第二章 平面力系(H)
第二章--平面汇交力系
B
C
a
A
D
RA
RD
2．画力三角形。因为力系平衡所以力三角形 自行封闭,力的箭头首尾相接。如果不能满足 首尾相接的条件，说明原来假设的力的方向
有误，则应把受力图中力的指向改正过来
[力三角形见图] P
B
C
A
D
RA
RD
2．画力三角形。因为力系平衡所以力三角形 自行封闭,力的箭头首尾相接。如果不能满足 首尾相接的条件，说明原来假设的力的方向 有误，则应把受力图中力的指向改正过来 [力三角形见图]
力的多边形 自行封闭．
必要充分条件
设刚体上作用一平面汇交力系(图)。现按 力的多边形法则合成:
F4
F3
F1 F2
若第一个力的起点与最后一个力的终点恰好 互相连接而构成一个自行封闭的力多边形， 即表示力系的合力 R 等于零，则此力系为 平衡力系.
例 刚体上作用一平面汇交力系,五个力大小
相等,彼此夹72°角
cos RX
R
4170
0.834
5000
Y RX O
Rα
X
RY
RX = ∑FX = - 4170N
RY = ∑FY = - 2750N
R 5000N
由于RX和RX都是负值， 所以合力只应在第三象限 α = 33.5 °
2.2平面汇交力系的平衡条件 及应用
1 平衡的几何条件:
要使平面汇交力 系成为平衡力系，
②求分力在坐标轴上的代数和:
RX = ∑FX RY = ∑FY
③合力的大小和方向用 R, 角度 α, β 表示 Y
RY β R
α
RX
X
Y
RY β R
工程力学课后习题答案
工程力学练习册学校学院专业学号教师姓名第一章静力学基础1-1 画出下列各图中物体A，构件AB，BC或ABC的受力图，未标重力的物体的重量不计，所有接触处均为光滑接触。
（a）（b）（c）（d）（e）（f）（g）1-2 试画出图示各题中AC杆（带销钉）和BC杆的受力图（a）（b）（c）（a）1-3 画出图中指定物体的受力图。
所有摩擦均不计，各物自重除图中已画出的外均不计。
（a）（b）（c）（d）（e）（f）（g）第二章 平面力系2-1 电动机重P=5000N ，放在水平梁AC 的中央，如图所示。
梁的A 端以铰链固定，另一端以撑杆BC 支持，撑杆与水平梁的夹角为30 0。
如忽略撑杆与梁的重量，求绞支座A 、B 处的约束反力。
题2-1图∑∑=︒+︒==︒-︒=PF F FF F F B A yA B x 30sin 30sin ,0030cos 30cos ,0解得: N P F F B A 5000===2-2 物体重P=20kN，用绳子挂在支架的滑轮B上，绳子的另一端接在绞车D上，如图所示。
转动绞车，物体便能升起。
设滑轮的大小及轴承的摩擦略去不计，杆重不计，A 、B 、C 三处均为铰链连接。
当物体处于平衡状态时，求拉杆AB 和支杆BC 所受的力。
题2-2图∑∑=-︒-︒-==︒-︒--=030cos 30sin ,0030sin 30cos ,0P P F FP F F F BC yBC AB x解得: PF P F AB BC 732.2732.3=-=2-3 如图所示，输电线ACB 架在两电线杆之间，形成一下垂线，下垂距离CD =f =1m ，两电线杆间距离AB =40m 。
电线ACB 段重P=400N ，可近视认为沿AB 直线均匀分布，求电线的中点和两端的拉力。
题2-3图以AC 段电线为研究对象，三力汇交NF N F F F FF F F C A GA yC A x 200020110/1tan sin ,0,cos ,0=======∑∑解得：ααα2-4 图示为一拔桩装置。
第二章-平面力系
3 1 6 ( k N ) Q 3 7 5 ( k N )
分析讨论：从Qmin=(Gb+FP)/(x+a) 和 Qmax=G(a+b)/x 可 以看出，为了增加起重机的稳定性，可从减小 x 值或 增加 a 值这两个方面来考虑。 其最终目标是，扩大 [Qmin，Qmax ]的区间范围。
平面任意力系的平衡方程及其应用 14
箕斗对轨道的压力大小分别等于FNA与FNB，方向与之 相反。
平面任意力系的平衡方程及其应用 8
• 平面特殊力系的平衡方程
平面汇交力系的平衡方程 力系中所有各力在任意互成垂直的两个坐标轴上投 影的代数和分别等于零。
平面任意力系的平衡方程及其应用 9
例2-4 重G=20kN的物体被绞车吊起，绞车的绳子绕过 光滑的定滑轮B，如图所示。若滑轮由不计重量的杆 AB、BC支持，A、B、C三点都是光滑铰链联接，滑轮 B的大小可忽略不计，试求杆AB和杆BC所受的力。
平面任意力系的主矢(主向量，主矢量)
F F F R i i
i 1 i 1nLeabharlann n平面任意力系的简化
3
主矢与简化中心位置无关。在直角坐标系下的投影 n n 式为 F F , F F Rx ix Ry iy
i 1 i 1
主矢的大小为
2 2 2 2 F ( F ) ( F ) ( F ) ( F ) R Rx Ry ix iy
主矢与x轴所夹之锐角 为
tan | F / F | iy iy
M M M ( F O i O i)
i 1 i 1 n n
附加的平面力偶系可以合成为一个合力偶，其矩为
平面任意力系的简化
理论力学平面力系的简化和平衡
原力偶系的合力偶矩
n
M Mi i 1
只受平面力偶系作用的刚体平衡充要条件：
n
M Mi 0 i 1
对BC物块对B点取矩，以逆时针为正列方程应为：
M 2 M B (FC ) M FCY a FCx b M FC (b a) cos45 0
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m1m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
两轴不平行即 条件：x 轴不 AB
可，矩心任意
连线
mA (Fi ) 0 mB (Fi ) 0 mC (Fi ) 0
③三矩式 条件：A,B,C不在
同一直线上
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
4. 平面一般力系的简化结果分析
简化结果： 主矢R ，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② R =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
解除约束，可把支反
力直接画在整体结构
的原图上）
解除约束
由
mA (Fi
)
0
P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0 XA 0
Y 0 YB NB P0,
YA
P 3
2.5物体系统的平衡、静定与超静定问题
1、物体系统的平衡问题 物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫∼。 [例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
N2个物体受平面汇交力系（或平面平行力系）
X 0 Y 0
2*n2个独立平衡方程
N3个物体受平 X 0 面任意力系 Y 0
第二章 平面力系
平面力系
§2-1 一般概念
一.力系分类
平面力系（汇交力系、平行力系、一般力系） 空间力系
二.工程实例 在工程地质和工程建筑物中，常遇到
的一些平面力系问题，如：
铁路绗架、水坝、坝基 空间问题一般简化为平面问题处理
W1
W2
1m
§2-2 平面汇交力系的合成与分解
一、二力合成 1、几何法：已知作用在物体上的两个力，F1、F2 ，它们
5.力偶在任意坐标轴上的投影恒等于零.
§2-6 平面力系的合成
一、力的平移定理 作用在物体上的力可以平移到任意点，但必须附加上
一力偶，其矩大小等于此力对新作用点之矩。
M B M B (F ) F d （2 - 10）
二、平面任意力系向已知点简化（如下图）
1、简化方法：
2、简化结果：
主矢 FR Fi 主矩 M O M O (F i) （2 - 11）
P 2 10m
BT T
W1 R
N W2
T
P2
解：可以用解析法和图解法解此题 答案：Ｔ=7500KN，N=21500KN
§2-8 平面一般力系平衡条件和方程式
一、平面任意力系的平衡条件（充要条件）
R0， M00 二、平面任意力系平衡方程式 主矢
必有 主矩
R ( F x)2( F y)20
Fx 0
主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关
三、平面任意力系的合成
1、力和力偶合成一个力 2、合力矩定理：
平面力系的合力，对该平面任一点之矩，等于各分力 对同一点之矩的代数和。
n
M0 R m0(Fi) i1
3、简化结果分析，四种情况有三种结果
§2-7 重心
3-平面力系-汇交力系
解：(1) 取铰A为研究对象，画受力图。
B
两杆为二力杆。AB杆的约束力FAB（设为拉力）
及AC杆的约束力FAC（设为拉力）.
y
A 600
（2）列出平衡方程： ∑Fx= 0
。FAB 30
A
450
－FAB cos30o －FACcos45o =0
。
x
45
∑Fy= 0
FAC
－G+FAB sin30o －FACsin45o =0
2 70.7N 2
F3x = 0
F4x F4 100N
14
§2-1 平面汇交力系 2.力的解析表达式 F Fx Fy Fx 和 Fy：力 F 的两个正交分力 Fx Fxi Fy Fy j Fx 和 Fy：力 F 在 x 和 y 轴上的投影 力的解析表达式： F Fxi Fy j
例题2-1. 三个力作用在铁环上，其力的作用线均过铁环圆心点O，
已知三力的大小分别为F1=130N， F2=100N， F3=80N 。试确定这三个 力的合力FR。
方法一，图解法:
按一定比例，沿各自的方 向将F1、 F2、 F3首尾相接
在∆abc中由余弦定理可得： FR1 F12 F22 2F1F2 cos120 199.75N
试求支座 A 和 D 处的约束力。 F
B
C
解：方法一
（1）取钢架为研究对象，作受力图。
a
arctan a 26.6
D
2a
A
（2）建立坐标系 （3）列出平衡方程：
2a
y
∑Fx= 0, F+FA cos26.6o =0
F
B
C
∑Fy= 0, FD +FAsin26.6o =0
平面力系
平面力系——各力作用线都在同一平面内的力系。
空间力系——各力作用线不在同一平面内的力系。
汇交力系——作用线交于一点的力系。
平行力系——作用线相互平行的力系。
一般力系——作用线既不完全交于一点又不完全平行的力系。
2.1 平面汇交力系平面汇交力系的工程实例：2.1.1 力的分解按照平行四边形法则，两个共作用点的力，可以合成为一个合力，解是唯一的；但反过来，要将一个已知力分解为两个力，如无足够的条件限制，其解将是不定的。
2.1.2 力在坐标轴上的投影注意:力的投影是代数量，它的正负规定如下：如由a到b的趋向与x轴（或y轴）的正向一致时，则力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取负值。
2.1.3合力投影定理合力投影定理——合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
2.1.4 平面汇交力系的平衡条件平面汇交力系可以合成为一个合力，即平面汇交力系可用其合力来代替。
显然，如果合力等于零，则物体在平面汇交力系的作用下处于平衡状态。
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力F等于零。
即即力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上投影的代数和都等于零。
这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。
例2-1 如图所示为一吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。
已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，与水平成30度角；F3=3000N，铅直向下，试求合力大小。
（仅是求合力大小）例2-2 图示为一简易起重机装置，重量G=2kN的重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A，绕在绞车D的鼓轮上，定滑轮用直杆AB和AC支承，定滑轮半径较小，大小可忽略不计，定滑轮、直杆以及钢丝绳的重量不计，各处接触都为光滑。
试求当重物被匀速提升时，杆AB、AC所受的力。
解因为杆AB、AC都与滑轮接触，所以杆AB、AC上所受的力就可以通过其对滑轮的受力分析求出。
因此，取滑轮为研究对象，作出它的受力图并以其中心为原点建立直角坐标系。
由平面汇交力系平衡条件列平衡方程有解静力学平衡问题的一般方法和步骤：1.选择研究对象所选研究对象应与已知力（或已求出的力）、未知力有直接关系，这样才能应用平衡条件由已知条件求未知力；2.画受力图根据研究对象所受外部载荷、约束及其性质，对研究对象进行受力分析并得出它的受力图。
第二章1平面汇交力系与平面力偶系
2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力 F 至少多大？ F 3.力 F 沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力 多大？
解:取碾子画受力图. 用几何法，按比例画封闭力四边形
R h θ arccos 30 R
F B sin θ F F A F B cosθ P
F 1 1 .4 k N A
由合力投影定理可得：
F F 2 0 0 0 4 3 3 0 0 N 6 3 3 0 N x x
F F 0 2500 3000 N 550 N y y
则合力的大小为：
2 x 2 y 2 2
FF F 6 3 3 0 5 5 0 0 N 8 3 8 6 N
F , X 0 F , Y 0 8 0 4 5 4 R R 0 D A 4 5 PR A
各力的汇交点
(4) 解得
R A 5 P 22 . 4 kN 2
R R D A
1 10 kN 5
力的值为负值,表示假设的指向与实际指向相反.
例4. 简易压榨机如图所示。已知P试求当连杆AB、AC与铅垂线成角时，托板给被压物 体的力。
O
tg
F Ry F Rx
F F
RY
RX
平面汇交力系平衡的必要和充分条 y 件是该力系的合力为零: F R 0
F F 0 Rx X
O
F F 0 Ry X
例2.如图所示吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。已知F1=2000N， F2=5000N，F3=3000N。试求合力。
FR F23 F1 F12 F2
F4
FR
F4
F2 F4
FR
F3
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得
F
FBC FBA 2sin
（2）取挡板C为研究对象
Fy 0, FM FCB cos 0
得
FM
FCB
cos
F 2
cot
第二章 平面力系
FBA B F
B
FBC
FBC
FCB
C
FNC
FM
A
F
C M
FC B
§2-3 平面力对点之矩的概念及计算
1.力对点之矩
B
F
第2章 平面力系
※ 平面汇交力系 ※ 平面力对点之矩 平面力偶 ※ 平面任意力系的简化 ※ 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 ※ 物体系的平衡 静定和超静定问题 ※ 平面简单桁架的内力计算
第二章 平面力系
引言
力系——作用在物体上力的总称（力的集合） 平面力系
根据力的作用线是否共面可分为： 空间力系
F
M
第二章 平面力系
★ 在同平面内的两个力偶， 如果力偶矩相等，则两力偶彼 此等效。
推论1：力偶对刚体的作用与力 偶在其作用面内的位置无关。
推论2：只要保持力偶矩的大小 和力偶的转向不变，可以同时 改变力偶中力的大小和力偶臂 的长短，而不改变力偶对刚体 的作用。
M
M
§2-5 平面力偶系的合成与平衡
M Fd 力偶矩
（1）力偶不能合成为一个 力，也不能用一个力来平衡。 力和力偶是静力学的两个基 本要素。
第二章 平面力系
（2）力偶矩是度量力偶对 刚体的转动效果；它有两个 要素：力偶矩的大小和力偶 矩的转向。
2.平面力偶的等效定理
F0
F1
F d
C F0
F0
F2D
A
F2
B
F0 F1
1.力偶与力偶矩
第二章 平面力系
力偶——两个大小相等、方向相反 且不共线的平行力组成的力系。
力偶臂——力偶的两力之间的垂直 距离。
力偶的作用面——力偶所在的平面。
A
d
F
F
B xO
M O (F , F ) M O (F ) M O (F ) F (d x) Fx Fd
A
h
MO(F) F d
MO (F) 2OAB
MO(F) —— 代数量（标量）
O —— 矩心 h —— 力臂
第二章 平面力系
“＋ ”—— 使物体逆时针转时力矩为正； “－” —— 使物体顺时针转时力矩为负。
2. 合力之矩定理
平面汇交力系合力对于平面内一点之矩等于所有各分力对于 该点之矩的代数和。
求：A、B处约束反力。
PC
2a
D
a
解： （1）取刚架为研究对象
（2）画受力图
FA
（3）按比例作图求解
由图中的几何关系得
FB P tan 0.5P
第二章
FA
平面力系
P2 FB2
5P 2
A
B
FB
FA
FB
P
§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
Fy
1. 力的投影与分解
y
j Oi
Fy
Fy
/
F
2. 合成的解析法
y
F1
F2
FR
A
F3
F4
第二章 平面力系
FR= F1 + F2 + … + Fn = ∑ Fi
FR FRxi FRy j
根据合矢量投影定理：
FRx Fx1 Fx2 Fxn Fxi
FRy
Fy1
Fy 2
Fyn
Fyi
F xi 0 Fyi 0
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个 坐标轴上投影的代数和等于零。
第二章 平面力系
例题2
已知：P，a
求：A、B处约束反力。 P C
2a
D
a
解： （1）取刚架为研究对象 （2）画受力图
A
B
（3）建立坐标系，列方程求解 FA
FB
Fx 0, P FA cos 0
FR= F1 + F2 + … + Fn = ∑ Fi
第二章 平面力系
2. 平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。
F3
F2
F4
F1
F5
A
第二章 平面力系
n
Fi 0
i 1
结论：平面汇交力系平衡的必 要和充分条件是：该力系的力 多边形自行封闭。
例 题 1 已知：P，a
MO (FR ) MO (F1) MO (F2 ) MO (Fn ) MO (Fi )
3. 力矩与合力矩的解析表达式
y
Fy
F
MO (F ) MO (Fx ) MO (Fy ) xFy yFx
xA y
Fx
O
x
第二章 平面力系
MO (FR ) (xi Fiy yiFix )
A
B
F
Fx
Fx
第二章 平面力系
力在坐标轴上的投影
Fx F cos
Fy
F
cos
F
sin
力沿坐标轴的分解
Fx Fxi, Fy Fy j
F Fx Fy Fxi Fy j
F Fx2 cos(F , i)
Fy2 Fx /
F
x
cos(F ,
j)
例题1
已知：Fn，，r
求：力 Fn 块对轮心O的力矩。
r
O
解：（1）直接计算
MO (Fn ) Fnh Fnr cos
h
F
FnBiblioteka Fr（2）利用合力之矩定理计算
M O (Fn ) M O (Fr ) M O (F ) MO(F)
Fnr cos
第二章 平面力系
§2-4 力偶及其性质
y
Fy 0, FB FA sin 0
解上述方程，得
o
x
FA
5 P, 2
FB
1 2
P
第二章 平面力系
例题3
已知： F，
求：物块 M 的压力。
解：（1）取销钉 B 为研究对象
Fx 0, F (FBA FBC ) sin 0
Fy 0, FBC cos FBA cos 0
根据力的作用线是否汇交可分为：
汇交力系 平行力系 任意力系
平衡力系——作用在物体上使物体保持平衡的力系
第二章 平面力系
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
1. 合成的几何法
F1 A
F2
FR F2
F3
F4
F3
FR1 FR2
F1
FR
F4
A
F2 A
F4 FR F1
F3
结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等 于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。
x
FR
FR2x FR2y
(
Fxi
)2
(
Fyi
)2
cos(FR , i)
FRx FR
, cos(FR ,
j)
FRy FR
3. 平面汇交力系的平衡方程
平衡的必要和充分条件是：该力系的合力 FR 等于零。
FR FR2x FR2y ( Fxi )2 ( Fyi )2 0