变化率与导数2学案

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2019-2020版数学新学案北师大版选修2-2__第二章变化率与导数2.2

f(1+��x)-f(1) ��x
= ��
��x→0
1+1Δ��-1 Δ��
=
lim
Δ��→0
1+-1Δ��=-1,
则切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
答案:x+y-2=0
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反思感悟求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0); (2)求平均变化率ΔΔ�� = ��(��0+ΔΔ��)-��(��0); (3)取极限,得导数 f'(x0)=Δl��i��m→0 ��yx.
么这个值就是函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率,在数学中,称瞬时变
化率为函数y=f(x)在x0点的导数.
计算公式:f'(x)= lim
�� 1 →�� 0
f(xx11)--fx(0x0)=��x��→��0
��(��0+ΔΔ��)-��(��0).
3.会求函数 f(x)在某一点 x0 处的导数. 4.理解导数的几何意义,并能利用几何意义解决相关
问题. 5.会求与导数相关的切线问题.
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变化率与导数教案

变化率与导数教案113第二章变化率和导数2.1.1瞬时变化率一导数教学目标：(1) 理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2) 会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度⑶ 理解导数概念实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想教学过程：时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景一、复习引入1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线(割线)的斜率与函数f(x)在区间［X A , X B ］上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？下面我们来看一个动画。

从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。

所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势二、新课讲解1、曲线上一点处的切线斜率不妨设 P(X 1, f(x 1)) , Q(x o , f(x o ))，则割线 PQ 的斜率为 k PQ = f (xj- f (X o )X 1 — Xo设 X 1 - X o =A x ，贝U X 1 = △ x + X o ,... kP Q /X O FTS当点P 沿着曲线向点 Q 无限靠近时，割线 PQ 的斜率就会无限逼近点 Q 处切线斜率，即当△ x2、曲线上任一点(x o , f(x 0))切线斜率的求法:k = f(X o+也X)- f(X o)，当△ x 无限趋近于0时，k 值即为(x o , f(x o ))处切线的斜率。

3、瞬时速度与瞬时加速度 (1)平均速度：物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度⑵位移的平均变化率：S (to+4) -s(to)(3) 瞬时速度：当无限趋近于o 时，S(t o十筑)一S(to)无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t o时的瞬时速度无限趋近于0时，k pQ怏+匆-5)无限趋近点Q 处切线斜率。

高中数学第三章变化率与导数 2 导数的概念及其几何意义学案北师大版选修11

2 导数的概念及其几何意义学习目标 1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一导数的概念思考1 平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？梳理lim x1→x0f x1－f x0x1－x0＝____________________知识点二导数的几何意义如图，P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．思考1 割线PP n的斜率k n是多少？思考2 当点P n 无限趋近于点P 时，割线PP n 的斜率k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系？梳理 (1)切线的定义：当P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为________的切线．(2)导数f ′(x 0)的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线的斜率k ，即k ＝________________________________________________________________________. (3)切线方程：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为________________________．类型一利用定义求导数例1 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．反思与感悟求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx＝fx 0＋Δx －f x 0Δx；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx. 跟踪训练1 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数．类型二求切线方程命题角度1 求在某点处的切线方程例2 已知曲线y ＝2x 2上一点A (1,2)，求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程．反思与感悟求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2 曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________．命题角度2 曲线过某点的切线方程例3 求抛物线y ＝14x 2过点(4，74)的切线方程．反思与感悟过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，y 0)；(2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－y 0x 1－x 0； (3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．跟踪训练3 求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程．类型三导数的几何意义的综合应用例4 已知曲线f (x )＝x 2＋1与g (x )＝x 3＋1在x ＝x 0处的切线互相垂直，求x 0的值．引申探究若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？反思与感悟导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何等知识相联系．跟踪训练4 已知直线l ：y ＝4x ＋a 与曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标．1．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( ) A ．f ′(x )＝a B ．f ′(x )＝b C ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b2．曲线f (x )＝9x在点(3,3)处的切线的倾斜角等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°3.如图，函数y ＝f (x )的图像在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于( ) A ．－4 B ．3 C ．－2D ．14．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________. 5．求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处的切线方程．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝f ′(x 0)．2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．答案精析问题导学知识点一思考1 平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；当Δx 趋于0时，平均变化率ΔyΔx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值．梳理 lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δxf ′(x 0)瞬时变化率知识点二思考1 割线PP n 的斜率k n ＝f x n －f x 0x n －x 0.思考2 k n 无限趋近于切线PT 的斜率k . 梳理 (1)点P 处 (2)li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝f ′(x 0)(3)y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) 题型探究例1 解 ∵Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1) ＝3(Δx )2＋4Δx ， ∴Δy Δx＝Δx 2＋4ΔxΔx＝3Δx ＋4，∴f ′(1)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 跟踪训练1 解由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝lim Δx →0f＋Δx －fΔx，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0－Δx 2－ΔxΔx＝lim Δx →0 (－Δx －1)＝－1. 例2 解 (1)k ＝li m Δx →0 Δy Δx＝lim Δx →0＋Δx 2－2×12Δx＝lim Δx →0 4Δx ＋Δx 2Δx＝lim Δx →0(4＋2Δx )＝4， ∴点A 处的切线的斜率为4. (2)点A 处的切线方程是y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0.跟踪训练2 －3 解析 lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0＋Δx2＋1－22－1Δx＝lim Δx →0(4＋Δx )＝4，曲线y ＝x 2＋1在点(2,5)处的切线方程为y －5＝4(x －2)，即y ＝4x －3.∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3.例3 解设切线在抛物线上的切点为(x 0，14x 20)，∵lim Δx →0 14x 0＋Δx 2－14x 2Δx＝lim Δx →0 (12x 0＋14Δx )＝12x 0. ∴14x 20－74x 0－4＝12x 0，即x 20－8x 0＋7＝0，解得x 0＝7或x 0＝1，即切线过抛物线y ＝14x 2上的点(7，494)，(1，14)，故切线方程为y －494＝72(x －7)或y －14＝12(x －1)，化简得14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0，即为所求的切线方程．跟踪训练3 解 lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0x ＋Δx －x ＋Δx3－2x ＋x3Δx＝lim Δx →0[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2] ＝2－3x 2.设切点坐标为(x 0,2x 0－x 30)． ∴切线方程为y －2x 0＋x 30 ＝(2－3x 20)(x －x 0)．又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)，即2x 30＋3x 20＝0， ∴x 0＝0或x 0＝－32.∴切点坐标为(0,0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，38. 当切点坐标为(0,0)时，切线斜率为2，切线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0.当切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，38时，切线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的切线方程为 2x －y ＝0或19x ＋4y ＋27＝0. 例4 解因为f ′(x0)＝lim Δx →0 x 0＋Δx2＋1－x 20＋Δx＝lim Δx →0(Δx ＋2x 0)＝2x 0， g ′(x0)＝lim Δx →0x 0＋Δx3＋1－x 30＋Δx＝lim Δx →0[(Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20] ＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，因为切线互相垂直，所以k 1k 2＝－1，即6x 30＝－1，解得x 0＝－3366. 引申探究解由例4知，f ′(x 0)＝2x 0，g ′(x 0)＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，由题意知2x 0＝3x 20，得x 0＝0或23.跟踪训练4 解设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． ∵lim Δx →0 f x ＋Δx －f xΔx＝lim Δx →0x ＋Δx3－x ＋Δx2＋3－x 3－2x 2＋Δx＝3x 2－4x ，由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4，解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点的坐标为(－23，4927)或(2,3)．当切点为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，a ＝12127. 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，a ＝－5.∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)；当a ＝－5时，切点坐标为(2,3)．当堂训练1．C 2.C 3.D 4.25．解因为lim Δx →0f＋Δx －fΔx＝lim Δx →0 12＋Δx －12Δx＝lim Δx →0 －1＋Δx ＝－14.所以这条曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处的切线斜率为－14，由直线的点斜式方程可得切线方程为y －12＝－14(x －2)，即x ＋4y －4＝0.。

人教课标版高中数学选修2-2《变化率与导数(第2课时)》教案-新版

第一章导数及其应用1.1 变化率与导数(第2课时)教学目标1.核心素养通过导数的几何意义学习，体验数形结合中的“以直代曲”，感受数与形的联系，提高抽象概括能力．2.学习目标（1）1.1.3.1通过函数图像的割线，经历割线过渡到切线的过程，了解切线的形成过程..（2）1.1.3.2通过导数的几何意义，会写出切线方程．3.学习重点导数的几何意义；体会导数思想及内涵．4.学习难点（1）从割线到切线的逼近方法的理解，将导数多方面的意义联系起来．（2）能够理解“在某一点处的切线”与“过某一点的切线”的区别.一、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材P7，思考任意曲线的切线与抛物线的切线的定义的不同.任务2阅读教材P8，了解导数与切线斜率的关系.2．预习自测1. 过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为（）A．－4 B．—1 C．4 D．1 解：D2. 若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处切线方程为2x＋y＋1＝0，则（）A．h′(a)<0 B．h′(a)>0C ．h ′(a )＝0D ．h ′(a )的符号不定解：A3. 曲线y ＝－2x 2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是 ( ) A ．－4 B ．0 C ．4D ．不存在解：A（二）课堂设计 1.知识回顾（1）函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率是2121()()y f x f x x x x ∆-=∆-.（2）函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率是0000()()limlim x x y f x x f x x x∆→∆→∆+∆-=∆∆.（3）函数()f x 在0x x =处的导数的步骤分为“一差、二比、三趋近”. 2．问题探究问题探究一●活动一观察图象移动割线函数的平均变化率的几何意义是什么？因为2121()()y f x f x x x x ∆--=∆称为函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率.习惯上用x ∆表示21x x -是横坐标之差，类似地，21()()y f x f x ∆=-是纵坐标之差，所以平均变化率可以表示为过两点()()1122,(),,()x f x x f x 的直线的斜率. ●活动二动态生成逼近思想导数的几何意义是什么？如图，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.根据活动一容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ，即0000()()lim()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆.函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处切线的斜率k . 即0000()()()limx f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆.●活动三自主探究切线方程由直线的点斜式方程可知，曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()y y f x x x '-=-. 例1 已知曲线x x y 1+=上一点)25,2(A ，求：（1）点A 的切线的斜率；（2）点A 处的切线方程. 【知识点：导数的几何意义】解：（1）)2()2(f x f y -∆+=∆x x xx x ∆+∆+∆-=+-∆++∆+=)2(2)212(212 00limlim 2(2)x x y x x x x x x ∆→∆→⎡⎤∆-∆∆=+=⎢⎥∆∆+∆∆⎣⎦431)2(21lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∆+→∆x x所以点A 处的切线的斜率是34. （2）切线方程为)2(4325-=-x y 即0443=+-y x . 点拨：求切线的斜率就是求该点处的导数.例2 利用导数的定义求函数f (x )＝x 3在x ＝x 0处的导数，并求曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处切线与曲线f (x )＝x 3的交点．【知识点：导数的几何意义】解：0003322200000000()()()lim lim lim()3x x x x x x f x f x x x f x x xx x x x x x x →→→--===++=--曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线方程为320003()y x x x x -=⋅-，即230032y x x x =-，由3230032y x y x x x ⎧=⎨=-⎩得(x －x 0)2(x ＋2x 0)＝0，解得x ＝x 0，x ＝－2x 0. 若x 0≠0，则交点坐标为330000(,),(2,8)x x x x --；若x 0＝0，则交点坐标为(0,0)．点拨：求切线方程分两类：1.求曲线()f x 在某点(切点)00(,)x y 处的切线步骤：（1）求0()k f x '=；（2）点斜式求方程000()()y y f x x x '-=- 2.求过某点(不一定是切点)12(,)x y 的切线步骤：（1）设切点00(,)x y ，则00()y f x =（2）0()k f x '=，10101010()y y y f x k x x x x --==-- （3）联立方程组0010010()()()y f x y f x f x x x=⎧⎪-⎨'=⎪-⎩解出0,x 10010()()y f x f x x x -'=-（4）点斜式求方程000()()()y f x f x x x '-=- 3．课堂总结【知识梳理】(1)函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的斜率k .即0000()()()limx f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆(2)由直线的点斜式方程可知，曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为_______________. 【重难点突破】（1）函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率的几何意义是：经过两点11(,())x f x 、22(,())x f x 两点的割线的斜率.（2）导数的丰富内涵：①导数就是瞬时变化率；②曲线()y f x =上0x x =处的切线斜率为函数在0x 处的导数0()f x '；③物体某时刻的瞬时速度为其位移时间函数()s f t =在该时刻处的导数.（3）以直代曲思想：由于大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以我们用曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线，即以直代曲.以直代曲思想是微积分的基本思想之一.这个思想在本节有以下两个应用：①利用导数的正负说明曲线的升降；②依据切线倾斜程度的大小判断曲线升降的快慢. 4．随堂检测1．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为（） A ．1 B ．3 C ．－4 D ．－8【知识点：导数的几何意义】解：C提示：由题意得P (4,8)，Q (－2,2)．∵y ＝x 22，∴y ′＝x ，∴在P 处的切线方程：y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8.在Q 处的切线方程：y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.∴A (1，－4)．2．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1 【知识点：导数的几何意义】解：A 提示：y ′＝2x ＋a ，因为切线x －y ＋1＝0的斜率为1，所以2×0＋a ＝1，即a ＝1.又(0，b )在直线x －y ＋1＝0上，因此0－b ＋1＝0，即b ＝1. 3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则函数图象在x ＝0处的切线方程为（）A ．x ln 2－y －1＝0B ．x ln 2＋y －1＝0C ．x ＋y ln 2－1＝0D ．x －y ln 2－1＝0【知识点：导数的运算；导数的几何意义】解： B4．已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，如果f ′(x )是二次函数，f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任意一点处的切线的倾斜角α的取值范围是（）A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π 【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：B 提示：由题意知f ′(x )＝a (x －1)2＋3(a >0)，所以f ′(x )＝a (x －1)2＋3≥ 3，即tan α≥ 3，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2.5．若曲线31y x x =+-在点P 处的切线与直线47y x =-平行，则点P 的坐标为（）A ．(1,1)B ．(1,1)或(1,3)--C ．(1,3)或(1,1)--D ．(1,1)--【知识点：导数的运算】解：B6．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________．【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：x －y －2＝0 提示：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)，所以切线方程为x －y －2＝0. （三）课后作业基础型自主突破1．曲线22y x =在点(2,8)A 处的切线斜率为（） A. 4B. 16C. 8D. 2【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：C2．已知函数2()24f x x =-的图像上有两点(1,2)M -及(1,(1))N x f x +∆+∆，则割线MN 的斜率为（）A ．4B ．4xC ．42x +∆D ．242()x +∆【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：C3．已知点11(,)A x y ，22(,)B x y 在函数()y f x =的图像上，若函数()y f x =从1x 到2x ，则曲线()y f x =的割线AB 的倾斜角为_______________. 【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：3π提示：从1x 到2x 的平均变化率即为割线AB 的斜率. 4．曲线()y f x =在点5x =处的切线方程是y ＝－x ＋8，则(5)(5)f f '+=________.【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：2 提示：(5)(5)(58)(1)2f f '+=-++-=.5．已知P 是曲线y ＝x 2－3x 上一点，且曲线在点P 处的切线平行于x 轴，则点P 的坐标为_________．【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：39(,)24- 提示：设00(,)P x y ，00x x y ='=.6．已知函数()()f x x Q αα=∈.（1）当2α=时，求()f x 在1x =处的导数；（2）当1α=-时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程. 【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：（1）当2α=时，2()f x x =.由于22(1)(1)(1)12()y f x f x x x ∆=+∆-=+∆-=∆+∆，则2yx x∆=+∆∆，于是0(1)lim(2)2x f x ∆→'=+∆=.（2）当1α=-时，1()f x x=.00011(1)(1)11(1)lim lim lim 11x x x f x f x f x xx ∆→∆→∆→-+∆--+∆'====-∆∆+∆. 于是曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率1k =-，又(1)1f =从而曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=. 能力型师生共研7.已知函数f (x )的图象如图所示，下列数值的排序正确的是A ．0(1)(2)(2)(1)f f f f ''<<<-B ．0(2)(2)(1)(1)f f f f ''<<-<C ．0(2)(1)(2)(1)f f f f ''<<<-来:D ．0(1)(2)(1)(2)f f f f ''<<-<【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：D 提示：(1)f '，(2)f '分别表示曲线在点(1,(1))f ，(2,(2))f 处的切线斜率，而(2)(1)f f -表示过点(1,(1))f ，(2,(2))f 的直线的斜率.8．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线垂直的直线方程为__________．【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：230x y +-= 提示：曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线的斜率2k =，所以过P 与切线垂直的直线方程为12(1)2y x -=-+，即230x y +-=. 9．已知曲线31433y x =+.（1）求曲线在点(2,4)P 处的切线方程；（2）求曲线过点(2,4)P 的切线方程.【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：先求31433y x =+的导数y '.333322141411()()[()][33()]333333y x x x x x x x x x x x ∆=+∆+-+=+∆-=∆⋅+∆+∆则222220001[33()]13lim lim lim [33()]3x x x x x x x x y y x x x x x x x∆→∆→∆→∆⋅+∆+∆∆'===+∆+∆=∆∆（1）曲线在(2,4)P 的切线斜率24x k y ='==，从而切线方程为44(2)y x -=-，即440x y --=.（2）设切点为00(,)x y ，则020x x k y x ='==，所以切线方程为2000()y y x x x -=-，又3001433y x =+，切线过点(2,4)，所以3200144()(2)33x x x -+=-，解得：01x =-或02x =，所以切点为(1,1)-或(2,4)，故切线方程为11y x -=+或44(2)y x -=-，即切线方程为：20x y -+=或440x y --=.10．如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图象,请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况. 【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：（1）当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于t 轴.所以，在0t t =附近曲线比较平坦，几乎没有升降.（2）当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<.所以，在1t t =附近曲线下降，即函数()h t 在1t t =附近单调递减.（3）当2t t =时，曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<.所以，在2t t =附近曲线下降，即函数()h t 在2t t =附近单调递减.由图可知，直线1l 的倾斜程度小于2l 的倾斜程度，这说明曲线()h t 在1t 附近比2t 附近下降得缓慢. 探究型多维突破11.已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2 【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：选D ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2，故选D.12.已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．四、自助餐1．曲线212y x =在点1(1,)2P 处的切线方程为（） A ．102x y --=B ．302x y +-=C ．102x y -+= D ．302x y +-= 【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：A 提示：利用导数定义求出斜率，在用点斜式写切线方程.2．设0()0f x '=，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线（）A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴斜交【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：B3．设y ＝f (x )存在导函数，且满足0(1)(12)lim 12x f f x x∆→--∆=-∆，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为（）A ．2B ．－1C ．1D ．－2【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：B 提示：0(1)(12)lim (1)12x f f x f x∆→--∆'==-∆. 4．已知某物体的运动规律是221s t =+，则该物体在1t =到1t t =+∆这段时间内的平均速度为A ．4B ．4xC ．42t +∆D ．242()t +∆【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：C5．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于A ．2B ．4C ．6＋6Δx ＋2(Δx )2D ．6【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：D6．若f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：B 提示：∵f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，∴f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，又f ′(1)＝2，∴4a ＋2b ＝2，∴f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2.7．曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为（）A ．41y x =--B ．47y x =--C ．41y x =-D ．47y x =+【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：A8．已知函数1y ax x=+图像上各点处的切线斜率均小于1，则实数a 的取值范围是________.【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：1a ≤ 提示：由导数的定义可知：21y a x '=-，各点处切线斜率均小于1，于是211y a x '=-<，即211a x <+对于非零实数x 恒成立. 因为对于非零实数x ，2111x+>，所以1a ≤. 9．曲线y ＝ax 2－ax ＋1(a ≠0)在点(0,1)处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A.12 B ．－12 C.13 D ．－13【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：B 提示：∵y ＝ax 2－ax ＋1，∴y ′＝2ax －a ，∴y ′|x ＝0＝－a .又∵曲线y ＝ax 2－ax ＋1(a ≠0)在点(0,1)处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，∴(－a )·(－2)＝－1，即a ＝－12.10．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：因为f ′(x )＝x ′·[](x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[](x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[](x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋0＝a 1a 2…a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.11．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有正实数解．又∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，∴方程5ax 4＋1x ＝0有正实数解．∴5ax 5＝－1有正实数解．∴a <0.故实数a 的取值范围是(－∞，0)．12．已知函数3()7f x x x =-+.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）设点P 是曲线()y f x =上的任意一点.求曲线在点P 处的切线的倾斜角的取值范围.【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：3300()()()()7(7)()lim lim x x f x x f x x x x x x x f x x x∆→∆→+∆-+∆-+∆+--+'==∆∆ 3322200()lim lim (331)31x x x x x x x x x x x x∆→∆→+∆--∆==+⋅∆+∆-=-∆. （1）()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率(1)2k f '==，又(1)7f =，所以切线方程为72(1)y x -=-，即250x y -+=.（2）设00(,)P x y ，则曲线在点P 处的切线斜率为20311k x =-≥-，设在点P 处的切线的倾斜角为α，则tan 1α≥-，则02πα≤<或34παπ≤<. 13．曲线2:4C y x x =-+上两点(4,0)A ，(2,4)B .（1）求AB 所在直线的方程；（2）在曲线上是否存在一点C ，使曲线在点C 处的切线与直线AB 平行？若存在，求出点C 的坐标并求出曲线在点C 处的切线方程；若不存在，请说明理由.【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：（1）4224AB k ==--，直线AB 的方程为2(4)y x =--，即280x y +-=. （2）假设存在这样的点C ，并设C 点坐标为00(,)x y ，则在C 点的切线斜率为0()f x '，又220000000()()()4()(4)(42)f x x f x x x x x x x x x x x+∆--+∆++∆--+==-∆+-∆∆，所以0000()lim (42)42x f x x x x ∆→'=-∆+-=-，又由于曲线在C 处的切线与AB 平行，故曲线在点C 处的切线斜率00()422k f x x '==-=-，解得03x =，此时03y =，即存在点(3,3)C ，使曲线在点C 处的切线与直线AB 平行，所以曲线在点C 处的切线方程为32(3)y x -=--，即290x y +-=. 数学视野微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支科学.微积分的基本概念是函数、极限、导数、积分等，其中极限是微积分的基石.微积分是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分.微分是由联系到对曲线作切线的问题和函数的极大值、极小值问题而产生的.积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的.微积分的产生具有悠久的历史渊源.在中国，公元前4世纪，桓团、公孙龙等提出的“一尺之锤，日取其半，万世不竭”；公元3世纪刘微的“割圆术”和公元5~6世纪祖冲之、祖暅对圆周率、面积和体积的研究（祖冲之在刘微割圆术的基础上首先计算出了精确到小数点后7位的圆周率的近似值，他还相当精确的计算了球的体积），都包含着微积分概念的萌芽.在欧洲，公元前3世纪欧几里得在几何《原本》中对不可约量及面积与体积的研究，公元前3世纪阿基米德对面积及体积的进一步研究（穷竭法），也都包含上述萌芽.十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作.此后柯西与魏尔斯特拉斯等人又对微积分进行了完善.。

人教版高中数学选修2-2学案变化率与导数

变化率与导数（复习课）
【学习目标】
.掌握平均变化率与瞬时变化率的关系；
.掌握导数的定义及其几何意义，并会求简单函数的导函数；
.会求经过简单曲线上的点的切线方程.
【新知自学】
知识回顾
.平均变化率：函数在上的平均变化率为，若，,则平均变化率可表示为.
.导数的概念：设函数在区间上有定义，,当无限接近于时，比值无限趋近于一个常数，则称在点处可导，并称常数为函数在处的，记作.
.导数的几何意义：函数在处的导数的几何意义就是曲线在点处的.
.导数的物理意义:一般地,设是物体的位移函数,那么的物理意义是 ;设是物体的速度函数,那么的物理意义是.
对点练习：
.函数在区间[]的平均变化率为.
.在内可导函数满足.
.自由落体运动的物体位移()与时间()的关系为,则时该物体的瞬时速度为.
.已知(),则.
【合作探究】
典例精析
例.若曲线在点处的切线垂直于直线，求点的坐标及切线方程.
例．若,则
.
【当堂达标】
.函数在的平均变化率为
.
.若物体位移,(单位:米)则当秒时,该物体的速度为米秒.
.若,则
.
.若函数()，且，求的值.。

2第2章变化率与导数全部导学案

2第2章变化率与导数全部导学案3、4生活中的优化问题举例序号授课时间班级姓名课型新授课备课人张怡审核人孙延海学习目标会利用导数求利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用，提高将实际问题转化为数学问题的能力、重点难点重点、难点：利用导数解决生活中的一些优化问题、将实际问题转化为数学问题，根据实际利用导数解决生活中的优化问题学习过程与方法一、创设情景、新课引入生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题、通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具、这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题、二、师生互动，新课讲解导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与利润及其成本有关的最值问题；例1（课本P101例1）、海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。

现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。

如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。

再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具、利用导数解决优化问题的基本思路：解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案复备、笔记、纠错例2、在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？1、如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？课堂检测2、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？资源网3、某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系为，且生产吨的成本为元。

高中数学第2章变化率与导数章末复习课学案北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学学案

第2章变化率与导数导数的定义求导【例1】利用导数的定义求函数y ＝x 2＋1的导数．思路探究：根据求导的步骤求解即可． [解] y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋1－x 2＋1Δx＝lim Δx →02x ·Δx ＋(Δx )2Δx [(x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1]＝lim Δx →02x ＋Δx(x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1＝xx 2＋1.导数定义的理解函数f (x )在点x ＝x 0处的导数是f (x )在x 0点附近的平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；当Δx 趋于0时的极限，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx，这是数学上的“逼近思想”．对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和Δx →0的方式，掌握用定义求导数的三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形．1．设f (x )在x 处可导，则lim Δh →0f (x ＋h )－f (x －h )2h＝( )A ．2f ′(x )B ．12f ′(x ) C ．f ′(x ) D ．4f ′(x )C [lim Δh →0f (x ＋h )－f (x －h )2h＝lim Δh →0f (x ＋h )－f (x )＋f (x )－f (x －h )2h＝12lim Δh →0 f (x ＋h )－f (x )h ＋12lim Δh →0 f (x )－f (x －h )h ＝f ′(x )．]导数的几何意义的应用3(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．思路探究：(1)点(2，－6)在曲线上，利用y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；(2)点(0,0)不在曲线上要先设切点(x 0，f (x 0))再将(0,0)代入切线方程求切点即可求得． [解] (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． ∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y －(－6)＝13(x －2)，即y ＝13x －32． (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，y 0＝x 30＋x 0－16，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16. 又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8， ∴x 0＝－2．∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标为(－2，－26)，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．利用几何意义求切线时的关键利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，则切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P (x 0，y 0)得y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，① 又y 1＝f (x 1)，②由①②求出x 1，y 1的值，即求出了过点P (x 0，y 0)的切线方程．2．已知曲线y ＝1x.(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q (1,0)的切线方程； (3)求满足斜率为－14的曲线的切线方程．[解] ∵y ＝1x ，∴y ′＝－1x2.(1)∵点P (1,1)在y ＝1x上，∴k ＝y ′|x ＝1＝－112＝－1．∴在点P (1,1)处的切线方程为：y －1＝－(x －1)． ∴切线方程为：x ＋y －2＝0.(2)∵点Q (1,0)不在曲线y ＝1x上，可设切点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，1x 0，∴在A 点处的切线方程为：y －1x 0＝－1x 20(x －x 0)．∴切线方程为：y ＝－1x 20x ＋2x 0.又∵切线过点Q (1,0)，∴－1x 20＋2x 0＝0，∴2x 0－1＝0，∴x 0＝12.∴切线方程为y ＝－4x ＋4.(3)设切点坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，1x 1，则切线的斜率为k ＝－1x 21.又∵－1x 21＝－14，∴x 21＝4，∴x 1＝2或－2，∴切点为B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12或B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12，∴切线方程为：y －12＝－14(x －2)，或y ＋12＝－14(x ＋2)，∴切线方程为：y ＝－14x ＋1或y ＝－14x －1．求函数的导数(1)y ＝(1＋x 2)cos x ； (2)y ＝ln x x－2x；(3)y ＝e －ax 2＋bx .思路探究：认真分析解析式的特征，判断函数是由基本初等函数的和、差、积、商构成还是复合构成，然后选择相应的求导法则进行运算．[解] (1)∵y ＝(1＋x 2)cos x ， ∴y ′＝2x cos x ＋(1＋x 2)(－sin x ) ＝2x cos x －sin x －x 2sin x . (2)∵y ＝ln x x－2x ，∴y ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2－2x ln 2＝1－ln x x2－2x ln 2． (3)y ＝e u ，u ＝－ax 2＋bx .y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·(－ax 2＋bx )′＝e u·(－2ax ＋b )＝(－2ax ＋b )e －ax 2＋bx .运算法则求导的注意点求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题．3．求下列函数的导数．(1)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(2)y ＝3x 2－x x ＋5x －9x； (3)y ＝1＋ln 2x .[解] (1)∵y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x2，∴y ′＝3x 2－2x3.(2)∵y ＝3x 32－x ＋5－9x －12，∴y ′＝3(x 32)′－x ′＋5′－9(x －12)′ ＝92x 12－1＋92x －32＝92 x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1． (3)y ＝u 12，u ＝1＋v 2，v ＝ln x . y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝12u －12·2v ·1x＝12·11＋ln 2x·2ln x ·1x ＝ln xx 1＋ln 2 x .导数的综合问题【例4】设函数f (x )＝ax ＋x ＋b(a ，b ∈Z )，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．思路探究：(1)用待定系数法求解，根据条件通过导数建立关于a ，b 的方程组，解方程组确定a ，b 从而得到f (x )的解析式．(2)设曲线上任一点坐标(x 0，y 0)，表示出该点的切线方程，然后证明三角形的面积与点(x 0，y 0)无关．[解] (1)f ′(x )＝a －1(x ＋b )2，则依题意f ′(2)＝0，f (2)＝3. 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋12＋b ＝3，a －1(2＋b )2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝94，b ＝－83.因为a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋1x －1. (2)证明：在曲线上任取一点⎝⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0－1，由f ′(x 0)＝1－1(x 0－1)2，知在此点处的切线方程为 y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(x 0－1)2(x －x 0)．令x ＝1，得y ＝x 0＋1x 0－1，即切线与直线x ＝1的交点为⎝⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1；令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，即切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)；又直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)，从而所围成的三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0－1|2x 0－2|＝2．所以，所围成的三角形的面积为定值2．导数应用中的数学思想导函数本身就是一种函数，因此在解决有关导数的问题时，常常会用到函数方程思想．函数的思想是用运动和变化的观点、集合与对应的思想去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程思想就是分析数学问题中变量的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，从而使问题获得解决．4．已知直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，试在抛物线的弧︵AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大．[解] 设P (x 0，y 0)，过点P 与AB 平行的直线为l ，如图．由于直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A ，B 两点，所以|AB |为定值，要使△ABP 的面积最大，只要P 到AB 的距离最大，而P 点是抛物线的弧︵AOB 上的一点，因此点P 是抛物线上平行于直线AB 的切线的切点，由图知点P 在x 轴上方，y ＝x ，y ′＝12x，由题意知k AB ＝12，所以k l ＝12x 0＝12，即x 0＝1，所以y 0＝1，所以P (1,1)．。

高中数学第二章变化率与导数 2.5 简单复合函数的求导法则教案 2数学教案

简单复合函数的求导法则一、复习：1. 常见函数的导数公式： 0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=2. 两个函数的和、差、积、商的求导法则法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '= 法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭二、探究新课（一）、自主学习学生阅读课本49页“实例分析”。

1. 复合函数的定义：一般地，对于两个函数)(u f y =和b ax x u +==)(ϕ，给定x 的一个值，就得到了u 的值，进而确定了y 的值，这样y 可以表示成x 的函数，我们称这个函数为函数)(u f y =和)(x u ϕ=的复合函数，记作))((x f y ϕ=。

其中u 为中间变量。

2.复合函数))((x f y ϕ=的导数为：)()(]))(([''='='x u f x f y x ϕϕ (x y '表示y 对x 的导数)3.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数4.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．（二）、典例精讲例1、试说明下列函数是怎样复合而成的？⑴ 32)2(x y -=； ⑵2sin x y =；⑵ ⑶)4cos(x y -=π； ⑷．解：⑴函数32)2(x y -=由函数3u y =和22x u -=复合而成；⑵函数2sin x y =由函数u y sin =和2x u =复合而成； ⑶函数)4cos(x y -=π由函数u y cos =和x u -=4π复合而成；⑷函数由函数u y ln =、v u sin =和13-=x v 复合而成．说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．例2、求函数13+=x y 的导数。

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§3.1.2 导数的概念
1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；
2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．
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复习1：气球的体积V 与半径r 之间的关系是()r V =求当空气容量V 从0增加到1时，气球的平均膨胀率.
复习2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间t 的关系为：2() 4.9 6.510h t t t =-++. 求在12t ≤≤这段时间里，运动员的平均速度.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：瞬时速度
问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是
新知：
1．瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.
探究任务二：导数
问题2：瞬时速度是平均速度t
s ∆∆当t ∆趋近于0时的得导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()lim lim x x f x x f x f x
x ∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='即000()()()lim
x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆ 注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在 (2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可以为0
(3)
x
y ∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率 (4)导数x
x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/
是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度.
小结：由导数定义，高度h 关于时间t 的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率.
※ 典型例题
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh 时，原油的温度（单位：0
c ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢.
例2 已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)， (1)当t =2，Δt =0.01时，求
t
s ∆∆. (2)当t =2，Δt =0.001时，求t s ∆∆. (3)求质点M 在t =2时的瞬时速度
小结：
利用导数的定义求导，步骤为：
第一步，求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；
第二步：求平均变化率0()f x x y x x
+∆∆=∆∆；第三步：取极限得导数00()lim
x y f x x ∆→∆'=∆.
※ 动手试试
练1. 在例1中,计算第3h 和第5h 时原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
练2. 一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是2()s t t =(位移单位：m ，时间单位：s)，求小球在5t =时的瞬时速度
三、总结提升
※ 学习小结
这节课主要学习了物体运动的瞬时速度的概念，它是用平均速度的极限来定义的，主要记住公式:瞬时速度v =t
t ∆→∆
※ 知识拓展
※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1. 一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么0lim t s t
∆→∆∆为（）
Ａ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度；
Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度；
Ｃ．当时间为t ∆时物体的速度；
Ｄ．从时间t 到t t +∆时物体的平均速度
2. 2y x =在 x =1处的导数为（）
A ．2x
B ．2
C ．2x +∆
D ．1 3. 在0000()()()lim x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆中，x ∆不可能（） A ．大于0 B ．小于0
C ．等于0
D ．大于0或小于0
4.如果质点A 按规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为
5. 若0()2f x '=-，则0001[]()2lim k f x
k f x k
→--等于 1. 高台跳水运动中，ts 时运动员相对于水面的高度是：
2() 4.9 6.510h t t t =-++(单位: m),求运动员在1t s =时
的瞬时速度,并解释此时的运动状况.
2. 一质量为3kg 的物体作直线运动,设运动距离s(单位：cm)与时间（单位：s ）的关系可用函数2
()1s t t =+表示，并且物体的动能212
U mv =. 求物体开始运动后第5s 时的动能.。