海涅定理及其运用

２００６年９月保山师专学报Ｓｅｐ．，２００６第２５卷第５期ＪｏｕｒｎａｌｏｆＢａｏｓｈａｎＴｅａｃｈｅｒｓ′ＣｏｌｌｅｇｅＶｏｌ．２５Ｎｏ．５收稿日期：２００６－０７－０４作者简介：李成林（１９６８—），男，云南曲靖人，保山师范高等专科学校数学系，讲师，硕士，研究方向为应用泛函分析和非光滑分析。

海涅定理及其运用李成林郑继刚（保山师范高等专科学校数学系，云南保山６７８０００）摘要：揭示了海涅定理的内涵，分别给出了不同函数极限的海涅定理，归纳总结了它的应用并举出实例。

关键词：海涅定理；极限；导数中图分类号：Ｏ１７文献标识码：Ａ文章编号：１００８－６５８７（２００６）０５－０５０－０３海涅定理是沟通函数极限和数列极限之间的桥梁。

根据海涅定理，求函数极限可化为求数列极限，同样求数列极限也可转化为求函数极限。

因此，函数极限的所有性质都可用数列极限的有关性质来加以证明。

根据海涅定理的必要条件还可以判断函数极限是否存在。

所以在求数列或函数极限时，海涅定理起着重要的作用。

１海涅定理的内涵海涅定理是德国数学家海涅（Ｈｅｉｎｅ）给出的，应用海涅定理人们可把函数极限问题转化（归结）成数列问题，因而人们又称它为归结原则。

海涅定理ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝Ａ!任意数列｛ｘｎ｝，ｘｎ≠ｘ０，且ｌｉｍｎ→∞ｘｎ＝ｘ０，有ｌｉｍｎ→∞ｆ（ｘｎ）＝Ａ。

两点说明：（１）根据海涅定理的充分性，可以把数列极限转化成函数极限，但要注意，数列｛ｘｎ｝是任意的。

例如，取ｘｎ＝２ｎ，ｌｉｍｎ→∞ｘｎ＝＋∞，有ｌｉｍｎ→∞（－１）ｘ２ｎ＝１，但ｌｉｍｘ→∞（－１）ｘ不存在。

（２）若可找到一个以ｘ０为极限的数列｛ｘｎ｝，使ｌｉｍｎ→∞ｆ（ｘｎ）不存在，或找到两个都以ｘ０为极限的数列｛ｘ＇ｎ｝与｛ｘ＂ｎ｝，使ｌｉｍｎ→∞ｆ（ｘ＇ｎ）与ｌｉｍｎ→∞ｆ（ｘ＂ｎ）都存在而不相等，则ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）不存在。

对于下列三种函数极限，分别有其如下的海涅定理ｌｉｍｘ→∞ｆ（ｘ）＝Ａ!对任意数列｛ｘｎ｝，且ｌｉｍｎ→∞ｘｎ＝＋∞，有ｌｉｍｎ→∞ｆ（ｘｎ）＝Ａｌｉｍｘ→ａ＋ｆ（ｘ）＝Ａ!对任意数列｛ｘｎ｝和任意!＞０，存在Ｎ＞０，当ｎ＞Ｎ时，有ｘｎ＜ａ＜ｘｎ＋!，且ｌｉｍｎ→∞ｆ（ｘｎ）＝Ａｌｉｍｘ→ａ＋ｆ（ｘ）＝Ａ!对于任意数列｛ｘｎ｝和任意!＞０，存在，当Ｎ＞０，当ｎ＞Ｎ时，有ｘｎ－!＜ａ＜ｘｎ，且ｌｉｍｎ→∞ｆ（ｘｎ）＝Ａ．２海涅定理的应用海涅定理的应用非常广泛，主要用于求函数和数列的极限，归纳起来主要有以下几方面。

２．１判断函数极限利用海涅定理，可以判断一个函数的极限不存在。

例１证明极限ｌｉｍｘ→０ｃｏｓ１ｘ不存在。

证明：设ｘ＇ｎ１２ｎπ＝，ｘ＂ｎ＝１ｎπ＋π２（ｎ＝１，２，…），则ＨｅｉｎｅＴｈｅｏｒｅｍａｎｄＩｔｓＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎＬｉＣｈｅｎｇ－ｌｉｎ；ＺｈｅｎｇＪｉ－ｇａｎｇ（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＢａｏｓｈａｎＴｅａｃｈｅｒＣｏｌｌｅｇｅ，Ｂａｏｓｈａｎ，Ｙｕｎｎａｎ６７８０００）Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｉｓｐａｐｅｒｉｓｉｎｔｅｎｄｅｄｔｏｇｉｖｅａｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｏｆＨｅｉｎｅｔｈｅｏｒｅｍｉｎｄｉｆｆｅｒｅｎｔｆｕｎｃｔｉｏｎｓｌｉｍｉｔｓａｎｄｓｕｍｍａｒｉｚｅｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｔｈｒｏｕｇｈｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｎｇｅｘａｍｐｌｅｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｈｅｉｎｅｔｈｅｏｒｅｍ；Ｌｉｍｉｔ；Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ显然有ｘ＇ｎ→０，ｘ＂ｎ→０（ｎ→∞），而ｃｏｓ１ｘ＇ｎ＝１→０（ｎ→∞），ｃｏｓ１ｘ＂ｎ＝１→０（ｎ→∞），因此由海涅定理知ｌｉｍｘ→０ｃｏｓ１ｘ不存在。

例２设ｌｉｍｘ→ａｆ（ｘ）＝Ａ，ｌｉｍｕ→ａｇ（ｕ）＝Ｂ，复合函数ｇ［ｆ（ｘ）］在ａ是否有极限ｌｉｍｘ→ａｇ［ｆ（ｘ）］＝Ｂ？答：不一定，例如，设ｕ＝ｆ（ｘ）＝ｘｓｉｎ１ｘ，ｇ（ｕ）＝ｕ，ｕ≠０１，ｕ＝!０有ｌｉｍｘ→０ｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘ→０ｓｉｎ１ｘ＝０，ｌｉｍｕ→０ｇ（ｕ）＝０．由复合函数的定义，显然有ｇ［ｆ（ｘ）］＝ｘｓｉｎ１ｘ，当ｘ≠１ｋπ１，当ｘ＝１ｋπ"$$$$$#$$$$$%，ｋ＝±１，±２，…取ｘｋ＝１ｋπ，ｙｋ＝１２ｋπ＋π２，有ｌｉｍｋ→∞ｇ［ｆ（ｘｋ）］＝１，ｌｉｍｋ→∞ｇ［ｆ（ｙｋ）］＝０．根据海涅定理，复合函数ｇ［ｆ（ｘｋ）］在ｘ＝０不存在极限，更不能在ｘ＝０收敛于０．２．２证明函数极限的性质利用海涅定理，可以把函数极限的问题转化为数列极限，再根据数列极限的性质，可证明相应的函数极限性质。

例３若&ｘ∈Ｕ０（ａ），有ｆ（ｘ）≤ｇ（ｘ）≤ｈ（ｘ），且ｌｉｍｘ→ａｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘ→ａｈ（ｘ）＝ｂ，则ｌｉｍｘ→ａｇ（ｘ）＝ｂ．证明：已知ｌｉｍｘ→ａｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘ→ａｈ（ｘ）＝ｂ，根据海涅定理的必要条件Ｕ０（ａ）内任意数｛ａｎ｝，ａｎ≠ａ，且ｌｉｍｎ→∞ａｎ＝ａ，有ｌｉｍｘ→∞ｆ（ａｎ）＝ｌｉｍｎ→∞ｈ（ａｎ）＝ｂ，又已知&ｎ∈Ｎ，有ｆ（ａｎ）≤ｇ（ａｎ）≤ｈ（ａｎ），由数列的两边夹法则，有ｌｉｍｎ→∞ｇ（ａｎ）＝ｂ，再根据海涅定理的充分条件，有ｌｉｍｘ→ａｇ（ｘ）＝ｂ。

例４对&ε＞０，(Ａ＞０，&ｘ′＞Ａ与&ｘ″＞Ａ有ｆ（ｘ′）－ｆ（ｘ″）＜ε，则极限ｌｉｍｘ→＋∞ｆ（ｘ）存在。

证明：有数列｛ｘｎ｝，且ｘｎ→＋∞（ｎ→∞），即Ａ＞０，(Ｎ１∈Ｎ，&ｎ＞Ｎ１)ｘｎ＞Ａ。

由已知条件，&ｎ＞Ｎ１与&ｍ＞Ｎ１)ｆ（ｘｎ）－ｆ（ｘｍ）＜ε．根据数列柯西收敛准则，数列｛ｆ（ｘｎ）｝收敛，设ｌｉｍｎ→∞ｆ（ｘｎ）＝ｂ即&ε＞０，(Ｎ２∈Ｎ，&ｎ＞Ｎ２)ｆ（ｘｎ）－ｂ＜ε．下面证明，对任意数列｛ｙｎ｝，ｙｎ→＋∞（ｎ→∞）都有ｌｉｍｎ→∞ｆ（ｙｎ）＝ｂ。

已知ｙｎ→＋∞（ｎ→∞），即Ａ＞０，(Ｎ３∈Ｎ，&ｎ＞Ｎ３)ｙｎ＞Ａ．取Ｎ＝ｍａｘ｛Ｎ１，Ｎ２，Ｎ３｝，&ｎ＞Ｎ)ｘｎ＞Ａ与ｙｎ＞Ａ．由已知条件，有ｆ（ｘｎ）－ｆ（ｙｎ）＜ε．于是，&ｎ＞Ｎ)ｆ（ｙｎ）－ｂ≤ｆ（ｙｎ）－ｆ（ｘｎ）＋ｆ（ｘｎ）－ｂ＜ε＋ε＝２ε即ｌｉｍｎ→∞ｆ（ｙｎ）＝ｂ根据海涅定理，有ｌｉｍｘ→＋∞ｆ（ｘ）＝ｂ．２．３求函数极限已知函数的极限存在，要求函数极限时，只要取一个特殊的数列则可求得函数极限。

例５已知ｌｉｍｘ→０ｘｓｉｎ１ｘ存在，求此极限。

解：根据海涅定理，取ｘｎ＝１ｎπ（ｎ＝１，２，…），则ｌｉｍｘ→０ｘｓｉｎ１ｘ＝０。

２．４求数列极限在求数列极限比较困难的情况下，可先考察与之相对应的函数极限，利用函数性质及海涅定理可求出数列极限。

例６求数列极限ｌｉｍｎ→０（１＋１ｎ＋１ｎ２）ｎ．解：先求相应的函数极限ｌｉｍｎ→＋∞（１＋１ｘ＋１ｘ２）ｘ．取对数得ｌｉｍｘ→∞（１＋１ｘ＋１ｘ２）ｘ＝ｅｌｎ（１＋１ｘ＋１ｘ２）ｘ，而ｌｉｍｘ→∞ｌｎ（１＋１ｘ＋１ｘ２）ｘ＝１，所以由海涅定理可得ｌｉｍｎ→＋∞（１＋１ｎ＋１ｎ２）ｎ＝ｌｉｍｘ→∞（１＋１ｘ＋１ｘ２）ｘ＝ｅ．２．５判断函数在某点的可导性应用海涅定理，可求得函数差商的极限，从而可判断函数在某点的可导性．例７证明函数ｆ（ｘ）＝ｘ２Ｄ（ｘ）（其中Ｄ（ｘ）为Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ函数）在原点可导，而在其它点处不可导。

证明：因为ｌｉｍｘ→０ｆ（ｘ）－ｆ（０）ｘ－０＝０＝ｆ＇（０），因此ｆ（ｘ）在原点可导。

当ｘ０≠０时，设｛ｘｎ｝是大于且趋于ｘ０的有理数，｛ｘ＇ｎ｝是大于且趋于ｘ０的无理数列。

于是当ｘ０为无理数时，ｌｉｍｎ→∞ｆ（ｘｎ）－ｆ（ｘ０）ｘｎ－ｘ０＝ｌｉｍｎ→∞ｘｎ２ｘｎ－ｘ０＝∞，但ｌｉｍｎ→∞ｆ（ｘ＇ｎ）－ｆ（ｘ０）ｘ＇ｎ－ｘ０＝０，由海涅定理知ｆ（ｘ）在无理点ｘ０不可第５期·５１·李成林，郑继刚：海涅定理及其运用·５２·保山师专学报第２５卷导。

当ｘ０为非零有理点时，ｌｉｍｎ→∞ｆ（ｘｎ）－ｆ（ｘ０）ｘｎ－ｘ０＝２ｘ０，但ｌｉｍｎ→∞ｆ（ｘ＇ｎ）－ｆ（ｘ０）ｘ＇ｎ－ｘ０＝－∞，由海涅定理知ｆ（ｘ）在非零有理点ｘ０处也不可导。

２．６应用于某些函数极限问题的证明在证明某些函数极限问题时，可利用海涅定理来证明．例８若函数ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内单调增加，则对任意ｘ０∈（ａ，ｂ），极限ｆ（ｘ０－０）＝ｌｉｍｘ→ｘ０－ｆ（ｘ）与ｆ（ｘ０＋０）＝ｌｉｍｘ→ｘ０＋ｆ（ｘ）皆存在，且ｆ（ｘ０－０）≤ｆ（ｘ０）≤ｆ（ｘ０＋０）．证明：只须证明ｆ（ｘ０－０）≤ｆ（ｘ０）．同法可证ｆ（ｘ０）≤ｆ（ｘ０＋０）．首先证明，在（ａ，ｘ０）内任意单调增加数列｛ａｎ｝，且ｌｉｍｎ→∞ａｎ＝ｘ０，ａｎ≠ｘ０相应函数值数列｛ｆ（ａｎ）｝也单调增加。

且有上界ｆ（ｘ０）．用连续性公理，数列｛ｆ（ａｎ）｝收敛。

设ｌｉｍｎ→∞ｆ（ａｎ）＝ｌ，有ｆ（ａｎ）≤ｌ≤ｆ（ｘ０）．其次再证明，在（ａ，ｘ０）内任意数列｛ｂｎ｝，且ｌｉｍｎ→∞ｂｎ＝ｘ０，ｂｎ≠ｘ０，借助于已知ｌｉｍｎ→∞ｆ（ａｎ）＝ｌ可证ｌｉｍｎ→∞ｆ（ｂｎ）＝ｌ根据海涅定理，ｌｉｍｘ→ｘ０－ｆ（ｘ０）＝ｌ≤ｆ（ｘ０）或ｆ（ｘ０－０）≤ｆ（ｘ０）．参考文献：［１］华东师范大学数学系．数学分析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１．［２］刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９６０．［３］汪林．数学分析中的问题和反例［Ｍ］．云南科技出版社，１９８８．［４］刘玉琏，杨奎元，吕凤，等．数学分析讲义学习指导书［Ｍ］．北京：高等教育出版社．［５］孙涛．数学分析经典习题解析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００４．［６］吴良森，毛羽辉，等．数学分析学习指导书［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００４．欢迎投稿欢迎订阅。