第2章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)
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【张量分析ppt课件】张量分析课件第二章2 矢量函数PPT共47页
【张量分析ppt课件】张量分析课件第 二章2 矢量函数
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
谢谢你的阅路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
张量基础知识
描述物理量的矢量和张量应与坐标轴的选择无关。就是 说，当坐标轴变换时，矢量和张量的所有分量都随之变换， 但作为描述物理量的矢量和张量本身是不变的。因此，分量 的变换必有一定的规律。接下来我们就来讨论一下坐标变换 时分量变换的规律。
张量基础知识
一、坐标变换 如图所示，设有直角坐标
系OX1X2X3，其三个方向的单
张量基础知识
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率
张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定
律可表示为
JE
11 12 13
21
22
23
31 32 33
张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分 量来描述，这种物理量就是二阶张量。
张量基础知识
2.2 张量的数学定义
张量基础知识
2.3 张量的运算
一、张量的加法
若 Ai,jBi(ji,j1,2,3)皆为二阶张量，则
C i j A i jB ij(i,j 1 ,2 ,3 )也为二阶张量，于是我们定义 Cij
为 Aij, Bij 之和。这就是二阶张量的加法，并表为C=A+B。
以此类推，若A,B为两个同阶张量，则A,B相应分量之和构成 新的同阶张量C，记作C=A+B。
同 样 x x1 2 ： 1 2''1 1 1 2''2 2 x x1 2'' i'jT x x1 2''
由（ ）式得
xx12i'
j1xx12''
比较 : i'jTi'j1
[ i ' j ] 为张量正基础交知识矩阵
引用指标符号：
张量基础知识
一、坐标变换 如图所示，设有直角坐标
系OX1X2X3，其三个方向的单
张量基础知识
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率
张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定
律可表示为
JE
11 12 13
21
22
23
31 32 33
张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分 量来描述，这种物理量就是二阶张量。
张量基础知识
2.2 张量的数学定义
张量基础知识
2.3 张量的运算
一、张量的加法
若 Ai,jBi(ji,j1,2,3)皆为二阶张量，则
C i j A i jB ij(i,j 1 ,2 ,3 )也为二阶张量，于是我们定义 Cij
为 Aij, Bij 之和。这就是二阶张量的加法，并表为C=A+B。
以此类推，若A,B为两个同阶张量，则A,B相应分量之和构成 新的同阶张量C，记作C=A+B。
同 样 x x1 2 ： 1 2''1 1 1 2''2 2 x x1 2'' i'jT x x1 2''
由（ ）式得
xx12i'
j1xx12''
比较 : i'jTi'j1
[ i ' j ] 为张量正基础交知识矩阵
引用指标符号：
【张量分析ppt课件】张量分析课件第二章 矢量代数与矢量分析
（2.1-3）
在矢量的加法和减法运算中定义单位元素为：
o 0 i1 0 i2 0 i3
同时长度为1的矢量称为单位矢量。 应当注意单位矢量元素和单位矢量的区别。
例2 ： 图 2－4 所示具有坐标系的矢空间 V 中 矢量a、 b。试求 2a +1.5b在{o；i1， i2 }中的表示。 a (3 1) i 1 (1 0) i 2 2 i 1 i 2 解：
a b ( ai i i ) (b j i j ) ai b j ij ai bi b a ; a , b V
（2.1-4） （2.1-5）
1 ; i j i i i j ij 0 ; i j
其中δij称为Kronecker符号。 定义矢量积
例6 ：
证明e—δ恒等式： eijk eimn jm kn jn km 证： 由（2.1-12）式有：i j ik e jkiii eijkii
im in emne ie eemn ie
eijkeemn ii ie (i j ik ) (im in ) (eijkii ) (eemnie ) (i j ik ) (im in ) eijkeemn ie (i j ik ) (im in )
X2
x2
x r2 o r1 x1 (a ) X1
x2 i2 x i1 x1 X1
X2
(b )
图2－3
设V的坐标系为{o；i1，i2，i3}，V中矢量的加法和矢量与 数量的标量积按（1.1-3）和（1.1-4）定义，即对x，y ∈ V；α，β ∈F有 x y xi yi
i i i i
( xi yi ) ii
张量分析及其应用
第二章 张量分析
2.10 协变导数，逆变导数
在曲线坐标系下，哈密顿算子定义为
grr
2.10.1协变导数
设 T 为任意张量，则 T 构成新的张量，称为 T 的梯度。例如 T T ij k gi g j gk ，则
T grr (T ij k gi g j gk ) gr[rTij k gi g j gk T ij k (r gi g j gk r gi g j gk r gi g j g k )]
r i
ai
p ri
r p
rar
ai
r ri
r ri
i (log
g ) r (log
g)
div a rar arr (log
g)
1( g
gar ),r
2.10.3旋度
设 T T ij k gi g j gk
curlT T grr (T ij kgig jgk ) gr gir (T ij kg jgk )
自习： （二）曲率张量
1）曲率张量的定义 2）曲率张量的性质（推导）
gil g r
glr
(T
ij
k
g
jgk
)
gil
gs
srl rLeabharlann (Tijk
g
jgk
)
gil srlrT ij k gs g j g k
srl rTl
j k
gs
j
k
srirTi j k gs j k
若 T a ai gi ，则 curla grr (ai gi ) gr r (ai gi )
2.10 协变导数，逆变导数
在曲线坐标系下，哈密顿算子定义为
grr
2.10.1协变导数
设 T 为任意张量，则 T 构成新的张量，称为 T 的梯度。例如 T T ij k gi g j gk ，则
T grr (T ij k gi g j gk ) gr[rTij k gi g j gk T ij k (r gi g j gk r gi g j gk r gi g j g k )]
r i
ai
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r p
rar
ai
r ri
r ri
i (log
g ) r (log
g)
div a rar arr (log
g)
1( g
gar ),r
2.10.3旋度
设 T T ij k gi g j gk
curlT T grr (T ij kgig jgk ) gr gir (T ij kg jgk )
自习： （二）曲率张量
1）曲率张量的定义 2）曲率张量的性质（推导）
gil g r
glr
(T
ij
k
g
jgk
)
gil
gs
srl rLeabharlann (Tijk
g
jgk
)
gil srlrT ij k gs g j g k
srl rTl
j k
gs
j
k
srirTi j k gs j k
若 T a ai gi ，则 curla grr (ai gi ) gr r (ai gi )
张量分析清华大学张量分析你值得拥有
g是正实数（右手系）
斜角直线坐标系旳基矢量与矢量分量
➢ 三维空间中旳斜角直线坐标系和基矢量
定义逆变基矢量 g j，满足对偶条件：
g j gi ij (i, j = 1, 2,3)
问题：已知 gi，怎样求 g j ？
※ 根据几何图形直接拟定
由对偶条件可知， g1与 g2 、g3 均正交，所以正交于 g2与 g3所
第1章 矢量与张量
2023年12月12日
张量旳两种体现形式
实体形式
分量形式
几何形式 定义式
代数形式 计算式
概念旳内涵和外 延（定量）
怎样计算？
主要内容
➢ 矢量及其代数运算 ➢ 斜角直线坐标系旳基矢量与矢量分量 ➢ 曲线坐标系及坐标转换关系 ➢ 并矢与并矢式 ➢ 张量旳基本概念 ➢ 张量旳代数运算 ➢ 张量旳矢积
g1 1
g2 x1(cos x2 cos x3i cos x2 sin x3 j sin x2k) g2 x1
g3 x1注sin:x2(()s式in 只x3i对 c正os交x3曲j) 线坐标系成立，g3 x1 sin x2
☆正交曲可作线为坐求标正系交与系L中am度é量常张数量旳一种措施。
y
※平面极坐标系
(x, y) (x1, x2)
r
g gr
(r, ) (x1, x2 )
矢径：
r x1i x2 j
j
x1
x2
(x1)2 (x2)2
arctan
x2 x1
x1
x1
cos
x2
x2 x1 sin x2
i
x
平面极坐标系
xi' = xi' xi
r g1 i cos x2 j sin x2
第二章 张量(清华大学弹塑性力学)
利用爱因斯坦求和约定，写成：
xi aij x j
其中 j 是哑指标，i 是自由指标。
19
Appendix A.1
张量基本概念
★ 在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得
在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指 标。例：
若i为自由指标
ji , j fi 0
ji , j fii 0
个独立的自由指标，其取值范围是1～n，则这个方
程代表了nk 个分量方程。在方程的某项中若同时出 现m对取值范围为1～n的哑指标，则此项含相互迭
加的nm个项。
27
Appendix A.1
张量分析初步
矢量和张量的记法，求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商判则
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
d s2 ij d xi d x j d xi d xi d x j d x j
即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它 因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成 的另一个指标，而自动消失。
30
Appendix A.2
符号ij与erst
Appendix A.1
张量基本概念
★ 指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维
空间中线元长度 ds 和其分量 dxi 之间的关系
d s d x1 d x2 d x3
2 2 2
2
2 可简写成： d s d xi d xi
场函数 f(x1, x2, x3) 的全微分：
21n1 22n2 23n3 T2
31n1 32n2 33n3 T3
18
xi aij x j
其中 j 是哑指标，i 是自由指标。
19
Appendix A.1
张量基本概念
★ 在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得
在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指 标。例：
若i为自由指标
ji , j fi 0
ji , j fii 0
个独立的自由指标，其取值范围是1～n，则这个方
程代表了nk 个分量方程。在方程的某项中若同时出 现m对取值范围为1～n的哑指标，则此项含相互迭
加的nm个项。
27
Appendix A.1
张量分析初步
矢量和张量的记法，求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商判则
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
d s2 ij d xi d x j d xi d xi d x j d x j
即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它 因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成 的另一个指标，而自动消失。
30
Appendix A.2
符号ij与erst
Appendix A.1
张量基本概念
★ 指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维
空间中线元长度 ds 和其分量 dxi 之间的关系
d s d x1 d x2 d x3
2 2 2
2
2 可简写成： d s d xi d xi
场函数 f(x1, x2, x3) 的全微分：
21n1 22n2 23n3 T2
31n1 32n2 33n3 T3
18
第4章-张量分析(清华大学张量分析-你值得拥有)
ij,k ilj glk glk ilj
定义式：
ij ,k
g j xi
gk
性质： ij,k ji,k
比较：
ikj
g j xi
gk
Christoffel符号仅有定义式是不够的，必须有计算式！
基矢量的导数，Christoffel符号
➢ 基矢量的导数与Christoffel符号
Christoffel的计算式：用gij来计算 gij gi g j
F;
i j
F,
i j
张量分量对坐标的协变导数
★张量场函数的梯度
T
T ij gi g j
Ti j gi g j
T
i j
gi
g
j
Tij gi g j
右梯度：
T
T xk
gk
T
ij ; k
gi
g
j
g
k
Ti
j ;k
g
i
g
j
g
k
T
i j;k
gi
g
j
g
k
Tij;k gi g j gk
左梯度：
T
gk
T xk
dxi
f xi
gi g jdx j
其中， f xi
gi定义为f (r)的梯度f
；g jdx j 即 dr
。
因此， df f dr
f
f xk
gk
gk
f xk
梯度的几何意义！
取弧元ds，有方向导数：
df f dr f t t f
ds
ds
张量场函数对矢径的导数、梯度
张（矢）量场函数T(r)的梯度，借助有限微分，得
张量分析——初学者必看精选全文
§ A-1 指标符号 三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号)
Ricci符号定义
偶次置换
1 若i, j, k 1,2,3, 2,3,1, 3,1,2 eijk 1 若i, j, k 3,2,1, 2,1,3, 1,3,2
0 若有两个或三个指标相等
e123 e231 e312 1 e213 e132 e321 1 e111 e112 e113 0
§A-4 张量的代数运算 三、矢量与张量的叉积
A 张量分析
右叉乘
T a (Tijeie j ) (akek ) Tij akeie jkrer e T jkr ij akeier B
§A-4 张量的代数运算
A 张量分析
四、两个张量的点积
两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是 原两个张量的阶数之和减 2
坐标变换式 xi ii xi xi ii xi
ii cos(xi, xi ) ii cos(xi , xi )
§A-3 坐标变换与张量的定义 A 张量分析
[ii ], [ii ]
互逆、正交矩阵
ii ii
ij
1 0
0 1
基矢量变换式
ei iiei ei iiei
坐标变换系数
v 任意向量变换式 i vii i vii i
ip iq ir eijk epqr jp jq jr
kp kq kr
pk
eijk ekqr
iq jq
ir jr
iq jr ir jq
a11 a12 a13 A a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31
a31 a32 a33 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 eijk a1ia2 j a3k eijk ai1a j2ak3
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( Nij ij )a j 0 det( Nij ij ) 0
利用指标升降关系 a为非0矢量 利用主不变量
N ( ) 3 J1N 2 J 2 J3N 0
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式
非对称二阶张量
•
请研究以下领域的同学关注。 1、应变梯度理论，偶应力理论 2、电流场，电磁流变（有旋场）
x
x
椭圆曲线的坐标变换
正交变换可使椭圆曲线的方程由以下一般形式
ax bxy cy d 0
任意二阶张量将一线性相关的矢量集映射为线性相 关的矢量集：
(i)u(i) 0
i 1
l
l l 0 T (i)u(i) (i)(T u(i)) i 1 i 1
正则与退化的二阶张量
•
3D空间中任意二阶张量T将任意矢量组u，v，w映射 为另一矢量组，满足：
N S
1 p
S S1e1e1 S2e2e2 S3e3e3
Si N i
1 p
几种特殊的二阶张量
正张量的对数
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
ln N ln N1 e1e1 ln N2 e2e2 ln N3 e3e3
Nij N ji Ni j Nij Nij N ji N ij N ji
N 1 NT 1
( ) , ( ) , ( ) ,
N T 1 N 2 N T 3 N 3 N T 2 N 4
NT 4
N T ( 4 )
反对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
二阶张量的行列式
det(1 ) g det( 2 ) g det( 3 ) g 2 det( 4 )
通常定义 3 的行列式为张量T的行列式
T
T i T det T det( 3 ) T det T j
由于两个互为转置的矩阵的行列式相等，所以
T det( ) det( ), det( ) det( 4 ) T 1 T det( ) det( ), det( ) det( 2 ) T 3 TT 2 TT 3 TT 1 TT 4
两个二阶张量的点积 3 矩阵时，才与矩阵乘法相对应。 只有取 2 ， 二阶张量的某些运算没有对应的矩阵运算 例如，并乘运算。
正则与退化的二阶张量
行列式值不为零的二阶张量T称为正则的，否则称 为退化的。 二阶张量将整个矢量空间中的任意矢量映射为矢量。
• •
任意二阶张量将零矢量映射为零矢量：T 0 0来自二阶张量的矩阵
二阶张量的代数运算与矩阵的代数运算
张量的加法和乘法运算与矩阵运算一一对应。 求迹运算，即缩并，对应于求 3 矩阵的对角线元 素之和。 二阶张量与矢量的点积，即线性变换。例如：
w T u
该运算具有线性性质：
T ( u v ) T u T v
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式
实对称二阶张量的标准形
存在以下等式：
N g1 N1 1 g1 N g2 N2 2 g2
N a a
特征方程，λ即N的特征
值，a即N的特征向量。 N g3 N3 g 3 3 特征值为什么是三个？ 分量形式 Nij a j ai
ω e3
e1 e2
几何意义！
e2 e1
倍
e1 , e2
整体绕轴旋转90度，扩大
几种特殊的二阶张量
•
正交张量Q：对应着标架的刚性旋转
最简单的坐标变换
y
y
x cos y sin
•
sin x cos y
几种特殊的二阶张量
正张量：N>0的对称二阶张量 非负张量：N≥0的对称二阶张量
u N u 0 u N u 0
对称二阶张量总可以化为：
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
对称二阶张量为正张量的充要条件：
N1 0 N1 0
N2 0
N3 0 N3 0
几种特殊的二阶张量
零二阶张量O
Oij 0
Ou 0
度量张量G
G g1 g1 g2 g 2 g3 g3 gi gi
G u u G T T
几种特殊的二阶张量
•
二阶张量的幂
正整数次幂
T 2 T T
T 3 T T T
T m T T T T
WHY?
T Tji g g Ti g g j T gi g T gi g j
二阶张量的矩阵
二阶张量的转置张量所对应的矩阵
TT 1
( )
T T 1
TT 2
( )
T T 3
TT 3
( )
T T 2
TT 4
T T ( 4 )
对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
对称二阶张量为非负张量的充要条件：
N2 0
几种特殊的二阶张量
非负张量的方根
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
N M2
可证明：
N M
M M1e1e1 M 2e2e2 M 3e3e3
M1 N1
M 2 N2
p
M 3 N3
非负张量的任意次方根
NS
1
二阶张量的不变量（代数）
二阶张量T与三个线性无关矢量间的线性变换
T T u v w u T v w u v T w J 1 u v w
T T u T v w u T v T w T u v T w J 2 u v w
第2章 二阶张量
2015年4月18日
主要内容
二阶张量的矩阵 正则与退化的二阶张量 二阶张量的不变量 二阶张量的标准型 几种特殊的二阶张量 二阶张量的分解
正交相似二阶张量
二阶张量的矩阵
二阶张量的分量包含协变、逆变和两种混变形式
T Tij g g Ti g g j T gi g T gi g j
T u
T T v T w J3 u v w
正则二阶张量，有Nanson公式
T u T v J
T 3
T u v
T 1
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式
实对称二阶张量的标准形
•
简单的例子
复杂应力状态分析中的主应力 σ 1e1e1 2e2e2 3e3e3 σ ij ei e j
反对称二阶张量Ω
ΩT Ω
0
1 2
ij i j
1 3 32
1 3 2 0 1 3 32
只有3个独立分量
J3 0
0
主不变量：
J1 0，
1 2 1 2 J2 (2 ) (3 ) (32 )2 2 1 :Ω 反偶矢量： ω Ω ω 2 线性变换： Ω u u Ω 蝌 u : u u
非负张量的构造：任意二阶张量T
X T T T 0 Y T T T 0 Y T T T > 0
正张量的构造：正则二阶张量T
X T T T > 0
几种特殊的二阶张量
反对称二阶张量Ω 二阶张量T可加法分解为对称张量N和反对称张量Ω
T N Ω
几种特殊的二阶张量
i j i i j j ij
j
以上四种分量形式对应着张量的四种矩阵形式
j i ij 1 T T T T 2 4 ij i 3 j
3 矩阵是最重要的张量矩阵。 其中，
二阶张量的转置张量
T i j j i i j j ji
以及
J1 J 1 2 J2 ( J ) J 1 2 2 1 3 1 1 J 3 ( J1 ) J1 J 2 J 3 6 2 3 J J1
J2 ( J1 )2 2J 2 J3 ( J1 )3 3J1J 2 3J3 1
几种特殊的二阶张量
反对称二阶张量Ω的标准形
3 J2 0
→
3 2 0
e3
0 0 0 0 0
只有一个实根 3 0 实数标准形
对应特征方向，轴向，零向
0 0
e1e2 e2e1
可证：
e3 0
i l l i i i
二阶张量T的矩：
J1 tr (T ) Tii i j J 2 tr (T T ) T jTi J3 tr (T T T ) T ijTkjTik
二阶张量的不变量（代数）
二阶张量T的三个主不变量与各阶矩之间的关系
ijk j k TliTm Tn C3
二阶张量的不变量（代数）
二阶张量T的三个主不变量：
J1 G : T T T 1 ij l m 1 i l J 2 lmTi T j (Ti Tl TliTil ) 2! 2 1 ijk l m n J 3 lmnTi T j Tk det(T ) 3!
• •
uv
满射性。若 T u w，则存在唯一的逆变换 T 1 w u