 最速下降法的收敛速度至多是线性的, 具体 见下面的两个定理.
第一节
最速下降法
最古老的优化方法，十九世纪中叶由Cauchy提出
1、 思想 ：每次沿负梯度方向进行搜索
●
x*
xk 1
等值线(面)
●
xk
●
f ( xk )
负梯度方向也称为最速下降方向：
事实上，对任意p R n 且 || p || , 由Cauchy - Schwarz 不等式得 f ( xk ) T P - || f ( xk ) || || P || - || f ( xk ) || - f ( xk ) - f ( xk ) 当取p 时等号成立，即 p 是下列问题 || f ( xk ) || || f ( xk ) || 的解 min f ( xk ) T P
从上面的例子看到, 对于简单的二元二次函数极小化问题， 最速下降法在有限次迭代并没有求出其精确最优解, 但能 以较慢的速度无限接近最优解.
事实上，上面的例子刻画了最速下降法的所有收 敛特征
3、 最速下降法的收敛性 全局收敛性
由于最速下降法的搜索方向与负梯度方向一致, 即 k 0, 且 || f ( xk ) || || d k || 所以, 由定理2.4.1 - 2.4.3, 我们很容易得到最速下降算法的全 局收敛性.
2
max 其中 , 且max 和min分别是 f ( x * )的最大和最小特征值 . min
几种常见的优化方法ppt课件
fast, this is relatively unimportant because the time
required for integration is usually trivial in comparison to
the time required for the force calculations.
Example of integrator for MD simulation
• One of the most popular and widely used integrators is
the Verlet leapfrog method: positions and velocities of
7
Continuous time molecular dynamics
1. By calculating the derivative of a macromolecular force
field, we can find the forces on each atom
as a function of its position.
11
Choosing the correct time step…
1. The choice of time step is crucial: too short and
phase space is sampled inefficiently, too long and the
energy will fluctuate wildly and the simulation may
– Rigid body dynamics
– Multiple time step algorithms
required for integration is usually trivial in comparison to
the time required for the force calculations.
Example of integrator for MD simulation
• One of the most popular and widely used integrators is
the Verlet leapfrog method: positions and velocities of
7
Continuous time molecular dynamics
1. By calculating the derivative of a macromolecular force
field, we can find the forces on each atom
as a function of its position.
11
Choosing the correct time step…
1. The choice of time step is crucial: too short and
phase space is sampled inefficiently, too long and the
energy will fluctuate wildly and the simulation may
– Rigid body dynamics
– Multiple time step algorithms
最优化方3.3法最速下降法(梯度法)
例 3.4.4 用 Newton 法求解问题 min f (x) 4x12＋x22－x12x2
取初始点为 xA (1,1)T , xB (3, 4)T , xC (2, 0)T 。
min f (x) 4x12＋x22－x12x2
g
(
x)
8x1－2x1 x2 2 x2－x12
G(
x)
0.1273 0.0003 0.0000
1.3388 0.0511 0.0001
xk (0,0) 严格局部极小点
g
(
x)
8x1－2x1 x2 2x2－x12
G(0,0) 8 0 0 2
G(
x)
8－2x2 －2 x1
－2x1 2
解: (2)用 Newton 法得到得迭代点如表所示：
开域内有极小点 x*，设G* G(x*)正定，则当 x0与 x*充分
接近时，对一切k ，Newton 法有定义，且当xk 为无穷 点列时，xk 二阶收敛于 x*，即hk 0且
f
( xk
)存在，所以有
fk fk1 0。 （3.8）
用反证法。假设 gk 0不成立，则0 0及无穷多个 k ，使 gk 0。对这样的k ，有
gkT pk pk 0，
于是，由 Taylor 公式
f (xk pk ) f (xk ) g(k )T pk
f
(
xk
)
g
T k
pk
g(k ) gk T
最速下降法
k=k+1
x(1), ε >0, k=1
Yes
|| ▽f(x(k) ) ||< ε?
No
d(k)= －▽f(x(k) )
stop. x(k) –解
第二讲最速下降法30页PPT
第二讲最速下降法
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
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那么目标函数 f(x)在Xk处沿方向dk下降的变化率为
5
最速下降法的方向选择
LLOOGGOO
lim lim fxkdkfxk gkTdk
0Leabharlann 0gkTdkgk dk cos
其中 为gk与dk的夹角。要使得变化率最小，只有当cos值为-1 时，才能达到，也即dk应取得负梯度方向。
J (a)
J (a)
11
开始
给定初始点， x 0 E n ， 0
程序图
LOGO
求 k 使其满足
m i0 nf(xkpk)f(xkkpk)
k : 0
计算 pk f (xk)
令
xk1xk kpk
是
pk
否
输出： xmin x k
结束
12
matlab仿真实例
LOGO
13
matlab仿真实例
LOGO
14
最速下降法的优缺点
LOGO
• 由于沿负梯度方向目标函数的最速下降性，很容易使人们误认为负梯 度方向是最理想的搜索方向，最速下降法是一种理想的极小化方法。 必须指出的是，某点的负梯度方向，通常只是在该点附近才具有这种 最速下降的性质。在一般情况下，当用最速下降法寻找极小点时，其 搜索路径呈直角锯齿状，在开头几步，目标函数下降较快；但在接近 极小点时，收敛速度长久不理想了。特别适当目标函数的等值线为比 较扁平的椭圆时，收敛就更慢了。优点是：程序简单，计算量小；并 且对初始点没有特别的要求。
7
•由式 dkf xk得，
LOGO
fx k 1T fx k0
即新点xk+1处的梯度是正交的，也就是说，迭代点列所走
的路线是锯齿型的，故收敛速度是很慢的。
8
步长因子
LOGO
•步4中，步长因子 的k 确定即可以采用精确线搜索又可以采用非精确 线搜索。 •采用精确线搜索时
fx k k d k l 0 ifm x k d k
3
最速下降法的由来
•其主要思想
每次沿负梯度方向进行搜索
LOGO
x*
●
x● k
x ● k 1
f (xk)
等值线(面)
4
最速下降法的方向选择
LLOOGGOO
最速下降法用负梯度为方向
dkf xk
作为搜索方向。设 f(x) 在XK附近连续可微，dk为搜索方向向量，
gk fxk
.由泰勒展开式得
f x k d k fx k g k T d k , 0 ,
那么 k 应该满足
'x d d fx k d k k fx k k d k T d k 0
由此我们可以求出步长因子。
9
LOGO
• 函数 f（x1,x2）=(1-x2)^2+100*(x2-x1^2)^2,它叫罗森布罗克方程。
10
罗森布罗克方程的三维图
LOGO
• 它的全局最优点位于一个长长的、狭窄的、抛物线形状的、扁平的“山谷” 中。找到“山谷”并不难，难的是收敛到全局最优解（全局最优解在 (1,1) 处）。
最优化—最速下降法
主讲人：王俊俊
最速下降法
最速下降法的由来 最速下降法的方向选择
最速下降法的算法步骤
最速下降法的实例
LOGO
2
最速下降法的由来
LLOOGGOO
考虑无约束问题
mfin x,xRn
其中，函数法f(x)具有一阶连续偏导数。
人们在处理这类问题时，总希望从某一点出发，选择 一个目标函数值下降最快的方向，以利于尽快达到极小点， 基于此种愿望，早在1847年法国数学家Cauchy提出了最速 下降法。后来，Curry等人作了进一步研究，得出现在众 所周知的一种最基本算法。
x (2) x (4) x (3)
O
15
LOGO
谢谢各位
J (a )
ak
a
6
最速下降法的步骤
LOGO
• 1.选取初始点 x0 Rn ，容许误差 01 。令k:=1.
• 2. 计算 gk fxk。若 gk ，停算，输出Xk作为近 似最优解。
• 3.取方向dk=-gk。
• 4.由线搜索技术确定步长因子 k 。
• 5.令
， 转步长1。
x k 1:x k kd k,k: k 1 ,