电势叠加原理公式及其推导
4电势叠加原理电势梯度
P.6/38
9.5.3 点电荷的电势 电势的叠加原理
第９章 电荷与真空中的电场
1. 点电荷的电势
Or
E
q
P
qr
E
4 π 0r3
令
U 0
沿径向积分
U
U
E
dl
P
qdr
r 4 π0r2
1 r
q
4 π 0r
O
r
2. 叠加法
(1) 点电荷系
q2 Qq1 r2
q3 r3
r1
P
U P P E dr
2. 利用电势叠加原理
Up
Qi
i 4 0ri dQ
Q 4 0r
点电荷系 连续带电体
P.8/38
例体9, -带10电. 半R量Eo径为为qqr.R求的P其S均电匀E势带分电布球.E律1 选得4择πSqEEr同10R d43心Sπr球r2 E面R1为04π4高r第πE2qR９2斯3章面341电0π4,荷qπ3由0与rr23q真高内空r斯中的定R电场
第９章 电荷与真空中的电场
3. 静电力做的功
1. 电势(electric potential)
U p
Wp qo
零势点 E dl
p
点电荷q在静电场中从a沿任意
路径到b过程中静电力做的功：
B
AAB
qE dl
A
q(U A U B )
单位: 伏特(V) 静电场中某点电势等于单位正
讨论： 1. U 为空间标量函数;
2πa
dq
qdl
在该点空间变化率的最大 值; 方向沿电势降落, 指向
dU
4πor 8π2 oar
即电势减E 小 最adU的方向U.
求电势的三个公式
求电势的三个公式电势是描述电场强度的一种物理量，通常用符号V表示，单位是伏特（V）。
在静电学中，电势被定义为单位电荷在电场中所具有的能量。
当电荷在电场中从一个位置移动到另一个位置时，它会获得或失去一些能量，这两个位置之间的差异就是电势差。
下面是三个计算电势的公式：1. 电势与电场强度之间的关系电势和电场强度是紧密相关的物理量。
在静电场中，电势在空间中的分布可以通过电场强度的积分得到。
具体而言，如果沿着一条路径从点A到点B移动一个点电荷，在这个过程中所受到的电场力会对电荷进行功。
假设电场强度为E，电荷为q，路径为C，则通过路径C的场强积分可以计算出电势差ΔV：ΔV = -∫C E·ds其中，负号表示电场力的方向与电路的方向相反，ds表示路径元素的位移。
这个公式中的积分路径和被积函数E·ds是用来描述椭圆或复杂电场情况下电势差的。
该公式表明，电势的大小仅取决于电场在该位置的场强，与周围的其他电荷或电路无关。
2. 点电荷产生电势如果在空间中放置一个点电荷q，它将产生一个电场E。
这个电场将会在空间中产生一系列电势分布，根据库伦定律，每一个点的电势可以表示为：V = kq/r其中，k为库仑常数，r为距离点电荷的距离。
这个公式描述了点电荷在各个位置的电势大小，可以用来计算电荷在电场中的势能。
3. 多个电荷产生的电势如果在空间中放置多个电荷，每个电荷都会产生一个独立的电势场。
根据电势叠加原理，每个电荷产生的电势分布可以单独计算，然后将它们按照叠加原理加在一起即可得到总的电势场分布。
例如，如果有n个电荷q1、q2、...、qn位于空间中的不同位置，那么它们所产生的电势可以表示为：V = kq1/r1 + kq2/r2 + ... + kqn/rn其中，ri表示电荷i与观察点之间的距离。
这个公式可以用于计算任意数量的点电荷产生的电势分布。
总之，这些公式展示了电势与电场强度之间的关系，点电荷产生电势的计算方法以及多个电荷产生总的电势场的计算方法。
电势11.3--电势叠加原理
一、 点电荷系的电势
q1
r1
E2
v v
p
E dl
p
q2
r2 P E1
q1 dr
r1 40r12
q2
r2 40r22
dr
q1
4 0 r1
q2
4 0 r2
n
对n 个点电荷
qi
i1 4 0ri
注意：电势零点P0 必须是共同的。
电势的零点的；而当激发电场的电荷分布延伸到无穷远时，不 宜把电势的零点选在无穷远点，否则将导致场中任一点的电势 值为无限大。这时只能根据具体问题，在场中选择某点为电势 的零点。
（1）电势叠加法 例题1（课本P37）：电荷q均
匀分布在半径为 R 的细圆环上， 求圆环轴线上距环心x处的点P的 电势。
解：在圆环上取任意电荷
即点电荷系电场中某点的电势，等于各点电荷单独存在时在该 点的电势的叠加（代数和）。这个结论叫做静电场的电势叠加原 理。
2．连续型——连续分布电荷电场中的电势
若场源为电荷连续分布的带电体，可
以把它分成无穷多个电荷元 dq ，每个电荷
元都可以看成点电荷，在场点产生的电势
为
dV dq
4 0 r
该点电势为这些元电荷的叠加：
uur r R Ew dl 0
R
q 40r
2
dr
q 40
R
球面内各点电势相等，均等于球面上各点电势。
V-r曲线如图，可见在r=R的球壳处，电势是连续的，而 前面我们知道，带电球壳在r=R处的场强是跃变的。其次， 我们发现可见场强为零处，电势不一定为零。
例题3（课本P41）求无限长均匀带 电直导线外任一点 P 处的电势，已 知线电荷密度为λ。
大学物理公式总结
大学物理电磁学公式总结第一章（静止电荷的电场）1.电荷的基本性质：两种电荷，量子性，电荷守恒，相对论不变性。
2. 库仑定律：两个静止的点电荷之间的作用力F =kq 1q 2r 2e r =q 1q 24πε0r 2e r3. 电力叠加原理：F=ΣF i4. 电场强度：E=Fq 0, q 0为静止电荷5. 场强叠加原理：E=ΣE i用叠加法求电荷系的静电场：E =∑q i4πε0r i2e ri i (离散型) E=∫dq4πε0r 2e r q(连续型)6. 电通量：Φe=∫E •dS s7. 高斯定律：∮E •dS s=1ε0Σq int 8. 典型静电场：1) 均匀带电球面：E=0 （球面内）E=q4πε0r 2e r （球面外）2) 均匀带电球体：E=q4πε0R3r =ρ3ε0r （球体内）E=q4πε0r 2e r （球体外）3) 均匀带电无限长直线： E=λ2πε0r ，方向垂直于带电直线4) 均匀带电无限大平面：E=σ2ε0，方向垂直于带电平面9. 电偶极子在电场中受到的力矩：M=p×E第九章 静电场知识点：1、 用积分方法计算连续带电体电场强度，场强叠加是矢量叠加；首先进行矢量分解，再把同方向的相加；2、 运用高斯定理，计算电荷均匀分布、对称带电体周围空间的场强和电势；关键是分析场强分布特点，选好封闭曲面；（1）电荷在表面均匀分布的带电圆筒；（选择一个封闭圆柱曲面） （2）电荷在表面均匀分布的带电球壳；（选择一个封闭球面） （3）电荷均匀分布的无穷大平面；（选择一个封闭圆柱曲面）3、 根据电势定义用积分方法计算连续带电体的激发的电势，要获得积分路径上场强的分布；电势叠加是标量叠加； 4、 电场强度环路定理一些问题辨识：1、理解高斯定理的内容：（1）只有封闭曲面内的电荷，才对该封闭曲面的电通量有贡献；（2）曲面以外的任何电荷，对该封闭曲面的电通量没有贡献；（3）这里强调的是封闭曲面，如果只是一个有限曲面，是封闭曲面的一部分，里外的电荷对该部分是有电通量贡献的：（4）里、外的电荷都对曲面上的各点产生场强；2、场强等于零的空间点，电势可以不为零；电势为零的空间点，场强可以不为零；1、 有关静电场的论述，正确的是（ ）（1） 只有封闭曲面内的电荷才对该封闭曲面的电通量有贡献；√（2） 无论封闭曲面内的电荷的位置如何改变，只要不离开该封闭曲面，而且电荷代数和不变，该封闭曲面的电通量就不变；√（3） 封闭曲面内部的任何电荷的位置的改变，尽管不离开该封闭曲面，而且电荷代数和不变，该封闭曲面的电通量也要发生改变；×（4） 封闭曲面外的电荷激发的场强对该封闭曲面上的任何面元的电通量的贡献为零；×（5） 如果封闭曲面的电通量为零，则该封闭曲面上任何面元上的电场强度一定为零；×（6） 如果封闭曲面的电通量不为零，则该封闭曲面上任何面元的电通量的一定不为零；×（7） 电场强度为零的空间点，电势一定为零；×（8） 在均匀带电的球壳内部，电场强度为零，但电势不为零；√计算场强的三种方法，按照问题的实际情况选择最方便的方法： （1） 根据连续带电体的积分公式； （2） 采用高斯定理；（3） 先获得电势分布公式，然后计算偏导数；z z y x U E y z y x U E x z y x U E z y x ∂∂-=∂∂-=∂∂-=),,(;),,(;),,(计算电势分布首先计算场强分布，再计算电势分布；➢ 第三章（电势）1. 静电场是保守场：∮E •dr L=0 2. 电势差：φ1 –φ2=∫E •dr (p2)(p1)电势：φp =∫E •dr (p0)(p) （P0是电势零点） 电势叠加原理：φ=Σφi 3. 点电荷的电势：φ=q 4πε0r电荷连续分布的带电体的电势：φ=∫dq4πε0r4. 电场强度E 与电势φ的关系的微分形式：E=-grad φ=-▽φ=-(∂φ∂x i+∂φ∂y j+∂φ∂z k)电场线处处与等势面垂直，并指向电势降低的方向；电场线密处等势面间距小。
物理 电磁学 第11讲 电势叠加原理及电势的计算
R2
Q1 Q2 4 π R 4 π R ( r R1 ) 0 1 0 2 Q2 Q1 ( R1 r R2 ) 4 π r 4 π R 0 0 2 Q1 Q2 4 π r ( r R2 ) 0
[例] 均匀带电球层 ，内外半径为 R1，R2，求：A、B 两点的电势。 解：取带电球面 1. 求 A
Q1 ( r R ) 1 4 π R 0 1 1 Q1 ( r R ) 1 4 π 0 r
Q2 ( r R ) 2 4 π R 0 2 2 Q2 ( r R ) 2 4 π 0 r
Q2
区域 r < R1 R1 < r < R2 r > R2
Q1 O R1
R2
外壳贡献 总电势
内壳贡献
Q1 1内 4π 0 R1
Q1 1外 4π 0 r Q2 2外 4π 0 r
Q2 2内 4π 0 R2
1内 2内
1外 2内
1外 2外
解： 总电势分布为
1 2
Q2
Q1 O R1
P
[例] 己知：均匀带电圆盘，总电量 Q，半径 R。 求：圆盘轴线上任意点 P 处的电势。 解：利用电势积分法。
1.分割合适电荷元
dq dS Q π R2 dS 2π d
O d
r x P dq
2.电荷元 dq 在 P 处电势 3.总电量 Q 在 P 处电势
dq d 4π 0 r
1 q 4π 0 r
OP r
P r+
r- r
[例] 求距电偶极子相当远处的电势。
大物电磁学 第三章 电势
方向沿径向向外 方向沿径向向外
18
AQ
(r R1) E3 40r2
方向沿径向向外
（3）球内、外各点的电势
注意： 求各点电势（电势分布）时，要分 区域讨论，分区方式与场强相同。
电势零点位置选择：如无特殊说明，对球状
带电体产生的电场，选
取无穷远处为电势零点。
即：令 0
19
R oP1
二、公式 静电场力的功 = 电势能差 电势差 公式 电势公式
三、解题方法 求场强时的填补法，叠加法； 求电势的方法，电势差的方法
28
作业：P87 3.2 3.3 3.7 3.9
29
课后思考题： 如图，两个同心的半球面相对放置，半径分别 为 R 1 和 R 2 （ R1 R2 ），都均匀带电，电荷面 密度分别为 1 和 2 .试求大的半球底面圆直 径AOB上得电势. B
总
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n i 1
1
4 0
qi ri
r i : 第 i个点电荷到场点的距离
0
qi
.P
3、连续带电体的电场中的电势 令
d 1 dq 40 r
r : 所取的任意位置的电荷元
到场点的距离
0
dq
+q
r
.P
32
总电势
dq
4 电荷分布范围 0r
( 0)
注意：电势是标量，上式可直接积分，电势 迭加比电场迭加要简便。
P20( x2R2x)
( 0)
39
3-5 电荷在外电场中的静电势能
八、电势能差、电场力的功及电势、电 场四者之间的关系
Wa Wb Aab
b
b
q 0a E d l q 0a E c o sd l
电势叠加法
在O1O2连线上任一点 （ x,0）的场强为
E 2 π 0 d x 2 π 0 d x
1 1 2 π0 d x d x c b c E d l
b
ˆ 方向：i
b c
(2)已知 P 点电势 U P ,可定出场强 E P .
E d l , 不能用一点的 E 定 U )
(3)在某空间区域 E const. 必 U const .
0
E
0
【答】 错。例如：均匀电场
x
U ( x) U 0 Ex const.
（而均匀带电球面内，
第 3题 . 问: E 仅由 S 内的电荷决定吗? 请举例说明。 s 【答】 由S 内、外全部电荷决定。 例如： 例如： S
q
S S 内无电荷S外有电荷
S 内外均有电荷分布
问：只要 E 有对称性,就可用高斯定理求 E ?
（例如有限长均匀带电直线） 【答】 错。
第 4题 . 如图所示在真空中有两块相距为 d，面积均为 S， 带电量 分别为 +Q 和 -Q 的 平行板。 两板的线度 远大于 d，因此可忽略边缘效应。 +Q 对下面几种说法你认为对还是错？ -Q 为什么？ （A）根据库仑定律， 两板间的作用力大小为
2
2 2 2d a a ln ln 所以 b c 2 2 4π 0 a 2d a
2d a ln 4 4 π0 a 2d a ln π0 a
4
方法二. 利用场强积分
y + a b 0 x 2d c a - x
S
-q
大学物理静电场2电势
各电势的零点应是同一点）
用“点电荷电势叠加的方法”：
对点电荷系：
对有限的 连续电荷分布：
qi
4 π ori
(选
0)
d q
q 4πor
(选 0)
例. 求半径为 R、带电量为 q 的细圆环 轴线上任意点的电势。
【解】 这是连续带电体, 任取一电荷元dq,
用“点电荷电势叠加法”
dq
R 0
r R2 x2 取轴线上任一点 P，电势:
x
x
P
d q
(q)4 π0r
所以
4π 0
q R2 x2
1/ 2
1
dq
4 π0r (q)
思考： 环上电荷均匀或不均匀结果一样吗？
等势面：
电场中电势相等的点组成的面称为等势面。 等势面是形象描述电场的一种表示方法。 画法：相邻等势面的电势差为常数。
例1. 正点电荷电场的等势面。
等势面有如下特点：
2π0 r
r > r0 的点，电势为负,
r = r0 的点，电势为零,
r < r0 的点，电势为正。
r
可以看到，若选无限远为 电势零点，
会使积分发散。
8.4.5 电势叠加原理
由
po
E
d
l
及
E
p
Ei
得 ( po p
Ei ) d l
po p
i Ei
d
l
i
i
i
i
（注意：用电势叠加原理时，
静电势能是属于电荷 q0 和场源所共有的 （正如重力势能是属于物体和地球），
也叫电荷之间的相互作用能。
例 1. 氢原子中的电子在原子核电场中的 静电势能为
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电势叠加原理公式及其推导
电势叠加原理是指当有多个电荷产生的电势作用在一个点上时，这些电势之间可以相加得到最终的电势。
电势叠加原理的公式可以表示为：
V = V1 + V2 + V3 + ... + Vn
其中，V表示最终的电势，V1、V2、V3等表示不同电荷产生
的电势。
推导过程如下：
假设有一个点P，在该点上存在多个电荷Q1、Q2、Q3等，则每个电荷产生的电势V1、V2、V3等可以表示为：
V1 = k * Q1 / r1
V2 = k * Q2 / r2
V3 = k * Q3 / r3
其中，k表示库仑常数，r1、r2、r3等表示该点P与每个电荷
之间的距离。
根据库仑定律，电荷之间的作用力可以表示为：
F1 = k * Q1 * Q / r1^2
F2 = k * Q2 * Q / r2^2
F3 = k * Q3 * Q / r3^2
其中F1、F2、F3等表示每个电荷受到的作用力。
根据电场力计算公式F = Q * E，其中F表示力，Q表示电荷，E表示电场强度。
则上述方程可以改写为：
E1 = k * Q1 / r1^2
E2 = k * Q2 / r2^2
E3 = k * Q3 / r3^2
对于同一个点P，如果受到多个电荷的作用，则总的电场强度
E可以表示为：
E = E1 + E2 + E3 + ... + En
代入电场强度与电势之间的关系公式：E = -dV/dr，其中d表
示微分。
得到：
-dV/dr = k * Q1 / r1^2 + k * Q2 / r2^2 + k * Q3 / r3^2 + ... + k *
Qn / rn^2
对上述方程进行微分，得到：
dV = k * Q1 / r1^2 * dr + k * Q2 / r2^2 * dr + k * Q3 / r3^2 * dr + ... + k * Qn / rn^2 * dr
对上述方程进行积分，得到：
V = k * Q1 / r1 + k * Q2 / r2 + k * Q3 / r3 + ... + k * Qn / rn
即：
V = V1 + V2 + V3 + ... + Vn
所以，当有多个电荷产生的电势作用在一个点上时，这些电势之间可以相加得到最终的电势，即电势叠加原理成立。