第二章 平面力系
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第二章-平面力系
3 1 6 ( k N ) Q 3 7 5 ( k N )
分析讨论：从Qmin=(Gb+FP)/(x+a) 和 Qmax=G(a+b)/x 可 以看出，为了增加起重机的稳定性，可从减小 x 值或 增加 a 值这两个方面来考虑。 其最终目标是，扩大 [Qmin，Qmax ]的区间范围。
平面任意力系的平衡方程及其应用 14
箕斗对轨道的压力大小分别等于FNA与FNB，方向与之 相反。
平面任意力系的平衡方程及其应用 8
• 平面特殊力系的平衡方程
平面汇交力系的平衡方程 力系中所有各力在任意互成垂直的两个坐标轴上投 影的代数和分别等于零。
平面任意力系的平衡方程及其应用 9
例2-4 重G=20kN的物体被绞车吊起，绞车的绳子绕过 光滑的定滑轮B，如图所示。若滑轮由不计重量的杆 AB、BC支持，A、B、C三点都是光滑铰链联接，滑轮 B的大小可忽略不计，试求杆AB和杆BC所受的力。
平面任意力系的主矢(主向量，主矢量)
F F F R i i
i 1 i 1nLeabharlann n平面任意力系的简化
3
主矢与简化中心位置无关。在直角坐标系下的投影 n n 式为 F F , F F Rx ix Ry iy
i 1 i 1
主矢的大小为
2 2 2 2 F ( F ) ( F ) ( F ) ( F ) R Rx Ry ix iy
主矢与x轴所夹之锐角 为
tan | F / F | iy iy
M M M ( F O i O i)
i 1 i 1 n n
附加的平面力偶系可以合成为一个合力偶，其矩为
平面任意力系的简化
第2章 平面力系-平面力对点之矩及平面力偶
即
MO(F) F d
O点为力矩的中心，称为矩心； d 为O点到力F 作用线的垂直
距离，称为力臂。 力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动时为正，反
之为负。
应注意： 在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋 转方向（力矩的正负），因此它是一个代数量。
力矩的单位： 国际制 N·m，kN·m 工程制 公斤力米（kgf·m）
偶矩的代数和等于零，即 ∑Mi=0
利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。
例题
两力偶作用在板上，尺寸如图，已知 F1 = F2=1.5 kN , F3
=F4 = 1 kN, 求作用在板上的合力偶矩。
F 1 180mm
解：由式
F2
M = M1 + M2
F4
则
M =-F1 ·0.18 –F3 ·0.08
FBA
B
A
FAB
M1
FO
O
M2 D
FD
M1 - FABrcosq 0 - M 2 2FBArcosq 0
因为 FAB FBA
所以求得 M 2 2M1
思考题1 一力偶(F1,F1′)作用在Oxy平面内,另一力偶(F2 ，F2′)作用在
Oyz平面内,它们的力偶矩大小相等(如图)。试问此两力偶是否 等效，为什么？
F1
d1
F2 d2
F1′
=
F2′
M1 F1 d1 , M 2 -F2 d2
F22 d F11
F11′
=
F22′
d
FR
FR′
M1 F11 d , M 2 -F22 d
FR F11 - F22 , FR F11 - F22
第二章 平面力系
第二章
平面力系
§2-1 一般概念
一.力系分类
平面力系（汇交力系、平行力系、一般力系） 空间力系
二.工程实例 在工程地质和工程建筑物中，常遇到
的一些平面力系问题，如：
铁路绗架、水坝、坝基 空间问题一般简化为平面问题处理
W1
W2
1m
§2-2 平面汇交力系的合成与分解
一、二力合成 1、几何法：已知作用在物体上的两个力，F1、F2 ，它们
5.力偶在任意坐标轴上的投影恒等于零.
§2-6 平面力系的合成
一、力的平移定理 作用在物体上的力可以平移到任意点，但必须附加上
一力偶，其矩大小等于此力对新作用点之矩。
M B M B (F ) F d （2 - 10）
二、平面任意力系向已知点简化（如下图）
1、简化方法：
2、简化结果：
主矢 FR Fi 主矩 M O M O (F i) （2 - 11）
P 2 10m
BT T
W1 R
N W2
T
P2
解：可以用解析法和图解法解此题 答案：Ｔ=7500KN，N=21500KN
§2-8 平面一般力系平衡条件和方程式
一、平面任意力系的平衡条件（充要条件）
R0， M00 二、平面任意力系平衡方程式 主矢
必有 主矩
R ( F x)2( F y)20
Fx 0
主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关
三、平面任意力系的合成
1、力和力偶合成一个力 2、合力矩定理：
平面力系的合力，对该平面任一点之矩，等于各分力 对同一点之矩的代数和。
n
M0 R m0(Fi) i1
3、简化结果分析，四种情况有三种结果
§2-7 重心
平面力系
§2-1 一般概念
一.力系分类
平面力系（汇交力系、平行力系、一般力系） 空间力系
二.工程实例 在工程地质和工程建筑物中，常遇到
的一些平面力系问题，如：
铁路绗架、水坝、坝基 空间问题一般简化为平面问题处理
W1
W2
1m
§2-2 平面汇交力系的合成与分解
一、二力合成 1、几何法：已知作用在物体上的两个力，F1、F2 ，它们
5.力偶在任意坐标轴上的投影恒等于零.
§2-6 平面力系的合成
一、力的平移定理 作用在物体上的力可以平移到任意点，但必须附加上
一力偶，其矩大小等于此力对新作用点之矩。
M B M B (F ) F d （2 - 10）
二、平面任意力系向已知点简化（如下图）
1、简化方法：
2、简化结果：
主矢 FR Fi 主矩 M O M O (F i) （2 - 11）
P 2 10m
BT T
W1 R
N W2
T
P2
解：可以用解析法和图解法解此题 答案：Ｔ=7500KN，N=21500KN
§2-8 平面一般力系平衡条件和方程式
一、平面任意力系的平衡条件（充要条件）
R0， M00 二、平面任意力系平衡方程式 主矢
必有 主矩
R ( F x)2( F y)20
Fx 0
主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关
三、平面任意力系的合成
1、力和力偶合成一个力 2、合力矩定理：
平面力系的合力，对该平面任一点之矩，等于各分力 对同一点之矩的代数和。
n
M0 R m0(Fi) i1
3、简化结果分析，四种情况有三种结果
§2-7 重心
平面力系
平面力系——各力作用线都在同一平面内的力系。
空间力系——各力作用线不在同一平面内的力系。
汇交力系——作用线交于一点的力系。
平行力系——作用线相互平行的力系。
一般力系——作用线既不完全交于一点又不完全平行的力系。
2.1 平面汇交力系平面汇交力系的工程实例：2.1.1 力的分解按照平行四边形法则，两个共作用点的力，可以合成为一个合力，解是唯一的；但反过来，要将一个已知力分解为两个力，如无足够的条件限制，其解将是不定的。
2.1.2 力在坐标轴上的投影注意:力的投影是代数量，它的正负规定如下：如由a到b的趋向与x轴（或y轴）的正向一致时，则力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取负值。
2.1.3合力投影定理合力投影定理——合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
2.1.4 平面汇交力系的平衡条件平面汇交力系可以合成为一个合力，即平面汇交力系可用其合力来代替。
显然，如果合力等于零，则物体在平面汇交力系的作用下处于平衡状态。
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力F等于零。
即即力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上投影的代数和都等于零。
这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。
例2-1 如图所示为一吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。
已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，与水平成30度角；F3=3000N，铅直向下，试求合力大小。
（仅是求合力大小）例2-2 图示为一简易起重机装置，重量G=2kN的重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A，绕在绞车D的鼓轮上，定滑轮用直杆AB和AC支承，定滑轮半径较小，大小可忽略不计，定滑轮、直杆以及钢丝绳的重量不计，各处接触都为光滑。
试求当重物被匀速提升时，杆AB、AC所受的力。
解因为杆AB、AC都与滑轮接触，所以杆AB、AC上所受的力就可以通过其对滑轮的受力分析求出。
因此，取滑轮为研究对象，作出它的受力图并以其中心为原点建立直角坐标系。
由平面汇交力系平衡条件列平衡方程有解静力学平衡问题的一般方法和步骤：1.选择研究对象所选研究对象应与已知力（或已求出的力）、未知力有直接关系，这样才能应用平衡条件由已知条件求未知力；2.画受力图根据研究对象所受外部载荷、约束及其性质，对研究对象进行受力分析并得出它的受力图。
第二章平面力22系
FB
C
5a
5a
4）联立求解：
A 5a D x
FA
5 F, 2
FD
F 2
FA
FD
FA为负值，说明图中所假设的指向与其实际指向
相反，FD为正值，说明图中所假设的指向与其实
际指向相同。
第三节 平面力偶系的合成与平衡
一、 力偶和力偶矩
1、力偶——大小相等的二反向平行力。
d
⑴、作用效果：引起物体的转动。
力矩的概念
例题
力矩的性质
例题：图中，如作用于扳手上的力F = 200 N，l = 0.40 m，α= 60°，试计算力F→ 对点O之矩。
解：
MO(F ) = - F ·d = - F ·l sinα= - 200×0.40×sin 60° N·m= - 69.3 N·m
y
Fy 0, FB cos 600 FC cos 300 - Q 0
5）联立求解： FB =15kN , FC 26kN
A x
Q
练习2
水平力F 作用在门式刚架的B点，如图所示，刚
架的自重忽略不计。试求A、D两处的约束力。
B
F
C
a
A
D
2a
练习2
水平力F 作用在门式刚架的B点，如图2.12a所示，
用扳手拧一螺母，使扳手连同螺母绕点O（实为绕通过点O 而垂直于图面的轴）转动。
由经验得知，力的数值愈大，螺母拧得愈紧；力的作用线 离螺母中心愈远，拧紧螺母愈省力。用钉锤拔钉子也有类 似的情况。许多这样的事例，使我们获得如下概念：力F→ 使物体绕点O转动的效应，不仅与力的大小有关，而且还与 点O到力的作用线的垂直距离d有关。故要用乘积Fd来度量 力的转动效应。
第二章 平面力系
FR F1 F2 Fn Fi
i 1
n
力FR对刚体的作用与原力系对该刚体的作用等效。所以 称此力为汇交力系的合力。
如力系中各力作用线均沿同一直线，则此力系为共线力系， 它是平面汇交力系的特殊情况。显然力系的合力大小和方向 取决于各分力的代数和，即 n
FR Fi
i 1
24
静力学
例题 1-5
平面力系
合力的大小：
2 Rx 2 Ry
FR F F 171.3 N
合力与轴x，y夹角的方向余弦为：
FRx cos( FR , i ) 0.754 FR
F2
y
F1
60
O
45
30
cos( FR , j )
FRy FR
45
x
F4
0.656
F3
平面力系
Fx Fx1 Fx 2 Fxn Fxi i 1 n Fy Fy1 Fy 2 Fyn Fyi i 1
n
合力矢FR的大小和方向余弦为
FR Fx2 Fy2 ( Fxi ) 2 ( Fyi ) 2
B
D
钢丝绳的另一端绕在铰车D上。 杆AB与BC铰接，并以铰链A，C 与墙连接。如两杆与滑轮的自重
4 .由力三角形图c可得：
I
F
q
FD
J
K
FB
(c)
sin 180 q FB F 750 N sin
11
静力学
例题 1-2
平面力系
水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于2 kN，方向与梁
的轴线成60º 角，支承情况如图a 所示，试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的约束源自。梁的自重不计。3，
第二章 平面基本力系
例2-3
已知：图示平面共点力系；
求：此力系的合力. 解：用解析法
FRx F ix F1 cos 30 F2 cos 60 F3 cos 45 F4 cos 45 129.3N
FRy F iy F1 sin 30 F2 sin 60 F3 sin 45 F4 sin 45 112.3N
M 2 F2d
Mn Fn d
M n Fnd
= =
=
F F F F
R 1 2
n
F F F F
R 1 2 n
=
=
=
M FRd F1d F2d Fnd M1 M 2 M n
M Mi Mi
2 2 FR FRx FRy 171.3N
FRx cos θ 0.7548 FR
FRy cos β 0.6556 FR
θ 40.99 , β 49.01
例2-4 已知： 系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P=20kN；
求：系统平衡时，杆AB、BC受力.
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、多个汇交力的合成—— 力多边形规则
FR1 F1 F2
3 FR 2 FR1 F3 Fi i 1
3 FR 2 FR1 FR 3 Fi
FR1 F1 F2
M 2 F2d2 F4d
F F3 F4 F F3 F4 M1(F1, F'1)， M2(F2, F'2) M Fd ( F3 F4 )d F3d F4d M1 M 2
第二章 理论力学平面力系
特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 只有一个未知数。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出
负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，
力系分为：平面力系、空间力系 ①平面汇交力系 平面力系 ②平面平行力系(平面力偶系是其中的特殊情况 ) ③平面一般力系(平面任意力系) 平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。 研究方法：几何法，解析法。
例：起重机的挂钩。
2.1 平面汇交力系的合成与平衡
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件 1、几何法
Y X
87.46 8.852, 83.55O 9.88
由于FRx为负，FRY为正，故 在第二象限，合力 FR的作用线通过汇交点O，如图2.12
【例2.5】
如图2.1 3所示为建筑工地使用的 井架把杆装置，杆AB的一端铰接在井架上， 另一端用钢索BC与井架连接。重物通过卷扬 机由绕过滑轮BC的钢索起吊。已知重物 Fw=2kN，把杆重量、滑轮的重量及滑轮的大 小不计，滑轮的轴承是光滑的。试求钢索BC 的拉力和把杆AB所受的力。
由图2.14(b)可知 DB CB cot l cot 30 0 tan 0.866 AB 2l 2l 40.90 将 40.90 代入方程并求解得 FA 13.2 KN FB 8.66 KN
解题技巧及说明： 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度
2、主矢和主矩
主矢：力系各力的矢量和，即 主矩：力系中各力对于任选简化中心O之矩的矢量和，即
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0.71 FA - 0.32 FB = 0 0.71 FA +0.95 FB – P = 0
联立两式得: FA = 0.35P FB = 0.79P
例题 井架起重装置简图如图所示，重物通过卷扬机D由绕过滑轮B 的钢索起吊。起重臂的A端支承可简化为固定铰支座，B端用钢索BC 支承。设重物E重G=20KN，起重臂的重量、滑轮的大小和重量索及钢 的重量均不计。求当重物E匀速上升时起重臂AB和钢索BC所受的力。
F=212N，方向与水平面成=45角。当平衡时，BC水平，AD铅
直，试求拉杆所受的力。已知EA=24cm，DE=6cm点E在铅直线
DA上，又B、C、D都是光滑铰链，机构的自重不计。
A
F
F
A
24
C
O
BE
6
O
B FB
D
FD D
解：
(a)
(b)
(1) 取制动蹬ABD 作为研究对象。
I
F
FD
J
FB
K
(c)
③列平衡方程
X 0 RAcos SCDcos4500 Y 0 PRA sin SCD sin450 0
④解平衡方程 由EB=BC=0.4m，
解得：
tg EABB10..24 13
SCD
sin
450
P cos450
tg
4.24 kN
；
RA
SCD
cos450
cos
3.16 kN
[例] 已知如图P、Q， 求平衡时 =？ 地面的反力N=？
1、研究OA杆
2、研究AB杆
FA A
F
O
Fo
（A）
A
B
FA
O
F
B
FB
FB
Fo （B）
解题技巧及说明： 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度
特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊 或特殊，都用解析法。
3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程 中只有一个未知数。
(2) 画出受力图。
(3) 应用平衡条件画出F、FB 和FD 的闭和力三角形。
（4）由几何关系得： OE EA 24 cm
A
P
tg DE 0.25
24
OE
O
C
O B E 6 arctg0.25 142'
D
P
A
B SB
ND D
(b)
(a)
由力三角形可得：
FB
sin 180
sin
F
I
C
x
FA
2m
D
4m
FD
tg = 0.5 cos = 0.89 sin = 0.447
例题.求图示支座A和B的约束反力.
P
l/2 C
l
A
B
l
l
解:画整体的受力图
取O点为研究对象
l l
cos
2
0.95
l
l 2
l
2
A
2 2
FA
Sin = 0.32
F
O C
B
FB
Fx = 0 Fy = 0
B
A
300
600
300
FAB
y 300 NA
A 600 GA
x/ y/
NB 600
F/AB
B
300
300
x
GB
GAcos600 - FAB cos(α+300)= 0 (1)
- GBcos300 + F/AB sin(α+300)= 0 (2)
FAB =F/AB
(3)
由以上三式可得：
tg( 30 0 ) GB tg60 0
一、力对点的矩
MO(F) F d
+-
B
说明：① MO (F )是代数量。
F
O
d
② F↑,d↑转动效应明显。 ③ MO (F )是影响转动的独立因素。
矩心 O d : 力臂
A
当F=0或d=0时，MO (F ) =0。
④单位N•m，kN•m。
⑤ MO (F ) =2⊿AOB=F•d ,2倍⊿形面积。
二、合力矩定理 定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所
cos X Fx
FF
cos Y Fy
FF
二、合力投影定理
由图可看出，各分力在x轴和在y 轴投影的和分别为：
Rx X1 X2 X4 X
即：
Ry Y1 Y2 Y3 Y4 Y
Rx X Ry Y
合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。
合力的大小： FR FRx2 FR y2 ( Fx )2 ( Fy )2
B铰
A
SCA
SBA
45°
90°Q
B
S AB 30R°60°SDB
结构
SC A
A
S1 C
SAB
SB A
设杆受拉力，则力背离铰链， 受压力，则力指向铰链，
A铰
y
A
SBA
45°
SCA90°Q
x
B铰
y
Bx
SAB 30R°60°SDB
讨论： 取AB为研究对象
y
x
Q
R
SDB
SCA
2、平衡方程 A铰
力系
F1 M1
F2 Mn
Fn F3
Prof, Wang JX
基本概念
力系分为：平面力系(planar force system) 空间力系(space force system)
①汇交力系(planar concurrent force system) 平面力系 ②平行力系(平面力偶系是其中的特殊情况 )
P
ND
（5） 代入数据求得：
J
SB
K
FB=750 N。
(c)
[例] 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍物。求： 在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。
解： ①选碾子为研究对象 ②取分离体画受力图
F Ptg
NB
P
cos
又由几何关系： tg
r2 (rh)2 0.577
§2-1 平面汇交力系
一、平面汇交力系合成的几何法
1.两个共点力的合成
2. 任意个共点力的合成
cos(180 ) cos
由余弦定理：
FR F12 F22 2F1F2 cos
F1
s in
s
R
in(180
)
为力多边形
n
结论： FR F1 F2 F3 F4
即： FR Fi
i 1
二、平面汇交力系平衡的几何条件
(planar parallel force system) ③一般力系(平面任意力系)
(planar general force system)
①汇交力系 空间力系 ②平行力系(空间力偶系是其中的特殊情况 )
③一般力系(空间任意力系) 简单力系：指的是汇交力系、力偶系。
第二章 平面力系
§2–1 平面汇交力系 §2–2 平面力对点之矩、平面力偶 §2–3 平面任意力系的简化 §2–4 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 §2–5 物体系的平衡、静定和超静定问题 §2–6 平面简单桁架的内力计算
y
力矩的解析表达式
y Fy
O x
MO F M O Fx M O Fy
F
y Fx x Fy
y F cos x F sin
Fx
MO (FR ) MO (F1) MO (F2 ) ...... MO (Fn )
∑X=0 Q － SBA cos450 = 0
SBA Q/cos450 2 Q
B铰 ∑Y=0 SAB － R cos300 = 0
SAB R cos300
3R 2
∵ SBA=SAB
Q : R 3 : 2 0.612 2
讨论： 取AB为研究对象
y
x
90°45Q° 30R°60°SDB
解：研究球受力如图， 选投影轴列方程为
X 0 T2cos T10 ①
Y 0T2 sin Q N D 0
②
由①得
cos
T1 T2
P 2P
1 2
600
由②得NDQ-T2sin Q-2Psin 600Q 3P
例题 用AB杆在轮心铰接的两均质圆轮A、B，分别放在 两个相交的光滑斜面上，如图所示。不计AB杆的自重，
FR Fi
平面汇交力系平衡的充要条件是： FR F 0
力多边形自行封闭 或 力系中各力的矢量和等于零
F1 F3
Fn
F2
FR Fi
例题 水平梁AB 中点C 作用着力F，其大小等于20kN，方向与 梁的轴线成60º角，支承情况如图(a)所示，试求固定铰链支座A 和活动铰链支座B 的反力。梁的自重不计。
rh
所以
F=11.5kN , NB=23.1kN
由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。
下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法： 解析法。
平面汇交力系合成与平衡的解析法
一、力在坐标轴上的投影
X=Fx=F·cos ：
Y=Fy=F·sin=F ·cos
F Fx 2 Fy 2
FAB = 45 kN
Fy = 0 - TBC - TBD cos150 + FAB cos300-Gcos600= 0 TBC = 9.65 kN
600