数值并行算法矩阵运算
Chapter 0
Introduction
Spring, 2018
2018/8/12
《并行算法》 1 / Ch0
主要内容
0.1 任课教师和课程主页 0.2 课程介绍 课程内容、特点和授课方式 教材和主要参考书目 课程在并行计算技术中的地位
2018/8/12 《并行算法》 5 / Ch0
0.2 课程简介: 教材和主要参考书目
教材： 陈国良, 并行算法的设计与分析
（第3版）, 高等教育出版社,
2009.8
主要参考书目：
Kai Hwang,Zhiwei Xu”,Scalable Parallel
Computing”,McGraw-Hill,1998
0.3 课程考核和评分要求
0.4 并行计算介绍 什么是并行计算? 为什么需要并行计算? 几种实现方案 并行计算的粒度 并行计算的研究领域 TOP500和China TOP100 问题示例
2018/8/12
《并行算法》 2 / Ch0
0.1 任课教师和课程主页
任课教师 徐 云 xuyun@ 我的研究优化
//综合：并发、分布、流水
//流水线 //分布
2018/8/12
《并行算法》 11 / Ch0
0.4 并行计算介绍: 为什么需要并行计算？(1)
Interest in parallelism since the very ancient era of computers(e.g. ILLIAC IV of 1967 had 64 processors) Parallel Processing is an effective answer for the tremendous future computing requirements. applications impulses: Data-intensive applications: videoconferencing, virtual reality,
2018/8/12 《并行算法》 7 / Ch0
主要内容
0.1 任课教师和课程主页 0.2 课程介绍 课程内容、特点和授课方式 教材和主要参考书目 课程在并行计算技术中的地位 0.3 课程考核和评分要求 0.4 并行计算介绍 什么是并行计算? 为什么需要并行计算? 几种实现方案 并行计算的粒度 并行计算的研究领域 TOP500和China TOP100 问题示例
2018/8/12
《并行算法》 8 / Ch0
0.3 课程考核和评分要求
Examination and Grading
-Lessons & Answer: 10% -Paper: 30%
-Final written exam: 60%
2018/8/12
《并行算法》 9 / Ch0
主要内容
0.1 任课教师和课程主页 0.2 课程内容介绍 课程内容、特点和授课方式 教材和主要参考书目 课程在并行计算技术中的地位 0.3 课程考核和评分要求 0.4 并行计算介绍 什么是并行计算? 为什么需要并行计算? 几种实现方案 并行计算的粒度 并行计算的研究领域 TOP500和China TOP100 问题示例
专业博士生 面向计算机
算法设计与分析并行排序和 选择算法
并行算法类课 程教学网站
VLSI计算理论 与并行算法
并行图论算法
分布式算法
面向计算机专业
并行算法的设计与分析
并行算法类 课程实践
算法实现
并行算法实践
并行计算机 体系结构
算法应用基础
并行计算： 结构.算法.编程
面向计算机专 或计算科学的研
高性能计算导论
J.JaJa,”Introduction to Parallel Algorithms”, Addison
Wesley,1992
A.Gramma et al, ”Introduction to Parallel
2011
Computing”(Second Edition), 北京：机械工业出版社, 2003
课程主页 /~xuyun/pa.htm
《并行算法》 3 / Ch0
2018/8/12
主要内容
0.1 任课教师和课程主页 0.2 课程介绍 课程内容、特点和授课方式 教材和主要参考书目 课程在并行计算技术中的地位 0.3 课程考核和评分要求 0.4 并行计算介绍 什么是并行计算? 为什么需要并行计算? 几种实现方案 并行计算的粒度 并行计算的研究领域 TOP500和China TOP50 问题示例
2018/8/12
《并行算法》 10 / Ch0
0.4 并行计算介绍: 什么是并行计算？
A parallel computer is a “collection of processing elements that communicate and cooperate to solve large problem fast”. –-David E. Culler Or all processors cooperate to solve a single problem Daily life examples: House construction Car manufacturing Grocery store operation
陈国良, “并行计算：结构· 算法· 编程” 北京：高等教育出版社， Rajaraman, Ullman.大数据互联网大规模挖掘与分布式处理(中
2018/8/12
译本). 人民邮电出版社, 2015.7
《并行算法》 6 / Ch0
0.2 课程简介 : 课程在并行计算技术中的地位 算法理论
可计算性与 计算复杂性 算法研究的 数学基础
2018/8/12
《并行算法》 4 / Ch0
0.2 课程介绍: 内容、特点和学习方式
课程内容： 基础知识：并行机结构模型、并行计算模型、并行算法基本知识等； 非数值并行算法：排序、选择、组合搜索、串匹配、图论算法等； 数值并行算法：矩阵运算、线性方程组求解、FFT算法等； GPU算法：GPU上并行算法、多核并行算法； 热点技术：区块链、全文本索引等。 课程特点： 追求算法上界最优(并行计算时间、并行成本、加速比)； 强调严密的理论分析； 展现优秀的算法思想。 学习方式： 课程讲授、大作业和课堂讨论相结合
gpu并行库 矩阵运算
GPU并行库矩阵运算随着科学技术的不断发展，计算机的性能越来越强大。
在这个过程中，GPU (Graphics Processing Unit) 作为一种强大的并行计算设备，受到了越来越多的关注。
GPU可以同时执行多个任务，因此在需要处理大量数据或进行复杂计算的情况下，GPU可以比CPU 更快地完成任务。
在GPU并行计算中，矩阵运算是一个非常重要的领域。
矩阵是一种二维数组，它可以用来表示线性方程组和转换矢量等。
矩阵乘法是矩阵运算中最基本的运算之一，它涉及到大量的数据和计算，因此非常适合在GPU上进行并行计算。
为了实现高效的矩阵运算，GPU并行库应运而生。
GPU并行库是一种用于GPU并行计算的软件库，它提供了一系列函数和工具，以帮助程序员在GPU上实现高效的并行计算。
在GPU并行库中，矩阵运算被广泛支持。
例如，CUDA (Compute Unified Device Architecture) 是一种由NVIDIA提供的GPU并行计算平台和编程模型，它提供了一些优化后的矩阵运算函数，如cuBLAS (CUDA Basic Linear Algebra Subprograms) 和cuSPARSE (CUDA Sparse Matrix) 等。
这些函数使用高效的算法和数据结构，能够在GPU上实现高效的矩阵运算。
除了CUDA外，OpenCL (Open Computing Language) 也是一种支持GPU并行计算的平台和编程模型。
OpenCL提供了一些矩阵运算函数，如clBLAS (OpenCL Basic Linear Algebra Subprograms) 和clSPARSE (OpenCL Sparse Matrix) 等。
这些函数和CUDA中的函数类似，也能够在GPU上实现高效的矩阵运算。
此外，一些深度学习框架如TensorFlow和PyTorch等也提供了GPU并行计算的支持，并且提供了一些优化后的矩阵运算操作。
并行算法在矩阵计算中的应用研究
２并行计算机理论基础
（２）阵列处理机阵列处理机通常系由一个控制单元ＣＵ（Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｕｎｉｔ）、ｎ个处理单 元ＰＥ（Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｅｌｅｍｅｎｔ）、Ｍ个存储模块Ｍ和一个互连网络１Ｎ（Ｉｎｔｅｒｃｏｒｍｅｃｔｉｏｎ Ｎｅｔｗｏｒｋ） 所组成。ＣＵ将单一指令（单指令流）播送至各个ＰＥ，而所有活动的ＰＥ将从相应的Ｍ中 取出各自所需的数据元素（多数据流），以同步的方式执行该条指令。在阵列机中，ＩＮ也 常叫做对准（Ａｌｉｇｎｍｅｍ）或置换（Ｐｅｒｍｕｔａｔｉｏｎ）网络，它用来提供各ＰＥ之间或ＰＥ与Ｍ之 间的通信连接。
ｓｔｕｄｉｅｄ ｔｈｅ ｍａｔｒｉｘ ｍｕｌｔｉｐＨｃｍｉｏｎ ｐａｒａｌｌｅｌ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ ｉｎ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ
ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ．Ｗｅ ａｎａｌｙｚｅｄ ｔｈｅ ｐａｒａｌｌｅｉ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｍａｔｒｉｘ ｍｕｌｔｉｔ）ｌｉｃａｔｉｏｎ ｉｎ ＭＩＭＤ，
１绪论
用。主要分为三个大的部分。 第一部分：对并行处理机和并行处理技术进行了概述。介绍了并行算法的基本概念和
相关的评价指标。 第二部分：研究了矩阵乘法在分步式处理机上的并行处理技术。在原有Ｓｔｒａｓｓｅｎ算法
和Ｗｉｎｏｇｒａｄ算法的基础上，提出了对ＳＩＭＤ．Ｌｃ结构的并行机，可适用的按行分块的并行 处理算法，给出了算法的实现步骤，并且分析了该算法的加速比。对ＭＩＭＤ上的矩阵乘法 的并行算法进行了分析，进一步分析了算法的可扩展性和并行处理的效率。
２．２．１ ＳＩＳＤ型计算机
目前所设计和建造的大多数计算机都是这类机器，它不属于并行机，而属于传统的 串行计算机。它有两种非常重要的特征：串行的和确定的。
２．２．２ ＳＩＭＤ型并行机
并行计算中稠密矩阵运算
并行计算中稠密矩阵运算一、引言稠密矩阵运算是并行计算中的重要领域之一，在科学计算、数据分析和机器学习等领域都得到了广泛应用。
本文将从并行计算的角度出发，探讨稠密矩阵运算在并行计算中的应用及其相关技术。
二、并行计算中的稠密矩阵运算稠密矩阵运算主要涉及到矩阵乘法、矩阵分解、矩阵求逆、特征值计算等方面。
在并行计算中，这些运算的主要挑战来自于如何最大化利用计算资源，提高计算效率，同时避免死锁和其他并发问题。
基于并行化思想的稠密矩阵计算方法主要有两种：数据并行和任务并行。
数据并行将矩阵分割成若干块，同时将计算任务分配到多个处理器上进行计算。
任务并行则将矩阵分解成若干个子任务，每个子任务在独立的处理器上进行计算。
1. 矩阵分块技术矩阵可以利用分块技术进行分割，将稠密矩阵分成若干小块，再将小块分别分配到不同的处理器上进行计算。
这样做可以减少整个计算任务中的通信量，提高计算效率。
2. 并行矩阵乘法矩阵乘法是并行计算中最基本也是最常见的操作之一。
并行矩阵乘法的实现主要利用了任务并行：将矩阵乘法的运算过程分解成若干个子任务，每个子任务在独立的处理器上进行计算。
3. 并行矩阵分解在处理大型稠密矩阵时，往往需要将其分解成较小的分块矩阵进行计算。
目前，常用的并行矩阵分解方法主要有LU分解、QR 分解、SVD分解等。
1. 科学计算在科学计算中，稠密矩阵运算广泛应用于数值模拟、图像处理、计算流体动力学等领域。
高效的并行稠密矩阵计算能够大幅缩短计算时间，提高计算精度。
2. 数据分析数据分析中常常需要对大量数据进行稠密矩阵运算，例如特征值分解、主成分分析等。
并行计算可以在较短的时间内处理大量数据，加速数据分析的过程。
3. 机器学习在机器学习中，基于稠密矩阵的数据处理和计算是必不可少的。
并行计算能够大幅缩短计算时间，提高机器学习模型的训练速度和性能。
五、总结并行计算中的稠密矩阵运算是高性能计算的一个重要领域。
通过使用数据并行和任务并行等技术，可以最大化利用计算资源，提高计算效率。
矩阵乘法的并行算法分析
心动阵列
它把算法中蕴含的操作并行性用由具有同样逻辑功能的 PE通过简单的、规则的通讯几何局部地互连起来的阵 列来实现。这样的阵列除了连接几何形状有所变化外， 在阵列内，无论输入数据流或结果数据流的速度与方向 都有所变化，这是传统的流水线结构所没有的。在功能 上，一个这样的阵列相当于软件中一个含有循环语句的 过程。
心动阵列(Systolic array)
由一组简单、重复PE构成，每个PE执行固定简单操作 。每个PE只与相邻的PE有规则连接。除了极少数边界 PE外，所有内部PE的构造都是一样的。进入/输出阵列 的数据必须在边界PE进入/输出阵列。
心动阵列
存储器
PE
PE
PE
PE
PE
图中存储器的作用有点象心脏，心脏收缩把血 液压入循环系统，经过处理又回到心脏。 Systolic在英文里是心脏有节奏地收缩的意思 。在心动阵列中，数据从计算机的存储器中有 节奏地流出并“压”入阵列，经过许多连成流 水线的PE，沿途得到连续的有效处理。
17/40
心动阵列
心动阵列实质上是一种线性时间阵列。数据在阵列内的相邻 PE之间的运动，时时、处处都用相同的时间单位。因此， 任何算法若能在抽象代数空间中找到一种线性表示，就至少 存在着一种心动阵列来实现它。例如，离散傅立叶变换（ DFT）的表示是线性的。它的数据运动具有局部性，所以很 容易找到其心动阵列实现。 心动阵列免除了形成数据流所需的控制开销。阵列内PE间 的局部连接方式，使得阵列中负载均匀、连线极短、最大限 度的减少了系统内部的通讯延时，提高PE的利用率。
矩阵乘法并行算法分析课件
增加并行度对加速比的贡献会逐渐减小。
实际应用中的性能表现
矩阵规模
在实际应用中，矩阵的规模对并行算法的性能表现有显著影响。
数据分布
数据在矩阵中的分布情况也会影响并行算法的性能，如均匀分布 、稀疏矩阵等。
系统环境
并行算法在实际应用中的性能表现还受到系统环境的影响，如硬 件资源、操作系统等。
PART 05
在数据密集型应用中，如机器学习、图像处理等领域，并行计算 能够显著提高数据处理速度和效率。
云计算平台
随着云计算技术的发展，并行计算在云计算平台上的应用将更加广 泛，为大数据处理提供更高效、灵活的计算服务。
人工智能与机器学习
并行计算在人工智能和机器学习领域的应用前景广阔，能够加速模 型训练和推理过程，提高人工智能应用的性能和效率。
3
数据处理
在数据处理中，矩阵乘法可以用于数据分析和挖 掘等领域，如图像处理和自然语言处理等。
PART 02
矩阵乘法并行算法的实现 方式
基于线程的并行算法
总结词
通过多线程并行执行，充分利用多核处理器资源。
详细描述
基于线程的并行算法利用操作系统的线程库，将矩阵乘法任务划分为多个子任务，每个子任务由一个线程执行。 线程间通过共享内存或消息传递进行通信，以完成整个矩阵乘法操作。
基准测试
通过对比不同并行算法在相同规模矩阵乘法任务上的 执行时间，评估算法的性能。
性能指标
包括吞吐量、加速比、并行度等，用于量化算法的效 率。
并行度与加速比的关系
并行度
01
指并行算法中同时处理的任务数量，与硬件资源有关。
加速比
02
指并行算法相对于串行算法的性能提升比例。
关系
数值计算中的矩阵计算和迭代算法的应用
矩阵计算和迭代算法在数值计算中扮演着非常重要的角色。
它们被广泛应用于计算机科学、物理学、工程学等领域。
本文将讨论矩阵计算和迭代算法在数值计算中的应用，并且介绍一些相关的算法和方法。
首先，让我们了解一下矩阵计算的基本概念。
矩阵是由若干个数按照一定的规律排列成的一个矩形的数组。
矩阵的大小由它的行数和列数确定。
矩阵可以进行加法、减法、乘法等基本运算，而这些运算可以在数值计算中广泛应用。
矩阵计算在数值计算中有许多应用，其中最重要的应用之一是线性方程组的求解。
线性方程组是由一组线性方程构成的方程组，例如：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ = b₂a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ = b₃其中，x₁、x₂、x₃是未知数，a₁₁、a₁₂、a₁₃等是已知的系数，b₁、b₂、b₃是已知的常数。
矩阵可以非常方便地表示这个方程组，例如用向量表示法：Ax = b其中，A是一个矩阵，x和b是向量。
对于这个方程组，我们可以利用矩阵计算的方法，比如矩阵的求逆、矩阵的行变换等来求解未知数。
除了线性方程组的求解，矩阵计算还广泛应用于最小二乘问题的求解。
最小二乘法是一种数学优化问题的解法，主要用于拟合数据和估计参数。
在实际问题中，往往存在多个数据点，这些数据点可能存在噪声或误差。
最小二乘法可以通过最小化误差的平方和来找到最优的拟合曲线或参数。
迭代算法在数值计算中也扮演着重要的角色。
迭代算法是一种通过迭代逼近的方法求解数学问题的算法。
迭代算法的基本思想是从一个初始值开始，通过不断迭代来逼近问题的解。
迭代算法往往在每一次迭代中都使用前一次迭代的结果来计算新的值，直到满足收敛条件。
迭代算法在数值计算中有广泛的应用，其中最著名的应用之一是求解非线性方程的根。
非线性方程是指方程中包含未知数的幂、指数、对数等非线性项的方程。
对于非线性方程，往往不存在解析解，因此需要借助迭代算法来进行数值求解。
第六讲矩阵计算并行算法
矩阵向量乘积
串行算法
实现方法二：j-i 循环 y=0 % 先赋初值 for j=1 to n for i=1 to m y(i)=y(i)+A(i,j)*x(j) end for end for
例：ex4matvec.f
9
矩阵向量乘积
并行算法一
矩阵的划分方法：按行划分和按列划分 按行划分并行算法
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矩阵矩阵乘积
C A B
串行算法一：i-j-k 循环
A R
ml
, BR
l n
for i=1 to m for j=1 to l C(i,j)=0 for k=1 to n C(i,j)=C(i,j)+A(i,k)*B(k,j) end for end for end for
15
6
主要内容
并行算法基础知识
矩阵向量乘积的并行算法
矩阵矩阵乘积的并行算法 矩阵的 LU 分解并行算法 下三角线性方程组的并行算法
7
矩阵向量乘积
y Ax
串行算法
实现方法一：i-j 循环
A R
mn
, xR
n
for i=1 to m y(i)=0.0 for j=1 to n y(i)=y(i)+A(i,j)*x(j) end for end for
本算法中，Cj = Cmyid, j , A = Amyid , B 在处理器中每次循环向前移 动一个处理器，即每次交换一个子矩阵数据块，共交换 p-1 次
19
行列划分程序示例
例：按行列划分并行计算矩阵乘积，其中
A ( aij ) R
1 nn
1 , aij i j 1
c语言mpi并行计算矩阵乘法
c语言mpi并行计算矩阵乘法
C语言中的MPI（Message Passing Interface）是一种用于编写并行程序的标准，它允许多个进程在不同的计算节点上进行通信和协作。
矩阵乘法是一个经典的并行计算问题，可以通过MPI来实现并行化。
首先，我们需要将矩阵乘法的计算任务分配给不同的进程。
可以将两个矩阵分别分块，然后将这些块分配给不同的进程。
每个进程负责计算其分配到的部分，并将结果发送回主进程。
在C语言中，可以使用MPI库来实现这一过程。
首先，需要初始化MPI环境，并确定每个进程的编号和总进程数。
然后，主进程可以负责将矩阵分块并发送给其他进程，其他进程则接收并进行计算。
计算完成后，结果可以发送回主进程，由主进程进行汇总。
需要注意的是，在并行计算中，需要考虑数据通信的开销以及负载均衡等问题。
合理地分配任务和减少通信开销是并行计算中需要考虑的重要问题。
另外，还可以考虑使用一些优化技术来提高并行矩阵乘法的性
能，比如使用非阻塞通信、优化数据布局以减少通信量、使用多级并行等技术。
总之，使用C语言和MPI实现矩阵乘法的并行计算需要考虑任务分配、数据通信、性能优化等多个方面，需要综合考虑并合理设计并行算法。
并行矩阵运算
—49—
策略，把对全局 (或阶段性 )计算结果有影响且有关联的 value 采用相同 key 标志。由于这种策略的简单抽象，因此用户可 以较容易地把握局部和全局关系，从而确保问题求解并行实 现的正确性，并进一步降低并行分布式编程的难度。
图1
MapReduce 模型下的 WordCount 运行示意图
Begin for k=1 to n do // 主行选取 // 消元计算 for i=k+1 to n do end for for i=k+1 to n do for j=k+1 to n do a[i, j]= a[i, j]-a[i, k]×a[k, j] end for end for end for End
运行系统自动完成。 (3)用户提供的 Reduce 程序只须将获得的 value 累加即可 得到结果。 Map 算法和 Reduce 算法如下 [1]：
Map(String key, String value): // key: document name // value: document content for each word w in value: EmitIntermediate(w, “1”); Reduce(String key, Iterator values): // key: a word // value: a list of counts int result=0; for each v in values: Result +=ParseInt(v); Emit(AsString(result));
MapReduce 与传统并行编程模型的比较
图 1 是在 MapReduce 模型下的 WordCount 运行示意图。 由上文可知，与传统并行编程模型相比， MapReduce 模型具 有较高的并行表述抽象性。用户仅须提供 Map 和 Reduce 操 作函数即可。与 MPI 类似，MapReduce 是一种显式数据划分 的并行分布式编程模型。在 Map 阶段局部数据处理通常产生 局部结果。用户可以借助 MapReduce 模型提供的 key/value
高性能计算中并行矩阵运算技术的使用教程与性能评估
高性能计算中并行矩阵运算技术的使用教程与性能评估概述高性能计算是通过使用并行计算技术来加速计算任务的处理速度。
其中，矩阵运算是高性能计算中的重要一环。
本文将介绍并行矩阵运算技术的使用教程，并提供性能评估的相关内容。
一、并行矩阵运算技术的基本原理并行矩阵运算技术利用计算机系统中的多个处理器或计算节点并行计算矩阵运算任务，以提高计算效率。
其基本原理可以归纳为以下几个方面：1.任务划分：将待运算的矩阵划分为多个小块，分配给不同的处理器或计算节点。
每个处理器或计算节点独立计算相应的小块，从而实现任务的并行处理。
2.数据通信：在任务划分后，处理器或计算节点之间需要进行数据通信，以传递所需的数据。
常见的通信方式包括点对点通信和集合通信。
3.任务调度：处理器或计算节点之间的任务调度是保证并行矩阵运算效率的关键。
合理的任务调度可以减少通信开销，提高并行计算的效率。
二、并行矩阵运算技术的使用教程以下将介绍并行矩阵运算技术的使用教程，包括任务划分、数据通信、任务调度等方面的内容。
1. 任务划分任务划分是并行矩阵运算技术的重要一环。
通常情况下，将矩阵均匀地划分为多个小块是常用的策略。
具体步骤如下：（1）确定矩阵的维度：首先确定待运算的矩阵的维度，如N×N。
（2）确定划分的方式：根据计算资源的分配情况和任务的复杂度，选择适当的划分方式，如按行划分、按列划分或按块划分等。
（3）划分矩阵：根据选择的划分方式，将矩阵划分为若干个小块，分配给不同的处理器或计算节点。
2. 数据通信数据通信是并行矩阵运算中的关键步骤，用于在处理器或计算节点之间传递所需的数据。
以下是几种常见的数据通信方式：（1）点对点通信：在点对点通信中，两个处理器或计算节点之间进行数据交换。
常见的通信方式包括发送和接收操作，用于在处理器之间传递所需的数据。
（2）集合通信：集合通信用于在多个处理器或计算节点之间进行数据的全局交换。
常见的集合通信操作包括广播、散射、聚集和规约等。